Haqiqiy bilim har doim namuna o'rnatishga va muayyan sharoitlarda uning to'g'riligini isbotlashga asoslangan. Mantiqiy mulohaza yuritishning bunday uzoq davri uchun qoidalarning formulalari berilgan va Aristotel hatto "to'g'ri fikrlash" ro'yxatini tuzgan. Tarixiy jihatdan barcha xulosalarni ikki turga bo'lish odatiy holdir - aniqdan ko'plikka (induksiya) va aksincha (deduksiya). Shuni ta'kidlash kerakki, dalilning xususiydan umumiyga va umumiydan xususiyga bo'lgan turlari faqat o'zaro bog'liqlikda mavjud bo'lib, ularni almashtirib bo'lmaydi.

Matematikada induksiya

"Induksiya" (induksiya) atamasi lotincha ildizlarga ega va so'zma-so'z tarjimada "yo'l-yo'riq" deb tarjima qilinadi. Yaqindan o'rganib chiqqach, so'zning tuzilishini, ya'ni lotincha prefiksi - in- (yo'naltirilgan harakatni ichkariga yoki ichkariga kirishni bildiradi) va -duction - kirishni ajratish mumkin. Shuni ta'kidlash kerakki, ikkita tur mavjud - to'liq va to'liq bo'lmagan induktsiya. To'liq shakl ma'lum bir sinfning barcha mavzularini o'rganishdan olingan xulosalar bilan tavsiflanadi.

To'liq bo'lmagan - sinfning barcha mavzulariga tegishli, ammo faqat ba'zi birliklarni o'rganish asosida tuzilgan xulosalar.

To'liq matematik induktsiya - bu funktsional bog'liqlik haqidagi bilimga asoslangan tabiiy raqamlar qatori munosabatlari bilan funktsional bog'liq bo'lgan har qanday ob'ektlarning butun sinfi to'g'risidagi umumiy xulosaga asoslangan xulosa. Bunday holda, isbotlash jarayoni uch bosqichda amalga oshiriladi:

• birinchi bosqichda matematik induksiya bayonining to'g'riligi isbotlanadi. Misol: f = 1, induksiya;
• keyingi bosqich pozitsiya barcha natural sonlar uchun amal qiladi degan taxminga asoslanadi. Ya'ni, f=h, bu induktiv taxmin;
• uchinchi bosqichda f=h+1 soni uchun pozitsiyaning to'g'riligi, oldingi bandning pozitsiyasining to'g'riligiga asoslangan holda isbotlanadi - bu induksiya o'tish yoki matematik induksiya bosqichidir. Misol, agar qatordagi birinchi suyak tushsa (asos), keyin qatordagi barcha suyaklar tushadi (o'tish).

Ham hazil, ham jiddiy

Idrok qilish qulayligi uchun matematik induksiya usuli bilan echimlar misollari hazil masalalari shaklida qoralanadi. Bu muloyim navbat vazifasi:

• Xulq-atvor qoidalari erkakning ayolning oldida burilishni taqiqlaydi (bunday vaziyatda u oldinga qo'yiladi). Ushbu bayonotga asoslanib, agar navbatdagi oxirgi odam erkak bo'lsa, qolganlarning hammasi erkaklardir.

Matematik induksiya usulining yorqin misoli "O'lchovsiz parvoz" muammosi:

• Mikroavtobusga istalgan miqdordagi odam sig'ishini isbotlash talab qilinadi. To'g'ri, bir kishi qiyinchiliksiz transport ichiga sig'ishi mumkin (asos). Ammo mikroavtobus qanchalik to'la bo'lmasin, unga 1 yo'lovchi doimo sig'adi (induksiya bosqichi).

tanish doiralar

Masalalar va tenglamalarni matematik induksiya yordamida yechish misollari juda keng tarqalgan. Ushbu yondashuvning misoli sifatida biz quyidagi muammoni ko'rib chiqishimiz mumkin.

Vaziyat: tekislikda h aylanalar joylashtiriladi. Raqamlarning har qanday joylashuvi uchun ular tomonidan tuzilgan xaritani ikkita rang bilan to'g'ri bo'yash mumkinligini isbotlash talab qilinadi.

Yechim: h=1 uchun gapning haqiqati ravshan, shuning uchun h+1 aylanalar soni uchun isbot quriladi.

Faraz qilaylik, bu gap har qanday xarita uchun to'g'ri va tekislikda h + 1 doiralar berilgan. Jami doiralardan birini olib tashlash orqali siz ikkita rang (qora va oq) bilan to'g'ri ranglangan xaritani olishingiz mumkin.

O'chirilgan doirani tiklashda har bir maydonning rangi teskarisiga o'zgaradi (bu holda, doira ichida). Ikki rangda to'g'ri bo'yalgan xarita paydo bo'ldi, buni isbotlash kerak edi.

Natural sonlar bilan misollar

Matematik induktsiya usulini qo'llash quyida aniq ko'rsatilgan.

Yechim misollari:

Har qanday h uchun tenglik to'g'ri bo'lishini isbotlang:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. h=1 bo‘lsin, u holda:

R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

Bundan kelib chiqadiki, h=1 uchun gap to'g'ri.

2. h=d deb faraz qilsak, quyidagi tenglama olinadi:

R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1

3. h=d+1 deb faraz qilsak, shunday chiqadi:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

Shunday qilib, h=d+1 uchun tenglikning haqqoniyligi isbotlangan, shuning uchun bu gap har qanday natural son uchun to‘g‘ri bo‘lib, u yechim misolida matematik induksiya yo‘li bilan ko‘rsatilgan.

Vazifa

Vaziyat: h ning istalgan qiymati uchun 7 h -1 ifoda 6 ga qoldiqsiz bo'linishini isbotlash talab qilinadi.

Yechim:

1. Bu holda h=1 deylik:

R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (ya'ni, qoldiqsiz 6 ga bo'lingan)

Shuning uchun h=1 uchun gap to'g'ri bo'ladi;

2. h=d va 7 d -1 6 ga qoldiqsiz bo'linsin;

3. h=d+1 uchun gapning to‘g‘riligini isboti formula hisoblanadi:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

Bunda birinchi had birinchi xatboshi faraziga ko’ra 6 ga bo’linadi, ikkinchi had 6 ga teng bo’ladi. 7 h -1 hech qanday natural h uchun qoldiqsiz 6 ga bo’linadi degan gap to’g’ri.

Hukmning noto'g'riligi

Ko'pincha, qo'llaniladigan mantiqiy konstruktsiyalarning noto'g'riligi sababli isbotlashda noto'g'ri fikrlash qo'llaniladi. Asosan, bu isbotning tuzilishi va mantig'i buzilganda sodir bo'ladi. Noto'g'ri fikrlashning misoli quyidagi rasmdir.

Vazifa

Vaziyat: har qanday tosh uyumi qoziq emasligini isbotlashni talab qiladi.

Yechim:

1. Aytaylik, h=1, bu holda qoziqda 1 ta tosh bor va gap to'g'ri (asos);

2. h=d uchun tosh uyumi qoziq emasligi to'g'ri bo'lsin (taxmin);

3. h=d+1 bo'lsin, bundan kelib chiqadiki, yana bitta tosh qo'shilsa, to'plam uyum bo'lmaydi. Xulosa shuni ko'rsatadiki, bu taxmin barcha tabiiy h uchun haqiqiydir.

Xato shundaki, qancha toshlar qoziq hosil qilishi haqida hech qanday ta'rif yo'q. Bunday o'tkazib yuborish matematik induksiya usulida shoshilinch umumlashtirish deb ataladi. Bir misol buni yaqqol ko'rsatadi.

Induksiya va mantiq qonunlari

Tarixiy jihatdan ular doimo "qo'l-qo'l bilan yurishadi". Mantiq, falsafa kabi ilmiy fanlar ularni qarama-qarshilik shaklida tasvirlaydi.

Mantiq qonuni nuqtai nazaridan, induktiv ta'riflarda faktlarga tayanish ko'rinadi va binolarning to'g'riligi natijaviy bayonotning to'g'riligini aniqlamaydi. Ko'pincha xulosalar ma'lum darajada ehtimollik va ishonchlilik bilan olinadi, bu, albatta, qo'shimcha tadqiqotlar bilan tasdiqlanishi va tasdiqlanishi kerak. Mantiqdagi induksiya misoli quyidagi bayonot bo'lishi mumkin:

Estoniyada qurg'oqchilik, Latviyada qurg'oqchilik, Litvada qurg'oqchilik.

Estoniya, Latviya va Litva Boltiqbo'yi davlatlari. Barcha Boltiqbo'yi davlatlarida qurg'oqchilik.

Misoldan xulosa qilishimiz mumkinki, induksiya usuli yordamida yangi ma'lumot yoki haqiqatni olish mumkin emas. Hisoblash mumkin bo'lgan yagona narsa - bu xulosalarning mumkin bo'lgan haqiqati. Bundan tashqari, binolarning haqiqati bir xil xulosalarga kafolat bermaydi. Biroq, bu fakt deduksiyaning orqa hovlisida induksiya o'simliklari borligini anglatmaydi: induktsiya usuli yordamida juda ko'p qoidalar va ilmiy qonunlar asoslanadi. Bunga matematika, biologiya va boshqa fanlar misol bo'la oladi. Bu, asosan, to'liq induktsiya usuli bilan bog'liq, lekin ba'zi hollarda qisman ham qo'llaniladi.

Induksiyaning hurmatli yoshi unga inson faoliyatining deyarli barcha sohalariga kirib borishga imkon berdi - bu fan, iqtisodiyot va kundalik xulosalar.

Ilmiy muhitda induksiya

Induksiya usuli ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'lishni talab qiladi, chunki juda ko'p narsa o'rganilayotgan barcha tafsilotlar soniga bog'liq: nima Ko'proq o'rganilgan bo'lsa, natija shunchalik ishonchli bo'ladi. Bu xususiyatdan kelib chiqqan holda, induksiya usuli bilan olingan ilmiy qonuniyatlar barcha mumkin bo'lgan strukturaviy elementlar, bog'lanishlar va ta'sirlarni ajratib olish va o'rganish uchun ehtimollik taxminlari darajasida etarlicha uzoq vaqt davomida sinovdan o'tkaziladi.

Fanda induktiv xulosaga asoslanadi muhim xususiyatlar, bundan mustasno tasodifiy pozitsiyalar. Bu fakt o'ziga xoslik bilan bog'liq holda muhimdir ilmiy bilim. Bu fandagi induksiya misollarida yaqqol ko‘rinadi.

Ilmiy dunyoda induksiyaning ikki turi mavjud (o'rganish usuli bilan bog'liq holda):

1. induksiya-tanlash (yoki tanlash);
2. induksiya - istisno qilish (yo'q qilish).

Birinchi tur sinfni (kichik sinflarni) uning turli sohalaridan uslubiy (sinf) tanlab olish bilan ajralib turadi.

Bunday induksiyaning misoli quyidagicha: kumush (yoki kumush tuzlari) suvni tozalaydi. Xulosa uzoq muddatli kuzatishlarga asoslanadi (tasdiqlash va rad etishning bir turi - tanlash).

Induksiyaning ikkinchi turi xulosalarga asoslanadi nedensellik va uning xususiyatlariga mos kelmaydigan holatlar, ya'ni universallik, vaqtinchalik ketma-ketlikka rioya qilish, zarurat va noaniqlik bundan mustasno.

Falsafa nuqtai nazaridan induksiya va deduksiya

Agar tarixiy retrospektivga nazar tashlasangiz, “induksiya” atamasi birinchi marta Sokrat tomonidan tilga olingan. Aristotel falsafadagi induksiya misollarini ko'proq taxminiy terminologik lug'atda tasvirlab bergan, ammo to'liq bo'lmagan induksiya masalasi ochiqligicha qolmoqda. Aristotel sillogizmi ta'qib qilingandan so'ng, induktiv usul tabiiy fanda samarali va yagona mumkin bo'lgan usul sifatida tan olindi. Bekon mustaqil maxsus usul sifatida induksiyaning otasi hisoblanadi, lekin u zamondoshlari talab qilganidek, induksiyani deduktiv usuldan ajrata olmadi.

Induksiyaning keyingi rivojlanishini J.Mill amalga oshirdi, u induksiya nazariyasini to‘rtta asosiy usul: kelishik, farq, qoldiq va tegishli o‘zgarishlar nuqtai nazaridan ko‘rib chiqdi. Bugungi kunda sanab o'tilgan usullar batafsil ko'rib chiqilsa, deduktiv bo'lishi ajablanarli emas.

Bekon va Mill nazariyalarining muvaffaqiyatsizligini anglash olimlarni o'rganishga olib keldi ehtimollik asosi induksiya. Biroq, bu erda ham ba'zi haddan tashqari holatlar mavjud edi: ehtimollik nazariyasiga induksiyani barcha oqibatlar bilan kamaytirishga urinishlar qilindi.

