Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar bilan bog'liq ko'plab masalalarda parametrlari bilan normal qonunga bo'ysunuvchi tasodifiy o'zgaruvchining dan gacha bo'lgan intervalga tushish ehtimolini aniqlash kerak. Ushbu ehtimollikni hisoblash uchun biz umumiy formuladan foydalanamiz

miqdorning taqsimot funksiyasi qayerda.

Parametrli normal qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi topilsin. Qiymatning taqsimlanish zichligi:

. (6.3.2)

Bu yerdan biz taqsimlash funksiyasini topamiz

. (6.3.3)

O'zgaruvchining o'zgarishini integralda (6.3.3) qilaylik.

va uni shaklga keltiring:

(6.3.4)

Integral (6.3.4) bilan ifodalanmaydi elementar funktsiyalar, lekin uni ifodaning aniq integralini ifodalovchi yoki (ehtimollik integrali deb ataladigan) maxsus funksiya orqali hisoblash mumkin, buning uchun jadvallar tuziladi. Bunday funktsiyalarning ko'p turlari mavjud, masalan:

;

va hokazo. Ushbu funktsiyalardan qaysi birini ishlatish ta'mga bog'liq. Biz shunday funksiya sifatida tanlaymiz

. (6.3.5)

Bu funksiya parametrlari bilan normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlash funksiyasidan boshqa narsa emasligini ko'rish oson.

Funksiyani normal taqsimot funksiyasi deb atashga rozilik bildiramiz. Ilovada (1-jadval) funksiya qiymatlari jadvallari keltirilgan.

Miqdorning taqsimot funksiyasini (6.3.3) parametrlar bilan va normal taqsimot funksiyasi bilan ifodalaymiz. Shubhasiz,

. (6.3.6)

Endi dan gacha bo'lgan segmentdagi tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimolini topamiz. Formula bo'yicha (6.3.1)

Shunday qilib, biz har qanday parametrlar bilan normal qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining 0,1 parametrlari bilan eng oddiy normal qonunga mos keladigan standart taqsimot funktsiyasi nuqtai nazaridan uchastkaga tushishi ehtimolini ifodaladik. E'tibor bering, (6.3.7) formuladagi funktsiya argumentlari juda oddiy ma'noga ega: bo'limning o'ng uchidan dispersiya markaziga qadar standart og'ishlarda ifodalangan masofa mavjud; - kesmaning chap uchi uchun bir xil masofa va agar uchi dispersiya markazining o'ng tomonida joylashgan bo'lsa, bu masofa ijobiy, chap tomonda bo'lsa, salbiy hisoblanadi.

Har qanday tarqatish funktsiyasi singari, funktsiya quyidagi xususiyatlarga ega:

3. - kamaymaydigan funksiya.

Bundan tashqari, kelib chiqishi haqidagi parametrlar bilan normal taqsimotning simmetriyasidan kelib chiqadi

Ushbu xususiyatdan foydalanib, funktsiya jadvallarini faqat argumentning ijobiy qiymatlari bilan cheklash mumkin edi, ammo keraksiz operatsiyani oldini olish uchun (birdan ayirish) ilovaning 1-jadvalida qiymatlar berilgan. ham ijobiy, ham salbiy dalillar.

Amalda odatda tarqalgan tasodifiy miqdorning dispersiya markaziga nisbatan simmetrik bo'lgan maydonga tushishi ehtimolligini hisoblash muammosiga tez-tez duch keladi. Bunday uzunlik kesimini ko'rib chiqing (6.3.1-rasm). Keling, (6.3.7) formuladan foydalanib, ushbu saytga kirish ehtimolini hisoblaylik:

Funksiyaning (6.3.8) xossasini hisobga olgan holda va (6.3.9) formulaning chap tomonini ixchamroq shaklda berib, normal qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy o‘zgaruvchining a ga tushishi ehtimolligi formulasini olamiz. tarqalish markaziga nisbatan simmetrik kesma:

. (6.3.10)

Keling, quyidagi masalani hal qilaylik. Tarqalish markazidan uzunlikning ketma-ket segmentlarini ajratamiz (6.3.2-rasm) va ularning har biriga tasodifiy o'zgaruvchining tushishi ehtimolini hisoblaymiz. Oddiy qonunning egri chizig'i simmetrik bo'lgani uchun, bunday segmentlarni faqat bir yo'nalishda kechiktirish kifoya.

(6.3.7) formula bo'yicha biz quyidagilarni topamiz:

(6.3.11)

Ushbu ma'lumotlardan ko'rinib turibdiki, quyidagi segmentlarning har biriga (beshinchi, oltinchi va boshqalar) 0,001 aniqlik bilan urish ehtimoli nolga teng.

Segmentlarni 0,01 ga (1% gacha) urish ehtimolini yaxlitlash orqali biz eslab qolish oson bo'lgan uchta raqamni olamiz:

0,34; 0,14; 0,02.

Ushbu uchta qiymatning yig'indisi 0,5 ga teng. Bu shuni anglatadiki, normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi uchun barcha dispersiyalar (foizning ulushigacha) bo'limga to'g'ri keladi.

Bu tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini va matematik kutilishini bilib, uning amalda mumkin bo'lgan qiymatlari diapazonini taxminan ko'rsatishga imkon beradi. Tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari oralig'ini baholashning bunday usuli ma'lum matematik statistika uch sigma qoidasi deb ataladi. Uch sigma qoidasi tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini aniqlashning taxminiy usulini ham nazarda tutadi: ular o'rtacha qiymatdan maksimal mumkin bo'lgan og'ishlarni oladi va uni uchga bo'ladi. Albatta, bu qo'pol usulni aniqlashning boshqa, aniqroq usullari bo'lmasa tavsiya etilishi mumkin.

Misol 1. Oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi, ma'lum masofani o'lchashda xatolikdir. O'lchashda 1,2 (m) ga ortiqcha baholash yo'nalishi bo'yicha tizimli xatolikka yo'l qo'yiladi; o'lchov xatosining standart og'ishi 0,8 (m). O'lchangan qiymatning haqiqiy qiymatdan chetlanishi mutlaq qiymatda 1,6 (m) dan oshmasligi ehtimolini toping.

