Ma'lumki, tarqatish qonuni tasodifiy o'zgaruvchi turli yo‘llar bilan belgilanishi mumkin. Diskret tasodifiy miqdorni taqsimlash qatori yoki integral funksiya yordamida, uzluksiz tasodifiy miqdorni esa integral yoki differentsial funksiya yordamida aniqlash mumkin. Keling, ushbu ikki funktsiyaning selektiv analoglarini ko'rib chiqaylik.

Hajmning ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilari qiymatlarining namunaviy to'plami bo'lsin va bu to'plamdagi har bir variantga uning chastotasi tayinlanadi. Yana davom eting - biroz haqiqiy raqam, a tasodifiy o'zgaruvchining namunaviy qiymatlari soni
, kichikroq .Keyin raqam namunada kuzatilgan qiymatlarning chastotasi X, kichikroq , bular. hodisaning sodir bo'lish chastotasi
. O'zgarganda x umumiy holatda qiymat ham o'zgaradi . Bu nisbiy chastotani bildiradi argumentning funktsiyasidir . Va bu funktsiya tajribalar natijasida olingan namunaviy ma'lumotlarga ko'ra topilganligi sababli, u namuna yoki deyiladi empirik.

Ta'rif 10.15. Empirik taqsimot funksiyasi(namuna taqsimlash funksiyasi) funksiya deyiladi
, har bir qiymat uchun belgilash x hodisaning nisbiy chastotasi
.

(10.19)

Namunaning empirik taqsimot funksiyasidan farqli ravishda taqsimlash funksiyasi F(x) aholi chaqirdi nazariy taqsimot funksiyasi. Ularning orasidagi farq shundaki, nazariy funktsiya F(x) hodisaning ehtimolini aniqlaydi
, empirik esa bir xil hodisaning nisbiy chastotasidir. Bernulli teoremasidan kelib chiqadi

,
(10.20)

bular. katta ehtimollik
va nisbiy hodisalar chastotasi
, ya'ni.
bir-biridan ozgina farq qiladi. Bu allaqachon umumiy populyatsiyaning nazariy (integral) taqsimot funktsiyasini taxminiy ifodalash uchun namunaning empirik taqsimot funktsiyasidan foydalanishning maqsadga muvofiqligini nazarda tutadi.

Funktsiya
va
bir xil xususiyatlarga ega. Bu funktsiyaning ta'rifidan kelib chiqadi.

Xususiyatlari
:

10.4-misol. Berilgan namunaviy taqsimot uchun empirik funktsiyani tuzing:

Yechim: Namuna hajmini toping n= 12+18+30=60. Eng kam variant
, Binobarin,
da
. Ma'nosi
, aynan
12 marta kuzatilgan, shuning uchun:

=
da
.

Ma'nosi x< 10, ya'ni
va
12+18=30 marta kuzatildi, shuning uchun
=
da
. Da

.

Istalgan empirik taqsimot funktsiyasi:

=

Jadval
shaklda ko'rsatilgan. 10.2

R
hisoblanadi. 10.2

test savollari

1. Matematik statistika qanday asosiy masalalarni hal qiladi? 2. Umumiy va tanlanma populyatsiya? 3. Namuna hajmini aniqlang. 4. Qanday namunalar reprezentativ deyiladi? 5. Reprezentativlik xatolari. 6. Namuna olishning asosiy usullari. 7. Chastota, nisbiy chastota tushunchalari. 8. Statistik qator tushunchasi. 9. Sturges formulasini yozing. 10. Namuna diapazoni, mediana va rejim tushunchalarini tuzing. 11. Poligon chastotalari, gistogramma. 12. Tanlangan populyatsiyaning nuqtaviy bahosi tushunchasi. 13. Xolis va xolis ball bahosi. 14. O‘rtacha namuna tushunchasini tuzing. 15. Tanlanma dispersiya tushunchasini shakllantiring. 16. Namuna standart og‘ish tushunchasini shakllantiring. 17. Namuna o‘zgaruvchanlik koeffitsienti tushunchasini tuzing. 18. Geometrik o‘rtacha namuna tushunchasini tuzing.

13-ma'ruza

Ma'lum bo'lsin statistik taqsimot chastotalar miqdoriy xususiyat X. X dan kichik xususiyat qiymati kuzatilgan kuzatuvlar soni va n - bilan belgilang. umumiy soni kuzatishlar. Shubhasiz, X hodisaning nisbiy chastotasi< x равна и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Empirik taqsimot funksiyasi(namunalarni taqsimlash funksiyasi) - har bir x qiymati uchun X hodisasining nisbiy chastotasini aniqlaydigan funksiya< x. Таким образом, по определению ,где - число вариант, меньших x, n – объем выборки.