Induksiya ma'lum fan sohalarida amaliy qo'llashda va induktiv asosning metrik aniqligi tufayli ishonch ovozini oladi. Falsafada induksiya va deduksiyaga “Qonun” misol bo‘la oladi tortishish kuchi. Qonun kashf etilgan paytda Nyuton uni 4 foiz aniqlik bilan tekshirishga muvaffaq bo'ldi. Va ikki yuz yildan ko'proq vaqt o'tgandan so'ng, tekshirish bir xil induktiv umumlashtirishlar bilan amalga oshirilgan bo'lsa-da, to'g'rilik 0,0001 foiz aniqlik bilan tasdiqlandi.

Zamonaviy falsafa deduksiyaga ko'proq e'tibor beradi, bu tajribaga, sezgiga murojaat qilmasdan, balki "sof" fikrlashdan foydalanib, allaqachon ma'lum bo'lgan narsadan yangi bilim (yoki haqiqat) olish mantiqiy istagi bilan belgilanadi. Deduktiv usulda haqiqiy binolarga murojaat qilganda, barcha hollarda chiqish haqiqiy bayonotdir.

Bu juda muhim xususiyat induktiv usulning qiymatini soya qilmasligi kerak. Tajriba yutuqlariga asoslangan induksiya ham uni qayta ishlash vositasiga (shu jumladan umumlashtirish va tizimlashtirish) aylanadi.

Induksiyaning iqtisodiyotda qo‘llanilishi

Induksiya va deduksiya uzoq vaqtdan beri iqtisodiyotni o‘rganish va uning rivojlanishini bashorat qilish usullari sifatida qo‘llanilgan.

Induksiya usulidan foydalanish doirasi ancha keng: prognoz ko'rsatkichlari (foyda, amortizatsiya va boshqalar) bajarilishini o'rganish va korxona holatini umumiy baholash; faktlar va ularning munosabatlariga asoslangan samarali korxonani ilgari surish siyosatini shakllantirish.

Xuddi shu induksiya usuli Shewhart grafiklarida qo'llaniladi, bu erda jarayonlar boshqariladigan va boshqarilmaydiganlarga bo'linadi, degan faraz ostida boshqariladigan jarayonning ramkasi faol emasligi ko'rsatilgan.

Shuni ta'kidlash kerakki, ilmiy qonunlar induksiya usuli yordamida asoslanadi va tasdiqlanadi va iqtisodiyot ko'pincha matematik tahlil, tavakkalchilik nazariyasi va statistik ma'lumotlardan foydalanadigan fan bo'lganligi sababli, induktsiya asosiy qonunlar ro'yxatiga kiritilganligi ajablanarli emas. usullari.

Quyidagi holat iqtisodiyotda induksiya va deduksiyaga misol bo‘la oladi. Oziq-ovqat (iste'mol savatchasidan) va zaruriy tovarlar narxining oshishi iste'molchini davlatda paydo bo'ladigan yuqori narx (induksiya) haqida o'ylashga undaydi. Shu bilan birga, yordami bilan yuqori narxdan matematik usullar alohida tovarlar yoki tovarlar toifalari (chegirma) bo'yicha narxlarning o'sishi ko'rsatkichlarini olish mumkin.

Ko'pincha boshqaruv xodimlari, menejerlar va iqtisodchilar induksiya usuliga murojaat qilishadi. Korxonaning rivojlanishini, bozor xatti-harakatlarini va raqobat oqibatlarini etarlicha haqiqat bilan bashorat qilish uchun ma'lumotlarni tahlil qilish va qayta ishlashga induktiv-deduktiv yondashuv zarur.

Iqtisodiyotda noto'g'ri hukmlarga ishora qiluvchi induksiyaning yorqin misoli:

• kompaniyaning foydasi 30% ga kamaydi;
  raqobatchi mahsulot qatorini kengaytirdi;
  boshqa hech narsa o'zgarmadi;
• raqobatchi kompaniyaning ishlab chiqarish siyosati foydaning 30% ga qisqarishiga olib keldi;
• shuning uchun bir xil ishlab chiqarish siyosatini amalga oshirish kerak.

Misol, induksiya usulidan noto'g'ri foydalanish korxonaning vayron bo'lishiga qanday hissa qo'shishining rangli tasviridir.

Psixologiyada deduksiya va induksiya

Usul mavjud bo'lgani uchun, mantiqan, to'g'ri tashkil etilgan fikrlash ham mavjud (usuldan foydalanish uchun). Psixologiya psixik jarayonlarni, ularning shakllanishi, rivojlanishi, munosabatlari, o'zaro ta'sirini o'rganuvchi fan sifatida deduksiya va induksiyaning namoyon bo'lish shakllaridan biri sifatida "deduktiv" tafakkurga e'tibor beradi. Afsuski, Internetdagi psixologiya sahifalarida deduktiv-induktiv usulning yaxlitligi uchun amalda hech qanday asos yo'q. Garchi professional psixologlar induksiyaning namoyon bo'lishiga, aniqrog'i, noto'g'ri xulosalarga duch kelishlari mumkin.

Psixologiyadagi induksiyaning misoli, noto'g'ri hukmlarning misoli sifatida, quyidagi bayonotdir: onam yolg'onchi, shuning uchun barcha ayollar yolg'onchidir. Hayotdan induksiyaning "noto'g'ri" misollari ham bor:

• Agar matematikadan o'rtacha ball olgan talaba hech narsaga qodir emas;
• u ahmoq;
• u aqlli;
• Men hamma narsani qila olaman;

Va mutlaqo tasodifiy va ba'zan ahamiyatsiz xabarlarga asoslangan boshqa ko'plab baholar.

Shuni ta'kidlash kerakki: insonning hukmlarining noto'g'riligi bema'nilik darajasiga yetganda, psixoterapevt uchun ish jabhasi paydo bo'ladi. Mutaxassisning qabuliga kirishning bir misoli:

"Bemor har qanday ko'rinishda qizil rang uning uchun faqat xavf tug'dirishiga mutlaqo amin. Natijada, inson bu rang sxemasini hayotidan chiqarib tashladi - iloji boricha. Uyda imkoniyatlar qulay yashash juda ko'p. Siz barcha qizil narsalarni rad qilishingiz yoki ularni boshqa rang sxemasida tayyorlangan analoglar bilan almashtirishingiz mumkin. Ammo jamoat joylarida, ishda, do'konda - bu mumkin emas. Stress holatiga tushib qolgan bemor har safar butunlay boshqacha "to'lqin" ni boshdan kechiradi hissiy holatlar boshqalar uchun xavf tug'dirishi mumkin."

Induksiyaning bu misoli va ongsiz ravishda "sobit g'oyalar" deb ataladi. Agar bu ruhiy jihatdan sog'lom odam bilan sodir bo'lsa, biz tashkilotning etishmasligi haqida gapirishimiz mumkin aqliy faoliyat. Deduktiv fikrlashning elementar rivojlanishi obsesif holatlardan xalos bo'lish usuliga aylanishi mumkin. Boshqa hollarda psixiatrlar bunday bemorlar bilan ishlaydi.

Induksiyaning yuqoridagi misollari shuni ko'rsatadiki, "qonunni bilmaslik oqibatlardan (noto'g'ri hukmlardan) ozod qilmaydi".

Deduktiv fikrlash mavzusida ishlaydigan psixologlar odamlarga ushbu usulni o'zlashtirishga yordam beradigan tavsiyalar ro'yxatini tuzdilar.

Birinchi qadam muammoni hal qilishdir. Ko'rinib turibdiki, matematikada qo'llaniladigan induksiya shaklini "klassik" deb hisoblash mumkin va bu usuldan foydalanish ongni "tartibga solish" ga yordam beradi.

Deduktiv fikrlashni rivojlantirishning navbatdagi sharti ufqlarni kengaytirishdir (aniq fikrlaydiganlar, aniq aytadilar). Bu tavsiyanoma “azob”ni ilm-fan va axborot xazinasiga (kutubxonalar, veb-saytlar, ta’lim tashabbuslari, sayohatlar va boshqalar) yo‘naltiradi.

Alohida-alohida, "psixologik induksiya" deb ataladigan narsalarni eslatib o'tish kerak. Bu atama, kamdan-kam bo'lsa-da, Internetda topish mumkin. Barcha manbalar ushbu atamaning hech bo'lmaganda qisqacha ta'rifini bermaydi, balki "hayotdan misollar" ga murojaat qiladi, shu bilan birga taklifni, ruhiy kasallikning ayrim shakllarini yoki inson psixikasining ekstremal holatlarini induksiyaning yangi turi sifatida taqdim etadi. Yuqorida aytilganlarning barchasidan ko'rinib turibdiki, noto'g'ri (ko'pincha noto'g'ri) binolarga asoslangan "yangi atama" ni chiqarishga urinish eksperimentatorni noto'g'ri (yoki shoshqaloq) bayonot olishga majbur qiladi.

Shuni ta'kidlash kerakki, 1960 yildagi eksperimentlarga havola (o'tkaziladigan joy, eksperimentchilarning ismlari, sub'ektlarning namunasi va eng muhimi, eksperimentning maqsadi ko'rsatilmagan holda) yumshoq qilib aytganda, ishonchsiz ko'rinadi va bayonot miyaning barcha idrok a'zolarini chetlab o'tgan ma'lumotni idrok etishi (bu holda "tajribadan o'tgan" iborasi ko'proq organik tarzda mos keladi) odamni bayonot muallifining ishonchliligi va tanqidsizligi haqida o'ylashga majbur qiladi.

Xulosa o'rniga

Fanlar malikasi - matematika induksiya va deduksiya usulining barcha mumkin bo'lgan zaxiralaridan bejiz foydalanmaydi. Ko'rib chiqilgan misollar, hatto eng to'g'ri va ishonchli usullarni yuzaki va bema'ni (ular aytganidek, o'ylamasdan) qo'llash har doim noto'g'ri natijalarga olib keladi degan xulosaga kelishimizga imkon beradi.

Ommaviy ongda deduksiya usuli mashhur Sherlok Xolms bilan bog'liq bo'lib, u o'zining mantiqiy konstruktsiyalarida ko'pincha zarur vaziyatlarda deduksiyadan foydalangan holda induksiya misollaridan foydalanadi.

Maqolada ushbu usullarni inson hayotining turli fanlari va sohalarida qo'llash misollari ko'rib chiqildi.

MBOU "Texnik-iqtisodiy" litseyi

MATEMATIK INDUKSIYA USULI

MATEMATIK INDUKSIYA USULI.

IZOH

Metodik ishlab chiqish Matematik profilning 10-sinf o‘quvchilari uchun “Matematik induksiya usuli” tuzilgan.

Birlamchi maqsadlar: talabalarni matematik induksiya usuli bilan tanishtirish va uni turli masalalarni yechishda qo‘llashni o‘rgatish.

Uslubiy ishlanmada elementar matematika savollari ko'rib chiqiladi: bo'linish masalalari, o'ziga xosliklarni isbotlash, tengsizliklarni isbotlash, turli darajadagi murakkablikdagi masalalar, shu jumladan olimpiadalarda taklif qilinadigan masalalar.

Eksperimental fanlarda induktiv xulosalarning roli juda katta. Ular o'sha qoidalarni beradi, undan keyin chegirma yo'li bilan keyingi xulosalar chiqariladi. Ism Matematik induksiya usuli aldamchi - aslida bu usul deduktiv bo'lib, induksiya orqali taxmin qilingan gaplarni qat'iy isbotlaydi. Matematik induktsiya usuli matematikaning turli bo'limlari orasidagi bog'lanishlarni aniqlashga yordam beradi, o'quvchining matematik madaniyatini rivojlantirishga yordam beradi.

Matematik induksiya usulining ta'rifi. To'liq va to'liq bo'lmagan induksiya. Tengsizliklarni isbotlash. Shaxsni tasdiqlovchi hujjat. Bo‘linish masalalarini yechish. “Matematik induksiya usuli” mavzusiga oid turli masalalar yechish.

O'QITUVCHI ADABIYOT

1. M.L.Galitskiy. Chuqur o'rganish algebra va matematik tahlil kursi. - M. Ma'rifatparvar. 1986 yil.

2. L.I.Zvavich. Algebra va tahlilning boshlanishi. Didaktik materiallar. M. Drofa, 2001 yil.

3. N.Ya.Vilenkin. Algebra va matematik tahlil. M Ma'rifat. 1995 yil.

4. Yu.V.Mixeev. Matematik induksiya usuli. NGU.1995.

Talabalar uchun adabiyot

1. N.Ya.Vilenkin. Algebra va matematik tahlil. M Ma'rifat. 1995 yil.

2. Yu.V.Mixeev. Matematik induksiya usuli. NGU.1995.

KALİT SO'ZLAR

Induksiya, aksioma, matematik induksiya printsipi, to‘liq induksiya, to‘liqsiz induksiya, tasdiq, o‘ziga xoslik, tengsizlik, bo‘linuvchanlik.

