Korrelyatsiya koeffitsienti 0 1. Korrelyatsiya tahlili. Psixologiyada statistika va ma'lumotlarni qayta ishlash (davomi)
7.3.1. Korrelyatsiya va determinatsiya koeffitsientlari. Miqdoriy bo'lishi mumkin muloqotning yaqinligi omillar orasida va orientatsiya(to'g'ridan-to'g'ri yoki teskari) hisoblash orqali:
1) agar ikkita omil o'rtasidagi chiziqli bog'liqlikni aniqlash zarur bo'lsa, - juftlik koeffitsienti korrelyatsiyalar: 7.3.2 va 7.3.3 da juft chiziqli Bravais-Pirson korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash operatsiyalari ( r) va Spirmenning juft darajali korrelyatsiya koeffitsienti ( r);
2) agar biz ikkita omil o'rtasidagi munosabatni aniqlamoqchi bo'lsak, lekin bu bog'liqlik aniq chiziqli bo'lmasa, u holda korrelyatsiya munosabati ;
3) agar biz bir omil va boshqa omillarning bir qatori o'rtasidagi bog'liqlikni aniqlamoqchi bo'lsak - u holda (yoki, ekvivalenti, "ko'p korrelyatsiya koeffitsienti");
4) agar biz bir omilning faqat birinchisiga ta'sir etuvchi omillar guruhiga kiruvchi, boshqa barcha omillarning ta'sirini o'zgarmagan holda hisobga olishimiz kerak bo'lgan boshqa bir omil bilan bog'liqligini alohida aniqlashni istasak, u holda xususiy (qisman) korrelyatsiya koeffitsienti .
Har qanday korrelyatsiya koeffitsienti (r, r) mutlaq qiymatda 1 dan oshmasligi kerak, ya'ni -1< r (r) < 1). Если получено значение 1, то это значит, что рассматриваемая зависимость не статистическая, а функциональная, если 0 - корреляции нет вообще.
Korrelyatsiya koeffitsientidagi belgi ulanishning yo'nalishini belgilaydi: "+" belgisi (yoki belgining yo'qligi) ulanishni anglatadi. To'g'riga (ijobiy), “–” belgisi - ulanish teskari (salbiy). Belgining ulanishning qattiqligi bilan hech qanday aloqasi yo'q.
Korrelyatsiya koeffitsienti statistik munosabatni xarakterlaydi. Ammo ko'pincha qaramlikning boshqa turini aniqlash kerak bo'ladi, ya'ni: ma'lum bir omilning boshqa bog'liq omilning shakllanishiga qo'shgan hissasi qanday. Bu turdagi qaramlik, ma'lum darajada an'anaviylik bilan tavsiflanadi aniqlash koeffitsienti (D ) formula bilan aniqlanadi D = r 2 ´100% (bu erda r - Bravais-Pirson korrelyatsiya koeffitsienti, 7.3.2-ga qarang). Agar o'lchovlar olingan bo'lsa buyurtma shkalasi (darajali shkala), keyin ishonchlilikka ba'zi zarar etkazgan holda, r qiymatining o'rniga, formulaga r qiymatini (Spirmanning korrelyatsiya koeffitsienti, 7.3.3 ga qarang) almashtirish mumkin.
Masalan, agar biz B omilining A omiliga bog'liqligining xarakteristikasi sifatida korrelyatsiya koeffitsienti r = 0,8 yoki r = –0,8 ni olgan bo'lsak, u holda D = 0,8 2 ´100% = 64%, ya'ni taxminan 2 ga teng bo'ladi. ½ 3. Demak, A omil va uning o’zgarishining B omil hosil bo’lishiga hissasi taxminan 2 ga teng ½ Umuman olganda, barcha omillarning umumiy hissasidan 3.
7.3.2. Bravais-Pirson korrelyatsiya koeffitsienti. Bravais-Pirson korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash tartibi ( r ) munosabatlar mavjud bo'lgan namunalar asosida ko'rib chiqilgan hollardagina qo'llanilishi mumkin normal taqsimot chastotalar ( normal taqsimot ) va intervallar yoki nisbatlar shkalalarida o'lchovlar bilan olinadi. Ushbu korrelyatsiya koeffitsienti uchun hisoblash formulasi:
å ( x men – )( y men-)
r = .
n×sx×sy
Korrelyatsiya koeffitsienti nimani ko'rsatadi? Birinchidan, korrelyatsiya koeffitsientidagi belgi munosabatlarning yo'nalishini ko'rsatadi, ya'ni: "-" belgisi munosabatlarni ko'rsatadi. teskari, yoki salbiy(bir tendentsiya mavjud: bir omilning qiymatlari kamayishi bilan boshqa omilning mos keladigan qiymatlari ortadi va ular oshgani sayin pasayadi) va belgi yoki "+" belgisi yo'qligini ko'rsatadi. To'g'riga, yoki ijobiy ulanishlar (bir tendentsiya mavjud: bir omilning qiymatlari ortishi bilan boshqasining qiymatlari ortadi, pasayganda esa kamayadi). Ikkinchidan, korrelyatsiya koeffitsientining mutlaq (belgidan mustaqil) qiymati ulanishning qattiqligini (kuchliligini) ko'rsatadi. Qabul qilish odatiy holdir (an'anaviy ravishda): r qiymatlari uchun< 0,3 корреляция juda zaif, ko'pincha oddiygina hisobga olinmaydi, 0,3 £ r uchun< 5 корреляция zaif, 0,5 £ r uchun< 0,7) - o'rtacha, 0,7 £ r £ 0,9 da) - kuchli va nihoyat, r > 0,9 uchun - juda kuchli. Bizning holatimizda (r » 0,83) munosabatlar teskari (salbiy) va kuchli.
Eslatib o'tamiz, korrelyatsiya koeffitsientining qiymatlari -1 dan +1 gacha bo'lishi mumkin. Agar r ning qiymati ushbu chegaralardan tashqariga chiqsa, bu hisob-kitoblarda shuni ko'rsatadi xatoga yo'l qo'yildi . Agar a r= 1, bu aloqa statistik emas, balki funktsional ekanligini anglatadi - bu sport, biologiya, tibbiyotda amalda bo'lmaydi. Kam sonli o'lchovlar bilan funktsional munosabatlarning rasmini beradigan qiymatlarni tasodifiy tanlash mumkin bo'lsa-da, lekin bunday holat qanchalik kam bo'lsa, taqqoslangan namunalar (n) hajmi qanchalik katta bo'lsa, ya'ni solishtirilgan o'lchovlar juftlari soni.
Hisoblash jadvali (7.1-jadval) formula bo'yicha tuzilgan.
7.1-jadval.
Bravais-Pirson hisobi uchun hisoblash jadvali
| x i | y i | (x men-) | (x i – ) 2 | (y men-) | (y i – ) 2 | (x men – )( y men-) |
| 13,2 | 4,75 | 0,2 | 0,04 | –0,35 | 0,1225 | – 0,07 |
| 13,5 | 4,7 | 0,5 | 0,25 | – 0,40 | 0,1600 | – 0,20 |
| 12,7 | 5,10 | – 0,3 | 0,09 | 0,00 | 0,0000 | 0,00 |
| 12,5 | 5,40 | – 0,5 | 0,25 | 0,30 | 0,0900 | – 0,15 |
| 13,0 | 5,10 | 0,0 | 0,00 | 0,00 | 0.0000 | 0,00 |
| 13,2 | 5,00 | 0,1 | 0,01 | – 0,10 | 0,0100 | – 0,02 |
| 13,1 | 5,00 | 0,1 | 0,01 | – 0,10 | 0,0100 | – 0,01 |
| 13,4 | 4,65 | 0,4 | 0,16 | – 0,45 | 0,2025 | – 0,18 |
| 12,4 | 5,60 | – 0,6 | 0,36 | 0,50 | 0,2500 | – 0,30 |
| 12,3 | 5,50 | – 0,7 | 0,49 | 0,40 | 0,1600 | – 0,28 |
| 12,7 | 5,20 | –0,3 | 0,09 | 0,10 | 0,0100 | – 0,03 |
| åx i \u003d 137 \u003d 13.00 | åy i =56,1 =5,1 | å( x i - ) 2 \u003d \u003d 1,78 | å( y i – ) 2 = = 1,015 | å( x men – )( y i – )= = –1,24 |
Chunki s x = ï ï = ï ï» 0,42, a
s y= ï ï» 0,32, r" –1,24ï (11'0,42'0,32) » –1,24ï 1,48 » –0,83 .
Boshqacha qilib aytganda, korrelyatsiya koeffitsientini juda qattiq bilishingiz kerak bo'lishi mumkin emas mutlaq qiymatda 1,0 dan oshadi. Bu ko'pincha qo'pol xatolardan qochishga, to'g'rirog'i, hisob-kitoblarda yo'l qo'yilgan xatolarni topish va tuzatishga imkon beradi.
7.3.3. Spearman korrelyatsiya koeffitsienti. Yuqorida aytib o'tilganidek, Bravais-Pirson korrelyatsiya koeffitsientini (r) faqat tahlil qilinadigan omillar chastota taqsimoti bo'yicha me'yorga yaqin bo'lganda va variantning qiymatlari o'lchovlar orqali aniqlangan hollarda qo'llanilishi mumkin. nisbatlar shkalasi yoki intervallar shkalasida, agar ular ifodalangan bo'lsa, sodir bo'ladi jismoniy birliklar. Boshqa hollarda, Spearman korrelyatsiya koeffitsienti topiladi ( r). Biroq, bu nisbat mumkin ruxsat etilgan (va kerakli) hollarda ham qo'llaniladi ! ) Bravais-Pirson korrelyatsiya koeffitsientini qo'llang. Ammo shuni yodda tutish kerakki, Bravais-Pirson koeffitsientini aniqlash tartibi mavjud ko'proq kuch ("hal qilish qobiliyat"), shunung uchun r dan ko'ra ko'proq ma'lumot beradi r. Hatto katta bilan n og'ish r±10% darajasida bo'lishi mumkin.
7.2-jadval Koeffitsient uchun hisoblash formulasi
x i y i R x R y |d R | d R 2 Spearman korrelyatsiya koeffitsienti
13,2 4,75 8,5 3,0 5,5 30,25 r= 1 – . Vos
13,5 4,70 11,0 2,0 9,0 81,00 biz misolimizdan foydalanamiz
Hisoblash uchun 12,7 5,10 4,5 6,5 2,0 4,00 r, lekin quraylik
12,5 5,40 3,0 9,0 6,0 36,00 boshqa jadval (7.2-jadval).
13,0 5,10 6,0 6,5 0,5 0,25 Qiymatlarni almashtiring:
13,2 5,00 8,5 4,5 4,0 16,00 r = 1– =
13,1 5,00 7,0 4,5 2,5 6,25 =1– 2538:1320 » 1–1,9 » – 0,9.
13,4 4,65 10,0 1,0 9,0 81,00 Ko‘ramiz: r biroz bo'lib chiqdi
12,4 5,60 2,0 11,0 9,0 81,00 dan ortiq r, lekin bu boshqacha
12,3 5,50 1,0 10,0 9,0 81,00 unchalik katta emas. Axir, da
12,7 5,20 4,5 8,0 3,5 12,25 juda kichik n qiymatlar r va r
åd R 2 = 423 juda taxminiy, unchalik ishonchli emas, ularning haqiqiy qiymati juda katta o'zgarishi mumkin, shuning uchun farq r va r 0,1 da ahamiyatsiz. Odatdaranalogi sifatida qaraladir , lekin kamroq aniq. Belgilar r va r ulanish yo'nalishini ko'rsatadi.
7.3.4. Korrelyatsiya koeffitsientlarini qo'llash va tasdiqlash. Faktorlar o'rtasidagi bog'liqlik darajasini aniqlash bizga kerak bo'lgan omilning rivojlanishini nazorat qilish uchun zarurdir: buning uchun biz unga sezilarli ta'sir ko'rsatadigan boshqa omillarga ta'sir qilishimiz kerak va ularning samaradorligi o'lchovini bilishimiz kerak. Tayyor testlarni ishlab chiqish yoki tanlash uchun omillarning o'zaro bog'liqligi haqida bilish kerak: testning axborot mazmuni uning natijalarining bizni qiziqtiradigan xususiyat yoki xususiyatning namoyon bo'lishi bilan bog'liqligi bilan belgilanadi. Korrelyatsiyalarni bilmasdan, tanlashning har qanday shakli mumkin emas.
Yuqorida ta'kidlanganidek, sportda va umumiy pedagogik, tibbiy, hatto iqtisodiy va sotsiologik amaliyotda ham, buni aniqlash katta qiziqish uyg'otadi. hissa , qaysi bir omil boshqasining shakllanishiga yordam beradi. Buning sababi, ko'rib chiqilgan omillarga qo'shimcha ravishda sabablar maqsad(bizni qiziqtiradigan) omil akti, har biri unga u yoki bu hissa qo'shadi va boshqalar.
Har bir sabab omilining hissasi o'lchovi bo'lishi mumkin, deb ishoniladi aniqlash koeffitsienti D i = r 2 ´100%. Shunday qilib, masalan, r = 0,6 bo'lsa, ya'ni. A va B omillari o'rtasidagi bog'liqlik o'rtacha, keyin D = 0,6 2 ´100% = 36%. Shunday qilib, A omilining B omilining shakllanishiga qo'shgan hissasi taxminan 1 ga teng ekanligini bilish ½ 3, masalan, taxminan 1 ni bag'ishlash mumkin ½ 3 ta mashg'ulot vaqti. Agar korrelyatsiya koeffitsienti r \u003d 0,4 bo'lsa, u holda D \u003d r 2 100% \u003d 16% yoki taxminan 1 ½ 6 - ikki s yana bir bor kamroq va bu mantiqqa ko'ra, faqat 1 ½ Trening vaqtining 6 qismi.
Turli muhim omillar uchun D i qiymatlari bizni qiziqtirgan maqsadli omilga ularning ta'sirining miqdoriy bog'liqligi haqida taxminiy fikr beradi, biz uni yaxshilash uchun aslida boshqa omillar ustida ishlamoqdamiz ( masalan, uzunlikka sakrashchi o'z sprint tezligini oshirish ustida ishlamoqda, shuning uchun sakrashda natijaning shakllanishiga eng muhim hissa qo'shadigan omil).
Buni aniqlash orqali eslang D o'rniga r qo'yish r, garchi, albatta, aniqlashning aniqligi pastroq.
Asosida selektiv korrelyatsiya koeffitsientining (namunaviy ma'lumotlardan hisoblangan) umumiy ko'rib chiqilayotgan omillar o'rtasida bog'liqlik mavjudligi faktini ishonchli deb xulosa qilish mumkin emas. Turli darajadagi haqiqiylik bilan bunday xulosa chiqarish uchun standartdan foydalaning korrelyatsiya ahamiyatlilik mezonlari. Ularning qo'llanilishi omillar va o'rtasidagi chiziqli munosabatni nazarda tutadi normal taqsimot ularning har biridagi chastotalar (selektiv emas, balki ularning umumiy ifodasini anglatadi).
Siz, masalan, Student t-testlarini qo'llashingiz mumkin. Uning poygasi
teng formula: tp= –2 , Bu erda k - o'rganilayotgan namunaviy korrelyatsiya koeffitsienti, a n- solishtirilgan namunalar hajmi. Olingan t-mezonning (t p) hisoblangan qiymati biz tanlagan muhimlik darajasidagi jadval qiymati va erkinlik darajalari soni n = n - 2. Hisoblash ishlaridan xalos bo'lish uchun siz foydalanishingiz mumkin maxsus stol namunaviy korrelyatsiya koeffitsientlarining kritik qiymatlari(yuqoriga qarang), omillar o'rtasida sezilarli bog'liqlik mavjudligiga mos keladi (hisobga olgan holda n va a).
7.3-jadval.
Namuna korrelyatsiya koeffitsienti ishonchliligining chegaraviy qiymatlari
Korrelyatsiya koeffitsientlarini aniqlashda erkinlik darajalari soni 2 ga teng (ya'ni. n= 2) Jadvalda ko'rsatilgan. 7.3 qiymatlari ishonch oralig'ida pastki chegaraga ega rost korrelyatsiya koeffitsienti 0 ga teng, ya'ni bunday qiymatlar bilan korrelyatsiya umuman sodir bo'ladi, deb bahslasha olmaydi. Agar namunaviy korrelyatsiya koeffitsientining qiymati jadvalda ko'rsatilganidan yuqori bo'lsa, haqiqiy korrelyatsiya koeffitsienti nolga teng emasligini tegishli ahamiyatga ega bo'lgan darajada ko'rib chiqish mumkin.
