Oldingi birida biz argumentlarni taqsimlash qonunlari ma'lum bo'lganda, funksiyalarning sonli xarakteristikalarini topishga imkon beruvchi bir qator formulalar bergan edik. Biroq, ko'p hollarda funksiyalarning son xarakteristikalarini topish uchun argumentlarning taqsimlanish qonuniyatlarini bilish ham shart emas, lekin ularning faqat ayrim sonli xarakteristikalarini bilish kifoya; bu holda, biz umuman taqsimot qonunlarisiz qilamiz. Argumentlarning berilgan raqamli xarakteristikalari bo'yicha funktsiyalarning sonli xarakteristikalarini aniqlash ehtimollar nazariyasida keng qo'llaniladi va bir qator muammolarni hal qilishni sezilarli darajada soddalashtirishga imkon beradi. Ko'pincha bunday soddalashtirilgan usullar chiziqli funktsiyalarga tegishli; ammo, ba'zi elementar chiziqli bo'lmagan funktsiyalar ham shunga o'xshash yondashuvni qabul qiling.

Hozirgi vaqtda biz bir qator teoremalarni taqdim etamiz raqamli xususiyatlar Bu funktsiyalar, ularning umumiyligida keng sharoitlarda qo'llaniladigan ushbu xususiyatlarni hisoblash uchun juda oddiy apparatdir.

1. Tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchining matematik kutilishi

Belgilangan mulk juda aniq; tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchini tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir turi sifatida ko'rib chiqish orqali isbotlanishi mumkin, bitta ehtimollik bilan bitta mumkin bo'lgan qiymatga ega; keyin matematik kutishning umumiy formulasiga ko'ra:

.

2. Tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchining dispersiyasi

Agar unday bo'lmasa tasodifiy qiymat, keyin

3. Matematik kutish belgisidan tashqari tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchini olib tashlash

, (10.2.1)

ya'ni tasodifiy bo'lmagan qiymat kutish belgisidan chiqarilishi mumkin.

Isbot.

a) Uzluksiz miqdorlar uchun

b) uzluksiz miqdorlar uchun

.

4. Dispersiya va standart og'ish belgisi uchun tasodifiy bo'lmagan qiymatni olib tashlash

Agar tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchi bo'lsa va tasodifiy bo'lsa, u holda

, (10.2.2)

ya'ni tasodifiy bo'lmagan qiymatni kvadratga solish orqali dispersiya belgisidan chiqarish mumkin.

Isbot. Variantning ta'rifi bo'yicha

Natija

,

ya'ni tasodifiy bo'lmagan qiymatni mutlaq qiymati bo'yicha standart og'ish belgisidan chiqarish mumkin. Biz dalilni (10.2.2) formuladan kvadrat ildizni ajratib olish va r.s.c. mohiyatan ijobiy qiymat hisoblanadi.

5. Tasodifiy miqdorlar yig'indisining matematik kutilishi

Istalgan ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar uchun buni isbotlaylik va

ya'ni ikkita tasodifiy o'zgaruvchining yig'indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga teng.

Bu xususiyat kutish qo'shilishi teoremasi sifatida tanilgan.

Isbot.

a) uzluksiz tasodifiy miqdorlar sistemasi bo‘lsin. Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisiga nisbatan qo'llaniladi umumiy formula(10.1.6) ikkita argumentning funksiyasini kutish uchun:

.

Ho - bu qiymatning qiymatini olishning umumiy ehtimolidan boshqa narsa emas:

;

Binobarin,

.

Xuddi shunday, biz buni isbotlaymiz

,

va teorema isbotlangan.

b) uzluksiz tasodifiy miqdorlar sistemasi bo'lsin. Formula bo'yicha (10.1.7)

. (10.2.4)

Birinchi integralni o'zgartiramiz (10.2.4):

;

xuddi shunday

,

va teorema isbotlangan.

Shuni alohida ta'kidlash kerakki, matematik taxminlarni qo'shish teoremasi har qanday tasodifiy o'zgaruvchilar uchun amal qiladi - ham bog'liq, ham mustaqil.

Kutish qo'shilishi teoremasi ixtiyoriy sonli atamalarga umumlashtirilishi mumkin:

, (10.2.5)

ya'ni bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga teng.

Buni isbotlash uchun to'liq induksiya usulini qo'llash kifoya.

6. Matematik kutish chiziqli funksiya

Bir nechta tasodifiy argumentlarning chiziqli funktsiyasini ko'rib chiqing:

tasodifiy bo'lmagan koeffitsientlar qayerda. Keling, buni isbotlaylik

, (10.2.6)

ya'ni chiziqli funktsiyaning o'rtacha qiymati argumentlarning o'rtacha qiymatining bir xil chiziqli funktsiyasiga teng.

Isbot. Qo‘shish teoremasidan foydalanish m.o. va m. o. belgisidan tasodifiy boʻlmagan oʻzgaruvchini olish qoidasi boʻlsa, biz quyidagilarni olamiz:

.

7. Dispepbu tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi

Ikki tasodifiy o'zgaruvchining yig'indisining dispersiyasi ularning dispersiyalari yig'indisiga va korrelyatsiya momentining ikki barobariga teng:

Isbot. Belgilamoq

Matematik kutilmalarni qo'shish teoremasi bo'yicha

Keling, tasodifiy o'zgaruvchilardan mos keladigan markazlashtirilgan o'zgaruvchilarga o'tamiz. Tenglikdan (10.2.8) tenglikdan (10.2.9) muddatni ayirib, bizda:

Variantning ta'rifi bo'yicha

Q.E.D.

Yig'indining dispersiyasi uchun formula (10.2.7) har qanday shartlar soniga umumlashtirilishi mumkin:

, (10.2.10)

qiymatlarning korrelyatsiya momenti qayerda, yig'indi ostidagi belgi yig'indi tasodifiy o'zgaruvchilarning barcha mumkin bo'lgan juft kombinatsiyalariga tegishli ekanligini anglatadi .

Isbot avvalgisiga o'xshaydi va ko'phadning kvadrati formulasidan kelib chiqadi.

Formula (10.2.10) boshqa shaklda ham yozilishi mumkin:

, (10.2.11)

bu yerda qo‘sh yig‘indi miqdorlar sistemasi korrelyatsiya matritsasining barcha elementlariga tarqaladi , ham korrelyatsiya momentlarini, ham dispersiyalarni o'z ichiga oladi.

