Matematik statistika deganda "matematikaning statistik ma'lumotlarni yig'ish, tizimlashtirish, qayta ishlash va izohlash, shuningdek, ilmiy yoki amaliy xulosalar qilish uchun foydalanishning matematik usullariga bag'ishlangan bo'limi tushuniladi. Matematik statistika qoidalari va protseduralari ehtimollar nazariyasiga asoslanadi, bu esa mavjud statistik materiallar asosida har bir masala bo'yicha olingan xulosalarning to'g'riligi va ishonchliligini baholash imkonini beradi. Shu bilan birga, statistik ma'lumotlar ma'lum xususiyatlarga ega bo'lgan har qanday ko'proq yoki kamroq to'plamdagi ob'ektlar soni to'g'risidagi ma'lumotlarni anglatadi.

Yechilayotgan masalalar turiga ko‘ra, matematik statistika odatda uchta bo‘limga bo‘linadi: ma’lumotlarni tavsiflash, baholash va gipotezani tekshirish.

Qayta ishlangan statistik ma'lumotlar turiga ko'ra, matematik statistika to'rt sohaga bo'linadi:

- bir o'lchovli statistika (statistika tasodifiy o'zgaruvchilar), unda kuzatish natijasi tasvirlangan haqiqiy raqam;

- ko'p o'lchovli statistik tahlil, bu erda ob'ekt ustidagi kuzatish natijasi bir nechta raqamlar (vektor) bilan tavsiflanadi;

- kuzatish natijasi funksiya bo'lgan tasodifiy jarayonlar va vaqt qatorlari statistikasi;

- kuzatuv natijasi noaniq xususiyatga ega bo'lgan, masalan, to'plam bo'lgan, raqamli bo'lmagan tabiatdagi ob'ektlar statistikasi ( geometrik shakl), buyurtma berish yoki sifat jihatidan o'lchash natijasida olingan.

Tarixiy jihatdan noaniq tabiatga ega bo'lgan ob'ektlar statistikasining ayrim yo'nalishlari (xususan, nuqsonli mahsulotlarning foizini baholash va u haqidagi farazlarni tekshirish muammolari) va bir o'lchovli statistika birinchi bo'lib paydo bo'ldi. Matematik apparat ular uchun osonroqdir, shuning uchun ularning misolida odatda matematik statistikaning asosiy g'oyalari namoyon bo'ladi.

Faqat ma'lumotlarni qayta ishlash usullari, ya'ni. matematik statistika dalillarga asoslangan bo'lib, ular tegishli real hodisa va jarayonlarning ehtimollik modellariga asoslanadi. Bu haqida iste'molchi xatti-harakatlari modellari, xavflarning paydo bo'lishi, texnologik jihozlarning ishlashi, eksperiment natijalarini olish, kasallikning borishi va boshqalar haqida. Haqiqiy hodisaning ehtimollik modeli, agar ko'rib chiqilayotgan miqdorlar va ular orasidagi bog'lanishlar ehtimollar nazariyasi nuqtai nazaridan ifodalangan bo'lsa, qurilgan deb hisoblash kerak.

Haqiqatning ehtimollik modeliga mos kelishi, ya'ni. uning adekvatligi, xususan, gipotezalarni tekshirishning statistik usullari yordamida asoslanadi.

Ma'lumotlarni qayta ishlashning aql bovar qilmaydigan usullari kashfiyotdir, ulardan faqat dastlabki ma'lumotlarni tahlil qilishda foydalanish mumkin, chunki ular cheklangan statistik materiallar asosida olingan xulosalarning to'g'riligi va ishonchliligini baholashga imkon bermaydi.

Hodisa yoki jarayonning ehtimollik modelini qurish va asoslash mumkin bo'lgan joyda ehtimollik va statistik usullar qo'llaniladi. Namuna ma'lumotlaridan olingan xulosalar butun populyatsiyaga (masalan, namunadan mahsulotning butun partiyasiga) o'tkazilganda ulardan foydalanish majburiydir.

Muayyan qo'llanilish sohalarida keng qo'llanilishining ehtimollik-statistik usullari ham, o'ziga xoslari ham qo'llaniladi. Masalan, ishlab chiqarishni boshqarishning mahsulot sifatini boshqarishning statistik usullariga bag'ishlangan bo'limida amaliy matematik statistika (shu jumladan tajribalarni loyihalash) qo'llaniladi. Uning usullari yordamida texnologik jarayonlarning aniqligi va barqarorligini statistik tahlil qilish va sifatni statistik baholash amalga oshiriladi. Maxsus usullarga mahsulot sifatini statistik qabul qilish nazorati, texnologik jarayonlarni statistik tartibga solish, ishonchlilikni baholash va nazorat qilish va boshqalar kiradi.

Ishonchlilik nazariyasi va navbat nazariyasi kabi amaliy ehtimollik-statistik fanlar keng qo'llaniladi. Ulardan birinchisining mazmuni sarlavhadan aniq, ikkinchisi tasodifiy vaqtda qo‘ng‘iroqlarni qabul qiluvchi telefon stansiyasi kabi tizimlarni o‘rganish bilan bog‘liq – abonentlarning telefonlarida raqamlarni terish talablari. Ushbu talablarga xizmat ko'rsatish muddati, ya'ni. suhbatlar davomiyligi ham tasodifiy o'zgaruvchilar tomonidan modellashtirilgan. Ushbu fanlarning rivojlanishiga SSSR Fanlar akademiyasining muxbir a'zosi A.Ya. Xinchin (1894-1959), Ukraina SSR Fanlar akademiyasining akademigi B.V. Gnedenko (1912-1995) va boshqa mahalliy olimlar.

Tasodifiy hodisalar sohasidagi har bir tadqiqot har doim tajribaga, eksperimental ma'lumotlarga asoslangan. Har qanday ob'ektning har qanday xususiyatini o'rganishda to'plangan raqamli ma'lumotlar deyiladi statistik. Statistik ma'lumotlar tadqiqotning dastlabki materialidir. Ular ilmiy yoki amaliy ahamiyatga ega bo'lishi uchun matematik statistika usullari bilan qayta ishlanishi kerak.

Matematik statistika ilmiy fan boʻlib, uning predmeti massiv tasodifiy hodisalarni kuzatish natijasida olingan statistik eksperimental maʼlumotlarni qayd etish, tavsiflash va tahlil qilish usullarini ishlab chiqishdan iborat.