Ammo ko'rib chiqilayotgan omillar o'rtasida haqiqiy bog'liqlik bormi degan savolga javob boshqa savolga joy qoldiradi: qaysi intervalda haqiqiy qiymat korrelyatsiya koeffitsienti, aslida bo'lishi mumkin, cheksiz katta n? Har qanday ma'lum qiymat uchun bu interval r va n solishtirilgan omillarni hisoblash mumkin, ammo grafiklar tizimidan foydalanish qulayroq ( nomogramma), bu erda har bir egri juftlik yuqorida ko'rsatilgan ba'zilari uchun tuzilgan n, intervalning chegaralariga mos keladi.
Guruch. 7.4. Namuna korrelyatsiya koeffitsientining ishonch chegaralari (a = 0,05). Har bir egri chiziq ustidagi chiziqqa mos keladi. n.
Rasmdagi nomogrammaga murojaat qilish. 7.4, a = 0,05 da namunaviy korrelyatsiya koeffitsientining hisoblangan qiymatlari uchun haqiqiy korrelyatsiya koeffitsienti qiymatlari oralig'ini aniqlash mumkin.
7.3.5. korrelyatsiya munosabatlari. Agar juftlik korrelyatsiyasi chiziqli bo'lmagan, korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash mumkin emas, aniqlang korrelyatsiya munosabatlari . Majburiy talab: xususiyatlar nisbatlar shkalasida yoki intervalli shkalada o'lchanishi kerak. Faktorning korrelyatsiya bog'liqligini hisoblashingiz mumkin X omildan Y omilning korrelyatsion bog'liqligi Y omildan X- ular boshqacha. Kichik hajm bilan n omillarni ifodalovchi namunalarni ko'rib chiqish, korrelyatsiya munosabatlarini hisoblash uchun quyidagi formulalardan foydalanishingiz mumkin:
korrelyatsiya nisbati h x ½ y= ;
korrelyatsiya nisbati h y ½ x= .
Bu erda X va Y namunalarining arifmetik o'rtalari va - sinf ichidagi arifmetik o'rtachalar. Ya'ni, X omili namunasidagi qiymatlarning o'rtacha arifmetik qiymati teng qiymatlarni birlashtiring Y omilining namunasida (masalan, agar X omil 4, 6 va 5 qiymatlariga ega bo'lsa, Y omili namunasida bir xil qiymatga ega 9 ta variant konjugatsiyalangan bo'lsa, u holda = (4+6+) 5) ½ 3 = 5). Shunga ko'ra, - X omili tanlovidagi bir xil qiymatlar bilan bog'liq bo'lgan Y omili namunasidagi qiymatlarning o'rtacha arifmetik qiymati. Keling, misol keltiramiz va hisoblaymiz:
X: 75 77 78 76 80 79 83 82 ; Y: 42 42 43 43 43 44 44 45 .
7.4-jadval
Hisoblash jadvali
| x i | y i | x y | x i - x | (x i - x) 2 | x i - x y | (x i–x y) 2 |
| –4 | –1 | |||||
| –2 | ||||||
| –3 | –2 | |||||
| –1 | ||||||
| –3 | ||||||
| x=79 | y=43 | S=76 | S=28 |
Shuning uchun h y ½ x= » 0,63.
7.3.6. Qisman va ko'p korrelyatsiya koeffitsientlari. Ikki omil o'rtasidagi munosabatni baholash uchun korrelyatsiya koeffitsientlarini hisoblash orqali biz sukut bo'yicha boshqa omillar bu munosabatlarga hech qanday ta'sir qilmaydi deb taxmin qilamiz. Aslida esa bunday emas. Shunday qilib, vazn va bo'y o'rtasidagi bog'liqlik kaloriya iste'moli, tizimli jismoniy faollik miqdori, irsiyat va boshqalar juda sezilarli darajada ta'sir qiladi. Ikki omil o'rtasidagi munosabatni baholashda zarur bo'lganda. sezilarli ta'sirini hisobga olish boshqa omillar va shu bilan birga o'zlarini ulardan qanday ajratish kerakligi, ularni o'zgarishsiz hisobga olgan holda, hisoblang xususiy (aks holda - qisman ) korrelyatsiya koeffitsientlari.
Misol: 3 ta muhim omil X, Y va Z o'rtasidagi juft bog'liqlikni baholashingiz kerak. Belgilang r X va Y omillari o'rtasidagi XY (Z) xususiy (qisman) korrelyatsiya koeffitsienti (bu holda Z omilining qiymati o'zgarmagan deb hisoblanadi), r ZX (Y) - Z va X omillari o'rtasidagi qisman korrelyatsiya koeffitsienti (Y omilining doimiy qiymati bilan), r YZ (X) - Y va Z omillari orasidagi qisman korrelyatsiya koeffitsienti (X omilning doimiy qiymati bilan). Hisoblangan oddiy juftlashtirilgan (Bravais-Pirson bo'yicha) korrelyatsiya koeffitsientlaridan foydalanish r xy, r XZ va r YZ, m
Shaxsiy (qisman) korrelyatsiya koeffitsientlarini formulalar yordamida hisoblashingiz mumkin:
rXY- r XZ´ r YZ r XZ- r XY' r ZY r ZY –r ZX ´ r YZ
r XY (Z) = ; r XZ (Y) = ; r ZY (X) =
Ö(1– r 2XZ)(1– r 2 YZ) Ö(1– r 2XY)(1– r 2 ZY) Ö(1– r 2ZX)(1– r 2YX)
Va qisman korrelyatsiya koeffitsientlari -1 dan +1 gacha bo'lgan qiymatlarni olishi mumkin. Ularni kvadratga bo'lib, biz mos keladigan ko'rsatkichlarni olamiz aniqlash koeffitsientlari ham chaqiriladi shaxsiy ishonch choralari(100 ga ko'paytiramiz, biz%% bilan ifodalaymiz). Qisman korrelyatsiya koeffitsientlari oddiy (to'liq) juftlik koeffitsientlaridan ko'p yoki kamroq farq qiladi, bu ularga 3-omilning ta'sir kuchiga bog'liq (o'zgarmagandek). Nol gipoteza (H 0), ya'ni X va Y omillari o'rtasida hech qanday bog'liqlik (bog'liqlik) yo'qligi haqidagi gipoteza (xususiyatlar umumiy soni bilan) tekshiriladi. k) formula bo'yicha t-testni hisoblash yo'li bilan: t P = r XY (Z) ´ ( n–k) 1 ½ 2 ´ (1– r 2XY(Z)) –1 ½ 2 .
Agar a t R< t a n , gipoteza qabul qilinadi (bog'liqlik yo'q deb hisoblaymiz), agar t P ³ t a n - gipoteza rad etiladi, ya'ni qaramlik haqiqatda sodir bo'ladi, deb ishoniladi. t a n jadvaldan olingan t-Talaba mezoni, va k- hisobga olingan omillar soni (3-misolimizda), erkinlik darajalari soni n= n - 3. Boshqa qisman korrelyatsiya koeffitsientlari xuddi shunday tekshiriladi (formula o'rniga r XY (Z) mos ravishda almashtiriladi r XZ (Y) yoki r ZY(X)).
7.5-jadval
Dastlabki ma'lumotlar
| X (yil) | Y (marta) | Z (marta) | X (yil) | Y (marta) | Z (marta) | |||||||||||||||||
| 1-xususiyat 2-xususiyat | introversiya | Ekstraversiya |
| Sport o'yinlari | a | b |
| Gimnastika | Bilan | d |
Shubhasiz, bu erda bizning ixtiyorimizdagi raqamlar faqat tarqatish chastotalari bo'lishi mumkin. Bunday holda, hisoblang assotsiatsiya koeffitsienti (boshqa ism" kutilmagan holatlar koeffitsienti "). O'ylab ko'ring eng oddiy holat: ikki juft xususiyat o'rtasidagi munosabat, hisoblangan kutilmagan koeffitsient deyiladi tetraxorik (jadvalga qarang).
7.7-jadval.
| a = 20 | b = 15 | a + b = 35 |
| c =15 | d=5 | c + d = 20 |
| a + c = 35 | b + d = 20 | n = 55 |
Biz quyidagi formula bo'yicha hisob-kitob qilamiz:
ad-bc 100-225-123
Ko'p sonli xususiyatlarga ega bo'lgan assotsiatsiya koeffitsientlarini (konjugatsiya koeffitsientlarini) hisoblash tegishli tartibning o'xshash matritsasidan foydalangan holda hisob-kitoblar bilan bog'liq.
O'qish paytida korrelyatsiyalar bir xil namunadagi ikkita ko'rsatkich o'rtasida (masalan, bolalarning bo'yi va vazni o'rtasida yoki daraja o'rtasida) bog'liqlik mavjudligini aniqlashga harakat qiling. IQ va maktab faoliyati) yoki ikki xil namunalar o'rtasida (masalan, egizaklar juftlarini solishtirganda) va agar bu bog'liqlik mavjud bo'lsa, bitta ko'rsatkichning o'sishi o'sish (ijobiy korrelyatsiya) yoki pasayish (salbiy korrelyatsiya) bilan birga keladimi? boshqa.
Boshqacha qilib aytganda, korrelyatsiya tahlili boshqa ko'rsatkichning qiymatini bilib, bir ko'rsatkichning mumkin bo'lgan qiymatlarini bashorat qilish mumkinligini aniqlashga yordam beradi.
Hozirgacha marixuana ta'sirini o'rganish bo'yicha tajribamiz natijalarini tahlil qilar ekanmiz, biz reaksiya vaqti kabi ko'rsatkichni ataylab e'tibordan chetda qoldirdik. Shu bilan birga, reaktsiyalarning samaradorligi va ularning tezligi o'rtasida bog'liqlik mavjudligini tekshirish qiziq. Bu, masalan, odam qanchalik sekin bo'lsa, uning harakatlari shunchalik aniq va samarali bo'ladi va aksincha, deb bahslashishga imkon beradi.
Buning uchun ikki xil usuldan foydalanish mumkin: Bravais-Pirson koeffitsientini hisoblashning parametrik usuli. (r) va Spearmen darajalarining korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash (r s ), tartibli ma'lumotlarga tegishli, ya'ni parametrik emas. Biroq, avval korrelyatsiya koeffitsienti nima ekanligini tushunib olaylik.
Korrelyatsiya koeffitsienti
Korrelyatsiya koeffitsienti -1 dan 1 gacha o'zgarishi mumkin bo'lgan qiymatdir. To'liq musbat korrelyatsiya bo'lsa, bu koeffitsient plyus 1, to'liq manfiy bilan - minus 1. Grafikda bu to'g'ri chiziqdan o'tuvchiga to'g'ri keladi. Har bir juftlik ma'lumotlari qiymatlarining kesishish nuqtalari orqali:
O'zgaruvchan
Agar bu nuqtalar toʻgʻri chiziq boʻylab ketmasa, balki “bulut” hosil qilsa, korrelyatsiya koeffitsientining mutlaq qiymati birdan kichik boʻladi va bulut aylana boʻlganda nolga yaqinlashadi:
Agar korrelyatsiya koeffitsienti 0 bo'lsa, ikkala o'zgaruvchi ham bir-biridan butunlay mustaqildir.
Gumanitar fanlarda korrelyatsiya kuchli hisoblanadi, agar uning koeffitsienti 0,60 dan katta bo'lsa; agar u 0,90 dan oshsa, u holda korrelyatsiya juda kuchli hisoblanadi. Biroq, o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlar haqida xulosa chiqarish uchun tanlov hajmi katta ahamiyatga ega: tanlama qanchalik katta bo'lsa, olingan korrelyatsiya koeffitsientining qiymati shunchalik ishonchli bo'ladi. Turli xil erkinlik darajalari uchun Bravais-Pirson va Spearman korrelyatsiya koeffitsientlarining kritik qiymatlari bo'lgan jadvallar mavjud (bu juftliklar soni minus 2 ga teng, ya'ni. n-2). Faqatgina korrelyatsiya koeffitsientlari ushbu kritik qiymatlardan kattaroq bo'lsa, ularni ishonchli deb hisoblash mumkin. Shunday qilib, 0,70 korrelyatsiya koeffitsienti ishonchli bo'lishi uchun tahlilga kamida 8 juft ma'lumotni olish kerak. ( = P - 2 = 6) hisoblashda r(B.4-jadval) va 7 ma'lumot juftligi (= n - 2 = 5) hisoblashda r s (B ilovadagi 5-jadval. 5).
Bravais-Pirson koeffitsienti
Ushbu koeffitsientni hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaniladi (y turli mualliflar u boshqacha ko'rinishi mumkin):
qayerda XY har bir juftlikdan olingan ma'lumotlarning ko'paytmalari yig'indisi;
n - juftliklar soni;
- o'zgaruvchan ma'lumotlar uchun o'rtacha X;
O'zgaruvchan ma'lumotlar uchun o'rtacha Y;
S X - x;
s Y - tarqatish uchun standart og'ish y.
Endi biz ushbu koeffitsient yordamida sub'ektlarning reaktsiya vaqti va ularning harakatlarining samaradorligi o'rtasida bog'liqlik mavjudligini aniqlashimiz mumkin. Misol uchun, nazorat guruhining fon darajasini olaylik.
n= 15 15,8 13,4 = 3175,8;
(n – 1)S x S y = 14 3,07 2,29 = 98,42;
r
=
Korrelyatsiya koeffitsientining manfiy qiymati reaksiya vaqti qanchalik uzoq bo'lsa, samaradorlik shunchalik past bo'lishini anglatishi mumkin. Biroq, uning qiymati bu ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi muhim munosabatlar haqida gapirish uchun juda kichikdir.
nXY=………
(n- 1) S X S Y = ……
Ushbu natijalardan qanday xulosa chiqarish mumkin? Agar siz o'zgaruvchilar o'rtasida bog'liqlik bor deb hisoblasangiz, unda bu nima - to'g'ridan-to'g'ri yoki teskari? Bu ishonchlimi [qarang. tab. 4 (B ilovasida. 5) tanqidiy qiymatlar bilan r]?
Spearman darajasining korrelyatsiya koeffitsientir s
Ushbu koeffitsientni hisoblash osonroq, ammo natijalar foydalanishdan ko'ra kamroq aniq r. Buning sababi shundaki, Spearman koeffitsientini hisoblashda ularning miqdoriy xarakteristikalari va sinflar orasidagi intervallar emas, balki ma'lumotlarning tartibi qo'llaniladi.
Gap shundaki, darajali korrelyatsiya koeffitsientidan foydalanganda Spearman(r s ) ular faqat ba'zi namunalar uchun ma'lumotlar reytingi birinchisi bilan bog'langan ushbu namuna uchun boshqa ma'lumotlar qatoridagi kabi bo'ladimi yoki yo'qligini tekshiradi (masalan, talabalar psixologiya va matematikadan o'tganlarida teng ravishda "o'ringa" qo'yiladimi yoki yoki ikki xil psixologiya professori bilan ham?). Agar koeffitsient + 1 ga yaqin bo'lsa, bu ikkala qator amalda mos kelishini anglatadi va agar bu koeffitsient - 1 ga yaqin bo'lsa, biz to'liq teskari munosabat haqida gapirishimiz mumkin.
Koeffitsient r s formula bo'yicha hisoblanadi
qayerda d- konjugat xususiyat qiymatlari darajalari orasidagi farq (uning belgisidan qat'iy nazar) va n- juftlar soni.
Odatda, bu parametrik bo'lmagan test siz juda ko'p emas, balki ba'zi xulosalar chiqarishingiz kerak bo'lgan hollarda qo'llaniladi. intervallar ma'lumotlar o'rtasida, ular haqida qancha martabalar, shuningdek, taqsimot egri chiziqlari juda assimetrik bo'lsa va koeffitsient kabi parametrik mezonlardan foydalanishga imkon bermasa. r(bunday hollarda miqdoriy ma'lumotlarni tartibli ma'lumotlarga aylantirish kerak bo'lishi mumkin).
Ta'sir qilishdan keyin eksperimental guruhda samaradorlik va reaktsiya vaqti qiymatlarining taqsimlanishi bilan bog'liq bo'lganligi sababli, siz ushbu guruh uchun allaqachon qilgan hisob-kitoblarni takrorlashingiz mumkin, faqat hozir koeffitsient uchun emas. r, va indikator uchun r s . Bu sizga bu ikki ko'rsatkich qanchalik farq qilishini ko'rish imkonini beradi*.
