Matematika fandan ko'proq narsadir fan tilidir.

Daniya fizigi va jamoat arbobi Nils Bor

Logarifmik tenglamalar

Oddiy vazifalar orasida, kirish (tanlov) testlarida taklif etiladi, vazifalardir, logarifmik tenglamalarni yechish bilan bog’liq. Bunday muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun logarifmlarning xossalarini yaxshi bilish va ularni qo'llash ko'nikmalariga ega bo'lish kerak.

Ushbu maqolada biz birinchi navbatda logarifmlarning asosiy tushunchalari va xususiyatlarini taqdim etamiz, so'ngra logarifmik tenglamalarni yechish misollari ko'rib chiqiladi.

Asosiy tushunchalar va xususiyatlar

Dastlab biz logarifmlarning asosiy xususiyatlarini keltiramiz, undan foydalanish nisbatan murakkab logarifmik tenglamalarni muvaffaqiyatli yechish imkonini beradi.

Asosiy logarifmik identifikatsiya quyidagicha yoziladi

, (1)

Logarifmlarning eng mashhur xususiyatlariga quyidagi tenglik kiradi:

1. Agar , va , bo‘lsa, ,

2. Agar , , va , bo‘lsa.

3. Agar , , va , keyin .

4. Agar , , va natural son, keyin

5. Agar , , va natural son, keyin

6. Agar , , va , keyin .

7. Agar , , va , keyin.

Logarifmlarning yanada murakkab xususiyatlari quyidagi bayonotlar orqali ifodalanadi:

8. Agar , , , va , keyin

9. Agar , , va , keyin

10. Agar , , , va , keyin

Logarifmlarning oxirgi ikki xossasining isboti muallifning "O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: maktab matematikasining qo'shimcha bo'limlari" (Moskva: Lenand / URSS) darsligida keltirilgan., 2014).

Shuni ham ta'kidlash kerak bu funktsiya ortib bormoqda, agar , agar va kamayuvchi if .

Logarifmik tenglamalarni yechish masalalari misollarini ko'rib chiqing, ortib borayotgan murakkablik tartibida joylashtirilgan.

Muammoni hal qilishga misollar

1-misol. tenglamani yeching

. (2)

Yechim.(2) tenglamadan bizda . Tenglamani quyidagicha o'zgartiramiz: , yoki .

Chunki, u holda (2) tenglamaning ildizi bo'ladi.

Javob: .

2-misol. tenglamani yeching

Yechim. (3) tenglama tenglamalarga teng

Yoki .

Bu erdan olamiz.

Javob: .

3-misol. tenglamani yeching

Yechim. Tenglama (4) nazarda tutadi, nima . Asosiy logarifmik identifikatsiyadan foydalanish (1), yozish mumkin

yoki .

Agar qo'ysak, u holda bu yerdan kvadrat tenglamani olamiz, ikkita ildizga ega va . Biroq, shuning uchun va tenglamaning mos ildizi faqat. O'shandan beri, keyin yoki.

Javob: .

4-misol. tenglamani yeching

Yechim.Oʻzgaruvchining yaroqli diapazoni(5) tenglamada.

Qo'ying va . Funktsiyadan berita'rif sohasi bo'yicha kamayib bormoqda, va funksiya butun son o'qi bo'yicha ortadi, keyin tenglama bir nechta ildizga ega bo'lishi mumkin emas.

Tanlash orqali biz yagona ildizni topamiz.

Javob: .

5-misol. tenglamani yeching.

Yechim. Agar tenglamaning ikkala tomoni 10 asosga logarifm sifatida qabul qilinsa, u holda

Yoki .

ning kvadrat tenglamasini yechish orqali va ni olamiz. Shuning uchun, bu erda bizda va .

Javob: , .

6-misol. tenglamani yeching

. (6)

Yechim.Biz identifikatsiyadan (1) foydalanamiz va tenglamani (6) o'zgartiramiz:

Yoki .

Javob: , .

7-misol. tenglamani yeching

. (7)

Yechim. 9 mulkni hisobga olgan holda bizda mavjud. Shu munosabat bilan (7) tenglama shaklni oladi

Bu yerdan biz yoki .

Javob: .

8-misol. tenglamani yeching

. (8)

Yechim.9-xususiyatdan foydalanamiz va (8) tenglamani ekvivalent shaklda qayta yozamiz.

Agar biz belgilasak, keyin kvadrat tenglamani olamiz, qayerda . Tenglamadan berifaqat bitta ijobiy ildizga ega, keyin yoki . Bu degani.

Javob: .

9-misol. tenglamani yeching

. (9)

Yechim. Chunki u (9) tenglamadan kelib chiqadi., keyin bu erda. Mulk bo'yicha 10, yozib olish mumkin.

Shu munosabat bilan (9) tenglama tenglamalarga ekvivalent bo'ladi

Yoki .

Bu yerdan (9) tenglamaning ildizini olamiz.

10-misol. tenglamani yeching

. (10)

Yechim.(10) tenglamadagi o'zgaruvchi uchun qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni . 4-mulk bo'yicha, bizda bor

. (11)

Chunki, u holda (11) tenglama kvadrat tenglama shaklini oladi, bu erda . Kvadrat tenglamaning ildizlari va.

O'shandan beri, keyin va. Bu yerdan biz va .

Javob: , .

11-misol. tenglamani yeching

. (12)

Yechim. Keyin belgilaymiz (12) tenglama shaklni oladi

Yoki

. (13)

(13) tenglamaning ildizi ekanligini tushunish oson. Keling, bu tenglamaning boshqa ildizlari yo'qligini ko'rsataylik. Buning uchun biz uning ikkala qismini ham ajratamiz va olamiz ekvivalent tenglama

. (14)

Funktsiya kamayib borayotganligi va funktsiya butun haqiqiy o'q bo'yicha ortib borayotganligi sababli (14) tenglama bir nechta ildizga ega bo'lishi mumkin emas. (13) va (14) tenglamalar ekvivalent bo'lgani uchun (13) tenglama bitta ildizga ega.

O'shandan beri, keyin va.

