Matematik statistika bilan shug'ullanadigan matematikaning zamonaviy bo'limidir statistik tavsif tajriba va kuzatishlar natijalari, shuningdek bino matematik modellar tushunchalarni o‘z ichiga oladi ehtimolliklar. Matematik statistikaning nazariy asosi hisoblanadi ehtimollik nazariyasi.

Matematik statistika tarkibida an'anaviy ravishda ikkita asosiy bo'lim ajratiladi: tavsiflovchi statistika va statistik xulosa (1.1-rasm).

Guruch. 1.1. Matematik statistikaning asosiy bo'limlari

Ta'riflovchi statistika uchun ishlatiladi:

o bitta o'zgaruvchining ko'rsatkichlarini umumlashtirish (tasodifiy tanlama statistikasi);

o ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlarni aniqlash (korrelyatsiya-regressiya tahlili).

Ta'riflovchi statistika yangi ma'lumotlarni olish, uni tez tushunish va har tomonlama baholash imkonini beradi, ya'ni o'rganish ob'ektlarini tavsiflashning ilmiy funktsiyasini bajaradi, bu uning nomini oqlaydi. Ta'riflovchi statistikaning usullari individual empirik ma'lumotlar to'plamini idrok qilish uchun vizual bo'lgan shakllar va raqamlar tizimiga aylantirish uchun mo'ljallangan: chastotalarni taqsimlash; tendentsiyalar, o'zgaruvchanlik, aloqa ko'rsatkichlari. Ushbu usullar statistik xulosalarni amalga oshirish uchun asos bo'lib xizmat qiladigan tasodifiy tanlamaning statistik ma'lumotlarini hisoblab chiqadi.

Statistik xulosa imkoniyat bering:

o namunaviy statistik ma'lumotlarning to'g'riligi, ishonchliligi va samaradorligini baholash, statistik tadqiqotlar jarayonida yuzaga keladigan xatolarni topish (statistik baholash)

o tanlanma statistik ma'lumotlar asosida olingan umumiy populyatsiya parametrlarini umumlashtirish (tekshirish). statistik farazlar).

asosiy maqsad ilmiy tadqiqot- bu odatda umumiy populyatsiya deb ataladigan hodisalar, shaxslar yoki hodisalarning katta sinfi haqida yangi bilimlarni o'zlashtirishdir.

Aholi o'rganish ob'ektlari yig'indisi, namuna- uning ma'lum ilmiy asoslangan tarzda tuzilgan qismi 2.

"Umumiy aholi" atamasi qachon ishlatiladi gaplashamiz o'rganilayotgan ob'ektlarning katta, ammo cheklangan to'plami haqida. Misol uchun, 2009 yilda Ukrainadagi arizachilarning umumiy soni yoki bolalarning umumiy soni haqida maktabgacha yosh Rivne shahri. Umumiy populyatsiyalar sezilarli hajmlarga erishishi mumkin, cheklangan va cheksiz bo'lishi mumkin. Amalda, qoida tariqasida, chekli to'plamlar bilan shug'ullanadi. Va agar umumiy populyatsiya hajmining namuna hajmiga nisbati 100 dan ortiq bo'lsa, Glass va Stenlining fikriga ko'ra, cheklangan va cheksiz populyatsiyalarni baholash usullari asosan bir xil natijalarni beradi. Umumiy to'plamni ba'zi atributlar qiymatlarining to'liq to'plami deb ham atash mumkin. Tanlamaning umumiy aholiga tegishli ekanligi tanlamaning xususiyatlariga ko'ra umumiy aholi xususiyatlarini baholash uchun asosiy asosdir.

Asosiy fikr Matematik statistika ko'pgina ilmiy muammolarda umumiy aholining barcha ob'ektlarini to'liq o'rganish yoki amaliy jihatdan imkonsiz yoki iqtisodiy jihatdan amaliy emas, degan ishonchga asoslanadi, chunki bu ko'p vaqt va katta moddiy xarajatlarni talab qiladi. Shuning uchun matematik statistikada u qo'llaniladi selektiv yondashuv, uning printsipi shakldagi diagrammada ko'rsatilgan. 1.2.

Misol uchun, shakllanish texnologiyasiga ko'ra, namunalar tasodifiy (oddiy va tizimli), tabaqalashtirilgan, klasterlangan (4-bo'limga qarang).

Guruch. 1.2. Matematik statistika usullarini qo'llash sxemasi bo'yicha selektiv yondashuv matematikadan foydalanish statistik usullar quyidagi ketma-ketlikda amalga oshirilishi mumkin (1.2-rasmga qarang):

o bilan umumiy aholi, xossalari tadqiq qilinadigan, aniq usullari namuna hosil qiladi- tadqiqot usullari qo'llaniladigan tipik, ammo cheklangan miqdordagi ob'ektlar;

o kuzatish usullari, eksperimental harakatlar va namunaviy ob'ektlar bo'yicha o'lchovlar natijasida empirik ma'lumotlar olinadi;

o tavsiflovchi statistik usullar yordamida empirik ma'lumotlarni qayta ishlash statistik deb ataladigan namunaviy ko'rsatkichlarni beradi - darvoqe, fan nomi kabi;

o statistik xulosa chiqarish usullarini qo'llash statistik, xossalarini tavsiflovchi parametrlarni olish umumiy aholi.

1.1-misol. Bilim darajasining barqarorligini baholash uchun (o'zgaruvchan x) hajmi bo'lgan 3 nafar talabadan iborat tasodifiy tanlovni sinovdan o'tkazish n. Testlar m ta topshiriqni o'z ichiga olgan bo'lib, ularning har biri ball tizimi bo'yicha baholandi: "tugallangan" "- 1", bajarilmagan "- 0. talabalarning o'rtacha joriy yutuqlari X qoldi.

3 tasodifiy namuna(ingliz tilidan Random - tasodifiy) - tasodifiy testlar strategiyasiga muvofiq shakllanadigan vakillik namunasi.

oldingi yillar darajasida / soat? Yechim ketma-ketligi:

o tipdagi mazmunli gipotezani aniqlang: "agar joriy test natijalari o'tmishdan farq qilmasa, biz talabalarning bilim darajasini o'zgarmagan deb hisoblashimiz mumkin va o'rganish jarayoni- barqaror";

o nol gipoteza kabi adekvat statistik gipotezani shakllantirish H 0 bu "hozirgi GPA X oldingi yillardagi o'rtacha ko'rsatkichdan statistik jihatdan farq qilmaydi / h", ya'ni. H 0: X = ⁄ r, mos keladigan muqobil gipotezaga qarshi X F ^ ;

o qurish tekshirilayotgan X o'zgaruvchining empirik taqsimotlari;

o aniqlash(agar kerak bo'lsa) korrelyatsiya, masalan, o'zgaruvchi o'rtasidagi X va boshqa ko'rsatkichlar, qurish regressiya chiziqlari;

o muvofiqlikni tekshirish empirik taqsimot oddiy qonun;

o nuqta ko'rsatkichlarining qiymatini va parametrlarning ishonch oralig'ini, masalan, o'rtachani baholash;

o statistik ma'lumotlarni tekshirish mezonlarini belgilash farazlar;

o tanlangan mezonlar asosida statistik gipotezalarni tekshirish;

o ma'lum bir narsa bo'yicha statistik nol gipoteza bo'yicha qarorni shakllantirish ahamiyat darajasi;

o statistik nol gipotezani qabul qilish yoki rad etish to'g'risidagi qarordan mazmunli gipoteza bo'yicha xulosalar talqinini o'tkazish;

o mazmunli xulosalarni shakllantirish.