* Shuni esda tutish kerak
1) urishlar soni bo'yicha 1-darajali eng yuqori darajaga va 15-darajali eng past ko'rsatkichga to'g'ri keladi, reaktsiya vaqti uchun esa 1-darajali eng qisqa vaqtga va 15-darajali eng uzuniga to'g'ri keladi;
2) ex aequo ma'lumotlariga o'rtacha daraja beriladi.
Shunday qilib, koeffitsient holatida bo'lgani kabi r, ishonchsiz bo'lsa ham ijobiy natija oldi. Ikki natijadan qaysi biri ishonchliroq: r=-0,48 yoki r s = +0,24? Bunday savol faqat natijalar ishonchli bo'lsa paydo bo'lishi mumkin.
Yana bir bor ta'kidlashni istardimki, bu ikki koeffitsientning mohiyati biroz boshqacha. Salbiy koeffitsient r koeffitsientni hisoblashda samaradorlik ko'pincha qanchalik yuqori bo'lsa, reaktsiya vaqti tezroq bo'lishini ko'rsatadi r s tezroq sub'ektlar har doim aniqroq, sekinroq esa kamroq aniqlik bilan reaksiyaga kirishishini tekshirish kerak edi.
Tajriba guruhida ta'sir qilishdan keyin koeffitsient olindi r s , 0,24 ga teng bo'lsa, bunday tendentsiya bu erda kuzatilmagani aniq. ni bilgan holda, ta'sir qilishdan keyin nazorat guruhi uchun ma'lumotlarni o'zingiz tushunishga harakat qiling d 2 = 122,5:
; ishonchlimi?
Sizning xulosangiz qanday?…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………….
Shunday qilib, biz psixologiyada qo'llaniladigan turli xil parametrik va parametrik bo'lmagan statistik usullarni ko'rib chiqdik. Bizning sharhimiz juda yuzaki bo'ldi va uning asosiy vazifasi o'quvchiga statistika ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emasligini va asosan sog'lom fikrni talab qilishini tushunish edi. Sizga shuni eslatib o'tamizki, biz bu erda ko'rib chiqqan "tajriba" ma'lumotlari xayoliydir va hech qanday xulosalar uchun asos bo'la olmaydi. Biroq, bunday tajriba o'tkazishga arziydi. Ushbu tajriba uchun sof klassik texnika tanlanganligi sababli, bir xil statistik tahlil ko'plab turli tajribalarda qo'llanilishi mumkin. Har holda, biz natijalarning statistik tahlilini qaerdan boshlashni bilmaganlar uchun foydali bo'lishi mumkin bo'lgan ba'zi asosiy yo'nalishlarni belgilab bergandek tuyuladi.
Statistikaning uchta asosiy tarmog'i mavjud: tavsiflovchi statistika, induktiv statistika va korrelyatsiya tahlili.
Regressiya tahlili bir o'zgaruvchining boshqasiga qanday bog'liqligini va bog'liq o'zgaruvchining qiymatlarining o'zaro bog'liqlikni belgilaydigan to'g'ri chiziq atrofida tarqalishini baholashga imkon beradi. Ushbu hisob-kitoblar va tegishli ishonch intervallari bog'liq o'zgaruvchining qiymatini taxmin qilish va ushbu bashoratning to'g'riligini aniqlash imkonini beradi.
Regressiya tahlilining natijalari faqat juda murakkab raqamli yoki grafik shaklda taqdim etilishi mumkin. Biroq, biz ko'pincha bir o'zgaruvchining qiymatini boshqasining qiymatidan bashorat qilishdan emas, balki faqat bitta raqam sifatida ifodalangan holda ular orasidagi munosabatlarning qattiqligini (kuchliligini) tavsiflashdan manfaatdormiz.
Bu xarakteristikaga korrelyatsiya koeffitsienti deyiladi, u odatda r harfi bilan belgilanadi.Korrelyatsiya koeffitsienti shunday bo'lishi mumkin.
-1 dan +1 gacha qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Korrelyatsiya koeffitsientining belgisi bog'lanish yo'nalishini (to'g'ridan-to'g'ri yoki teskari), mutlaq qiymat esa ulanishning yaqinligini ko'rsatadi. -1 ga teng bo'lgan koeffitsient 1 ga teng bo'lgan bir xil qattiq ulanishni aniqlaydi. Ulanish bo'lmasa, korrelyatsiya koeffitsienti nolga teng.
Shaklda. 8.10 bog'liqlik misollari va ularga mos keladigan r qiymatlarini ko'rsatadi. Biz ikkita korrelyatsiya koeffitsientini ko'rib chiqamiz.
Pearson korrelyatsiya koeffitsienti miqdoriy belgilarning chiziqli munosabatini tavsiflash uchun mo'ljallangan; regressiya kabi
ionli tahlil, u normal taqsimlashni talab qiladi. Odamlar shunchaki "korrelyatsiya koeffitsienti" haqida gapirganda, ular deyarli har doim Pearsonning korrelyatsiya koeffitsientini nazarda tutadi va biz aynan shunday qilamiz.
Spearmanning darajali korrelyatsiya koeffitsienti munosabatlar chiziqli bo'lmaganda - nafaqat miqdoriy, balki tartib belgilari uchun ham ishlatilishi mumkin. Bu parametrik bo'lmagan usul bo'lib, har qanday alohida turdagi taqsimotni talab qilmaydi.
Biz yuqorida bobda miqdoriy, sifat va tartib xususiyatlari haqida gapirgan edik. 5. Miqdoriy belgilar oddiy raqamli ma'lumotlar bo'lib, bo'y, vazn, harorat kabi. Qiymatlar miqdoriy xususiyat siz bir-biringiz bilan solishtirishingiz va ularning qaysi biri kattaroq ekanligini, qancha va necha marta aytishingiz mumkin. Например, если один марсианин весит 15 г, а другой 10, то первый тяжелее второго и в полтора раза и на 5 г. Значения порядкового признака тоже можно сравнить, сказав, какое из них больше, но нельзя сказать, ни на сколько, ни во necha marta. Tibbiyotda ordinal belgilar juda keng tarqalgan. Masalan, vaginal Pap testi natijalari quyidagi shkala bo'yicha baholanadi: 1) normal, 2) engil displaziya, 3) o'rtacha displaziya, 4) og'ir displaziya, 5) in situ saratoni. Ham miqdoriy, ham tartib belgilarini tartibda joylashtirish mumkin - bu bo'yicha umumiy mulk Spearman darajali korrelyatsiya koeffitsientini o'z ichiga olgan parametrik bo'lmagan mezonlarning katta guruhiga asoslanadi. Boshqa parametrik bo'lmagan mezonlar bilan biz bobda tanishamiz. o'n.
Pearson korrelyatsiya koeffitsienti
Va shunga qaramay, nega regressiya tahlilini munosabatlarning keskinligini tasvirlash uchun ishlatib bo'lmaydi? Qoldiq standart og'ish munosabatlarning yaqinligining o'lchovi sifatida ishlatilishi mumkin. Biroq, agar siz qaram va mustaqil o'zgaruvchilarni almashtirsangiz, regressiya tahlilining boshqa ko'rsatkichlari kabi qoldiq standart og'ish ham boshqacha bo'ladi.
Keling, rasmga qaraylik. 8.11. Bizga ma'lum bo'lgan 10 ta marslik namunasi asosida ikkita regressiya chizig'i qurilgan. Bir holatda og'irlik bog'liq o'zgaruvchi, ikkinchisida mustaqil o'zgaruvchidir. Regressiya chiziqlari sezilarli darajada farq qiladi
 |
| 20 |
Agar siz x va y ni almashtirsangiz, regressiya tenglamasi boshqacha bo'ladi, lekin korrelyatsiya koeffitsienti bir xil bo'lib qoladi.
umid. Ma’lum bo‘lishicha, bo‘yning vazn bilan bog‘liqligi bitta, vaznning bo‘y bilan bog‘liqligi boshqa. Regressiya tahlilining assimetriyasi uning munosabatlarning mustahkamligini tavsiflash uchun bevosita ishlatilishiga to'sqinlik qiladi. Korrelyatsiya koeffitsienti, garchi uning g'oyasi regressiya tahlilidan kelib chiqsa ham, bu kamchilikdan xoli. Formulani taqdim etamiz.
rY(X - X)(Y - Y)
&((- X) S(y - Y)2"
bu erda X va Y - X va Y o'zgaruvchilarning o'rtacha qiymatlari. R ifodasi "nosimmetrik" - X va Y-ni almashtirsak, biz bir xil qiymatni olamiz. Korrelyatsiya koeffitsienti -1 dan +1 gacha bo'lgan qiymatlarni oladi. Aloqa qanchalik yaqin bo'lsa, korrelyatsiya koeffitsientining mutlaq qiymati shunchalik katta bo'ladi. Belgisi ulanish yo'nalishini ko'rsatadi. r > 0 uchun ular to'g'ridan-to'g'ri korrelyatsiya haqida gapiradi (bir o'zgaruvchining ortishi bilan ikkinchisi ham ortadi), r uchun r 10 ta marslik bilan misol qilib olaylik, biz buni regressiya tahlili nuqtai nazaridan ko'rib chiqdik. Korrelyatsiya koeffitsientini hisoblaymiz. Dastlabki ma'lumotlar va hisob-kitoblarning oraliq natijalari Jadvalda keltirilgan. 8.3. Namuna hajmi n = 10, o'rtacha balandlik
X = £ X/n = 369/10 = 36,9 va vazni Y = £ Y/n = 103,8/10 = 10,38.
Shch-X)(Y-Y) = 99,9, Shch-X)2 = 224,8, £(Y - Y)2 = 51,9 ni topamiz.
Olingan qiymatlarni korrelyatsiya koeffitsienti formulasiga almashtiramiz:
224,8 x 51,9'"
R ning qiymati 1 ga yaqin, bu balandlik va vazn o'rtasidagi yaqin munosabatni ko'rsatadi. Qaysi korrelyatsiya koeffitsienti katta va qaysi biri ahamiyatsiz deb hisoblanishi kerakligi haqida yaxshiroq tasavvurga ega bo'lish uchun ko'rib chiqing.
8.3-jadval. Korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
stol ustidagilar. 8.4 - bu biz ilgari tahlil qilgan misollar uchun korrelyatsiya koeffitsientlarini ko'rsatadi.
Regressiya va korrelyatsiya o'rtasidagi bog'liqlik
Regressiya chiziqlarini qurish uchun dastlab korrelyatsiya koeffitsientlarining barcha misollaridan foydalandik (8.4-jadval). Darhaqiqat, korrelyatsiya koeffitsienti va regressiya tahlili parametrlari o'rtasida yaqin bog'liqlik mavjud, biz buni hozir ko'rsatamiz. Bu holda biz oladigan korrelyatsiya koeffitsientini taqdim etishning turli usullari ushbu ko'rsatkichning ma'nosini yaxshiroq tushunishga imkon beradi.
Eslatib o'tamiz, regressiya tenglamasi regressiya chizig'idan kvadrat og'ishlar yig'indisini minimallashtiradigan tarzda tuzilgan.
Kvadratlarning bu minimal yig'indisini S bilan belgilaymiz (bu qiymat kvadratlarning qoldiq yig'indisi deyiladi). Y bog'liq o'zgaruvchining o'rtacha Y qiymatidan kvadratik og'ishlarining yig'indisi S ^ bilan belgilanadi. Keyin:
R2 qiymati determinatsiya koeffitsienti deb ataladi - bu shunchaki korrelyatsiya koeffitsientining kvadratidir. Aniqlanish koeffitsienti ulanishning kuchini ko'rsatadi, lekin uning yo'nalishi emas.
Yuqoridagi formuladan ko'rinib turibdiki, agar bog'liq o'zgaruvchining qiymatlari to'g'ridan-to'g'ri regressiyaga bog'liq bo'lsa, u holda S = 0 va shuning uchun r = +1 yoki r = -1, ya'ni o'rtasida chiziqli bog'liqlik mavjud. bog'liq va mustaqil o'zgaruvchilar. Mustaqil o'zgaruvchining har qanday qiymati bog'liq o'zgaruvchining qiymatini aniq bashorat qilishi mumkin. Aksincha, agar o'zgaruvchilar umuman bog'liq bo'lmasa, u holda Soci = SofSisi Keyin r = 0.
Bundan tashqari, aniqlash koeffitsienti umumiy dispersiyaning S ^ ulushiga teng ekanligini ko'rish mumkin, bu sabab yoki ular aytganidek, chiziqli regressiya bilan izohlanadi.
Kvadratlarning qoldiq yig‘indisi S2y\x qoldiq dispersiyaga Socj = (n - 2) s^ munosabati bilan, S^ kvadratlarning umumiy yig‘indisi s2 dispersiyasiga S^ = (n - 1) munosabat bilan bog‘liq. )s2. Unday bo `lsa
r2 = 1 _ n _ 2 sy\x n _1 sy
Ushbu formula korrelyatsiya koeffitsientining qoldiq dispersiyaning umumiy dispersiyadagi ulushiga bog'liqligini baholashga imkon beradi.
olti/s2y Bu nisbat qanchalik kichik bo'lsa, korrelyatsiya koeffitsienti shunchalik katta bo'ladi (mutlaq qiymatda) va aksincha.
Ko'rdikki, korrelyatsiya koeffitsienti o'zgaruvchilarning chiziqli munosabatlarining qattiqligini aks ettiradi. Biroq, agar gaplashamiz bir o'zgaruvchining qiymatini boshqasining qiymatidan bashorat qilish haqida,
korrelyatsiya koeffitsientiga ortiqcha tayanmaslik kerak. Masalan, rasmdagi ma'lumotlar. 8,7 juda yuqori korrelyatsiya koeffitsientiga to'g'ri keladi (r = 0,92), ammo ishonch mintaqasining kengligi prognoz noaniqligi juda muhim ekanligini ko'rsatadi. Shuning uchun, katta korrelyatsiya koeffitsienti bo'lsa ham, ishonch oralig'ini hisoblashni unutmang.
Va oxirida biz korrelyatsiya koeffitsienti va to'g'ridan-to'g'ri regressiya qiyalik koeffitsienti nisbatini beramiz b:
Bu erda b - regressiya chizig'ining qiyaligi, sx va sY - o'zgaruvchilarning standart og'ishlari.
Agar sx = 0 holatini hisobga olmasak, u holda korrelyatsiya koeffitsienti faqat b = 0 bo'lganda nolga teng bo'ladi. Endi bu faktdan korrelyatsiyaning statistik ahamiyatini baholash uchun foydalanamiz.
Korrelyatsiyaning statistik ahamiyati
b = 0 r = 0 ni nazarda tutganligi sababli, korrelyatsiyaning yo'qligi gipotezasi to'g'ridan-to'g'ri regressiyaning nol qiyaligi gipotezasiga ekvivalentdir. Shuning uchun korrelyatsiyaning statistik ahamiyatini baholash uchun biz b va nol o'rtasidagi farqning statistik ahamiyatini baholash uchun bizga allaqachon ma'lum bo'lgan formuladan foydalanishimiz mumkin:
Bu erda erkinlik darajalari soni v = n - 2. Biroq, agar korrelyatsiya koeffitsienti allaqachon hisoblangan bo'lsa, formuladan foydalanish qulayroqdir:
Bu yerda erkinlik darajalari soni ham v = n - 2 ga teng.
T uchun ikkita formulaning tashqi o'xshashligi bilan ular bir xil. Darhaqiqat, nimadan
r 2 _ 1 - n_ 2 Sy]x_
Standart xatolik formulasiga sy^x qiymatini almashtirish
Hayvon yog'i va ko'krak saratoni
Laboratoriya hayvonlarida o'tkazilgan tajribalarda ma'lum bo'lishicha, ratsiondagi hayvon yog'larining ko'pligi ko'krak saratoni xavfini oshiradi. Bu qaramlik odamlarda kuzatiladimi? K. Kerroll 39 mamlakatda hayvonlarning yog'larini iste'mol qilish va ko'krak saratonidan o'lim haqida ma'lumot to'pladi. Natija rasmda ko'rsatilgan. 8.12A. Hayvon yog'larini iste'mol qilish va ko'krak bezi saratonidan o'lim darajasi o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsienti 0,90 ni tashkil etdi. Keling, korrelyatsiyaning statistik ahamiyatini baholaylik.