Javob: .

12-misol. tenglamani yeching

. (15)

Yechim. va ni belgilaymiz. Funktsiya ta'rif sohasi bo'yicha kamayib borayotganligi va har qanday qiymatlar uchun funktsiya ortib borayotganligi sababli, tenglama Bode bir ildizga ega bo'lolmaydi. To'g'ridan-to'g'ri tanlash orqali biz (15) tenglamaning kerakli ildizi ekanligini aniqlaymiz.

Javob: .

13-misol. tenglamani yeching

. (16)

Yechim. Logarifmlarning xususiyatlaridan foydalanib, biz olamiz

O'shandan beri va bizda tengsizlik bor

Olingan tengsizlik (16) tenglamaga faqat yoki bo'lganda to'g'ri keladi.

Qiymatni almashtirish(16) tenglamaga ishonch hosil qilamiz, nima uning ildizidir.

Javob: .

14-misol. tenglamani yeching

. (17)

Yechim. Bu erdan (17) tenglama shaklni oladi.

ni qo'ysak, bu erdan tenglamani olamiz

, (18)

qayerda. (18) tenglama quyidagilarni nazarda tutadi: yoki. dan beri, u holda tenglama bitta mos ildizga ega. Biroq, shuning uchun.

15-misol. tenglamani yeching

. (19)

Yechim. ni belgilang, keyin (19) tenglama shaklni oladi. Agar bu tenglamaning logarifmini 3-asosda olsak, olamiz

Yoki

Bundan kelib chiqadiki, va . O'shandan beri, keyin va. Shu munosabat bilan, va

Javob: , .

16-misol. tenglamani yeching

. (20)

Yechim. Parametr bilan tanishtiramizva (20) tenglamani parametrga nisbatan kvadrat tenglama sifatida qayta yozing, ya'ni.

. (21)

(21) tenglamaning ildizlari

yoki , . Chunki bizda tenglamalar va . Bu yerdan biz va .

Javob: , .

17-misol. tenglamani yeching

. (22)

Yechim.(22) tenglamadagi o'zgaruvchini aniqlash sohasini o'rnatish uchun uchta tengsizliklar to'plamini ko'rib chiqish kerak: , va.

Mulkni qo'llash 2, (22) tenglamadan olamiz

Yoki

. (23)

Agar (23) tenglamada qo'yamiz, keyin tenglamani olamiz

. (24)

(24) tenglama quyidagicha yechiladi:

Yoki

Bundan kelib chiqadiki, va , ya'ni. (24) tenglama ikkita ildizga ega: va.

Buyon, keyin, yoki,.

Javob: , .

18-misol. tenglamani yeching

. (25)

Yechim. Logarifmlarning xossalaridan foydalanib, (25) tenglamani quyidagicha o'zgartiramiz:

, , .

Bu erdan olamiz.

19-misol. tenglamani yeching

. (26)

Yechim. O'shandan beri .

Keyingi, biz bor. Binobarin, tenglik (26) faqat agar bajariladi, tenglamaning ikkala tomoni bir vaqtning o'zida 2 ga teng bo'lganda.

Shunday qilib , (26) tenglama tenglamalar sistemasiga ekvivalent

Tizimning ikkinchi tenglamasidan biz olamiz

Yoki .

Ko‘rish oson ma'nosi nima sistemaning birinchi tenglamasini ham qanoatlantiradi.

Javob: .

Logarifmik tenglamalarni echish usullarini chuqurroq o'rganish uchun siz murojaat qilishingiz mumkin o'quv qurollari tavsiya etilgan adabiyotlar ro'yxatidan.

1. Kushnir A.I. Maktab matematikasining durdonalari (ikki kitobdagi muammolar va echimlar). - Kiev: Astarte, 1-kitob, 1995. - 576 b.

2. Texnika oliy o'quv yurtlariga abituriyentlar uchun matematikadan masalalar to'plami / Ed. M.I. Skanavi. - M .: Jahon va ta'lim, 2013. - 608 b.

3. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: qo'shimcha bo'limlar maktab o'quv dasturi. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 b.

4. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: murakkablikdagi vazifalar. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 b.

5. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: muammolarni hal qilishning nostandart usullari. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 b.

Savollaringiz bormi?

Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Algebra 11-sinf

Mavzu: “Logarifmik tenglamalarni yechish usullari”

Dars maqsadlari:

ta'limiy: logarifmik tenglamalarni echishning turli usullari haqida bilimlarni shakllantirish, ularni har bir aniq vaziyatda qo'llash va echish uchun har qanday usulni tanlash qobiliyati;

rivojlantiruvchi: kuzatish, taqqoslash, bilimlarni yangi vaziyatda qo'llash, qonuniyatlarni aniqlash, umumlashtirish ko'nikmalarini rivojlantirish; o'zaro nazorat va o'z-o'zini nazorat qilish ko'nikmalarini shakllantirish;

tarbiyaviy: o'quv ishiga mas'uliyat bilan munosabatda bo'lishni, dars materialini sinchkovlik bilan idrok etishni, ish yuritishning to'g'riligini tarbiyalash.

Dars turi: yangi material bilan tanishish darsi.

"Logarifmlarning ixtiro qilinishi astronomning ishini qisqartirish orqali uning umrini uzaytirdi".
Fransuz matematigi va astronomi P.S. Laplas

Darslar davomida

I. Dars maqsadini belgilash

Logarifmning o'rganilgan ta'rifi, logarifmlarning xossalari va logarifmik funksiya bizga logarifmik tenglamalarni yechish imkonini beradi. Barcha logarifmik tenglamalar, ular qanchalik murakkab bo'lmasin, bir xil algoritmlar yordamida echiladi. Ushbu algoritmlarni bugun darsda ko'rib chiqamiz. Ulardan bir nechtasi bor. Agar siz ularni o'zlashtirsangiz, har biringiz uchun logarifmli har qanday tenglama amalga oshirilishi mumkin.

Daftaringizga dars mavzusini yozing: “Logarifmik tenglamalarni yechish usullari”. Hammani hamkorlikka taklif qilaman.