Shunday qilib, agar yuqoridagi protseduralarni umumlashtirsak, statistik usullarni qo'llash uchta asosiy blokdan iborat:

Haqiqat ob'ektidan mavhum matematik-statistik sxemaga o'tish, ya'ni hodisa, jarayon, xususiyatning ehtimollik modelini qurish;

O'lchovlar, kuzatishlar, tajribalar va statistik xulosalarni shakllantirish natijalariga asoslangan ehtimollik modeli doirasida tegishli matematik vositalar bilan hisoblash harakatlarini amalga oshirish;

Haqiqiy vaziyat haqidagi statistik xulosalarni talqin qilish va tegishli qaror qabul qilish.

Ma'lumotlarni qayta ishlash va sharhlashning statistik usullari ehtimollik nazariyasiga asoslanadi. Ehtimollar nazariyasi matematik statistika usullarining asosi hisoblanadi. Ehtimollar nazariyasining fundamental tushunchalari va qonunlaridan foydalanmasdan turib, matematik statistikaning xulosalarini umumlashtirish va shuning uchun ulardan ilmiy va amaliy maqsadlarda oqilona foydalanish mumkin emas.

Shunday qilib, tavsiflovchi statistikaning vazifasi namunaviy ma'lumotlar to'plamini ko'rsatkichlar tizimiga aylantirish - statistik - chastotalarni taqsimlash, markaziy tendentsiya va o'zgaruvchanlik o'lchovlari, bog'lanish koeffitsientlari va boshqalar. Biroq, statistika ma'lum bir namunaga xos xususiyatlardir. Albatta, tanlanma taqsimoti, tanlanma vositalari, dispersiya va hokazolarni hisoblash mumkin, ammo bunday "ma'lumotlar tahlili" cheklangan ilmiy va ta'lim ahamiyatiga ega. Bunday ko'rsatkichlar asosida tuzilgan har qanday xulosani boshqa populyatsiyalarga "mexanik" o'tkazish to'g'ri emas.

Namuna ko'rsatkichlarini yoki boshqalarni yoki keng tarqalgan populyatsiyalarga o'tkazish uchun matematik jihatdan asosli bo'lishi kerak. qoidalari namunaviy xususiyatlarning ushbu umumiy populyatsiyalar deb ataladigan xususiyatlar bilan muvofiqligi va qobiliyati haqida. Bunday qoidalar nazariy yondashuvlar va voqelikning ehtimollik modellari bilan bog'liq sxemalarga asoslanadi, masalan, aksiomatik yondashuv, qonunda. katta raqamlar va hokazo. Faqat ularning yordami bilan cheklangan empirik ma'lumotlarni tahlil qilish natijalariga ko'ra aniqlangan xususiyatlarni boshqa yoki keng tarqalgan to'plamlarga o'tkazish mumkin. Shunday qilib, qurilish, ishlash qonuniyatlari, ehtimollik modellaridan foydalanish "ehtimollar nazariyasi" deb nomlangan matematik sohaning predmeti bo'lib, statistik usullarning mohiyatiga aylanadi.

Shunday qilib, matematik statistikada ko'rsatkichlarning ikkita parallel chizig'i qo'llaniladi: birinchi qator amaliyotga tegishli (bular namunaviy ko'rsatkichlar) va ikkinchisi nazariyaga asoslangan (bular ehtimollik modelining ko'rsatkichlari). Masalan, namunada aniqlangan empirik chastotalar nazariy ehtimollik tushunchalariga mos keladi; namunaviy o'rtacha (amaliyot) mos keladi kutilgan qiymat(nazariya) va boshqalar. Bundan tashqari, tadqiqotlarda selektiv xususiyatlar, qoida tariqasida, asosiy hisoblanadi. Ular kuzatishlar, o'lchovlar, tajribalar asosida hisoblab chiqiladi, shundan so'ng ular qobiliyat va samaradorlikni statistik baholashdan o'tadilar, tadqiqot maqsadlariga muvofiq statistik gipotezalarni sinovdan o'tkazadilar va oxirida ma'lum bir ehtimollik bilan qabul qilinadi. o'rganilayotgan populyatsiyalar xossalarining ko'rsatkichlari.

Savol. Vazifa.

1. Matematik statistikaning asosiy bo'limlarini aytib bering.

2. Matematik statistikaning asosiy g'oyasi nima?

3. Umumiy va tanlanma populyatsiyalar nisbatini tavsiflang.

4. Matematik statistika usullarini qo`llash sxemasini tushuntiring.

5. Matematik statistikaning asosiy vazifalari ro'yxatini ko'rsating.

6. Statistik usullarni qo'llashning asosiy bloklari nimalardan iborat? Ularni tasvirlab bering.

7. Matematik statistika va ehtimollar nazariyasi o‘rtasidagi aloqani kengaytiring.

Kirish

2. Matematik statistikaning asosiy tushunchalari

2.1 Namuna olishning asosiy tushunchalari

2.2 Namuna olish

2.3 Empirik taqsimot funksiyasi, gistogramma

Xulosa

Adabiyotlar ro'yxati

Kirish

Matematik statistika - bu fan matematik usullar ilmiy va amaliy xulosalar chiqarish uchun statistik ma’lumotlarni tizimlashtirish va ulardan foydalanish. Uning ko'pgina sohalarida matematik statistika ehtimollik nazariyasiga asoslanadi, bu cheklangan statistik materiallardan olingan xulosalarning ishonchliligi va to'g'riligini baholashga imkon beradi (masalan, kerakli aniqlik natijalarini olish uchun kerakli tanlama hajmini baholash). namunaviy so'rovda).

Ehtimollar nazariyasida, tasodifiy o'zgaruvchilar xossalari to'liq ma'lum bo'lgan berilgan taqsimot yoki tasodifiy tajribalar bilan. Ehtimollar nazariyasining predmeti bu miqdorlarning (taqsimotlarning) xossalari va munosabatlaridir.

Ammo ko'pincha tajriba qora quti bo'lib, faqat ba'zi natijalarni beradi, unga ko'ra tajribaning o'zi haqida xulosa chiqarish talab qilinadi. Kuzatuvchi bir xil sharoitlarda bir xil tasodifiy tajribani takrorlash natijasida olingan sonli (yoki ularni raqamli qilish mumkin) natijalar to'plamiga ega.

Bunday holda, masalan, quyidagi savollar tug'iladi: Agar biz bitta tasodifiy o'zgaruvchini kuzatsak, qanday qilib bir nechta tajribalarda uning qiymatlari to'plamidan uning taqsimlanishi haqida eng aniq xulosa chiqarishimiz mumkin?

Bunday tajribalar turkumiga misol qilib sotsiologik so‘rov, iqtisodiy ko‘rsatkichlar to‘plami yoki nihoyat, ming marta tanga otish paytidagi gerb va dumlar ketma-ketligini keltirish mumkin.