Agar barcha tasodifiy o'zgaruvchilar , tizimga kiritilgan, o'zaro bog'liq emas (ya'ni, da), formula (10.2.10) quyidagi shaklni oladi:

, (10.2.12)

ya'ni o'zaro bog'liq bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining dispersiyasi shartlarning dispersiyalari yig'indisiga teng.

Ushbu taklif dispersiyani qo'shish teoremasi deb nomlanadi.

8. Chiziqli funktsiyaning dispersiyasi

Bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilarning chiziqli funktsiyasini ko'rib chiqing.

tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchilar qayerda.

Bu chiziqli funksiyaning dispersiyasi formula bilan ifodalanganligini isbotlaylik

, (10.2.13)

kattaliklarning korrelyatsiya momenti qayerda, .

Isbot. Keling, belgi bilan tanishtiramiz:

. (10.2.14)

Yig'indining ifodaning o'ng tomoniga (10.2.14) dispersiyasi uchun formulani (10.2.10) qo'llash va buni hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:

kattaliklarning korrelyatsiya momenti qayerda:

.

Keling, ushbu daqiqani hisoblaylik. Bizda ... bor:

;

xuddi shunday

Bu ifodani (10.2.15) ga almashtirib, (10.2.13) formulaga kelamiz.

Maxsus holatda, barcha miqdorlar o'zaro bog'liq bo'lmagan formula (10.2.13) quyidagi shaklni oladi:

, (10.2.16)

ya'ni o'zaro bog'liq bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilarning chiziqli funksiyasining dispersiyasi koeffitsientlar kvadratlari ko'paytmalari va tegishli argumentlar dispersiyalari yig'indisiga teng.

9. Tasodifiy o'zgaruvchilar ko'paytmasining matematik kutilishi

Ikki tasodifiy o'zgaruvchining ko'paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari ko'paytmasiga va korrelyatsiya momentiga teng:

Isbot. Korrelyatsiya momentining ta'rifidan kelib chiqamiz:

Biz ushbu ifodani matematik kutishning xususiyatlaridan foydalanib o'zgartiramiz:

Bu (10.2.17) formulaga aniq ekvivalentdir.

Agar tasodifiy o'zgaruvchilar o'zaro bog'liq bo'lmasa, (10.2.17) formula quyidagi shaklni oladi:

ya'ni o'zaro bog'liq bo'lmagan ikkita tasodifiy o'zgaruvchining mahsulotining o'rtacha qiymati ularning o'rtacha ko'paytmasiga teng.

Ushbu bayonot kutish ko'paytirish teoremasi sifatida tanilgan.

Formula (10.2.17) ikkinchi aralash boshlang'ich moment va matematik taxminlar nuqtai nazaridan tizimning ikkinchi aralash markaziy momentini ifodalashdan boshqa narsa emas:

. (10.2.19)

Ushbu ifoda ko'pincha amalda korrelyatsiya momentini hisoblashda qo'llaniladi, xuddi bitta tasodifiy o'zgaruvchi uchun dispersiya ko'pincha ikkinchi boshlang'ich moment va matematik kutish orqali hisoblanadi.

Kutishni ko'paytirish teoremasi ixtiyoriy sonli omillarga ham umumlashtirilishi mumkin, faqat bu holda uni qo'llash uchun miqdorlarning o'zaro bog'liq bo'lmaganligi etarli emas, lekin ba'zi bir yuqori aralash momentlarning ham yo'qolishi talab qilinadi, ularning soni quyidagilarga bog'liq. mahsulotdagi atamalar soni. Agar mahsulotga kiritilgan tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil bo'lsa, bu shartlar albatta qondiriladi. Ushbu holatda

, (10.2.20)

ya'ni mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutishlari ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng.

Bu taklifni to'liq induksiya orqali osongina isbotlash mumkin.

10. Mustaqil tasodifiy miqdorlar mahsulotining dispersiyasi

Keling, buni mustaqil o'zgaruvchilar uchun isbotlaylik

Isbot. belgilaylik. Variantning ta'rifi bo'yicha

Miqdorlar mustaqil bo'lgani uchun va

Da mustaqil o'zgaruvchilar ham mustaqil; Binobarin,

,

Ammo miqdorning ikkinchi boshlang'ich momentidan boshqa hech narsa yo'q va shuning uchun dispersiya shaklida ifodalanadi:

;

xuddi shunday

.

Ushbu iboralarni (10.2.22) formulaga almashtirib, o'xshash shartlarni keltirsak, (10.2.21) formulaga kelamiz.

Agar markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchilar ko'paytirilganda (matematik taxminlar nolga teng qiymatlar) formula (10.2.21) quyidagi shaklni oladi:

, (10.2.23)

ya'ni mustaqil markazlashtirilgan tasodifiy miqdorlar mahsulotining dispersiyasi ularning dispersiyalarining ko'paytmasiga teng.

11. Tasodifiy miqdorlar yig'indisining yuqori momentlari

Ba'zi hollarda mustaqil tasodifiy miqdorlar yig'indisining yuqori momentlarini hisoblash kerak. Keling, ba'zi bog'liq munosabatlarni isbotlaylik.

1) Agar kattaliklar mustaqil bo'lsa, u holda

Isbot.

buning uchun kutilgan ko'paytirish teoremasi bilan

Lekin har qanday miqdor uchun birinchi markaziy moment nolga teng; ikkita o'rta a'zo yo'qoladi va (10.2.24) formula isbotlanadi.

Munosabat (10.2.24) mustaqil atamalarning ixtiyoriy soniga induksiya orqali oson umumlashtirilishi mumkin:

. (10.2.25)

2) Ikki mustaqil tasodifiy miqdor yig‘indisining to‘rtinchi markaziy momenti formula bilan ifodalanadi

va ning dispersiyalari qayerda.

Dalil avvalgisi bilan bir xil.

To'liq induksiya usulidan foydalanib, (10.2.26) formulani ixtiyoriy sonli mustaqil atamalarga umumlashtirishni isbotlash oson.

Lavozim xususiyatlariga qo'shimcha ravishda - tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha, tipik qiymatlari - har biri taqsimotning u yoki bu xususiyatini tavsiflovchi bir qator xususiyatlardan foydalaniladi. Bunday xususiyatlar sifatida ko'pincha lahzalar deb ataladigan narsalar qo'llaniladi.