0,90 1 - 0,902 39 - 2
v = 39 - 2 = 37 erkinlik darajalari soni uchun t ning kritik qiymati 3,574 ni tashkil qiladi, bu biz olganidan kamroq. Shunday qilib, 0,001 ahamiyatlilik darajasida hayvonlarning yog'larini iste'mol qilish va ko'krak saratonidan o'lim o'rtasida bog'liqlik mavjudligi haqida bahslashish mumkin.
Keling, o'limning o'simlik yog'larini iste'mol qilish bilan bog'liqligini tekshirib ko'raylik? Tegishli ma'lumotlar rasmda ko'rsatilgan. 8.12B. Korrelyatsiya koeffitsienti 0,15 ga teng. Keyin
1 - 0,152 39 - 2
Hatto 0,10 ahamiyatlilik darajasida ham t ning hisoblangan qiymati kritik qiymatdan kamroq. Korrelyatsiya statistik jihatdan ahamiyatli emas.
Korrelyatsiya koeffitsienti+1 dan -1 gacha o'zgarishi mumkin bo'lgan qiymatdir. To'liq ijobiy korrelyatsiya bo'lsa, bu koeffitsient plyus 1 ga teng (ular aytadiki, bir o'zgaruvchining qiymati oshishi bilan boshqa o'zgaruvchining qiymati ortadi), va to'liq salbiy korrelyatsiya bilan - minus 1 (mulohaza bildiring. , ya'ni bir o'zgaruvchining qiymatlari ortishi bilan boshqasining qiymatlari pasayadi).
Misol 1:
Uyatchanlik va tushkunlikning qaramlik grafigi. Ko'rib turganingizdek, nuqtalar (mavzular) tasodifiy joylashgan emas, balki bir chiziq atrofida joylashgan va bu chiziqqa qarab, shuni aytishimiz mumkinki, odamda uyatchanlik qanchalik baland bo'lsa, shunchalik depressiv, ya'ni bu hodisalar. o‘zaro bog‘langan.
Ex 2: Uyatchanlik va xushmuomalalik uchun grafik. Ko‘ramizki, uyatchanlik kuchaygan sari xushmuomalalik pasayadi. Ularning korrelyatsiya koeffitsienti -0,43. Shunday qilib, 0 dan 1 gacha bo'lgan korrelyatsiya koeffitsienti to'g'ridan-to'g'ri proportsional munosabatni ko'rsatadi (qanchalik ko'p ... ko'proq ...), va -1 dan 0 gacha bo'lgan koeffitsient teskari proportsional munosabatni bildiradi (qanchalik ko'p ... shuncha kam . ..)
Agar korrelyatsiya koeffitsienti 0 bo'lsa, ikkala o'zgaruvchi ham bir-biridan butunlay mustaqildir.
korrelyatsiya- bu individual omillarning ta'siri faqat haqiqiy ma'lumotlarni ommaviy kuzatish tendentsiyasi (o'rtacha) sifatida namoyon bo'ladigan munosabatlardir. Korrelyatsiya bog'liqligiga misol qilib bank aktivlari hajmi va bank foydasi miqdori, mehnat unumdorligining o'sishi va xodimlarning ish staji o'rtasidagi bog'liqlikni keltirish mumkin.
Korrelyatsiyalarni ularning kuchiga ko'ra tasniflashning ikkita tizimi qo'llaniladi: umumiy va xususiy.
Korrelyatsiyalarning umumiy tasnifi: 1) kuchli yoki korrelyatsiya koeffitsienti r> 0,70 bilan yaqin; 2) o'rtacha korrelyatsiya emas, balki 0,500,70 yuqori daraja ahamiyati.Quyidagi jadvalda har xil turdagi masshtablar uchun korrelyatsiya koeffitsientlarining nomlari keltirilgan.
| Dichotomous shkala (1/0) | Darajali (tartib) shkalasi | ||
| Dichotomous shkala (1/0) | Pirsonning assotsiatsiya koeffitsienti, Pearsonning to'rt hujayrali konjugatsiya koeffitsienti. | Biserial korrelyatsiya | |
| Darajali (tartib) shkalasi | Darajali-biserial korrelyatsiya. | Spearman yoki Kendall darajali korrelyatsiya koeffitsienti. | |
| Intervalli va mutlaq shkala | Biserial korrelyatsiya | Intervalli shkalaning qiymatlari darajalarga aylantiriladi va daraja koeffitsienti qo'llaniladi | Pearson korrelyatsiya koeffitsienti (chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti) |
Da r=0 chiziqli korrelyatsiya mavjud emas. Bunda o'zgaruvchilarning guruh o'rtalari ularning umumiy o'rtachalariga to'g'ri keladi va regressiya chiziqlari koordinata o'qlariga parallel bo'ladi.
Tenglik r=0 faqat chiziqli korrelyatsiya bog'liqligi (korrelyatsiyasiz o'zgaruvchilar) yo'qligi haqida gapiradi, lekin umuman olganda korrelyatsiyaning yo'qligi va undan ham ko'proq statistik bog'liqlik haqida emas.
Ba'zida korrelyatsiya yo'qligi haqidagi xulosa kuchli bog'liqlik mavjudligidan muhimroqdir. Ikki o'zgaruvchining nol korrelyatsiyasi, agar biz o'lchovlar natijalariga ishonsak, bir o'zgaruvchining boshqasiga ta'siri yo'qligini ko'rsatishi mumkin.
SPSS da: 11.3.2 Korrelyatsiya koeffitsientlari
Hozirgacha biz faqat ikkita xususiyat o'rtasidagi statistik bog'liqlik mavjudligini aniqladik. Keyinchalik, biz ushbu qaramlikning kuchli yoki zaifligi, shuningdek uning shakli va yo'nalishi haqida qanday xulosalar chiqarish mumkinligini aniqlashga harakat qilamiz. Mezonlar miqdoriy aniqlash o'zgaruvchilar orasidagi bog'liqliklar korrelyatsiya koeffitsientlari yoki bog'lanish o'lchovlari deb ataladi. Ikki o'zgaruvchi, agar ular o'rtasida to'g'ridan-to'g'ri, bir tomonlama munosabatlar mavjud bo'lsa, ijobiy korrelyatsiya qilinadi. Bir yo'nalishli munosabatlarda bir o'zgaruvchining kichik qiymatlari boshqa o'zgaruvchining kichik qiymatlariga, katta qiymatlar esa kattalarga to'g'ri keladi. Ikki o'zgaruvchi, agar ular o'rtasida teskari munosabat mavjud bo'lsa, salbiy korrelyatsiya qilinadi. Ko'p yo'nalishli munosabat bilan bir o'zgaruvchining kichik qiymatlari boshqa o'zgaruvchining katta qiymatlariga mos keladi va aksincha. Korrelyatsiya koeffitsientlarining qiymatlari har doim -1 dan +1 gacha.
Ordinal masshtabga mansub o'zgaruvchilar orasidagi korrelyatsiya koeffitsienti sifatida Spirmen koeffitsienti, intervalli shkalaga mansub o'zgaruvchilar uchun esa Pirson korrelyatsiya koeffitsienti (mahsulotlar momenti) qo'llaniladi. Bunda shuni ta'kidlash kerakki, har bir dixotom o'zgaruvchi, ya'ni nominal masshtabga mansub va ikki toifaga ega bo'lgan o'zgaruvchini tartibli deb hisoblash mumkin.
Birinchidan, biz studium.sav faylidan jins va psixika o'zgaruvchilari o'rtasida korrelyatsiya mavjudligini tekshiramiz. Bunda dixotomiyali o‘zgaruvchan jinsni tartibli o‘zgaruvchi deb hisoblash mumkinligini hisobga olamiz. Quyidagilarni bajaring:
Buyruqlar menyusidan Tahlil qilish (tahlil qilish) Ta'riflovchi statistik ma'lumotlar (Ta'riflovchi statistik ma'lumotlar) O'zaro jadvallar... (Favqulodda vaziyatlar jadvallari) ni tanlang.
· O‘zgaruvchan jinsni qatorlar ro‘yxatiga, o‘zgaruvchan psixikani esa ustunlar ro‘yxatiga o‘tkazing.
· Statistika... tugmasini bosing. O'zaro jadvallar: Statistikalar dialog oynasida Korrelyatsiyalar katagiga belgi qo'ying. Davom etish tugmasi bilan tanlovingizni tasdiqlang.
· Crosstabs dialog oynasida Jadvallarni to'xtatish katagiga belgi qo'yish orqali jadvallarni ko'rsatishni to'xtating. OK tugmasini bosing.
Spearman va Pearson korrelyatsiya koeffitsientlari hisoblab chiqiladi va ularning ahamiyati tekshiriladi:
/ Nazariya. Korrelyatsiya koeffitsienti
Korrelyatsiya koeffitsienti- ikki o'lchovli tavsiflovchi statistika, ikki o'zgaruvchining munosabati (qo'shma o'zgaruvchanligi) miqdoriy o'lchovi.
Bugungi kunga kelib, juda ko'p turli koeffitsientlar korrelyatsiyalar. Biroq, eng muhim aloqa choralari Pearson, Spearman va Kendall . Ular umumiy xususiyat bu ular ikki xususiyatning munosabatini aks ettiradi , miqdoriy shkala bo'yicha o'lchanadi - daraja yoki metrik .
Umuman aytganda, har qanday empirik tadqiqot ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlarni o'rganishga qaratilgan .
Agar bitta o'zgaruvchining bir birlikka o'zgarishi har doim boshqa o'zgaruvchining bir xil miqdorga o'zgarishiga olib kelsa, funktsiya shunday bo'ladi. chiziqli (uning grafigi to'g'ri chiziq); boshqa har qanday aloqa chiziqli bo'lmagan . Agar bir o'zgaruvchining o'sishi boshqasining ortishi bilan bog'liq bo'lsa, u holda ulanish - ijobiy ( To'g'riga ) ; agar bir o'zgaruvchining o'sishi boshqasining kamayishi bilan bog'liq bo'lsa, keyin ulanish - salbiy ( teskari ) . Agar bir o'zgaruvchining o'zgarish yo'nalishi boshqa o'zgaruvchining ortishi (kamayishi) bilan o'zgarmasa, u holda bunday funktsiya monoton ; aks holda funksiya chaqiriladi monotonik bo'lmagan .
Funktsional aloqalar ideallashtirishdir. Ularning o'ziga xosligi shundaki, bitta o'zgaruvchining bir qiymati boshqa o'zgaruvchining qat'iy belgilangan qiymatiga mos keladi. Masalan, ikkita jismoniy o'zgaruvchining munosabati - vazn va tana uzunligi (chiziqli ijobiy). Biroq, hatto fizik tajribalarda ham empirik munosabatlar hisobga olinmagan yoki noma'lum sabablarga ko'ra funktsional munosabatlardan farq qiladi: material tarkibidagi tebranishlar, o'lchash xatolari va boshqalar.
Xususiyatlarning o'zaro bog'liqligini o'rganayotganda, tadqiqotchi ushbu xususiyatlarning o'zgaruvchanligining ko'plab mumkin bo'lgan sabablarini muqarrar ravishda yo'qotadi. Natijada, hatto haqiqatda mavjud bo'lgan o'zgaruvchilar o'rtasidagi funktsional munosabatlar ham empirik ravishda ehtimollik (stokastik) sifatida namoyon bo'ladi: bitta o'zgaruvchining bir xil qiymati boshqa o'zgaruvchining turli qiymatlarining taqsimlanishiga mos keladi (va aksincha).
Eng oddiy misol - odamlarning bo'yi va vazni nisbati. Ushbu ikki belgini o'rganishning empirik natijalari, albatta, ularning ijobiy munosabatini ko'rsatadi. Ammo u qat'iy, chiziqli, ijobiy - idealdan farq qilishini taxmin qilish oson matematik funktsiya, tadqiqotchining barcha hiyla-nayranglari bilan ham mavzularning uyg'unligini yoki to'liqligini hisobga olish. Shu asosda tananing uzunligi va og'irligi o'rtasida qat'iy funktsional bog'liqlik mavjudligini inkor etish hech kimning boshiga tushmaydi.
Shunday qilib, hodisalarning funksional o‘zaro bog‘liqligini faqat tegishli belgilarning ehtimollik bog‘lanishi sifatida empirik tarzda ochish mumkin.
Ehtimoliy munosabat tabiatining vizual tasviri tarqalish diagrammasi - o'qlari ikkita o'zgaruvchining qiymatlariga mos keladigan grafik bilan beriladi va har bir mavzu nuqtadir. Korrelyatsiya koeffitsientlari ehtimolli bog'lanishning sonli xarakteristikasi sifatida ishlatiladi.
Ulanish kuchiga qarab korrelyatsiya qiymatlarining uchta gradatsiyasini kiritishingiz mumkin:
r< 0,3 - слабая связь (менее 10% от общей доли дисперсии);
0,3 < r < 0,7 - умеренная связь (от 10 до 50% от общей доли дисперсии);
r > 0,7 - kuchli munosabatlar (umumiy dispersiyaning 50% yoki undan ko'p).
Qisman korrelyatsiya
Ko'pincha ikkita o'zgaruvchining bir-biri bilan korrelyatsiyasi faqat ikkalasi ham uchinchi o'zgaruvchining ta'siri ostida o'zgarishi sababli sodir bo'ladi. Ya'ni, aslida, bu ikki o'zgaruvchining mos keladigan xususiyatlari o'rtasida hech qanday bog'liqlik yo'q, lekin u o'zini namoyon qiladi. statistik munosabat, yoki korrelyatsiyalar, ta'siri ostida umumiy sabab uchinchi o'zgaruvchi).
Shunday qilib, agar ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi korrelyatsiya pasaysa, sobit uchinchi tasodifiy o'zgaruvchi bilan, demak, bu ularning o'zaro bog'liqligi qisman ushbu uchinchi o'zgaruvchining ta'siri orqali yuzaga keladi. Agar qisman korrelyatsiya nolga teng yoki juda kichik bo'lsa, unda biz ularning o'zaro bog'liqligi butunlay o'zlarining ta'siriga bog'liq va uchinchi o'zgaruvchiga hech qanday aloqasi yo'q degan xulosaga kelishimiz mumkin.
Shuningdek, agar qisman korrelyatsiya ikki o‘zgaruvchi o‘rtasidagi dastlabki korrelyatsiyadan katta bo‘lsa, unda boshqa o‘zgaruvchilar o‘zaro bog‘liqlikni zaiflashtirgan yoki korrelyatsiyani “yashirgan” degan xulosaga kelish mumkin.
Bundan tashqari, buni esga olish kerak korrelyatsiya sababchilik emas . Shu asosda, mavjudligi haqida qat'iy gapirishga haqqimiz yo'q sabab-oqibat: tahlilda ko'rib chiqilganlardan butunlay farq qiladigan ba'zi o'zgaruvchilar bu korrelyatsiyaning manbai bo'lishi mumkin. Oddiy va qisman korrelyatsiyalarda sababchilik farazi doimo o'zining statistik bo'lmagan asoslariga ega bo'lishi kerak.
Pearson korrelyatsiya koeffitsienti
r- Pearson ikki metrik o'zgaruvchining munosabatlarini o'rganish uchun ishlatiladi , Xuddi shu namunada o'lchanadi . Uni ishlatish o'rinli bo'lgan ko'plab vaziyatlar mavjud. Aql-idrok bakalavr darajasiga ta'sir qiladimi? Xodimning ish haqi uning hamkasblariga bo'lgan xayrixohligi bilan bog'liqmi? Talabaning kayfiyati murakkab arifmetik masalani echish muvaffaqiyatiga ta'sir qiladimi? Bunday savollarga javob berish uchun tadqiqotchi namunaning har bir a'zosini qiziqtirgan ikkita ko'rsatkichni o'lchashi kerak.
Korrelyatsiya koeffitsientining qiymatiga xususiyatlar taqdim etilgan birliklar ta'sir qilmaydi. Shuning uchun, har qanday chiziqli transformatsiyalar xususiyatlar (konstantaga ko'paytirish, doimiyni qo'shish) korrelyatsiya koeffitsientining qiymatini o'zgartirmaydi. Belgilardan birini manfiy doimiyga ko'paytirish istisno hisoblanadi: korrelyatsiya koeffitsienti o'z belgisini teskarisiga o'zgartiradi.