II. Yangilash asosiy bilim

Keling, dars mavzusini o'rganishga tayyorlanaylik. Har bir topshiriqni yechasiz va javobni yozasiz, shartni yoza olmaysiz. Juft bo'lib ishlamoq.

1) Funktsiya x ning qaysi qiymatlari uchun ma'noga ega:

(Har bir slayd uchun javoblar tekshiriladi va xatolar saralanadi)

2) Funksiya grafiklari mos keladimi?

3) Tengliklarni logarifmik tenglik sifatida qayta yozing:

4) Raqamlarni 2 asosli logarifmlar shaklida yozing:

5) Hisoblang:

6) Ushbu tengliklardagi etishmayotgan elementlarni tiklashga yoki to'ldirishga harakat qiling.

III. Yangi materialga kirish

Bayonot ekranda ko'rsatiladi:

"Tenglama barcha matematik kunjutni ochadigan oltin kalitdir."
Zamonaviy polshalik matematik S. Koval

Logarifmik tenglamaning ta'rifini shakllantirishga harakat qiling. (Logarifm belgisi ostida noma'lumni o'z ichiga olgan tenglama).

O'ylab ko'ring Eng oddiy logarifmik tenglama:jurnalax = b(bu erda a>0, a ≠ 1). Logarifmik funktsiya musbat sonlar to'plamida ortib boradi (yoki kamayib boradi) va barcha haqiqiy qiymatlarni qabul qilganligi sababli, ildiz teoremasidan kelib chiqadiki, har qanday b uchun bu tenglama, bundan tashqari, faqat bitta va musbat yechimga ega.

Logarifmning ta'rifini eslang. (X sonining a asosga bo'lgan logarifmi x sonini olish uchun a asosini ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkichdir). Bu darhol logarifmning ta'rifidan kelib chiqadi aichida shunday yechim hisoblanadi.

Sarlavhani yozing: Logarifmik tenglamalarni yechish usullari

1. Logarifmning ta'rifi bo'yicha.

Shaklning oddiy tenglamalari shunday echiladi.

O'ylab ko'ring № 514(a): Tenglamani yeching

Uni qanday hal qilishni taklif qilasiz? (Logarifm ta'rifi bo'yicha)

Yechim. , Demak, 2x - 4 = 4; x = 4.

Bu vazifada 2x - 4 > 0, chunki > 0, shuning uchun begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin emas va tekshirishning hojati yo'q. Bu topshiriqda 2x - 4 > 0 shartini yozish shart emas.

2. Potentsiyalash(berilgan ifodaning logarifmasidan ushbu ifodaning o'ziga o'tish).

O'ylab ko'ring № 519 (g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Qaysi xususiyatga e'tibor berdingiz? (Ikki ifodaning asoslari bir xil va logarifmlari teng). Nima qilish mumkin? (potentsial).

Bunday holda, logarifm ifodalari ijobiy bo'lgan barcha xlar orasida har qanday yechim mavjudligini hisobga olish kerak.

Yechim: ODZ:

X2+8>0 qo'shimcha tengsizlik

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

Asl tenglamani kuchaytiring

x2+8= 8x+8 tenglamani olamiz

Buni hal qilamiz: x2-8x=0

Javob: 0; sakkiz

Umuman ekvivalent tizimga o'tish:

Tenglama

(Tizim ortiqcha shartni o'z ichiga oladi - tengsizliklardan birini e'tiborsiz qoldirish mumkin).

Sinfga savol: Ushbu uchta yechimdan qaysi biri sizga ko'proq yoqdi? (Usullarni muhokama qilish).

Siz har qanday tarzda qaror qabul qilish huquqiga egasiz.

3. Yangi o'zgaruvchining kiritilishi.

O'ylab ko'ring № 520 (g). .

Nimani sezdingiz? (Bu log3x uchun kvadrat tenglama) Har qanday taklif bormi? (Yangi o'zgaruvchini kiritish)

Yechim. ODZ: x > 0.

Keling, u holda tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi. Diskriminant D > 0. Vyeta teoremasi bo'yicha ildizlar:.

Keling, almashtirishga qaytaylik: yoki .

Eng oddiy logarifmik tenglamalarni yechib, biz quyidagilarni olamiz:

Javob: 27;

4. Tenglamaning ikkala tomonining logarifmi.

Tenglamani yeching:.

Yechish: ODZ: x>0, 10-asosdagi tenglamaning ikkala tomonining logarifmini oling:

Darajaning logarifmi xususiyatini qo'llang:

(lgx + 3) lgx = 4

lgx = y, u holda (y + 3)y = 4 bo'lsin

, (D > 0) Vyeta teoremasiga muvofiq ildizlar: y1 = -4 va y2 = 1.

O'zgartirishga qaytaylik, biz olamiz: lgx = -4,; logx = 1, .

Javob: 0,0001; o'n.

5. Bir bazaga qisqartirish.

№ 523(c). Tenglamani yeching:

Yechish: ODZ: x>0. Keling, 3-bazaga o'tamiz.

6. Funktsional-grafik usul.

№ 509(d). Tenglamani grafik tarzda yeching: = 3 - x.

Qanday hal qilishni taklif qilasiz? (Ikkita y \u003d log2x va y \u003d 3 - x funksiyalarning grafiklarini nuqtalar bo'yicha tuzing va grafiklarning kesishish nuqtalarining abtsissasini qidiring).

Slaydda yechimingizni ko'ring.

Hiyla qilishdan qochishning bir yo'li bormi? . Bu quyidagicha : funktsiyalardan biri bo'lsa y = f(x) ortadi va boshqa y = g(x) X oralig'ida kamayadi, keyin tenglama f(x)=g(x) X oralig'ida ko'pi bilan bitta ildizga ega.

Agar ildiz bo'lsa, unda taxmin qilish mumkin.

Bizning holatda, funktsiya x>0 uchun ortadi va y \u003d 3 - x funktsiyasi x ning barcha qiymatlari, shu jumladan x>0 uchun kamayadi, ya'ni tenglama bittadan ortiq ildizga ega emas. E'tibor bering, x = 2 uchun tenglama haqiqiy tenglikka aylanadi, chunki .