MAVZUGA DIDAKTIK ILOVA

«MATEMATIK INDUKSIYA USULI».

№1 dars

Matematik induksiya usulining ta'rifi.

Matematik induksiya usuli yangi natijalarni topish va ilgari surilgan taxminlarning haqiqatini isbotlashning yuqori samarali usullaridan biridir. Garchi bu usul matematikada yangi bo'lmasa-da, unga bo'lgan qiziqish susaymaydi. Birinchi marta aniq taqdimotda matematik induksiya usuli 17-asrda taniqli frantsuz olimi Blez Paskal tomonidan sonli uchburchakning xususiyatlarini isbotlashda qo'llanilgan va keyinchalik uning nomi bilan atalgan. Biroq, matematik induksiya g'oyasi qadimgi yunonlarga ma'lum edi. Matematik induksiya usuli aksioma sifatida qabul qilingan matematik induksiya tamoyiliga asoslanadi. Biz matematik induksiya g'oyasini misollar bilan ko'rib chiqamiz.

№1 misol.

Kvadrat segment bilan ikki qismga bo'linadi, keyin hosil bo'lgan qismlardan biri ikki qismga bo'linadi va hokazo. Kvadrat necha qismga bo'linganligini aniqlang P qadamlar?

Yechim.

Birinchi qadamdan so'ng, biz shartga ko'ra 2 qismni olamiz. Ikkinchi bosqichda biz bir qismini o'zgarishsiz qoldiramiz, ikkinchisini esa 2 qismga bo'linib, 3 qismga ega bo'lamiz. Uchinchi bosqichda biz 2 qismni o'zgarishsiz qoldiramiz va uchinchisini ikki qismga ajratamiz va 4 qismni olamiz. To'rtinchi bosqichda biz 3 qismni o'zgarishsiz qoldiramiz va oxirgi qismini ikki qismga ajratamiz va 5 qismni olamiz. Beshinchi bosqichda biz 6 ta qismni olamiz. Taklif shu orqali amalga oshiriladi P qadamlarni olamiz (n+1) qismi. Ammo bu taklifni isbotlash kerak. Faraz qilaylik, bu orqali uchun kvadrat bosqichlarga bo'linadi (k+1) qismi. Keyin (k+1) qadam biz uchun qismlari o'zgarishsiz qoladi va (k+1) qismini ikki qismga bo'ling va oling (k+2) qismlar. E'tibor bergan bo'lasizki, siz o'zingiz xohlagancha shu tarzda bahslasha olasiz, infinitum. Ya'ni, bizning taxminimiz shunday P qadamlar kvadratga bo'linadi (n+1) qismi, isbotlanadi.

№2 misol.

Buvimning murabboni juda yaxshi ko'radigan, ayniqsa litrli bankadagi nabirasi bor edi. Ammo buvisi unga tegishiga ruxsat bermadi. Va nevaralar buvisini aldashga qaror qilishdi. U har kuni bu kavanozdan 1/10 litr eyishga va uni yaxshilab aralashtirib, suv bilan to'ldirishga qaror qildi. Agar murabbo suv bilan yarmida suyultirilganda ko'rinishi bir xil bo'lib qolsa, buvisi necha kundan keyin aldovni aniqlaydi?

Yechim.

Keyin bankada qancha toza murabbo qolishini toping P kunlar. Birinchi kundan keyin aralash 9/10 murabbo va 1/10 suvdan iborat kavanozda qoladi. Ikki kundan keyin suv va murabbo aralashmasining 1/10 qismi bankadan yo'qoladi va qoladi (1 litr aralashmada 9/10 litr murabbo, 1/10 litr aralashmada 9/100 litr murabbo)

9/10 - 9/100=81/100=(9/10) 2 litr murabbo. Uchinchi kuni idishdan 81/100 murabbo va 19/100 suvdan iborat 1/10 litr aralashma yo'qoladi. 1 litr aralashmada 81/100 litr murabbo, 1/10 litr aralashmada 81/1000 litr murabbo bor. 81/100 – 81/1000=

729/1000=(9/10) 3 litr murabbo 3 kundan keyin qoladi, qolgani esa suv bilan olinadi. Shakl paydo bo'ladi. orqali P bankda qolgan kunlar (9/10) P m murabbo. Ammo yana, bu bizning taxminimiz.

Mayli uchun ixtiyoriy natural sondir. Faraz qilaylik, bu orqali uchun bankda kun qoladi (9/10) l murabbo. Keling, bankda yana bir kunda nima bo'lishini ko'rib chiqaylik, ya'ni (k+1) kun. Bankdan yo'qoladi 1/10 l aralashmasi (9/10) uchun l murabbo va suv. DA 1l aralashmasi hisoblanadi (9/10) uchun l murabbo, ichida 1/10 l aralashmalar (9/10) k+1 l murabbo. Endi biz buni ishonch bilan aytishimiz mumkin P bankda kunlar qoldi (9/10) P l murabbo. 6 kun ichida bank bo'ladi 531444/1000000l murabbo, 7 kundan keyin - 4782969/10000000l murabbo, ya'ni yarmidan kam.

Javob: 7 kundan keyin buvisi yolg'onni aniqlaydi.

Keling, ko'rib chiqilayotgan muammolarni hal qilishda eng asosiylarini ajratib ko'rsatishga harakat qilaylik. Biz ularning har birini alohida yoki ular aytganidek, alohida ishlarni ko'rib chiqish orqali hal qila boshladik. Keyin kuzatishlarimiz asosida ba'zi taxminlar qildik P(n), tabiiyligiga qarab P.

da'vo tekshirildi, ya'ni isbotlandi P(1), P(2), P(3);

shuni taklif qildi P(n) uchun amal qiladi n=k va keyin u keyingi uchun amal qiladi degan xulosaga keldi n, n=k+1.

Va keyin ular shunday bahslashdilar: P(1) to'g'ri, P(2) to'g'ri, P(3) to'g'ri, P(4) to'g'ri ... bu to'g'ri P(n).

Matematik induksiya printsipi.

Bayonot P(n), tabiiyligiga qarab P, barcha tabiiylar uchun amal qiladi P, agar

1) da'voning haqiqiyligi n=1;

2) bayonotning haqiqiyligi haqidagi taxmindan P(n) da n=k kerak

adolat P(n) da n=k+1.

Matematikada matematik induksiya printsipi, qoida tariqasida, sonlarning natural qatorini belgilovchi aksiomalardan biri sifatida tanlanadi va shuning uchun isbotsiz qabul qilinadi. Matematik induksiya printsipi bilan isbotlash usuli odatda matematik induksiya usuli deb ataladi. E'tibor bering, bu usul teoremalarni, o'ziga xosliklarni, bo'linish masalalarini echishda tengsizliklarni va boshqa ko'plab masalalarni isbotlashda keng qo'llaniladi.

№2 dars

To'liq va to'liq bo'lmagan induksiya.

Matematik bayonot ob'ektlarning cheklangan soniga taalluqli bo'lsa, buni har bir ob'ektni tekshirish orqali isbotlash mumkin, masalan, "Har bir ikki xonali juft son ikkita tub sonning yig'indisidir". Cheklangan holatlar uchun bayonotni sinab ko'radigan isbotlash usuli to'liq matematik induksiya deb ataladi. Ushbu usul nisbatan kamdan-kam qo'llaniladi, chunki bayonotlar ko'pincha cheksiz to'plamlarda ko'rib chiqiladi. Masalan, “Har qanday juft son ikki tub sonning yig‘indisiga teng” teoremasi hozirgacha na isbotlangan, na inkor etilgan. Agar biz ushbu teoremani birinchi milliard uchun sinab ko'rsak ham, bu bizni isbotlashga bir qadam ham yaqinlashtirmaydi.

DA tabiiy fanlar to'liq bo'lmagan induksiyani qo'llash, tajribani bir necha marta tekshirish, natijani barcha holatlarga o'tkazish.

№3 misol

Natural sonlar kublari yig'indisi uchun to'liq bo'lmagan induksiya formulasidan foydalanib taxmin qiling.

Yechim.

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; …; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .

Isbot.

Bu haqiqat bo'lsin n=k.

Bu to'g'ri ekanligini isbotlaylik n=k+1.

Xulosa: natural sonlar kublari yig'indisi formulasi har qanday natural uchun to'g'ri keladi P.

4-misol

Tengliklarni ko'rib chiqing va bu misollar qanday umumiy qonunga olib kelishini taxmin qiling.

Yechim.

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

№5 misol

Yig'indi sifatida yozing quyidagi ifodalar:

1)
2)
3)
; 4)
.

Yunoncha "sigma" harfi.

№6 misol.

Belgi yordamida quyidagi yig‘indilarni yozing
:

2)

№7 misol.

Quyidagi iboralarni mahsulot sifatida yozing:

1)

3)
4)

8-misol.

Belgi yordamida quyidagi asarlarni yozing

(yunoncha bosh harf "pi")

1)
2)

№9 misol.

Polinomning qiymatini hisoblash f ( n )= n 2 + n +11 , da n=1,2,3,4.5,6,7 har qanday tabiiy uchun, deb taxmin qilish mumkinP raqam f ( n ) oddiy.

Bu taxmin to'g'rimi?

Yechim.

Agar har bir yig'indi raqamga bo'linadigan bo'lsa, yig'indi shu songa bo'linadi,
har qanday natural son uchun tub son emasP.

Cheklangan sonli holatlarni tahlil qilish matematikada muhim rol o'ynaydi: u yoki bu bayonotni isbotlamasdan, agar u hali ma'lum bo'lmasa, bu bayonotning to'g'ri shakllantirilishini taxmin qilishga yordam beradi. Sankt-Peterburg Fanlar akademiyasining a'zosi Goldbax ikkitadan boshlanadigan har qanday natural son uchtadan ko'p bo'lmagan tub sonlarning yig'indisi degan taxminga keldi.

№3 dars

Matematik induksiya usuli bizga turli xilliklarni isbotlash imkonini beradi.

№10 misol. Keling, buni hamma uchun isbotlaylik P identifikatsiya

Yechim.

Keling, qo'ying

Biz buni isbotlashimiz kerak

Keling, buni o'zlik haqiqatidan isbotlaylik

shaxsning haqiqati quyidagicha

Matematik induksiya printsipiga ko'ra, hamma uchun o'ziga xoslik haqiqati P.

№11 misol.

Keling, shaxsni isbotlaylik

Isbot.

muddatga tenglik.

;
. Demak, bu o'ziga xoslik hamma uchun to'g'riP .

Dars raqami 4.

Matematik induksiya orqali shaxsni isbotlash.

№12 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik

Isbot.

Matematik induktsiya tamoyilini qo'llagan holda, biz tenglik hamma uchun to'g'ri ekanligini isbotladik P.

№13 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik

Isbot.

Matematik induksiya printsipini qo'llagan holda, biz bu bayonot har qanday natural uchun to'g'ri ekanligini isbotladik P.

№14 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik

Isbot.

№15 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik

1) n=1;

2) uchun n=k tenglik

3) tenglik amal qilishini isbotlang n=k+1:

Xulosa: identifikatsiya har qanday tabiiy uchun amal qiladi P.

№16 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik

Isbot.

Agar a n=1 , keyin

Identifikatsiya uchun ruxsat bering n=k.

Keling, identifikatsiya tegishli ekanligini isbotlaylik n=k+1.

Keyin identifikatsiya har qanday tabiiy uchun amal qiladi P.

Dars raqami 5.

Matematik induksiya orqali shaxsni isbotlash.

№17 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik

Isbot.

Agar a n=2 , keyin biz to'g'ri tenglikni olamiz:

Tenglik to'g'ri bo'lsinn=k:

uchun da'voning to'g'riligini isbotlaylik n=k+1.

Matematik induksiya printsipiga ko'ra, o'ziga xoslik isbotlangan.

№18 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik
n≥2 uchun.

Da n=2 bu identifikatsiyani juda oddiy shaklda qayta yozish mumkin

va aniq haqiqat.

ruxsat bering n=k haqiqatan ham

.

uchun da'voning to'g'riligini isbotlaylikn=k+1, ya'ni tenglik bajariladi: .

Shunday qilib, biz o'ziga xoslik har qanday tabiiy uchun to'g'ri ekanligini isbotladik n≥2.

№19 misol. Keling, shaxsni isbotlaylik

Da n=1 to'g'ri tenglikni olamiz:

Faraz qilaylik, bu vaqtda n=k biz ham to'g'ri tenglikni olamiz:

uchun tenglikning haqiqiyligi kuzatilganligini isbotlaylik n=k+1:

Keyin identifikatsiya har qanday tabiiy uchun amal qiladi P.

Dars raqami 6.