Matematik statistikaning asosiy vazifalari:

tasodifiy miqdor yoki tasodifiy miqdorlar tizimining taqsimlanish qonunini aniqlash;

gipotezalarning ishonchliligini tekshirish;

noma'lum taqsimot parametrlarini aniqlash.

Matematik statistikaning barcha usullari ehtimollar nazariyasiga asoslanadi. Biroq, echilayotgan masalalarning o'ziga xosligi tufayli matematik statistika ehtimollar nazariyasidan mustaqil sohaga ajratilgan. Agar ehtimollik nazariyasida hodisaning modeli berilgan deb hisoblansa va bu hodisaning mumkin bo'lgan real yo'nalishi hisoblansa (1-rasm), u holda matematik statistikada statistik ma'lumotlar asosida tegishli ehtimolli model tanlanadi (2-rasm). ).

1-rasm. Ehtimollar nazariyasining umumiy muammosi

2-rasm. Matematik statistikaning umumiy muammosi

Ilmiy fan sifatida matematik statistika ehtimollar nazariyasi bilan birga rivojlandi. Bu fanning matematik apparati 19-asrning ikkinchi yarmida qurilgan.

2. Umumiy populyatsiya va namuna.

Statistik usullarni o'rganish uchun umumiy va tanlanma populyatsiya tushunchalari kiritiladi. Umuman olganda, ostida umumiy aholi taqsimot funksiyasi bilan X tasodifiy miqdor tushuniladi
. Namuna to'plami yoki berilgan X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun n hajmli namuna to'plamdir
bu miqdorning mustaqil kuzatishlari, qaerda tanlanma qiymati yoki X tasodifiy o'zgaruvchining amalga oshirilishi deb ataladi. Shunday qilib, raqamlar sifatida (agar tajriba o'tkazilsa va namuna olingan bo'lsa) va tasodifiy o'zgaruvchilar (eksperimentdan oldin) sifatida ko'rib chiqilishi mumkin, chunki ular namunadan namunaga farq qiladi.

1-misol. Daraxt tanasi qalinligining balandligiga bog'liqligini aniqlash uchun 200 ta daraxt tanlangan. Bu holda tanlama hajmi n=200 ga teng.

2-misol Zarrachalar taxtalarini dumaloq arrada arralash natijasida aniq kesish ishining 15 qiymati olindi. Bu holda, n=15.

D
Namuna ma'lumotlariga ko'ra bizni qiziqtirgan umumiy aholining xususiyatini ishonchli tarzda baholash uchun namuna ob'ektlari uni to'g'ri aks ettirishi kerak, ya'ni namuna bo'lishi kerak. vakili(vakil). Tanlovning reprezentativligiga odatda ob'ektlarni tasodifiy tanlash yo'li bilan erishiladi: umumiy populyatsiyaning har bir ob'ekti boshqalar bilan birga tanlanmaga qo'shilishning teng ehtimoli bilan ta'minlanadi.

3-rasm. Namuna reprezentativligini ko'rsatish

Matematik statistika matematika kabi fanning asosiy boʻlimlaridan biri boʻlib, maʼlum maʼlumotlarni qayta ishlash usullari va qoidalarini oʻrganuvchi sohadir. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, u bir xil ob'ektlarning katta kolleksiyalariga xos bo'lgan naqshlarni aniqlash yo'llarini, ularning namunaviy so'rovi asosida o'rganadi.

Vazifa ushbu bo'lim Olingan natijalarga asoslanib, ehtimollikni baholash usullarini qurish yoki voqealarning rivojlanishining tabiati haqida ma'lum bir qaror qabul qilishdan iborat. Ma'lumotlarni tavsiflash uchun jadvallar, diagrammalar va korrelyatsiya maydonlaridan foydalaniladi. kamdan-kam hollarda qo'llaniladi.

Matematik statistika fanning turli sohalarida qo'llaniladi. Masalan, xodisa va ob'ektlarning bir jinsli to'plamlari haqidagi ma'lumotlarni qayta ishlash iqtisodiyot uchun muhim ahamiyatga ega. Ular sanoat tomonidan ishlab chiqarilgan mahsulotlar, xodimlar, foyda ma'lumotlari va boshqalar bo'lishi mumkin. Kuzatishlar natijalarining matematik xususiyatiga qarab, raqamlar statistikasini, noaniq xarakterdagi funktsiyalar va ob'ektlarni tahlil qilishni va ko'p o'lchovli narsalarni ajratib ko'rsatish mumkin. tahlil. Bundan tashqari, ular umumiy va xususiy (qaramlikni tiklash, tasniflardan foydalanish, selektiv tadqiqotlar bilan bog'liq) vazifalarni ko'rib chiqadilar.

Ba'zi darsliklar mualliflari matematik statistika nazariyasini ehtimollar nazariyasining faqat bir bo'limi deb hisoblasa, boshqalari esa o'z maqsadi, vazifalari va usullariga ega bo'lgan mustaqil fan deb hisoblaydilar. Biroq, har qanday holatda, uning qo'llanilishi juda keng.

Shunday qilib, matematik statistika psixologiyada eng aniq qo'llaniladi. Uning qo'llanilishi mutaxassisga to'g'ri asoslash, ma'lumotlar o'rtasidagi munosabatni topish, ularni umumlashtirish, ko'plab mantiqiy xatolardan qochish va boshqalarga imkon beradi. Shuni ta'kidlash kerakki, u yoki bu psixologik hodisani yoki shaxsiy xususiyatni hisoblash protseduralarisiz o'lchash ko'pincha oddiygina mumkin emas. Bu esa ushbu fanning asoslari zarurligini ko'rsatadi. Boshqacha qilib aytganda, uni ehtimollik nazariyasining manbai va asosi deyish mumkin.

Statistik ma'lumotlarni ko'rib chiqishga tayanadigan tadqiqot usuli boshqa sohalarda qo'llaniladi. Shu bilan birga, darhol shuni ta'kidlash kerakki, uning xususiyatlari, kelib chiqishi boshqa tabiatga ega bo'lgan ob'ektlarga nisbatan qo'llanilganda, har doim o'ziga xosdir. Shuning uchun fizika fanini bir fanga birlashtirish mantiqiy emas. Ushbu usulning umumiy xususiyatlari ma'lum bir guruhga kiradigan ob'ektlarning ma'lum sonini sanashga, shuningdek taqsimotni o'rganishga qisqartiriladi. miqdoriy xususiyatlar va ma'lum xulosalar olish uchun ehtimollik nazariyasini qo'llash.