Moment tushunchasi mexanikada massalarning taqsimlanishini (statik momentlar, inersiya momentlari va boshqalar) tasvirlash uchun keng qo‘llaniladi. Tasodifiy miqdor taqsimotining asosiy xossalarini tasvirlash uchun ehtimollar nazariyasida aynan bir xil usullardan foydalaniladi. Ko'pincha amalda ikki turdagi moment qo'llaniladi: boshlang'ich va markaziy.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning s-tartibining boshlang'ich momenti quyidagi shaklning yig'indisiga teng:

. (5.7.1)

Shubhasiz, bu ta'rif mexanikada s tartibining boshlang'ich momentining ta'rifiga to'g'ri keladi, agar massalar x o'qidagi nuqtalarda to'plangan bo'lsa.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X uchun s-tartibning boshlang'ich momenti integraldir

. (5.7.2)

Oldingi n ° da kiritilgan pozitsiyaning asosiy xarakteristikasi - matematik kutish - tasodifiy o'zgaruvchining birinchi boshlang'ich momentidan boshqa narsa emasligini ko'rish oson.

Kutish belgisidan foydalanib, ikkita formulani (5.7.1) va (5.7.2) bittaga birlashtira olamiz. Darhaqiqat, (5.7.1) va (5.7.2) formulalar tuzilishi jihatidan (5.6.1) va (5.6.2) formulalarga to'liq o'xshaydi, farqi shundaki, ularning o'rniga va mos ravishda mavjud. Shuning uchun ham uzluksiz, ham uzluksiz miqdorlar uchun amal qiladigan --tartibning boshlang'ich momentining umumiy ta'rifini yozishimiz mumkin:

, (5.7.3)

bular. tasodifiy miqdorning th darajasining boshlang'ich momenti bu tasodifiy miqdorning th darajasining matematik kutilishidir.

Markaziy momentning ta'rifini berishdan oldin biz "markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchi" ning yangi tushunchasini kiritamiz.

Matematik kutilgan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin. Qiymatga mos keladigan markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchi tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan og'ishidir:

Keyinchalik, biz hamma joyda berilgan tasodifiy o'zgaruvchiga mos keladigan markazlashtirilgan tasodifiy miqdorni yuqoridagi belgi bilan bir xil harf bilan belgilashga rozi bo'lamiz.

Markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi nolga teng ekanligini tekshirish oson. Haqiqatan ham, uzluksiz miqdor uchun

xuddi shunday doimiy miqdor uchun.

Tasodifiy o'zgaruvchini markazlashtirish, ko'rinib turibdiki, boshlang'ichni o'rta, "markaziy" nuqtaga ko'chirishga teng bo'lib, uning abtsissasi matematik kutishga teng.

Markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning momentlari markaziy momentlar deyiladi. Ular mexanikada tortishish markazi haqidagi momentlarga o'xshash.

Shunday qilib, tasodifiy miqdorning s tartibining markaziy momenti mos keladigan markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchining th kuchining matematik kutilishidir:

, (5.7.6)

va uzluksiz uchun - integral

. (5.7.8)

Keyinchalik, berilgan moment qaysi tasodifiy o'zgaruvchiga tegishli ekanligiga shubha bo'lmagan hollarda, qisqalik uchun biz oddiy va o'rniga va yozamiz.

Shubhasiz, har qanday tasodifiy o'zgaruvchi uchun birinchi tartibning markaziy momenti nolga teng:

, (5.7.9)

chunki markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi har doim nolga teng.

Keling, turli tartiblarning markaziy va boshlang'ich momentlarini bog'laydigan munosabatlarni chiqaraylik. Biz faqat uzluksiz miqdorlar uchun hosilani amalga oshiramiz; chekli yig‘indilarni integrallar bilan, ehtimollarni esa ehtimollik elementlari bilan almashtirsak, aynan bir xil munosabatlar uzluksiz miqdorlar uchun amal qilishini tekshirish oson.

Ikkinchi markaziy nuqtani ko'rib chiqing:

Xuddi shunday, uchinchi markaziy daqiqada biz quyidagilarni olamiz:

Boshqalar uchun ifodalar. shunga o'xshash tarzda olish mumkin.

Shunday qilib, har qanday tasodifiy o'zgaruvchining markaziy momentlari uchun formulalar amal qiladi:

(5.7.10)

Umuman olganda, momentlarni faqat kelib chiqishi (boshlang'ich momentlar) yoki matematik kutish (markaziy momentlar) bo'yicha emas, balki ixtiyoriy nuqtaga nisbatan ham ko'rib chiqish mumkin:

. (5.7.11)

Biroq, markaziy momentlar boshqalardan ustunlikka ega: birinchi markaziy moment, biz ko'rganimizdek, har doim nolga teng va undan keyingi ikkinchi markaziy moment, ushbu mos yozuvlar doirasi uchun minimal qiymatga ega. Keling, buni isbotlaylik. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun (5.7.11) formula quyidagi ko'rinishga ega:

. (5.7.12)

Keling, ushbu ifodani o'zgartiramiz:

Shubhasiz, bu qiymat qachon minimal darajaga etadi, ya'ni. nuqtaga nisbatan moment olinganda.

Barcha momentlardan birinchi boshlang'ich moment (kutish) va ikkinchi markaziy moment ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchining xarakteristikasi sifatida ishlatiladi.

Ikkinchi markaziy moment tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi deb ataladi. Ushbu xususiyatning o'ta muhimligini hisobga olgan holda, boshqa jihatlar qatorida, biz uning uchun maxsus belgini kiritamiz:

Markaziy momentning ta'rifiga ko'ra

, (5.7.13)

bular. tasodifiy X ning dispersiyasi - mos keladigan markazlashtirilgan o'zgaruvchining kvadratining matematik kutilishi.

(5.7.13) ifodadagi uning ifoda qiymatini almashtirsak, bizda ham shunday bo'ladi:

. (5.7.14)

To'g'ridan-to'g'ri dispersiyani hisoblash uchun quyidagi formulalar qo'llaniladi:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Tegishli ravishda uzluksiz va uzluksiz miqdorlar uchun.

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi dispersiyaning o'ziga xos xususiyati, tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining uning matematik kutilishi atrofida tarqalishi. “Tarqoqlik” so‘zining o‘zi “tarqalish” degan ma’noni anglatadi.

Agar biz taqsimotning mexanik talqiniga murojaat qilsak, dispersiya og'irlik markaziga nisbatan berilgan massa taqsimotining inersiya momentidan boshqa narsa emas (matematik kutish).