Yechim. O'lchov xatosi va parametrlari bilan normal qonunga bo'ysunadigan tasodifiy o'zgaruvchidir. Bu miqdorning dan gacha bo'lgan intervalga to'g'ri kelishi ehtimolini topishimiz kerak. (6.3.7) formula bo'yicha bizda:

Funktsiya jadvallaridan (ilova, 1-jadval) foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:

; ,

2-misol. Oldingi misoldagi kabi ehtimolni toping, lekin tizimli xato bo'lmasligi sharti bilan.

Yechim. (6.3.10) formula bo'yicha, deb faraz qilsak, biz quyidagilarni topamiz:

.

Misol 3. Kengligi 20 m bo'lgan chiziqqa (magistral yo'lga) o'xshash nishonda otishma avtomobil yo'liga perpendikulyar yo'nalishda amalga oshiriladi. Magistral yo'lning markaziy chizig'i bo'ylab nishonga olinadi. Otish yo'nalishidagi standart og'ish m ga teng.Otish yo'nalishida tizimli xatolik mavjud: pastki o'q 3 m.Bir o'q bilan avtomagistralga tegish ehtimolini toping.

Tasodifiy o'zgaruvchi har bir test natijasida tasodifiy sabablarga ko'ra oldindan noma'lum qiymatni qabul qiladigan o'zgaruvchi deyiladi. Tasodifiy o'zgaruvchilar katta lotin harflari bilan belgilanadi: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Turiga ko'ra tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lishi mumkin. diskret va davomiy.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi- bu shunday tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, uning qiymatlari sanaladigan, ya'ni chekli yoki sanab bo'lmaydigan bo'lishi mumkin. Hisoblash tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini sanab o'tish mumkinligini anglatadi.

1-misol . Diskret tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar keltiramiz:

a) $n$ zarbalar bilan nishonga urishlar soni, bu erda mumkin bo'lgan qiymatlar $0,\ 1,\\nuqtalar,\n$.

b) tanga otish paytida tushgan gerblar soni, bu erda mumkin bo'lgan qiymatlar $0,\1,\\nuqtalar,\n$.

c) bortga kelgan kemalar soni (hisoblanadigan qiymatlar to'plami).

d) birjaga kelgan qo'ng'iroqlar soni (hisoblanadigan qiymatlar to'plami).

1. Diskret tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti qonuni.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi $X$ $x_1,\dots,\ x_n$ qiymatlarini $p\left(x_1\o'ng),\\dots,\ p\left(x_n\o'ng)$ ehtimoli bilan qabul qilishi mumkin. Ushbu qiymatlar va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi muvofiqlik deyiladi diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni. Qoidaga ko'ra, ushbu yozishmalar jadval yordamida belgilanadi, uning birinchi qatorida $x_1,\nuqta,\x_n$ qiymatlari ko'rsatilgan, ikkinchi qatorda esa ushbu qiymatlarga mos keladigan ehtimolliklar $. p_1,\nuqtalar,\p_n$.

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \nuqtalar & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(massiv)$

2-misol . Tasodifiy o'zgaruvchi $X$ zar o'yilganda tashlangan ochkolar soni bo'lsin. Bunday tasodifiy $X$ $1,\2,\3,\4,\5,\6$ qiymatlarini olishi mumkin. Ushbu qiymatlarning barchasining ehtimoli $1/6$ ga teng. Keyin $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi uchun ehtimollik taqsimoti qonuni:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(massiv)$

Izoh. $1,\ 2,\ \nuqta,\ 6$ hodisalari $X$ diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunida hodisalarning toʻliq guruhini tashkil qilganligi sababli, ehtimollar yigʻindisi bittaga teng boʻlishi kerak, yaʼni $\sum( p_i)=1$.

2. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi.

Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning "markaziy" qiymatini belgilaydi. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun matematik kutish $x_1,\dots,\ x_n$ qiymatlari va ushbu qiymatlarga mos keladigan $p_1,\dots,\ p_n$ ehtimolliklarining mahsuloti yig'indisi sifatida hisoblanadi, ya'ni: $ M \ chap (X \ o'ng) = \ summa ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) $. Ingliz adabiyotida yana bir $E\left(X\right)$ belgisi qoʻllaniladi.

Xususiyatlari matematik kutish $M\chap(X\oʻng)$:

1. $M\left(X\right)$ eng kichik va orasida eng yuqori qiymatlar tasodifiy o'zgaruvchi $X$.
2. Doimiyning matematik kutilishi doimiyning o'ziga teng, ya'ni. $ M \ chap (C \ o'ng) = C $.
3. Doimiy omilni kutish belgisidan chiqarish mumkin: $M \ chap (CX \ o'ng) = CM \ chap (X \ o'ng) $.
4. Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga teng: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari ko'paytmasiga teng: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

3-misol . $2$ misolidan $X$ tasodifiy oʻzgaruvchining matematik kutilmasini topamiz.

$$M\chap(X\o'ng)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\(6) ustida)+2\cdot ((1)\(6) ustida )+3\cdot ((1)\(6) ustida)+4\cdot ((1)\(6) ustida)+5\cdot ((1)\(6) ustida)+6\cdot ((1) )\ortiqcha (6))=3,5.$$

Biz $M\left(X\right)$ $X$ tasodifiy oʻzgaruvchining eng kichik ($1$) va eng katta ($6$) qiymatlari orasida ekanligini koʻrishimiz mumkin.

4-misol . Ma'lumki, $X$ tasodifiy miqdorning matematik kutilishi $M\left(X\right)=2$ ga teng. $3X+5$ tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.

Yuqoridagi xususiyatlardan foydalanib, biz $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ ni olamiz. cdot 2 +5=11$.

5-misol . Ma'lumki, $X$ tasodifiy miqdorning matematik kutilishi $M\left(X\right)=4$ ga teng. $2X-9$ tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.

Yuqoridagi xususiyatlardan foydalanib, biz $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ ni olamiz. cdot 4 -9=-1$.

3. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi.

Teng matematik taxminlarga ega tasodifiy o'zgaruvchilarning mumkin bo'lgan qiymatlari ularning o'rtacha qiymatlari atrofida turlicha tarqalishi mumkin. Masalan, ikkitada talabalar guruhlari GPA ehtimollik nazariyasi bo'yicha imtihon uchun 4 ga teng bo'ldi, lekin bir guruhda hamma yaxshi talabalar, boshqa guruhda esa faqat uchta va a'lochi talabalar bo'lib chiqdi. Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi atrofida tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining tarqalishini ko'rsatadigan bunday raqamli xarakteristikaga ehtiyoj bor. Bu xususiyat dispersiyadir.

Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi$X$ bu:

$$D\chap(X\o'ng)=\sum^n_(i=1)(p_i(\chap(x_i-M\chap(X\o'ng)\o'ng))^2).\ $$

Ingliz adabiyotida $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ yozuvidan foydalaniladi. Ko'pincha $D\left(X\right)$ dispersiyasi $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) formulasi bilan hisoblanadi. chap (X \o'ng)\o'ng))^2$.

Dispersiya xususiyatlari$D\chap(X\o'ng)$:

1. Dispersiya har doim noldan katta yoki teng, ya'ni. $D\chap(X\o'ng)\ge 0$.
2. Doimiydan dispersiya nolga teng, ya'ni. $D\chap(C\oʻng)=0$.
3. Doimiy omil dispersiya belgisidan chiqarilishi mumkin, agar u kvadrat bo'lsa, ya'ni. $D \ chap (CX \ o'ng) = C ^ 2D \ chap (X \ o'ng) $.
4. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining dispersiyasi ularning dispersiyalari yig'indisiga teng, ya'ni. $D \ chap (X + Y \ o'ng) = D \ chap (X \ o'ng) + D \ chap (Y \ o'ng) $.
5. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar farqining dispersiyasi ularning dispersiyalarining yig'indisiga teng, ya'ni. $D\chap(X-Y\o'ng)=D\chap(X\o'ng)+D\chap(Y\o'ng)$.

6-misol . $2$ misolidan $X$ tasodifiy oʻzgaruvchining dispersiyasini hisoblaylik.

$$D\chap(X\o'ng)=\sum^n_(i=1)(p_i(\chap(x_i-M\chap(X\o'ng)\o'ng))^2)=((1)\ortiq (6))\cdot (\left(1-3,5\o'ng))^2+((1)\(6) ustida)\cdot (\left(2-3,5\o'ng))^2+ \nuqtalar +((1)\(6) ustidan)\cdot (\chap(6-3,5\o'ng))^2=((35)\(12))\taxminan 2,92.$$

7-misol . Ma'lumki, $X$ tasodifiy miqdorning dispersiyasi $D\left(X\right)=2$ ga teng. $4X+1$ tasodifiy oʻzgaruvchining dispersiyasini toping.

Yuqoridagi xususiyatlardan foydalanib, biz $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= ni topamiz. 16D\ chap(X\o'ng)=16\cdot 2=32$.

8-misol . Ma'lumki, $X$ dispersiyasi $D\left(X\right)=3$ ga teng. $3-2X$ tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.

Yuqoridagi xususiyatlardan foydalanib, biz $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= ni topamiz. 4D\ chap(X\o'ng)=4\cdot 3=12$.

4. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish funksiyasi.

Diskret tasodifiy miqdorni taqsimot qatori ko‘rinishida ifodalash usuli yagona emas, eng muhimi, u universal emas, chunki taqsimot qatori yordamida uzluksiz tasodifiy miqdorni aniqlab bo‘lmaydi. Tasodifiy o'zgaruvchini ifodalashning yana bir usuli bor - taqsimlash funktsiyasi.

tarqatish funktsiyasi$X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $F\left(x\right)$ funksiyasi boʻlib, $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $x$, yaʼni $F\left(x\) dan kichik qiymatni qabul qilish ehtimolini aniqlaydi. o'ng)$ )=P\chap(X< x\right)$

Tarqatish funksiyasi xossalari:

1. $0\le F\left(x\o'ng)\le 1$.
2. $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi $\left(\alpha;\ \beta \right)$ oralig'idan qiymatlarni olish ehtimoli ushbu oraliq oxiridagi taqsimlash funktsiyasi qiymatlari orasidagi farqga teng. : $P\left(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - kamaymaydigan.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

9-misol . $2$ misolidan $X$ diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni uchun $F\left(x\right)$ taqsimot funksiyasini topamiz.

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(massiv)$

Agar $x\le 1$ bo'lsa, u holda $F\left(x\o'ng)=0$ (shu jumladan $x=1$ $F\left(1\o'ng)=P\left(X) bo'lsa< 1\right)=0$).

Agar $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Agar $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Agar $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Agar $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Agar 5 dollar bo'lsa< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Agar $x > 6$ bo'lsa, $F\left(x\o'ng)=P\left(X=1\o'ng)+P\left(X=2\o'ng)+P\chap(X=3\o'ng) + P\chap(X=4\o'ng)+P\chap(X=5\o'ng)+P\chap(X=6\o'ng)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Shunday qilib, $F(x)=\left\(\begin(matritsa)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, \ 1 da< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3 da< x\le 4,\\
2/3, \ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ at \ 4< x\le 5,\\
1, \ uchun \ x > 6.
\end(matritsa)\o'ng.$

Ehtimollar taqsimotining normal qonuni

Mubolag'asiz, uni falsafiy qonun deyish mumkin. Atrofimizdagi dunyoning turli ob'ektlari va jarayonlarini kuzatar ekanmiz, biz ko'pincha biror narsa etarli emasligi va norma mavjudligiga duch kelamiz:


Bu erda asosiy ko'rinish zichlik funktsiyalari normal ehtimollik taqsimoti va sizni ushbu eng qiziqarli darsga xush kelibsiz.

Qanday misollar keltirish mumkin? Ular shunchaki qorong'u. Bu, masalan, odamlarning bo'yi, vazni (va nafaqat), ularning jismoniy kuch, aqliy qobiliyat va hokazo. "Ommaviy" bor (u yoki bu tarzda) va ikkala yo'nalishda ham og'ishlar mavjud.

Bu jonsiz narsalarning turli xil xususiyatlari (bir xil o'lchamlar, vazn). Bu jarayonlarning tasodifiy davomiyligi, masalan, yuz metrlik poyga vaqti yoki qatronning amberga aylanishi. Fizikadan havo molekulalari esga tushdi: ular orasida sekin ham bor, tez ham bor, lekin ularning aksariyati "standart" tezlikda harakat qiladi.

Keyinchalik, biz markazdan yana bitta standart og'ish bilan chetga chiqamiz va balandlikni hisoblaymiz:

Chizmadagi nuqtalarni belgilash (yashil rang) va biz buning etarli ekanligini ko'ramiz.

Yakuniy bosqichda biz diqqat bilan grafik chizamiz va ayniqsa ehtiyotkorlik bilan aks ettiring qavariqlik / botiqlik! Xo'sh, siz abscissa o'qi ekanligini uzoq vaqt oldin tushungansiz gorizontal asimptota, va buning uchun "ko'tarilish" mutlaqo mumkin emas!