Matematik statistika elementlari fizika, astronomiya va boshqalar kabi sohalarda qo'llaniladi. Bu erda xarakteristikalar va parametrlarning qiymatlari, ikkita namunadagi har qanday xususiyatlarning mos kelishi haqidagi farazlar, taqsimlanish simmetriyasi va boshqalar bo'lishi mumkin. hisobga olinadi.

Matematik statistika ularni amalga oshirishda muhim rol o'ynaydi.Ularning maqsadi ko'pincha gipotezalarni baholash va tekshirish uchun adekvat usullarni yaratishdir. Hozirgi vaqtda bu fanda kompyuter texnologiyalari katta ahamiyatga ega. Ular nafaqat hisoblash jarayonini sezilarli darajada soddalashtirishga, balki takrorlash uchun namunalar yaratishga yoki amalda olingan natijalarning mosligini o'rganishga imkon beradi.

Umumiy holda, matematik statistika usullari ikkita xulosa chiqarishga yordam beradi: yoki o'rganilayotgan ma'lumotlarning tabiati yoki xususiyatlari va ularning o'zaro bog'liqligi to'g'risida kerakli xulosani chiqarish yoki olingan natijalar xulosa chiqarish uchun etarli emasligini isbotlash.

Matematik statistika bilan shug'ullanadigan matematikaning zamonaviy bo'limidir statistik tavsif tajriba va kuzatishlar natijalari, shuningdek bino matematik modellar tushunchalarni o‘z ichiga oladi ehtimolliklar. Matematik statistikaning nazariy asosi hisoblanadi ehtimollik nazariyasi.

Matematik statistika tarkibida an'anaviy ravishda ikkita asosiy bo'lim ajratiladi: tavsiflovchi statistika va statistik xulosa (1.1-rasm).

Guruch. 1.1. Matematik statistikaning asosiy bo'limlari

Ta'riflovchi statistika uchun ishlatiladi:

o bitta o'zgaruvchining ko'rsatkichlarini umumlashtirish (tasodifiy tanlama statistikasi);

o ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlarni aniqlash (korrelyatsiya-regressiya tahlili).

Ta'riflovchi statistika yangi ma'lumotlarni olish, uni tez tushunish va har tomonlama baholash imkonini beradi, ya'ni o'rganish ob'ektlarini tavsiflashning ilmiy funktsiyasini bajaradi, bu uning nomini oqlaydi. Ta'riflovchi statistikaning usullari individual empirik ma'lumotlar to'plamini idrok qilish uchun vizual bo'lgan shakllar va raqamlar tizimiga aylantirish uchun mo'ljallangan: chastotalarni taqsimlash; tendentsiyalar, o'zgaruvchanlik, aloqa ko'rsatkichlari. Ushbu usullar statistik xulosalarni amalga oshirish uchun asos bo'lib xizmat qiladigan tasodifiy tanlamaning statistik ma'lumotlarini hisoblab chiqadi.

Statistik xulosa imkoniyat bering:

o namunaviy statistik ma'lumotlarning to'g'riligi, ishonchliligi va samaradorligini baholash, statistik tadqiqotlar jarayonida yuzaga keladigan xatolarni topish (statistik baholash)

o tanlanma statistik ma'lumotlar asosida olingan umumiy populyatsiya parametrlarini umumlashtirish (tekshirish). statistik farazlar).

asosiy maqsad ilmiy tadqiqot- bu odatda umumiy populyatsiya deb ataladigan hodisalar, shaxslar yoki hodisalarning katta sinfi haqida yangi bilimlarni o'zlashtirishdir.

Aholi o'rganish ob'ektlari yig'indisi, namuna- uning ma'lum ilmiy asoslangan tarzda tuzilgan qismi 2.

"Umumiy aholi" atamasi o'rganilayotgan ob'ektlarning katta, ammo cheklangan to'plamiga kelganda qo'llaniladi. Misol uchun, 2009 yilda Ukrainadagi arizachilarning umumiy soni yoki bolalarning umumiy soni haqida maktabgacha yosh Rivne shahri. Umumiy populyatsiyalar sezilarli hajmlarga erishishi mumkin, cheklangan va cheksiz bo'lishi mumkin. Amalda, qoida tariqasida, chekli to'plamlar bilan shug'ullanadi. Va agar umumiy populyatsiya hajmining namuna hajmiga nisbati 100 dan ortiq bo'lsa, Glass va Stenlining fikriga ko'ra, cheklangan va cheksiz populyatsiyalarni baholash usullari asosan bir xil natijalarni beradi. Umumiy to'plamni ba'zi atributlar qiymatlarining to'liq to'plami deb ham atash mumkin. Tanlamaning umumiy aholiga tegishli ekanligi tanlamaning xususiyatlariga ko'ra umumiy aholi xususiyatlarini baholash uchun asosiy asosdir.

Asosiy fikr Matematik statistika ko'pgina ilmiy muammolarda umumiy aholining barcha ob'ektlarini to'liq o'rganish yoki amaliy jihatdan imkonsiz yoki iqtisodiy jihatdan amaliy emas, degan ishonchga asoslanadi, chunki bu ko'p vaqt va katta moddiy xarajatlarni talab qiladi. Shuning uchun matematik statistikada u qo'llaniladi selektiv yondashuv, uning printsipi shakldagi diagrammada ko'rsatilgan. 1.2.

Misol uchun, shakllanish texnologiyasiga ko'ra, namunalar tasodifiy (oddiy va tizimli), tabaqalashtirilgan, klasterlangan (4-bo'limga qarang).

Guruch. 1.2. Matematik statistika usullarini qo'llash sxemasi bo'yicha selektiv yondashuv matematik va statistik usullardan foydalanish quyidagi ketma-ketlikda amalga oshirilishi mumkin (1.2-rasmga qarang):

o bilan umumiy aholi, xossalari tadqiq qilinadigan, aniq usullari namuna hosil qiladi- tadqiqot usullari qo'llaniladigan tipik, ammo cheklangan miqdordagi ob'ektlar;

o kuzatish usullari, eksperimental harakatlar va namunaviy ob'ektlar bo'yicha o'lchovlar natijasida empirik ma'lumotlar olinadi;

o tavsiflovchi statistik usullar yordamida empirik ma'lumotlarni qayta ishlash statistik deb ataladigan namunaviy ko'rsatkichlarni beradi - darvoqe, fan nomi kabi;

o statistik xulosa chiqarish usullarini qo'llash statistik, xossalarini tavsiflovchi parametrlarni olish umumiy aholi.