Bo‘linish masalalarini yechish.

№20 misol. Matematik induksiya bilan isbotlang

tomonidan bo'linadi 6 izsiz.

Isbot.

Da n=1 ga bo'linish mavjud6 izsiz,
.

ruxsat bering n=k ifoda
bir nechta6.

Keling, buni qachon isbotlaylik n=k+1 ifoda
bir nechta6 .

Har bir atama ko'p sonli 6 , shuning uchun yig'indi ko'paytmasi 6 .

Misol raqami 21.
ustida5 izsiz.

Isbot.

Da n=1 ifoda bo'linishi mumkin
.

ruxsat bering n=k ifoda
ga ham ajratiladi5 izsiz.

Da n=k+1 tomonidan bo'linadi 5 .

22-misol. Ifodaning bo‘linuvchanligini isbotlang
ustida16.

Isbot.

Da n=1 bir nechta 16 .

ruxsat bering n=k
bir nechta16.

Da n=k+1

Barcha atamalar ga bo'linadi 16: birinchisi, shubhasiz, taxmin bo'yicha ikkinchi, uchinchisi esa qavs ichida juft raqamga ega.

23-misol. Bo‘linuvchanlikni isbotlang
ustida676.

Isbot.

Keling, avvalo buni isbotlaylik
tomonidan bo'linadi
.

Da n=0
.

ruxsat bering n=k
tomonidan bo'linadi26 .

Keyin soat n=k+1 tomonidan bo'linadi 26 .

Keling, masalaning shartida tuzilgan fikrni isbotlaylik.

Da n=1 tomonidan bo'linadi 676.

Da n=k bu haqiqat
tomonidan bo'linadi26 2 .

Da n=k+1 .

Ikkala atama ham ga bo'linadi 676 ; birinchisi, bo'linuvchanlikni isbotlaganimiz uchun 26 qavs ichidagi ifoda, ikkinchisi esa induktiv gipotezaga bo'linadi.

Dars raqami 7.

Bo‘linish masalalarini yechish.

Misol raqami 24.

Buni isbotlang
tomonidan bo'linadi5 izsiz.

Isbot.

Da n=1
tomonidan bo'linadi5.

Da n=k
tomonidan bo'linadi5 izsiz.

Da n=k+1 har bir atama ga bo'linadi5 izsiz.

№25 misol.

Buni isbotlang
tomonidan bo'linadi6 izsiz.

Isbot.

Da n=1
tomonidan bo'linadi6 izsiz.

ruxsat bering n=k
tomonidan bo'linadi6 izsiz.

Da n=k+1 tomonidan bo'linadi 6 qoldiq yo'q, chunki har bir atama ga bo'linadi6 qoldiqsiz: birinchi a'zo, induktiv taxmin bo'yicha, ikkinchi, aniq, uchinchi, chunki
juft son.

№26 misol.

Buni isbotlang
ga bo'linganda9 qolganini beradi 1 .

Isbot.

Keling, buni isbotlaylik
tomonidan bo'linadi9 .

Da n=1
tomonidan bo'linadi 9 . ruxsat bering n=k
tomonidan bo'linadi9 .

Da n=k+1 tomonidan bo'linadi 9 .

Misol raqami 27.

ga boʻlinishini isbotlang15 izsiz.

Isbot.

Da n=1 tomonidan bo'linadi 15 .

ruxsat bering n=k tomonidan bo'linadi 15 izsiz.

Da n=k+1

Birinchi atama ko'p sonli15 induksiya gipotezasiga ko'ra, ikkinchi a'zo ning karrali15 – aniqki, uchinchi atama ning karrali15 , chunki
bir nechta5 (21-misolda isbotlangan), to'rtinchi va beshinchi hadlar ham ko'paytiriladi5 , bu ochiq-oydin bo'lsa, yig'indi ko'paytiriladi15 .

Dars raqami 8-9.

Tengsizliklarni matematik induksiya orqali isbotlash

28-misol.
.

Da n=1 bizda ... bor
- to'g'ri.

ruxsat bering n=k
haqiqiy tengsizlikdir.

Da n=k+1

Shunda tengsizlik har qanday natural uchun amal qiladi P.

№29-misol. Tengsizlik haqiqat ekanligini isbotlang
har qanday uchun P.

Da n=1 to'g'ri tengsizlikni olamiz 4 >1.

ruxsat bering n=k tengsizlik
.

Keling, buni qachon isbotlaylik n=k+1 tengsizlik

Har qanday tabiiy uchun uchun tengsizlik kuzatiladi.

Agar a
da
keyin

№30 misol.

har qanday tabiiy uchun P va har qanday

Mayli n=1
, to'g'ri.

Faraz qilaylik, tengsizlik amal qiladi n=k:
.

Da n=k+1

Misol raqami 31. Tengsizlikning to‘g‘riligini isbotlang

har qanday tabiiy uchun P.

Keling, avvalo har qanday tabiiy uchun buni isbotlaylik t tengsizlik

Tengsizlikning ikkala tomonini ga ko'paytiring
. Ekvivalent tengsizlikni olamiz yoki
;
; - bu tengsizlik har qanday tabiiy uchun amal qiladi t.

Da n=1 asl tengsizlik haqiqatdir
;
;
.

Tengsizlik saqlanib qolsin n=k:
.

Da n=k+1

Dars raqami 10.

Mavzu bo'yicha muammolarni hal qilish

Matematik induksiya usuli.

№32 misol. Bernulli tengsizligini isbotlang.

Agar a
, keyin barcha tabiiy qadriyatlar uchunP tengsizlik

Isbot.

Da n=1 isbotlanayotgan tengsizlik shaklni oladi
va aniq to'g'ri. uchun to'g'ri deb faraz qilaylikn=k , ya'ni nima
.

Chunki shartga ko'ra
, keyin
, va shuning uchun tengsizlik uning ikkala qismiga ko'paytirilganda ham o'z ma'nosini o'zgartirmaydi
:

Chunki
, keyin biz buni olamiz

.

Demak, tengsizlik uchun to'g'ri n=1, va uning haqiqatidan da n=k shundan kelib chiqadiki, bu haqiqat va n=k+1. Demak, matematik induksiyaga ko'ra, u barcha tabiiy narsalar uchun amal qiladi P.

Masalan,

Misol raqami 33. Barcha tabiiy qadriyatlarni topingP , buning uchun tengsizlik

Yechim.

Da n=1 tengsizlik to'g'ri. Da n=2 tengsizlik ham haqiqatdir.

Da n=3 tengsizlik endi qanoatlanmaydi. Faqat qachon n=6 tengsizlik o'rinli bo'ladi, shuning uchun biz induksiya asosini olishimiz mumkin n=6.

Faraz qilaylik, tengsizlik ba'zi bir tabiiy uchun to'g'ri kimga:

Tengsizlikni ko'rib chiqing

Oxirgi tengsizlik, agar bajariladi
Nazorat ishi mavzu bo'yicha n=1 takroriy beriladi: n≥5 , bu yerda P- - natural son.

Savelyeva Yekaterina

Maqolada boʻlinish masalalarini yechishda, qatorlarni yigʻishtirishda matematik induksiya usulini qoʻllash koʻrib chiqiladi. Tengsizliklarni isbotlash va geometrik masalalarni yechishda matematik induksiya usulini qo‘llash misollari ko‘rib chiqiladi. Ish taqdimot bilan tasvirlangan.

Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:

Rossiya Federatsiyasi Fan va ta'lim vazirligi

Davlat ta'lim muassasasi

o'rtacha umumta'lim maktabi № 618

Dars: Algebra va analizning boshlanishi

Loyiha ish mavzusi

“Matematik induksiya usuli va uni masalalar yechishda qo‘llash”.

Ish tugallandi: Savelyeva E, 11B sinf

Nazoratchi : Makarova T.P., 618-sonli o'rta maktab matematika o'qituvchisi

1.Kirish.

2.Boʻlinuvchanlik masalalarini yechishda matematik induksiya usuli.

3. Matematik induksiya usulini qatorlar yig`indisiga qo`llash.

4. Tengsizliklarni isbotlashda matematik induksiya usulini qo‘llashga misollar.

5. Geometrik masalalarni yechishda matematik induksiya usulini qo‘llash.

6. Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati.

Kirish

Deduktiv va induktiv usullar har qanday matematik tadqiqotning asosi hisoblanadi. Mulohaza yuritishning deduktiv usuli - umumiydan xususiyga fikr yuritish, ya'ni. mulohaza yuritish, uning boshlanish nuqtasi umumiy natija, yakuniy nuqtasi esa xususiy natijadir. Induktsiya alohida natijalardan umumiy natijalarga o'tishda qo'llaniladi, ya'ni. deduktiv usulga qarama-qarshidir. Matematik induksiya usulini progress bilan solishtirish mumkin. Natijada, biz eng pastdan boshlaymiz mantiqiy fikrlash biz eng yuqori darajaga chiqamiz. Inson doimo taraqqiyotga, o'z tafakkurini mantiqiy rivojlantirish qobiliyatiga intilgan, demak, tabiatning o'zi uni induktiv fikrlashni tayinlagan. Matematik induktsiya usulini qo'llash sohasi o'sib ketgan bo'lsa-da, yilda maktab o'quv dasturi Unga oz vaqt beriladi, lekin induktiv fikrlay olish juda muhim. Masalalarni yechishda va teoremalarni isbotlashda bu tamoyilni qo‘llash maktab amaliyotida boshqa matematik tamoyillarni ko‘rib chiqish bilan bir qatorda bo‘ladi: chiqarib tashlangan o‘rta, inklyuziv-istisno, Dirixlet va boshqalar. Ushbu insho matematikaning turli sohalariga oid masalalarni o‘z ichiga oladi. asosiy vosita - matematik induksiyadan foydalanish usuli. Ushbu usulning ahamiyati haqida gapirganda, A.N. Kolmogorov ta'kidlaganidek, "matematik induksiya tamoyilini tushunish va qo'llash qobiliyati matematik uchun mutlaqo zarur bo'lgan etuklikning yaxshi mezoni". Keng ma'noda induksiya usuli shaxsiy kuzatishlardan universal, umumiy naqsh yoki umumiy formulaga o'tishdan iborat. Ushbu talqinda usul, albatta, har qanday eksperimental tabiatshunoslikda tadqiqot o'tkazishning asosiy usuli hisoblanadi.

inson faoliyati. Matematik induksiya usuli (prinsipi) eng oddiy shakldagi barcha natural sonlar uchun bayonotni isbotlash zarur bo'lganda qo'llaniladi.

Muammo 1. “Men qanday qilib matematik bo‘ldim” maqolasida A.N. Kolmogorov shunday deb yozadi: "Men matematik "kashfiyot" quvonchini erta o'rgandim, besh yoki olti yoshida naqshni payqadim.

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 \u003d Vt 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 va boshqalar.

Maktabda "Bahor qaldirg'ochlari" jurnali nashr etilgan. Unda mening kashfiyotim nashr etilgan ... "

Biz bu jurnalda qanday dalil berilganini bilmaymiz, lekin hammasi shaxsiy kuzatishlar bilan boshlandi. Ehtimol, bu qisman tengliklar kashf etilgandan keyin paydo bo'lgan gipotezaning o'zi formuladir

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2

har qanday berilgan raqam uchun to'g'ri n = 1, 2, 3, ...

Ushbu taxminni isbotlash uchun ikkita faktni aniqlash kifoya. Birinchidan, uchun n = 1 (va hatto n = uchun 2, 3, 4) kerakli gap rost. Ikkinchidan, bu bayonot to'g'ri deb faraz qilaylik n = k, va u uchun ham to'g'ri ekanligini tekshiring n = k + 1:

1 + 3 + 5+…+ (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k + I) 2 .

Demak, isbotlanayotgan da'vo barcha qiymatlar uchun to'g'ri n: n = uchun 1 bu haqiqat (bu tasdiqlangan) va ikkinchi fakt tufayli n = 2, n uchun qaerdan = 3 (bir xil ikkinchi fakt tufayli) va boshqalar.

Masala 2. Numerator 1 va har qanday (musbat butun) bo'lgan barcha mumkin bo'lgan oddiy kasrlarni ko'rib chiqing.

maxraj: buni har qanday uchun isbotlang n> 3 yig'indi sifatida ifodalanishi mumkin P bu turdagi turli fraktsiyalar.