Yechimning elektron dizayni bilan grafikni Excelda qurish oson va men o'zim uchun kutilmaganda ushbu mavzu bo'yicha qisqa video yozib oldim. Lekin birinchi navbatda, normal egri chiziqning shakli va qiymatlariga qarab qanday o'zgarishi haqida gapiraylik.

"a" ni oshirish yoki kamaytirishda (o'zgarmagan "sigma" bilan) grafik o'z shaklini saqlab qoladi va o'ngga / chapga harakat qiladi mos ravishda. Shunday qilib, masalan, funktsiya shaklni olganida va bizning grafik 3 birlik chapga - aynan kelib chiqishiga "harakat qiladi":


Nol matematik kutilgan normal taqsimlangan miqdor mutlaqo tabiiy nom oldi - markazlashtirilgan; uning zichlik funktsiyasi – hatto, va grafik y o'qiga nisbatan simmetrikdir.

"Sigma" o'zgargan taqdirda (doimiy "a" bilan), grafik "o'z joyida qoladi", lekin shakli o'zgaradi. Kattalashganda, chodirlarini cho'zgan sakkizoyoq kabi pastroq va cho'zilib ketadi. Va aksincha, grafikni kamaytirganda torroq va balandroq bo'ladi- "ajablangan sakkizoyoq" chiqadi. Ha, soat pasayish Ikki marta "sigma": oldingi diagramma ikki marta torayadi va cho'ziladi:

Hamma narsa to'liq mos keladi grafiklarni geometrik o'zgartirishlar.

Birlik qiymati "sigma" bilan normal taqsimot deyiladi normallashtirilgan, va agar u ham bo'lsa markazlashtirilgan(bizning ishimiz), keyin bunday taqsimot deyiladi standart. U allaqachon duch kelgan oddiyroq zichlik funktsiyasiga ega mahalliy Laplas teoremasi: . Standart tarqatish amalda keng qo'llanilishini topdi va yaqin orada biz uning maqsadini tushunamiz.

Endi filmni tomosha qilaylik:

Ha, juda to'g'ri - qandaydir tarzda biz soyada qoldik ehtimollikni taqsimlash funksiyasi. Biz uni eslaymiz ta'rifi:
- tasodifiy o'zgaruvchining barcha haqiqiy qiymatlarni "ortiqcha" cheksizgacha "ishlaydigan" o'zgaruvchidan KIROQ qiymat olishi ehtimoli.

Integral ichida odatda boshqa harf ishlatiladi, shunda yozuv bilan "qoplamalar" bo'lmaydi, chunki bu erda har bir qiymat tayinlanadi. noto'g'ri integral , bu ba'zilariga teng raqam oraliqdan.

Deyarli barcha qiymatlarni aniq hisoblash mumkin emas, lekin biz ko'rganimizdek, zamonaviy hisoblash quvvati bilan bu qiyin emas. Shunday qilib, funktsiya uchun standart taqsimotning tegishli Excel funktsiyasi odatda bitta argumentni o'z ichiga oladi:

=NORMSDIST(z)

Bir, ikkita - va siz tugatdingiz:

Chizma barchaning amalga oshirilishini aniq ko'rsatadi taqsimot funksiyasi xossalari, va bu erda texnik nuanslardan siz e'tibor berishingiz kerak gorizontal asimptotlar va burilish nuqtasi.

Endi mavzuning asosiy vazifalaridan birini eslaylik, ya'ni oddiy tasodifiy o'zgaruvchini qanday topish mumkinligini bilib olaylik. intervaldan qiymat oladi. Geometrik jihatdan bu ehtimollik tengdir hudud mos keladigan bo'limda normal egri va x o'qi o'rtasida:

lekin har safar taxminiy qiymatni maydalang asossizdir va shuning uchun undan foydalanish yanada oqilona "oson" formula:
.

! ham eslaydi , nima

Bu erda siz Excel-dan yana foydalanishingiz mumkin, ammo bir nechta muhim "lekin" mavjud: birinchidan, u har doim ham qo'lda emas, ikkinchidan, "tayyor" qiymatlar, ehtimol, o'qituvchidan savollar tug'diradi. Nega?

Men bu haqda oldin bir necha bor gapirganman: bir vaqtlar (va unchalik uzoq emas) oddiy kalkulyator hashamatli edi va ko'rib chiqilayotgan muammoni hal qilishning "qo'lda" usuli hali ham o'quv adabiyotlarida saqlanib qolgan. Uning mohiyati shundan iborat standartlashtirish"alfa" va "beta" qiymatlari, ya'ni standart taqsimotga yechimni kamaytiradi:

Eslatma : funksiyani umumiy holatdan olish osonchiziqli yordamida almashtirishlar. Keyin va:

va almashtirishdan faqat formulaga amal qiladi ixtiyoriy taqsimot qiymatlaridan standart taqsimotning tegishli qiymatlariga o'tish.

Bu nima uchun kerak? Gap shundaki, qadriyatlar ajdodlarimiz tomonidan sinchkovlik bilan hisoblab chiqilgan va terver bo'yicha ko'plab kitoblarda mavjud bo'lgan maxsus jadvalda jamlangan. Ammo biz allaqachon ko'rib chiqqan qadriyatlar jadvali yanada keng tarqalgan Laplas integral teoremasi:

Agar bizda Laplas funktsiyasi qiymatlari jadvali mavjud bo'lsa , keyin biz uni hal qilamiz:

Kasr qiymatlari an'anaviy ravishda standart jadvalda bo'lgani kabi 4 kasrgacha yaxlitlanadi. Va nazorat qilish uchun 5-modda tartib.

Shuni eslataman , va chalkashmaslik uchun har doim nazorat ostida bo'ling, sizning ko'zingiz oldida NIMA funktsiyasi jadvali.

Javob foiz sifatida berilishi kerak, shuning uchun hisoblangan ehtimollik 100 ga ko'paytirilishi va natijani mazmunli izoh bilan ta'minlashi kerak:

- 5 dan 70 m gacha parvoz bilan, qobiqlarning taxminan 15,87% tushadi.

Biz o'zimiz mashq qilamiz:

3-misol

Zavodda ishlab chiqarilgan podshipniklarning diametri 1,5 sm kutish va 0,04 sm standart og'ish bilan normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir.Tasodifiy olingan podshipnikning o'lchami 1,4 dan 1,6 sm gacha bo'lishi ehtimolini toping.

