Ushbu maqola mavzuni o'rganishga bag'ishlangan " Ratsional sonlar". Quyida ratsional sonlarning ta'riflari, misollar keltirilgan va sonning ratsional yoki ratsional emasligini aniqlash usullari keltirilgan.

Ratsional sonlar. Ta'riflar

Ratsional sonlarning ta'rifini berishdan oldin, keling, boshqa qanday sonlar to'plami ekanligini va ular bir-biri bilan qanday bog'liqligini eslaylik.

Natural sonlar qarama-qarshiliklari va nol soni bilan birgalikda butun sonlar to‘plamini tashkil qiladi. O'z navbatida, butun kasr sonlar to'plami ratsional sonlar to'plamini tashkil qiladi.

Ta'rif 1. Ratsional sonlar

Ratsional sonlar - musbat umumiy kasr a b, manfiy umumiy kasr a b yoki nol soni sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan sonlar.

Shunday qilib, biz ratsional sonlarning bir qator xususiyatlarini qoldirishimiz mumkin:

1. Har qanday natural son ratsional sondir. Shubhasiz, har bir natural son n 1 n kasr sifatida ifodalanishi mumkin.
2. Har qanday butun son, shu jumladan 0 raqami ratsional sondir. Darhaqiqat, har qanday musbat va manfiy butun sonni mos ravishda musbat yoki manfiy umumiy kasr sifatida osongina ifodalash mumkin. Masalan, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
3. Har qanday musbat yoki manfiy umumiy kasr a b ratsional sondir. Bu to'g'ridan-to'g'ri yuqoridagi ta'rifdan kelib chiqadi.
4. Har qanday aralash raqam ratsionaldir. Darhaqiqat, aralash sonni oddiy noto'g'ri kasr sifatida ko'rsatish mumkin.
5. Har qanday chekli yoki davriy o'nli kasr oddiy kasr sifatida ifodalanishi mumkin. Shuning uchun, har bir davriy yoki chekli kasr ratsional sondir.
6. Cheksiz va takrorlanmaydigan o'nli kasrlar ratsional sonlar emas. Ularni oddiy kasrlar shaklida ifodalash mumkin emas.

Ratsional sonlarga misollar keltiraylik. 5 , 105 , 358 , 1100055 raqamlari natural, musbat va butun sondir. Axir, bu ratsional raqamlar. - 2 , - 358 , - 936 sonlar manfiy butun sonlar boʻlib, ular ham taʼrifi boʻyicha ratsionaldir. 3 5 , 8 7 , - 35 8 oddiy kasrlar ham ratsional sonlarga misol bo'la oladi.

Ratsional sonlarning yuqoridagi ta'rifini yanada ixchamroq shakllantirish mumkin. Ratsional son nima degan savolga yana javob beraylik.

Ta'rif 2. Ratsional sonlar

Ratsional sonlar kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan ± z n sonlardir, bu erda z - butun son, n - natural son.

Buni ko'rsatish mumkin bu ta'rif ratsional sonlarning oldingi ta'rifiga teng. Buning uchun kasr satri bo'linish belgisi bilan bir xil ekanligini unutmang. Butun sonlarni bo'lish qoidalari va xususiyatlarini hisobga olgan holda, biz quyidagi adolatli tengsizliklarni yozishimiz mumkin:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n.

Shunday qilib, yozish mumkin:

z n = z n, p p va z > 0 0, p p va z = 0 - z n, p p va z< 0

Aslida, bu rekord dalildir. Biz ikkinchi ta'rif asosida ratsional sonlarga misollar keltiramiz. 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 va - 1 3 5 raqamlarini ko'rib chiqing. Bu raqamlarning barchasi mantiqiydir, chunki ularni butun son va natural maxrajli kasr shaklida yozish mumkin: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Ratsional sonlar ta'rifining yana bir ekvivalent shaklini keltiramiz.

Ta'rif 3. Ratsional sonlar

Ratsional son - bu chekli yoki cheksiz davriy o'nli kasr sifatida yozilishi mumkin bo'lgan son.

Ushbu ta'rif to'g'ridan-to'g'ri ushbu bandning birinchi ta'rifidan kelib chiqadi.

Ushbu band bo'yicha xulosani umumlashtirish va shakllantirish uchun:

1. Musbat va manfiy kasr va butun sonlar ratsional sonlar to‘plamini tashkil qiladi.
2. Har bir ratsional sonni kasr sifatida ifodalash mumkin, uning soni butun son, maxraji esa natural sondir.
3. Har bir ratsional son o'nlik kasr sifatida ham ifodalanishi mumkin: chekli yoki cheksiz davriy.

Qaysi raqam mantiqiy?

