7-sinf matematika kursida ular birinchi navbatda uchrashadilar ikki o'zgaruvchili tenglamalar, lekin ular faqat ikkita noma’lumli tenglamalar sistemasi kontekstida o‘rganiladi. Shuning uchun bir qator muammolar ko'zdan chetda qoladi, ularda ularni cheklovchi tenglama koeffitsientlari bo'yicha ma'lum shartlar kiritiladi. Bundan tashqari, "Natural yoki butun sonlardagi tenglamani yechish" kabi masalalarni yechish usullari ham e'tiborga olinmaydi. Materiallardan foydalanish va yana kirish imtihonlari Bunday muammolar tobora keng tarqalgan.

Qaysi tenglama ikki o‘zgaruvchili tenglama deb ataladi?

Demak, masalan, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 yoki xy = 12 tenglamalari ikki o'zgaruvchili tenglamalardir.

2x - y = 1 tenglamasini ko'rib chiqing. U x = 2 va y = 3 da haqiqiy tenglikka aylanadi, shuning uchun bu o'zgaruvchan qiymatlar juftligi ko'rib chiqilayotgan tenglamaning yechimidir.

Shunday qilib, ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan har qanday tenglamaning yechimi tartiblangan juftliklar to'plamidir (x; y), bu tenglama haqiqiy sonli tenglikka aylanadigan o'zgaruvchilarning qiymatlari.

Ikki noma'lumli tenglama quyidagicha bo'lishi mumkin:

a) bitta yechim bor. Masalan, x 2 + 5y 2 = 0 tenglamasi mavjud yagona qaror (0; 0);

b) bir nechta echimlarga ega. Masalan, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ning 4 ta yechimi bor: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

ichida) yechimlari yo'q. Masalan, x 2 + y 2 + 1 = 0 tenglamaning yechimlari yo'q;

G) cheksiz ko'p echimlarga ega. Masalan, x + y = 3. Bu tenglamaning yechimlari yig'indisi 3 ga teng bo'lgan sonlar bo'ladi. Bu tenglamaning yechimlari to'plamini (k; 3 - k) shaklida yozish mumkin, bu erda k har qanday haqiqiy raqam.

Ikki o'zgaruvchili tenglamalarni yechishning asosiy usullari faktoring ifodalariga, to'liq kvadratni ajratib ko'rsatishga, xususiyatlardan foydalanishga asoslangan usullardir. kvadrat tenglama, cheklangan ifodalar, baholash usullari. Tenglama, qoida tariqasida, noma'lumlarni topish tizimini olish mumkin bo'lgan shaklga aylantiriladi.

Faktorizatsiya

1-misol

Tenglamani yeching: xy - 2 = 2x - y.

Yechim.

Faktoring maqsadlari uchun shartlarni guruhlaymiz:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Har bir qavsdan umumiy omilni chiqaring:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Bizda:

y = 2, x har qanday haqiqiy son yoki x = -1, y har qanday haqiqiy son.

Shunday qilib, javob (x; 2), x € R va (-1; y), y € R shaklidagi barcha juftliklardir.

Manfiy bo'lmagan sonlarning nolga tengligi

2-misol

Tenglamani yeching: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Yechim.

Guruhlash:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Endi har bir qavsni kvadratlar ayirmasi formulasi yordamida yig'ish mumkin.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Ikki manfiy bo'lmagan ifodaning yig'indisi faqat 3x - 2 = 0 va 2y - 3 = 0 bo'lganda nolga teng.

Shunday qilib, x = 2/3 va y = 3/2.

Javob: (2/3; 3/2).

Baholash usuli

3-misol

Tenglamani yeching: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Yechim.

Har bir qavs ichida to'liq kvadratni tanlang:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Baholash qavs ichidagi iboralarning ma'nosi.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 va (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, u holda tenglamaning chap tomoni har doim kamida 2 bo'ladi. Tenglik mumkin, agar:

(x + 1) 2 + 1 = 1 va (y - 2) 2 + 2 = 2, shuning uchun x = -1, y = 2.

Javob: (-1; 2).

Ikkinchi darajali ikkita o'zgaruvchili tenglamalarni yechishning yana bir usuli bilan tanishamiz. Bu usul tenglama sifatida qaraladi ba'zi o'zgaruvchilarga nisbatan kvadrat.

4-misol

Tenglamani yeching: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Yechim.

Tenglamani x ga nisbatan kvadratik qilib yechamiz. Diskriminantni topamiz:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Tenglama faqat D = 0 bo'lganda, ya'ni y = 4 bo'lganda yechimga ega bo'ladi. Dastlabki tenglamaga y ning qiymatini almashtiramiz va x = 3 ekanligini topamiz.

Javob: (3; 4).

Ko'pincha ikkita noma'lum tenglamalarda ko'rsatiladi o'zgaruvchilarga cheklovlar.

5-misol

Tenglamani butun sonlarda yeching: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Yechim.

Tenglamani x 2 = -5y 2 + 20x + 2 ko'rinishida qayta yozamiz. Hosil bo'lgan tenglamaning o'ng tomoni 5 ga bo'linganda 2 qoldiqni beradi. Demak, x 2 5 ga bo'linmaydi. Lekin kvadrat 5 ga bo'linmaydigan sonning 1 yoki 4 qoldig'ini beradi. Shunday qilib, tenglik mumkin emas va hech qanday yechim yo'q.

Javob: ildiz yo'q.

6-misol

Tenglamani yeching: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Yechim.

Keling, har bir qavsdagi to'liq kvadratlarni tanlaymiz:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Tenglamaning chap tomoni har doim 3 dan katta yoki teng. Tenglik mumkin, agar |x| – 2 = 0 va y + 3 = 0. Shunday qilib, x = ± 2, y = -3.

Javob: (2; -3) va (-2; -3).

7-misol

Tenglamani qanoatlantiruvchi manfiy butun sonlar juftligi (x; y) uchun
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, yig'indini hisoblang (x + y). Eng kichik miqdorga javob bering.

Yechim.

To'liq kvadratlarni tanlang:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. X va y butun sonlar bo'lgani uchun ularning kvadratlari ham butun sonlardir. Ikkita butun sonning kvadratlari yig'indisi 37 ga teng, agar biz 1 + 36 ni qo'shsak, olamiz. Shuning uchun:

(x - y) 2 = 36 va (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 va (y + 2) 2 = 36.