« To'g'ri foydalanish usullarini o‘rganish mumkin
faqat ularni turli misollarga qo'llash orqali.
Daniyalik matematika tarixchisi G. G. Zayten

Iv. Uy vazifasi

39-bet 3-misolni ko'rib chiqing, 514 (b), № 529 (b), № 520 (b), № 523 (b) ni hal qiling.

V. Darsni yakunlash

Darsda logarifmik tenglamalarni yechishning qanday usullarini ko'rib chiqdik?

Keyingi darslarda biz murakkabroq tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Ularni hal qilish uchun o'rganilgan usullar foydalidir.

Oxirgi slaydni ko'rsatish:

“Dunyodagi hamma narsadan nimasi bor?
Kosmos.
Eng aqllisi nima?
Vaqt.
Eng yoqimlisi nima?
O'zingiz xohlagan narsaga erishing."
Thales

Men har kim o'zi xohlagan narsaga erishishini xohlayman. Hamkorligingiz va tushunganingiz uchun tashakkur.

Ushbu maqolada bitta o'zgaruvchili logarifmik tenglamalarni echish usullarining tizimli taqdimoti mavjud. Bu o'qituvchiga birinchi navbatda didaktik ma'noda yordam beradi: mashqlarni tanlash o'quvchilar uchun ularning imkoniyatlarini hisobga olgan holda individual topshiriqlarni yaratishga imkon beradi. Ushbu mashqlar umumlashtirish darsi va imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun ishlatilishi mumkin.
Qisqacha nazariy ma’lumotlar va masalalar yechish talabalarda logarifmik tenglamalarni yechish ko‘nikma va malakalarini mustaqil ravishda shakllantirish imkonini beradi.

Logarifmik tenglamalarni yechish.

Logarifmik tenglamalar - belgisi ostida noma'lumni o'z ichiga olgan tenglamalar logarifm. Logarifmik tenglamalarni echishda ko'pincha nazariy ma'lumotlardan foydalaniladi:

Odatda, logarifmik tenglamalarni yechish ODZni aniqlashdan boshlanadi. Logarifmik tenglamalarda barcha logarifmlarni asoslari teng bo'lishi uchun aylantirilishi tavsiya etiladi. Keyin tenglamalar yangi o'zgaruvchi bilan belgilanadigan bitta logarifm bilan ifodalanadi yoki tenglama potensiyalash uchun qulay shaklga o'tkaziladi.
Logarifmik ifodalarni o'zgartirish ODZning torayishiga olib kelmasligi kerak, lekin agar qo'llaniladigan yechim usuli ODZni toraytirsa, alohida raqamlarni ko'rib chiqishdan ozod qilsa, u holda muammo oxiridagi bu raqamlarni dastlabki tenglamada almashtirish orqali tekshirish kerak, chunki ODZni toraytirganda, ildizlarning yo'qolishi mumkin.

1. Shakl tenglamalari noma'lum sonni va sonni o'z ichiga olgan ifodadir.

1) logarifmning ta'rifidan foydalaning: ;
2) tekshirishni amalga oshiring yoki tegishli qiymatlar oralig'ini toping noma'lum sana va tegishli ildizlarni (yechimlarni) tanlang.
Agar a).

2. Logarifmga nisbatan birinchi darajali tenglamalar, ularning yechimida logarifmlarning xossalari qo'llaniladi.

Ushbu tenglamalarni yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

1) logarifmlarning xossalaridan foydalanib, tenglamani o'zgartiring;
2) olingan tenglamani yechish;
3) noma'lum raqam uchun maqbul qiymatlar oralig'ini tekshiring yoki toping va ularga mos keladigan ildizlarni (yechimlarni) tanlang.
).

3. Logarifmaga nisbatan ikkinchi va undan yuqori darajali tenglama.

Ushbu tenglamalarni yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

1. o'zgaruvchini o'zgartirish;
2. olingan tenglamani yechish;
3. teskari almashtirishni amalga oshirish;
4. olingan tenglamani yechish;
5. noma'lum raqam uchun maqbul qiymatlar oralig'ini tekshiring yoki toping va ularga mos keladigan ildizlarni (yechimlarni) tanlang.

4. Baza va ko'rsatkichda noma'lumni o'z ichiga olgan tenglamalar.

Ushbu tenglamalarni yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

1. tenglamaning logarifmini oling;
2. olingan tenglamani yechish;
3. tekshiring yoki noma'lum raqam uchun maqbul qiymatlar oralig'ini toping va mos keladiganlarni tanlang
   ildizlar (eritmalar).

5. Yechimi bo'lmagan tenglamalar.

1. Bunday tenglamalarni yechish uchun ODZ tenglamasini topish kerak.
2. Tenglamaning chap va o'ng tomonlarini tahlil qiling.
3. Tegishli xulosalar chiqaring.

Dastlabki tenglama tizimga ekvivalent:

Tenglamaning yechimi yo‘qligini isbotlang.

ODZ tenglamasi x ≥ 0 tengsizlik bilan aniqlanadi. ODZda bizda mavjud

Musbat son va manfiy bo'lmagan sonning yig'indisi nolga teng emas, shuning uchun dastlabki tenglamaning yechimlari yo'q.

Javob: Hech qanday yechim yo'q.

ODZga faqat bitta ildiz x \u003d 0 tushadi. Javob: 0.

Keling, almashtiramiz.

Topilgan ildizlar ODZga tegishli.

ODZ tenglamasi barcha ijobiy raqamlar to'plamidir.

Chunki

Ushbu tenglamalar xuddi shunday tarzda echiladi:

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Ishlatilgan kitoblar.