1.1-misol. Bilim darajasining barqarorligini baholash uchun (o'zgaruvchan x) hajmi bo'lgan 3 nafar talabadan iborat tasodifiy tanlovni sinovdan o'tkazish n. Testlar m ta topshiriqni o'z ichiga olgan bo'lib, ularning har biri ball tizimi bo'yicha baholandi: "tugallangan" "- 1", bajarilmagan "- 0. talabalarning o'rtacha joriy yutuqlari X qoldi.

3 tasodifiy namuna(ingliz tilidan Random - tasodifiy) - tasodifiy testlar strategiyasiga muvofiq shakllanadigan vakillik namunasi.

oldingi yillar darajasida / soat? Yechim ketma-ketligi:

o tipdagi mazmunli gipotezani aniqlang: "agar joriy test natijalari o'tmishdan farq qilmasa, biz talabalarning bilim darajasini o'zgarmagan deb hisoblashimiz mumkin va o'rganish jarayoni- barqaror";

o nol gipoteza kabi adekvat statistik gipotezani shakllantirish H 0 bu "hozirgi GPA X oldingi yillardagi o'rtacha ko'rsatkichdan statistik jihatdan farq qilmaydi / h", ya'ni. H 0: X = ⁄ r, mos keladigan muqobil gipotezaga qarshi X F ^ ;

o qurish tekshirilayotgan X o'zgaruvchining empirik taqsimotlari;

o aniqlash(agar kerak bo'lsa) korrelyatsiya, masalan, o'zgaruvchi o'rtasidagi X va boshqa ko'rsatkichlar, qurish regressiya chiziqlari;

o muvofiqlikni tekshirish empirik taqsimot oddiy qonun;

o nuqta ko'rsatkichlarining qiymatini va parametrlarning ishonch oralig'ini, masalan, o'rtachani baholash;

o statistik ma'lumotlarni tekshirish mezonlarini belgilash farazlar;

o tanlangan mezonlar asosida statistik gipotezalarni tekshirish;

o ma'lum bir narsa bo'yicha statistik nol gipoteza bo'yicha qarorni shakllantirish ahamiyat darajasi;

o statistik nol gipotezani qabul qilish yoki rad etish to'g'risidagi qarordan mazmunli gipoteza bo'yicha xulosalar talqinini o'tkazish;

o mazmunli xulosalarni shakllantirish.

Shunday qilib, agar yuqoridagi protseduralarni umumlashtirsak, statistik usullarni qo'llash uchta asosiy blokdan iborat:

Haqiqat ob'ektidan mavhum matematik-statistik sxemaga o'tish, ya'ni hodisa, jarayon, xususiyatning ehtimollik modelini qurish;

O'lchovlar, kuzatishlar, tajribalar va statistik xulosalarni shakllantirish natijalariga asoslangan ehtimollik modeli doirasida tegishli matematik vositalar bilan hisoblash harakatlarini amalga oshirish;

Haqiqiy vaziyat haqidagi statistik xulosalarni talqin qilish va tegishli qaror qabul qilish.

Ma'lumotlarni qayta ishlash va sharhlashning statistik usullari ehtimollik nazariyasiga asoslanadi. Ehtimollar nazariyasi matematik statistika usullarining asosi hisoblanadi. Ehtimollar nazariyasining fundamental tushunchalari va qonunlaridan foydalanmasdan turib, matematik statistikaning xulosalarini umumlashtirish va shuning uchun ulardan ilmiy va amaliy maqsadlarda oqilona foydalanish mumkin emas.

Shunday qilib, tavsiflovchi statistikaning vazifasi namunaviy ma'lumotlar to'plamini ko'rsatkichlar tizimiga aylantirish - statistik - chastotalarni taqsimlash, markaziy tendentsiya va o'zgaruvchanlik o'lchovlari, bog'lanish koeffitsientlari va boshqalar. Biroq, statistika ma'lum bir namunaga xos xususiyatlardir. Albatta, tanlanma taqsimoti, tanlanma vositalari, dispersiya va hokazolarni hisoblash mumkin, ammo bunday "ma'lumotlar tahlili" cheklangan ilmiy va ta'lim ahamiyatiga ega. Bunday ko'rsatkichlar asosida tuzilgan har qanday xulosani boshqa populyatsiyalarga "mexanik" o'tkazish to'g'ri emas.

Namuna ko'rsatkichlarini yoki boshqalarni yoki keng tarqalgan populyatsiyalarga o'tkazish uchun matematik jihatdan asosli bo'lishi kerak. qoidalari namunaviy xususiyatlarning ushbu umumiy deb ataladigan xususiyatlar bilan muvofiqligi va qobiliyati to'g'risida populyatsiyalar. Bunday qoidalar nazariy yondashuvlar va voqelikning ehtimollik modellari bilan bog'liq sxemalarga asoslanadi, masalan, aksiomatik yondashuv, qonunda. katta raqamlar va hokazo. Faqat ularning yordami bilan cheklangan empirik ma'lumotlarni tahlil qilish natijalariga ko'ra aniqlangan xususiyatlarni boshqa yoki keng tarqalgan to'plamlarga o'tkazish mumkin. Shunday qilib, qurilish, ishlash qonuniyatlari, ehtimollik modellarini qo'llash mavzudir matematik soha"ehtimollar nazariyasi" deb nomlanuvchi statistik usullarning mohiyatiga aylanadi.