Yuqoridagi barcha omillar sabab bo'ladi dolzarbligi va matematik statistikaning asosiy tushunchalarini chuqur va har tomonlama o‘rganishga qaratilgan ish mavzusining hozirgi bosqichdagi ahamiyati.

Shu munosabat bilan ushbu ishning maqsadi matematik statistika tushunchalari haqidagi bilimlarni tizimlashtirish, to'plash va mustahkamlashdir.

1. Matematik statistikaning predmeti va usullari

Matematik statistika - ommaviy kuzatishlar (o'lchovlar, tajribalar) davomida olingan ma'lumotlarni tahlil qilishning matematik usullari haqidagi fan. Kuzatishlarning o'ziga xos natijalarining matematik xususiyatiga ko'ra matematik statistika raqamlar, ko'p o'lchovli statistikaga bo'linadi. statistik tahlil, funksiyalar (jarayonlar) va vaqt qatorlarini tahlil qilish, sonli bo'lmagan xarakterdagi ob'ektlar statistikasi. Matematik statistikaning muhim qismi ehtimollik modellariga asoslanadi. Ajratish umumiy vazifalar ma'lumotlarning tavsifi, gipotezalarni baholash va sinovdan o'tkazish. Shuningdek, ular namunaviy so'rovlarni o'tkazish, bog'liqlikni tiklash, tasniflarni (tipologiyalarni) yaratish va ulardan foydalanish bilan bog'liq aniqroq vazifalarni ko'rib chiqadilar.

Ma'lumotlarni tavsiflash uchun jadvallar, diagrammalar va boshqa vizual tasvirlar, masalan, korrelyatsiya maydonlari quriladi. Ehtimoliy modellar odatda qo'llanilmaydi. Ba'zi ma'lumotlarni tavsiflash usullari ilg'or nazariyaga va zamonaviy kompyuterlarning imkoniyatlariga tayanadi. Bularga, xususan, bir-biriga o'xshash ob'ektlar guruhlarini aniqlashga qaratilgan klaster tahlili va ob'ektlarni tekislikda tasavvur qilish imkonini beradigan, ular orasidagi masofani eng kam darajada buzadigan ko'p o'lchovli masshtablash kiradi.

Baholash va gipotezalarni tekshirish usullari ehtimollik ma'lumotlarini yaratish modellariga tayanadi. Ushbu modellar parametrik va parametrik bo'lmaganlarga bo'linadi. Parametrik modellarda o'rganilayotgan ob'ektlar kichik sonli (1-4) sonli parametrlarga bog'liq bo'lgan taqsimot funktsiyalari bilan tavsiflanadi deb taxmin qilinadi. Parametrik bo'lmagan modellarda taqsimot funktsiyalari ixtiyoriy uzluksiz deb hisoblanadi. Matematik statistikada taqsimot parametrlari va xarakteristikalari (matematik kutish, median, dispersiya, kvantlar va boshqalar), zichlik va taqsimot funktsiyalari, o'zgaruvchilar orasidagi bog'liqliklar (chiziqli va parametrik bo'lmagan korrelyatsiya koeffitsientlari asosida, shuningdek parametrik yoki noaniq) bog'liqlikni ifodalovchi funksiyalarning parametrik baholari) baholanadi va hokazo. Nuqta va intervalli (haqiqiy qiymatlar uchun chegara beruvchi) baholardan foydalaning.

Matematik statistikada gipotezani tekshirishning umumiy nazariyasi mavjud va katta raqam muayyan gipotezalarni tekshirishga bag'ishlangan usullar. Parametrlar va xususiyatlarning qiymatlari, bir xillikni tekshirish (ya'ni ikkita namunadagi xarakteristikalar yoki taqsimot funktsiyalarining mos kelishi haqida), empirik taqsimot funktsiyasining berilgan taqsimot funktsiyasi yoki parametrik bilan muvofiqligi haqida farazlar ko'rib chiqiladi. bunday funktsiyalar oilasi, taqsimotning simmetriyasi haqida va hokazo.

Matematik statistikaning tanlama so'rovlarini o'tkazish bilan bog'liq bo'lgan bo'limi katta ahamiyatga ega bo'lib, turli xil tanlab olish sxemalarining xususiyatlari va gipotezalarni baholash va tekshirishning adekvat usullarini qurish bilan bog'liq.

Tobelikni tiklash muammolari 1794 yilda K. Gauss tomonidan eng kichik kvadratlar usuli ishlab chiqilganidan beri 200 yildan ortiq vaqt davomida faol o'rganilgan. Hozirgi vaqtda o'zgaruvchilarning informatsion to'plamini qidirish usullari va parametrik bo'lmagan usullar eng dolzarb hisoblanadi.

Ma'lumotlarni yaqinlashtirish va tavsif o'lchamlarini qisqartirish usullarini ishlab chiqish 100 yildan ko'proq vaqt oldin, K.Pirson asosiy komponent usulini yaratgan paytda boshlangan. Keyinchalik omilli tahlil va ko'plab chiziqli bo'lmagan umumlashmalar ishlab chiqildi.

Klassifikatsiyalarni (tipologiyalarni) tuzish (klaster tahlili), tahlil qilish va ulardan foydalanish (diskriminant tahlil)ning turli usullari, shuningdek, naqshni aniqlash usullari (o'qituvchi bilan va o'qituvchisiz), avtomatik tasniflash va boshqalar deb ataladi.

Statistikada matematik usullar nosonli ob'ektlar statistikasidagi kabi yig'indilardan (ehtimollar nazariyasining markaziy chegara teoremasi asosida) yoki farq ko'rsatkichlaridan (masofalar, o'lchovlar) foydalanishga asoslanadi. Odatda faqat asimptotik natijalar qat'iy asoslanadi. Hozirgi vaqtda kompyuterlar matematik statistikada katta rol o'ynaydi. Ular hisob-kitoblar uchun ham, simulyatsiya modellashtirish uchun ham qo'llaniladi (xususan, namuna olish usullarida va asimptotik natijalarning mosligini o'rganishda).

Matematik statistikaning asosiy tushunchalari

2.1 Namuna olish usulining asosiy tushunchalari

Tasodifiy tajribada kuzatilgan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin. Ehtimollik maydoni berilgan deb taxmin qilinadi (va bizni qiziqtirmaydi).

Biz ushbu tajribani bir xil sharoitda bir marta o'tkazganimizdan so'ng, biz birinchi, ikkinchi va hokazolarda ushbu tasodifiy o'zgaruvchining , , , - raqamlarini oldik deb taxmin qilamiz. tajribalar. Tasodifiy o'zgaruvchi bizga qisman yoki to'liq noma'lum bo'lgan taqsimotga ega.

Keling, namuna deb ataladigan to'plamni batafsil ko'rib chiqaylik.

Allaqachon amalga oshirilgan bir qator tajribalarda namuna raqamlar to'plamidir. Ammo bu tajribalar seriyasi yana takrorlansa, bu to'plam o'rniga biz yangi raqamlar to'plamini olamiz. Raqam o'rniga boshqa raqam paydo bo'ladi - tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlaridan biri. Ya'ni, (va , va , va hokazo) tasodifiy o'zgaruvchi bilan bir xil qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchidir va tez-tez (bir xil ehtimolliklar bilan). Shuning uchun, tajribadan oldin - bilan teng taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi va tajribadan keyin - bu birinchi tajribada biz kuzatadigan raqam, ya'ni. tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlaridan biri.

