TASOSODIY QIYMATLAR

2.1-misol. Tasodifiy qiymat X taqsimlash funksiyasi bilan berilgan

Sinov natijasida yuzaga kelish ehtimolini toping X(2,5; 3,6) orasidagi qiymatlarni oladi.

Yechim: X oraliqda (2,5; 3,6) ikki usulda aniqlanishi mumkin:

2.2-misol. Parametrlarning qaysi qiymatlarida LEKIN va DA funktsiyasi F(x) = A + Be - x tasodifiy o'zgaruvchining manfiy bo'lmagan qiymatlari uchun taqsimlash funktsiyasi bo'lishi mumkin X.

Yechim: Tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari uchun X ga tegishli bo'lsa, u holda funksiya uchun taqsimot funksiyasi bo'lishi uchun X, mulk quyidagilarga ega bo'lishi kerak:

.

Javob: .

2.3-misol. X tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi bilan berilgan

To'rtta mustaqil sinov natijasida qiymatni topish ehtimolini toping X aniq 3 marta intervalga tegishli qiymatni oladi (0,25; 0,75).

Yechim: Qiymatga erishish ehtimoli X(0,25; 0,75) oraliqda quyidagi formula bilan topamiz:

2.4-misol. Bir otishda to'pning savatga tegish ehtimoli 0,3 ga teng. Uchta otishda urishlar sonini taqsimlash qonunini tuzing.

Yechim: Tasodifiy qiymat X- uchta otish bilan savatdagi zarbalar soni - qiymatlarni qabul qilishi mumkin: 0, 1, 2, 3. Bu ehtimolliklar X

X:

2.5-misol. Ikki otuvchi nishonga bittadan zarba beradi. Birinchi otishmaning uni urish ehtimoli 0,5, ikkinchisi - 0,4. Nishonga zarbalar sonini taqsimlash qonunini yozing.

Yechim: Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini toping X- nishonga zarbalar soni. Hodisa birinchi otuvchi tomonidan nishonga zarba bo'lsin va - ikkinchi otishma tomonidan uriladi va - mos ravishda, ularning o'tkazib yuborilgan.

SV ning ehtimollik taqsimoti qonunini tuzamiz X:

2.6-misol. Bir-biridan mustaqil ishlaydigan 3 ta element sinovdan o'tkaziladi. Vaqt davomiyligi (soatlarda) ish vaqti elementlarning taqsimlash zichligi funktsiyalari mavjud: birinchisi uchun: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, ikkinchisi uchun: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, uchinchisi uchun: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. 0 dan 5 soatgacha bo'lgan vaqt oralig'ida: faqat bitta elementning ishdan chiqishi ehtimolini toping; faqat ikkita element muvaffaqiyatsiz bo'ladi; barcha uch element muvaffaqiyatsizlikka uchraydi.

Yechim: Keling, ehtimollarning hosil qiluvchi funktsiyasi ta'rifidan foydalanamiz:

Mustaqil sinovlarda bo'lish ehtimoli, birinchisida voqea sodir bo'lish ehtimoli LEKIN ga teng, ikkinchisida va hokazo, hodisa LEKIN to'liq bir marta paydo bo'ladi, quvvatlarda hosil qiluvchi funktsiyani kengaytirishda at koeffitsientiga teng. 0 dan 5 soatgacha bo'lgan vaqt oralig'ida mos ravishda birinchi, ikkinchi va uchinchi elementlarning ishdan chiqishi va ishlamay qolish ehtimolini topamiz:

Keling, ishlab chiqaruvchi funktsiyani yarataylik:

at koeffitsienti voqea sodir bo'lish ehtimoliga teng LEKIN aniq uch marta paydo bo'ladi, ya'ni barcha uch elementning ishdan chiqishi ehtimoli; at koeffitsienti aynan ikkita elementning ishdan chiqishi ehtimoliga teng; at koeffitsienti faqat bitta elementning ishdan chiqishi ehtimoliga teng.

2.7-misol. Ehtimollik zichligi berilgan f(x) tasodifiy o'zgaruvchi X:

F(x) taqsimot funksiyasini toping.

Yechim: Biz formuladan foydalanamiz:

.

Shunday qilib, taqsimlash funktsiyasi quyidagi ko'rinishga ega:

2.8-misol. Qurilma uchta mustaqil ishlaydigan elementdan iborat. Har bir elementning bitta tajribada ishdan chiqish ehtimoli 0,1 ga teng. Bitta tajribada muvaffaqiyatsiz elementlar sonining taqsimlanish qonunini tuzing.