1. Bechetnov V.M. Matematika. Moskva Demiurge 1994 yil
2. Borodulya I.T. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar. (topshiriqlar va mashqlar). Moskva "Ma'rifat" 1984 yil
3. Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Matematika bo'yicha vazifalar. Tenglamalar va tengsizliklar. Moskva "Fan" 1987 yil
4. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Algebra bo'yicha murabbiy. Moskva "Ileksa" 2007 yil
5. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebra va tahlil tamoyillari muammolari. Moskva "Ma'rifat" 2003 yil

Ma'lumki, ifodalarni darajalar bilan ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari har doim qo'shiladi (a b * a c = a b + c). Bu matematik qonun Arximed tomonidan olingan bo'lib, keyinchalik 8-asrda matematik Virasen butun son ko'rsatkichlari jadvalini yaratdi. Aynan ular logarifmlarning keyingi kashfiyoti uchun xizmat qilganlar. Ushbu funktsiyadan foydalanish misollarini oddiy qo'shishga og'ir ko'paytirishni soddalashtirish kerak bo'lgan deyarli hamma joyda topish mumkin. Agar siz ushbu maqolani o'qishga 10 daqiqa vaqt ajratsangiz, biz sizga logarifm nima ekanligini va ular bilan qanday ishlashni tushuntiramiz. Oddiy va tushunarli til.

Matematikada ta'rif

Logarifm quyidagi ko'rinishdagi ifodadir: log a b=c, ya'ni har qanday manfiy bo'lmagan (ya'ni har qanday musbat) "b" ning "a" asosi bo'yicha logarifmi "c" ning kuchi hisoblanadi. , "a" bazasini ko'tarish kerak, natijada "b" qiymatini olish uchun. Logarifmni misollar yordamida tahlil qilamiz, deylik log 2 ifodasi bor 8. Javobni qanday topish mumkin? Bu juda oddiy, siz shunday daraja topishingiz kerakki, 2 dan kerakli darajaga qadar siz 8 ball olasiz. O'zingizning fikringizcha hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz 3 raqamini olamiz! Va to'g'ri, chunki 2 ning 3 kuchiga javobda 8 raqamini beradi.

Logarifmlarning turlari

Ko'pgina o'quvchilar va talabalar uchun bu mavzu murakkab va tushunarsiz bo'lib tuyuladi, lekin aslida logarifmlar unchalik qo'rqinchli emas, asosiysi ularning umumiy ma'nosini tushunish va ularning xususiyatlarini va ba'zi qoidalarini eslab qolishdir. Uchtasi bor ba'zi turlari logarifmik ifodalar:

1. Natural logarifm ln a, bu yerda asos Eyler soni (e = 2,7).
2. O'nlik a, bu erda asos 10 ga teng.
3. Har qanday b sonining a>1 asosiga logarifmi.

Ularning har biri logarifmik teoremalardan foydalangan holda soddalashtirish, qisqartirish va keyinchalik bitta logarifmga qisqartirishni o'z ichiga olgan standart usulda hal qilinadi. Logarifmlarning to'g'ri qiymatlarini olish uchun ularning xususiyatlarini va qarorlarida harakatlar tartibini eslab qolish kerak.

Qoidalar va ba'zi cheklovlar

Matematikada aksioma sifatida qabul qilingan bir qancha qoida-cheklovlar mavjud, ya'ni ular muhokama qilinmaydi va haqiqatdir. Masalan, sonlarni nolga bo'lish mumkin emas, manfiy sonlardan juft daraja ildizini ajratib olish ham mumkin emas. Logarifmlarning o'z qoidalari ham bor, ularga rioya qilgan holda siz hatto uzoq va sig'imli logarifmik ifodalar bilan qanday ishlashni osongina o'rganishingiz mumkin:

• "a" bazasi har doim noldan katta bo'lishi kerak va shu bilan birga 1 ga teng bo'lmasligi kerak, aks holda ifoda o'z ma'nosini yo'qotadi, chunki "1" va "0" har qanday darajada har doim ularning qiymatlariga teng;
• a > 0 bo'lsa, a b > 0 bo'lsa, "c" noldan katta bo'lishi kerakligi ma'lum bo'ladi.

Logarifmlarni qanday yechish mumkin?

Masalan, 10 x \u003d 100 tenglamasiga javob topish vazifasi berilgan. Bu juda oson, biz 100 ni oladigan o'n sonini ko'tarish orqali bunday quvvatni tanlashingiz kerak. Bu, albatta, 10 2 ni tashkil qiladi. \u003d 100.

Endi bu ifodani logarifmik sifatida ifodalaylik. Biz log 10 100 = 2 ni olamiz. Logarifmlarni yechishda barcha amallar amalda berilgan sonni olish uchun logarifm asosini kiritish darajasini topishga yaqinlashadi.

Noma'lum darajaning qiymatini aniq aniqlash uchun siz darajalar jadvali bilan ishlashni o'rganishingiz kerak. Bu shunday ko'rinadi:

Ko'rib turganingizdek, ba'zi eksponentlarni intuitiv ravishda taxmin qilish mumkin, agar sizda texnik fikrlash va ko'paytirish jadvalini bilishingiz mumkin. Biroq, kattaroq qiymatlar quvvat jadvalini talab qiladi. U hatto murakkab matematik mavzularda hech narsani tushunmaydiganlar ham foydalanishi mumkin. Chap ustunda raqamlar mavjud (a asosi), raqamlarning yuqori qatori c kuchining qiymati bo'lib, a soni ko'tariladi. Hujayralarning kesishmasida javob bo'lgan raqamlarning qiymatlari aniqlanadi (a c = b). Keling, masalan, 10 raqami bo'lgan birinchi katakchani olaylik va uning kvadratini olamiz, biz ikkita katakchamizning kesishmasida ko'rsatilgan 100 qiymatini olamiz. Hammasi shunchalik sodda va osonki, hatto eng haqiqiy gumanist ham tushunadi!

Tenglamalar va tengsizliklar

Ma'lum bo'lishicha, ma'lum sharoitlarda ko'rsatkich logarifmdir. Shuning uchun har qanday matematik sonli ifodalarni logarifmik tenglama sifatida yozish mumkin. Masalan, 3 4 =81 ni 81 ning 3 asosiga logarifmi sifatida yozish mumkin, bu esa to'rt (log 3 81 = 4). Salbiy kuchlar uchun qoidalar bir xil: 2 -5 = 1/32 biz logarifm sifatida yozamiz, log 2 (1/32) = -5 ni olamiz. Matematikaning eng qiziqarli bo'limlaridan biri "logarifmlar" mavzusidir. Biz misollar va tenglamalarning yechimlarini ularning xususiyatlarini o'rgangandan so'ng, biroz pastroq ko'rib chiqamiz. Endi tengsizliklar qanday ko‘rinishini va ularni tenglamalardan qanday ajratish mumkinligini ko‘rib chiqamiz.