Bu sistemalarni yechib, x va y manfiy ekanligini hisobga olib, yechimlarni topamiz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Javob: -17.

Ikki noma'lumli tenglamalarni echishda qiyinchiliklarga duch kelsangiz, umidsizlikka tushmang. Bir oz mashq qilsangiz, har qanday tenglamani o'zlashtira olasiz.

Savollaringiz bormi? Ikki o'zgaruvchili tenglamalarni qanday yechish kerakligini bilmayapsizmi?
Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Ish matni rasm va formulalarsiz joylashtirilgan.
To'liq versiya ish PDF formatidagi "Ish fayllari" yorlig'ida mavjud

O'rganish ob'ekti.

Tadqiqot sonlar nazariyasining eng qiziqarli sohalaridan biri - butun sonlarda tenglamalarni echish bilan bog'liq.

O'rganish mavzusi.

Butun sonli koeffitsientli algebraik tenglamalarni butun sonlarda bir nechta noma'lumlarda yechish eng qiyin va qadimiy matematik muammolardan biri bo'lib, u erda etarli darajada chuqur berilmagan. maktab kursi matematika. Men o'z ishimda butun sonlardagi tenglamalarning to'liq tahlilini, ularni echish usullari bo'yicha ushbu tenglamalarning tasnifini, ularni echish algoritmlarining tavsifini, shuningdek, har bir usulni qo'llashning amaliy misollarini taqdim etaman. butun sonlardagi tenglamalarni yechish.

Maqsad.

Butun sonlardagi tenglamalarni yechish usullarini o‘rganing.

Vazifalar:

O'quv va ma'lumotnoma adabiyotlarini o'rganish;

Tenglamalarni yechish bo‘yicha nazariy material to‘plash;

Ushbu turdagi tenglamalarni yechish algoritmlarini tahlil qilish;

Yechimlarni tavsiflash;

Ushbu usullar yordamida tenglamalarni yechish misollarini ko'rib chiqing.

Gipoteza:

Olimpiada topshiriqlarida butun sonlardagi tenglamalar bilan duch kelganimda, men ularni yechishdagi qiyinchiliklar ularni yechishning barcha usullari menga ma'lum emasligi bilan bog'liq deb taxmin qildim.

Muvofiqligi:

USE vazifalarining taxminiy variantlarini echishda men ko'pincha birinchi va ikkinchi darajali tenglamalarni butun sonlarda echish uchun topshiriqlar mavjudligini payqadim. Bundan tashqari, olimpiada vazifalari turli darajalar Shuningdek, butun sonlardagi tenglamalar yoki butun sonlardagi tenglamalarni yechish ko‘nikmalari yordamida yechiladigan masalalar mavjud. Butun sonlardagi tenglamalarni yechish usullarini bilishning ahamiyati tadqiqotimning dolzarbligini belgilaydi.

Tadqiqot usullari

Axborotni nazariy tahlil qilish va umumlashtirish ilmiy adabiyotlar butun sonlardagi tenglamalar haqida.

Butun sonlardagi tenglamalarni yechish usullariga ko‘ra tasniflash.

Butun sonlardagi tenglamalarni yechish usullarini tahlil qilish va umumlashtirish.

Tadqiqot natijalari

Maqolada tenglamalarni yechish usullari tasvirlangan, Ferma teoremasining nazariy materiali, Pifagor teoremasi, Evklid algoritmi ko‘rib chiqiladi, turli darajadagi murakkablikdagi masalalar va tenglamalarni yechish misollari keltirilgan.

2. Butun sonlardagi tenglamalar tarixi

Diofant - olim - algebraist Qadimgi Gretsiya, ba'zi manbalarga ko'ra, u milodiy 364 yilgacha yashagan. e. U butun sonlardagi masalalarni echishga ixtisoslashgan. Diofant tenglamalari shundan kelib chiqqan. Diophantus tomonidan hal qilingan eng mashhur "ikki kvadratga parchalanish" muammosi. Uning ekvivalenti taniqli Pifagor teoremasidir. Diofantning hayoti va faoliyati Iskandariyada davom etdi, u ma'lum bo'lgan muammolarni to'pladi va hal qildi va yangi muammolarni ixtiro qildi. Keyinchalik u ularni "Arifmetika" deb nomlangan katta asarida birlashtirdi. Arifmetikani tashkil etgan o‘n uchta kitobdan faqat oltitasi o‘rta asrlargacha saqlanib qolgan va Uyg‘onish davri matematiklari uchun ilhom manbai bo‘lib qolgan.Diofantning “Arifmetika”si muammolar to‘plami bo‘lib, ularning har biri yechimi va zarur tushuntirishlarini o‘z ichiga oladi. To'plam turli xil muammolarni o'z ichiga oladi va ularning echimi ko'pincha juda aqlli. Diofantni faqat musbat butun son va ratsional yechimlar qiziqtiradi. U irratsional yechimlarni “mumkin emas” deb ataydi va kerakli ijobiy, oqilona yechimlar olinishi uchun koeffitsientlarni sinchiklab tanlaydi.

Butun sonlardagi tenglamalarni yechish uchun Ferma teoremasidan foydalaniladi. Buni isbotlash tarixi juda qiziq. Ko'pgina taniqli matematiklar Buyuk teoremaning to'liq isboti ustida ishladilar va bu harakatlar zamonaviy sonlar nazariyasida ko'plab natijalarga olib keldi. Noto'g'ri isbotlar soni bo'yicha teorema birinchi o'rinda ekanligiga ishoniladi.

Ajoyib frantsuz matematigi Per Ferma n ≥ 3 butun son uchun tenglamaning x, y, z musbat sonlarida yechim yo‘qligini ta’kidladi (xyz = 0 x, y, z ning musbatligi bilan chiqarib tashlanadi. n = 3 holat uchun, bu teorema X asrda o'rta osiyolik matematik al-Xo'jandiy tomonidan isbotlangan, ammo uning isboti saqlanib qolmagan.Biroz vaqt o'tgach, Fermatning o'zi n = 4 uchun ma'lum bir holatning isbotini e'lon qildi.