Yechim: Tasodifiy qiymat X- bitta tajribada muvaffaqiyatsizlikka uchragan elementlar soni - qiymatlarni qabul qilishi mumkin: 0, 1, 2, 3. Ehtimollar X bu qiymatlarni qabul qilsak, biz Bernulli formulasi bilan topamiz:

Shunday qilib, tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimotining quyidagi qonunini olamiz X:

2.9-misol. 6 ta qismdan iborat 4 ta standart qism mavjud. 3 ta element tasodifiy tanlab olindi. Standart qismlar sonining tanlanganlar orasida taqsimlanish qonunini tuzing.

Yechim: Tasodifiy qiymat X- tanlanganlar orasida standart qismlar soni - qiymatlarni qabul qilishi mumkin: 1, 2, 3 va gipergeometrik taqsimotga ega. Buning ehtimoli X

qayerda -- lotdagi qismlar soni;

-- lotdagi standart qismlar soni;

– tanlangan qismlar soni;

-- tanlanganlar orasida standart qismlar soni.

.

.

.

2.10-misol. Tasodifiy miqdor taqsimot zichligiga ega

qaerda va ma'lum emas, lekin , a va. Toping va .

Yechim: Ushbu holatda tasodifiy qiymat X oraliqda uchburchak taqsimotiga ega (Simpson taqsimoti) [ a, b]. Raqamli xarakteristikalar X:

Binobarin, . Qaror qabul qilish bu tizim, biz ikkita juft qiymatni olamiz: . Muammoning shartiga ko'ra, bizda nihoyat: .

Javob: .

2.11-misol. O'rtacha 10% shartnomalar uchun sug'urta kompaniyasi sug'urta hodisasi yuz berganligi munosabati bilan sug'urta summalarini to'laydi. Hisoblash kutilgan qiymat va to'rtta tasodifiy tanlangan shartnomalar orasida bunday shartnomalar sonining farqi.

Yechim: Matematik kutish va dispersiyani quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

.

SV ning mumkin bo'lgan qiymatlari (sug'urta hodisasi sodir bo'lgan shartnomalar soni (to'rttadan)): 0, 1, 2, 3, 4.

Biz Bernulli formulasidan sug'urta summalari to'langan turli xil shartnomalar (to'rttadan) ehtimolini hisoblash uchun foydalanamiz:

.

Rezyumeni tarqatish seriyasi (sug'urta hodisasi sodir bo'lgan shartnomalar soni) quyidagi shaklga ega:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Javob: , .

2.12-misol. Beshta atirgulning ikkitasi oq rangda. Bir vaqtning o'zida olingan ikkita oq atirgullar sonini ifodalovchi tasodifiy miqdor uchun taqsimot qonunini yozing.

Yechim: Ikki atirgul namunasida oq atirgul bo'lmasligi yoki bitta yoki ikkita oq atirgul bo'lishi mumkin. Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchi X qiymatlarni qabul qilishi mumkin: 0, 1, 2. Bu ehtimolliklar X bu qiymatlarni qabul qilsak, formula bo'yicha topamiz:

qayerda -- atirgullar soni;

-- oq atirgullar soni;

– bir vaqtning o'zida olingan atirgullar soni;

-- olinganlar orasida oq atirgullar soni.

.

.

.

U holda tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni quyidagicha bo'ladi:

2.13-misol. 15 ta yig'ilgan birlikdan 6 tasi qo'shimcha moylash kerak. Umumiy sondan tasodifiy tanlangan beshta qo'shimcha moylash kerak bo'lgan birliklar sonini taqsimlash qonunini tuzing.

Yechim: Tasodifiy qiymat X- tanlangan beshta orasida qo'shimcha moylash kerak bo'lgan birliklar soni - qiymatlarni olishi mumkin: 0, 1, 2, 3, 4, 5 va gipergeometrik taqsimotga ega. Buning ehtimoli X bu qiymatlarni qabul qilsak, formula bo'yicha topamiz:

qayerda -- yig'ilgan birliklar soni;

-- qo'shimcha moylashni talab qiladigan birliklar soni;

– tanlangan agregatlar soni;

-- tanlanganlar orasida qo'shimcha moylash kerak bo'lgan birliklar soni.

.

.

.

.

.

.

U holda tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni quyidagicha bo'ladi:

2.14-misol. Ta'mirlash uchun olingan 10 ta soatdan 7 tasi mexanizmni umumiy tozalashga muhtoj. Soatlar ta'mirlash turi bo'yicha tartiblanmagan. Tozalash kerak bo'lgan soatni topmoqchi bo'lgan usta ularni birma-bir tekshiradi va bunday soatni topib, keyingi ko'rishni to'xtatadi. Tomosha qilingan soatlar sonining matematik kutilishi va dispersiyasini toping.