Hajm namunasi - bu va kabi taqsimotga ega bo'lgan mustaqil va bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar ("nusxalar") to'plami.

"Namunadan taqsimlash to'g'risida xulosa chiqarish" nimani anglatadi? Tarqatish taqsimot funksiyasi, zichlik yoki jadval, sonli xarakteristikalar to'plami bilan tavsiflanadi - , , va hokazo. Namuna asosida ushbu xususiyatlarning barchasi uchun taxminiy ma'lumotlarni yaratish kerak.

.2 Namuna olish

Namunani bitta elementar natijada - raqamlar to'plamida amalga oshirishni ko'rib chiqing , , . Tegishli ehtimollik fazosida biz , , ehtimolliklari bilan qiymatlarini qabul qiluvchi tasodifiy o'zgaruvchini kiritamiz (agar ba'zi qiymatlar mos kelsa, ehtimolliklarni mos keladigan sonlarni qo'shamiz). Ehtimollarni taqsimlash jadvali va tasodifiy o'zgaruvchilarni taqsimlash funktsiyasi quyidagicha ko'rinadi:

Miqdorning taqsimlanishi empirik yoki namunaviy taqsimot deb ataladi. Keling, kattalikning matematik kutilishi va dispersiyasini hisoblaylik va bu miqdorlar uchun yozuvni kiritamiz:

Xuddi shu tarzda, biz buyurtma momentini hisoblaymiz

Umumiy holatda biz miqdor bilan belgilaymiz

Agar biz kiritgan barcha xarakteristikalarni qurishda biz tanlamani , , tasodifiy o'zgaruvchilar to'plami sifatida ko'rib chiqsak, u holda bu xususiyatlarning o'zi - , , , , - tasodifiy miqdorga aylanadi. Ushbu namunaviy taqsimot xarakteristikalari haqiqiy taqsimotning tegishli noma'lum xususiyatlarini taxmin qilish (taxminan) uchun ishlatiladi.

Haqiqiy taqsimotning (yoki) xususiyatlarini baholash uchun taqsimot xarakteristikalaridan foydalanishning sababi katta bo'lgan bu taqsimotlarning yaqinligidadir.

Misol uchun, oddiy o'limni tashlashni ko'rib chiqing. Mayli --chi otishda tushgan ochkolar soni, . Faraz qilaylik, namunadagi bittasi bir marta, ikkitasi - bir marta va hokazo. Keyin tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarni oladi 1 , , 6 ehtimolliklar bilan , mos ravishda. Ammo bu nisbatlar katta sonlar qonuniga muvofiq o'sish bilan yaqinlashadi. Ya'ni, kattalikning taqsimlanishi qaysidir ma'noda to'g'ri matritsa otilganda tushadigan nuqtalar sonining haqiqiy taqsimotiga yaqinlashadi.

Biz namunaning yaqinligi va haqiqiy taqsimotlar deganda nimani anglatishini aniqlamaymiz. Keyingi paragraflarda biz yuqorida keltirilgan xususiyatlarning har birini batafsil ko'rib chiqamiz va uning xususiyatlarini, jumladan, namuna hajmini oshirish bilan xatti-harakatlarini ko'rib chiqamiz.

.3 Empirik taqsimot funksiyasi, gistogramma

Noma'lum taqsimotni, masalan, taqsimlash funktsiyasi bilan tavsiflash mumkin bo'lganligi sababli, biz ushbu funksiya uchun namunadan "baholash" ni tuzamiz.

Ta'rif 1.

Hajm namunasi asosida qurilgan empirik taqsimot funksiyasi deyiladi tasodifiy funktsiya, har bir teng uchun

Eslatma: tasodifiy funktsiya

hodisa indikatori deb ataladi. Har biri uchun bu parametr bilan Bernoulli taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchidir. nega?

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, tasodifiy o'zgaruvchining haqiqiy ehtimoli dan kichik bo'lgan har qanday qiymat uchun tanlama elementlarining ulushi taxmin qilinganidan kichik bo'ladi.

Namuna elementlari , , o'sish tartibida (har bir elementar natija bo'yicha) tartiblangan bo'lsa, o'zgaruvchan qator deb ataladigan yangi tasodifiy o'zgaruvchilar to'plami olinadi:

Element , , variatsion qatorning th a'zosi yoki th tartibli statistika deyiladi.

1-misol

Namuna:

Variatsiya seriyasi:

Guruch. bitta. 1-misol

Empirik taqsimot funktsiyasi namuna nuqtalarida sakrashlarga ega, nuqtadagi sakrash qiymati , bu erda - bilan mos keladigan namunaviy elementlarning soni.

Qurilishi mumkin empirik funktsiya Variatsion seriyalar bo'yicha taqsimlash:

Tarqatishning yana bir xususiyati - jadval (uchun diskret taqsimotlar) yoki zichlik (mutlaq uzluksiz uchun). Jadval yoki zichlikning empirik yoki tanlangan analogi gistogramma deb ataladi.

Gistogramma guruhlangan ma'lumotlarga asoslanadi. Tasodifiy o'zgaruvchining taxminiy qiymatlari diapazoni (yoki namunaviy ma'lumotlar diapazoni) namunadan qat'i nazar, ma'lum miqdordagi oraliqlarga bo'linadi (bir xil bo'lishi shart emas). , , chiziqdagi intervallar bo'lsin, guruhlash intervallari deb ataladi. Intervalga kiradigan namunaviy elementlar soni bilan for ni belgilaymiz:

(1)

Har bir oraliqda to'rtburchaklar qurilgan bo'lib, uning maydoni proportsionaldir. Barcha to'rtburchaklarning umumiy maydoni bittaga teng bo'lishi kerak. Intervalning uzunligi bo'lsin. Yuqoridagi to'rtburchakning balandligi

Olingan raqam gistogramma deb ataladi.

2-misol

Mavjud variatsion qator(1-misolga qarang):

Bu erda o'nlik logarifm, shuning uchun, ya'ni. namuna ikki barobar ko'paytirilganda, guruhlash intervallari soni 1 ga ortadi. E'tibor bering, guruhlash oralig'i qancha ko'p bo'lsa, shuncha yaxshi bo'ladi. Ammo, agar biz intervallar sonini, masalan, tartibini olsak, u holda o'sish bilan gistogramma zichlikka yaqinlashmaydi.

Quyidagi bayonot haqiqatdir:

Agar namuna zichligi bo'lsa uzluksiz funksiya, u holda shuning uchun gistogrammaning zichlikka ehtimoli bo'yicha nuqta yo'nalishi bo'yicha yaqinlashuv sodir bo'ladi.

Shunday qilib, logarifmni tanlash oqilona, ammo yagona mumkin emas.

Xulosa

Matematik (yoki nazariy) statistika ehtimollar nazariyasining usullari va tushunchalariga asoslanadi, lekin ma'lum ma'noda teskari masalalarni hal qiladi.

Ikki (yoki undan ortiq) belgilarning bir vaqtning o'zida namoyon bo'lishini kuzatadigan bo'lsak, ya'ni. bizda bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilarning qiymatlari to'plami bor - ularning bog'liqligi haqida nima deyish mumkin? U bormi yoki yo'qmi? Va agar shunday bo'lsa, bu qaramlik nima?