Biz allaqachon aniqlaganimizdek, har qanday natural son, butun son, oddiy va noto'g'ri oddiy kasr, davriy va oxirgi o'nli kasr ratsional sonlardir. Ushbu bilim bilan qurollangan holda, siz raqamning oqilona ekanligini osongina aniqlashingiz mumkin.

Biroq, amalda, ko'pincha raqamlar bilan emas, balki ildizlar, kuchlar va logarifmlarni o'z ichiga olgan raqamli ifodalar bilan shug'ullanish kerak. Ba'zi hollarda "son oqilonami?" Degan savolga javob beradi. aniqlikdan uzoqdir. Keling, bu savolga qanday javob berishni ko'rib chiqaylik.

Agar raqam faqat ratsional sonlar va ular orasidagi arifmetik amallarni o'z ichiga olgan ifoda sifatida berilgan bo'lsa, u holda ifodaning natijasi ratsional son bo'ladi.

Masalan, 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) ifodaning qiymati ratsional son bo'lib, 18 ga teng.

Shunday qilib, murakkab sonli ifodani soddalashtirish u tomonidan berilgan sonning oqilona ekanligini aniqlash imkonini beradi.

Endi ildiz belgisi bilan shug'ullanamiz.

Ma’lum bo‘lishicha, m sonining n daraja ildizi sifatida berilgan m n soni m qandaydir natural sonning n-darajasi bo‘lgandagina ratsional bo‘ladi.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. 2 raqami mantiqiy emas. Holbuki 9, 81 ratsional sonlardir. 9 va 81 mos ravishda 3 va 9 raqamlarining mukammal kvadratlari. 199 , 28 , 15 1 raqamlari ratsional sonlar emas, chunki ildiz belgisi ostidagi raqamlar hech qanday natural sonlarning mukammal kvadratlari emas.

Endi yanada murakkab ishni olaylik. 243 5 soni mantiqiymi? Agar siz 3 ni beshinchi darajaga ko'tarsangiz, siz 243 ni olasiz, shuning uchun asl ifodani quyidagicha qayta yozish mumkin: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Shuning uchun bu raqam oqilona. Endi 121 5 raqamini olaylik. Bu raqam mantiqiy emas, chunki 121 ni berish uchun beshinchi darajaga ko'tariladigan natural son yo'q.

Ayrim a sonining b asosiga logarifmi ratsional son ekanligini bilish uchun qarama-qarshilik usulini qo'llash kerak. Masalan, log 2 5 sonining ratsional ekanligini bilib olaylik. Faraz qilaylik, bu raqam mantiqiy. Agar shunday bo'lsa, u holda uni oddiy kasr shaklida yozish mumkin log 2 5 = m n.Logarifmning xossalari va daraja xossalari bo'yicha quyidagi tengliklar to'g'ri bo'ladi:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Shubhasiz, oxirgi tenglik mumkin emas, chunki chap va o'ng tomonlar mos ravishda toq va juft raqamlarni o'z ichiga oladi. Shuning uchun, qilingan taxmin noto'g'ri va log 2 5 soni ratsional son emas.

Shuni ta'kidlash kerakki, raqamlarning ratsionalligi va irratsionalligini aniqlashda to'satdan qaror qabul qilmaslik kerak. Masalan, irratsional sonlar ko‘paytmasining natijasi har doim ham irratsional son bo‘lavermaydi. Tasviriy misol: 2 · 2 = 2 .

Shuningdek bor irratsional sonlar, uning irratsional kuchga ko'tarilishi ratsional sonni beradi. 2 log 2 3 ko'rinishdagi darajalarda asos va ko'rsatkich irratsional sonlardir. Biroq, raqamning o'zi oqilona: 2 log 2 3 = 3 .

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Haqiqiy son tushunchasi: haqiqiy raqam- (haqiqiy son), har qanday manfiy yoki manfiy son yoki nol. Haqiqiy sonlar yordamida har bir jismoniy miqdorning o'lchovlarini ifodalang.

haqiqiy, yoki haqiqiy raqam geometrik va o'lchash zaruratidan kelib chiqqan jismoniy miqdorlar tinchlik. Bundan tashqari, ildizni ajratib olish, logarifmni hisoblash, algebraik tenglamalarni yechish va hokazo operatsiyalarni bajarish uchun.

Natural sonlar hisoblashning rivojlanishi bilan, ratsional sonlar esa butunning qismlarini boshqarish zarurati bilan shakllangan, keyin o'lchovlar uchun haqiqiy sonlar (haqiqiy) ishlatiladi. doimiy miqdorlar. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan sonlar zaxirasining kengayishi ratsional sonlardan tashqari boshqa elementlardan tashkil topgan haqiqiy sonlar to'plamiga olib keldi. irratsional sonlar.

Haqiqiy sonlar to'plami(belgilangan R) ratsional va irratsional sonlar to‘plamidir.

Haqiqiy sonlar ga bo'linadioqilona va mantiqsiz.