Yechim: Tasodifiy qiymat X- tanlangan beshta orasida qo'shimcha moylash kerak bo'lgan birliklar soni - quyidagi qiymatlarni olishi mumkin: 1, 2, 3, 4. Ehtimollar X bu qiymatlarni qabul qilsak, formula bo'yicha topamiz:

.

.

.

.

U holda tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni quyidagicha bo'ladi:

Endi hisoblaylik raqamli xususiyatlar qadriyatlar:

Javob: , .

2.15-misol. Abonent o'ziga kerak bo'lgan telefon raqamining oxirgi raqamini unutgan, lekin u g'alati ekanligini eslaydi. Agar u oxirgi raqamni tasodifiy tersa va kelajakda terilgan raqamni termasa, kerakli raqamni urishdan oldin qilgan terishlar sonining matematik kutilishi va farqini toping.

Yechim: Tasodifiy o'zgaruvchi quyidagi qiymatlarni qabul qilishi mumkin: . Abonent kelajakda terilgan raqamni termaganligi sababli, bu qiymatlarning ehtimoli teng.

Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qatorini tuzamiz:

	0,2

Terishga urinishlar sonining matematik kutilishi va farqini hisoblaylik:

Javob: , .

2.16-misol. Seriyaning har bir qurilmasi uchun ishonchlilik sinovlari paytida muvaffaqiyatsizlik ehtimoli teng p. Agar sinovdan o'tgan bo'lsa, muvaffaqiyatsiz bo'lgan qurilmalar sonining matematik taxminini aniqlang N texnika.

Yechim: Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X - bu ishlamay qolgan qurilmalar soni N mustaqil testlar, ularning har birida muvaffaqiyatsizlik ehtimoli teng p, binomial qonun bo'yicha taqsimlanadi. Binom taqsimotining matematik kutilishi sinovlar soni va bitta sinovda sodir bo'ladigan hodisa ehtimoli ko'paytmasiga teng:

2.17-misol. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X 3 ta mumkin bo'lgan qiymatni oladi: ehtimollik bilan ; ehtimollik bilan va ehtimollik bilan. Topish va bilish M( X) = 8.

Yechim: Biz matematik kutishning ta'riflaridan va diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonunidan foydalanamiz:

Biz topamiz: .

2.18-misol. Texnik nazorat bo'limi mahsulotlarning standartligini tekshiradi. Ob'ektning standart bo'lish ehtimoli 0,9 ga teng. Har bir to'plamda 5 ta element mavjud. Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping X- har birida to'liq 4 ta standart mahsulot bo'lgan partiyalar soni, agar 50 ta partiya tekshirilishi kerak bo'lsa.

Yechim: Bunday holda, o'tkazilgan barcha tajribalar mustaqildir va har bir partiyada to'liq 4 ta standart mahsulot bo'lishi ehtimoli bir xil, shuning uchun matematik taxminni quyidagi formula bilan aniqlash mumkin:

,

partiyalar soni qayerda;

To'plamda aniq 4 ta standart element mavjudligi ehtimoli.

Bernulli formulasidan foydalanib, ehtimollikni topamiz:

Javob: .

2.19-misol. Tasodifiy kattalikning dispersiyasini toping X- voqea sodir bo'lgan holatlar soni A ikkita mustaqil sudda, agar ushbu sinovlarda hodisaning yuzaga kelish ehtimoli bir xil bo'lsa va ma'lum bo'lsa, M(X) = 0,9.

Yechim: Muammoni ikki yo'l bilan hal qilish mumkin.

1) mumkin bo'lgan CB qiymatlari X: 0, 1, 2. Bernulli formulasidan foydalanib, bu hodisalarning ehtimolini aniqlaymiz:

, , .

Keyin tarqatish qonuni X kabi ko'rinadi:

Matematik kutishning ta'rifidan biz ehtimollikni aniqlaymiz:

SW ning dispersiyasini topamiz X:

.

2) Siz formuladan foydalanishingiz mumkin:

.

Javob: .

2.20-misol. Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va standart og'ishi X mos ravishda 20 va 5. Test natijasida yuzaga kelish ehtimolini toping X(15; 25) oraliqdagi qiymatni oladi.

Yechim: Oddiy tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimoli X dan to kesimida Laplas funksiyasi bilan ifodalanadi:

2.21-misol. Funktsiya berilgan:

Parametrning qaysi qiymatida C bu funksiya ba'zi uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimlanish zichligi X? Tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini toping X.

Yechim: Funktsiya biron bir tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot zichligi bo'lishi uchun u manfiy bo'lmasligi va u xususiyatni qondirishi kerak:

.

Natijada:

Quyidagi formuladan foydalanib, matematik taxminni hisoblang:

.

Formula yordamida dispersiyani hisoblang:

T p. Ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini topish kerak.