Shunday qilib, matematik statistikada ko'rsatkichlarning ikkita parallel chizig'i qo'llaniladi: birinchi qator amaliyotga tegishli (bular namunaviy ko'rsatkichlar) va ikkinchisi nazariyaga asoslangan (bular ehtimollik modelining ko'rsatkichlari). Masalan, namunada aniqlangan empirik chastotalar nazariy ehtimollik tushunchalariga mos keladi; namunaviy o'rtacha (amaliyot) mos keladi kutilgan qiymat(nazariya) va boshqalar. Bundan tashqari, tadqiqotlarda selektiv xususiyatlar, qoida tariqasida, asosiy hisoblanadi. Ular kuzatishlar, o'lchovlar, tajribalar asosida hisoblab chiqiladi, shundan so'ng ular qobiliyat va samaradorlikni statistik baholashdan o'tadilar, tadqiqot maqsadlariga muvofiq statistik gipotezalarni sinovdan o'tkazadilar va oxirida ma'lum bir ehtimollik bilan qabul qilinadi. o'rganilayotgan populyatsiyalar xossalarining ko'rsatkichlari.

Savol. Vazifa.

1. Matematik statistikaning asosiy bo'limlarini aytib bering.

2. Matematik statistikaning asosiy g'oyasi nima?

3. Umumiy va tanlanma populyatsiyalar nisbatini tavsiflang.

4. Matematik statistika usullarini qo`llash sxemasini tushuntiring.

5. Matematik statistikaning asosiy vazifalari ro'yxatini ko'rsating.

6. Statistik usullarni qo'llashning asosiy bloklari nimalardan iborat? Ularni tasvirlab bering.

7. Matematik statistika va ehtimollar nazariyasi o‘rtasidagi aloqani kengaytiring.

Ehtimollik va matematik statistika qanday qo'llaniladi? Bu fanlar ehtimollik-statistik usullarning asosi hisoblanadi Qaror qabul qilish. Ularning matematik apparatlaridan foydalanish uchun sizga vazifalar kerak Qaror qabul qilish ehtimollik-statistik modellar bilan ifodalang. Muayyan ehtimollikni qo'llash statistik usul Qaror qabul qilish uch bosqichdan iborat:

• iqtisodiy, boshqaruv, texnologik haqiqatdan mavhum matematik va statistik sxemaga o'tish, ya'ni. boshqaruv tizimining, texnologik jarayonning ehtimollik modelini yaratish; qaror qabul qilish jarayonlari, xususan, statistik nazorat natijalariga ko'ra va boshqalar;
• ehtimollik modeli doirasida sof matematik vositalar yordamida hisob-kitoblarni amalga oshirish va xulosalar olish;
• real vaziyatga nisbatan matematik va statistik xulosalarni talqin qilish va tegishli qaror qabul qilish (masalan, mahsulot sifatining belgilangan talablarga muvofiqligi yoki nomuvofiqligi, texnologik jarayonni tuzatish zarurati va boshqalar to'g'risida), xususan, xulosalar (partiyadagi nuqsonli mahsulot birliklarining nisbati, tarqatish qonunlarining o'ziga xos shakli bo'yicha). boshqariladigan parametrlar texnologik jarayon va boshqalar).

Matematik statistikada ehtimollar nazariyasi tushunchalari, usullari va natijalaridan foydalaniladi. Ehtimoliy modellarni qurishning asosiy masalalarini ko'rib chiqing Qaror qabul qilish iqtisodiy, boshqaruv, texnologik va boshqa vaziyatlarda. Ehtimoliy-statistik usullar bo'yicha me'yoriy-texnik va ko'rsatma-uslubiy hujjatlardan faol va to'g'ri foydalanish uchun. Qaror qabul qilish oldingi bilim talab qilinadi. Shunday qilib, u yoki bu hujjat qanday sharoitlarda qo'llanilishi, uni tanlash va qo'llash uchun qanday dastlabki ma'lumotlarga ega bo'lishi kerakligini, ma'lumotlarni qayta ishlash natijalari bo'yicha qanday qarorlar qabul qilinishi kerakligini bilish kerak.

Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikani qo'llash misollari. Ehtimollik-statistik modellar boshqaruv, ishlab chiqarish, iqtisodiy va milliy iqtisodiy muammolarni hal qilishda yaxshi vosita bo'lganida bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik. Shunday qilib, masalan, A.N.ning romanida. Tolstoyning "Azoblar orqali yurib" (1-jild) shunday deyilgan: "Ustaxona nikohning yigirma uch foizini beradi, siz bu raqamni ushlab turasiz", dedi Strukov Ivan Ilichga.

Zavod rahbarlarining suhbatida bu so'zlarni qanday tushunish kerak degan savol tug'iladi, chunki bitta ishlab chiqarish birligi 23% nuqsonli bo'lishi mumkin emas. Bu yaxshi yoki nuqsonli bo'lishi mumkin. Ehtimol, Strukov katta partiyada nuqsonli birliklarning taxminan 23 foizi borligini nazarda tutgan. Keyin savol tug'iladi, "haqida" nimani anglatadi? Sinab ko'rilgan 100 ta mahsulotdan 30 tasi nuqsonli bo'lib chiqsin yoki 1000-300 tadan yoki 100000-30000 va hokazolardan Strukovni yolg'onchilikda ayblash kerakmi?

Yoki boshqa misol. Lot sifatida ishlatiladigan tanga "nosimmetrik" bo'lishi kerak, ya'ni. u tashlanganda, o'rtacha, yarmida gerb tushishi kerak, yarmida esa - panjara (dumlar, raqam). Ammo "o'rtacha" nimani anglatadi? Agar siz har bir seriyada 10 ta otishdan iborat ko'p seriyalarni o'tkazsangiz, unda ko'pincha tanga gerb bilan 4 marta tushadigan seriyalar bo'ladi. Nosimmetrik tanga uchun bu seriyaning 20,5% da sodir bo'ladi. Va agar 100 000 otish uchun 40 000 gerb bo'lsa, tangani simmetrik deb hisoblash mumkinmi? Jarayon Qaror qabul qilish ehtimollar nazariyasiga va matematik statistikaga asoslanadi.

Ko'rib chiqilayotgan misol etarlicha jiddiy ko'rinmasligi mumkin. Biroq, unday emas. Chizma sanoat texnik-iqtisodiy tajribalarini tashkil qilishda keng qo'llaniladi, masalan, turli xil texnologik omillarga (saqlanish muhitining ta'siri, podshipniklarni o'lchashdan oldin tayyorlash usullari, rulmanlarning ishqalanish momenti) sifat ko'rsatkichlarini o'lchash natijalarini qayta ishlashda. o'lchash jarayonida rulman yukining ta'siri va boshqalar).P.). Aytaylik, rulmanlarning sifatini turli xil konservativ moylarda saqlash natijalariga qarab solishtirish kerak, ya'ni. tarkibida yog'lar va . Bunday eksperimentni rejalashtirayotganda, qaysi rulmanlarni kompozitsion moyga joylashtirish kerakligi va qaysi biri - kompozitsion moyda, lekin sub'ektivlikdan qochish va qarorning ob'ektivligini ta'minlash uchun savol tug'iladi.