Namuna yechimida va quyida men Laplas funktsiyasidan eng keng tarqalgan variant sifatida foydalanaman. Aytgancha, e'tibor bering, so'zlarga ko'ra, bu erda siz intervalning uchlarini ko'rib chiqishga kiritishingiz mumkin. Biroq, bu tanqidiy emas.

Va biz allaqachon ushbu misolda uchrashdik alohida holat– oraliq matematik kutishga nisbatan simmetrik bo‘lganda. Bunday holatda, u ko'rinishda yozilishi mumkin va Laplas funktsiyasining g'alatiligidan foydalanib, ishchi formulani soddalashtirish mumkin:

Delta parametri chaqiriladi og'ish matematik kutishdan, va qo'shaloq tengsizlik yordamida "qadoqlash" mumkin modul:

tasodifiy o'zgaruvchining qiymatining matematik kutilganidan kamroq og'ish ehtimoli.

Xo'sh, bir qatorga mos keladigan yechim :)
tasodifiy olingan rulmanning diametri 1,5 sm dan 0,1 sm dan ko'p bo'lmagan farq qilish ehtimoli.

Ushbu vazifaning natijasi birlikka yaqin bo'lib chiqdi, lekin men yanada ishonchlilikni xohlayman - aniqrog'i, diametri bo'lgan chegaralarni bilish. deyarli hamma podshipniklar. Buning uchun biron bir mezon bormi? Mavjud! Degan savolga javob beriladi

uch sigma qoidasi

Uning mohiyati shundan iborat amaliy jihatdan ishonchli normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining oraliqdan qiymat olishi haqiqatdir .

Haqiqatan ham, kutilganidan og'ish ehtimoli kamroq:
yoki 99,73%

"Rulmanlar" bo'yicha - bu diametri 1,38 dan 1,62 sm gacha bo'lgan 9973 dona va faqat 27 ta "substandart" nusxa.

DA amaliy tadqiqotlar Uch sigma qoidasi odatda teskari yo'nalishda qo'llaniladi: agar statistik jihatdan deyarli barcha qiymatlar ekanligini aniqladi o'rganilayotgan tasodifiy o'zgaruvchi 6 ta standart og'ish oralig'iga to'g'ri kelsa, bu qiymat oddiy qonunga muvofiq taqsimlangan deb ishonish uchun yaxshi sabablar mavjud. Tekshirish nazariya yordamida amalga oshiriladi statistik farazlar.

Biz Sovet Ittifoqining og'ir vazifalarini hal qilishda davom etamiz:

4-misol

Tarozi xatosining tasodifiy qiymati nol matematik kutish va 3 gramm standart og'ish bilan normal qonunga muvofiq taqsimlanadi. Keyingi tortishning mutlaq qiymatda 5 grammdan oshmagan xatolik bilan o'tkazilishi ehtimolini toping.

Yechim juda oddiy. Shartiga ko'ra, va biz darhol keyingi tortishda buni ta'kidlaymiz (biror narsa yoki kimdir) 9 gramm aniqlik bilan deyarli 100% natijaga erishamiz. Ammo muammoda formula bo'yicha torroq og'ish bor :

- keyingi tortishning 5 grammdan ortiq bo'lmagan xato bilan o'tkazilishi ehtimoli.

Javob:

Yechilgan muammo bir qarashda o'xshash narsadan tubdan farq qiladi. 3-misol haqida dars yagona taqsimlash. Xatolik yuz berdi yaxlitlash o'lchov natijalari, bu erda biz o'lchovlarning tasodifiy xatosi haqida gapiramiz. Bunday xatolar qurilmaning o'zi texnik xususiyatlari tufayli yuzaga keladi. (ruxsat etilgan xatolar diapazoni, qoida tariqasida, uning pasportida ko'rsatilgan), shuningdek, eksperimentatorning aybi bilan - masalan, "ko'z bilan" biz bir xil tarozi o'qidan ko'rsatkichlarni olamiz.

Boshqalar orasida, shuningdek, deb atalmish bor tizimli o'lchash xatolar. Bu allaqachon tasodifiy qurilmaning noto'g'ri o'rnatilishi yoki ishlashi tufayli yuzaga keladigan xatolar. Shunday qilib, masalan, sozlanmagan pol tarozilari doimiy ravishda kilogrammni "qo'shishi" mumkin va sotuvchi muntazam ravishda xaridorlarni kam vaznga ega. Yoki tizimli ravishda emas, chunki siz almashtirishingiz mumkin. Biroq, har qanday holatda, bunday xato tasodifiy bo'lmaydi va uning kutilishi noldan farq qiladi.

…Men zudlik bilan savdo bo'yicha trening kursini ishlab chiqyapman =)

Keling, muammoni o'zimiz hal qilaylik:

5-misol

Rolik diametri tasodifiy normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir, uning standart og'ishi mm. Matematik kutilmaga nisbatan simmetrik oraliq uzunligini toping, unda boncuk diametrining uzunligi ehtimollik bilan tushadi.

5-band* dizayn tartibi yordamlashmoq. E'tibor bering, bu erda matematik kutish ma'lum emas, lekin bu muammoni hal qilishga hech qanday xalaqit bermaydi.

Va imtihon vazifasi, men materialni birlashtirishni qat'iy tavsiya qilaman:

6-misol

Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi uning parametrlari (matematik kutish) va (standart og'ish) bilan beriladi. Majburiy:

a) ehtimollik zichligini yozing va uning grafigini sxematik tasvirlang;
b) intervaldan qiymat olish ehtimolini toping ;
c) modulning dan ko'p bo'lmagan chetga chiqish ehtimolini toping;
d) "uch sigma" qoidasini qo'llagan holda, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini toping.

Bunday muammolar hamma joyda taklif qilinadi va ko'p yillik amaliyot davomida men ulardan yuzlab va yuzlab muammolarni hal qilishga muvaffaq bo'ldim. Qo'lda chizish va qog'oz jadvallardan foydalanishni mashq qiling;)

Xo'sh, men murakkablikning ortishi misolini tahlil qilaman:

7-misol

Tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti zichligi shaklga ega . Topish , matematik kutilma , dispersiya , taqsimot funksiyasi , chizma zichligi va taqsimot funksiyalari , toping.