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining o'lchamiga ega; Tarqalishning vizual tavsifi uchun o'lchami tasodifiy o'zgaruvchiga to'g'ri keladigan kattalikdan foydalanish qulayroqdir. Buning uchun dispersiyaning kvadrat ildizini oling. Olingan qiymat tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi (aks holda - "standart") deb ataladi. O'rtacha kvadrat og'ish quyidagi bilan belgilanadi:

, (5.7.17)

Yozuvlarni soddalashtirish uchun biz tez-tez standart og'ish va dispersiya uchun qisqartirilgan belgidan foydalanamiz: va . Bu xususiyatlar qaysi tasodifiy o'zgaruvchiga tegishli ekanligiga shubha bo'lmasa, biz ba'zan x y belgisini o'tkazib yuboramiz va oddiygina va yozamiz. "Standart og'ish" so'zlari ba'zan s.c.o harflari bilan qisqartiriladi.

Amalda, ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchining ikkinchi boshlang'ich momenti (formulalarning ikkinchisi (5.7.10)) bo'yicha dispersiyani ifodalovchi formuladan foydalaniladi. Yangi belgida u quyidagicha ko'rinadi:

Matematik kutish va dispersiya (yoki standart og'ish) tasodifiy o'zgaruvchining eng ko'p qo'llaniladigan xarakteristikalaridir. Ular taqsimotning eng muhim xususiyatlarini tavsiflaydi: uning joylashuvi va tarqalish darajasi. Tarqatishning batafsil tavsifi uchun yuqori tartibli momentlar qo'llaniladi.

Uchinchi markaziy moment taqsimotning assimetriyasini (yoki "qiyshiqligini") tavsiflash uchun xizmat qiladi. Agar taqsimot matematik kutishga nisbatan nosimmetrik bo'lsa (yoki mexanik talqinda massa og'irlik markaziga nisbatan nosimmetrik taqsimlangan bo'lsa), unda g'alati tartibdagi barcha momentlar (agar ular mavjud bo'lsa) nolga teng bo'ladi. Darhaqiqat, jami

taqsimot qonuniga nisbatan simmetrik va toq bo'lgan taqsimot bilan har bir musbat a'zo unga mutlaq qiymatda teng bo'lgan salbiy hadga mos keladi, shuning uchun butun yig'indi nolga teng bo'ladi. Xuddi shu narsa integral uchun ham aniq

,

toq funksiyaning simmetrik chegaralarida integral sifatida nolga teng.

Shuning uchun taqsimot assimetriyasining xarakteristikasi sifatida g'alati momentlardan istalganini tanlash tabiiydir. Ulardan eng oddiyi uchinchi markaziy momentdir. U tasodifiy o'zgaruvchining kubining o'lchamiga ega: o'lchovsiz xarakteristikani olish uchun uchinchi moment standart og'ish kubiga bo'linadi. Olingan qiymat "assimetriya koeffitsienti" yoki oddiygina "assimetriya" deb ataladi; biz uni belgilaymiz:

Shaklda. 5.7.1 ikkita egri taqsimotni ko'rsatadi; ulardan biri (I egri chiziq) ijobiy assimetriyaga ega (); ikkinchisi (II egri chiziq) manfiy ().

To'rtinchi markaziy moment "sovuqlik" deb ataladigan narsani tavsiflash uchun xizmat qiladi, ya'ni. cho'qqi yoki tekis tepalik taqsimoti. Ushbu tarqatish xususiyatlari kurtoz deb ataladigan narsa yordamida tasvirlangan. Tasodifiy o'zgaruvchining kurtozisi - bu miqdor

3 raqami nisbatdan chiqariladi, chunki tabiatda juda muhim va keng tarqalgan normal taqsimot qonuni uchun (bu haqda keyinroq batafsil bilib olamiz). Shunday qilib, normal taqsimot uchun kurtoz nolga teng; oddiy egri chiziqlardan ko'ra ko'proq uchli egri chiziqlar ijobiy kurtozga ega; egri chiziqlar ko'proq tekis - salbiy kurtoz bilan.

Shaklda. 5.7.2 taqdim etadi: normal taqsimot(I egri chiziq), musbat kurtoz bilan taqsimlash (egri II) va salbiy kurtoz bilan taqsimlash (egri III).

Yuqorida ko'rib chiqilgan boshlang'ich va markaziy momentlarga qo'shimcha ravishda, amalda ba'zan formulalar bilan aniqlangan mutlaq momentlar (boshlang'ich va markaziy) deb nomlanadi.

Shubhasiz, hatto buyruqlarning mutlaq momentlari oddiy daqiqalarga to'g'ri keladi.

Mutlaq momentlardan birinchi mutlaq markaziy moment ko'pincha ishlatiladi.

, (5.7.21)

o'rtacha arifmetik og'ish deb ataladi. Dispersiya va standart og'ish bilan bir qatorda, o'rtacha arifmetik og'ish ba'zan dispersiya xarakteristikasi sifatida ishlatiladi.

Matematik kutish, rejim, median, boshlang'ich va markaziy momentlar, xususan, dispersiya, standart og'ish, egrilik va kurtoz tasodifiy o'zgaruvchilarning eng ko'p qo'llaniladigan raqamli xarakteristikalaridir. Ko'pgina amaliy masalalarda tasodifiy o'zgaruvchining to'liq tavsifi - taqsimot qonuni kerak emas yoki olinmaydi. Bunday hollarda, ular yordam bilan tasodifiy o'zgaruvchining taxminiy tavsifi bilan chegaralanadi. Raqamli xarakteristikalar, ularning har biri taqsimotning o'ziga xos xususiyatini ifodalaydi.

Ko'pincha raqamli xususiyatlar bitta taqsimotni boshqasiga almashtirishni taxmin qilish uchun ishlatiladi va odatda ular bir nechta muhim fikrlar o'zgarishsiz qolishi uchun bu almashtirishni amalga oshirishga harakat qilishadi.

1-misol. Bitta tajriba o'tkaziladi, buning natijasida hodisa yuzaga kelishi yoki paydo bo'lmasligi mumkin, ehtimollik ga teng. Tasodifiy o'zgaruvchi ko'rib chiqiladi - hodisaning sodir bo'lish soni (hodisaning xarakterli tasodifiy o'zgaruvchisi ). Uning xususiyatlarini aniqlang: matematik kutish, dispersiya, standart og'ish.

Yechim. Miqdorlarni taqsimlash seriyasi quyidagi shaklga ega:

voqea sodir bo'lmasligi ehtimoli qayerda.