Yechim: Diskret tasodifiy X ning taqsimlanish qonuni - mustaqil sinovlarda hodisaning sodir bo'lish soni, ularning har birida hodisaning yuzaga kelish ehtimoli binomial deyiladi. Binomiy taqsimotning matematik kutilishi sinovlar soni va bitta sinovda A hodisasining paydo bo'lish ehtimoli ko'paytmasiga teng:

.

2.25-misol. Nishonga uchta mustaqil o'q uziladi. Har bir zarbani urish ehtimoli 0,25 ga teng. Uchta zarba bilan urishlar sonining standart og'ishini aniqlang.

Yechim: Uchta mustaqil sinov o'tkazilganligi va har bir sinovda A hodisasining (urilish) yuzaga kelish ehtimoli bir xil bo'lganligi sababli, X diskret tasodifiy o'zgaruvchisi - nishonga zarbalar soni - binomial bo'yicha taqsimlangan deb faraz qilamiz. qonun.

Binomiy taqsimotning dispersiyasi sinovlar soni va bitta sinovda hodisaning paydo bo'lish va sodir bo'lmasligi ehtimoli ko'paytmasiga teng:

2.26-misol. 10 daqiqada sug'urta kompaniyasiga tashrif buyuradigan mijozlar soni o'rtacha uchta. Keyingi 5 daqiqada kamida bitta mijoz kelishi ehtimolini toping.

5 daqiqada kelgan mijozlarning o'rtacha soni: . .

2.29-misol. Protsessor navbatdagi ilovani kutish vaqti o'rtacha qiymati 20 soniya bo'lgan eksponensial taqsimot qonuniga bo'ysunadi. Keyingi (ixtiyoriy) so'rov protsessorni 35 soniyadan ko'proq kutish ehtimolini toping.

Yechim: Ushbu misolda, kutish , va muvaffaqiyatsizlik darajasi.

Keyin kerakli ehtimollik:

2.30-misol. Har biri 10 o'rinli 20 qatordan iborat zalda 15 nafar talabalar guruhi yig'ilish o'tkazadi. Har bir talaba tasodifiy tarzda zaldan joy oladi. Ketma-ket yettinchi o‘rinda uch kishidan ko‘p bo‘lmasligi ehtimoli qanday?

Yechim:

2.31-misol.

Keyin ehtimollikning klassik ta'rifiga ko'ra:

qayerda -- lotdagi qismlar soni;

-- lotdagi nostandart qismlar soni;

– tanlangan qismlar soni;

-- tanlanganlar orasida nostandart qismlar soni.

U holda tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo'ladi.

Ma'lumki, tasodifiy o'zgaruvchi vaziyatga qarab ma'lum qiymatlarni qabul qila oladigan o'zgaruvchi deyiladi. Tasodifiy o'zgaruvchilar lotin alifbosining bosh harflari (X, Y, Z) va ularning qiymatlari - tegishli kichik harflar (x, y, z) bilan belgilanadi. Tasodifiy o'zgaruvchilar uzluksiz (diskret) va uzluksiz bo'linadi.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi ma'lum nolga teng bo'lmagan ehtimolliklarga ega faqat chekli yoki cheksiz (hisoblanadigan) qiymatlar to'plamini oladigan tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi.

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini mos keladigan ehtimolliklari bilan bog'laydigan funksiya. Tarqatish qonuni quyidagi usullardan birida aniqlanishi mumkin.

1 . Taqsimot qonuni quyidagi jadvalda keltirilishi mumkin:

bu yerda l>0, k = 0, 1, 2, … .

ichida) yordamida F(x) taqsimot funksiyasi , bu har bir x qiymati uchun X tasodifiy o'zgaruvchisi x dan kichik qiymatni olish ehtimolini aniqlaydi, ya'ni. F(x) = P(X< x).

F(x) funksiyaning xossalari

3 . Tarqatish qonuni grafik tarzda o'rnatilishi mumkin – taqsimot ko‘pburchagi (ko‘pburchak) (3-masalaga qarang).

E'tibor bering, ba'zi muammolarni hal qilish uchun taqsimlash qonunini bilish shart emas. Ba'zi hollarda taqsimlash qonunining eng muhim xususiyatlarini aks ettiruvchi bir yoki bir nechta raqamlarni bilish kifoya. Bu tasodifiy miqdorning "o'rtacha qiymati" ma'nosiga ega bo'lgan raqam yoki tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatidan chetlanishining o'rtacha hajmini ko'rsatadigan raqam bo'lishi mumkin. Bunday turdagi raqamlar tasodifiy o'zgaruvchining raqamli xarakteristikalari deb ataladi.