Yechim, Keling, birinchi navbatda ushbu tasdiqni tekshirib ko'raylik n = 3; bizda ... bor:

Shunday qilib, asosiy da'vo qondiriladi

Aytaylik, bizni qiziqtirgan bayonot ba'zi raqamlar uchun to'g'ri uchun, va undan keyingi son uchun ham to'g'ri ekanligini isbotlang uchun + 1. Boshqacha qilib aytganda, vakillik bor deylik

unda k atamalar va barcha maxrajlar boshqacha. U holda dan yig'indi ko'rinishidagi birlikning ko'rinishini olish mumkinligini isbotlaylik uchun Kerakli turdagi + 1 kasr. Faraz qilamizki, kasrlar kamayib bormoqda, ya'ni maxrajlar (birlikni yig'indi bilan ifodalashda) uchun atamalar) chapdan o'ngga ko'paytiriladi t maxrajlarning eng kattasi hisoblanadi. Biz kerakli vakillikni summa shaklida olamiz(to + 1)-chi kasr, agar biz bir kasrni, masalan, oxirgi qismini ikkiga ajratsak. Buni qilish mumkin, chunki

Va shuning uchun

Bundan tashqari, barcha kasrlar har xil bo'lib qoladi, chunki t eng katta maxraj edi, va t + 1 > t, va

m(t + 1) > m.

Shunday qilib, biz aniqladik:

1. n = uchun 3 bu gap to'g'ri;

1. agar bizni qiziqtirgan bayonot to'g'ri bo'lsa uchun,
   keyin uchun ham to'g'ri+ 1 gacha.

Shu asosda, ko'rib chiqilayotgan bayonot uchtadan boshlab barcha natural sonlar uchun to'g'ri ekanligini ta'kidlashimiz mumkin. Bundan tashqari, yuqoridagi dalil birlikning kerakli qismini topish algoritmini ham nazarda tutadi. (Bu qanday algoritm? 1 raqamini o‘zingiz 4, 5, 7 ta hadlarning yig‘indisi sifatida tasavvur qiling.)

Oldingi ikkita muammoni hal qilishda ikkita qadam qo'yildi. Birinchi qadam deyiladi asos induksiya, ikkinchisiinduktiv o'tishyoki induksiya bosqichi. Ikkinchi bosqich eng muhimi bo'lib, u taxminni o'z ichiga oladi (bayonot to'g'ri n = k) va xulosa (bayonot uchun to'g'ri n = k + 1). p parametrining o'zi chaqiriladi induksiya parametri.Ushbu mantiqiy sxema (qurilma) ko'rib chiqilayotgan bayonot barcha natural sonlar uchun (yoki hamma uchun, ba'zilaridan boshlab) to'g'ri degan xulosaga kelishga imkon beradi, chunki asos ham, o'tish ham haqiqiydir.Matematik induksiya printsipi, qaysi ustiga va matematik induksiya usuliga asoslanadi."Induksiya" atamasining o'zi lotincha so'zdan kelib chiqqan induksiya (yo'l-yo'riq), bu yagona bilimdan o'tishni anglatadi individual mavzular bilishning asosiy usullaridan biri bo'lgan ushbu sinfning barcha ob'ektlari haqida umumiy xulosaga.

Matematik induktsiyaning odatiy ko'rinishidagi ikki bosqichli printsipi birinchi marta 1654 yilda Blez Paskalning "Arifmetik uchburchak to'g'risida" risolasida paydo bo'lgan, unda kombinatsiyalar sonini (binomial koeffitsientlarni) hisoblashning oddiy usuli induksiya orqali isbotlangan. D. Poya kitobda B. Paskaldan iqtibos keltirgan kichik o‘zgarishlar bilan kvadrat qavs ichida berilgan:

“Ko'rib chiqilayotgan taklif [binomial koeffitsientlar uchun aniq formula] cheksiz ko'p maxsus holatlarni o'z ichiga olganiga qaramay, men ikkita lemmaga asoslangan holda buning uchun juda qisqa dalil keltiraman.

Birinchi lemmada taxminning asos uchun to'g'ri ekanligi aytiladi - bu aniq. [Da P = 1 aniq formula amal qiladi...]

Ikkinchi lemmada quyidagilar ko'rsatilgan: agar bizning taxminimiz ixtiyoriy asos uchun [ixtiyoriy r uchun] to'g'ri bo'lsa, u quyidagi asos uchun [uchun] to'g'ri bo'ladi. n + 1].

Ushbu ikki lemma barcha qiymatlar uchun taklifning haqiqiyligini bildiradi P. Darhaqiqat, birinchi lemmaga ko'ra, u uchun amal qiladi P = 1; shuning uchun ikkinchi lemma tufayli u uchun amal qiladi P = 2; shuning uchun yana ikkinchi lemma tufayli u uchun amal qiladi n = 3 va shunga o'xshash ad infinitum.

Muammo 3. Xanoy minoralari jumboq uchta tayoqdan iborat. Tayoqchalardan birida pastdan yuqoriga pasayuvchi turli diametrli bir necha halqalardan iborat piramida (1-rasm) joylashgan.

1-rasm

Ushbu piramida boshqa novdalardan biriga o'tkazilishi kerak, har safar faqat bitta halqani uzatadi va kattaroq halqani kichikroqqa qo'ymaydi. Buni qilish mumkinmi?

Yechim. Shunday qilib, biz savolga javob berishimiz kerak: dan iborat piramidani ko'chirish mumkinmi? P o'yin qoidalariga rioya qilgan holda, bir tayoqdan boshqasiga turli diametrli halqalar? Endi muammo, ular aytganidek, biz tomonidan parametrlashtirilgan (tabiiy son P), va uni matematik induksiya orqali yechish mumkin.

1. induksiya asosi. n = uchun 1, hamma narsa aniq, chunki bitta halqali piramidani har qanday tayoqqa o'tkazish mumkin.
2. induksiya bosqichi. Faraz qilaylik, biz har qanday piramidani halqalar soni bilan harakatlantira olamiz p = k.
   Keling, piramidani o'rtasiga ko'chirishimiz mumkinligini isbotlaylik n = k + 1.

Piramidadan togacha eng kattasida yotgan halqalar(to + 1)-chi halqa, biz taxminga ko'ra, boshqa har qanday aylanishga o'tishimiz mumkin. Keling buni bajaramiz. harakatsiz(to + 1)-chi halqa bizga siljish algoritmini bajarishga xalaqit bermaydi, chunki u eng katta. Ko'chib o'tgandan keyin uchun halqalar, bu eng katta harakat(to + 1) qolgan novda ustidagi halqa. Va keyin biz yana induktiv taxmin bilan bizga ma'lum bo'lgan harakatlanuvchi algoritmni qo'llaymiz uchun halqalarni o'rnating va ularni tayoqqa o'tkazing(to + 1) uzuk. Shunday qilib, agar biz piramidalarni harakatga keltira olsak uchun halqalar, keyin biz piramidalar harakat mumkin va uchun + 1 ta uzuk. Shuning uchun, matematik induksiya printsipiga ko'ra, piramidani har doim harakatga keltirish mumkin n halqa, bu erda n > 1.

Bo'linuvchanlik masalalarini yechishda matematik induksiya usuli.

Matematik induksiya usulidan foydalanib, natural sonlarning boʻlinuvchanligi haqidagi turli gaplarni isbotlash mumkin.

Vazifa 4 . Agar n natural son bo'lsa, u holda son juft bo'ladi.

n=1 uchun bizning gapimiz to'g'ri: - juft son. Faraz qilaylik, bu juft son. 2k juft son bo'lgani uchun u ham shunday. Demak, n=1 uchun paritet isbotlangan, paritetdan paritet chiqariladi.Demak, n ning barcha natural qiymatlari uchun ham paritet chiqariladi.

3-topshiriq. Z soni ekanligini isbotlang 3 + 3 - 26n - 27 ixtiyoriy natural bilan n 26 2 ga qoldiqsiz bo'linadi.

Yechim. Keling, birinchi navbatda 3 degan yordamchi fikrni induksiya orqali isbotlaylik 3n+3 1 26 ga qoldiqsiz bo'linadi n > 0.

1. induksiya asosi. n = 0 uchun bizda: Z 3 - 1 \u003d 26 - 26 ga bo'lingan.

induksiya bosqichi. Faraz qilaylik 3 3n + 3 - 1 qachon 26 ga bo'linadi n = k, va Keling, bu holda da'vo to'g'ri bo'lishini isbotlaylik n = k + 1. 3 dan boshlab

keyin induktiv farazdan 3 raqami degan xulosaga kelamiz 3k + 6 - 1 26 ga bo'linadi.

Keling, masalaning shartida tuzilgan fikrni isbotlaylik. Va yana induksiya orqali.

1. induksiya asosi. Ko'rinib turibdiki, da n = 1 ta bayonot to'g'ri: 3 dan beri 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. induksiya bosqichi. Faraz qilaylik, bu vaqtda n = k
   ifoda 3 3k + 3 - 26k - 27 26 ga bo'linadi 2 qoldiqsiz va tasdiqning to'g'ri ekanligini isbotlang n = k + 1,
   ya'ni bu raqam

26 2 ga bo'linadi izsiz. Oxirgi yig'indida ikkala shart qoldiqsiz 26 ga bo'linadi 2 . Birinchisi, qavs ichidagi ifoda 26 ga bo'linishini isbotlaganimiz uchun; ikkinchisi, induktiv gipoteza orqali. Matematik induksiya printsipi tufayli zaruriy bayonot to'liq isbotlangan.

Matematik induksiya usulini qatorlar yig`indisiga qo`llash.

Vazifa 5. Formulani isbotlang

N - natural son.

Yechim.

n=1 uchun tenglikning ikkala qismi ham bittaga aylanadi va demak, matematik induksiya tamoyilining birinchi sharti bajariladi.

Faraz qilaylik, formula n=k uchun to'g'ri, ya'ni.

Keling, bu tenglikning ikkala tomoniga qo'shamiz va o'ng tomonni o'zgartiramiz. Keyin olamiz

Demak, formulaning n=k uchun to‘g‘ri ekanligidan n=k+1 uchun ham to‘g‘ri ekanligi kelib chiqadi. Bu gap k ning har qanday natural qiymati uchun to'g'ri. Demak, matematik induksiya tamoyilining ikkinchi sharti ham bajariladi. Formula isbotlangan.

Vazifa 6. Doskaga ikkita raqam yozilgan: 1.1. Ularning yig'indisini raqamlar orasiga kiritib, 1, 2, 1 raqamlarini olamiz. Bu amalni yana takrorlab, 1, 3, 2, 3, 1 raqamlarini olamiz. Uchta amaldan so'ng raqamlar 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1. Doskadagi barcha raqamlarning yig‘indisi qancha bo‘ladi? 100 ta operatsiya?

Yechim. Hammasini 100 ta qiling operatsiyalar juda ko'p vaqt va vaqt talab qiladi. Shunday qilib, biz S yig'indisining umumiy formulasini topishga harakat qilishimiz kerak n dan keyingi raqamlar operatsiyalar. Keling, jadvalga qaraylik:

Bu erda biron bir naqshni sezdingizmi? Agar yo'q bo'lsa, siz yana bir qadam tashlashingiz mumkin: to'rtta operatsiyadan so'ng raqamlar bo'ladi

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

uning S 4 yig'indisi 82 ​​ga teng.

Aslida, siz raqamlarni yozib bo'lmaydi, lekin darhol yangi raqamlar qo'shilgandan so'ng summa qanday o'zgarishini ayting. Yig'indi 5 ga teng bo'lsin. Yangi raqamlar qo'shilganda u qanday bo'ladi? Keling, har bir yangi raqamni ikkita eski raqam yig'indisiga ajratamiz. Masalan, 1, 3, 2, 3, 1 dan biz 1 ga o'tamiz,

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

Ya'ni, har bir eski raqam (ikki ekstremaldan tashqari) endi yig'indini uch marta kiritadi, shuning uchun yangi yig'indi 3S - 2 ni tashkil qiladi (etishmayotgan birliklarni hisobga olish uchun 2 ni olib tashlang). Shuning uchun S 5 = 3S 4 - 2 = 244 va umuman olganda

Nima umumiy formula? Agar ikkita birlikni ayirish bo'lmasa, unda har safar yig'indi uch barobar kuchlari kabi (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...) uch barobar ortadi. Va bizning raqamlarimiz, siz ko'rib turganingizdek, yana bitta. Shunday qilib, shunday deb taxmin qilish mumkin

Keling, buni induksiya orqali isbotlashga harakat qilaylik.

induksiya asosi. Jadvalga qarang (uchun n = 0, 1, 2, 3).

induksiya bosqichi. Keling, shunday da'vo qilaylik

Keling, buni isbotlaylik S dan + 1 gacha \u003d Z dan + 1 + 1 gacha.

Haqiqatan ham,

Shunday qilib, bizning formulamiz isbotlangan. Bu shuni ko'rsatadiki, yuzta amaldan keyin doskadagi barcha raqamlar yig'indisi 3 ga teng bo'ladi 100 + 1.

Matematik induksiya printsipini qo'llashning ajoyib misolini ko'rib chiqing, unda siz avval ikkita tabiiy parametrni kiritishingiz kerak, keyin esa ularning yig'indisi bo'yicha induksiyani amalga oshirishingiz kerak.