Eyler 1770 yilda n = 3, Dirichlet va Legendre 1825 yilda n = 5, Lame n = 7 uchun teoremani isbotladilar. Kummer teorema 100 dan kichik bo‘lgan barcha tub n sonlar uchun to‘g‘ri ekanligini ko‘rsatdi, 37 dan istisno. , 59, 67.

1980-yillarda bor edi yangi yondashuv muammoni hal qilish uchun. 1983 yilda Faltings tomonidan isbotlangan Mordell taxminidan kelib chiqadiki, tenglama

n > 3 uchun faqat chekli sonli koʻp tub yechimlar boʻlishi mumkin.

Teoremani isbotlashda oxirgi, lekin eng muhim qadam 1994-yil sentabr oyida Uils tomonidan qo'yilgan. Uning 130 sahifalik isboti Annals of Mathematics jurnalida chop etilgan. Isbot nemis matematigi Gerxard Freyning Fermaning oxirgi teoremasi Taniyama-Shimura gipotezasi natijasidir, degan faraziga asoslanadi (bu faraz Ken Ribet tomonidan J.-P. Serra ishtirokida isbotlangan). uning isboti versiyasi 1993 yilda (7 yillik mashaqqatli mehnatdan so'ng), lekin tez orada jiddiy bo'shliq aniqlandi; Richard Lourens Teylorning yordami bilan bo'shliq tezda yopildi. Yakuniy versiya 1995 yilda nashr etilgan. 2016 yil 15 mart Endryu Uayls Abel mukofotini oldi. Hozirda mukofot 6 million Norvegiya kronasini, ya'ni taxminan 50 million rublni tashkil qiladi. Uaylsning so‘zlariga ko‘ra, mukofot uning uchun “to‘liq kutilmagan” bo‘lgan.

3. Butun sonlardagi chiziqli tenglamalar

Chiziqli tenglamalar barcha diofant tenglamalarining eng oddiyidir.

a va b ayrim sonlar, x esa noma’lum o‘zgaruvchi bo‘lgan ax=b ko‘rinishdagi tenglama bitta noma’lum chiziqli tenglama deyiladi. Bu erda tenglamaning faqat butun yechimlarini topish talab qilinadi. Ko'rinib turibdiki, agar a ≠ 0 bo'lsa, u holda b ni a ga to'liq bo'linadigan va bu yechim x = b / f bo'lsa, tenglama butun sonli yechimga ega bo'ladi. Agar a=0 bo'lsa, b=0 bo'lganda tenglama butun sonli yechimga ega bo'ladi va bu holda x ixtiyoriy sondir.

chunki 12 4 ga teng bo'linadi

Chunki a=o va b=0, u holda x har qanday son

Chunki 7 hatto 10 ga bo'linmaydi, u holda echimlar yo'q.

4. Variantlarni sanab o'tish usuli.

Variantlarni sanab o'tish usulida sonlarning bo'linuvchanlik belgilarini hisobga olish, barchasini hisobga olish kerak. mumkin bo'lgan variantlar chekli sanab tengligi. Ushbu usul quyidagi muammolarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkin:

№1 49x+69y=602 tenglamaning yechimi bo‘lgan barcha juft natural sonlar to‘plamini toping.

x = tenglamadan ifodalaymiz,

Chunki x va y natural sonlar, keyin x = ≥ 1, maxrajdan qutulish uchun butun tenglamani 49 ga ko'paytiring:

602 ni chap tomonga siljiting:

51y ≤ 553, y, y= 10 ni ifodalang

Variantlarni to‘liq sanab o‘tish shuni ko‘rsatadiki, tenglamaning natural yechimlari x=5, y=7 bo‘ladi.

Javob: (5,7).-

№2 Muammoni hal qiling

2, 4, 7 raqamlaridan bitta raqamni ikki martadan ortiq takrorlash mumkin bo'lmagan uch xonali raqamni yaratish kerak.

2 raqami bilan boshlangan barcha uch xonali sonlar sonini topamiz: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - ulardan 8 tasi bor.

Xuddi shunday, biz 4 va 7 raqamlari bilan boshlangan barcha uch xonali raqamlarni topamiz: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - ularning har biri 8 ta raqamdan iborat. Faqat 24 ta raqam mavjud.

Javob: 24.

5. Davomli kasr va Evklid algoritmi

Davomli kasr oddiy kasrning shakldagi ifodasidir

bu yerda q 1 butun son, q 2 , … ,qn esa natural sonlardir. Bunday ifoda davomli (cheklangan davomli) kasr deyiladi. Chekli va cheksiz davomli kasrlar mavjud.

Uchun ratsional sonlar davomli kasrga ega yakuniy ko'rinish. Bundan tashqari, a i ketma-ketligi aynan kasrning pay va maxrajiga Evklid algoritmini qo‘llash orqali olinadigan bo‘laklar ketma-ketligidir.

Davomli kasrlar bilan tenglamalarni yechish, men butun sonlarda tenglamalarni echishning ushbu usuli uchun umumiy harakatlar algoritmini tuzdim.

Algoritm

1) Noma'lumlar uchun koeffitsientlar nisbatini kasr shaklida tuzing

2) Ifodani noto'g'ri kasrga aylantiring

3) Noto'g'ri kasrning butun son qismini tanlang

4) To‘g‘ri kasrni teng kasr bilan almashtiring

5) maxrajda olingan noto'g'ri kasr bilan 3.4 ni bajaring

6) Yakuniy natijaga qadar 5-ni takrorlang

7) Hosil boʻlgan ifodada davomli kasrning oxirgi boʻgʻinini olib tashlang, hosil boʻlgan yangi davomli kasrni oddiy kasrga aylantiring va uni asl kasrdan ayiring.

Misol№1 127x- 52y+ 1 = 0 tenglamani butun sonlarda yeching

Noma'lumlarda koeffitsientlar nisbatini o'zgartiramiz.

Avvalo, noto'g'ri kasrning butun qismini tanlaymiz; = 2 +

To'g'ri kasrni teng kasr bilan almashtiring.

Bu erda = 2+

Keling, maxrajda olingan noto'g'ri kasr bilan bir xil o'zgarishlarni bajaramiz.