Ko'pincha "qora quti" da yashiringan taqsimot yoki uning xususiyatlari haqida ba'zi taxminlar qilish mumkin. Bunday holda, eksperimental ma'lumotlarga ko'ra, ushbu taxminlarni ("gipotezalar") tasdiqlash yoki rad etish talab qilinadi. Shu bilan birga, shuni yodda tutishimiz kerakki, "ha" yoki "yo'q" javobi faqat ma'lum bir ishonch bilan berilishi mumkin va biz tajribani qanchalik uzoq davom ettirsak, xulosalar qanchalik aniq bo'lishi mumkin. Tadqiqot uchun eng qulay vaziyat kuzatilayotgan tajribaning ba'zi xususiyatlari haqida ishonch bilan aytish mumkin - masalan, kuzatilgan miqdorlar o'rtasida funktsional bog'liqlik mavjudligi, taqsimotning normalligi, uning simmetriyasi, mavjudligi haqida. taqsimotdagi zichlik yoki uning diskret tabiati haqida va hokazo.

Shunday qilib, agar (matematik) statistika haqida eslash mantiqan to'g'ri keladi

tasodifiy tajriba mavjud bo'lib, uning xususiyatlari qisman yoki to'liq noma'lum;

Biz ushbu tajribani bir xil sharoitlarda (yoki yaxshiroq, har qanday) necha marta takrorlashimiz mumkin.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Baumol U. Iqtisodiy nazariya va operatsion tadqiqotlar. – M.; Fan, 1999 yil.

2. Bolshev L.N., Smirnov N.V. Matematik statistika jadvallari. Moskva: Nauka, 1995 yil.

3. Borovkov A.A. Matematik statistika. Moskva: Nauka, 1994 yil.

4. Korn G., Korn T. Olimlar va muhandislar uchun matematika bo'yicha qo'llanma. - Sankt-Peterburg: Lan nashriyoti, 2003 yil.

5. Korshunov D.A., Chernova N.I. Matematik statistika bo'yicha topshiriqlar va mashqlar to'plami. Novosibirsk: Matematika instituti nashriyoti. S.L.Sobolev SB RAS, 2001 yil.

6. Peheletskiy I.D. Matematika: talabalar uchun darslik. - M.: Akademiya, 2003 yil.

7. Suxodolskiy V.G. Gumanitar fanlar uchun oliy matematika bo'yicha ma'ruzalar. - Sankt-Peterburgning Sankt-Peterburg nashriyoti davlat universiteti. 2003

8. Feller V. Ehtimollar nazariyasiga kirish va uning qo'llanilishi. - M.: Mir, T.2, 1984 y.

9. Xarman G., Zamonaviy omil tahlili. - M.: Statistika, 1972 yil.

Xarman G., Zamonaviy omil tahlili. - M.: Statistika, 1972 yil.

Matematik statistika matematika kabi fanning asosiy bo'limlaridan biri bo'lib, muayyan ma'lumotlarni qayta ishlash usullari va qoidalarini o'rganadigan sohadir. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, u bir xil ob'ektlarning katta kolleksiyalariga xos bo'lgan naqshlarni aniqlash yo'llarini, ularning namunaviy so'rovi asosida o'rganadi.

Vazifa ushbu bo'lim Olingan natijalarga asoslanib, ehtimollikni baholash usullarini qurish yoki voqealarning rivojlanishining tabiati haqida ma'lum bir qaror qabul qilishdan iborat. Ma'lumotlarni tavsiflash uchun jadvallar, diagrammalar va korrelyatsiya maydonlaridan foydalaniladi. kamdan-kam hollarda qo'llaniladi.

Matematik statistika fanning turli sohalarida qo'llaniladi. Masalan, xodisa va ob'ektlarning bir jinsli to'plamlari haqidagi ma'lumotlarni qayta ishlash iqtisodiyot uchun muhim ahamiyatga ega. Ular sanoat tomonidan ishlab chiqarilgan mahsulotlar, xodimlar, foyda ma'lumotlari va boshqalar bo'lishi mumkin. Kuzatishlar natijalarining matematik xususiyatiga qarab, raqamlar statistikasini, noaniq xarakterdagi funktsiyalar va ob'ektlarni tahlil qilishni va ko'p o'lchovli narsalarni ajratib ko'rsatish mumkin. tahlil. Bundan tashqari, ular umumiy va xususiy (qaramlikni tiklash, tasniflardan foydalanish, selektiv tadqiqotlar bilan bog'liq) vazifalarni ko'rib chiqadilar.

Ba'zi darsliklar mualliflari matematik statistika nazariyasini ehtimollar nazariyasining faqat bir bo'limi deb hisoblasa, boshqalari esa o'z maqsadi, vazifalari va usullariga ega bo'lgan mustaqil fan deb hisoblaydilar. Biroq, har qanday holatda, uning qo'llanilishi juda keng.

Shunday qilib, matematik statistika psixologiyada eng aniq qo'llaniladi. Uning qo'llanilishi mutaxassisga to'g'ri asoslash, ma'lumotlar o'rtasidagi munosabatni topish, ularni umumlashtirish, ko'plab mantiqiy xatolardan qochish va boshqalarga imkon beradi. Shuni ta'kidlash kerakki, u yoki bu psixologik hodisani yoki shaxsiy xususiyatni hisoblash protseduralarisiz o'lchash ko'pincha oddiygina mumkin emas. Bu esa ushbu fanning asoslari zarurligini ko'rsatadi. Boshqacha qilib aytganda, uni ehtimollik nazariyasining manbai va asosi deyish mumkin.

Statistik ma'lumotlarni ko'rib chiqishga tayanadigan tadqiqot usuli boshqa sohalarda qo'llaniladi. Shu bilan birga, darhol shuni ta'kidlash kerakki, uning xususiyatlari, kelib chiqishi boshqa tabiatga ega bo'lgan ob'ektlarga nisbatan qo'llanilganda, har doim o'ziga xosdir. Shuning uchun fizika fanini bir fanga birlashtirish mantiqiy emas. Umumiy xususiyatlar bu usul ma'lum bir guruhga kiradigan ob'ektlarning ma'lum sonini hisoblash, shuningdek taqsimotni o'rganish uchun qisqartiriladi. miqdoriy xususiyatlar va ma'lum xulosalar olish uchun ehtimollik nazariyasini qo'llash.

Matematik statistika elementlari fizika, astronomiya va boshqalar kabi sohalarda qo'llaniladi. Bu erda xarakteristikalar va parametrlarning qiymatlari, ikkita namunadagi har qanday xususiyatlarning mos kelishi haqidagi farazlar, taqsimlanish simmetriyasi va boshqalar bo'lishi mumkin. hisobga olinadi.

Matematik statistika ularni amalga oshirishda muhim rol o'ynaydi.Ularning maqsadi ko'pincha gipotezalarni baholash va tekshirish uchun adekvat usullarni yaratishdir. Hozirgi vaqtda bu fanda kompyuter texnologiyalari katta ahamiyatga ega. Ular nafaqat hisoblash jarayonini sezilarli darajada soddalashtirishga, balki takrorlash uchun namunalar yaratishga yoki amalda olingan natijalarning mosligini o'rganishga imkon beradi.