(5.6.1) formula bo'yicha biz qiymatning matematik kutilishini topamiz:

Qiymatning dispersiyasi (5.7.15) formula bilan aniqlanadi:

(Biz o'quvchini ikkinchi boshlang'ich moment bo'yicha dispersiyani ifodalash orqali bir xil natijani olishga taklif qilamiz).

2-misol. Nishonga uchta mustaqil o'q uzildi; har bir zarbani urish ehtimoli 0,4 ga teng. tasodifiy o'zgaruvchisi xitlar soni. Miqdorning xususiyatlarini aniqlang - matematik kutish, dispersiya, s.k.o., assimetriya.

Yechim. Miqdorlarni taqsimlash seriyasi quyidagi shaklga ega:

Biz miqdorning raqamli xususiyatlarini hisoblaymiz:

Shuni esda tutingki, bir xil xususiyatlarni funktsiyalarning sonli xarakteristikalari bo'yicha teoremalardan foydalangan holda oddiyroq hisoblash mumkin (10-bobga qarang).

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi bu o'zgaruvchi qiymatlarining tarqalishining o'lchovidir. Kichik tafovut qiymatlarning bir-biriga yaqin to'planganligini anglatadi. Katta farq qiymatlarning kuchli tarqalishini ko'rsatadi. Statistikada tasodifiy miqdorning dispersiyasi tushunchasidan foydalaniladi. Masalan, agar siz ikkita kattalik qiymatlarining farqini solishtirsangiz (masalan, erkak va ayol bemorlarning kuzatuvlari natijalari), siz ba'zi o'zgaruvchilarning ahamiyatini tekshirishingiz mumkin. Variant statistik modellarni yaratishda ham qo'llaniladi, chunki kichik tafovut qiymatlarni haddan tashqari oshirayotganligingizning belgisi bo'lishi mumkin.

Qadamlar

Namuna farqini hisoblash

Namuna qiymatlarini yozib oling. Ko'pgina hollarda, statistik mutaxassislar uchun faqat ma'lum populyatsiyalarning namunalari mavjud. Misol uchun, qoida tariqasida, statistiklar Rossiyadagi barcha avtomobillar aholisini saqlash xarajatlarini tahlil qilmaydi - ular bir necha ming avtomobilning tasodifiy namunasini tahlil qiladilar. Bunday namuna bir mashinaning o'rtacha narxini aniqlashga yordam beradi, lekin, ehtimol, natijada olingan qiymat haqiqiy qiymatdan uzoq bo'ladi.

• Masalan, tasodifiy tartibda olingan, 6 kun ichida kafeda sotilgan bulochkalar sonini tahlil qilaylik. Namuna quyidagi shaklga ega: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Bu populyatsiya emas, namunadir, chunki bizda kafe ochilgan har bir kun uchun sotilgan bulochkalar haqida maʼlumotlar yoʻq.
• Agar sizga qiymatlar namunasi emas, balki populyatsiya berilgan bo'lsa, keyingi bo'limga o'ting.

1. Namuna dispersiyasini hisoblash formulasini yozing. Dispersiya ma'lum miqdor qiymatlarining tarqalishining o'lchovidir. Dispersiya qiymati nolga qanchalik yaqin bo'lsa, qiymatlar shunchalik yaqinroq guruhlanadi. Qiymatlar namunasi bilan ishlaganda dispersiyani hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

   O'rtacha hisoblang namunalar. U x̅ sifatida belgilanadi. Namuna o'rtachasi oddiy arifmetik o'rtacha kabi hisoblanadi: namunadagi barcha qiymatlarni qo'shing va natijani namunadagi qiymatlar soniga bo'ling.

   • Bizning misolimizda namunadagi qiymatlarni qo'shing: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     Endi natijani namunadagi qiymatlar soniga bo'ling (bizning misolimizda 6 ta mavjud): 84 ÷ 6 = 14.
     Namuna oʻrtacha x̅ = 14.
   • Namuna o'rtacha markaziy ahamiyatga ega, uning atrofida namunadagi qiymatlar taqsimlanadi. Agar namuna klasteridagi qiymatlar namuna atrofida o'rtacha bo'lsa, dispersiya kichik bo'ladi; aks holda dispersiya katta bo'ladi.

2. Namunadagi har bir qiymatdan namunaviy o'rtachani olib tashlang. Endi farqni hisoblang x i (\displaystyle x_(i))- x̅, qayerda x i (\displaystyle x_(i))- namunadagi har bir qiymat. Olingan har bir natija ma'lum bir qiymatning o'rtacha tanlamadan qanchalik og'ishini, ya'ni bu qiymat o'rtacha tanlamadan qanchalik uzoqligini ko'rsatadi.

   Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, farqlar yig'indisi x i (\displaystyle x_(i))- x̅ nolga teng bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki, o'rtacha dispersiya har doim nolga teng bo'lib, ba'zi bir miqdor qiymatlarining tarqalishi haqida hech qanday tasavvurga ega emas. Ushbu muammoni hal qilish uchun har bir farqni kvadratga aylantiring x i (\displaystyle x_(i))- x̅. Bu siz faqat ijobiy raqamlarni olishingizga olib keladi, ular birgalikda qo'shilganda hech qachon 0 ga chiqmaydi.

   Kvadrat farqlar yig‘indisini hisoblang. Ya'ni formulaning quyidagicha yozilgan qismini toping: ∑[( x i (\displaystyle x_(i))-x̅) 2 (\displaystyle ^(2))]. Bu erda S belgisi har bir qiymat uchun kvadratik farqlar yig'indisini bildiradi x i (\displaystyle x_(i)) namunada. Siz allaqachon kvadrat farqlarni topdingiz (x i (\displaystyle (x_(i)))-x̅) 2 (\displaystyle ^(2)) har bir qiymat uchun x i (\displaystyle x_(i)) namunada; Endi bu kvadratlarni qo'shing.

   • Bizning misolimizda: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

3. Natijani n - 1 ga bo'ling, bu erda n - namunadagi qiymatlar soni. Bir muncha vaqt oldin, tanlama dispersiyasini hisoblash uchun statistiklar natijani oddiygina n ga bo'lishdi; bu holda siz berilgan namunadagi dispersiyani tavsiflash uchun ideal bo'lgan kvadrat dispersiyaning o'rtacha qiymatini olasiz. Ammo esda tutingki, har qanday namuna faqat kichik bir qismdir. aholi qiymatlar. Agar siz boshqa namunani olsangiz va bir xil hisob-kitoblarni qilsangiz, boshqa natijaga erishasiz. Ma'lum bo'lishicha, n - 1 ga bo'lish (shunchaki n emas) populyatsiya tafovutini yaxshiroq baholash imkonini beradi, bu siz istagan narsadir. n - 1 ga bo'lish odatiy holga aylangan, shuning uchun u tanlama dispersiyasini hisoblash formulasiga kiritilgan.