Namunaning empirik taqsimot funktsiyasidan farqli o'laroq, populyatsiyani taqsimlash funktsiyasi deyiladi nazariy taqsimot funksiyasi. Bu funksiyalarning farqi shundaki, nazariy funksiya aniqlaydi ehtimollik voqealar X< x, тогда как эмпирическая – nisbiy chastota xuddi shunday voqea.

n o'sishi bilan X hodisaning nisbiy chastotasi< x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами

Empirik taqsimot funksiyasining xossalari:

1) Empirik funktsiyaning qiymatlari segmentga tegishli

2) - kamaymaydigan funksiya

3) Agar - eng kichik variant, u holda = 0 at , agar - eng katta variant, u holda =1 at .

empirik funktsiya Tanlanma taqsimoti aholining nazariy taqsimot funksiyasini baholashga xizmat qiladi.

Misol. Keling, namunaning taqsimlanishiga ko'ra empirik funktsiyani quramiz:

Namuna hajmini topamiz: 12+18+30=60. Eng kichik variant 2, shuning uchun x £ 2 uchun =0. x qiymati<6, т.е. , наблюдалось 12 раз, следовательно, =12/60=0,2 при 2< x £6. Аналогично, значения X < 10, т.е. и наблюдались 12+18=30 раз, поэтому =30/60 =0,5 при 6< x £10. Так как x=10 – наибольшая варианта, то =1 при x>10. Shunday qilib, kerakli empirik funktsiya quyidagi ko'rinishga ega:

Statistik baholarning eng muhim xossalari

Umumiy aholining qandaydir miqdoriy atributini o'rganish talab qilinsin. Faraz qilaylik, nazariy mulohazalar asosida buni aniqlash mumkin edi qaysi biri taqsimot atributga ega va u aniqlanadigan parametrlarni baholash kerak. Misol uchun, agar o'rganilayotgan belgi umumiy populyatsiyada normal taqsimlangan bo'lsa, unda taxmin qilish kerak kutilgan qiymat va standart og'ish; agar atribut Puasson taqsimotiga ega bo'lsa, u holda l parametrini baholash kerak.

Odatda, faqat namunaviy ma'lumotlar mavjud, masalan, n ta mustaqil kuzatuvdan olingan xususiyatlar qiymatlari. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar sifatida ko'rib chiqsak, buni aytishimiz mumkin nazariy taqsimotning noma'lum parametrining statistik bahosini topish - taxmin qilingan parametrning taxminiy qiymatini beradigan kuzatilgan tasodifiy o'zgaruvchilar funktsiyasini topish. Masalan, matematik kutishni taxmin qilish normal taqsimot funksiyaning rolini o'rtacha arifmetik bajaradi

Statistik hisob-kitoblar taxmin qilingan parametrlarning to'g'ri taxminiyligini berishi uchun ular ma'lum talablarga javob berishi kerak, ular orasida eng muhimi talablardir. xolislik va to'lov qobiliyati taxminlar.

Mayli - statistik baholash nazariy taqsimotning noma'lum parametri. Baholash n o'lchamdagi namuna asosida topilsin. Keling, tajribani takrorlaymiz, ya'ni. Biz umumiy populyatsiyadan bir xil o'lchamdagi boshqa namunani ajratib olamiz va uning ma'lumotlariga asoslanib, biz ning boshqacha bahosini olamiz. Tajribani ko'p marta takrorlab, biz turli xil raqamlarni olamiz. Balni tasodifiy o'zgaruvchi, raqamlarni esa uning mumkin bo'lgan qiymatlari deb hisoblash mumkin.

Agar taxmin taxminiy ma'lumotni keltirsa mo'l-ko'llikda, ya'ni. har bir raqam haqiqiy qiymatdan katta bo'lsa, natijada tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi (o'rtacha qiymati) dan katta bo'ladi. Xuddi shunday, agar u baholasa kamchilik bilan, keyin.

Shunday qilib, matematik kutilishi taxmin qilingan parametrga teng bo'lmagan statistik bahodan foydalanish tizimli (bir belgi) xatolarga olib keladi. Agar, aksincha, , bu tizimli xatolardan kafolat beradi.

xolis statistik taxmin deb ataladi, uning matematik kutilishi har qanday tanlama kattaligi uchun taxmin qilingan parametrga teng.