Haqiqiy sonlar to'plami belgilanadi va ko'pincha chaqiriladi haqiqiy yoki raqamlar qatori. Haqiqiy raqamlar oddiy ob'ektlardan iborat: butun va ratsional sonlar.

nisbat sifatida yozilishi mumkin bo'lgan son, bu erdam butun sondir va nnatural sondirratsional son.

Har qanday ratsional sonni chekli kasr yoki cheksiz davriy o'nli kasr sifatida osongina ifodalash mumkin.

Misol,

Cheksiz kasr, o'nli kasr bo'lib, kasrdan keyin cheksiz sonli raqamlarga ega.

Shu kabi ifodalab bo'lmaydigan raqamlar irratsional sonlar.

Misol:

Har qanday irratsional sonni cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasr sifatida ifodalash oson.

Misol,

Ratsional va irratsional sonlar hosil qiladi haqiqiy sonlar to'plami. Barcha haqiqiy sonlar deyiladi koordinata chizig'idagi bir nuqtaga to'g'ri keladi raqamlar qatori.

Raqamli to'plamlar uchun quyidagi belgilar qo'llaniladi:

• N- natural sonlar to'plami;
• Z- butun sonlar to'plami;
• Q- ratsional sonlar to‘plami;
• R haqiqiy sonlar to‘plamidir.

Cheksiz o'nli kasrlar nazariyasi.

Haqiqiy son quyidagicha aniqlanadi cheksiz kasr, ya'ni:

±a 0 , a 1 a 2 …a n …

bu yerda ± + yoki - belgilaridan biri, sonning belgisi,

0 musbat butun son,

a 1 , a 2 ,…a n ,… oʻnli kasrlar ketma-ketligi, yaʼni. raqamli to'plamning elementlari {0,1,…9}.

Cheksiz o'nli kasrni ratsional nuqtalar orasidagi raqamlar chizig'ida joylashgan raqam sifatida tushuntirish mumkin:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n va ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) Barcha uchun n=0,1,2,…

Haqiqiy sonlarni cheksiz o'nli kasrlar sifatida taqqoslash asta-sekin sodir bo'ladi. Masalan, deylik, 2 ta musbat raqam berilgan:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Agar a a 0 0, keyin α<β ; agar a0 >b0 keyin α>β . Qachon a 0 = b 0 Keling, keyingi darajadagi taqqoslashga o'tamiz. Va hokazo. Qachon α≠β , shuning uchun keyin yakuniy miqdor qadamlar birinchi raqamga mos keladi n, shu kabi a n ≠ b n. Agar a a n n, keyin α<β ; agar a n > b n keyin α>β .

Lekin shu bilan birga, raqam ekanligiga e'tibor berish zerikarli a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Shuning uchun, agar taqqoslangan raqamlardan birining yozuvi ma'lum bir raqamdan boshlab, davrda 9 ga ega bo'lgan davriy o'nli kasr bo'lsa, u holda u ekvivalent yozuv bilan, davrdagi nolga almashtirilishi kerak.

Cheksiz o'nli kasrlar bilan arifmetik amallar ratsional sonlar bilan mos keladigan amallarning uzluksiz davomidir. Masalan, haqiqiy sonlar yig'indisi α va β haqiqiy sondir α+β , bu quyidagi shartlarga javob beradi:

∀ a',a',b',b∈ Q(a'⩽ α ⩽ a')∧ (b'⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a'+b'⩽ α + β ⩽ a'+b')

Xuddi shunday cheksiz o'nli kasrlarni ko'paytirish amalini belgilaydi.

Natural sonlar musbat butun sonlar sifatida aniqlanadi. Natural sonlar ob'ektlarni hisoblash va boshqa ko'plab maqsadlar uchun ishlatiladi. Mana raqamlar:

Bu raqamlarning tabiiy qatoridir.
Nol natural sonmi? Yo'q, nol natural son emas.
Qancha natural son bor? Natural sonlarning cheksiz to'plami mavjud.
Eng kichik natural son nima? Ulardan biri eng kichik natural sondir.
Eng katta natural son nima? Uni aniqlab bo'lmaydi, chunki natural sonlarning cheksiz to'plami mavjud.

Natural sonlar yig'indisi natural sondir. Shunday qilib, a va b natural sonlarini qo'shish:

Natural sonlarning mahsuloti natural sondir. Shunday qilib, a va b natural sonlarining mahsuloti:

c har doim natural sondir.

Natural sonlar farqi Har doim ham natural son bo'lavermaydi. Agar minuend ayirishdan katta bo'lsa, natural sonlarning farqi natural son bo'ladi, aks holda u emas.

Natural sonlar bo'limi Har doim ham natural son bo'lavermaydi. Agar a va b natural sonlar uchun

Bu yerda c natural son, bu a ga teng b ga bo‘linishini bildiradi. Bu misolda a - dividend, b - bo'luvchi, c - qism.