   Dispersiya va standart og'ish o'rtasidagi farq. E'tibor bering, formulada eksponent mavjud, shuning uchun dispersiya tahlil qilingan qiymatning kvadrat birliklarida o'lchanadi. Ba'zan bunday qiymatni ishlatish juda qiyin; bunday hollarda teng bo'lgan standart og'ishdan foydalaning kvadrat ildiz dispersiyadan. Shuning uchun namunaviy dispersiya quyidagicha belgilanadi s 2 (\displaystyle s^(2)), va namunaviy standart og'ish sifatida s (\displaystyle s).

   • Bizning misolimizda namunaviy standart og'ish: s = √33,2 = 5,76.

   Aholi dispersiyasini hisoblash

   1. Ba'zi qiymatlarni tahlil qiling. To'plam ko'rib chiqilayotgan miqdorning barcha qiymatlarini o'z ichiga oladi. Misol uchun, agar siz Leningrad viloyati aholisining yoshini o'rganayotgan bo'lsangiz, unda aholi ushbu mintaqaning barcha aholisining yoshini o'z ichiga oladi. Agregat bilan ishlashda jadval yaratish va unga agregat qiymatlarini kiritish tavsiya etiladi. Quyidagi misolni ko'rib chiqing:

      Populyatsiya dispersiyasini hisoblash formulasini yozing. Populyatsiya ma'lum bir miqdorning barcha qiymatlarini o'z ichiga olganligi sababli, quyidagi formula populyatsiya dispersiyasining aniq qiymatini olish imkonini beradi. Populyatsiya dispersiyasini tanlanma dispersiyadan ajratish uchun (bu faqat taxmin), statistiklar turli xil o'zgaruvchilardan foydalanadilar:

      O'rtacha aholi sonini hisoblang. Umumiy aholi bilan ishlashda uning o'rtacha qiymati m (mu) bilan belgilanadi. Aholining o'rtacha qiymati odatdagi arifmetik o'rtacha sifatida hisoblanadi: populyatsiyadagi barcha qiymatlarni qo'shing va natijani populyatsiyadagi qiymatlar soniga bo'ling.

      Populyatsiyadagi har bir qiymatdan aholi o'rtacha qiymatini ayiring. Farq qiymati nolga qanchalik yaqin bo'lsa, ma'lum qiymat o'rtacha populyatsiyaga yaqinroq bo'ladi. Populyatsiyadagi har bir qiymat va uning o'rtacha qiymati o'rtasidagi farqni toping va siz qiymatlarning taqsimlanishiga birinchi qarashni olasiz.

      Olingan har bir natijani kvadratga aylantiring. Farq qiymatlari ham ijobiy, ham salbiy bo'ladi; agar siz ushbu qiymatlarni raqam qatoriga qo'ysangiz, ular populyatsiya o'rtachasining o'ng va chap tomonida yotadi. Bu dispersiyani hisoblash uchun yaxshi emas, chunki ijobiy va salbiy raqamlar bir-birini bekor qiladi. Shuning uchun, faqat ijobiy raqamlarni olish uchun har bir farqni kvadratga aylantiring.

      Olingan natijalarning o'rtacha qiymatini toping. Siz populyatsiyadagi har bir qiymat o'rtacha qiymatdan qanchalik uzoqligini topdingiz. Kvadrat farqlar yig'indisining o'rtacha qiymatini populyatsiyadagi qiymatlar soniga bo'lish orqali toping.

   2. Ushbu yechimni formula bilan moslang. Yuqoridagi yechim formulaga qanday aloqadorligini tushunmasangiz, quyida yechimning izohi keltirilgan:

      • Biz har bir qiymat va aholi o'rtacha o'rtasidagi farqni topamiz va keyin har bir farqni kvadratga olamiz, ya'ni ( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)), (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) va hokazo ( x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)), qayerda x n (\displaystyle x_(n)) populyatsiyadagi oxirgi qiymatdir.
      • Olingan natijalarning o'rtacha qiymatini hisoblash uchun siz ularning yig'indisini topishingiz va uni n ga bo'lishingiz kerak: (( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + ... + (x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))) / n
      • Endi yuqoridagi tushuntirishni o'zgaruvchilar yordamida yozamiz: (∑( x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))) / n va populyatsiya dispersiyasini hisoblash formulasini oling.

Ta'rif.Tarqalish (tarqalish) Diskret tasodifiy o'zgaruvchi tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan kvadrat og'ishining matematik kutilishi deb ataladi:

Misol. Yuqoridagi misol uchun biz topamiz

Tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxmini:

Kvadrat og'ishning mumkin bo'lgan qiymatlari:

; ;

Dispersiya quyidagicha:

Biroq, amalda, dispersiyani hisoblashning bu usuli noqulay, chunki tasodifiy o'zgaruvchining ko'p sonli qiymatlari uchun noqulay hisob-kitoblarga olib keladi. Shuning uchun boshqa usul qo'llaniladi.

Farqni hisoblash

Teorema. Dispersiya X tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining matematik kutilishi va uning matematik kutilmasining kvadrati o'rtasidagi farqga teng.:

Isbot. Matematik kutish va matematik kutish kvadrati doimiy qiymatlar ekanligini hisobga olib, biz yozishimiz mumkin:

Keling, ushbu formulani yuqoridagi misolga qo'llaymiz:

Dispersiya xususiyatlari

1) dispersiya doimiy qiymat nolga teng:

2) Doimiy koeffitsientni dispersiya belgisidan kvadratga ajratib olish mumkin:

.

3) Ikki mustaqil tasodifiy miqdorlar yig‘indisining dispersiyasi ushbu o‘zgaruvchilarning dispersiyalari yig‘indisiga teng:

4) Ikki mustaqil tasodifiy miqdorlar farqining dispersiyasi ushbu oʻzgaruvchilarning dispersiyalari yigʻindisiga teng:

Bu tenglikning haqiqiyligi 2-xususiyatdan kelib chiqadi.