Umumiy holda, matematik statistika usullari ikkita xulosa chiqarishga yordam beradi: yoki o'rganilayotgan ma'lumotlarning tabiati yoki xususiyatlari va ularning o'zaro bog'liqligi to'g'risida kerakli xulosani chiqarish yoki olingan natijalar xulosa chiqarish uchun etarli emasligini isbotlash.

Tarkib.

1.Kirish:
- Ehtimollar va matematik statistika qanday qo'llaniladi? - 2-sahifa
- “Matematik statistika” nima? - 3-bet
2) Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikani qo'llash misollari:
- Tanlov. - 4-bet
- Baholash vazifalari. - 6-bet
- ehtimollik-statistik usullar va optimallashtirish. – 7-bet
3) Xulosa.

Kirish.

Ehtimollik va matematik statistika qanday qo'llaniladi? Bu fanlar ehtimollik-statistik qarorlar qabul qilish usullarining asosi hisoblanadi. Ulardan foydalanish uchun matematik apparat, qaror qabul qilish muammolarini ehtimollik-statistik modellar nuqtai nazaridan ifodalash kerak. Qaror qabul qilishning aniq ehtimollik-statistik usulini qo'llash uch bosqichdan iborat:
- iqtisodiy, boshqaruv, texnologik haqiqatdan mavhum matematik va statistik sxemaga o'tish, ya'ni. boshqaruv tizimining ehtimollik modelini, texnologik jarayonni, qaror qabul qilish tartibini, xususan, statistik nazorat natijalariga ko'ra va boshqalarni qurish.
- ehtimolli model doirasida sof matematik vositalar yordamida hisob-kitoblarni amalga oshirish va xulosalar olish;
- real vaziyatga nisbatan matematik va statistik xulosalarni talqin qilish va tegishli qaror qabul qilish (masalan, mahsulot sifatining belgilangan talablarga muvofiqligi yoki nomuvofiqligi, texnologik jarayonni sozlash zarurati va boshqalar to'g'risida), xususan , xulosalar (partiyadagi mahsulotning nuqsonli birliklarining nisbati, texnologik jarayonning boshqariladigan parametrlarini taqsimlash qonunlarining o'ziga xos shakli bo'yicha va boshqalar).

Matematik statistikada ehtimollar nazariyasi tushunchalari, usullari va natijalaridan foydalaniladi. Keling, iqtisodiy, boshqaruv, texnologik va boshqa vaziyatlarda qaror qabul qilishning ehtimollik modellarini qurishning asosiy masalalarini ko'rib chiqaylik. Qaror qabul qilishning ehtimollik-statistik usullari bo'yicha normativ-texnik va ko'rsatma-uslubiy hujjatlardan faol va to'g'ri foydalanish uchun dastlabki bilimlar kerak. Shunday qilib, u yoki bu hujjat qanday sharoitlarda qo'llanilishi, uni tanlash va qo'llash uchun qanday dastlabki ma'lumotlarga ega bo'lishi kerakligini, ma'lumotlarni qayta ishlash natijalari bo'yicha qanday qarorlar qabul qilinishi kerakligini bilish kerak.

"Matematik statistika" nima? Matematik statistika deganda "matematikaning statistik ma'lumotlarni yig'ish, tizimlashtirish, qayta ishlash va izohlash, shuningdek, ilmiy yoki amaliy xulosalar qilish uchun foydalanishning matematik usullariga bag'ishlangan bo'limi tushuniladi. Matematik statistika qoidalari va protseduralari ehtimollar nazariyasiga asoslanadi, bu esa mavjud statistik materiallar asosida har bir masala bo'yicha olingan xulosalarning to'g'riligi va ishonchliligini baholash imkonini beradi. Shu bilan birga, statistik ma'lumotlar ma'lum xususiyatlarga ega bo'lgan har qanday ko'proq yoki kamroq to'plamdagi ob'ektlar soni to'g'risidagi ma'lumotlarni anglatadi.

Yechilayotgan masalalar turiga ko‘ra, matematik statistika odatda uchta bo‘limga bo‘linadi: ma’lumotlarni tavsiflash, baholash va gipotezani tekshirish.

Qayta ishlangan statistik ma'lumotlar turiga ko'ra, matematik statistika to'rt sohaga bo'linadi:

Bir o'lchovli statistika (tasodifiy o'zgaruvchilar statistikasi), bunda kuzatish natijasi haqiqiy son bilan tavsiflanadi;

Ko'p o'lchovli statistik tahlil, bunda ob'ektni kuzatish natijasi bir nechta raqamlar (vektor) bilan tavsiflanadi;

Kuzatish natijasi funksiya bo'lgan tasodifiy jarayonlar va vaqt seriyalari statistikasi;

Kuzatish natijasi raqamli bo'lmagan xususiyatga ega bo'lgan, masalan, to'plam (geometrik shakl), tartib yoki o'lchash natijasida olingan noaniq tabiatdagi ob'ektlar statistikasi. sifatli xususiyatdir.

Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikani qo'llash misollari.
Keling, ehtimollik-statistik modellar boshqaruv, sanoat, iqtisodiy va milliy iqtisodiy muammolarni hal qilish uchun yaxshi vosita bo'lgan bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik. Shunday qilib, masalan, lot sifatida ishlatiladigan tanga "nosimmetrik" bo'lishi kerak, ya'ni. u tashlanganda, o'rtacha, yarmida gerb tushishi kerak, yarmida esa - panjara (dumlar, raqam). Ammo "o'rtacha" nimani anglatadi? Agar siz har bir seriyada 10 ta otishdan iborat ko'p seriyalarni o'tkazsangiz, unda ko'pincha tanga gerb bilan 4 marta tushadigan seriyalar bo'ladi. Nosimmetrik tanga uchun bu seriyaning 20,5% da sodir bo'ladi. Va agar 100 000 otish uchun 40 000 gerb bo'lsa, tangani simmetrik deb hisoblash mumkinmi? Qaror qabul qilish tartibi ehtimollik nazariyasi va matematik statistikaga asoslanadi.

Ko'rib chiqilayotgan misol etarlicha jiddiy ko'rinmasligi mumkin. Biroq, unday emas. Chizma sanoat texnik-iqtisodiy tajribalarini tashkil qilishda keng qo'llaniladi, masalan, turli xil texnologik omillarga (saqlanish muhitining ta'siri, podshipniklarni o'lchashdan oldin tayyorlash usullari, rulmanlarning ishqalanish momenti) sifat ko'rsatkichlarini o'lchash natijalarini qayta ishlashda. o'lchash jarayonida rulman yukining ta'siri va boshqalar).P.). Aytaylik, rulmanlarning sifatini turli xil konservativ moylarda saqlash natijalariga qarab solishtirish kerak, ya'ni. A va B tarkibidagi moylarda. Bunday tajribani rejalashtirayotganda, qaysi podshipniklarni yog 'tarkibida A, qaysilarini esa B yog' tarkibiga, lekin sub'ektivlikka yo'l qo'ymaslik va ob'ektivlikni ta'minlash kerakligi haqida savol tug'iladi. qaror.