Ko'chirilgan bu shartni qanoatlantirmaydigan taxmin deyiladi.

Baholashning xolisligi hali taxmin qilingan parametr uchun yaxshi yaqinlikni kafolatlamaydi, chunki mumkin bo'lgan qiymatlar bo'lishi mumkin. juda tarqoq uning o'rtacha qiymati atrofida, ya'ni. farq sezilarli bo'lishi mumkin. Bunday holda, bitta namunadagi ma'lumotlardan topilgan taxmin, masalan, o'rtacha qiymatdan va shuning uchun taxmin qilingan parametrning o'zidan sezilarli darajada uzoqroq bo'lishi mumkin.

samarali ma'lum bir tanlama kattaligi uchun n ga ega bo'lgan statistik baho deyiladi mumkin bo'lgan eng kichik farq .

Katta hajmdagi namunalarni ko'rib chiqishda statistik hisob-kitoblar talab qilinadi to'lov qobiliyati .

Boy n®¥ sifatida, taxmin qilingan parametrga nisbatan ehtimollikka moyil bo'lgan statistik baho deb ataladi. Misol uchun, agar xolis baholovchining dispersiyasi n®¥ sifatida nolga moyil bo'lsa, unda bunday baholovchi ham izchil bo'lib chiqadi.

Empirik taqsimot funksiyasini aniqlash

$X$ tasodifiy o‘zgaruvchi bo‘lsin. $F(x)$ - berilgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi. Biz bir xil mustaqil sharoitda berilgan tasodifiy o'zgaruvchi bo'yicha $n$ tajribalarini o'tkazamiz. Bunda biz $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$ qiymatlari ketma-ketligini olamiz, bu namuna deb ataladi.

Ta'rif 1

$x_i$ ning har bir qiymati ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) variant deb ataladi.

Nazariy taqsimot funksiyasining baholaridan biri empirik taqsimot funksiyasidir.

Ta'rif 3

$F_n(x)$ empirik taqsimot funksiyasi har bir $x$ qiymati uchun $X hodisasining nisbiy chastotasini aniqlaydigan funktsiyadir.

bu yerda $n_x$ - $x$ dan kam variantlar soni, $n$ - namuna hajmi.

Empirik funktsiyaning nazariydan farqi shundaki, nazariy funktsiya $X hodisaning ehtimolini aniqlaydi.

Empirik taqsimot funksiyasining xossalari

Keling, taqsimot funktsiyasining bir qancha asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

$F_n\left(x\right)$ funksiya diapazoni $$ segmentidir.

$F_n\left(x\right)$ kamaymaydigan funksiyadir.

$F_n\left(x\right)$ - chap uzluksiz funksiya.

$F_n\left(x\right)$ boʻlakli doimiy funksiya boʻlib, faqat $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi qiymatlari nuqtalarida ortadi.

$X_1$ eng kichik, $X_n$ esa eng katta variant boʻlsin. Keyin $(x\le X)_1$ uchun $F_n\left(x\right)=0$ va $x\ge X_n$ uchun $F_n\left(x\right)=1$.

Keling, nazariy va empirik funktsiyalarni bog'laydigan teoremani kiritaylik.

Teorema 1

$F_n\left(x\right)$ empirik taqsimot funksiyasi va $F\left(x\right)$ umumiy tanlovning nazariy taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Keyin tenglik amal qiladi:

\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) (|F)_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ )\]

Empirik taqsimot funksiyasini topish masalalariga misollar

1-misol

Namuna taqsimoti jadval yordamida qayd etilgan quyidagi ma'lumotlarga ega bo'lsin:

1-rasm.

Namuna hajmini toping, empirik taqsimot funksiyasini tuzing va uni chizing.

Namuna hajmi: $n=5+10+15+20=50$.

5-xususiyatga ko'ra, bizda $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$ va $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$ bor.

$x qiymati

$x qiymati

$x qiymati

Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz:

2-rasm.

3-rasm

2-misol

Rossiyaning markaziy qismidagi shaharlardan 20 ta shahar tasodifiy tanlab olindi, ular uchun jamoat transportida yo'l haqi to'g'risida quyidagi ma'lumotlar olingan: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15 , 14, 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.

Ushbu namunaning empirik taqsimot funksiyasini tuzing va uning grafigini tuzing.

Biz namunaviy qiymatlarni o'sish tartibida yozamiz va har bir qiymatning chastotasini hisoblaymiz. Biz quyidagi jadvalni olamiz:

4-rasm

Namuna hajmi: $n=20$.