Bu savolga javobni qur’a tashlash orqali olish mumkin. Shunga o'xshash misolni har qanday mahsulot sifatini nazorat qilish bilan ham keltirish mumkin. Namuna olish tekshirilgan mahsulot partiyasi belgilangan talablarga javob beradimi yoki yo'qligini aniqlash uchun amalga oshiriladi. Namuna nazorati natijalariga ko'ra butun partiya to'g'risida xulosa chiqariladi. Bunday holda, namunani shakllantirishda sub'ektivlikdan qochish juda muhimdir, ya'ni. nazorat qilinadigan partiyadagi har bir mahsulot birligi namunada tanlanish ehtimoli bir xil bo'lishi kerak. Ishlab chiqarish sharoitida namunadagi ishlab chiqarish birliklarini tanlash odatda lot bo'yicha emas, balki tasodifiy sonlarning maxsus jadvallari yoki kompyuter tasodifiy sonlar generatorlari yordamida amalga oshiriladi.

Taqqoslashning ob'ektivligini ta'minlashning shunga o'xshash muammolari turli sxemalarni taqqoslashda paydo bo'ladi. ishlab chiqarishni tashkil etish, ish haqi, tender va tanlovlar vaqtida, bo'sh lavozimlarga nomzodlarni tanlash va h.k. Hamma joyda sizga lotereya yoki shunga o'xshash protseduralar kerak. Keling, Olimpiya tizimi bo'yicha turnir tashkil qilishda eng kuchli va ikkinchi kuchli jamoalarni aniqlash misolida tushuntiramiz (mag'lubiyatga uchragan). Kuchli jamoa har doim kuchsizni yutadi. Eng kuchli jamoa albatta chempion bo'lishi aniq. Ikkinchi kuchli jamoa finalgacha bo'lajak chempion bilan o'yin o'tkazmasagina finalga chiqadi. Agar shunday o'yin rejalashtirilgan bo'lsa, unda ikkinchi kuchli jamoa finalga chiqa olmaydi. Turnirni rejalashtirgan kishi ikkinchi kuchli jamoani turnirdan muddatidan oldin “nokaut” qilishi, yetakchi bilan birinchi uchrashuvdayoq uni tushirib yuborishi yoki finalgacha kuchsizroq jamoalar bilan uchrashuvlarni taʼminlab, ikkinchi oʻrin bilan taʼminlashi mumkin. Subyektivlikka yo'l qo'ymaslik uchun qur'a tashlang. 8 ta jamoadan iborat turnir uchun eng kuchli ikki jamoaning finalda uchrashish ehtimoli 4/7 ga teng. Shunga ko'ra, 3/7 ehtimol bilan ikkinchi kuchli jamoa muddatidan avval turnirni tark etadi.

Mahsulot birliklarining har qanday o'lchovlarida (kaliper, mikrometr, ampermetr va boshqalar yordamida) xatolar mavjud. Tizimli xatolar mavjudligini aniqlash uchun xarakteristikalari ma'lum bo'lgan ishlab chiqarish birligini (masalan, standart namuna) takroriy o'lchashni amalga oshirish kerak. Shuni esda tutish kerakki, tizimli xatoga qo'shimcha ravishda tasodifiy xato ham mavjud.

Shu sababli, o'lchov natijalaridan tizimli xatolik mavjudligini qanday aniqlash mumkinligi haqida savol tug'iladi. Agar keyingi o'lchov paytida olingan xato ijobiy yoki salbiy ekanligini ta'kidlasak, bu muammoni avvalgisiga qisqartirish mumkin. Haqiqatan ham, keling, o'lchovni tanga otish bilan, ijobiy xatoni - gerbni yo'qotish bilan, salbiyni - panjara bilan taqqoslaylik (shkalaning etarli miqdordagi bo'linishlari bilan nol xato deyarli hech qachon sodir bo'lmaydi). Keyin tizimli xatoning yo'qligini tekshirish tanga simmetriyasini tekshirishga teng.

Ushbu mulohazalarning maqsadi tizimli xatoning yo'qligini tekshirish muammosini tanga simmetriyasini tekshirish muammosiga qisqartirishdir. Yuqoridagi mulohazalar matematik statistikada "belgilar mezoni" deb ataladigan narsaga olib keladi.

Texnologik jarayonlarni statistik tartibga solishda matematik statistika usullariga asoslanib, texnologik jarayonlarning buzilishini o'z vaqtida aniqlash, ularni sozlash va mahsulotlarning chiqarilishini oldini olish choralarini ko'rishga qaratilgan jarayonlarni statistik nazorat qilish qoidalari va rejalari ishlab chiqiladi. belgilangan talablarga javob bermaydi. Bu chora-tadbirlar ishlab chiqarish tannarxini va sifatsiz mahsulotlar yetkazib berishdan kelib chiqadigan yo‘qotishlarni kamaytirishga qaratilgan. Statistik qabul nazorati bilan, matematik statistika usullariga asoslangan holda, mahsulot partiyalaridan namunalarni tahlil qilish orqali sifat nazorati rejalari ishlab chiqiladi. Qiyinchilik ehtimollik-statistik modellarni to'g'ri qura olishdadir Qaror qabul qilish buning asosida yuqoridagi savollarga javob topish mumkin. Buning uchun matematik statistikada ehtimollik modellari va gipotezalarni tekshirish usullari ishlab chiqilgan, xususan, nuqsonli ishlab chiqarish birliklarining ulushi ma'lum bir raqamga teng bo'lgan farazlar, masalan, (A.N.ning romanidan Strukovning so'zlarini eslang. Tolstoy).

Baholash vazifalari. Bir qator boshqaruv, ishlab chiqarish, iqtisodiy, milliy iqtisodiy vaziyatlarda boshqa turdagi muammolar paydo bo'ladi - ehtimollik taqsimotining xususiyatlari va parametrlarini baholash muammolari.