Diskret tasodifiy miqdorning asosiy raqamli xarakteristikalari :

• Matematik kutish diskret tasodifiy miqdorning (o'rtacha qiymati). M(X)=S x i p i.
  Binom taqsimoti uchun M(X)=np, Puasson taqsimoti uchun M(X)=l
• Dispersiya diskret tasodifiy miqdor D(X)=M2 yoki D(X) = M(X 2) − 2. X–M(X) farqi tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan chetga chiqishi deyiladi.
  Binom taqsimoti uchun D(X)=npq, Puasson taqsimoti uchun D(X)=l
• Standart og'ish (standart og'ish) s(X)=√D(X).

“Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni” mavzusidagi masalalarni yechishga misollar.

Vazifa 1.

1000 ta lotereya chiptasi chiqarildi: ulardan 5 tasi 500 rubl, 10 tasi 100 rubl, 20 tasi 50 tasi, 50 tasi 10 tasi yutdi. X tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti qonunini aniqlang - chipta uchun yutuq.

Yechim. Muammoning shartiga ko'ra, X tasodifiy o'zgaruvchining quyidagi qiymatlari mumkin: 0, 10, 50, 100 va 500.

Yutuqsiz chiptalar soni 1000 - (5+10+20+50) = 915, keyin P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Xuddi shunday, biz boshqa barcha ehtimollarni topamiz: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X) =500) = 5/1000=0,005. Olingan qonunni jadval shaklida taqdim etamiz:

X ning matematik kutilmasini toping: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1) + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Vazifa 3.

Qurilma uchta mustaqil ishlaydigan elementdan iborat. Har bir elementning bitta tajribada ishdan chiqish ehtimoli 0,1 ga teng. Bitta tajribada bajarilmagan elementlar sonining taqsimot qonunini tuzing, taqsimot poligonini tuzing. F(x) taqsimot funksiyasini toping va grafigini chizing. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og‘ishini toping.

Yechim. 1. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X=(bitta tajribada muvaffaqiyatsiz elementlar soni) quyidagi mumkin bo'lgan qiymatlarga ega: x 1 =0 (qurilmaning hech bir elementi muvaffaqiyatsiz tugadi), x 2 =1 (bitta element muvaffaqiyatsiz), x 3 =2 ( ikkita element muvaffaqiyatsiz tugadi ) va x 4 \u003d 3 (uchta element muvaffaqiyatsiz).

Elementlarning nosozliklari bir-biridan mustaqil, har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli bir-biriga teng, shuning uchun u amal qiladi. Bernulli formulasi . n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 shartlarga ko‘ra, qiymatlarning ehtimolliklarini aniqlaymiz:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Tekshiring: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Shunday qilib, kerakli binomial taqsimot qonuni X quyidagi shaklga ega:

Abscissa o'qida biz mumkin bo'lgan qiymatlarni x i va ordinata o'qida mos keladigan r i ehtimolliklarini chizamiz. M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) nuqtalarni tuzamiz. Ushbu nuqtalarni chiziq segmentlari bilan bog'lab, biz kerakli taqsimot poligonini olamiz.

3. F(x) = P(X) taqsimot funksiyasini toping

x ≤ 0 uchun biz F(x) = P(X) ga egamiz<0) = 0;
0 uchun< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 uchun< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 uchun< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 uchun F(x) = 1 bo'ladi, chunki voqea aniq.

F(x) funksiya grafigi

4. X binomial taqsimot uchun:
- matematik kutish M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersiya D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standart og'ish s(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

1-mashq. Uzluksiz tasodifiy X ning taqsimlanish zichligi quyidagi shaklga ega:
Toping:
a) parametr A ;
b) taqsimot funksiyasi F(x) ;
c) intervalda X tasodifiy o'zgaruvchiga urilish ehtimoli;
d) matematik kutish MX va dispersiya DX .
f(x) va F(x) funksiyalarni chizing.

Vazifa 2. Integral funksiya tomonidan berilgan X tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.

Vazifa 3. Taqsimot funksiyasi berilgan X tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.

Vazifa 4. Ayrim tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi quyidagicha berilgan: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
A koeffitsientini, taqsimot funksiyasi F(x) ni, matematik kutish va dispersiyani, shuningdek tasodifiy o'zgaruvchining intervalda qiymat olish ehtimolini toping. f(x) va F(x) grafiklarni chizing.

Vazifa. Ba'zi uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimot funksiyasi quyidagicha berilgan:

a va b parametrlarini aniqlang, f(x) ehtimollik zichligi, matematik kutilma va dispersiya, shuningdek tasodifiy o'zgaruvchining intervalda qiymat olishi ehtimolligi ifodasini toping. f(x) va F(x) grafiklarni chizing.