5-xususiyatga ko'ra, bizda $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$ va $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$ bor.

$x qiymati

$x qiymati

$x qiymati

Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz:

5-rasm

Empirik taqsimotni chizamiz:

6-rasm

Originallik: $92,12\%$.

Empirik formula nima ekanligini bilib oling. Kimyoda ESP birikmani tavsiflashning eng oddiy usuli hisoblanadi - asosan, bu aralashmani tashkil etuvchi elementlarning ularning foizini hisobga olgan holda ro'yxati. Shuni ta'kidlash kerakki, bu oddiy formula ta'riflamaydi buyurtma birikmadagi atomlar, bu shunchaki uning qanday elementlardan iboratligini ko'rsatadi. Masalan:

• 40,92% ugleroddan tashkil topgan birikma; 4,58% vodorod va 54,5% kislorod C 3 H 4 O 3 empirik formulasiga ega bo'ladi (bu birikmaning ESP ni qanday topish misoli ikkinchi qismda ko'rib chiqiladi).

Empirik taqsimot funksiyasini aniqlash

$X$ tasodifiy o‘zgaruvchi bo‘lsin. $F(x)$ - berilgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi. Biz bir xil mustaqil sharoitda berilgan tasodifiy o'zgaruvchi bo'yicha $n$ tajribalarini o'tkazamiz. Bunda biz $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$ qiymatlari ketma-ketligini olamiz, bu namuna deb ataladi.

Ta'rif 1

$x_i$ ning har bir qiymati ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) variant deb ataladi.

Nazariy taqsimot funksiyasining baholaridan biri empirik taqsimot funksiyasidir.

Ta'rif 3

$F_n(x)$ empirik taqsimot funksiyasi har bir $x$ qiymati uchun $X hodisasining nisbiy chastotasini aniqlaydigan funktsiyadir.

bu yerda $n_x$ - $x$ dan kam variantlar soni, $n$ - namuna hajmi.

Empirik funktsiyaning nazariydan farqi shundaki, nazariy funktsiya $X hodisaning ehtimolini aniqlaydi.

Empirik taqsimot funksiyasining xossalari

Keling, taqsimot funktsiyasining bir qancha asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

$F_n\left(x\right)$ funksiya diapazoni $$ segmentidir.

$F_n\left(x\right)$ kamaymaydigan funksiyadir.

$F_n\left(x\right)$ - chap uzluksiz funksiya.

$F_n\left(x\right)$ boʻlakli doimiy funksiya boʻlib, faqat $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi qiymatlari nuqtalarida ortadi.

$X_1$ eng kichik, $X_n$ esa eng katta variant boʻlsin. Keyin $(x\le X)_1$ uchun $F_n\left(x\right)=0$ va $x\ge X_n$ uchun $F_n\left(x\right)=1$.

Keling, nazariy va empirik funktsiyalarni bog'laydigan teoremani kiritaylik.

Teorema 1

$F_n\left(x\right)$ empirik taqsimot funksiyasi va $F\left(x\right)$ umumiy tanlovning nazariy taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Keyin tenglik amal qiladi:

\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) (|F)_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ )\]

Empirik taqsimot funksiyasini topish masalalariga misollar

1-misol

Namuna taqsimoti jadval yordamida qayd etilgan quyidagi ma'lumotlarga ega bo'lsin:

1-rasm.

Namuna hajmini toping, empirik taqsimot funksiyasini tuzing va uni chizing.

Namuna hajmi: $n=5+10+15+20=50$.

5-xususiyatga ko'ra, bizda $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$ va $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$ bor.

$x qiymati

$x qiymati

$x qiymati

Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz:

2-rasm.

3-rasm

2-misol

Rossiyaning markaziy qismidagi shaharlardan 20 ta shahar tasodifiy tanlab olindi, ular uchun jamoat transportida yo'l haqi to'g'risida quyidagi ma'lumotlar olingan: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15 , 14, 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.

Ushbu namunaning empirik taqsimot funksiyasini tuzing va uning grafigini tuzing.

Biz namunaviy qiymatlarni o'sish tartibida yozamiz va har bir qiymatning chastotasini hisoblaymiz. Biz quyidagi jadvalni olamiz:

4-rasm

Namuna hajmi: $n=20$.

5-xususiyatga ko'ra, bizda $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$ va $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$ bor.

$x qiymati

$x qiymati

$x qiymati

Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz:

5-rasm

Empirik taqsimotni chizamiz:

6-rasm

Originallik: $92,12\%$.