Natural sonning boʻluvchisi birinchi son teng boʻlinadigan natural sondir.

Har bir natural son 1 ga va oʻziga boʻlinadi.

Oddiy natural sonlar faqat 1 ga va o'zlariga bo'linadi. Bu erda biz butunlay bo'linishni nazarda tutamiz. Misol, raqamlar 2; 3; 5; 7 faqat 1 ga va o'ziga bo'linadi. Bu oddiy natural sonlar.

Bittasi tub son hisoblanmaydi.

Birdan katta bo'lgan va tub bo'lmagan sonlar kompozit sonlar deyiladi. Kompozit raqamlarga misollar:

Bittasi kompozit son hisoblanmaydi.

Natural sonlar to'plami bitta, tub sonlar va qo'shma sonlardan iborat.

Natural sonlar to'plami lotincha N harfi bilan belgilanadi.

Natural sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish xossalari:

qo‘shishning kommutativ xususiyati

qo'shishning assotsiativ xususiyati

(a + b) + c = a + (b + c);

ko'paytirishning almashinish xususiyati

ko'paytirishning assotsiativ xususiyati

(ab)c = a(bc);

ko'paytirishning taqsimlovchi xususiyati

a (b + c) = ab + ac;

Butun sonlar

Butun sonlar natural sonlar, nol va natural sonlarga qarama-qarshidir.

Natural sonlarga qarama-qarshi sonlar manfiy butun sonlardir, masalan:

1; -2; -3; -4;…

Butun sonlar to‘plami lotincha Z harfi bilan belgilanadi.

Ratsional sonlar

Ratsional sonlar butun sonlar va kasrlardir.

Har qanday ratsional sonni davriy kasr sifatida ifodalash mumkin. Misollar:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

Misollardan ko'rish mumkinki, har qanday butun son davri nolga teng davriy kasrdir.

Har qanday ratsional son m/n kasr sifatida ifodalanishi mumkin, bu erda m butun son, n natural son. Oldingi misoldagi 3,(6) sonni kasr sifatida ifodalaylik:

Yana bir misol: ratsional son 9 oddiy kasr sifatida 18/2 yoki 36/4 sifatida ifodalanishi mumkin.

Yana bir misol: -9 ratsional sonini oddiy kasr sifatida -18/2 yoki -72/8 shaklida ifodalash mumkin.

Ushbu maqola haqida asosiy ma'lumotlarni o'z ichiga oladi haqiqiy raqamlar. Birinchidan, haqiqiy sonlarning ta'rifi berilgan va misollar keltirilgan. Haqiqiy sonlarning koordinata chizig'idagi o'rni keyingi ko'rsatilgan. Xulosa qilib aytganda, haqiqiy sonlar sonli ifodalar shaklida qanday berilganligi tahlil qilinadi.

Sahifani navigatsiya qilish.

Haqiqiy sonlarning ta'rifi va misollari

Haqiqiy sonlar ifoda sifatida

Haqiqiy sonlarning ta'rifidan ko'rinib turibdiki, haqiqiy sonlar:

• har qanday natural son;
• har qanday butun son;
• har qanday oddiy kasr (ham ijobiy, ham salbiy);
• har qanday aralash raqam;
• har qanday o'nli kasr (musbat, manfiy, chekli, cheksiz davriy, cheksiz davriy bo'lmagan).

Lekin juda tez-tez haqiqiy sonlar shaklida ko'rish mumkin va hokazo. Bundan tashqari, haqiqiy sonlarning yig'indisi, farqi, mahsuloti va qismi ham haqiqiy sonlardir (qarang haqiqiy sonlar bilan amallar). Masalan, bu haqiqiy raqamlar.

Agar uzoqqa borsak, haqiqiy sonlardan arifmetik belgilar, ildiz belgilari, darajalar, logarifmik, trigonometrik funktsiyalar va h.k. siz har qanday raqamli ifodalarni yaratishingiz mumkin, ularning qiymatlari ham haqiqiy raqamlar bo'ladi. Masalan, ifoda qiymatlari va haqiqiy sonlardir.

Ushbu maqolaning yakunida shuni ta'kidlaymizki, son tushunchasini kengaytirishning navbatdagi bosqichi haqiqiy sonlardan o'tishdir. murakkab sonlar.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Vilenkin N.Ya. va hokazo. Matematika. 6-sinf: Ta’lim muassasalari uchun darslik.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8 hujayra uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma).

Aqlli talabalar tomonidan mualliflik huquqi

Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. Saytning biron bir qismi, shu jumladan ichki materiallar va tashqi dizayn, mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz har qanday shaklda ko'paytirilishi yoki ishlatilishi mumkin emas.