Quyidagi shaklning ifodasi berilgan: log 2 (x-1) > 3 - bu logarifmik tengsizlik, chunki noma'lum qiymat "x" logarifm belgisi ostida. Shuningdek, ifodada ikkita miqdor solishtiriladi: ikkinchi asosdagi kerakli sonning logarifmi uch sonidan katta.

Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar o'rtasidagi eng muhim farq shundaki, logarifmli tenglamalar (masalan, 2 x = √9 logarifmi) javobda bir yoki bir nechta o'ziga xos raqamli qiymatlarni nazarda tutadi, tengsizlikni yechishda esa ikkala diapazon ham mavjud. qabul qilinadigan qiymatlar va ushbu funktsiyani buzadigan nuqtalar. Natijada, javob tenglamaning javobidagi kabi oddiy raqamlar to'plami emas, balki doimiy qator yoki raqamlar to'plamidir.

Logarifmlar haqidagi asosiy teoremalar

Logarifmning qiymatlarini topish bo'yicha ibtidoiy vazifalarni hal qilishda uning xususiyatlari noma'lum bo'lishi mumkin. Biroq, logarifmik tenglamalar yoki tengsizliklar haqida gap ketganda, birinchi navbatda, logarifmlarning barcha asosiy xususiyatlarini aniq tushunish va amalda qo'llash kerak. Tenglamalar misollari bilan keyinroq tanishamiz, avvalo har bir xususiyatni batafsil tahlil qilamiz.

1. Asosiy identifikatsiya quyidagicha ko'rinadi: a logaB =B. Bu faqat a 0 dan katta, birga teng emas va B noldan katta bo'lsa amal qiladi.
2. Hosilning logarifmini quyidagi formulada ifodalash mumkin: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu holda zaruriy shart: d, s 1 va s 2 > 0; a≠1. Siz logarifmlarning ushbu formulasini misollar va yechim bilan isbotlashingiz mumkin. Log a s 1 = f 1 va log a s 2 = f 2, keyin a f1 = s 1, a f2 = s 2 bo‘lsin. Biz s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (daraja xossalari) ni olamiz. ), va keyinchalik ta'rifi bo'yicha: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bu isbotlanishi kerak edi.
3. Bo'limning logarifmi quyidagicha ko'rinadi: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Formula ko'rinishidagi teorema quyidagi shaklni oladi: log a q b n = n/q log a b.

Bu formula "logarifm darajasining xossasi" deb ataladi. Bu oddiy darajalarning xususiyatlariga o'xshaydi va bu ajablanarli emas, chunki barcha matematika muntazam postulatlarga tayanadi. Keling, dalilni ko'rib chiqaylik.

Log a b \u003d t bo'lsin, a t \u003d b chiqadi. Ikkala qismni m quvvatiga ko'tarsangiz: a tn = b n ;

lekin a tn = (a q) nt/q = b n bo'lgani uchun log a q b n = (n*t)/t, keyin log a q b n = n/q log a b bo'ladi. Teorema isbotlangan.

Muammolar va tengsizliklarga misollar

Logarifm masalalarining eng keng tarqalgan turlari tenglamalar va tengsizliklarga misollardir. Ular deyarli barcha muammoli kitoblarda topilgan va ular ham kiritilgan majburiy qismi matematika imtihonlari. Universitetga kirish yoki matematikadan kirish testlaridan o'tish uchun siz bunday vazifalarni qanday qilib to'g'ri hal qilishni bilishingiz kerak.

Afsuski, logarifmning noma'lum qiymatini echish va aniqlashning yagona rejasi yoki sxemasi mavjud emas, ammo har bir matematik tengsizlik yoki logarifmik tenglamaga ma'lum qoidalar qo'llanilishi mumkin. Avvalo, ifodani soddalashtirish yoki qisqartirish mumkinligini bilib olishingiz kerak umumiy ko'rinish. Uzoq logarifmik ifodalarni ularning xossalaridan to‘g‘ri foydalansangiz, soddalashtirishingiz mumkin. Keling, tez orada ular bilan tanishamiz.

Logarifmik tenglamalarni yechishda oldimizda qanday turdagi logarifm borligini aniqlash kerak: ifoda misolida natural logarifm yoki kasr bo‘lishi mumkin.

Mana ln100, ln1026 misollar. Ularning yechimi shundan iboratki, siz 10-bazasi mos ravishda 100 va 1026 ga teng bo'lish darajasini aniqlashingiz kerak. Yechimlar uchun tabiiy logarifmlar logarifmik identifikatsiyalarni yoki ularning xususiyatlarini qo'llash kerak. Keling, har xil turdagi logarifmik masalalarni yechish misollarini ko'rib chiqaylik.

Logarifm formulalarini qanday ishlatish kerak: misollar va echimlar bilan

Shunday qilib, keling, logarifmlar bo'yicha asosiy teoremalardan foydalanish misollarini ko'rib chiqaylik.

1. Mahsulotning logarifmining xususiyati parchalanishi kerak bo'lgan vazifalarda qo'llanilishi mumkin katta ahamiyatga ega b raqamlarini oddiy omillarga aylantiring. Masalan, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Javob 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ko'rib turganingizdek, logarifm darajasining to'rtinchi xossasini qo'llash orqali biz bir qarashda murakkab va yechilmaydigan ifodani echishga muvaffaq bo'ldik. Faqat bazani faktorlarga ajratish va keyin ko'rsatkich qiymatlarini logarifm belgisidan chiqarish kerak.