Taqsimot funksiyasining hosilasi sifatida taqsimlanish zichligi funksiyasini topamiz.
F′=f(x)=a
a parametrini topishimizni bilib:

yoki 3a=1, bundan a = 1/3
Quyidagi xususiyatlardan b parametrini topamiz:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 buningdan b = -1/3
Demak, taqsimot funksiyasi: F(x) = (x-1)/3

Kutilgan qiymat.


Dispersiya.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Tasodifiy o'zgaruvchining intervalda qiymat olishi ehtimolligini toping
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

№1 misol. Uzluksiz X tasodifiy miqdorning f(x) ehtimollik taqsimot zichligi berilgan. Majburiy:

1. A koeffitsientini aniqlang.
2. F(x) taqsimot funksiyasini toping.
3. F(x) va f(x) ni sxematik tarzda tuzing.
4. X ning matematik kutilishi va dispersiyasini toping.
5. X ning (2;3) oraliqdan qiymat olishi ehtimolligini toping.

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Yechim:

X tasodifiy miqdor f(x) taqsimot zichligi bilan berilgan:

Shartdan A parametrini toping:



yoki
14/3*A-1=0
Qayerda,
A = 3/14

Tarqatish funktsiyasini formula bo'yicha topish mumkin.

………………………………………………………

An - X tasodifiy o'zgaruvchisi An qiymatini oldi.

Shubhasiz, hodisalar yig'indisi A1 A2, . , An - bu ma'lum bir hodisa, chunki tasodifiy o'zgaruvchi x1, x2, xn qiymatlaridan kamida bittasini oladi.

Demak, P (A1 È A2 È . È An) = 1.

Bundan tashqari, A1, A2, ., An hodisalari mos kelmaydi, chunki bitta tajribada tasodifiy o'zgaruvchi x1, x2, ., xn qiymatlaridan faqat bittasini olishi mumkin. Mos kelmaydigan hodisalar uchun qo'shish teoremasi orqali biz olamiz

P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,

ya'ni p1+p2+. +pn = 1 yoki qisqasi,

Shuning uchun X tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini beradigan 1-jadvalning ikkinchi qatorida joylashgan barcha sonlar yig'indisi bittaga teng bo'lishi kerak.

MISOL 1. X tasodifiy o'zgaruvchisi matritsa o'ralgan paytdagi nuqtalar soni bo'lsin. Tarqatish qonunini toping (jadval shaklida).

X tasodifiy o'zgaruvchisi qiymatlarni oladi

x1=1, x2=2, … , x6=6

ehtimollar bilan

p1= p2 = … = p6 =

Tarqatish qonuni jadvalda keltirilgan:

jadval 2

2-MISA. Binomiy taqsimot. X tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqaylik - A hodisaning bir qator mustaqil eksperimentlarda sodir bo'lish soni, ularning har birida A p ehtimollik bilan sodir bo'ladi.

X tasodifiy o'zgaruvchisi quyidagi qiymatlardan birini olishi mumkin:

0, 1, 2, ., k, ., n.

X tasodifiy o'zgaruvchining k ga teng qiymat olishidan iborat bo'lgan hodisaning ehtimolligi Bernulli formulasi bilan aniqlanadi:

Rn(k)= bu yerda q=1- r.

Tasodifiy miqdorning bunday taqsimoti binomial taqsimot yoki Bernulli taqsimoti deb ataladi. Bernoulli taqsimoti ikkita parametr bilan to'liq aniqlangan: barcha sinovlarning n soni va har bir alohida sinovda voqea sodir bo'lish ehtimoli p.

Binomiy taqsimotning sharti quyidagi shaklni oladi:

Bu tenglikning to'g'riligini isbotlash uchun uning o'ziga xosligi etarli

(q+px)n=

x = 1 qo'ying.

MISOL 3. Puasson taqsimoti. Bu shaklning ehtimollik taqsimotining nomi:

P(k)= .

U bitta (ijobiy) parametr a bilan aniqlanadi. Agar p tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, Puasson taqsimotiga ega bo'lsa, unda tegishli parametr a - bu tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati:

a=Ml=, bu erda M - matematik kutilma.

Tasodifiy o'zgaruvchi:

MISOL 4. eksponensial taqsimot.

Vaqt tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa, uni t bilan belgilaymiz, shunday qilib

qayerda 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

Tasodifiy t ning o'rtacha qiymati:

Tarqatish zichligi quyidagi shaklga ega:

4) Oddiy taqsimot

Mustaqil, bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsin va ruxsat bering Agar hadlar yetarlicha kichik bo‘lsa va n soni yetarlicha katta bo‘lsa, - agar n à ∞ uchun M tasodifiy o‘zgaruvchining matematik kutilishi va Dz dispersiyasi Dz=M(p–Ml)2 ga teng bo‘lsa, Ml~ a, Dl~s2, keyin

- normal yoki gauss taqsimoti

.