Pearson korrelyatsiyasi ikki oʻzgaruvchi oʻrtasidagi chiziqli munosabatning oʻlchovidir . Bu sizga aniqlash imkonini beradi , ikki o'zgaruvchining o'zgaruvchanligi qanchalik proportsional . Agar o'zgaruvchilar bir-biriga proportsional bo'lsa, u holda ular orasidagi bog'lanishni grafik jihatdan ijobiy (to'g'ridan-to'g'ri nisbat) yoki salbiy (teskari proportsiya) nishabli to'g'ri chiziq shaklida ko'rsatish mumkin.
Amalda, agar mavjud bo'lsa, ikkita o'zgaruvchi o'rtasidagi bog'liqlik ehtimollikdir va grafik jihatdan ellipsoidal tarqaladigan bulutga o'xshaydi. Biroq, bu ellipsoid to'g'ri chiziq yoki regressiya chizig'i sifatida ko'rsatilishi mumkin (taxminan). regressiya chizig'i eng kichik kvadratli to'g'ri chiziqdir: tarqalish chizig'ining har bir nuqtasidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan kvadrat masofalarning yig'indisi (y o'qi bo'ylab hisoblangan).
Prognozning to'g'riligini baholash uchun alohida ahamiyatga ega bo'lgan qaram o'zgaruvchining taxminlarining farqi. Aslini olganda, Y bog'liq o'zgaruvchini baholash dispersiyasi uning umumiy dispersiyasining X mustaqil o'zgaruvchining ta'siri bilan bog'liq bo'lgan qismidir. Boshqacha qilib aytganda, qaram o'zgaruvchining baholari dispersiyasining uning haqiqiy dispersiyasiga nisbati. korrelyatsiya koeffitsientining kvadratiga teng.
Bog'liq va mustaqil o'zgaruvchilarning korrelyatsiya koeffitsienti kvadrati mustaqil o'zgaruvchining ta'siriga bog'liq bo'lgan qaram o'zgaruvchining dispersiyasining nisbatini ifodalaydi va deyiladi. aniqlash koeffitsienti . Determinatsiya koeffitsienti shuning uchun bir o'zgaruvchining o'zgaruvchanligi boshqa o'zgaruvchining ta'siri bilan bog'liq (aniqlangan) darajasini ko'rsatadi.
Determinatsiya koeffitsienti korrelyatsiya koeffitsientidan muhim ustunlikka ega. Korrelyatsiya emas chiziqli funksiya ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabat. Shuning uchun bir nechta namunalar uchun korrelyatsiya koeffitsientlarining o'rtacha arifmetik qiymati ushbu namunalardan barcha sub'ektlar uchun darhol hisoblangan korrelyatsiyaga to'g'ri kelmaydi (ya'ni, korrelyatsiya koeffitsienti qo'shimcha emas). Aksincha, determinatsiya koeffitsienti munosabatlarni chiziqli ravishda aks ettiradi va shuning uchun qo'shimcha hisoblanadi: uni bir nechta namunalar bo'yicha o'rtacha hisoblash mumkin.
Ulanishning kuchi haqida qo'shimcha ma'lumot kvadratik korrelyatsiya koeffitsientining qiymati bilan beriladi - determinatsiya koeffitsienti: bu boshqa o'zgaruvchining ta'siri bilan izohlanishi mumkin bo'lgan bir o'zgaruvchining dispersiya qismidir. Korrelyatsiya koeffitsientidan farqli o'laroq, determinatsiya koeffitsienti ulanishning mustahkamligi oshishi bilan chiziqli ravishda ortadi.
Spearman va t-Kendall korrelyatsiya koeffitsientlari (darajali korrelyatsiya). Agar o'zaro bog'liqlik o'rganilayotgan ikkala o'zgaruvchi ham tartibli shkalada yoki ulardan biri tartibli shkalada, ikkinchisi esa metrik shkalada bo'lsa, unda darajali korrelyatsiya koeffitsientlari qo'llaniladi: Spearman yoki t - Kendella . Va o'sha , va boshqa koeffitsient uni qo'llash uchun ikkala o'zgaruvchining oldindan tartiblanishini talab qiladi .
Spearmanning darajali korrelyatsiya koeffitsienti - bu parametrik bo'lmagan usul , hodisalar o'rtasidagi munosabatlarni statistik o'rganish maqsadida qo'llaniladi . Bunday holda, o'rganilayotgan xususiyatlarning ikkita miqdoriy qatori o'rtasidagi haqiqiy parallellik darajasi aniqlanadi va miqdoriy ifodalangan koeffitsient yordamida o'rnatilgan munosabatlarning zichligi bahosi beriladi.
Agar guruh a'zolari birinchi navbatda x o'zgaruvchisi, keyin esa y o'zgaruvchisi bo'yicha tartiblangan bo'lsa, u holda x va y o'zgaruvchilari o'rtasidagi korrelyatsiyani ikki darajali qator uchun Pearson koeffitsientini oddiygina hisoblash yo'li bilan olish mumkin. Har ikkala o'zgaruvchi uchun darajalarda hech qanday bog'lanish (ya'ni, takroriy darajalar yo'q) yo'q deb faraz qilsak, Pearson formulasini hisoblash yo'li bilan juda soddalashtirish va formulaga aylantirish mumkin. Spearman .
Spearman darajali korrelyatsiya koeffitsientining kuchi parametrik korrelyatsiya koeffitsientining kuchidan biroz pastroq..
Kuzatishlar soni kam bo'lganda darajali korrelyatsiya koeffitsientidan foydalanish maqsadga muvofiqdir . Bu usul faqat miqdoriy ma'lumotlardan ko'proq foydalanish mumkin , balki hollarda ham , qayd etilgan qiymatlar turli intensivlikning tavsiflovchi belgilari bilan aniqlanganda .
Taqqoslangan o'zgaruvchilarning biri yoki ikkalasi uchun ko'p sonli bir xil darajalar bilan Spearmanning darajali korrelyatsiya koeffitsienti qo'pol qiymatlarni beradi. Ideal holda, korrelyatsiya qilingan ikkala qator mos kelmaydigan qiymatlarning ikkita ketma-ketligi bo'lishi kerak
Darajalar uchun Spearman korrelyatsiyasiga muqobil korrelyatsiya hisoblanadi t-kendall . M. Kendall taklif qilgan korrelyatsiya munosabatlarning yoʻnalishini subʼyektlarni juft-juft boʻlib solishtirish yoʻli bilan baholash mumkin degan fikrga asoslanadi: agar bir juft subʼyektda y ning oʻzgarishi bilan yoʻnalishi boʻyicha mos keladigan x oʻzgarishi boʻlsa, u holda bu ijobiy munosabatni ko'rsatadi, agar mos kelmasa - salbiy munosabatlar haqida biror narsa.
Korrelyatsiya koeffitsientlari raqamli shkala bo'yicha o'lchanadigan ikkita xususiyat o'rtasidagi munosabatlarning kuchi va yo'nalishini raqamli aniqlash uchun maxsus ishlab chiqilgan.(metrik yoki daraja).
Yuqorida aytib o'tilganidek, Korrelyatsiya qiymatlari +1 (qat'iy to'g'ridan-to'g'ri yoki to'g'ridan-to'g'ri proportsional munosabatlar) va -1 (qat'iy teskari yoki teskari proportsional munosabatlar) munosabatlarning maksimal kuchiga mos keladi, nolga teng korrelyatsiya munosabatlarning yo'qligiga mos keladi.
Ulanishning mustahkamligi haqida qo'shimcha ma'lumot determinatsiya koeffitsientining qiymati bilan ta'minlanadi: bu boshqa o'zgaruvchining ta'siri bilan izohlanishi mumkin bo'lgan bir o'zgaruvchining dispersiya qismidir.
12-mavzu Korrelyatsiya tahlili
Funksional bog'liqlik va korrelyatsiya. Hatto VI asrda Gippokrat ham. Miloddan avvalgi e. odamlarning fizikasi va temperamenti, tananing tuzilishi va ayrim kasalliklarga moyilligi o'rtasidagi bog'liqlik mavjudligiga e'tibor qaratdi. Bunday aloqaning ayrim turlari hayvonda ham aniqlangan va flora. Demak, qishloq xo‘jaligi hayvonlarida fizika va mahsuldorlik o‘rtasida bog‘liqlik bor; urug'lik sifati va hosildorlik o'rtasidagi bog'liqlik ma'lum va hokazo. Ekologiyadagi bunday bog'liqliklarga kelsak, tuproqdagi og'ir metallarning miqdori va qor qoplami o'rtasida ularning kontsentratsiyasiga bog'liqliklar mavjud. atmosfera havosi va h.k. Binobarin, bu qonuniyatdan inson manfaatlari yo‘lida foydalanishga, unga ozmi-ko‘pmi aniq miqdor ifodasini berishga intilish tabiiydir.
Ma'lumki, o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlarni tavsiflash uchun biz foydalanamiz matematik tushuncha funktsiyalari f, bu mustaqil o'zgaruvchining har bir o'ziga xos qiymatini belgilaydi x qaram o'zgaruvchining ma'lum qiymati y, ya'ni. . O'zgaruvchilar o'rtasidagi bunday noaniq munosabat x va y chaqirdi funktsional. Biroq, bunday munosabatlar har doim ham tabiiy ob'ektlarda uchramaydi. Shu sababli, biologik va ekologik xususiyatlar o'rtasidagi munosabatlar funktsional emas, balki statistik xarakterga ega bo'lib, bir hil shaxslar massasida argument sifatida ko'rib chiqiladigan bitta atributning ma'lum bir qiymati bir xil raqamli qiymatga emas, balki butun gamutga mos keladi. bog'liq o'zgaruvchi yoki funktsiya sifatida qaraladigan boshqa xususiyatning variatsion qator qiymatlarida taqsimlangan raqamli qiymatlar. O'zgaruvchilar o'rtasidagi bunday munosabatlar deyiladi korrelyatsiya yoki korrelyatsiya..
Funktsional munosabatlarni bitta va guruhli ob'ektlarda aniqlash va o'lchash oson, lekin buni korrelyatsiyalar bilan amalga oshirib bo'lmaydi, bu faqat usullar yordamida guruh ob'ektlarida o'rganilishi mumkin. matematik statistika. Xususiyatlar orasidagi korrelyatsiya munosabati chiziqli va chiziqli bo'lmagan, ijobiy va salbiy bo'lishi mumkin. Korrelyatsiya tahlilining vazifasi turli xil xususiyatlar o'rtasidagi bog'liqlik yo'nalishi va shaklini aniqlash, uning zichligini o'lchash va nihoyat, korrelyatsiya ko'rsatkichlarining ishonchliligini tekshirishdan iborat.
O'zgaruvchilar orasidagi bog'liqlik X va Y analitik (formulalar va tenglamalar yordamida) va grafik (to'rtburchaklar koordinata tizimidagi nuqtalarning joylashuvi sifatida) ifodalanishi mumkin. Korrelyatsiya grafigi funktsiya tenglamasiga ko'ra quriladi yoki deyiladi regressiya. Bu yerda va sharti ostida topilgan arifmetik vositalar X yoki Y ba'zi qadriyatlarni oladi x yoki y. Bu o'rtachalar deyiladi shartli.
11.1. Muloqotning parametrik ko'rsatkichlari
Korrelyatsiya koeffitsienti. O'zgaruvchilar orasidagi konjugatsiya x va y Ulardan birining raqamli qiymatlarini boshqasining tegishli qiymatlari bilan solishtirish orqali aniqlash mumkin. Agar bir o'zgaruvchining o'sishi boshqasini oshirsa, bu ko'rsatadi ijobiy aloqa bu qiymatlar o'rtasida va aksincha, agar bir o'zgaruvchining o'sishi boshqasining qiymatining pasayishi bilan birga bo'lsa, bu shuni ko'rsatadi salbiy aloqa.
O'zaro bog'liqlikni, uning yo'nalishini va o'zgaruvchilarning konjugatsiya darajasini tavsiflash uchun quyidagi ko'rsatkichlar qo'llaniladi:
chiziqli bog'liqlik - korrelyatsiya koeffitsienti;
chiziqli bo'lmagan - korrelyatsiya nisbati.
Empirik korrelyatsiya koeffitsientini aniqlash uchun quyidagi formuladan foydalaniladi:
. (1)
Bu yerda s x va s y standart og'ishlardir.
Korrelyatsiya koeffitsienti standart og'ishlarni hisoblashdan foydalanmasdan hisoblab chiqilishi mumkin, bu hisoblash ishlarini soddalashtiradi, quyidagi o'xshash formuladan foydalangan holda:
. (2)
Korrelyatsiya koeffitsienti -1 dan +1 gacha bo'lgan o'lchovsiz sondir. Belgilarning mustaqil o'zgarishi bilan, ular orasidagi aloqa butunlay yo'q bo'lganda, . Xususiyatlar orasidagi kontingentlik qanchalik kuchli bo'lsa, korrelyatsiya koeffitsientining qiymati shunchalik yuqori bo'ladi. Binobarin, bu ko'rsatkich nafaqat mavjudligini, balki belgilar orasidagi konjugatsiya darajasini ham tavsiflaydi. Ijobiy yoki to'g'ridan-to'g'ri munosabat bilan, agar bir atributning katta qiymatlari ikkinchisining katta qiymatlariga to'g'ri kelganda, korrelyatsiya koeffitsienti ijobiy belgiga ega va 0 dan +1 gacha, salbiy yoki teskari aloqa munosabati katta qiymatlar bo'lganda. Bir atribut ikkinchisining kichikroq qiymatlariga to'g'ri keladi, korrelyatsiya koeffitsienti salbiy belgi bilan birga keladi va 0 dan -1 gacha.
Korrelyatsiya koeffitsienti amaliyotda keng qo'llanilishini topdi, ammo u korrelyatsiyaning universal ko'rsatkichi emas, chunki u faqat chiziqli munosabatlarni tavsiflashga qodir, ya'ni. chiziqli regressiya tenglamasi bilan ifodalanadi (12-mavzuga qarang). Agar mavjud bo'lsa, yo'q chiziqli bog'liqlik o'zgaruvchan belgilar orasida, quyida muhokama qilinadigan aloqaning boshqa ko'rsatkichlari qo'llaniladi.
Korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash. Bu hisob turli usullarda va kuzatishlar soniga (namuna hajmi) qarab turlicha amalga oshiriladi. Kichik namunalar va katta namunalar mavjudligida korrelyatsiya koeffitsientini hisoblashning o'ziga xos xususiyatlarini alohida ko'rib chiqaylik.
Kichik namunalar. Kichik namunalar mavjud bo'lganda, korrelyatsiya koeffitsienti to'g'ridan-to'g'ri konjugat xususiyatlar qiymatlaridan, namuna ma'lumotlarini o'zgaruvchan qatorlarga oldindan guruhlamasdan hisoblanadi. Buning uchun yuqoridagi (1) va (2) formulalar qo'llaniladi. Ko'proq qulayroq, ayniqsa variantning og'ishlarini ifodalovchi ko'p xonali va kasrli raqamlar mavjud bo'lganda X i va y i o'rtacha va , quyidagi ishchi formulalar xizmat qiladi:
qayerda 
;
;
Bu yerda x i va y i– konjugat xususiyatlarning juftlashgan variantlari x va y; va arifmetik vositalardir; - konjugativ xususiyatlarning juftlashtirilgan variantlari orasidagi farq x va y; n – umumiy soni juftlashgan kuzatishlar yoki namuna hajmi.
Empirik korrelyatsiya koeffitsienti, har qanday boshqa namunaviy ko'rsatkich kabi, uning taxmini bo'lib xizmat qiladi umumiy parametr ρ va tasodifiy qiymat qanday xato bilan birga keladi:
Namuna korrelyatsiya koeffitsientining uning xatosiga nisbati nol gipotezani - taxminni tekshirish uchun mezon bo'lib xizmat qiladi. aholi bu parametr nolga teng, ya'ni. . Qabul qilingan ahamiyat darajasida nol gipoteza rad etiladi. α , agar
Qiymatlar tanqidiy nuqtalar t st turli darajadagi ahamiyatlilik uchun a va erkinlik darajalari raqamlari Ilovaning 1-jadvalida keltirilgan.