Imtihondan topshiriqlar

Logarifmlar ko'pincha mavjud kirish imtihonlari, ayniqsa, Yagona davlat imtihonida juda ko'p logarifmik muammolar (barcha maktab bitiruvchilari uchun davlat imtihoni). Odatda bu vazifalar nafaqat A qismida (eng oson sinov qismi imtihon), balki C qismida (eng qiyin va hajmli vazifalar). Imtihon "Tabiiy logarifmlar" mavzusini aniq va mukammal bilishni nazarda tutadi.

Misollar va muammolarni hal qilish imtihonning rasmiy versiyalaridan olingan. Keling, bunday vazifalar qanday hal qilinishini ko'rib chiqaylik.

Berilgan log 2 (2x-1) = 4. Yechish:
keling, ifodani biroz soddalashtirib, uni qayta yozamiz log 2 (2x-1) = 2 2 , logarifmning ta'rifi bo'yicha biz 2x-1 = 2 4 ni olamiz, shuning uchun 2x = 17; x = 8,5.

• Yechim og'ir va chalkash bo'lmasligi uchun barcha logarifmlarni bir xil asosga qisqartirish yaxshiroqdir.
• Logarifm belgisi ostidagi barcha iboralar musbat deb ko'rsatiladi, shuning uchun logarifm belgisi ostidagi va uning asosi sifatidagi ifoda darajasining ko'rsatkichini olishda logarifm ostida qolgan ifoda musbat bo'lishi kerak.

asosiy xususiyatlar.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

bir xil asoslar

log6 4 + log6 9.

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz.

Logarifmlarni yechishga misollar

Agar logarifmning asosi yoki argumentida daraja bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichini quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarish mumkin:

Albatta, agar ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x >

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Yangi poydevorga o'tish

Logarifm logaksi berilsin. U holda c > 0 va c ≠ 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Shuningdek qarang:

Logarifmning asosiy xossalari

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ko‘rsatkich 2,718281828…. Eksponentni eslab qolish uchun siz qoidani o'rganishingiz mumkin: ko'rsatkich 2,7 va Leo Tolstoyning tug'ilgan yilidan ikki marta.

Logarifmlarning asosiy xossalari

Ushbu qoidani bilib, siz eksponentning aniq qiymatini ham, Lev Tolstoyning tug'ilgan sanasini ham bilib olasiz.

Logarifmlar uchun misollar

Ifodalar logarifmini oling

1-misol
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 xossalari bo'yicha biz hisoblaymiz

2.

3.

2-misol x if ni toping

3-misol. Logarifmlarning qiymati berilsin

Agar log(x) ni hisoblang

Logarifmlarning asosiy xossalari

Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda deyiladi qoidalar mavjud asosiy xususiyatlar.

Bu qoidalar ma'lum bo'lishi kerak - ularsiz hech qanday jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: logax va logay. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga teng, farq esa bo‘linmaning logarifmidir. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta - bir xil asoslar. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar logarifmik ifodani uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham hisoblashga yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:

Logarifmlarning asoslari bir xil bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log2 48 − log2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log3 135 − log3 5.

Shunga qaramay, asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida ko'rib chiqilmaydi. Ammo transformatsiyalardan keyin juda oddiy raqamlar paydo bo'ladi. Ushbu faktga asoslanib, ko'pchilik test varaqlari. Ha, nazorat - imtihonda barcha jiddiylikdagi o'xshash iboralar (ba'zan - deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni olib tashlash

Oxirgi qoida ularning birinchi ikkitasiga mos kelishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin. Bu eng ko'p talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log7 496.

Keling, birinchi formula bo'yicha argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, maxraj asosi va argumenti aniq darajalar bo'lgan logarifmdir: 16 = 24; 49 = 72. Bizda:

Menimcha, oxirgi misol tushuntirishga muhtoj. Logarifmlar qayerga ketdi? So'nggi daqiqagacha biz faqat maxraj bilan ishlaymiz.

Logarifmlar formulalari. Logarifmlar yechimlarga misoldir.

Ular logarifmning asosini va argumentini darajalar shaklida taqdim etdilar va ko'rsatkichlarni olib tashladilar - ular "uch qavatli" kasrga ega bo'lishdi.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil raqamga ega: log2 7. log2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni qisqartirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rtta hisoblagichga o'tkazilishi mumkin, bu bajarildi. Natijada javob: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar asoslar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Biz ularni teorema shaklida shakllantiramiz:

Logarifm logaksi berilsin. U holda c > 0 va c ≠ 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Xususan, agar c = x qo'ysak, biz quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosini va argumentini almashtirish mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan vazifalar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log5 16 log2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq ko'rsatkichlardir. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Endi ikkinchi logarifmni aylantiramiz:

Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi. Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holda, n soni argumentda ko'rsatkichga aylanadi. n soni mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati.

Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. U shunday deb ataladi:

Haqiqatan ham, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajadagi b soni a sonini beradi? To'g'ri: bu bir xil raqam a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga "osib qo'yishadi".

Yangi asosiy konvertatsiya formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, log25 64 = log5 8 - faqat bazadan kvadrat va logarifm argumentini chiqarib tashladi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:

Agar kimdir bilmasa, bu Yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi 🙂

Logarifmik birlik va logarifmik nol

Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar. Ular doimo muammolarda topiladi va hayratlanarli, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

1. logaa = 1. Bir marta eslab qoling: har qanday a asosining logarifmi shu asosning o'zidan bittaga teng.
2. loga 1 = 0. a asosi har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki a0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.

Shuningdek qarang:

b sonining a asosiga logarifmi ifodani bildiradi. Logarifmni hisoblash, tenglik to'g'ri bo'lgan x () kuchini topishni anglatadi

Logarifmning asosiy xossalari

Yuqoridagi xususiyatlarni bilish kerak, chunki ular asosida deyarli barcha masalalar va misollar logarifmlar asosida hal qilinadi. Qolgan ekzotik xususiyatlar ushbu formulalar bilan matematik manipulyatsiyalar orqali olinishi mumkin

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Hisoblashda logarifmlarning yig'indisi va ayirmasi formulalari (3.4) juda tez-tez uchraydi. Qolganlari biroz murakkab, ammo bir qator vazifalarda ular murakkab ifodalarni soddalashtirish va ularning qiymatlarini hisoblash uchun ajralmas hisoblanadi.