Vazifa 7. Agar ekanligini isbotlang= 2, x 2 = 3 va har bir tabiiy uchun n> 3

x n \u003d Zx n - 1 - 2x n - 2,

keyin

2 n - 1 + 1, n = 1, 2, 3, ...

Yechim. E'tibor bering, bu masalada raqamlarning dastlabki ketma-ketligi(x n) induksiya orqali aniqlanadi, chunki bizning ketma-ketligimiz shartlari, birinchi ikkitasidan tashqari, induktiv tarzda, ya'ni oldingilari orqali beriladi. Berilgan ketma-ketliklar deyiladi takroriy, bizning holatimizda esa bu ketma-ketlik (uning dastlabki ikki atamasini ko'rsatish orqali) o'ziga xos tarzda aniqlanadi.

induksiya asosi. U ikkita tasdiqni tekshirishdan iborat: n=1 va n=2.B Har ikki holatda ham, taxmin faraz asosida haqiqatdir.

induksiya bosqichi. Buning uchun faraz qilaylik n = k - 1 va n = k da'vo qilinadi, ya'ni

Keling, buning uchun da'voni isbotlaylik n = k + 1. Bizda:

x 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2 + 1, bu isbotlanishi kerak edi.

Vazifa 8. Har qanday natural sonni Fibonachchi sonlarining takrorlanuvchi ketma-ketligining bir nechta turli a'zolari yig'indisi sifatida ko'rsatish mumkinligini isbotlang:

k > 2 uchun.

Yechim. Keling, p - natural son. Biz induksiyani davom ettiramiz P.

induksiya asosi. n = uchun 1 ta bayonot to'g'ri, chunki birlikning o'zi Fibonachchi raqamidir.

induksiya bosqichi. Faraz qilaylik, barcha natural sonlar qandaydir sondan kichik P, Fibonachchi ketma-ketligining bir nechta turli shartlari yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin. Eng katta Fibonachchi raqamini toping F t, dan oshmaydi P; shuning uchun F t n va F t +1 > n.

Chunki

Induksiya gipotezasiga ko'ra, raqam p- F t Fibonachchi ketma-ketligining 5 xil a'zolarining yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin va oxirgi tengsizlikdan kelib chiqadiki, Fibonachchi ketma-ketligining 8 yig'indisiga jalb qilingan barcha a'zolari kichikroqdir. F t. Shu sababli, raqamning kengayishi n = 8 + F t muammoning shartini qondiradi.

Tengsizliklarni isbotlashda matematik induksiya usulini qo'llash misollari.

Vazifa 9. (Bernulli tengsizligi.)Buni qachon isbotlang x > -1, x 0 va n > butun soni uchun 2 tengsizlik

(1 + x) n > 1 + xn.

Yechim. Biz yana isbotni induksiya orqali amalga oshiramiz.

1. Induksiya asosi. uchun tengsizlikning to'g'riligini tekshiramiz n = 2. Darhaqiqat,

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x.

2. Induksiya bosqichi. Faraz qilaylik, raqam uchun n = k bayonot haqiqat, ya'ni

(1 + x) k > 1 + xk,

Bu yerda k > 2. Buni n = k + 1 uchun isbotlaymiz. Bizda: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)> (1 + kx) (1 + x) =

1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x.

Shunday qilib, matematik induksiya printsipiga asoslanib, Bernulli tengsizligi har qanday tengsizlik uchun o'rinli ekanligini ta'kidlash mumkin. n > 2.

Matematik induksiya usuli yordamida yechilgan masalalar sharoitida har doim ham emas, isbotlanishi kerak bo'lgan umumiy qonun aniq shakllantiriladi. Ba'zan alohida holatlarni kuzatish orqali avval ular qanday umumiy qonunga olib kelishini aniqlash (taxmin qilish) va shundan keyingina aytilgan gipotezani matematik induksiya orqali isbotlash kerak bo'ladi. Bundan tashqari, induksiya o'zgaruvchisi maskalanishi mumkin va muammoni hal qilishdan oldin, induksiya qaysi parametr bo'yicha amalga oshirilishini aniqlash kerak. Misol sifatida quyidagi vazifalarni ko'rib chiqing.

Muammo 10. Buni isbotlang

har qanday tabiiy uchun n > 1.

Yechim, Keling, bu tengsizlikni matematik induksiya orqali isbotlashga harakat qilaylik.

Induksiya asosi osongina tekshiriladi: 1+

Induktiv gipoteza bo'yicha

va buni isbotlash biz uchun qoladi

Induktiv gipotezadan foydalanib, biz buni tasdiqlaymiz

Garchi bu tenglik haqiqatda to'g'ri bo'lsa-da, u bizga muammoning echimini bermaydi.

Keling, asl masalada talab qilinganidan ko'ra kuchliroq tasdiqni isbotlashga harakat qilaylik. Ya'ni, biz buni isbotlaymiz

Bu tasdiqni induksiya orqali isbotlash umidsizdek tuyulishi mumkin.

Biroq, p = 1 bizda: bayonot to'g'ri. Induktiv qadamni oqlash uchun, deylik

va keyin buni isbotlaymiz

Haqiqatan ham,

Shunday qilib, biz kuchliroq fikrni isbotladik, undan muammoning shartidagi tasdiq darhol kelib chiqadi.

Bu erda ibratli narsa shundaki, biz muammoda talab qilinganidan ko'ra kuchliroq tasdiqni isbotlashimiz kerak bo'lsa-da, biz induktiv bosqichda kuchliroq taxmindan ham foydalanishimiz mumkin. Bu matematik induksiya printsipini to'g'ridan-to'g'ri qo'llash har doim ham maqsadga olib kelmasligini tushuntiradi.

Muammoni hal qilishda yuzaga kelgan vaziyat deyiladiixtirochining paradoksi.Paradoksning o'zi shundaki, yanada murakkab rejalar, agar ular masalaning mohiyatini chuqurroq tushunishga asoslangan bo'lsa, katta muvaffaqiyat bilan amalga oshirilishi mumkin.

Masala 11. 2m + n - 2m ekanligini isbotlang har qanday tabiiy uchun turi.

Yechim. Bu erda bizda ikkita variant bor. Shuning uchun, siz deb atalmish amalga oshirish uchun harakat qilib ko'rishingiz mumkinikki tomonlama induksiya(induksiya ichidagi induksiya).

Biz induktiv fikrlashni amalga oshiramiz P.

1. P bo'yicha induksiya asosi. n = uchun 1 buni tekshirish kerak 2 t ~ 1 > t. Bu tengsizlikni isbotlash uchun induksiyadan foydalanamiz t.

a) Induksiya asosi jild bo'yicha. t = uchun 1 ta davom etmoqda
tenglik, bu maqbuldir.

b) t bo'yicha induksiya bosqichi.Faraz qilaylik, bu vaqtda t = k bayonot haqiqat, ya'ni 2 k ~ 1 > k. Keyin yuqoriga
Aytaylik, agar shunday bo'lsa ham, tasdiq haqiqatdir m = k + 1.
Bizda ... bor:

tabiiy k.

Shunday qilib, tengsizlik 2 har qanday tabiiy uchun amalga oshiriladi t.

2. Moddaga muvofiq induksiya bosqichiBir nechta natural sonni tanlang va tuzating t. Faraz qilaylik, bu vaqtda n = I bayonot to'g'ri (belgilangan uchun t), ya'ni 2 t +1 ~ 2 > t1, va o'shanda tasdiqning to'g'ri bo'lishini isbotlang n = l + 1.
Bizda ... bor:

har qanday tabiiy uchun turi.

Shuning uchun, matematik induksiya printsipiga asoslanib (ko'ra P) muammoning bayonoti har qanday kishi uchun to'g'ri P va har qanday sobit uchun t. Shunday qilib, bu tengsizlik har qanday tabiiy uchun amal qiladi turi.

Masala 12. m, n va k bo‘lsin natural sonlar va t > p Ikki raqamdan qaysi biri kattaroq:

Har bir ifodada uchun belgilar kvadrat ildiz, t va n muqobil.

Yechim. Keling, avval ba'zi bir yordamchi tasdiqni isbotlaylik.

Lemma. Har qanday tabiiy uchun t va n (t > n) va manfiy bo'lmagan (butun son bo'lishi shart emas) X tengsizlik

Isbot. Tengsizlikni ko'rib chiqing

Bu tengsizlik haqiqatdir, chunki chap tomondagi ikkala omil ham ijobiydir. Qavslarni kengaytirib, konvertatsiya qilsak, biz quyidagilarni olamiz:

Oxirgi tengsizlikning ikkala qismining kvadrat ildizini olib, lemmaning tasdiqlanishini olamiz. Shunday qilib, lemma isbotlangan.

Endi muammoni hal qilishga o'tamiz. Bu raqamlarning birinchisini quyidagicha belgilaymiz a, va ikkinchisi orqali b ga. Keling, buni isbotlaylik a har qanday tabiiy uchun uchun. Isbotlash matematik induksiya usuli bilan juft va toq uchun alohida amalga oshiriladi uchun.

induksiya asosi. k = uchun 1 bizda tengsizlik bor

y[t > y/n , bu tufayli amal qiladi m > n. = 2, kerakli natija isbotlangan lemmadan almashtirish orqali olinadi x = 0.

induksiya bosqichi. Aytaylik, ba'zilar uchun a >b ga tengsizligiga adolatli. Keling, buni isbotlaylik

Induksiya va kvadrat ildizning monotonligi haqidagi farazdan bizda quyidagilar mavjud:

Boshqa tomondan, isbotlangan lemmadan kelib chiqadiki

Oxirgi ikkita tengsizlikni birlashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Matematik induksiya printsipiga ko'ra, tasdiq isbotlangan.

13-topshiriq. (Koshi tengsizligi.)Har qanday musbat sonlar uchun buni isbotlang..., a p tengsizlik

Yechim. n = 2 uchun tengsizlik

o'rtacha arifmetik va geometrik o'rtacha (ikkita raqam uchun) ma'lum deb hisoblanadi. Mayli n= 2, k = 1, 2, 3, ... va avval induksiyani bajaring uchun. Bu induksiyaning asosi o'rinli bo'ladi, agar endi kerakli tengsizlik allaqachon o'rnatilgan bo'lsa n = 2, biz buni isbotlaymiz P = 2 . Bizda (ikki raqam uchun tengsizlikdan foydalangan holda):

Shuning uchun induksiya gipotezasi bilan

Shunday qilib, k dagi induksiya orqali biz hamma uchun tengsizlikni isbotladik 9-bet bu ikki kuchdir.

Boshqa qiymatlar uchun tengsizlikni isbotlash P biz "induksiyani pastga" ishlatamiz, ya'ni agar ixtiyoriy manfiy bo'lmaganlar uchun tengsizlik qanoatlansa, isbotlaymiz. P raqamlar uchun ham amal qiladi(P - 1) raqami. Buni tekshirish uchun shuni ta'kidlaymizki, qilingan taxminga ko'ra, uchun P raqamlar, tengsizlik

ya'ni a r + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1) A. Ikkala qismga bo'lish P - 1, biz kerakli tengsizlikni olamiz.

Shunday qilib, birinchi navbatda biz tengsizlik cheksiz miqdordagi mumkin bo'lgan qiymatlar uchun amal qilishini aniqladik P, va keyin ko'rsatdi, agar tengsizlik o'rinli bo'lsa P raqamlar uchun ham amal qiladi(P - 1) raqamlar. Shundan kelib chiqib, Koti tengsizligi to'plam uchun amal qiladi degan xulosaga kelamiz P har qanday manfiy bo'lmagan raqamlar n = 2, 3, 4, ...

14- masala. (D. Uspenskiy.) Burchaklari = bo'lgan har qanday ABC uchburchagi uchun CAB, = CBA o'lchovli, tengsizliklar mavjud

Yechim. Burchaklar va o'lchovli, ya'ni (ta'rifi bo'yicha) bu burchaklar umumiy o'lchovga ega bo'lib, ular uchun = p, = (p, q ko'p tub natural sonlar).

Keling, matematik induksiya usulidan foydalanamiz va uni yig'indiga chizamiz n = p + q natural ko‘paytirish sonlar..

induksiya asosi. p + q = 2 uchun bizda: p = 1 va q = 1. U holda ABC uchburchagi teng yonli bo'lib, kerakli tengsizliklar aniq: ular uchburchak tengsizligidan kelib chiqadi.

induksiya bosqichi. Faraz qilaylik, p + q = 2, 3, ... uchun kerakli tengsizliklar o'rnatildi, k - 1, bu erda k > 2. Tengsizliklar uchun ham amal qilishini isbotlaylik p + q = k.