Aniqlanishicha, kichik namunalarni qayta ishlashda (ayniqsa n< 30 ) (1) - (3) formulalar bo'yicha korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash umumiy parametrning biroz kam baholangan baholarini beradi. ρ , ya'ni. quyidagi o'zgartirish kiritilishi kerak:
Fisher z-transformatsiyasi. To'g'ri ariza korrelyatsiya koeffitsienti tasodifiy o'zgaruvchilarning konjugat qiymatlarining ikki o'lchovli to'plamining normal taqsimlanishini nazarda tutadi. x va y. Matematik statistikadan ma'lumki, agar o'zgaruvchilar o'rtasida sezilarli korrelyatsiya mavjud bo'lsa, ya'ni. qachon R xy > 0,5 uchun korrelyatsiya koeffitsientining namunaviy taqsimoti Ko'proq normal taqsimlangan populyatsiyadan olingan kichik namunalar normal egri chiziqdan sezilarli darajada chetga chiqadi.
Bu holatni hisobga olib, R. Fisher namunaviy korrelyatsiya koeffitsienti qiymati bo'yicha umumiy parametrni baholashning aniqroq usulini topdi. Bu usul almashtirish uchun mo'ljallangan R xy empirik korrelyatsiya koeffitsienti bilan bog'liq bo'lgan z ning o'zgartirilgan qiymati quyidagicha:
z qiymatining taqsimlanishi shakli deyarli o'zgarmaydi, chunki u tanlanma hajmiga va umumiy populyatsiyadagi korrelyatsiya koeffitsienti qiymatiga ko'p bog'liq emas va normal taqsimotga yaqinlashadi.
z ko'rsatkichining ishonchliligi mezoni quyidagi nisbatdir:
Qabul qilingan ahamiyat darajasida nol gipoteza rad etiladi α va erkinlik darajalari soni. Kritik nuqta qiymatlari t st Ilovalarning 1-jadvalida keltirilgan.
Ilova z-transformatsiyalari namunaviy korrelyatsiya koeffitsientining statistik ahamiyatini, shuningdek, kerak bo'lganda empirik koeffitsientlar orasidagi farqni baholashda ko'proq ishonch hosil qilish imkonini beradi.
Korrelyatsiya koeffitsientini aniq baholash uchun minimal namuna hajmi. Korrelyatsiya koeffitsientining ma'lum bir qiymati uchun namuna hajmini hisoblash mumkin, bu nol gipotezani rad etish uchun etarli bo'ladi (agar xususiyatlar o'rtasidagi korrelyatsiya bo'lsa). Y va X haqiqatan ham mavjud). Buning uchun quyidagi formuladan foydalaniladi:
qayerda n kerakli namuna hajmi; t qabul qilingan muhimlik darajasiga ko'ra ko'rsatilgan qiymat (a = 1% uchun yaxshiroq); z konvertatsiya qilingan empirik korrelyatsiya koeffitsienti hisoblanadi.
Katta namunalar. Ko'pgina dastlabki ma'lumotlar mavjud bo'lganda, ularni variatsion qatorlarga guruhlash kerak va korrelyatsiya panjarasini qurgandan so'ng, uning hujayralari (hujayralari)dagi farq konjugat qatorlarining umumiy chastotalari hisoblanadi. Korrelyatsiya panjarasi qatorlar va ustunlarning kesishishi orqali hosil bo'ladi, ularning soni korrelyatsiya qilingan qatorlar guruhlari yoki sinflari soniga teng. Sinflar korrelyatsiya jadvalining yuqori qatorida va birinchi (chap) ustunida joylashgan va umumiy chastotalar belgi bilan belgilanadi. f xy, – korrelyatsiya jadvalining asosiy qismi bo‘lgan korrelyatsiya panjarasining kataklarida.
Jadvalning yuqori qatoriga joylashtirilgan sinflar odatda chapdan o'ngga o'sish tartibida va jadvalning birinchi ustunida - kamayish tartibida yuqoridan pastga joylashtiriladi. Variatsion qatorlar sinflarining bunday joylashishi bilan ularning umumiy chastotalari (belgilar o'rtasida ijobiy munosabat mavjud bo'lganda) Y va X) to'r kataklari bo'ylab diagonal ravishda pastki chap burchakdan to'rning yuqori o'ng burchagiga yoki (xususiyatlar o'rtasida salbiy bog'liqlik mavjud bo'lsa) yuqori chap burchakdan to'g'rigacha bo'lgan yo'nalishda ellips shaklida taqsimlanadi. panjaraning pastki o'ng burchagi. Agar chastotalar f xy korrelyatsiya panjarasining hujayralari bo'ylab ellips hosil qilmasdan ko'proq yoki kamroq taqsimlanadi, bu belgilar o'rtasida korrelyatsiya yo'qligini ko'rsatadi.
Chastotani taqsimlash f xy hujayralar tomonidan korrelyatsiya panjarasi faqat beradi umumiy fikr xususiyatlar o'rtasidagi munosabatlarning mavjudligi yoki yo'qligi haqida. Qattiqlikni yoki kamroq aniqlikni faqat ma'no va belgi bilan baholang korrelyatsiya koeffitsienti. Namuna ma'lumotlarini intervalli o'zgaruvchan qatorlarga oldindan guruhlashdan korrelyatsiya koeffitsientini hisoblashda juda keng sinf intervallarini qabul qilmaslik kerak. Qo'pol guruhlash korrelyatsiya koeffitsienti qiymatiga o'rtacha va o'zgaruvchanlik ko'rsatkichlarini hisoblashdagiga qaraganda ancha kuchli ta'sir qiladi.
Eslatib o'tamiz, sinf oralig'ining qiymati formula bilan aniqlanadi
qayerda x maks , x min- aholining maksimal va minimal variantlari; Kimga xususiyat o'zgarishi bo'linishi kerak bo'lgan sinflar soni. Tajriba shuni ko'rsatadiki, korrelyatsiya tahlili sohasida qiymat Kimga namuna hajmiga qarab taxminan quyidagicha qo'yish mumkin (1-jadval).
1-jadval
|
Namuna hajmi |
K qiymati |
|
50 ≥ n > 30 |
|
|
100 ≥ n > 50 |
|
|
200 ≥ n > 100 |
|
|
300 ≥ n > 200 |
Boshlang'ich ma'lumotlarni o'zgaruvchan qatorlarga oldindan guruhlash bilan hisoblangan boshqa statistik xarakteristikalar singari, korrelyatsiya koeffitsienti ham mutlaqo bir xil natijalarni beradigan turli usullar bilan aniqlanadi.
Ishlash usuli. Korrelyatsiya koeffitsienti asosiy formulalar (1) yoki (2) yordamida hisoblab chiqilishi mumkin, ularni dimer populyatsiyasida variantning takrorlanishi uchun tuzatadi. Shu bilan birga, simvolizmni soddalashtirgan holda, variantlarning o'rtacha qiymatlaridan og'ishlari quyidagicha belgilanadi. a, ya'ni. va . Keyin og'ishlar chastotasini hisobga olgan holda (2) formula quyidagi ifodani oladi:
Ushbu ko'rsatkichning ishonchliligi formula bo'yicha aniqlangan namunaviy korrelyatsiya koeffitsientining xatosiga nisbatini ifodalovchi Student testi yordamida baholanadi.
Demak, va agar bu qiymat oshsa standart qiymat Erkinlik darajasi va ahamiyatlilik darajasi a uchun talabaning t st testi (ilovaning 2-jadvaliga qarang), keyin nol gipoteza rad qilish.
Shartli o'rtachalar usuli. Og'ish korrelyatsiya koeffitsientini hisoblashda variantni ("sinflar") nafaqat arifmetik vositalardan va , balki shartli A x va A y vositalaridan ham topish mumkin. Ushbu usul yordamida (2) formulaning numeratori o'zgartiriladi va formula quyidagi shaklni oladi:
qayerda f xy bir va boshqa tarqatish seriyalari sinflarining chastotalari; va , ya'ni. sinf oraliqlarining kattaligi bilan bog'liq bo'lgan shartli o'rtacha qiymatlardan sinflarning chetlanishi λ ; n- juftlashgan kuzatishlarning umumiy soni yoki namuna hajmi; va birinchi tartibning shartli momentlari, qaerda f x- ketma-ket chastotalar X, a f y- ketma-ket chastotalar Y; s x va s y qatorning standart og'ishlari X va Y, formula bo'yicha hisoblanadi.
Shartli o'rtachalar usuli mahsulotlar usuliga nisbatan afzalliklarga ega, chunki u kasr raqamlari bilan operatsiyalardan qochish va og'ishlarga bir xil (ijobiy) belgini berishga imkon beradi. a x va a y, bu hisoblash ishlarining texnikasini, ayniqsa, ko'p xonali raqamlar mavjudligida soddalashtiradi.
Korrelyatsiya koeffitsientlari orasidagi farqni baholash. Ikki mustaqil tanlamaning korrelyatsiya koeffitsientlarini solishtirganda, nol gipoteza umumiy populyatsiyada bu ko'rsatkichlar orasidagi farq nolga teng degan taxminga tushiriladi. Boshqacha qilib aytganda, taqqoslangan empirik korrelyatsiya koeffitsientlari o'rtasida kuzatilgan farq tasodifan paydo bo'lgan degan taxmindan kelib chiqish kerak.
Nol gipotezani tekshirish uchun Student's t-testi qo'llaniladi, ya'ni. empirik korrelyatsiya koeffitsientlari orasidagi farq nisbati R 1 va R 2 uning statistik xatosiga, formula bilan aniqlanadi:
qayerda s R1 va s R2 solishtirilgan korrelyatsiya koeffitsientlarining xatolaridir.
Nol gipoteza qabul qilingan ahamiyatga ega bo'lgan taqdirda rad etiladi α va erkinlik darajalari soni.
Ma'lumki, korrelyatsiya koeffitsientining ishonchliligini aniqroq baholash tarjima qilish orqali olinadi. R xy sonida z. Namuna korrelyatsiya koeffitsientlari orasidagi farqni baholash bundan mustasno emas. R 1 va R 2 , ayniqsa, ikkinchisi nisbatan kichik o'lchamdagi namunalar bo'yicha hisoblangan hollarda ( n< 100 ) va ularning mutlaq qiymatida sezilarli darajada 0,50 dan oshadi.
Farqi formula bo'yicha hisoblangan bu farqning xatosiga nisbatan tuzilgan Student t-testi yordamida baholanadi.
Agar for bo'lsa, nol gipoteza rad etiladi va qabul qilingan muhimlik darajasi a.
korrelyatsiya munosabati. O'zgaruvchilar orasidagi chiziqli bo'lmagan munosabatlarni o'lchash uchun x va y deb nomlangan indikatordan foydalaning korrelyatsiya munosabati, bu munosabatlarni ikki tomonlama tavsiflaydi. Korrelyatsiya munosabatini qurish ikki turdagi o'zgarishlarni taqqoslashni o'z ichiga oladi: qisman o'rtacha ko'rsatkichlarga nisbatan individual kuzatishlarning o'zgaruvchanligi va qisman o'rtachalarning o'zlarining umumiy o'rtacha ko'rsatkichlarga nisbatan o'zgarishi. Birinchi komponentning ikkinchisiga nisbatan qismi qanchalik kichik bo'lsa, ulanishning yaqinligi shunchalik katta bo'ladi. Limitda, qisman o'rtacha qiymatlarga yaqin atributning individual qiymatlarida hech qanday o'zgarishlar kuzatilmasa, ulanishning qattiqligi juda katta bo'ladi. Xuddi shunday, qisman vositalarda o'zgaruvchanlik bo'lmasa, munosabatlarning qattiqligi minimal bo'ladi. Ushbu o'zgarish nisbati ikkala belgining har biri uchun hisobga olinishi mumkinligi sababli, ulanishning yaqinligining ikkita ko'rsatkichi olinadi - h yx va h xy. Korrelyatsiya nisbati nisbiy qiymat bo'lib, 0 dan 1 gacha bo'lgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Bunday holda, korrelyatsiya nisbati koeffitsientlari odatda bir-biriga teng emas, ya'ni. . Ushbu ko'rsatkichlar o'rtasidagi tenglikni faqat xususiyatlar o'rtasidagi qat'iy chiziqli munosabatlar bilan amalga oshirish mumkin. Korrelyatsiya nisbati universal ko'rsatkichdir: u korrelyatsiyaning har qanday shaklini - chiziqli va chiziqli bo'lmagan holda xarakterlash imkonini beradi.
Korrelyatsiya koeffitsientlari h yx va h xy yuqorida muhokama qilingan usullar bilan aniqlanadi, ya'ni. mahsulotlar usuli va shartli o'rtachalar usuli.
Ishlash usuli. Korrelyatsiya koeffitsientlari h yx va h xy quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
guruh tafovutlari qayerda va
va umumiy farqlar.
Bu yerda va umumiy arifmetik vositalar va va guruh arifmetik vositalar; f yi- ketma-ket chastotalar Y, a f xi- ketma-ket chastotalar X; k- sinflar soni; n o'zgaruvchan xususiyatlar soni.
Korrelyatsiya nisbati koeffitsientlarini hisoblash uchun ishchi formulalar quyidagilar:
Shartli o'rtachalar usuli. (15) formulalar bo'yicha korrelyatsiya munosabati koeffitsientlarini aniqlash, sinf variantining og'ishlari. x i va y i faqat arifmetik vositalardan va emas, balki shartli A x va A y vositalaridan ham olinishi mumkin. Bunday hollarda guruh va umumiy chetlanishlar va , va shuningdek, va , bu yerda va formulalar yordamida hisoblanadi.
Kengaytirilgan shaklda formulalar (15) quyidagicha ko'rinadi:
;
. (17)
Ushbu formulalarda va sinflarning shartli o'rtacha qiymatlardan og'ishlari sinf intervallari qiymatiga qisqartiriladi; qiymatlar a y va a x natural sonlarda ifodalanadi: 0, 1, 2, 3, 4, .... Qolgan belgilar yuqorida tushuntirilgan.
Mahsulotlar usulini shartli o'rtachalar usuli bilan solishtirganda, birinchi usulning afzalligini, ayniqsa, ko'p xonali raqamlar bilan ishlashga to'g'ri keladigan holatlarda e'tibor bermaslik mumkin emas. Boshqa namunaviy ko'rsatkichlar singari, korrelyatsiya koeffitsienti uning umumiy parametrining taxminidir va tasodifiy qiymat sifatida formula bilan aniqlangan xato bilan birga keladi.
Korrelyatsiya munosabatini baholashning ishonchliligini Student t-testi yordamida tekshirish mumkin. H 0 -gipoteza umumiy parametr nolga teng degan taxmindan kelib chiqadi, ya'ni. quyidagi shart bajarilishi kerak:
erkinlik darajalari soni va ahamiyatlilik darajasi a uchun.
Aniqlash koeffitsienti. Korrelyatsiyaning yaqinligi ko'rsatkichlari tomonidan olingan qiymatlarni sharhlash uchun foydalaning aniqlash koeffitsientlari, bu bir xususiyatning o'zgarishining qaysi nisbati boshqa xususiyatning o'zgarishiga bog'liqligini ko'rsatadi. Chiziqli munosabatlar mavjud bo'lganda, aniqlash koeffitsienti korrelyatsiya koeffitsientining kvadrati R2 xy , va belgilar orasidagi chiziqli bo'lmagan munosabatda. y va x h2 yx korrelyatsiya nisbatining kvadratidir. Determinatsiya koeffitsientlari quyidagi taxminiy masshtabni qurishga asos beradi, bu esa belgilar orasidagi munosabatlarning yaqinligini hukm qilish imkonini beradi: munosabatlar o'rtacha hisoblanganda; zaif bog'lanishni ko'rsatadi va faqat kuchli aloqani hukm qilish mumkin bo'lganda, belgi o'zgarishining taxminan 50% Y xususiyatning o'zgarishiga bog'liq X.
Aloqa shaklini baholash. O'zgaruvchilar orasidagi qat'iy chiziqli munosabat bilan y va x tenglikka erishiladi. Bunday hollarda korrelyatsiya koeffitsientining koeffitsientlari korrelyatsiya koeffitsienti qiymatiga to'g'ri keladi. Bunday holda, aniqlash koeffitsientlari ham ularning qiymatiga mos keladi, ya'ni. . Shuning uchun, bu qiymatlar orasidagi farqga qarab, o'zgaruvchilar o'rtasidagi korrelyatsiya bog'liqligi shaklini hukm qilish mumkin. y va x:
Shubhasiz, o'zgaruvchilar orasidagi chiziqli munosabat bilan y va x g ko'rsatkichi nolga teng bo'ladi; o'zgaruvchilar orasidagi bog'liqlik bo'lsa y va x chiziqli bo'lmagan, g > 0.
g ko'rsatkichi umumiy parametrning taxminidir va tasodifiy qiymat sifatida tekshirilishi kerak. Bunday holda, biz miqdorlar orasidagi bog'liqlik degan taxmindan kelib chiqamiz y va x chiziqli (nol gipoteza). Fisherning F-mezoni ushbu gipotezani tekshirishga imkon beradi:
qayerda a- guruhlar yoki sinflar soni variatsion qator; N - namuna hajmi. Agar for (Ilovaning 2-jadvalida gorizontal toping), (xuddi shu jadvalning birinchi ustunidan toping) va qabul qilingan ahamiyatlilik darajasi a bo'lsa, nol gipoteza rad etiladi.