5) Geometrik taqsimot. Birinchi "muvaffaqiyat" dan oldingi sinovlar sonini belgilaymiz. Agar har bir sinov vaqt birligi davom etadi deb faraz qilsak, u holda biz birinchi "muvaffaqiyat" ga qadar kutish vaqti deb hisoblashimiz mumkin. Tarqatish quyidagicha ko'rinadi:

R(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) Gipergeometrik taqsimot.

N - ob'ektlar mavjud, ular orasida n - "maxsus ob'ektlar". Barcha ob'ektlar orasidan k-ob'ektlar tasodifiy tanlanadi. Tanlangan ob'ektlar orasida r - "maxsus ob'ektlar" ga teng bo'lish ehtimolini toping. Tarqatish quyidagicha ko'rinadi:

7) Paskal taqsimoti.

X - r-chi "muvaffaqiyat" kelishidan oldingi "muvaffaqiyatsizliklar"ning umumiy soni bo'lsin. Tarqatish quyidagicha ko'rinadi:

Tarqatish funktsiyasi quyidagi shaklga ega:

Teng ehtimolli taqsimot x tasodifiy o'zgaruvchisi bir xil ehtimollik bilan oraliqda istalgan qiymatni qabul qilishi mumkinligini anglatadi. Bunday holda, tarqatish zichligi sifatida hisoblanadi

Taqsimlash zichligi va taqsimot funksiyasi chizmalari quyida keltirilgan.

"Oq shovqin" tushunchasini tushuntirishdan oldin bir qator ta'riflarni berish kerak.

Tasodifiy funktsiya tasodifiy bo'lmagan t argumentining funktsiyasi bo'lib, u argumentning har bir belgilangan qiymati uchun tasodifiy o'zgaruvchidir. Masalan, agar U tasodifiy miqdor bo'lsa, X(t)=t2U funksiya tasodifiydir.

Tasodifiy funksiyaning kesimi tasodifiy funktsiya argumentining belgilangan qiymatiga mos keladigan tasodifiy o'zgaruvchidir. Shunday qilib, tasodifiy funktsiyani t parametriga qarab tasodifiy o'zgaruvchilar (X(t)) to'plami sifatida ko'rish mumkin.

Tarqatish zichligi ehtimolliklar X funksiyani chaqiring f(x) taqsimot funksiyasining birinchi hosilasidir F(x):

Tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot zichligi tushunchasi X diskret miqdor uchun qo'llanilmaydi.

Ehtimollik zichligi f(x) differensial taqsimot funksiyasi deyiladi:

Mulk 1. Tarqatish zichligi manfiy bo'lmagan qiymatdir:

Mulk 2. dan gacha bo'lgan oraliqdagi taqsimot zichligining noto'g'ri integrali birga teng:

1.25-misol. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan X:

f(x).

Yechim: Tarqatish zichligi taqsimot funktsiyasining birinchi hosilasiga teng:

1. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan X:

Tarqatish zichligini toping.

2. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan X:

Tarqatish zichligini toping f(x).

1.3. Uzluksiz tasodifiy sonli xarakteristikalar

miqdorlar

Kutilgan qiymat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X, mumkin bo'lgan qiymatlari butun o'qga tegishli Oh, tenglik bilan aniqlanadi:

Integral mutlaq yaqinlashadi deb faraz qilinadi.

a,b), keyin:

f(x) tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi.

Dispersiya uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X, mumkin bo'lgan qiymatlari butun o'qga tegishli bo'lib, tenglik bilan aniqlanadi:

Maxsus holat. Agar tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari intervalga tegishli bo'lsa ( a,b), keyin:

Buning ehtimoli X intervalga tegishli qiymatlarni oladi ( a,b), tenglik bilan aniqlanadi:

.

1.26-misol. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X

Matematik kutilma, dispersiya va tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimolini toping X oraliqda (0; 0,7).

Yechim: Tasodifiy miqdor (0,1) oraliqda taqsimlanadi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligini aniqlaymiz X:

a) Matematik kutish :

b) dispersiya

ichida)

Mustaqil ish uchun vazifalar:

1. Tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimlash funktsiyasi bilan berilgan:

M(x);

b) dispersiya D(x);

X oraliqda (2,3).

2. Tasodifiy qiymat X

Toping: a) matematik kutish M(x);

b) dispersiya D(x);

v) tasodifiy miqdorga tegish ehtimolini aniqlash X oraliqda (1; 1,5).

3. Tasodifiy qiymat X integral taqsimot funksiyasi bilan ifodalanadi:

Toping: a) matematik kutish M(x);

b) dispersiya D(x);

v) tasodifiy miqdorga tegish ehtimolini aniqlash X oraliqda.