Endi asl kasr shaklni oladi: Kasr uchun bir xil fikrni takrorlab, biz hosil qilamiz

Biz yakuniy davomli yoki davomli kasr deb ataladigan iborani oldik. Ushbu davomli kasrning oxirgi bo'g'inini - beshdan birini tashlab, biz hosil bo'lgan yangi davomli kasrni oddiy kasrga aylantiramiz va uni asl kasrdan ayiramiz:

Keling, hosil bo'lgan ifodani umumiy maxrajga keltiramiz va uni olib tashlaymiz.

Negaki 127∙9-52∙22+1=0. Olingan tenglikni 127x- 52y+1 = 0 tenglama bilan solishtirsak, shundan kelib chiqadiki, u holda x= 9, y= 22 asl tenglamaning yechimi bo‘lib, teoremaga ko‘ra uning barcha yechimlari x progressiyalarida bo‘ladi. = 9+ 52t, y= 22+ 127t , bu yerda t=(0; ±1; ±2....). , uning oxirgi havolasini olib tashlang va yuqorida keltirilganlarga o'xshash hisoblarni bajaring.

Ushbu taxminni isbotlash uchun bizga davomli kasrlarning ba'zi xususiyatlari kerak bo'ladi.

Qaytib bo'lmaydigan kasrni ko'rib chiqing. a ni b ga bo'lishda q 1 bo'lakni va r 2 bilan qoldiqni belgilang. Keyin biz olamiz:

U holda b=q 2 r 2 +r 3 ,

Xuddi shunday

r 2 \u003d q 3 r 3 + r 4, ;

r 3 \u003d q 4 r 4 + r 5,;

………………………………..

q 1 , q 2 ,… miqdorlar toʻliq boʻlmagan boʻlaklar deyiladi. Yuqoridagi to'liq bo'lmagan qismlarni shakllantirish jarayoni deyiladi Evklid algoritmi. r 2 , r 3 ,... boʻlinishning qoldiqlari tengsizliklarni qanoatlantiradi

bular. kamayuvchi manfiy bo'lmagan sonlar qatorini hosil qiling.

2-misol 170x+190y=3000 tenglamani butun sonlarda yeching.

10 ga kamaytirilgandan so'ng, tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Muayyan yechimni topish uchun biz kasrni davomli kasrga kengaytirishdan foydalanamiz

Unga mos keladigan oxirgi kasrni oddiy kasrga aylantirib

Ushbu tenglamaning ma'lum bir yechimi shaklga ega

X 0 \u003d (-1) 4300 ∙ 9 \u003d 2700, y 0 \u003d (-1) 5300 ∙ 8 \u003d -2400,

va umumiy formula bilan beriladi

x=2700-19k, y=-2400+17k.

bu yerdan k parametridagi shartni olamiz

Bular. k=142, x=2, y=14. .

6. Faktoring usuli

Variantlarni sanab o'tish usuli noqulay usuldir, chunki sanab o'tish orqali to'liq echimlarni topish mumkin bo'lmagan holatlar mavjud, chunki bunday echimlarning cheksiz soni mavjud. Faktorizatsiya usuli juda qiziqarli texnika bo'lib, u ham boshlang'ich matematikada, ham oliy matematikada uchraydi.

Mohiyat bir xil transformatsiyadan iborat. Har qanday bir xil transformatsiyaning ma'nosi ifodani uning mohiyatini saqlab qolgan holda boshqa shaklda yozishdir. Ushbu usulni qo'llash misollarini ko'rib chiqing.

№1 y butun sonlardagi tenglamani yeching 3 - x 3 = 91.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanib, biz tenglamaning o'ng tomonini omillarga ajratamiz:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91

Biz 91 raqamining barcha bo'luvchilarini yozamiz: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

E'tibor bering, har qanday butun x va y uchun raqam

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

shuning uchun tenglamaning chap tomonidagi ikkala omil ham ijobiy bo'lishi kerak. Keyin asl tenglama tenglamalar tizimlari to'plamiga ekvivalent bo'ladi:

Tizimlarni hal qilib, biz butun son bo'lgan ildizlarni tanlaymiz.

Asl tenglamaning yechimlarini olamiz: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4; 3).

Javob: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 x tenglamani qanoatlantiradigan barcha natural son juftlarini toping 2 -y 2 = 69

Tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz va tenglamani quyidagicha yozamiz

Chunki 69 sonining bo'luvchilari 1, 3, 23 va 69 raqamlari bo'lsa, 69 ni ikki yo'l bilan olish mumkin: 69=1 69 va 69=3 23. X-y > 0 ekanligini hisobga olsak, biz ikkita tenglamalar tizimini olamiz, ularni yechish orqali biz kerakli raqamlarni topishimiz mumkin:

Bitta o‘zgaruvchini ifodalab, ikkinchi tenglamaga almashtirib, tenglamalarning ildizlarini topamiz.Birinchi sistemaning yechimi x=35;y=34 , ikkinchi sistemaning yechimi x=13, y=10.

Javob: (35; 34), (13; 10).

№3 x + y \u003d xy tenglamasini butun sonlarda yeching:

Tenglamani shaklda yozamiz

Tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz. Oling

Ikkita butun sonning ko'paytmasi faqat ikkita holatda 1 ga teng bo'lishi mumkin: agar ularning ikkalasi ham 1 yoki -1 ga teng bo'lsa. Biz ikkita tizimni olamiz:

Birinchi sistemaning yechimi x=2, y=2, ikkinchi sistemaning yechimi x=0, y=0.Javob: (2; 2), (0; 0).

№4 (x - y) tenglama ekanligini isbotlang. 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 butun sonlarda yechimga ega emas.

Biz tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz va tenglamaning ikkala tomonini 3 ga bo'lamiz, natijada biz tenglamani olamiz:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10

10 ning bo'luvchilari ±1, ±2, ±5, ±10 raqamlaridir. Shuni ham yodda tutingki, tenglamaning chap tomonidagi omillar yig'indisi 0 ga teng. Ko'paytmada 10 ni beradigan 10 sonining bo'luvchilari to'plamidan har qanday uchta raqamning yig'indisi 0 ga teng emasligini tekshirish oson. teng 0. Demak, asl tenglama butun sonlarda yechimga ega emas.