Yechim: birinchi navbatda, shart tasodifiy miqdorning tabiati haqida hech narsa aytmasligiga e'tibor bering. O'z-o'zidan, ko'rgazma ishtirokchisining mavjudligi hech narsani anglatmaydi: bu, masalan, bo'lishi mumkin. ko'rgazmali yoki umuman o'zboshimchalik bilan uzluksiz taqsimlash. Va shuning uchun taqsimotning "normalligi" hali ham isbotlanishi kerak:

Funktsiyadan beri da belgilanadi har qanday haqiqiy qiymat va uni shaklga qisqartirish mumkin , keyin tasodifiy miqdor normal qonun bo'yicha taqsimlanadi.

taqdim etamiz. Buning uchun to'liq kvadratni tanlang va tashkil qilish uch qavatli qism:


Ko'rsatkichni asl shakliga qaytargan holda tekshirishni amalga oshirganingizga ishonch hosil qiling:

biz ko'rmoqchi bo'lgan narsamiz.

Shunday qilib:
- yoqilgan kuch qoidasi"chimchilash". Va bu erda biz darhol aniq narsalarni yozishimiz mumkin raqamli xususiyatlar:

Endi parametr qiymatini topamiz. Oddiy taqsimot ko'paytmasi va ko'rinishiga ega bo'lganligi sababli, u holda:
, undan biz ifodalaymiz va funktsiyamizga almashtiramiz:
, shundan so'ng biz yana bir bor ko'zimiz bilan yozuvni ko'rib chiqamiz va natijada olingan funktsiya shaklga ega ekanligiga ishonch hosil qilamiz .

Keling, zichlikni chizamiz:

va taqsimot funksiyasining grafigi :

Agar qo'lda Excel va hatto oddiy kalkulyator bo'lmasa, oxirgi diagramma qo'lda osongina tuziladi! Ushbu nuqtada taqsimlash funktsiyasi qiymatni oladi va mana

1-bob. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi

§ 1. Tasodifiy miqdor tushunchasi.

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni.

Ta'rif : Tasodifiy - bu sinov natijasida oldindan noma'lum va tasodifiy sabablarga bog'liq bo'lgan qiymatlarining mumkin bo'lgan to'plamidan faqat bitta qiymatni oladigan miqdor.

Tasodifiy o'zgaruvchilarning ikki turi mavjud: diskret va uzluksiz.

Ta'rif : X tasodifiy o'zgaruvchisi deyiladi diskret (uzluksiz) agar uning qiymatlari to'plami chekli yoki cheksiz bo'lsa, lekin hisoblanishi mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarini qayta raqamlash mumkin.

Tasodifiy o'zgaruvchini uning taqsimot qonunidan foydalanib tasvirlashingiz mumkin.

Ta'rif : Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi muvofiqlik deyiladi.

Diskret tasodifiy X ning taqsimot qonuni jadval ko'rinishida berilishi mumkin, uning birinchi qatorida tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari o'sish tartibida, ikkinchi qatorda esa ularning mos keladigan ehtimolliklari ko'rsatilgan. qadriyatlar, ya'ni.

bu yerda r1+ r2+…+ rn=1

Bunday jadval diskret tasodifiy miqdorni taqsimlash qatori deb ataladi.

Agar tasodifiy miqdorning mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami cheksiz bo'lsa, u holda r1+ r2+…+ rn+… qator yaqinlashadi va uning yig'indisi 1 ga teng bo'ladi.

Diskret tasodifiy X ning taqsimot qonunini grafik tarzda tasvirlash mumkin, buning uchun koordinatalar (xi;pi), i=1,2,...n bo'lgan nuqtalarni ketma-ket bog'laydigan to'rtburchaklar koordinatalar tizimida ko'pburchak chiziq quriladi. Olingan chiziq chaqiriladi tarqatish poligoni (1-rasm).

Organik kimyo "href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organik kimyo mos ravishda 0,7 va 0,8 ga teng.X tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini tuzing - talaba topshirgan imtihonlar soni. o'tadi.

Yechim. Imtihon natijasida ko'rib chiqilayotgan X tasodifiy miqdor quyidagi qiymatlardan birini qabul qilishi mumkin: x1=0, x2=1, x3=2.

Bu qiymatlarning ehtimoli topilsin Hodisalarni belgilang:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" eni="259" balandligi="66 src=">

Shunday qilib, X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni jadval bilan berilgan:

Nazorat: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Tarqatish funksiyasi

Tasodifiy o'zgaruvchining to'liq tavsifi taqsimot funktsiyasi orqali ham beriladi.

Ta'rif: Diskret tasodifiy miqdor X ning taqsimot funksiyasi Har bir x qiymati uchun X tasodifiy o'zgaruvchisi x dan kichik qiymat olish ehtimolini aniqlaydigan F(x) funksiyasi chaqiriladi:

F(x)=P(X<х)

Geometrik jihatdan taqsimot funktsiyasi X tasodifiy o'zgaruvchining son chizig'ida x nuqtadan chap tomonda joylashgan nuqta bilan tasvirlangan qiymatni olish ehtimoli sifatida talqin qilinadi.

1)0≤F(x)≤1;

2) F(x) (-∞;+∞) da kamaymaydigan funksiya;

3) F(x) - x= xi (i=1,2,…n) nuqtalarda chapdan uzluksiz va qolgan barcha nuqtalarda uzluksiz;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Diskret tasodifiy X ning taqsimot qonuni jadval shaklida berilgan bo'lsa:

u holda F(x) taqsimot funksiyasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

x≤ x1 uchun 0,

x1 da p1< х≤ x2,

F(x)= x2 da p1 + p2< х≤ х3

x> xn uchun 1.

Uning grafigi 2-rasmda ko'rsatilgan:

§ 3. Diskret tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari.

Matematik kutish muhim raqamli xususiyatlardan biridir.

Ta'rif: Matematik kutish M(X) Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X - bu uning barcha qiymatlari va ularga mos keladigan ehtimolliklarning mahsuloti yig'indisi:

M(X) = ∑ xiri= x1r1 + x2r2+…+ xnrn

Matematik kutish tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatining xarakteristikasi bo'lib xizmat qiladi.

Matematik kutishning xususiyatlari:

1)M(C)=C, bu yerda C doimiy qiymat;

2) M (C X) \u003d C M (X),

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), bunda X, Y mustaqil tasodifiy miqdorlar;

5)M(X±C)=M(X)±C, bunda C doimiy qiymat;

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarini uning o'rtacha qiymati atrofida tarqalish darajasini tavsiflash uchun dispersiya qo'llaniladi.