Namuna
Bu savolga javobni qur’a tashlash orqali olish mumkin. Shunga o'xshash misolni har qanday mahsulot sifatini nazorat qilish bilan ham keltirish mumkin. Tekshirilayotgan mahsulot partiyasi belgilangan talablarga javob beradimi yoki yo'qligini aniqlash uchun undan namuna olinadi. Namuna nazorati natijalariga ko'ra butun partiya to'g'risida xulosa chiqariladi. Bunday holda, namunani shakllantirishda sub'ektivlikka yo'l qo'ymaslik juda muhim, ya'ni nazorat qilinadigan partiyadagi har bir mahsulot birligi namunada tanlanish ehtimoli bir xil bo'lishi kerak. Ishlab chiqarish sharoitida namunadagi ishlab chiqarish birliklarini tanlash odatda lot bo'yicha emas, balki tasodifiy sonlarning maxsus jadvallari yoki kompyuter tasodifiy sonlar generatorlari yordamida amalga oshiriladi.
Taqqoslashning ob'ektivligini ta'minlashning shunga o'xshash muammolari ishlab chiqarishni tashkil etish, ish haqi to'lashning turli sxemalarini taqqoslashda, tender va tanlovlarni o'tkazishda, bo'sh lavozimlarga nomzodlarni tanlashda va hokazolarda yuzaga keladi. Hamma joyda sizga lotereya yoki shunga o'xshash protseduralar kerak. Keling, Olimpiya tizimi bo'yicha turnir tashkil etishda eng kuchli va ikkinchi kuchli jamoani aniqlash misolidan foydalanib tushuntiramiz (mag'lubiyatga uchragan). Kuchli jamoa har doim kuchsizni yutadi. Eng kuchli jamoa albatta chempion bo'lishi aniq. Ikkinchi kuchli jamoa finalgacha bo'lajak chempion bilan o'yin o'tkazmasagina finalga chiqadi. Agar shunday o'yin rejalashtirilgan bo'lsa, unda ikkinchi kuchli jamoa finalga chiqa olmaydi. Turnirni rejalashtirgan ikkinchi kuchli jamoani muddatidan avval turnirdan “nokaut” qilib, yetakchi bilan birinchi uchrashuvdayoq tushirib yuborishi yoki finalgacha kuchsizroq jamoalar bilan uchrashuvlar o‘tkazilishini ta’minlab, ikkinchi o‘rinni egallashi mumkin. Subyektivlikka yo'l qo'ymaslik uchun qur'a tashlang. 8 ta jamoadan iborat turnir uchun eng kuchli ikki jamoaning finalda uchrashish ehtimoli 4/7 ga teng. Shunga ko'ra, 3/7 ehtimol bilan ikkinchi kuchli jamoa muddatidan avval turnirni tark etadi.
Mahsulot birliklarining har qanday o'lchovlarida (kaliper, mikrometr, ampermetr va boshqalar yordamida) xatolar mavjud. Tizimli xatolar mavjudligini aniqlash uchun xarakteristikalari ma'lum bo'lgan ishlab chiqarish birligini (masalan, standart namuna) takroriy o'lchashni amalga oshirish kerak. Shuni esda tutish kerakki, tizimli xatoga qo'shimcha ravishda tasodifiy xato ham mavjud.

Shu sababli, o'lchov natijalaridan tizimli xatolik bor yoki yo'qligini qanday aniqlash mumkinligi haqida savol tug'iladi. Agar keyingi o'lchov paytida olingan xato ijobiy yoki salbiy ekanligini ta'kidlasak, bu muammoni avvalgisiga qisqartirish mumkin. Haqiqatan ham, keling, o'lchovni tanga otish bilan, ijobiy xatoni - gerbni yo'qotish bilan, salbiyni - panjara bilan taqqoslaylik (shkalaning etarli miqdordagi bo'linishlari bilan nol xato deyarli hech qachon sodir bo'lmaydi). Keyin tizimli xatoning yo'qligini tekshirish tanga simmetriyasini tekshirishga teng.

Ushbu mulohazalarning maqsadi tizimli xatoning yo'qligini tekshirish muammosini tanga simmetriyasini tekshirish muammosiga qisqartirishdir. Yuqoridagi mulohazalar matematik statistikada "belgilar mezoni" deb ataladigan narsaga olib keladi.
"Belgi testi" - statistik test bo'lib, u namunaning p=1/2 parametri bilan binomial taqsimotga bo'ysunishi haqidagi nol gipotezani sinab ko'rish imkonini beradi. Belgilar testi mediananing berilgan qiymatga (xususan, nolga) tengligi haqidagi gipotezani, shuningdek ikkita bog'langan namunada siljishning yo'qligi (qayta ishlash effekti yo'q) gipotezasini tekshirish uchun parametrik bo'lmagan statistik test sifatida ishlatilishi mumkin. Shuningdek, u taqsimot simmetriyasi gipotezasini sinab ko'rish imkonini beradi, ammo buning uchun kuchliroq mezonlar mavjud - bitta namunali Wilcoxon testi va uning modifikatsiyalari.

Matematik statistika usullariga asoslangan texnologik jarayonlarni statistik tartibga solishda texnologik jarayonlarning buzilishini o'z vaqtida aniqlash va ularni sozlash va mahsulotlarning chiqarilishini oldini olish choralarini ko'rishga qaratilgan jarayonlarni statistik nazorat qilish qoidalari va rejalari ishlab chiqiladi. belgilangan talablarga javob bermaydi. Bu chora-tadbirlar ishlab chiqarish tannarxini va sifatsiz mahsulotlar yetkazib berishdan kelib chiqadigan yo‘qotishlarni kamaytirishga qaratilgan. Statistik qabul nazorati bilan, matematik statistika usullariga asoslangan holda, mahsulot partiyalaridan namunalarni tahlil qilish orqali sifat nazorati rejalari ishlab chiqiladi. Qiyinchilik qarorlar qabul qilishning ehtimollik-statistik modellarini to'g'ri qura olishda, ular asosida yuqorida qo'yilgan savollarga javob berish mumkin. Matematik statistikada buning uchun taxminiy modellar va gipotezalarni tekshirish usullari ishlab chiqilgan, xususan, nuqsonli ishlab chiqarish birliklarining ulushi ma'lum bir p0 soniga teng bo'lgan farazlar, masalan, p0 = 0,23.

Baholash vazifalari.
Bir qator boshqaruv, ishlab chiqarish, iqtisodiy, milliy iqtisodiy vaziyatlarda boshqa turdagi muammolar paydo bo'ladi - ehtimollik taqsimotining xususiyatlari va parametrlarini baholash muammolari.

Bir misolni ko'rib chiqing. Boshqaruvga N ta elektr lampalar partiyasi kelsin. Ushbu partiyadan n ta elektr lampalar namunasi tasodifiy tanlangan. Bir qator tabiiy savollar tug'iladi. Namuna elementlarini sinovdan o'tkazish natijalari bo'yicha elektr lampalarning o'rtacha ishlash muddatini qanday aniqlash mumkin va bu xarakteristikani qanday aniqlik bilan baholash mumkin? Kattaroq namuna olinsa, aniqlik qanday o'zgaradi? Elektr lampalarining kamida 90% T yoki undan ko'p soat davom etishini T soat nechada kafolatlash mumkin?