Teorema. Har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli doimiy bo‘lgan n ta mustaqil sinovda A hodisasi ro‘y berish sonining dispersiyasi, sodir bo‘lish ehtimoli va hodisa ehtimoli bo‘yicha sinovlar sonining ko‘paytmasiga teng. har bir sinovda sodir bo'lmaydi:

Misol. Zavodda mahsulotning 96 foizi birinchi nav, 4 foizi ikkinchi nav ishlab chiqariladi. 1000 ta element tasodifiy tanlanadi. Mayli X- ushbu namunadagi birinchi navdagi mahsulotlar soni. Tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini, matematik kutilmasini va dispersiyasini toping.

Shunday qilib, taqsimot qonunini binomial deb hisoblash mumkin.

Misol. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping X- voqea sodir bo'lgan holatlar soni LEKIN ikkita mustaqil sudda, agar har bir sud jarayonida ushbu hodisaning yuzaga kelish ehtimoli teng bo'lsa va ma'lum bo'lsa.

Chunki tasodifiy qiymat X binomial qonun bo'yicha taqsimlanadi, keyin

Misol. Mustaqil testlar hodisaning bir xil yuzaga kelishi ehtimoli bilan amalga oshiriladi LEKIN har bir sinovda. Voqea sodir bo'lish ehtimolini toping LEKIN agar uchta mustaqil sinovda hodisaning sodir bo'lish sonining dispersiyasi 0,63 bo'lsa.

Binom qonunining dispersiya formulasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

;

Misol. To'rtta mustaqil ishlaydigan qurilmadan iborat qurilma sinovdan o'tkazilmoqda. Qurilmalarning har birining ishdan chiqish ehtimoli mos ravishda tengdir ; ; . Muvaffaqiyatsiz qurilmalar sonining matematik kutilishi va farqini toping.

Muvaffaqiyatsiz qurilmalar sonini tasodifiy o'zgaruvchi sifatida olib, biz ushbu tasodifiy o'zgaruvchining 0, 1, 2, 3 yoki 4 qiymatlarini olishi mumkinligini ko'ramiz.

Ushbu tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonunini tuzish uchun mos keladigan ehtimollarni aniqlash kerak. Qabul qilaylik.

1) Birorta ham qurilma ishlamay qoldi:

2) Qurilmalardan biri muvaffaqiyatsiz tugadi.

dispersiya Tasodifiy o'zgaruvchining (tarqalishi) - tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan kvadrat og'ishining matematik kutilishi:

Farqni hisoblash uchun siz biroz o'zgartirilgan formuladan foydalanishingiz mumkin

chunki M(X), 2 va
doimiy qiymatlardir. Shunday qilib,

4.2.2. Dispersiya xususiyatlari

Mulk 1. Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng. Darhaqiqat, ta'rifga ko'ra

Mulk 2. Doimiy koeffitsientni dispersiya belgisidan kvadratga ajratib olish mumkin.

Isbot

Markazlashtirilgan Tasodifiy o'zgaruvchi - bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan chetga chiqishi:

Markazlashtirilgan qiymat o'zgartirish uchun qulay bo'lgan ikkita xususiyatga ega:

Mulk 3. Agar tasodifiy o'zgaruvchilar X va Y mustaqil, keyin

Isbot. Belgilamoq
. Keyin.

Ikkinchi muddatda tasodifiy o'zgaruvchilarning mustaqilligi va markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchilarning xususiyatlari tufayli

4.5-misol. Agar a a va b doimiy, keyin D (aX+b)= D(aX)+D(b)=
.

4.2.3. Standart og'ish

Tasodifiy o'zgaruvchining tarqalishining xarakteristikasi sifatida dispersiya bitta kamchilikka ega. Agar, masalan, X- o'lchov xatosi o'lchamga ega MM, u holda dispersiya o'lchovga ega bo'ladi
. Shuning uchun, ko'pincha boshqa tarqalish xususiyatidan foydalanish afzallik beriladi - standart og'ish , bu dispersiyaning kvadrat ildiziga teng

Standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchining o'zi bilan bir xil o'lchamga ega.

4.6-misol. Mustaqil sinovlar sxemasida hodisa ro'y berish sonining o'zgarishi

Ishlab chiqarilgan n mustaqil sinovlar va har bir sinovda sodir bo'lgan voqea ehtimoli R. Biz, avvalgidek, voqea sodir bo'lgan sonini bildiramiz X individual tajribalarda hodisaning sodir bo'lish soni orqali:

Tajribalar mustaqil bo'lgani uchun tasodifiy o'zgaruvchilar tajribalar bilan bog'liq mustaqil. Va mustaqillik sharofati bilan bizda ... bor

Ammo tasodifiy o'zgaruvchilarning har biri taqsimot qonuniga ega (3.2-misol)

va
(4.4-misol). Shunday qilib, dispersiya ta'rifi bo'yicha:

qayerda q=1- p.

Natijada, biz bor
,

Voqea sodir bo'lish sonining standart og'ishi n mustaqil tajribalar
.

4.3. Tasodifiy o'zgaruvchilar momentlari

Ko'rib chiqilganlardan tashqari, tasodifiy o'zgaruvchilar ko'plab boshqa raqamli xususiyatlarga ega.

Boshlanish momenti k X (
) matematik kutish deyiladi k bu tasodifiy o'zgaruvchining kuchi.

Markaziy nuqta k- tartibli tasodifiy o'zgaruvchi X kutish deyiladi k mos markazlashtirilgan miqdorning th kuchi.

Birinchi tartibning markaziy momenti har doim nolga teng ekanligini tushunish oson, ikkinchi tartibning markaziy momenti dispersiyaga teng, chunki .

Uchinchi tartibning markaziy momenti tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishining assimetriyasi haqida fikr beradi. Ikkinchidan yuqori tartibli momentlar nisbatan kamdan-kam qo'llaniladi, shuning uchun biz faqat ular haqidagi tushunchalar bilan cheklanamiz.

4.4. Tarqatish qonunlarini topishga misollar

Tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimot qonunlarini va ularning sonli xarakteristikalarini topish misollarini ko'rib chiqing.

4.7-misol.

Nishonga uchta zarba berish bilan nishonga zarbalar soni uchun taqsimot qonunini tuzing, agar har bir o'q bilan urish ehtimoli 0,4 bo'lsa. Integral funktsiyani toping F(X) diskret tasodifiy o'zgaruvchining natijada taqsimlanishi uchun X va uning grafigini chizing. Matematik taxminni toping M(X) , dispersiya D(X) va standart og'ish
(X) tasodifiy o'zgaruvchi X.