1.4. Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunlari

1.4.1. Yagona taqsimlash

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X oraliqda bir xil taqsimotga ega [ a,b], agar ushbu segmentda tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti zichligi doimiy bo'lsa va tashqarida u nolga teng bo'lsa, ya'ni:

Guruch. to'rtta.

; ; .

1.27-misol. Ba'zi yo'nalishdagi avtobus 5 daqiqalik interval bilan bir tekis harakatlanadi. Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorning ehtimolini toping X- avtobusni kutish vaqti 3 daqiqadan kam bo'ladi.

Yechim: Tasodifiy qiymat X- intervalda bir tekis taqsimlangan.

Ehtimollik zichligi: .

Kutish vaqti 3 daqiqadan oshmasligi uchun yo'lovchi avtobus bekatiga oldingi avtobus jo'nab ketganidan keyin 2 dan 5 minutgacha yetib borishi kerak, ya'ni. tasodifiy qiymat X(2;5) oralig'iga to'g'ri kelishi kerak. Bu. Istalgan ehtimollik:

Mustaqil ish uchun vazifalar:

1. a) tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping X oraliqda bir tekis taqsimlangan (2; 8);

b) tasodifiy miqdorning dispersiyasi va standart chetlanishini toping X,(2;8) oraliqda bir tekis taqsimlangan.

2. Elektr soatining daqiqa ko‘rsatkichi har daqiqa oxirida sakrab turadi. Ma'lum bir daqiqada soat haqiqiy vaqtdan 20 soniyadan ko'p bo'lmagan farq qiladigan vaqtni ko'rsatishi ehtimolligini toping.

1.4.2. Eksponensial (eksponensial) taqsimot

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X Agar uning ehtimollik zichligi quyidagi shaklga ega bo'lsa, u eksponent ravishda taqsimlanadi:

ko'rsatkichli taqsimotning parametri qayerda.

Shunday qilib

Guruch. 5.

Raqamli xususiyatlar:

1.28-misol. Tasodifiy qiymat X- lampochkaning ish vaqti - eksponensial taqsimotga ega. Chiroqning o'rtacha ishlash muddati 400 soat bo'lsa, chiroqning kamida 600 soat davom etishi ehtimolini aniqlang.

Yechim: Muammoning shartiga ko'ra, tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi X 400 soatga teng, shuning uchun:

;

Istalgan ehtimollik, qaerda

Nihoyat:

Mustaqil ish uchun vazifalar:

1. Parametr bo'lsa, ko'rsatkich qonunining zichlik va taqsimot funksiyasini yozing.

2. Tasodifiy qiymat X

Kattalikning matematik kutilishi va dispersiyasini toping X.

3. Tasodifiy qiymat X ehtimollik taqsimoti funksiyasi bilan berilgan:

Tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va standart og'ishini toping.

1.4.3. Oddiy taqsimot

normal uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti deyiladi X, uning zichligi quyidagi shaklga ega:

qayerda a– matematik kutish, – standart og‘ish X.

Buning ehtimoli X intervalga tegishli qiymatni oladi:

, qayerda

Laplas funktsiyasidir.

O'z ichiga olgan tarqatish; , ya'ni. ehtimollik zichligi bilan standart deb ataladi.

Guruch. 6.

Og'ishning mutlaq qiymati musbat sondan kichik bo'lish ehtimoli:

.

Xususan, qachon a= 0 tengligi to'g'ri:

1.29-misol. Tasodifiy qiymat X normal taqsimlanadi. Standart og'ish. Tasodifiy miqdorning mutlaq qiymatdagi matematik kutilmasidan chetlanishi 0,3 dan kichik bo‘lish ehtimolini toping.

Yechim: .

Mustaqil ish uchun vazifalar:

1. Tasodifiy miqdorning normal taqsimlanishining ehtimollik zichligini yozing X, buni bilish M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va standart og'ishi X mos ravishda 20 va 5. Test natijasida yuzaga kelish ehtimolini toping X(15;20) oraliqdagi qiymatni oladi.

3. Tasodifiy o'lchash xatolar standart og'ish mm va matematik kutish bilan normal qonunga bo'ysunadi. a= 0. 3 ta mustaqil o‘lchovdan kamida bittasining xatosi absolyut qiymatda 4 mm dan oshmasligi ehtimolini toping.

4. Ayrim moddaning tortilishi tizimli xatolarsiz amalga oshiriladi. Tasodifiy tortish xatoliklari standart og'ish r bilan normal qonunga bo'ysunadi.Mutlaq qiymatda tortishning 10 g dan oshmagan xato bilan o'tkazilishi ehtimolini toping.