Korrelyatsiyaning ahamiyatini aniqlash
Korrelyatsiya koeffitsientlarining tasniflari
Korrelyatsiya koeffitsientlari kuchlilik va ahamiyatlilik bilan tavsiflanadi.
Korrelyatsiya koeffitsientlarining kuchga ko'ra tasnifi.
Korrelyatsiya koeffitsientlarining ahamiyatiga ko'ra tasnifi.
Ushbu 2 tasnifni chalkashtirmaslik kerak, chunki ular turli xil xususiyatlarni belgilaydi. Kuchli korrelyatsiya tasodifiy va shuning uchun ishonchsiz bo'lib chiqishi mumkin. Bu, ayniqsa, kichik namunalar uchun to'g'ri keladi. Va katta namunada, hatto zaif korrelyatsiya juda muhim bo'lishi mumkin.
Korrelyatsiya koeffitsientini hisoblab chiqqandan so'ng, statistik farazlarni ilgari surish kerak:
H 0: Korrelyatsiya indeksi noldan sezilarli darajada farq qilmaydi (u tasodifiy).
H 1: korrelyatsiya ko'rsatkichi noldan sezilarli darajada farq qiladi (u tasodifiy emas).
Gipotezani tekshirish olingan empirik koeffitsientlarni jadvalli kritik qiymatlar bilan solishtirish orqali amalga oshiriladi. Agar empirik qiymat kritik qiymatga yetsa yoki undan oshsa, u holda nol gipoteza rad etiladi: r emp ≥ r cr Ho, Þ H 1. Bunday hollarda sezilarli farq topilgan degan xulosaga keladi.
Agar empirik qiymat kritik qiymatdan oshmasa, u holda nol gipoteza rad etilmaydi: r emp.< r кр Þ Н 0 . В таких случаях делают вывод, что достоверность различий не установлена.
/ Statistika / Korrelyatsiya
Juftlik koeffitsientlari matritsasini hisoblash
korrelyatsiyalar
Juftlangan korrelyatsiya koeffitsientlari matritsasini hisoblash uchun menyuga qo'ng'iroq qiling Korrelyatsiya matritsalari modul Asoslarma'lumotlar statistikasi.
Guruch. 1 Asosiy statistika moduli paneli
Biz STATISTICA tizimida korrelyatsiya tahlilining asosiy bosqichlarini misol ma'lumotlaridan foydalangan holda ko'rib chiqamiz (2-rasmga qarang). Dastlabki maʼlumotlar sanoatning bir tarmogʻidagi 23 ta korxona faoliyatini kuzatish natijalaridir.
2-rasm Dastlabki ma'lumotlar
Jadvalning ustunlari quyidagi ko'rsatkichlarni o'z ichiga oladi:
RENTABEL - rentabellik,%;
QULLARNI BASHISH - solishtirma og'irlik PPPdagi ishchilar, birliklar;
FUNDOOTD - aktivlar rentabelligi, birlik;
KAPITAL FONDLARI - asosiy ishlab chiqarish fondlarining o'rtacha yillik qiymati, million rubl;
NEPRRASH - ishlab chiqarishdan tashqari xarajatlar, ming rubl. Daromadning boshqalarga bog'liqligini tekshirish kerak
boshqa ko'rsatkichlar.
Faraz qilaylik, umumiy populyatsiyada ko'rib chiqilayotgan xususiyatlar normal taqsimot qonuniga bo'ysunadi va kuzatuv ma'lumotlari populyatsiyadan olingan namunadir.
Keling, barcha o'zgaruvchilar orasidagi juft korrelyatsiya koeffitsientlarini hisoblaylik. Bir qatorni tanlagandan so'ng Korrelyatsiya matritsalari ekranda dialog oynasi paydo bo'ladi. Pearson korrelyatsiyalari. Bu nom birinchi marta bu koeffitsient Pearson, Edgeworth va Weldon bo'lganligi bilan bog'liq.
Keling, tahlil qilish uchun o'zgaruvchilarni tanlaylik. Buning uchun dialog oynasida ikkita tugma mavjud: Kvadrat matritsa(bitta ro'yxat) va To'rtburchak matritsa(ikkita ro'yxat).
Guruch. 3 Korrelyatsiya tahlili dialog oynasi
Birinchi tugma odatiy matritsani hisoblash uchun mo'ljallangan. o'zgaruvchilarning barcha kombinatsiyalarining juft korrelyatsiya koeffitsientlari bilan simmetrik shakl. Agar tahlilda barcha ko'rsatkichlar qo'llanilsa, u holda o'zgaruvchilarni tanlash dialog oynasida tugmani bosishingiz mumkin Hammasini tanlang. (Agar o'zgaruvchilar ketma-ket bo'lmasa, ularni sichqonchani bosish bilan tanlash mumkin tugmachani bir vaqtning o'zida bosish bilan ctrl)
Agar tugmani bossangiz Tafsilotlar dialog oynasida har bir o'zgaruvchi uchun uzun nomlar ko'rsatiladi. Ushbu tugmani yana bosish orqali (u o'z nomini oladi Qisqacha), biz qisqa nomlarni olamiz.
Tugma Ma `lumot tanlangan o'zgaruvchi uchun oynani ochadi, bu erda siz uning xususiyatlarini ko'rishingiz mumkin: uzun nom, ko'rsatish formati, qiymatlarning tartiblangan ro'yxati, tavsiflovchi statistika (qiymatlar soni, o'rtacha, standart og'ish).
O'zgaruvchilarni tanlagandan so'ng, OK yoki tugmani bosing Korrelash dialog oynasi Korrelyatsiyalar Pearson. Hisoblangan korrelyatsiya matritsasi ekranda paydo bo'ladi.
Muhim korrelyatsiya koeffitsientlari ekranda qizil rang bilan ta'kidlangan.
Bizning misolimizda rentabellik ko'rsatkichi ko'rsatkichlar bilan eng ko'p bog'liq bo'lib chiqdi kapital unumdorligi(to'g'ridan-to'g'ri ulanish) va ishlab chiqarish xarajatlari(X oshgani sayin V ning kamayishi haqidagi fikr-mulohazalar). Ammo belgilar qanchalik chambarchas bog'liq? Modul koeffitsienti qiymatlari 0,7 dan katta va zaif - 0,3 dan kam bo'lsa, yaqin munosabatlar hisoblanadi. Shunday qilib, regressiya tenglamasini keyingi qurishda eng ma'lumotli sifatida "Mahsulotni qaytarish" va "Ishlab chiqarishdan tashqari xarajatlar" ko'rsatkichlari bilan cheklanishi kerak.
Biroq, bizning misolimizda bir hodisa mavjud ko'p rangli, mustaqil o'zgaruvchilar o'rtasida bog'liqlik mavjud bo'lganda (juftlik korrelyatsiya koeffitsienti moduli 0,8 dan katta).
To'rtburchaklar matritsa (o'zgaruvchilarning ikkita ro'yxati) varianti ikkita o'zgaruvchilar ro'yxatini tanlash uchun dialog oynasini ochadi. Ko'rsatilgandek joylashtiring
Natijada, biz faqat bog'liq o'zgaruvchi bilan korrelyatsiya koeffitsientlarini o'z ichiga olgan to'rtburchaklar korrelyatsiya matritsasi olamiz.
Agar parametr o'rnatilgan bo'lsa Korr. Matritsa (ahamiyatli ta'kidlash), keyin tugmani bosgandan keyin Korrelyatsiya muhimlik darajasida ta'kidlangan koeffitsientlar bilan matritsa tuziladi R.
Agar variant tanlansa Batafsil natijalar jadvali, keyin tugmani bosish orqali Korrelyatsiyalar, biz nafaqat korrelyatsiya koeffitsientlarini, balki o'rtachalarni, standart og'ishlarni, regressiya tenglamasi koeffitsientlarini, regressiya tenglamasidagi erkin atama va boshqa statistik ma'lumotlarni o'z ichiga olgan jadvalni olamiz.
O'zgaruvchilar kichik nisbiy o'zgarishlarga ega bo'lsa (standart og'ish 0,0000000000001 dan kam bo'lsa), yuqoriroq baho talab qilinadi. Pearson korrelyatsiyalari dialog oynasidagi yuqori aniqlikdagi hisob-kitoblar katagiga belgi qo'yish orqali uni o'rnatish mumkin.
Yo'qolgan ma'lumotlar bilan ishlash rejimi "Line by line PD" ni o'chirish opsiyasi bilan belgilanadi. Agar tanlansa, STATISTICS boʻshliqlari boʻlgan barcha kuzatuvlarni eʼtiborsiz qoldiradi. Aks holda, ular juft bo'lib olib tashlanadi.
Uzoq o'zgaruvchilar nomlarini ko'rsatish katakchasi uzoq o'zgaruvchilar nomlari bilan jadvalga olib keladi.
Korrelyatsiya bog'liqliklarining grafik tasviri
Pearson korrelyatsiyasi dialog oynasida olish uchun bir qator tugmalar mavjud grafik tasvir korrelyatsiya bog'liqliklari.
2M tarqoq chizma varianti har bir tanlangan o'zgaruvchi uchun tarqalish chizmalari ketma-ketligini yaratadi. Ularni tanlash oynasi 6-rasm bilan bir xil. Chap tomonda bog'liq o'zgaruvchilar, o'ng tomonda mustaqil - RENTABLE ko'rsatilishi kerak. OK tugmasini bosish orqali biz bosib o'tgan regressiya chizig'i va prognozlashning ishonch chegaralarini ko'rsatadigan grafikni olamiz.
Chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti, agar koordinatalar tizimidagi nuqtalarning joylashuvi to'g'ri chiziq yoki cho'zilgan ellipsga o'xshasa, lekin nuqtalar egri chiziq shaklida joylashgan bo'lsa, u holda ulanishning zichligini eng ob'ektiv baholaydi. korrelyatsiya koeffitsienti kam baho beradi.
Grafikga asoslanib, biz rentabellik va aktivlarning daromadliligi o'rtasidagi bog'liqlikni yana bir bor tasdiqlashimiz mumkin, chunki kuzatuv ma'lumotlari eğimli ellips shaklida joylashtirilgan. Aytish kerakki, ulanish qanchalik yaqin bo'lsa, nuqtalar ellipsning asosiy o'qiga qanchalik yaqin bo'lsa.
Bizning misolimizda, bir birlik uchun aktivlarning rentabellik darajasining o'zgarishi rentabellikning 5,7376% ga o'zgarishiga olib keladi.
Noishlab chiqarish xarajatlarining rentabellik qiymatiga ta'sirini ko'rib chiqamiz. Buning uchun biz shunga o'xshash grafik tuzamiz
Tahlil qilingan ma'lumotlar shakli ellipsga o'xshamaydi va korrelyatsiya koeffitsienti biroz pastroq. Regressiya koeffitsientining topilgan qiymati shuni ko'rsatadiki, ishlab chiqarishdan tashqari xarajatlarning 1 ming rublga oshishi bilan rentabellik 0,7017% ga kamayadi.
Shuni ta'kidlash kerakki, ko'p regressiyani qurish (keyingi boblarda muhokama qilinadi), agar tenglama bir vaqtning o'zida ikkala xususiyatni o'z ichiga olgan bo'lsa, regressiya koeffitsientlarining boshqa qiymatlariga olib keladi, bu tushuntirish o'zgaruvchilarning o'zaro ta'siri bilan izohlanadi. bir-biri.
Nomlangan tugmani ishlatganda, tarqalish chizmasidagi nuqtalar, agar oldindan belgilangan bo'lsa, tegishli raqamlar yoki nomlarga ega bo'ladi.
Matritsa diagrammasi ko'rsatilgan keyingi variant tanlangan o'zgaruvchilar uchun tarqalish matritsalarini chizadi.
Ushbu matritsaning har bir grafik elementi tegishli o'zgaruvchilar tomonidan tuzilgan korrelyatsiya maydonlarini o'z ichiga oladi
ularga chizilgan regressiya chizig'i.
Tarqalishlar matritsasini tahlil qilishda regressiya chiziqlari X o'qiga sezilarli nishabga ega bo'lgan grafiklarga e'tibor berish kerak, bu tegishli belgilar o'rtasida o'zaro bog'liqlik mavjudligini ko'rsatadi.
3D tarqalish opsiyasi tanlangan o'zgaruvchilar uchun 3D korrelyatsiya maydonini yaratadi. Nomlangan tugma ishlatilsa, tarqalish chizmasidagi nuqtalar, agar ular mavjud bo'lsa, tegishli kuzatuvlarning raqamlari yoki nomlari bilan belgilanadi.
Surface grafik opsiyasi tanlangan uchlik oʻzgaruvchilar uchun 3M scatterplot va oʻrnatilgan ikkinchi tartibli sirtni chizadi.
Variant toifasi. scatterplots, o'z navbatida, tanlangan ko'rsatkichlar uchun korrelyatsiya maydonlari kaskadini yaratadi.
Tegishli tugmani bosgandan so'ng, dastur foydalanuvchidan o'zgaruvchilar tugmasi yordamida avval tanlanganlardan ikkita to'plamni yaratishni so'raydi. Keyin ekranda yangisi paydo bo'ladi.
barcha mavjud holatlar tasniflanadigan guruhlash o'zgaruvchisini belgilash uchun so'rov oynasi.
Natijada turli xil ro'yxatlarga tayinlangan o'zgaruvchilarning har bir juftligi uchun kuzatishlar guruhlari kontekstida korrelyatsiya maydonlarini qurish.
3.4. Qisman va ko'p koeffitsientlarni hisoblashkorrelyatsiya elementlari
Shaxsiy va ko'p koeffitsientlarni hisoblash uchun kor. munosabat modulini chaqiradi Ko'p regressiya modul tanlash tugmasi yordamida. Ekranda quyidagi dialog oynasi paydo bo'ladi:
Bir tugmani bosish O'zgaruvchilar, tahlil qilish uchun o'zgaruvchilarni tanlang: chapga bog'liq - rentabellik, va o'ngda mustaqil - kapital unumdorligi va noishlab chiqarish xarajatlari. Qolgan o'zgaruvchilar keyingi tahlilda ishtirok etmaydi - korrelyatsiya tahliliga asoslanib, ular regressiya modeli uchun informatsion emas deb tan olinadi.
Dalada Kirish fayli kirish ma'lumotlari sifatida odatdagi boshlang'ich ma'lumotlar taklif etiladi, bu o'zgaruvchilar va kuzatishlar bilan jadval yoki korrelyatsiya matritsasi. Korrelyatsiya matritsasi Ko'p regressiya modulining o'zida oldindan yaratilishi yoki Quick Basic Statistika opsiyasi yordamida hisoblanishi mumkin.
Manba ma'lumotlar fayli bilan ishlashda siz bo'shliqlar bilan ishlash rejimini o'rnatishingiz mumkin:
Satr bo'yicha o'chirish. Ushbu parametr tanlanganda, faqat barcha tanlangan o'zgaruvchilarda etishmayotgan qiymatlari bo'lmagan holatlar tahlilda qo'llaniladi.
O'rtachani almashtirish. Har bir o'zgaruvchida etishmayotgan qiymatlar mavjud to'liq kuzatishlar bo'yicha hisoblangan o'rtacha qiymat bilan almashtiriladi.
Yo'qolgan ma'lumotlarni juftlik bilan olib tashlash. Agar ushbu parametr tanlansa, u holda juft korrelyatsiyalarni hisoblashda mos o'zgaruvchilar juftligida etishmayotgan qiymatlarga ega bo'lgan kuzatuvlar olib tashlanadi.
Dalada Regressiya turi foydalanuvchi standart yoki sobit chiziqli bo'lmagan regressiyani tanlashi mumkin. Odatiy bo'lib, barcha tanlangan o'zgaruvchilarning standart korrelyatsiya matritsasini hisoblaydigan standart ko'p regressiya tahlili tanlanadi.