Ta'rif: dispersiya D ( X ) X tasodifiy o'zgaruvchisi - tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan kvadrat og'ishning matematik taxmini:

Dispersiya xususiyatlari:

1)D(C)=0, bu yerda C doimiy qiymat;

2)D(X)>0, bu yerda X tasodifiy miqdor;

3)D(C X)=C2 D(X), bu yerda C doimiy qiymat;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), bunda X, Y mustaqil tasodifiy miqdorlar;

Farqni hisoblash uchun odatda formuladan foydalanish qulay:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

bu yerda M(X)=∑ xi2ri= x12r1 + x22r2+…+ xn2rn

D (X) dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining o'lchamiga ega, bu har doim ham qulay emas. Shuning uchun √D(X) qiymati tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining tarqalishining ko'rsatkichi sifatida ham ishlatiladi.

Ta'rif: Standart og'ish s(X) X tasodifiy o'zgaruvchisi dispersiyaning kvadrat ildizi deb ataladi:

Vazifa raqami 2. Diskret tasodifiy miqdor X taqsimot qonuni bilan berilgan:

P2 ni, F(x) taqsimot funksiyasini toping va uning grafigini, shuningdek M(X), D(X), s(X) ni chizing.

Yechim: X tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimoli yig'indisi 1 ga teng bo'lgani uchun, u holda

R2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

F(x)=P(X) taqsimot funksiyasini toping

Geometrik jihatdan bu tenglikni quyidagicha izohlash mumkin: F(x) tasodifiy o‘zgaruvchining haqiqiy o‘qda x ning chap tomonidagi nuqta bilan tasvirlangan qiymatni olish ehtimoli.

Agar x≤-1 bo'lsa, F(x)=0, chunki (-∞;x) da bu tasodifiy miqdorning yagona qiymati yo'q;

Agar -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Agar 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) ikkita qiymat x1=-1 va x2=0 tushadi;

Agar 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Agar 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Agar x>3 bo'lsa, F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, chunki to'rtta qiymat x1=-1, x2=0,x3=1,x4=2 (-∞;x) va x5=3 oralig'iga to'g'ri keladi.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> x≤-1 uchun 0,

-1 da 0,1<х≤0,

0 da 0,2<х≤1,

F(x)= 1 da 0,5<х≤2,

2 da 0,7<х≤3,

x>3 uchun 1

F(x) funksiyani grafik tarzda tasvirlaymiz (3-rasm):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Binomiy taqsimot qonuni

diskret tasodifiy miqdor, Puasson qonuni.

Ta'rif: binomial diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni X deb ataladi - n ta mustaqil takroriy sinovda A hodisasining sodir bo'lish soni, ularning har birida A hodisasi p ehtimollik bilan sodir bo'lishi mumkin yoki q = 1-p ehtimollik bilan sodir bo'lmaydi. U holda R(X=m) - n ta sinovda A hodisasining aynan m marta yuz berish ehtimoli Bernulli formulasi bilan hisoblanadi:

P(X=m)=Smnpmqn-m

Ikkilik qonun bo'yicha taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og'ishi mos ravishda quyidagi formulalar bo'yicha topiladi:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Hodisa A ehtimoli - har bir testda "beshta olish" bir xil va 1/6 ga teng, ya'ni P(A)=p=1/6, keyin P(A)=1-p=q=5/6, bu erda

- "tomchilar besh emas."

X tasodifiy o'zgaruvchisi quyidagi qiymatlarni qabul qilishi mumkin: 0;1;2;3.

Bernulli formulasidan foydalanib, X ning har bir mumkin bo'lgan qiymatlarining ehtimolini topamiz:

P(X=0)=P3(0)=C03p0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

P(X=1)=P3(1)=C13p1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

P(X=2)=P3(2)=C23p2q=3(1/6)2(5/6)1=15/216;

P(X=3)=P3(3)=C33p3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Bu. X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni quyidagi ko'rinishga ega:

Nazorat: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

X tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari topilsin:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Vazifa raqami 4. Avtomatik mashina qismlarini shtamplash. Ishlab chiqarilgan qismning nuqsonli bo'lish ehtimoli 0,002 ga teng. 1000 ta tanlangan qismlar orasida quyidagilar bo'lish ehtimolini toping:

a) 5 ta nuqsonli;

b) kamida bittasi nuqsonli.

Yechim: n=1000 soni katta, nuqsonli qismni ishlab chiqarish ehtimoli p=0,002 kichik va ko'rib chiqilayotgan hodisalar (qism nuqsonli bo'ladi) mustaqildir, shuning uchun Puasson formulasi sodir bo'ladi:

Rn(m)= e- λ lm

l=np=1000 0,002=2 ni topamiz.

a) 5 ta nuqsonli qism bo‘lish ehtimolini toping (m=5):

P1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Kamida bitta nuqsonli qism bo'lish ehtimolini toping.

A hodisasi - "tanlangan qismlardan kamida bittasi nuqsonli" hodisaning aksi - "barcha tanlangan qismlar nuqsonli emas". Shuning uchun, P (A) \u003d 1-P (). Demak, kerakli ehtimollik teng: R(A)=1-R1000(0)=1- e-2 20 \u003d 1-e-2 \u003d 1-0,13534≈0,865.

Mustaqil ish uchun topshiriqlar.

1.1

1.2. Dispers tasodifiy X kattaligi taqsimot qonuni bilan berilgan:

p4, taqsimot funksiyasi F(X) ni toping va uning grafigini, shuningdek M(X), D(X), s(X) ni chizing.

1.3. Qutida 9 ta flomaster bor, ulardan 2 tasi endi yozmaydi. Tasodifiy ravishda 3 ta flomaster oling. Tasodifiy o'zgaruvchi X - olinganlar orasida yozuvchi flomasterlar soni. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini tuzing.

1.4. Kutubxona javoniga 6 ta darslik tasodifiy joylashtirilgan bo‘lib, ulardan 4 tasi bog‘langan. Kutubxonachi tasodifiy 4 ta darslikni oladi. Tasodifiy o'zgaruvchi X - olinganlar orasidagi bog'langan darsliklar soni. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini tuzing.