ABC bo'lsin bilan berilgan uchburchakdir> 2. Keyin AC va BC tomonlari teng bo'lishi mumkin emas: ruxsat AC > BC. Endi 2-rasmdagi kabi teng yonli uchburchakni quramiz ABC; bizda ... bor:

AC \u003d DC va AD \u003d AB + BD, shuning uchun,

2AC > AB + BD (1)

Endi uchburchakni ko'rib chiqing VDC, burchaklari ham solishtirish mumkin:

DCB = (q - p), BDC = p.

Guruch. 2

Bu uchburchak induktiv farazni qanoatlantiradi va shuning uchun

(2)

(1) va (2) qo'shsak, bizda:

2AC+BD>

va shuning uchun

Xuddi shu uchburchakdan WBS induksion gipoteza orqali biz shunday xulosaga kelamiz

Oldingi tengsizlikni hisobga olib, biz shunday xulosaga kelamiz

Shunday qilib, induktiv o'tish olinadi va masalaning bayoni matematik induksiya printsipidan kelib chiqadi.

Izoh. Muammoning bayoni a va p burchaklar o'lchovli bo'lmagan taqdirda ham o'z kuchini saqlab qoladi. Umumiy holatda ko'rib chiqish asosida biz allaqachon boshqa muhim matematik printsipni - uzluksizlik printsipini qo'llashimiz kerak.

Masala 15. Bir necha to'g'ri chiziqlar tekislikni qismlarga ajratadi. Bu qismlarni oq rangga bo'yash mumkinligini isbotlang

va qora ranglar umumiy chegara segmentiga ega bo'lgan qo'shni qismlar turli xil ranglarda bo'lishi uchun (3-rasmda bo'lgani kabi). n = 4).

rasm 3

Yechim. Biz chiziqlar soni bo'yicha induksiyadan foydalanamiz. Shunday qilib, ruxsat bering P - samolyotimizni qismlarga ajratadigan chiziqlar soni, n > 1.

induksiya asosi. Agar faqat bitta to'g'ri bo'lsa(P = 1), keyin u tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratadi, ulardan birini ranglash mumkin oq rang, ikkinchisi esa qora rangda va muammoning bayonoti to'g'ri.

induksiya bosqichi. Induktiv qadamning isbotini aniqroq qilish uchun bitta yangi qatorni qo'shish jarayonini ko'rib chiqing. Agar ikkinchi chiziqni chizsak(P= 2), keyin qarama-qarshi burchaklarni bir xil rangda bo'yash orqali kerakli tarzda ranglanishi mumkin bo'lgan to'rt qismni olamiz. Keling, uchinchi to'g'ri chiziqni chizsak nima bo'lishini ko'rib chiqaylik. U "eski" qismlarning bir qismini ajratadi, shu bilan birga chegaraning yangi qismlari paydo bo'ladi, ularning har ikki tomonida rangi bir xil (4-rasm).

Guruch. to'rtta

Keling, quyidagicha davom etaylik:bir tomondanyangi to'g'ri chiziqdan ranglarni o'zgartiramiz - oq qora va aksincha; shu bilan birga, bu to'g'ri chiziqning narigi tomonida yotadigan qismlar qayta bo'yalmaydi (5-rasm). Keyin bu yangi rang zarur talablarni qondiradi: to'g'ri chiziqning bir tomonida u allaqachon o'zgaruvchan edi (lekin turli xil ranglar bilan), boshqa tomondan esa kerak edi. Chizilgan chiziqqa tegishli umumiy hoshiyaga ega bo'lgan qismlar turli rangda bo'yalishi uchun biz qismlarni faqat shu chizilgan chiziqning bir tomoniga qayta bo'yab chiqdik.

5-rasm

Endi induktiv qadamni isbotlaymiz. Aytaylik, ba'zilar uchunn = kmasalaning bayoni o'rinli, ya'ni tekislikning shular bilan bo'lingan barcha qismlariuchunto'g'ri, siz oq va qora rangda bo'yashingiz mumkin, shunda qo'shni qismlar turli xil ranglarda bo'ladi. Keling, bunday rang berish mavjudligini isbotlaylikP= uchun+ 1 tekis. Keling, ikkita to'g'ri chiziqdan uchtaga o'tish holatiga o'xshash tarzda harakat qilaylik. Samolyotda sarflaymizuchunbevosita. Keyin, induktiv taxminga ko'ra, natijada olingan "xarita" kerakli tarzda ranglanishi mumkin. Keling, hozir sarflaymiz(to+ 1)-chi to'g'ri chiziq va uning bir tomonida ranglarni qarama-qarshi tomonga o'zgartiramiz. Xo'sh, hozir(to+ 1)-chi qator hamma joyda turli rangdagi bo'limlarni ajratib turadi, "eski" qismlar esa, biz allaqachon ko'rganimizdek, to'g'ri rangli bo'lib qoladi. Matematik induksiya tamoyiliga ko‘ra masala yechilgan.

Vazifa16. Cho'lning chekkasida katta benzin zaxirasi va to'liq yoqilg'i quyish shoxobchasi bilan 50 kilometr masofani bosib o'ta oladigan mashina bor. Cheksiz miqdorda kanistrlar mavjud bo'lib, unda siz avtomobilning benzin bakidan benzinni to'kib tashlashingiz va uni cho'lning istalgan joyida saqlash uchun qoldirishingiz mumkin. Mashina 50 kilometrdan ortiq har qanday butun masofani bosib o'ta olishini isbotlang. Benzinli qutilarni olib yurish mumkin emas, bo'sh qutilarni har qanday miqdorda olib yurish mumkin.

Yechim.Keling, buni induksiya orqali isbotlashga harakat qilaylikP,mashina haydashi mumkinPcho'l chetidan kilometr uzoqlikda. DaP= 50 ma'lum. Induksiya bosqichini bajarish va u erga qanday borishni tushuntirish qoladin = kAgar ma'lum bo'lsa, + 1 kmn = kkilometr masofani bosib o‘tish mumkin.

Biroq, bu erda biz qiyinchilikka duch kelamiz: biz o'tganimizdan keyinuchunkilometr bo'lsa, benzin qaytish uchun ham etarli bo'lmasligi mumkin (saqlash haqida gapirmasa ham bo'ladi). Va bu holatda, chiqish yo'li - isbotlanayotgan tasdiqni mustahkamlash (ixtirochi paradoksi). Biz nafaqat haydash mumkinligini isbotlaymizPkilometr, balki masofada bir nuqtada benzin o'zboshimchalik bilan katta ta'minoti qilish uchunPcho'lning chetidan kilometr uzoqlikda, transport tugagandan so'ng shu nuqtada.

induksiya asosi.Bir kilometr masofani bosib o'tish uchun zarur bo'lgan benzin miqdori benzin birligi bo'lsin. Keyin 1 kilometrlik sayohat va orqaga ikki birlik benzin kerak bo'ladi, shuning uchun biz chekkadan bir kilometr masofada 48 dona benzinni qoldirib, yana ko'p narsaga qaytishimiz mumkin. Shunday qilib, saqlashga bir necha marta sayohat qilish uchun biz kerakli o'lchamdagi zaxirani yaratishimiz mumkin. Shu bilan birga, 48 dona zaxira yaratish uchun 50 dona benzin sarflaymiz.

induksiya bosqichi.Buni masofadan turib faraz qilaylikP= uchuncho'lning chetidan siz istalgan miqdordagi benzinni saqlashingiz mumkin. Keling, uzoqdan omborni yaratish mumkinligini isbotlaylikn = kBelgilangan benzin bilan + 1 km va tashish oxirida ushbu omborda bo'ling. Chunki nuqtadaP= uchunbenzinning cheksiz ta'minoti mavjud, keyin (induksiya bazasiga ko'ra) biz nuqtaga bir necha marta sayohat qilishimiz mumkin.n = k+1 fikr bildirish uchunP= uchunSizga kerak bo'lgan har qanday o'lchamdagi 4- 1 dona.

Masalaning shartiga qaraganda umumiyroq gapning haqiqati endi matematik induksiya tamoyilidan kelib chiqadi.

Xulosa

Xususan, matematik induktsiya usulini o'rganib, men matematikaning ushbu sohasidagi bilimlarimni oshirdim, shuningdek, ilgari mening qo'limdan tashqarida bo'lgan muammolarni qanday hal qilishni o'rgandim.

Asosan, bu mantiqiy va qiziqarli vazifalar edi, ya'ni. faqat matematikaning o'ziga fan sifatida qiziqishni oshiradiganlar. Bunday muammolarni hal qilish qiziqarli mashg'ulotga aylanadi va ko'proq qiziquvchan odamlarni matematik labirintlarga jalb qilishi mumkin. Menimcha, bu har qanday fanning asosidir.

Matematik induksiya usulini o‘rganishni davom ettirar ekanman, men uni nafaqat matematikada, balki fizika, kimyo va hayotning o‘ziga tegishli masalalarni yechishda ham qo‘llashni o‘rganishga harakat qilaman.

Adabiyot

1.Vulenkin INDUKSIYASI. Kombinatorika. O'qituvchilar uchun qo'llanma. M., Ma'rifat,

1976.-48 b.

2. Golovina L.I., Yaglom I.M. Geometriyada induksiya. - M .: Gosud. nashriyotchi yoqilgan. - 1956 yil - S.I00. Universitetlarga abituriyentlar uchun matematika bo'yicha qo'llanma / Ed. Yakovleva G.N. Fan. -1981 yil. - B.47-51.

3. Golovina L.I., Yaglom IM. Geometriyada induksiya. —
M .: Nauka, 1961. - (Matematika bo'yicha mashhur ma'ruzalar.)

4. I.T.Demidov, A.N.Kolmogorov, S.I.Shvartsburg, O.S.Ivashev-Musatov, B.E.Veyts. Qo'llanma/ "Ma'rifat" 1975 yil.

5.R. Courant, G Robbins "Matematika nima?" 1-bob, 2-§

6. Popa D. Matematika va asosli fikrlash. - M: Nauka, 1975 yil.

7. Popa D. Matematik kashfiyot. - M.: Nauka, 1976 yil.

8. Rubanov I.S. Matematik induksiya usulini qanday o'rgatish kerak / Matematika maktabi. - Nl. - 1996. - S.14-20.

9. Sominskiy I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. Matematik induksiya usuli haqida. - M .: Nauka, 1977. - (Matematika bo'yicha mashhur ma'ruzalar.)

10. Solominskiy I.S. Matematik induksiya usuli. - M.: Fan.

63s.

11. Solominskiy I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. Matematik induksiya haqida. - M.: Fan. - 1967. - S.7-59.

12.http://w.wikiredia.org/wiki

13.htt12:/ /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html

№50 dars

Dars mavzusi : Matematik induksiya usuli.

Darsning maqsadi: Uchun uchrashishmatematik induksiya usulining mohiyati, bu usulni isbotlash masalalarini yechishda qo‘llashni o‘rganish, hisoblash ko‘nikmalarini rivojlantirishni davom ettirish, matematik savodxonlikni shakllantirishni davom ettirish.

Darslar davomida.

Tashkiliy vaqt. Dars maqsadlarini belgilash

Asosiy bilimlarni faollashtirish.

Geometrik progressiyaning ta’rifi, geometrik progressiyaning n-chi a’zosi uchun formulalar.

Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig’indisi formulasini takrorlang.

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi formulasini takrorlang

3. Yangi materialni o'rganish

Ko'pgina muammolarni hal qilishda, matematik jumlalarning to'g'riligini isbotlashda, shuningdek, formulani chiqarishda ko'pincha fikrlash qo'llaniladi, bu deyiladi.Matematik induksiya usuli.

Siz, masalan, formulani chiqarishda shunday fikr yuritgansiznth atamasi, shuningdek birinchisining yig'indisi formulasini olishdanarifmetik va geometrik progressiyalarning a'zolari.

Ushbu usulning mohiyati quyidagilardan iborat: agar tabiiy son paydo bo'lgan ma'lum bir bayonotning haqiqiyligini aniqlash kerak bo'lsa.n, keyin:

1) mo'ljallangan bayonotning ma'lum bir qiymatga mos kelishi tekshiriladin(masalan, uchunn=1).

2) ba'zi bir ixtiyoriy qiymat uchun bayonot to'g'ri deb taxmin qilinadin = k , va bu holda u uchun ham tegishli ekanligi isbotlangann = k + 1. Bu yerdan har qanday qiymat uchun tasdiq haqiqat degan xulosaga keladin, chunki uning adolati da kashf etilgann=1 va isbotlangan narsa uchun ham to'g'rin= 2, va u uchun amal qiladin= 2 bo'lsa, u uchun ham amal qiladin= 3 va boshqalar.

Endi ushbu usuldan foydalanish misollarini ko'rib chiqamiz.

Misol 1. Keling, buni har qanday tabiiy uchun isbotlaylikntenglik mavjud

Formula to'g'rin= 1, chunki:

Formula uchun to'g'ri deb faraz qilaylikn = k .

Keling, bu holatda bu to'g'ri ekanligini isbotlaylikn = k+ 1, ya'ni.