7. Qoldiqlar usuli

Usulning asosiy vazifasi - olingan natijalar asosida tenglamaning ikkala qismining butun songa bo'linishining qolgan qismini topishdir. Ko'pincha olingan ma'lumotlar tenglamaning echimlar to'plamining imkoniyatlarini kamaytiradi. Misollarni ko'rib chiqing:

№1 x tenglama ekanligini isbotlang 2 = 3y + 2 butun sonlarda yechimga ega emas.

Isbot.

X, y ∈ N bo'lgan holatni ko'rib chiqing. Ikkala tomonning qoldiqlarini 3 ga bo'lingan holda ko'rib chiqing. Tenglamaning o'ng tomoni y ning istalgan qiymati uchun 3 ga bo'linganda 2 qoldiqni beradi. Natural sonning kvadrati bo'lgan chap tomoni 3 ga bo'linganda har doim 0 yoki 1 qoldiqni beradi. Shunga asoslanib, natural sonlarda bu tenglamaning yechimi yo'q degan xulosaga kelamiz.

Raqamlardan biri 0 ga teng bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik. Shunda, aniqki, butun sonlarda yechim yo'q.

y manfiy butun son bo'lgan holatda yechim yo'q, chunki o'ng tomoni salbiy, chap tomoni esa ijobiy bo'ladi.

X manfiy butun son bo'lgan holatda ham yechim yo'q, chunki (-x) 2 = (x) 2 bo'lganligi sababli avval ko'rib chiqilgan holatlardan biriga kiradi.

Ma'lum bo'lishicha, ko'rsatilgan tenglamaning butun sonlarda yechimlari yo'q, buni isbotlash kerak edi.

№2 Butun sonlarda yechish 3 X = 1 + y 2 .

(0; 0) bu tenglamaning yechimi ekanligini ko'rish qiyin emas. Bu tenglamaning boshqa butun son ildizlariga ega emasligini isbotlash uchun qoladi.

Vaziyatlarni ko'rib chiqing:

1) Agar x∈N, y∈N bo‘lsa, Z uchga qoldiqsiz bo‘linadi va 3 ga bo‘linganda 1 + y 2 hosil bo‘ladi.

qolgan 1 yoki 2. Shuning uchun musbat sonlar uchun tenglik

x, y qiymatlari mumkin emas.

2) Agar x manfiy butun son bo'lsa, y∈Z , u holda 0 bo'ladi< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

tenglik ham mumkin emas. Shuning uchun (0; 0) yagona

Javob: (0; 0).

№3 2x tenglamani yeching 2 -2xy+9x+y=2 butun sonlarda:

Tenglamadan unga faqat birinchi darajaga kiradigan noma'lumni, ya'ni y o'zgaruvchisini ifodalaymiz:

2x 2 + 9x-2 = 2xy-y, qaerdan

Ko'phadni ko'phadga "burchak" ga bo'lish qoidasidan foydalanib, kasrning butun qismini tanlaymiz. Biz olamiz:

Shubhasiz, 2x-1 farq faqat -3, -1, 1 va 3 qiymatlarini olishi mumkin.

Ushbu to'rtta holatni sanab o'tish kerak, buning natijasida biz echimlarni olamiz: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

Javob: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8. Ikki o‘zgaruvchili tenglamalarni o‘zgaruvchilardan biriga nisbatan kvadrat shaklida butun sonlarda yechish misoli.

№1 5x tenglamani butun sonlarda yeching 2 +5y 2 + 8xy+2y-2x +2=0

Ushbu tenglamani faktorizatsiya usuli bilan echish mumkin, ammo bu tenglamaga nisbatan qo'llaniladigan bu usul juda mashaqqatli. Keling, yanada oqilona yo'lni ko'rib chiqaylik.

Tenglamani x o'zgaruvchiga nisbatan kvadrat shaklida yozamiz:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Biz uning ildizlarini topamiz.

Bu tenglama faqat diskriminant bo'lgan taqdirdagina yechimga ega

bu tenglamaning nolga teng, ya'ni. - 9(y+1) 2 =0, demak, y= - 1.

Agar y=-1 bo'lsa, x=1 bo'ladi.

Javob: (1; - 1).

9. Butun sonlarda tenglamalar yordamida masalalar yechishga misol.

№ 1. Natural sonlardagi tenglamani yeching : bu yerda n>m

n o‘zgaruvchini m o‘zgaruvchisi bilan ifodalaymiz:

625 sonining bo‘luvchilarini topamiz: bu 1; 5; 25; 125; 625

1) agar m-25 =1, u holda m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, keyin m=30, n=150

3) m-25 =25, keyin m=50, n=50

4) m-25 =125, keyin m=150, n=30

5) m-25 =625, keyin m=650, n=26

Javob: m=150, n=30

№ 2. Natural sonlardagi tenglamani yeching: mn +25 = 4m

Yechish: mn +25 = 4m

1) 4m o‘zgaruvchisini n bilan ifodalang:

2) 25 sonining tabiiy bo‘luvchilarini toping: bu 1; 5; 25

agar 4-n=1 bo‘lsa, n=3, m=25

4-n=5, keyin n=-1, m=5; 4-n =25, keyin n=-21, m=1 (chet ildizlar)

Javob: (25;3)

Butun sonlardagi tenglamani yechish topshiriqlaridan tashqari tenglamaning butun son ildizlari yo‘qligini isbotlash vazifalari ham mavjud.

Bunday muammolarni hal qilishda bo'linishning quyidagi xususiyatlarini esga olish kerak:

1) Agar n Z bo'lsa; n 2 ga bo'linadi, u holda n = 2k, k ∈ Z.

2) Agar n ∈ Z bo'lsa; n 2 ga bo'linmaydi, u holda n = 2k+1, k ∈ Z.

3) Agar n ∈ Z bo'lsa; n 3 ga bo'linadi, u holda n = 3k, k ∈ Z.

4) Agar n ∈ Z bo‘lsa; n 3 ga bo'linmaydi, u holda n = 3k±1, k ∈ Z.

5) Agar n ∈ Z bo'lsa; n 4 ga bo'linmaydi, u holda n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) Agar n ∈ Z bo'lsa; n(n+1) 2 ga bo'linadi, keyin n (n+1)(n+2) 2 ga bo'linadi;3;6.

7) n; n+1 oʻzaro tubdir.

№3 x tenglama ekanligini isbotlang 2 - 3y = 17 ning butun yechimlari yo'q.