Faraz qilaylik, n ta elektr lampalar namunasini sinashda X elektr lampalar nosoz bo'lib chiqdi. Keyin quyidagi savollar tug'iladi. Partiyadagi nosoz elektr lampalarning D soni, D/N nuqsonlilik darajasi va boshqalar uchun qanday chegaralar belgilanishi mumkin?

Yoki texnologik jarayonlarning aniqligi va barqarorligini statistik tahlil qilishda nazorat qilinadigan parametrning o'rtacha qiymati va uning ko'rib chiqilayotgan jarayonda tarqalish darajasi kabi sifat ko'rsatkichlarini baholash kerak. Ehtimollar nazariyasiga ko'ra, tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati sifatida uning matematik kutilishidan, tarqalishning statistik xarakteristikasi sifatida dispersiya, standart og'ish yoki o'zgarish koeffitsientidan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Bu savol tug'iladi: namunaviy ma'lumotlardan ushbu statistik xususiyatlarni qanday baholash mumkin va buni qanday aniqlik bilan amalga oshirish mumkin? Shunga o'xshash misollar ko'p. Bu erda mahsulot sifatini statistik boshqarish sohasida qarorlar qabul qilishda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika ishlab chiqarishni boshqarishda qanday qo'llanilishi mumkinligini ko'rsatish muhim edi.

Ehtimoliy-statistik usullar va optimallashtirish. Optimallashtirish g'oyasi zamonaviy amaliy matematik statistika va boshqa statistik usullarga kiradi. Ya'ni, tajribalarni rejalashtirish usullari, statistik qabul qilishni nazorat qilish, texnologik jarayonlarni statistik nazorat qilish va boshqalar. Boshqa tomondan, qarorlar nazariyasidagi optimallashtirish formulalari, masalan, mahsulot sifatini optimallashtirishning amaliy nazariyasi va standart talablar, keng qo'llanilishini ta'minlaydi. ehtimollik-statistik usullar, birinchi navbatda amaliy matematik statistika.

Ishlab chiqarishni boshqarishda, xususan, mahsulot sifati va standart talablarini optimallashtirishda dastlabki bosqichda statistik usullarni qo'llash ayniqsa muhimdir. hayot davrasi mahsulotlar, ya'ni. eksperimental konstruktorlik ishlanmalarini ilmiy-tadqiqot tayyorlash bosqichida (mahsulotlarga istiqbolli talablarni ishlab chiqish, dastlabki loyiha, eksperimental loyihani ishlab chiqish uchun texnik topshiriqlar). Bu mahsulotning hayot aylanishining dastlabki bosqichida mavjud bo'lgan ma'lumotlarning cheklanganligi va kelajak uchun texnik imkoniyatlar va iqtisodiy vaziyatni bashorat qilish zarurati bilan bog'liq. Statistik usullar optimallashtirish muammosini hal qilishning barcha bosqichlarida - o'zgaruvchilarni masshtablashda, mahsulotlar va tizimlarning ishlashi uchun matematik modellarni ishlab chiqishda, texnik va iqtisodiy tajribalarni o'tkazishda va hokazolarda qo'llanilishi kerak.

Optimallashtirish masalalarida, shu jumladan mahsulot sifati va standart talablarini optimallashtirishda statistikaning barcha sohalaridan foydalaniladi. Ya'ni, tasodifiy o'zgaruvchilar statistikasi, ko'p o'lchovli statistik tahlil, tasodifiy jarayonlar va vaqt qatorlari statistikasi, sonli bo'lmagan xarakterdagi ob'ektlar statistikasi. Muayyan ma'lumotlarni tahlil qilish uchun statistik usulni tanlash tavsiyalarga muvofiq amalga oshirilishi kerak.

Xulosa.
DA
va hokazo.................

Tasodifiy hodisalar sohasidagi har bir tadqiqot har doim tajribaga, eksperimental ma'lumotlarga asoslangan. Har qanday ob'ektning har qanday xususiyatini o'rganishda to'plangan raqamli ma'lumotlar deyiladi statistik. Statistik ma'lumotlar tadqiqotning dastlabki materialidir. Ular ilmiy yoki amaliy ahamiyatga ega bo'lishi uchun matematik statistika usullari bilan qayta ishlanishi kerak.

Matematik statistika ilmiy fan boʻlib, uning predmeti massiv tasodifiy hodisalarni kuzatish natijasida olingan statistik eksperimental maʼlumotlarni qayd etish, tavsiflash va tahlil qilish usullarini ishlab chiqishdan iborat.

Matematik statistikaning asosiy vazifalari:

tasodifiy miqdor yoki tasodifiy miqdorlar tizimining taqsimlanish qonunini aniqlash;

gipotezalarning ishonchliligini tekshirish;

noma'lum taqsimot parametrlarini aniqlash.

Matematik statistikaning barcha usullari ehtimollar nazariyasiga asoslanadi. Biroq, echilayotgan masalalarning o'ziga xosligi tufayli matematik statistika ehtimollar nazariyasidan mustaqil sohaga ajratilgan. Agar ehtimollik nazariyasida hodisaning modeli berilgan deb hisoblansa va bu hodisaning mumkin bo'lgan real yo'nalishi hisoblansa (1-rasm), u holda matematik statistikada statistik ma'lumotlar asosida tegishli ehtimolli model tanlanadi (2-rasm). ).

1-rasm. Ehtimollar nazariyasining umumiy muammosi

2-rasm. Matematik statistikaning umumiy muammosi

Ilmiy fan sifatida matematik statistika ehtimollar nazariyasi bilan birga rivojlandi. Bu fanning matematik apparati 19-asrning ikkinchi yarmida qurilgan.

2. Umumiy populyatsiya va namuna.

Statistik usullarni o'rganish uchun umumiy va tanlanma populyatsiya tushunchalari kiritiladi. Umuman olganda, ostida umumiy aholi taqsimot funksiyasi bilan X tasodifiy miqdor tushuniladi
. Namuna to'plami yoki berilgan X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun n hajmli namuna to'plamdir
bu miqdorning mustaqil kuzatishlari, qaerda tanlanma qiymati yoki X tasodifiy o'zgaruvchining amalga oshirilishi deb ataladi. Shunday qilib, raqamlar sifatida (agar tajriba o'tkazilsa va namuna olingan bo'lsa) va tasodifiy o'zgaruvchilar (eksperimentdan oldin) sifatida ko'rib chiqilishi mumkin, chunki ular namunadan namunaga farq qiladi.

1-misol. Daraxt tanasi qalinligining balandligiga bog'liqligini aniqlash uchun 200 ta daraxt tanlangan. Bu holda tanlama hajmi n=200 ga teng.

2-misol Zarrachalar taxtalarini dumaloq arrada arralash natijasida aniq kesish ishining 15 qiymati olindi. Bu holda, n=15.

D
Namuna ma'lumotlariga ko'ra bizni qiziqtirgan umumiy aholining xususiyatini ishonchli tarzda baholash uchun namuna ob'ektlari uni to'g'ri aks ettirishi kerak, ya'ni namuna bo'lishi kerak. vakili(vakil). Tanlovning reprezentativligiga odatda ob'ektlarni tasodifiy tanlash yo'li bilan erishiladi: umumiy populyatsiyaning har bir ob'ekti boshqalar bilan birga tanlanmaga qo'shilishning teng ehtimoli bilan ta'minlanadi.