To'g'ridan-to'g'ri tekshirish formulaning to'g'ri ekanligini ko'rsatdin =1; shuning uchun u ham amal qiladin= 2, va shuning uchun uchunn= 3, shuning uchun, uchunn = 4 va umuman, har qanday tabiiy uchunn.

4. Muammoni hal qilish

№249(a)

Bu masalada formulani isbotlash talab etiladin – thmatematik induksiya orqali arifmetik progressiyaning hadi

Dan=1 bizda a bor 1 =a 1.

Ushbu formula uchun to'g'ri deb faraz qilingkth muddat, ya'ni tenglik a k = a 1 + d( k-1)

Keling, bu holda bu formula ( uchun ham to'g'ri ekanligini isbotlaylik.k+1) a'zo. Haqiqatan ham,

a k +1 = a 1 + d( k+1-1) = a 1 + dk

Boshqa tomondan, ta'rifga ko'ra, orif. prog. a k +1 = a k + d

Oxirgi ikkita ifodaning chap qismlari = va o'ng qismlari teng bo'lgani uchun:

a k + d= a 1 + dkyoki a k = a 1 + d( k-1)

Olingan to'g'ri tenglik bizga formulani tasdiqlash imkonini beradinarifmetik progressiyaning uchinchi hadi har qanday natural uchun mos keladin

№ 255

Keling, 11 raqami ekanligini isbotlaylik n+1 +12 2 n -1 barcha tabiiy qadriyatlar uchunn133 ga bo'linadi

Dan=1 bizda 11 bor 1+1 +12 2*1-1 =133, 133 ni 133 ga bo'lish

Faraz qilaylik, bu vaqtdan= ksumma 11 k +1 +12 2 k -1 133 ga bo'linadi

Keling, bu yig'indi 133 ga bo'linishini isbotlaylikn= k+1, ya'ni. o'n bir k +2 +12 2 k +1 133 ga bo'linadi

11 k+2 +12 2k+1 =11*11 k +1 +144*12 k-1 =11*11 k +1 +11*12 2k-1 +133*12 2k-1 =11(11 k+1 +12 2k-1 )+133*12 2k-1

Hosil boʻlgan yigʻindining har bir aʼzosi 133 ga boʻlinadi. Demak, 11 k +2 +12 2 k +1 133 ga bo'linadi.

5. Reflektsiya

6. Bayonot D / z

§15 qaror № 251

Kirish

Asosiy qism

1. To‘liq va to‘liqsiz induksiya

2. Matematik induksiya tamoyili

3. Matematik induksiya usuli

4. Misollar yechimi

5. Tengliklar

6. Sonlarning bo‘linishi

7. Tengsizliklar

Xulosa

Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati

Kirish

Deduktiv va induktiv usullar har qanday matematik tadqiqotning asosi hisoblanadi. Mulohaza yuritishning deduktiv usuli - umumiydan xususiyga fikr yuritish, ya'ni. mulohaza yuritish, uning boshlanish nuqtasi umumiy natija, yakuniy nuqtasi esa xususiy natijadir. Induktsiya alohida natijalardan umumiy natijalarga o'tishda qo'llaniladi, ya'ni. deduktiv usulga qarama-qarshidir.

Matematik induksiya usulini progress bilan solishtirish mumkin. Biz eng pastdan boshlaymiz, mantiqiy fikrlash natijasida biz eng yuqori darajaga chiqamiz. Inson doimo taraqqiyotga, o'z tafakkurini mantiqiy rivojlantirish qobiliyatiga intilgan, demak, tabiatning o'zi uni induktiv fikrlashni tayinlagan.

Matematik induksiya usulini qo`llash sohasi kengaygan bo`lsada, maktab o`quv dasturida unga kam vaqt ajratilgan. Xo'sh, foydali odamni o'sha ikki-uch dars olib keladi, u beshta nazariyani eshitadi, beshta ibtidoiy masalani yechadi va natijada hech narsa bilmagani uchun besh oladi.

Ammo bu juda muhim - induktiv fikr yurita olish.

Asosiy qism

O'zining asl ma'nosida "induksiya" so'zi bir qator aniq bayonotlar asosida umumiy xulosalar olinadigan fikrlash uchun qo'llaniladi. Bunday fikrlashning eng oddiy usuli to'liq induksiyadir. Mana shunday mulohazalarga misol.

4 ichida har bir natural juft son n ekanligini aniqlash talab qilinsin< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Bu to'qqizta tenglik shuni ko'rsatadiki, bizni qiziqtirgan raqamlarning har biri haqiqatan ham ikkita asosiy hadning yig'indisi sifatida ifodalanadi.

Shunday qilib, to'liq induksiya shunday umumiy bayonot mumkin bo'lgan chekli holatlarning har birida alohida isbotlanadi.

Ba'zida umumiy natijani hammasini emas, balki etarliligini ko'rib chiqqandan keyin taxmin qilish mumkin katta raqam maxsus holatlar (to'liq bo'lmagan induksiya deb ataladi).

To'liq bo'lmagan induksiya natijasida olingan natija esa, barcha maxsus holatlarni qamrab oluvchi aniq matematik mulohaza bilan isbotlanmaguncha, faqat gipoteza bo'lib qoladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, matematikada to'liq bo'lmagan induksiya qat'iy isbotlashning qonuniy usuli hisoblanmaydi, balki yangi haqiqatlarni ochishning kuchli usuli hisoblanadi.

Masalan, birinchi n ta ketma-ket toq sonlar yig'indisini topish talab qilinsin. Maxsus holatlarni ko'rib chiqing:

1+3+5+7+9=25=5 2

Ushbu bir nechta maxsus holatlarni ko'rib chiqqandan so'ng, quyidagi umumiy xulosa o'zini oqlaydi:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

bular. birinchi n ta ketma-ket toq sonlar yig'indisi n 2 ga teng

Albatta, olib borilgan kuzatish hali yuqoridagi formulaning to'g'riligiga dalil bo'la olmaydi.

To'liq induksiya faqat matematikada cheklangan qo'llanilishiga ega. Ko'pgina qiziqarli matematik bayonotlar cheksiz sonli maxsus holatlarni qamrab oladi va biz cheksiz sonli holatlarni sinab ko'ra olmaymiz. Tugallanmagan induktsiya ko'pincha noto'g'ri natijalarga olib keladi.

Ko'p hollarda bunday qiyinchilikdan chiqish yo'li matematik induksiya usuli deb ataladigan maxsus fikrlash usuliga murojaat qilishdir. Bu quyidagicha.

Har qanday natural n son uchun ma'lum bir fikrning to'g'riligini isbotlash zarur bo'lsin (masalan, birinchi n ta toq sonlar yig'indisi n 2 ga teng ekanligini isbotlash kerak). Ushbu bayonotni n ning har bir qiymati uchun to'g'ridan-to'g'ri tekshirish mumkin emas, chunki natural sonlar to'plami cheksizdir. Bu gapni isbotlash uchun avvalo n=1 uchun uning haqiqiyligini tekshiring. Keyin k ning har qanday natural qiymati uchun n=k uchun ko'rib chiqilayotgan fikrning to'g'riligi uning n=k+1 uchun ham to'g'riligini bildirishi isbotlanadi.

Keyin tasdiq hamma n uchun isbotlangan deb hisoblanadi. Darhaqiqat, n = 1 uchun bayonot to'g'ri. Ammo u keyingi n=1+1=2 son uchun ham amal qiladi. n=2 uchun tasdiqning haqiqiyligi uning n=2+ uchun haqiqiyligini bildiradi

1=3. Bu n=4 uchun bayonotning haqiqiyligini anglatadi va hokazo. Oxir-oqibat, har qanday natural n soniga yetishimiz aniq. Demak, bu gap har qanday n uchun to'g'ri bo'ladi.

Aytilganlarni umumlashtirib, biz quyidagi umumiy tamoyilni shakllantiramiz.

Matematik induksiya printsipi.

Agar A jumlasi ( n ) natural songa qarab n , uchun to'g'ri n =1 va u uchun haqiqat ekanligidan n=k (qaerda k -har qanday natural son), bundan keyingi son uchun ham to‘g‘ri ekanligi kelib chiqadi n=k+1 , keyin A farazi ( n ) har qanday natural son uchun to'g'ri n .

Bir qator hollarda ma'lum bir fikrning to'g'riligini barcha natural sonlar uchun emas, balki faqat n>p uchun isbotlash kerak bo'lishi mumkin, bu erda p - qat'iy belgilangan natural son. Bunda matematik induksiya tamoyili quyidagicha tuzilgan. Agar A jumlasi ( n ) uchun to'g'ri n=p va agar A( k ) Þ LEKIN( k+1) har kim uchun k>p, keyin A jumlasi( n) har kim uchun to'g'ri n>p.

Matematik induksiya usuli bilan isbotlash quyidagicha amalga oshiriladi. Birinchidan, isbotlanishi kerak bo'lgan tasdiq n=1 uchun tekshiriladi, ya'ni. A(1) gapning haqiqati aniqlanadi. Isbotning bu qismi induksiya asosi deyiladi. Buning ortidan induksiya bosqichi deb ataladigan dalilning bir qismi keladi. Bu qismda n=k+1 uchun gapning to‘g‘riligi n=k (induktiv faraz) uchun to‘g‘ri degan faraz asosida isbotlanadi, ya’ni. A(k)ÞA(k+1) ekanligini isbotlang.

MISOL 1

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ekanligini isbotlang.

Yechish: 1) Bizda n=1=1 2 . Binobarin,

bayonot n=1 uchun to'g'ri, ya'ni. A (1) to'g'ri.

2) A(k)ÞA(k+1) ekanligini isbotlaymiz.

k har qanday natural son bo'lsin va n=k uchun bayonot to'g'ri bo'lsin, ya'ni.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

Isbot qilaylikki, u holda tasdiq keyingi natural son n=k+1 uchun ham to'g'ri, ya'ni. nima

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

Haqiqatdan ham,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Shunday qilib, A(k)ÞA(k+1). Matematik induksiya tamoyiliga asoslanib, A(n) faraz har qanday nON uchun to‘g‘ri degan xulosaga kelamiz.

2-MISA

Buni isbotlang

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), bunda x¹1

Yechish: 1) n=1 bo‘lganda olamiz

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

shuning uchun n=1 uchun formula to'g'ri; A (1) to'g'ri.

2) k har qanday natural son bo‘lsin va n=k uchun formula to‘g‘ri bo‘lsin, ya’ni.

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1).

Keling, tenglikni isbotlaylik

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Haqiqatdan ham

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Shunday qilib, A(k)ÞA(k+1). Matematik induksiya tamoyiliga asoslanib, formula har qanday natural n soni uchun to‘g‘ri degan xulosaga kelamiz.

MISOL 3

Qavariq n-burchakning diagonallari soni n(n-3)/2 ekanligini isbotlang.

Yechish: 1) n=3 bo‘lganda gap to‘g‘ri bo‘ladi

Va 3 to'g'ri, chunki uchburchakda

 A 3 =3(3-3)/2=0 diagonal;

A 2 A(3) to'g'ri.

2) Faraz qilaylik, har qandayida

qavariq k-gon bor-

A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 diagonal.

A k Buni qavariqda isbotlaylik

(k+1)-gon raqami

diagonallar A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 -qavariq (k+1)-burchak bo‘lsin. Unda A 1 A k diagonali chizamiz. Hisoblash uchun umumiy soni bu (k + 1)-gonning diagonallari, siz k-gondagi diagonallar sonini hisoblashingiz kerak A 1 A 2 ...A k , natijada olingan songa k-2 qo'shing, ya'ni. (k+1)-burchakning A cho'qqisidan chiquvchi diagonallar soni k+1 , va bundan tashqari, diagonal A 1 A k hisobga olinishi kerak.

Shunday qilib,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Shunday qilib, A(k)ÞA(k+1). Matematik induksiya printsipi tufayli bu gap har qanday qavariq n-gon uchun to'g'ri bo'ladi.

MISOL 4

Har qanday n gap uchun to'g'ri ekanligini isbotlang:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

Yechish: 1) U holda n=1 bo‘lsin

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

Demak, n=1 uchun gap to'g'ri.

2) n=k deb faraz qilaylik

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) n=k+1 uchun ushbu bayonotni ko'rib chiqing

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+)

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

Biz n=k+1 uchun tenglikning to'g'riligini isbotladik, shuning uchun matematik induksiya usuli tufayli har qanday natural n uchun bayonot to'g'ri bo'ladi.

MISOL 5

Har qanday natural n uchun tenglik to‘g‘ri ekanligini isbotlang:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

Yechish: 1) n=1 bo‘lsin.

U holda X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

Biz n=1 uchun bayonot to'g'ri ekanligini ko'ramiz.

2) n=k uchun tenglik to‘g‘ri deb faraz qilaylik