Logarifmlarning umumiy holatlari

Ba'zi umumiy logarifmlar asosi hatto o'n, eksponensial yoki ikkilik bo'lgan logarifmlardir.
O'nta asosiy logarifm odatda o'nta asosiy logarifm deb ataladi va oddiygina lg (x) bilan belgilanadi.

Yozuvdan ko'rinib turibdiki, yozuvda asoslar yozilmagan. Misol uchun

Natural logarifm asosi ko'rsatkich bo'lgan logarifmdir (ln(x) bilan belgilanadi).

Ko‘rsatkich 2,718281828…. Eksponentni eslab qolish uchun siz qoidani o'rganishingiz mumkin: ko'rsatkich 2,7 va Leo Tolstoyning tug'ilgan yilidan ikki marta. Ushbu qoidani bilib, siz eksponentning aniq qiymatini ham, Lev Tolstoyning tug'ilgan sanasini ham bilib olasiz.

Yana bir muhim asos ikki logarifmdir

Funktsiya logarifmining hosilasi o'zgaruvchiga bo'lingan biriga teng

Integral yoki antiderivativ logarifm bog'liqlik bilan aniqlanadi

Yuqoridagi material logarifmlar va logarifmlar bilan bog'liq keng ko'lamli masalalarni hal qilish uchun etarli. Materialni o'zlashtirish uchun men maktab o'quv dasturi va universitetlardan bir nechta umumiy misollarni keltiraman.

Logarifmlar uchun misollar

Ifodalar logarifmini oling

1-misol
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 xossalari bo'yicha biz hisoblaymiz

2.
Logarifmlarning farq xususiyatiga ko'ra, biz bor

3.
3.5 xossalaridan foydalanib topamiz

Ko'rinishidan murakkab ifoda bir qator qoidalar yordamida shaklga soddalashtirilgan

Logarifm qiymatlarini topish

2-misol x if ni toping

Yechim. Hisoblash uchun oxirgi muddatgacha 5 va 13 xossalarini qo'llaymiz

Yozuvda almashtiring va motam tuting

Asoslar teng bo'lgani uchun biz ifodalarni tenglashtiramiz

Logarifmlar. Birinchi daraja.

Logarifmlarning qiymati berilsin

Agar log(x) ni hisoblang

Yechish: Logarifmni hadlar yig‘indisi orqali yozish uchun o‘zgaruvchining logarifmini oling

Bu logarifmlar va ularning xususiyatlari bilan tanishishning boshlanishi. Hisob-kitoblarni mashq qiling, amaliy ko'nikmalaringizni boyiting - tez orada logarifmik tenglamalarni yechish uchun olingan bilimlar kerak bo'ladi. Bunday tenglamalarni echishning asosiy usullarini o'rganib chiqib, biz sizning bilimingizni yana bir muhim mavzu - logarifmik tengsizliklar bo'yicha kengaytiramiz ...

Logarifmlarning asosiy xossalari

Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda deyiladi qoidalar mavjud asosiy xususiyatlar.

Bu qoidalar ma'lum bo'lishi kerak - ularsiz hech qanday jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: logax va logay. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga teng, farq esa bo‘linmaning logarifmidir. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta - bir xil asoslar. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar logarifmik ifodani uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham hisoblashga yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log6 4 + log6 9.

Logarifmlarning asoslari bir xil bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log2 48 − log2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log3 135 − log3 5.

Shunga qaramay, asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida ko'rib chiqilmaydi. Ammo transformatsiyalardan keyin juda oddiy raqamlar paydo bo'ladi. Ko'pgina testlar ushbu faktga asoslanadi. Ha, nazorat - imtihonda barcha jiddiylikdagi o'xshash iboralar (ba'zan - deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni olib tashlash

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Agar logarifmning asosi yoki argumentida daraja bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichini quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarish mumkin:

Oxirgi qoida ularning birinchi ikkitasiga mos kelishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin.

Logarifmlarni qanday yechish mumkin

Bu eng ko'p talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log7 496.

Keling, birinchi formula bo'yicha argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, maxraj asosi va argumenti aniq darajalar bo'lgan logarifmdir: 16 = 24; 49 = 72. Bizda:

Menimcha, oxirgi misol tushuntirishga muhtoj. Logarifmlar qayerga ketdi? So'nggi daqiqagacha biz faqat maxraj bilan ishlaymiz. Ular logarifmning asosini va argumentini darajalar shaklida taqdim etdilar va ko'rsatkichlarni olib tashladilar - ular "uch qavatli" kasrga ega bo'lishdi.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil raqamga ega: log2 7. log2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni qisqartirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rtta hisoblagichga o'tkazilishi mumkin, bu bajarildi. Natijada javob: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar asoslar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Biz ularni teorema shaklida shakllantiramiz:

Logarifm logaksi berilsin. U holda c > 0 va c ≠ 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Xususan, agar c = x qo'ysak, biz quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosini va argumentini almashtirish mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan vazifalar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log5 16 log2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq ko'rsatkichlardir. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Endi ikkinchi logarifmni aylantiramiz:

Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi. Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holda, n soni argumentda ko'rsatkichga aylanadi. n soni mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati.

Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. U shunday deb ataladi:

Haqiqatan ham, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajadagi b soni a sonini beradi? To'g'ri: bu bir xil raqam a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga "osib qo'yishadi".

Yangi asosiy konvertatsiya formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, log25 64 = log5 8 - faqat bazadan kvadrat va logarifm argumentini chiqarib tashladi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:

Agar kimdir bilmasa, bu Yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi 🙂

Logarifmik birlik va logarifmik nol

Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar. Ular doimo muammolarda topiladi va hayratlanarli, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

1. logaa = 1. Bir marta eslab qoling: har qanday a asosining logarifmi shu asosning o'zidan bittaga teng.
2. loga 1 = 0. a asosi har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki a0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.