Isbot:

X bo'lsin; y - tenglamaning yechimlari

x 2 \u003d 3 (y + 6) -1 y ∈ Z keyin y+6 ∈ Z, demak, 3(y+6) 3 ga bo'linadi, demak, 3(y+6)-1 3 ga bo'linmaydi, demak, x 2 3 ga bo'linmaydi, demak, x emas. 3 ga bo'linadi, shuning uchun x = 3k±1, k ∈ Z.

Buni asl tenglamaga almashtiring.

Bizda qarama-qarshilik bor. Bu shuni anglatadiki, tenglamada isbotlanishi kerak bo'lgan to'liq echimlar yo'q.

10.Peak formulasi

Pik formulasi 1899 yilda avstriyalik matematik Georg Pik tomonidan kashf etilgan. Formula butun sonlardagi tenglamalar bilan bog'liq, chunki ko'pburchaklardan faqat butun sonlar, shuningdek, tenglamalardagi butun sonlar olinadi.

Ushbu formuladan foydalanib, siz hujayradagi varaqda qurilgan raqamning maydonini topishingiz mumkin (uchburchak, kvadrat, trapezoid, to'rtburchak, ko'pburchak).

Ushbu formulada biz ko'pburchak ichida va uning chegarasida butun son nuqtalarni topamiz.

Imtihonda bo'ladigan vazifalarda hujayradagi varaqda qurilgan ko'pburchak berilgan va maydonni topish haqida savol berilgan vazifalarning butun guruhi mavjud. Hujayra shkalasi bir kvadrat santimetrga teng.

№1 misol

M - uchburchak chegarasidagi tugunlar soni (tomonlar va cho'qqilarda)

N - uchburchak ichidagi tugunlar soni.

*"Tuzaklar" ostida biz chiziqlarning kesishishini nazarda tutamiz. Uchburchakning maydonini toping:

Tugunlarga e'tibor bering:

M = 15 (qizil rang bilan ko'rsatilgan)

N = 34 (ko'k rang bilan belgilangan)

№2 misol

Ko'pburchakning maydonini toping: tugunlarga e'tibor bering:

M = 14 (qizil rang bilan ko'rsatilgan)

N = 43 (ko'k rang bilan belgilangan)

12. Tushilish usuli

Butun sonlardagi tenglamalarni yechish usullaridan biri – tushish usuli Ferma teoremasiga asoslanadi.

Tushilish usuli cheksiz kamayuvchi musbat z bilan yechimlar ketma-ketligiga bitta yechim qurishdan iborat boʻlgan usuldir.

Ushbu usulning algoritmini aniq tenglamani yechish misolida ko'rib chiqamiz.

1-misol. 5x + 8y = 39 butun sonlardagi tenglamani yeching.

1) Biz eng kichik koeffitsientga ega bo'lgan noma'lumni tanlaymiz (bizning holatimizda u x) va uni boshqa noma'lum orqali ifodalaymiz:

2) Butun son qismini tanlang: Shubhasiz, agar ifoda butun son bo'lib chiqsa, x butun son bo'ladi, bu esa, o'z navbatida, 4 - 3y soni 5 ga qoldiqsiz bo'linganda sodir bo'ladi.

3) Qo'shimcha z butun o'zgaruvchini quyidagicha kiritamiz: 4 -3y = 5z. Natijada, biz original bilan bir xil turdagi, lekin kichikroq koeffitsientli tenglamani olamiz.

4) Biz uni y o'zgaruvchisiga nisbatan 1, 2-bandlardagi kabi bahslashtirib, hal qilamiz: Butun qismni tanlab, biz quyidagilarni olamiz:

5) Avvalgisiga o'xshab bahs yuritib, yangi u o'zgaruvchisini kiritamiz: 3u = 1 - 2z.

6) Noma'lumni eng kichik koeffitsient bilan ifodalang, bu holda z o'zgaruvchisi: . Uning butun son bo'lishini talab qilib, biz quyidagilarni olamiz: 1 - u = 2v, u erdan u = 1 - 2v. Endi kasrlar yo'q, tushish tugadi (keyingi o'zgaruvchining ifodasida kasrlar qolmaguncha jarayonni davom ettiramiz).

7) Endi siz "yuqoriga ko'tarilishingiz" kerak. v o‘zgaruvchisi orqali avval z, keyin y va keyin x ni ifodalang:

8) x = 3+8v va y = 3 - 5v formulalari, bu erda v ixtiyoriy butun son bo'lib, asl tenglamaning butun sonlarda umumiy yechimini ifodalaydi.

Shunday qilib, tushish usuli birinchi navbatda bir o'zgaruvchining ikkinchisi orqali ketma-ket ifodalanishini, o'zgaruvchining ko'rinishida kasrlar qolmaguncha, so'ngra tenglamaning umumiy yechimini olish uchun tengliklar zanjiri bo'ylab ketma-ket "ko'tarilish" ni o'z ichiga oladi.

12. Xulosa

Tadqiqot natijasida butun sonlardagi tenglamalarni yechishdagi qiyinchiliklar ularni yechishning barcha usullari menga ma'lum emasligi bilan bog'liq degan gipoteza tasdiqlandi. Tadqiqot jarayonida men butun sonlardagi tenglamalarni echishning kam ma'lum bo'lgan usullarini topishga va tasvirlashga, ularni misollar bilan ko'rsatishga muvaffaq bo'ldim. Mening tadqiqotim natijalari matematikaga qiziqqan barcha talabalar uchun foydali bo'lishi mumkin.