Yechim

1) Diskret tasodifiy miqdor X- uchta zarba bilan nishonga zarbalar soni - to'rtta qiymatni olishi mumkin: 0, 1, 2, 3 . U ularning har birini qabul qilish ehtimolini biz Bernulli formulasidan topamiz: n=3,p=0,4,q=1- p=0,6 va m=0, 1, 2, 3:

Mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimolliklarini oling X:;

Tasodifiy miqdorni taqsimlashning kerakli qonunini tuzamiz X:

Nazorat: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.

Olingan tasodifiy miqdorning taqsimot poligonini quramiz X. Buning uchun to‘rtburchak koordinatalar sistemasida (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064) nuqtalarni belgilang. Keling, bu nuqtalarni chiziq segmentlari bilan bog'laymiz, natijada siniq chiziq kerakli taqsimot poligonidir (4.1-rasm).

2) Agar x bo'lsa 0, keyin F(X)=0. Darhaqiqat, noldan kichik qiymatlar uchun qiymat X qabul qilmaydi. Shuning uchun, hamma uchun X0 , ta'rifdan foydalanib F(X), olamiz F(X)=P(X< x) =0 (mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli sifatida).

Agar 0 , keyin F(X) =0,216. Darhaqiqat, bu holatda F(X)=P(X< x) = =P(- < X 0)+ P(0< X< x) =0,216+0=0,216.

Agar, masalan, X=0,2, keyin F(0,2)=P(X<0,2) . Ammo voqea ehtimoli X<0,2 равна 0,216, так как случайная величинаX faqat bitta holatda 0,2 dan kam qiymatni oladi, ya'ni 0 0,216 ehtimollik bilan.

Agar 1 , keyin

Haqiqatan ham, X 0,216 ehtimollik bilan 0 qiymatini va 0,432 ehtimollik bilan 1 qiymatini qabul qilishi mumkin; shuning uchun, qaysi biri bo'lishidan qat'i nazar, ushbu qadriyatlardan biri, X 0,648 ehtimollik bilan (mos kelmaydigan hodisalarning ehtimollarini qo'shish teoremasi bo'yicha) qabul qilishi mumkin.

Agar 2 , keyin, shunga o'xshash bahslashib, biz olamiz F(X)=0,216+0,432 + + 0,288=0,936. Darhaqiqat, masalan, X=3. Keyin F(3)=P(X<3) hodisaning ehtimolini ifodalaydi X<3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функцииF(X).

Agar a x>3, keyin F(X)=0,216+0,432+0,288+0,064=1. Haqiqatan ham, voqea X
ishonchli va uning ehtimoli birga teng, va X>3 - imkonsiz. Sharti bilan; inobatga olgan holda

F(X)=P(X< x) =P(X 3) + P(3< X< x) , biz ko'rsatilgan natijani olamiz.

Shunday qilib, X tasodifiy o'zgaruvchining kerakli integral taqsimot funktsiyasi olinadi:

F(x) =

uning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 4.2.

3) Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi barcha mumkin bo'lgan qiymatlar mahsuloti yig'indisiga teng. X ularning ehtimoli bo'yicha:

M(X)=0=1,2.

Ya'ni, o'rtacha hisobda uchta zarba bilan nishonga bitta zarba bo'ladi.

Dispersiyani dispersiya ta'rifidan hisoblash mumkin D(X)= M(X- M(X)) yoki formuladan foydalaning D(X)= M(X
, bu esa maqsadga tezroq olib keladi.

Tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini yozamiz X :

uchun matematik taxminni toping X:

M(X ) = 04
= 2,16.

Istalgan farqni hisoblaymiz:

D(X) = M(X ) – (M(X)) = 2,16 – (1,2)= 0,72.

O'rtacha kvadrat og'ish formula bo'yicha topiladi

(X) =
= 0,848.

Interval ( M- ; M+ ) = (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) - tasodifiy o'zgaruvchining eng ehtimoliy qiymatlari oralig'i X, 1 va 2 qiymatlari unga tushadi.

4.8-misol.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning differentsial taqsimot funksiyasi (zichlik funksiyasi) berilgan X:

f(x) =

1) Doimiy parametrni aniqlang a.

2) integral funksiyani toping F(x) .

3) Funksiya grafiklarini tuzish f(x) va F(x) .

4) Ehtimollarning ikkita usulini toping P(0,5< X 1,5) va P(1,5< X<3,5) .

5). Matematik taxminni toping M(X), dispersiya D(X) va standart og'ish
tasodifiy o'zgaruvchi X.

Yechim

1) Xususiyatiga ko'ra differentsial funktsiya f(x) shartni qondirishi kerak
.

Berilgan funksiya uchun bu noto'g'ri integralni hisoblaylik f(x) :

Ushbu natijani tenglikning chap tomoniga almashtirsak, biz buni olamiz a=1. uchun sharoitda f(x) parametrni o'zgartiring a 1 da:

2) topish F(x) formuladan foydalaning

.

Agar x
, keyin
, Binobarin,

Agar 1
keyin

Agar x>2 bo'lsa

Demak, kerakli integral funksiya F(x) kabi ko'rinadi:

3) funksiyalar grafiklarini tuzamiz f(x) va F(x) (4.3 va 4.4-rasmlar).

4) Berilgan oraliqda tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimoli (a,b) formula bo'yicha hisoblanadi
, agar funktsiya ma'lum bo'lsa f(x), va formula bo'yicha P(a < X < b) = F(b) – F(a), funktsiya ma'lum bo'lsa F(x).

Keling, topamiz
ikkita formuladan foydalanib, natijalarni solishtiring. Shart bo'yicha a=0,5;b=1,5; funktsiyasi f(X) 1-bandda ko'rsatilgan). Shunday qilib, formula bo'yicha kerakli ehtimollik:

Xuddi shu ehtimollikni b) formula bo'yicha 2) paragrafda olingan o'sish orqali hisoblash mumkin. integral funktsiya F(x) bu oraliqda:

Chunki F(0,5)=0.

Xuddi shunday, biz topamiz

chunki F(3,5)=1.

5) Matematik kutilmani topish M(X) formuladan foydalaning
Funktsiya f(x) 1-band qarorida berilgan), u (1,2] oraliqdan tashqari nolga teng:

Uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasi D(X) tengligi bilan belgilanadi

, yoki ekvivalent tenglik

.

Uchun topish D(X) biz oxirgi formuladan foydalanamiz va barcha mumkin bo'lgan qiymatlarni hisobga olamiz f(x) (1,2] oralig'iga tegishli:

Standart og'ish
=
=0,276.

Tasodifiy o'zgaruvchining eng mumkin bo'lgan qiymatlari oralig'i X teng

(M-
,M+
) = (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).