Bir misolni ko'rib chiqing. Boshqaruvga N ta elektr lampalar partiyasi kelsin. Ushbu partiyadan n ta elektr lampalar namunasi tasodifiy tanlangan. Bir qator tabiiy savollar tug'iladi. Namuna elementlarini sinovdan o'tkazish natijalari bo'yicha elektr lampalarning o'rtacha ishlash muddatini qanday aniqlash mumkin va bu xarakteristikani qanday aniqlik bilan baholash mumkin? Kattaroq namuna olinsa, aniqlik qanday o'zgaradi? Qaysi soatlarda elektr lampalarning kamida 90% soatdan ortiq davom etishini kafolatlash mumkin?

Aytaylik, elektr lampalar hajmi bo'lgan namunani sinab ko'rishda elektr lampalar nuqsonli bo'lib chiqdi. Keyin quyidagi savollar tug'iladi. Partiyadagi nuqsonli elektr lampalar soni, nuqsonlilik darajasi va boshqalar uchun qanday chegaralar belgilanishi mumkin?

Yoki texnologik jarayonlarning aniqligi va barqarorligini statistik tahlil qilishda shunday baholash kerak. sifat ko'rsatkichlari, o'rtacha sifatida boshqariladigan parametr va ko'rib chiqilayotgan jarayonda uning tarqalish darajasi. Ehtimollar nazariyasiga ko'ra, tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati sifatida uning matematik kutilishidan foydalanish maqsadga muvofiqdir va dispersiya, standart og'ish yoki o'zgaruvchanlik koeffitsienti. Bu savol tug'iladi: ularni qanday baholash kerak statistik xususiyatlar namunaviy ma'lumotlarga ko'ra va buni qanday aniqlik bilan amalga oshirish mumkin? Shunga o'xshash misollar ko'p. Bu erda mahsulot sifatini statistik boshqarish sohasida qarorlar qabul qilishda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika ishlab chiqarishni boshqarishda qanday qo'llanilishi mumkinligini ko'rsatish muhim edi.

"Matematik statistika" nima? Matematik statistika deganda "matematikaning statistik ma'lumotlarni to'plash, tizimlashtirish, qayta ishlash va izohlash, shuningdek ulardan ilmiy yoki amaliy xulosalar chiqarish uchun foydalanishning matematik usullariga bag'ishlangan bo'limi tushuniladi. Matematik statistikaning qoidalari va tartiblari nazariyaga asoslanadi. Mavjud statistik materiallar asosida har bir topshiriqda olingan xulosalarning to'g'riligi va ishonchliligini baholashga imkon beradigan ehtimollik" [2.2], p. 326]. Shu bilan birga, statistik ma'lumotlar ma'lum xususiyatlarga ega bo'lgan har qanday ko'proq yoki kamroq to'plamdagi ob'ektlar soni to'g'risidagi ma'lumotlarni anglatadi.

Yechilayotgan masalalar turiga ko‘ra, matematik statistika odatda uchta bo‘limga bo‘linadi: ma’lumotlarni tavsiflash, baholash va gipotezani tekshirish.

Qayta ishlangan statistik ma'lumotlar turiga ko'ra, matematik statistika to'rt sohaga bo'linadi:

• bir o'lchovli statistika (tasodifiy o'zgaruvchilar statistikasi), bunda kuzatish natijasi haqiqiy son bilan tavsiflanadi;
• ko'p o'lchovli statistik tahlil, bunda ob'ektni kuzatish natijasi bir nechta raqamlar (vektor) bilan tavsiflanadi;
• tasodifiy jarayonlar va vaqtli qatorlar statistikasi, bunda kuzatish natijasi funksiya hisoblanadi;
• kuzatuv natijasi noaniq xususiyatga ega bo'lgan, masalan, to'plam (geometrik shakl), tartib yoki o'lchash natijasida olingan noaniq tabiatdagi ob'ektlar statistikasi. sifatli xususiyatdir.

Tarixiy jihatdan noaniq ob'ektlar statistikasining ayrim yo'nalishlari (xususan, nikohning foizini baholash va u haqidagi farazlarni tekshirish muammolari) va bir o'lchovli statistika birinchi bo'lib paydo bo'ldi. Matematik apparat ular uchun sodda, shuning uchun ular o'zlarining misolida odatda matematik statistikaning asosiy g'oyalarini namoyish etadilar.

Faqat ma'lumotlarni qayta ishlash usullari, ya'ni. matematik statistika dalillarga asoslangan bo'lib, ular tegishli real hodisa va jarayonlarning ehtimollik modellariga asoslanadi. Biz iste'molchilarning xatti-harakatlari modellari, xavflarning paydo bo'lishi, texnologik jihozlarning ishlashi, tajriba natijalarini olish, kasallikning borishi va boshqalar haqida bormoqda. Haqiqiy hodisaning ehtimollik modeli, agar ko'rib chiqilayotgan miqdorlar va ular orasidagi bog'lanishlar ehtimollar nazariyasi nuqtai nazaridan ifodalangan bo'lsa, qurilgan deb hisoblash kerak. Haqiqatning ehtimollik modeliga mos kelishi, ya'ni. uning adekvatligi, xususan, gipotezalarni tekshirish uchun statistik usullardan foydalangan holda asoslanadi.

Ma'lumotlarni qayta ishlashning aql bovar qilmaydigan usullari kashfiyotdir, ulardan faqat dastlabki ma'lumotlarni tahlil qilishda foydalanish mumkin, chunki ular cheklangan statistik materiallar asosida olingan xulosalarning to'g'riligi va ishonchliligini baholashga imkon bermaydi.

Ehtimoliy va statistik usullar hodisa yoki jarayonning ehtimollik modelini qurish va asoslash mumkin bo'lgan joyda qo'llaniladi. Namuna ma'lumotlaridan olingan xulosalar butun populyatsiyaga (masalan, namunadan mahsulotning butun partiyasiga) o'tkazilganda ulardan foydalanish majburiydir.

Muayyan ilovalarda ular ehtimollik sifatida ishlatiladi statistik usullar keng qo'llanilishi, shuningdek, o'ziga xos bo'lganlar. Masalan, ishlab chiqarishni boshqarishning mahsulot sifatini boshqarishning statistik usullariga bag'ishlangan bo'limida amaliy matematik statistika (shu jumladan tajribalarni loyihalash) qo'llaniladi. Uning usullari yordamida, statistik tahlil texnologik jarayonlarning aniqligi va barqarorligi va sifatni statistik baholash. Maxsus usullarga mahsulot sifatini statistik qabul qilish nazorati, texnologik jarayonlarni statistik tartibga solish, ishonchlilikni baholash va nazorat qilish va boshqalar kiradi.