13. Bibliografiya

Kitob manbalari:

1. N. Ya.Vilenkin va boshqalar, Algebra va matematik tahlil / 10-sinf, 11-sinf / / M., “Prosveshchenie”, 1998;

2. A. F. Ivanov va boshqalar, Matematika. Imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun o'quv va o'quv materiallari // Voronej, GOUVPO VSTU, 2007 yil

3. A. O. Gel’fond, Matematika, sonlar nazariyasi// Butun sonlarda tenglamalarni yechish// LIBROCOM kitoblar uyi

Internet manbalari:

4. Namoyish imkoniyatlari Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining nazorat o'lchov materiallari http://fipi.ru/

5. Butun sonlardagi tenglamalar yechimiga misollar http://reshuege.ru

6. Butun sonlardagi tenglamalarni yechishga misollar http://mat-ege.ru

7.Diofantin tenglamalari tarixi http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. Diophantus tarixi http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9.Diofantin tenglamalari tarixihttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. Diophantus tarixi http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

1.3 Tenglamalarni yechish usullari

Butun va natural sonlardagi tenglamalarni yechishda shartli ravishda farqlashimiz mumkin quyidagi usullar:

1. Variantlarni sanash usuli.

2. Evklid algoritmi.

3. Davomli kasrlar.

4. Faktorlarga ajratish usuli.

5. Ayrim o‘zgaruvchiga nisbatan butun sonlardagi tenglamalarni kvadrat shaklida yechish.

6. Qoldiqlar usuli.

7. Cheksiz tushish usuli.

2-bob

1. Tenglamalarni yechishga misollar.

2.1 Evklid algoritmi.

Vazifa 1 . 407 butun sonlardagi tenglamani yeching X – 2816y = 33.

Keling, kompilyatsiya qilingan algoritmdan foydalanamiz.

1. Evklid algoritmidan foydalanib, 407 va 2816 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisini topamiz:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Shuning uchun (407.2816) = 11, 33 11 ga bo'linadi

2. 37- tenglamani olish uchun dastlabki tenglamaning ikkala tomonini 11 ga bo‘ling X – 256y= 3 va (37, 256) = 1

3. Evklid algoritmidan foydalanib, 37 va 256 raqamlari orqali 1 raqamining chiziqli tasvirini topamiz.

256 = 37 6 + 34;

Oxirgi tenglikdan 1 ni ifodalaymiz, keyin tengliklarni ketma-ket ortib 3 ni ifodalaymiz; 34 va olingan ifodalarni 1 ning ifodasiga almashtiring.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83 37 – 256 (–12)

Shunday qilib, 37 (- 83) - 256 (-12) = 1, shuning uchun raqamlar juftligi x 0= – 83 va 0 da= – 12 37- tenglamaning yechimi X – 256y = 3.

4. Asl tenglama yechimlarining umumiy formulasini yozing

qayerda t- har qanday butun son.

2.2 Variantlarni sanash usuli.

Vazifa 2. Quyonlar va qirg'ovullar qafasda o'tirishadi, ularning jami 18 oyog'i bor. Hujayrada ularning qanchasi va boshqalar borligini aniqlang?

Yechim: Ikki noma'lum o'zgaruvchi bilan tenglama tuziladi, bunda x - quyonlar soni, y - qirg'ovullar soni:

4x + 2y = 18 yoki 2x + y = 9.

Ekspress da orqali X : y \u003d 9 - 2x.

Shunday qilib, muammoning to'rtta echimi bor.

Javob: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Faktoring usuli.

Ikki o'zgaruvchili tenglamaning tabiiy yechimlarini topishda variantlarni sanab o'tish juda mashaqqatli bo'lib chiqadi. Bundan tashqari, agar tenglama mavjud bo'lsa butun yechimlar, ularni sanab bo'lmaydi, chunki bunday echimlar cheksiz ko'p. Shuning uchun biz yana bir hiyla ko'rsatamiz - faktorizatsiya usuli.

Vazifa 3. Butun sonlardagi tenglamani yechingy 3 - x 3 = 91.

Yechim. 1) Qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanib, biz tenglamaning o'ng tomonini omillarga ajratamiz:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)

2) 91 sonining barcha bo'luvchilarini yozing: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

3) Biz tadqiqot olib boramiz. E'tibor bering, har qanday butun son uchun x va y raqam

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

shuning uchun tenglamaning chap tomonidagi ikkala omil ham ijobiy bo'lishi kerak. U holda (1) tenglama tenglamalar tizimlari to'plamiga ekvivalent bo'ladi:

4) Tizimlarni yechgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz: birinchi tizimning echimlari (5; 6), (-6; -5); uchinchi (-3; 4),(-4; 3); butun sonlardagi ikkinchi va toʻrtinchi yechimlar yoʻq.

Javob:(1) tenglama to'rtta yechimga ega (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Vazifa 4. Tenglamani qanoatlantiradigan barcha natural son juftlarini toping

Yechim. Tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz va tenglamani quyidagicha yozamiz

Chunki 69 sonining bo'luvchilari 1, 3, 23 va 69 raqamlari bo'lsa, 69 ni ikki yo'l bilan olish mumkin: 69=1 69 va 69=3 23. Sharti bilan; inobatga olgan holda

Birinchi tizimda yechim bor

Javob:

Vazifa 5. Butun sonlardagi tenglamani yeching:

Yechim. Tenglamani shaklda yozamiz

Tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz. Oling

Ikkita butun sonning ko'paytmasi faqat ikkita holatda 1 ga teng bo'lishi mumkin: agar ularning ikkalasi ham 1 yoki -1 ga teng bo'lsa. Biz ikkita tizimni olamiz:

Birinchi sistemaning yechimi x=2, y=2, ikkinchi sistemaning yechimi x=0, y=0.

Javob:

Vazifa 6. Butun sonlardagi tenglamani yeching

Yechim. Ushbu tenglamani shaklda yozamiz

Tenglamaning chap tomonini guruhlash usuli bilan omillarga ajratamiz, olamiz

Ikki butun sonning ko'paytmasi quyidagi hollarda 7 ga teng bo'lishi mumkin:

7=1 7=7 1=-1 (-7)=-7 (-1) Shunday qilib, biz toʻrtta tizimga ega boʻlamiz:

Birinchi sistemaning yechimi sonlar juftligi x = - 5, y = - 6. Ikkinchi sistemani yechib, x = 13, y = 6 ni olamiz. Uchinchi sistema uchun yechim x = 5 sonlar, y = 6. To‘rtinchi sistemaning yechimi x = - 13, y = - 6.

Vazifa 7. Tenglama ekanligini isbotlang ( x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 emas

Oxirgi video ikkita o'zgaruvchini o'z ichiga olgan chiziqli tenglamalarga bag'ishlangan. Biz bunday iboralarning asosiy xossalarini, ularni o'zgartirish va yechish imkoniyatlarini, shuningdek, ko'rib chiqdik grafik displey ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi bog'liqlik.