Rejim Ruxsat etilgan chiziqli bo'lmagan regressiya mustaqil o'zgaruvchilarning turli transformatsiyalarini amalga oshirish imkonini beradi. Variant Tahlil o'tkazing sukut bo'yicha, u kesishishni o'z ichiga olgan standart regressiya chizig'ining ta'rifiga mos keladigan sozlamalardan foydalanadi. Agar ushbu parametr bekor qilinsa, ishga tushirish panelining OK tugmasi bosilganda, Model ta'rifi dialog oynasi paydo bo'ladi, unda siz regressiya tahlilining turini (masalan, bosqichma-bosqich, tizma va hokazo) va boshqa variantlarni tanlashingiz mumkin.
Variant qatorining katagiga belgi qo'yish orqali Ta'riflovchi tavsifni ko'rsatish, korr. matritsalar va OK tugmasini bosish orqali biz ma'lumotlarning statistik xarakteristikalari bilan dialog oynasini olamiz.
Unda siz batafsil tavsiflovchi statistikani ko'rishingiz mumkin (shu jumladan, har bir o'zgaruvchi juftligi uchun korrelyatsiya koeffitsienti hisoblangan kuzatishlar soni). Tahlilni davom ettirish uchun OK tugmasini bosing va Modelni aniqlovchilar dialog oynasini oching.
Agar tahlil qilingan ko'rsatkichlar o'rtacha qiymatga bo'lingan umumiy dispersiya sifatida hisoblangan juda kichik nisbiy dispersiyaga ega bo'lsa, variant yonidagi katakchani belgilashingiz kerak. Yuqori aniqlikdagi hisob-kitoblar korrelyatsiya matritsasi elementlarining aniqroq qiymatlarini olish.
Muloqot oynasida barcha kerakli parametrlarni o'rnatish orqali Ko'p regressiya, OK tugmasini bosing va kerakli hisob-kitoblar natijalarini oling.
Bizning misolimizga ko'ra, ko'p korrelyatsiya koeffitsienti 0,61357990 va shunga mos ravishda aniqlash koeffitsienti - 0,37648029 bo'ldi. Shunday qilib, "rentabellik" ko'rsatkichining tarqalishining atigi 37,6% "kapital unumdorligi" va "noishlab chiqarish xarajatlari" ko'rsatkichlarining o'zgarishi bilan izohlanadi. Bunday past qiymat modelga kiritilgan omillarning etarli emasligini ko'rsatadi. Keling, ro'yxatga "Asosiy vositalar" o'zgaruvchisini qo'shish orqali mustaqil o'zgaruvchilar sonini o'zgartirishga harakat qilaylik (modelga "DXShda ishchilar ulushi" ko'rsatkichining kiritilishi multikolleniallikka olib keladi, bu qabul qilinishi mumkin emas). Aniqlanish koeffitsienti biroz oshdi, ammo natijalarni sezilarli darajada yaxshilash uchun etarli emas - uning qiymati taxminan 41% ni tashkil etdi. Shubhasiz, bizning dacha rentabellikka ta'sir qiluvchi omillarni aniqlash uchun qo'shimcha tadqiqotlar talab qiladi.
Ko'p korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyati Fisher F-mezon jadvali bo'yicha hisoblanadi. Agar og'ish ehtimoli qiymati ma'lum darajadan oshsa, uning ahamiyati haqidagi gipoteza rad etiladi (ko'pincha a = 0,1, 0,05; 0,01 0,001 olinadi). Bizning misolimizda p = 0,008882< 0.05, что свидетельствует о значимости коэффициента.
Natijalar jadvalida quyidagi ustunlar mavjud:
Beta koeffitsienti (da)- mos keladigan o'zgaruvchi uchun standartlashtirilgan regressiya koeffitsienti;
Qisman korrelyatsiya- mos keladigan o'zgaruvchi va qaram o'rtasidagi qisman korrelyatsiya koeffitsientlari, shu bilan birga modelga kiritilgan qolganlarning ta'siri.
Bizning misolimizda rentabellik va kapital unumdorligi o'rtasidagi qisman korrelyatsiya koeffitsienti 0,459899 ni tashkil qiladi. Bu shuni anglatadiki, modelga noishlab chiqarish ko'rsatkichi kiritilgandan so'ng, kapital unumdorligining rentabellikka ta'siri biroz kamayadi - 0,49 dan (juft korrelyatsiya koeffitsienti qiymati) 0,46. Ishlab chiqarilmagan xarajatlar ko'rsatkichi uchun shunga o'xshash koeffitsient ham kamaydi - 0,46 dan (juft korrelyatsiya koeffitsienti qiymati) 0,42 gacha (qiymat modul tomonidan olinadi), kiritilgandan keyin qaram o'zgaruvchi bilan munosabatlarning o'zgarishini tavsiflaydi. modelga kapital unumdorligi ko'rsatkichi.
Yarim qisman korrelyatsiya - bu modelga kiritilgan boshqalarning ta'sirini hisobga olgan holda, to'g'rilanmagan bog'liq o'zgaruvchi va mos keladigan bog'liq bo'lmagan o'zgaruvchi o'rtasidagi korrelyatsiya.
Tolerantlik (tegishli oʻzgaruvchi va regressiya tenglamasidagi barcha mustaqil oʻzgaruvchilar oʻrtasidagi koʻp korrelyatsiyaning kvadratiga 1 minus sifatida aniqlanadi).
Determinatsiya koeffitsienti mos keladigan mustaqil o'zgaruvchi va regressiya tenglamasiga kiritilgan barcha boshqa o'zgaruvchilar o'rtasidagi ko'p korrelyatsiya koeffitsientining kvadratidir.
1-qiymatlar - belgilangan (qavslar ichida) erkinlik darajalari soni bilan qisman korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyati haqidagi gipotezani sinab ko'rish uchun Student t-testining hisoblangan qiymati.
p darajasi! - qisman korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyati haqidagi gipotezani rad etish ehtimoli.
Bizning holatda, birinchi koeffitsient (0,031277) uchun olingan p qiymati tanlanganidan kichik =0,05. Ikkinchi koeffitsientning qiymati undan biroz oshadi (0,050676), bu uning ushbu darajadagi ahamiyatsizligini ko'rsatadi. Ammo, masalan, =0,1 bo'lganda (yuztadan o'nta holatda gipoteza noto'g'ri bo'ladi) muhim ahamiyatga ega.
Bu erda x y , x , y - namunalarning o'rtacha qiymatlari; s(x), s(y) - standart og'ishlar.
Bundan tashqari, Pearsonning chiziqli juftlik korrelyatsiya koeffitsienti b regressiya koeffitsienti orqali aniqlash mumkin: , bu yerda s(x)=S(x), s(y)=S(y) standart og‘ishlar, b regressiya tenglamasi y=a+bx bo‘yicha x dan oldingi koeffitsientdir.
Boshqa formula variantlari:
yoki 
K xy - korrelyatsiya momenti (kovariatsiya koeffitsienti) 
Chiziqli Pearson korrelyatsiya koeffitsientini topish uchun tanlab olingan x va y vositalarini va ularning standart og'ishlari s x = S(x), s y = S(y) ni topish kerak:
Chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti ulanish mavjudligini ko'rsatadi va -1 dan +1 gacha qiymatlarni oladi (Chaddock shkalasiga qarang). Masalan, ikkita o'zgaruvchi o'rtasidagi chiziqli korrelyatsiyaning qattiqligini tahlil qilganda, -1 ga teng juft chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti olingan. Bu o'zgaruvchilar o'rtasida aniq teskari chiziqli munosabat mavjudligini anglatadi.
Korrelyatsiya koeffitsientining qiymatini berilgan namunaviy vositalar yordamida yoki to'g'ridan-to'g'ri hisoblashingiz mumkin.
Xy#x #y #s x #s y " data-id="a;b;c;d;e" data-formul="(a-b*c)/(d*e)" data-r="r xy "> Qiymatingizni hisoblang
Korrelyatsiya koeffitsientining geometrik ma'nosi: r xy ikkita regressiya chizig'i: y(x) va x(y) qiyaligi qanchalik farq qilishini, x va y dagi og'ishlarni minimallashtirish natijalari qanchalik farq qilishini ko'rsatadi. Chiziqlar orasidagi burchak qanchalik katta bo'lsa, r xy shunchalik katta bo'ladi.Korrelyatsiya koeffitsientining belgisi regressiya koeffitsientining belgisiga to'g'ri keladi va regressiya chizig'ining qiyaligini aniqlaydi, ya'ni. qaramlikning umumiy yo'nalishi (o'sish yoki pasayish). Korrelyatsiya koeffitsientining mutlaq qiymati nuqtalarning regressiya chizig'iga yaqinlik darajasi bilan aniqlanadi.
Korrelyatsiya koeffitsientining xossalari
- |r xy | ≤ 1;
- agar X va Y mustaqil bo'lsa, u holda r xy =0, buning aksi har doim ham to'g'ri emas;
- agar |r xy |=1, u holda Y=aX+b, |r xy (X,aX+b)|=1, bunda a va b doimiy va ≠ 0;
- |r xy (X,Y)|=|r xy (a 1 X+b 1 , a 2 X+b 2)|, bunda a 1 , a 2 , b 1 , b 2 doimiylardir.
Shuning uchun, uchun havola yo'nalishini tekshirish gipoteza testi Pearson korrelyatsiya koeffitsienti yordamida tanlanadi va ishonchliligi uchun keyingi test yordamida t-testi(quyidagi misolga qarang).
Oddiy vazifalar (shuningdek qarang: chiziqli bo'lmagan regressiya) 
Oddiy vazifalar
Mehnat unumdorligi y ning ishlarni mexanizatsiyalash darajasiga bog'liqligi x (%) 14 ta sanoat korxonasi ma'lumotlari bo'yicha o'rganilgan. Statistik ma'lumotlar jadvalda keltirilgan.
Majburiy:
1) x dagi chiziqli regressiya y parametrlari uchun taxminlarni toping. Tarqalish grafigini tuzing va regressiya chizig'ini tarqalish chizig'ida tuzing.
2) a=0,05 ahamiyatlilik darajasida chiziqli regressiya va kuzatish natijalari o‘rtasidagi muvofiqlik gipotezasini sinab ko‘ring.
3) Ishonchliligi g=0,95 bilan chiziqli regressiya parametrlari uchun ishonch oraliqlarini toping.
Ushbu kalkulyatorda quyidagilar ham qo'llaniladi:
Ko'p regressiya tenglamasi
Misol. 1-ilovada keltirilgan va sizning tanlovingizga mos keladigan ma'lumotlarga asoslanib (2-jadval) sizga kerak bo'ladi:
- Chiziqli juft korrelyatsiya koeffitsientini hisoblang va bir xususiyatning boshqasidan chiziqli juftlik regressiyasi tenglamasini tuzing. Sizning variantingizga mos keladigan belgilardan biri omil (x), ikkinchisi - samarali (y) rolini o'ynaydi. Iqtisodiy tahlil asosida belgilar orasidagi sabab-natija munosabatlarini o'rnatish. Tenglama parametrlarining ma’nosini tushuntiring.
- Determinatsiyaning nazariy koeffitsientini va qoldiq (regressiya tenglamasi bilan izohlanmagan) dispersiyani aniqlang. Xulosa qiling.
- Fisherning F testi yordamida regressiya tenglamasining statistik ahamiyatini 5 foiz darajasida bir butun sifatida baholang. Xulosa qiling.
- Atribut-natijaning kutilayotgan qiymatini prognozini x atribut-omilning bashorat qilingan qiymati bilan bajaring, bu o'rtacha x darajasining 105% ni tashkil qiladi. Prognoz xatosini va uning ishonch oralig'ini 0,95 ehtimollik bilan hisoblash orqali prognozning to'g'riligini baholang.
O'rtacha
Dispersiya
standart og'ish
Y omil X xususiyati o'rtasidagi bog'liqlik kuchli va to'g'ridan-to'g'ri (Chaddock shkalasi bilan belgilanadi).
Regressiya tenglamasi
Regressiya koeffitsienti: k = a = 4,01
Aniqlash koeffitsienti
R 2 = 0,99 2 = 0,97, ya'ni. 97% hollarda x ning o'zgarishi y ning o'zgarishiga olib keladi. Boshqacha aytganda, regressiya tenglamasini tanlashning aniqligi yuqori. Qoldiq dispersiya: 3%.
| x | y | x2 | y2 | x y | y(x) | (y i -y ) 2 | (y-y(x)) 2 | (x-x p) 2 |
| 1 | 107 | 1 | 11449 | 107 | 103.19 | 333.06 | 14.5 | 30.25 |
| 2 | 109 | 4 | 11881 | 218 | 107.2 | 264.06 | 3.23 | 20.25 |
| 3 | 110 | 9 | 12100 | 330 | 111.21 | 232.56 | 1.47 | 12.25 |
| 4 | 113 | 16 | 12769 | 452 | 115.22 | 150.06 | 4.95 | 6.25 |
| 5 | 120 | 25 | 14400 | 600 | 119.23 | 27.56 | 0.59 | 2.25 |
| 6 | 122 | 36 | 14884 | 732 | 123.24 | 10.56 | 1.55 | 0.25 |
| 7 | 123 | 49 | 15129 | 861 | 127.26 | 5.06 | 18.11 | 0.25 |
| 8 | 128 | 64 | 16384 | 1024 | 131.27 | 7.56 | 10.67 | 2.25 |
| 9 | 136 | 81 | 18496 | 1224 | 135.28 | 115.56 | 0.52 | 6.25 |
| 10 | 140 | 100 | 19600 | 1400 | 139.29 | 217.56 | 0.51 | 12.25 |
| 11 | 145 | 121 | 21025 | 1595 | 143.3 | 390.06 | 2.9 | 20.25 |
| 12 | 150 | 144 | 22500 | 1800 | 147.31 | 612.56 | 7.25 | 30.25 |
| 78 | 1503 | 650 | 190617 | 10343 | 1503 | 2366.25 | 66.23 | 143 |
Eslatma: y(x) qiymatlari regressiya tenglamasidan topiladi:
y(1) = 4,01*1 + 99,18 = 103,19
y (2) = 4,01*2 + 99,18 = 107,2
... ... ...
Korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyati
Biz gipotezalarni ilgari suramiz:H 0: r xy = 0, o'zgaruvchilar o'rtasida chiziqli bog'liqlik yo'q;
H 1: r xy ≠ 0, o'zgaruvchilar o'rtasida chiziqli munosabat mavjud;
Oddiy ikki o'lchovli umumiy korrelyatsiya koeffitsienti a ahamiyatlilik darajasida nol gipotezani tekshirish uchun tasodifiy o'zgaruvchi H 1 ≠ 0 raqobatdosh gipoteza bilan mezonning kuzatilgan qiymatini (tasodifiy xatoning qiymatini) hisoblash kerak:
Talabalar jadvaliga ko'ra, biz t yorlig'ini topamiz (n-m-1; a / 2) = (10; 0,025) = 2,228
Tobs > t tab bo‘lgani uchun korrelyatsiya koeffitsienti 0 ga teng degan gipotezani rad etamiz. Boshqacha qilib aytganda, korrelyatsiya koeffitsienti statistik ahamiyatga ega.
Korrelyatsiya koeffitsienti uchun intervalli taxmin (ishonch oralig'i)
r - Dr ≤ r ≤ r + Dr
D r = ±t jadvali m r = ±2,228 0,0529 = 0,118
0,986 - 0,118 ≤ r ≤ 0,986 + 0,118
Korrelyatsiya koeffitsienti uchun ishonch oralig'i: 0,868 ≤ r ≤ 1
Regressiya koeffitsientlari baholarini aniqlashning to'g'riligini tahlil qilish
Sa =0,2152
Bog'liq o'zgaruvchi uchun ishonch oraliqlari
Keling, Y ning mumkin bo'lgan qiymatlarining 95% cheksiz vaqtga to'planadigan oraliq chegaralarini hisoblaylik. katta raqamlar kuzatishlar va X = 7
(122.4;132.11)
Koeffitsientlar haqidagi farazlarni tekshirish chiziqli tenglama regressiya
1) t-statistika
Regressiya koeffitsientining statistik ahamiyati tasdiqlangan
Regressiya tenglamasining koeffitsientlari uchun ishonch oralig'i
Keling, 95% ishonchliligi bilan quyidagi regressiya koeffitsientlarining ishonch oraliqlarini aniqlaylik:
(a - t a S a ; a + t a S a)
(3.6205;4.4005)
(b - t b S b ; b + t b S b)
(96.3117;102.0519)