Ishonchlilik nazariyasi va navbat nazariyasi kabi amaliy ehtimollik-statistik fanlar keng qo'llaniladi. Ulardan birinchisining mazmuni sarlavhadan aniq, ikkinchisi tasodifiy vaqtda qo‘ng‘iroqlarni qabul qiluvchi telefon stansiyasi kabi tizimlarni o‘rganish bilan bog‘liq – abonentlarning telefonlarida raqamlarni terish talablari. Ushbu talablarga xizmat ko'rsatish muddati, ya'ni. suhbatlar davomiyligi ham tasodifiy o'zgaruvchilar tomonidan modellashtirilgan. Ushbu fanlarning rivojlanishiga SSSR Fanlar akademiyasining muxbir a'zosi A.Ya. Xinchin (1894-1959), Ukraina SSR Fanlar akademiyasining akademigi B.V. Gnedenko (1912-1995) va boshqa mahalliy olimlar.

Matematik statistika tarixi haqida qisqacha. Matematik statistika fan sifatida mashhur nemis matematigi Karl Fridrix Gaussning (1777-1855) asarlaridan boshlanadi, u ehtimollar nazariyasiga asoslanib, o'rganib, asoslab bergan. eng kichik kvadrat usuli, 1795 yilda u tomonidan yaratilgan va astronomik ma'lumotlarni qayta ishlash uchun ishlatilgan (kichik Ceres sayyorasining orbitasini aniqlashtirish uchun). Eng mashhur ehtimollik taqsimotlaridan biri, normali ko'pincha uning nomi bilan ataladi va tasodifiy jarayonlar nazariyasida asosiy tadqiqot ob'ekti Gauss jarayonlari hisoblanadi.

DA XIX asr oxiri ichida. - XX asr boshlari. matematik statistikaga katta hissa ingliz tadqiqotchilari, birinchi navbatda K.Pirson (1857-1936) va R.A. Fisher (1890-1962). Xususan, Pirson statistik gipotezalarni sinab ko'rish uchun "xi-kvadrat" mezonini ishlab chiqdi va Fisher - dispersiya tahlili, eksperimentni rejalashtirish nazariyasi, parametrlarni baholashning maksimal ehtimollik usuli.

Yigirmanchi asrning 30-yillarida. Pole Yerji Neyman (1894-1977) va ingliz E.Pirson statistik gipotezalarni tekshirishning umumiy nazariyasini yaratdilar va sovet matematiklari akademik A.N. Kolmogorov (1903-1987) va SSSR Fanlar akademiyasining muxbir a'zosi N.V. Smirnov (1900-1966) noparametrik statistikaga asos soldi. Yigirmanchi asrning qirqinchi yillarida. Ruminiyalik A. Vald (1902-1950) izchil statistik tahlil nazariyasini yaratdi.

Hozirgi vaqtda matematik statistika jadal rivojlanmoqda. Shunday qilib, so'nggi 40 yil ichida tadqiqotning to'rtta yangi yo'nalishini ajratib ko'rsatish mumkin [[2.16]]:

• ishlab chiqish va amalga oshirish matematik usullar eksperimentlarni rejalashtirish;
• amaliy matematik statistikada mustaqil yo`nalish sifatida nosonli xarakterdagi ob'ektlar statistikasini ishlab chiqish;
• foydalanilgan ehtimollik modelidan kichik og'ishlarga chidamli statistik usullarni ishlab chiqish;
• statistik ma'lumotlarni tahlil qilish uchun mo'ljallangan kompyuter dasturlari paketlarini yaratish bo'yicha ishlarni keng yo'lga qo'yish.

Ehtimoliy-statistik usullar va optimallashtirish. Optimallashtirish g'oyasi zamonaviy amaliy matematik statistika va boshqalarga kiradi statistik usullar. Ya'ni, tajribalarni rejalashtirish usullari, statistik qabul qilishni nazorat qilish, texnologik jarayonlarni statistik nazorat qilish va boshqalar. Boshqa tomondan, nazariy jihatdan optimallashtirish formulalari. Qaror qabul qilish, masalan, mahsulot sifatini optimallashtirishning amaliy nazariyasi va standartlar talablari, ehtimollik-statistik usullardan, birinchi navbatda, amaliy matematik statistikadan keng foydalanishni ta'minlaydi.

Ishlab chiqarishni boshqarishda, xususan, mahsulot sifati va standart talablarini optimallashtirishda qo'llash ayniqsa muhimdir statistik usullar dastlabki bosqichda hayot davrasi mahsulotlar, ya'ni. eksperimental konstruktorlik ishlanmalarini tadqiqot tayyorlash bosqichida (mahsulotlarga istiqbolli talablarni ishlab chiqish, dastlabki loyihalash, eksperimental loyihani ishlab chiqish uchun texnik topshiriqlar). Bu mahsulotning hayot aylanishining dastlabki bosqichida mavjud bo'lgan cheklangan ma'lumotlar va kelajak uchun texnik imkoniyatlar va iqtisodiy vaziyatni bashorat qilish zarurati bilan bog'liq. Statistik usullar optimallashtirish muammosini hal qilishning barcha bosqichlarida - o'zgaruvchilarni masshtablashda, mahsulotlar va tizimlarning ishlashi uchun matematik modellarni ishlab chiqishda, texnik va iqtisodiy tajribalarni o'tkazishda va hokazolarda qo'llanilishi kerak.

Optimallashtirish masalalarida, shu jumladan mahsulot sifati va standart talablarini optimallashtirishda statistikaning barcha sohalaridan foydalaniladi. Ya'ni - tasodifiy o'zgaruvchilar statistikasi, ko'p o'lchovli statistik tahlil, tasodifiy jarayonlar va vaqt qatorlari statistikasi, sonli bo'lmagan tabiatdagi ob'ektlar statistikasi. Muayyan ma'lumotlarni tahlil qilish uchun statistik usulni tanlash tavsiyalarga muvofiq amalga oshirilishi kerak [