Ma'lumki, bu tenglamalarning aksariyati javoblar to'plamiga ega bo'lib, ular har doim juft raqamlar bilan ifodalanadi. Bu juftlik x va y qiymatlari. Quyidagi shakldagi tenglama ildizlarining mumkin bo'lgan variantlarini ko'rib chiqing:

Shubhasiz, (4, 6) juftlik bu tenglamaning ildizlari bo'lishi mumkin:

Yoki 1/5 va 1/3 kasrlar:

5(1/5) - 3(1/3) = 2

Ikkala holatda ham to'g'ri tenglik olinadi, ya'ni ikkala juft ildiz ham taqdim etilgan tenglamaning yechimi sifatida qabul qilinadi. Ammo shu bilan birga, bir juft kasr, ikkinchisi esa butun sonlar bilan ifodalanadi. Butun sonlarda qiymatlari bo'lgan ikkita o'zgaruvchili tenglamalarning ildizlari butun sonlar deb ataladi.
Ko'pincha matematikada bunday tenglamalarning butun yechimini talab qiladigan muammolar mavjud. Boshqa tomondan, ba'zi o'zgarishlar, masalan:

bir butunga ega emas raqamli yechimlar umuman. Chunki x va y ning har qanday butun son qiymatlari uchun siz butun son olasiz umumiy ifoda hech qanday tarzda kasrga teng bo'lolmaydigan chap tomon (2x + 3y) - ya'ni tenglikni saqlash tamoyili buziladi.
Tenglamaning mumkin bo'lgan echimlarini ko'rib chiqing:

Keling, uni tenglik belgisi va bir xil o'zgarishlar orqali o'tkazishdan foydalanib, qaramlik shakliga aylantiramiz:

Shaklning tengligi saqlanib qolganligi aniq:

Bu erda n har qanday natural son bo'lib, u butun qiymat bo'lishi mumkin. Ya'ni, 7x - y \u003d -1 tenglamasi butun sonli echimlar to'plamiga ega. Keling, har qanday butun sonlarni x sifatida tekshiramiz:

x = -3; y = -26

Biz allaqachon ikkita o'zgaruvchiga ega har qanday chiziqli tenglamani aniqlash uchun umumiy mavhum formulani bilamiz:

Bu erda x va y o'zgaruvchilar, a va b o'zgaruvchilar koeffitsientlari, c esa erkin atama. X va y bilan chiziqli ifodalarga o'xshash har qanday tenglamani ekvivalent transformatsiyalar orqali shunday mavhum ko'rinishga keltirish mumkin. Batafsil o'rganish umumiy formula butun sonli yechimlar mavjudligi nuqtai nazaridan ba'zi naqshlarni aniqlashni osonlashtiradi. Shunday qilib, agar shaklning ba'zi tenglamalari berilgan bo'lsa:

Erkin atama kasr bo'lsa, tenglamaning ildizlari integral sonli ifodalar bo'la olmaydi. Ikki butun sonning yig'indisi yoki ayirmasi, elementar algebra qonuniga ko'ra, kasr ifodasiga teng bo'lishi mumkin emas.

Raqamning kattaligi tufayli mumkin bo'lgan echimlar, ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamalarning ildizlari ba'zan bir juft individual sonlar emas, balki ikkita alohida formulalar juftligi shaklini oladi - x va y uchun. Masalan, tenglamani yechamiz:

Buning uchun biz bir qator o'zgarishlarni amalga oshirishimiz kerak. Keling, 20x monomialni bir xil 18x + 2x yig'indisiga ajratamiz:

20x = 18x + 2x

18x + 2x + 3y = 10

Biz bir nechta sonli koeffitsientlarga ega bo'lgan monomiyalarni guruhlaymiz. Shuni ta'kidlash kerakki, x o'zgaruvchisini yig'indiga bo'lish kerak, shunda x imkon qadar katta koeffitsient va y o'zgaruvchisining son koeffitsientiga ko'paytiriladi. Bizning misolimizda y-da uchlik borligi sababli, biz x ni maksimal ruxsat etilgan koeffitsientga, uchga ko'paytiramiz. Guruhlashtirgandan so'ng, biz umumiy ko'p omilni chiqaramiz:

18x + 2x + 3y = 10

18x + 3y + 2x = 10

3(6x + y) + 2x = 10

Qavs ichidagi ifoda (6x + y) qandaydir c o'zgaruvchisiga teng bo'lsin, keyin:

3(6x + y) + 2x = 10

Biz c o'zgaruvchining qiymatini x uchun koeffitsientni qanday bo'lsak, xuddi shu printsipga muvofiq ajratamiz. Bunday holda, biz ma'lum bir raqamni tanlashimiz kerak, bu ikkiga ko'paytiriladi (qiymat 2x), lekin uchtadan ko'p emas. Bu shunday bo'lishi aniq:

2s + s + 2x = 10

Biz bir xil o'zgarishlar qilamiz:

2s + s + 2x = 10

2(c + x) + c = 10

Qavslar tarkibini n deb belgilaymiz, keyin:

2(c + x) + c = 10

Olingan tenglikni quyidagi bilan almashtiramiz:

3(10 - 2n) + 2x = 10

Va x o'zgaruvchisi uchun hosil bo'lgan tenglamani yechamiz:

3(10 - 2n) + 2x = 10

30 - 6n + 2x = 10

2x \u003d 10 + 6n - 30

Quyidagilarni yozish o'rinli:

6x + y \u003d n - x

Y ni hisoblash uchun biz bilgan formulani x o'rniga qo'yamiz:

6x + y \u003d n - x

6(- 10 + 3n) + y = n - (- 10 + 3n)

60 + 18n + y = n + 10 - 3n

y \u003d n + 10 - 3n + 60 - 18n

20x + 3y = 10 tenglamaning ildizlari shaklning ikkita ifodasidir:

Bu erda n har qanday butun son - 0, 1, 2, va hokazo. Shunday qilib, mumkin bo'lgan butun yechimlarning butun xilma-xilligini tavsiflashning eng oson yo'li x va y ni tezda hisoblash uchun ba'zi formulalarni hisoblashdir. Ushbu formulalardagi har qanday n ifodalarini almashtirib, kerakli raqamlar juftligini osongina olishingiz mumkin.