1.5. Chiptada ikkita vazifa bor. Birinchi masalani to'g'ri yechish ehtimoli 0,9 ga, ikkinchisi 0,7 ga teng. X tasodifiy o'zgaruvchisi - chiptadagi to'g'ri hal qilingan masalalar soni. Taqsimot qonunini tuzing, ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini hisoblang, shuningdek F (x) taqsimot funksiyasini toping va uning grafigini tuzing.

1.6. Uchta otuvchi nishonga o'q uzadi. Birinchi otuvchi uchun bitta o'q bilan nishonga tegish ehtimoli 0,5, ikkinchisi uchun - 0,8, uchinchisi uchun - 0,7. X tasodifiy o'zgaruvchisi, agar otishmachilar har biri bittadan o'q uzsa, nishondagi zarbalar soni. M(X),D(X) taqsimot qonunini toping.

1.7. Basketbolchi to'pni savatga tashlaydi, har bir otishda urish ehtimoli 0,8. Har bir zarba uchun u 10 ball oladi va o'tkazib yuborilgan taqdirda unga ball berilmaydi. Basketbolchining 3 ta uloqtirish uchun olgan ballar sonini X tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini tuzing. M(X),D(X) va shuningdek, uning 10 balldan ortiq olish ehtimolini toping.

1.8. Kartochkalarda harflar yozilgan, faqat 5 ta unli va 3 ta undosh. 3 ta karta tasodifiy tanlanadi va har safar olingan karta qaytariladi. Tasodifiy o'zgaruvchi X - olinganlar orasidagi unlilar soni. Taqsimot qonunini tuzing va M(X),D(X),s(X) toping.

1.9. O'rtacha 60% shartnoma bo'yicha sug'urta kompaniyasi sug'urta hodisasi yuz berganligi munosabati bilan sug'urta summalarini to'laydi. X tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini tuzing - to'rtta tasodifiy tanlangan shartnomalar orasida sug'urta summasi to'langan shartnomalar soni. Bu miqdorning son xarakteristikalarini toping.

1.10. Radiostansiya ma'lum vaqt oralig'ida ikki tomonlama aloqa o'rnatilgunga qadar qo'ng'iroq belgilarini (to'rttadan ko'p bo'lmagan) yuboradi. Qo'ng'iroq belgisiga javob olish ehtimoli 0,3 ga teng. Tasodifiy o'zgaruvchan X - yuborilgan qo'ng'iroqlar soni. Tarqatish qonunini tuzing va F(x) ni toping.

1.11. 3 ta kalit mavjud, ulardan faqat bittasi qulfga mos keladi. Agar sinab ko'rilgan kalit keyingi urinishlarda ishtirok etmasa, qulfni ochishga urinishlar soni X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun taqsimlash qonunini tuzing. M(X),D(X) ni toping.

1.12. Ishonchliligi uchun uchta qurilmaning ketma-ket mustaqil sinovlari o'tkaziladi. Har bir keyingi qurilma, agar avvalgisi ishonchli bo'lsa, sinovdan o'tkaziladi. Har bir asbob uchun testdan o'tish ehtimoli 0,9 ga teng. Tekshirilgan qurilmalarning X-soni tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonunini tuzing.

1.13 .X diskret tasodifiy o'zgaruvchining uchta mumkin bo'lgan qiymati mavjud: x1=1, x2, x3 va x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Elektron qurilma blokida 100 ta bir xil element mavjud. T vaqtida har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli 0,002 ga teng. Elementlar mustaqil ishlaydi. T vaqtida ikkitadan ortiq bo‘lmagan elementlarning ishdan chiqishi ehtimolini toping.

1.15. Darslik 50 000 nusxada nashr etilgan. Darslikning noto'g'ri bog'langanligi ehtimoli 0,0002 ga teng. Aylanmada quyidagilar bo'lishi ehtimolini toping:

a) to'rtta nuqsonli kitob;

b) ikkitadan kam nuqsonli kitoblar.

1 .16. ATS ga har daqiqada keladigan qo'ng'iroqlar soni l=1,5 parametr bilan Puasson qonuni bo'yicha taqsimlanadi. Bir daqiqada shunday bo'lish ehtimolini toping:

a) ikkita qo'ng'iroq;

b) kamida bitta qo'ng'iroq.

1.17.

Agar Z=3X+Y bo‘lsa, M(Z),D(Z) ni toping.

1.18. Ikki mustaqil tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunlari berilgan:

Agar Z=X+2Y bo‘lsa, M(Z),D(Z) ni toping.

Javoblar:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0,4; x≤-2 uchun 0,

-2 da 0,3<х≤0,

F(x)= 0 da 0,5<х≤2,

2 da 0,9<х≤5,

x>5 uchun 1

1.2. p4=0,1; x≤-1 uchun 0,

-1 da 0,3<х≤0,

0 da 0,4<х≤1,

F(x)= 1 da 0,6<х≤2,

2 da 0,7<х≤3,

x>3 uchun 1

M(X)=1; D(X)=2,6; s(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> x≤0 uchun 0,

0 da 0,03<х≤1,

F(x)= 1 da 0,37<х≤2,

x>2 uchun 1

M(X)=2; D(X)=0,62

M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; s(X) ≈

M(X)=2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22e-0,2≈0,999

1.15. a) 0,0189; b) 0,00049

1.16. a) 0,0702; b) 0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

2-bob Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi

Ta'rif: Davomiy barcha mumkin bo'lgan qiymatlari sonli o'qning chekli yoki cheksiz oralig'ini to'liq to'ldiradigan qiymatni nomlang.

Shubhasiz, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksizdir.

Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi yordamida aniqlash mumkin.

Ta'rif: F tarqatish funktsiyasi doimiy X tasodifiy o'zgaruvchisi F(x) funksiyasi bo'lib, u har bir qiymat uchun xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">Rni aniqlaydi.

Tarqatish funksiyasi ba'zan kümülatif taqsimot funktsiyasi deb ataladi.

Tarqatish funksiyasi xususiyatlari:

1)1≤F(x)≤1

2) Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun taqsimot funktsiyasi har qanday nuqtada uzluksiz va hamma joyda differentsial bo'ladi, ehtimol alohida nuqtalardan tashqari.

3) (a; b), [a; b), [a; b] oraliqlaridan birida X tasodifiy o'zgaruvchiga urilish ehtimoli F (x) funktsiyasi qiymatlari orasidagi farqga teng. a va b nuqtalarida, ya'ni. P(a<Х

4) X uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining bitta qiymat olishi ehtimoli 0 ga teng.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Tarqatish funksiyasi yordamida uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchini ko'rsatish yagona emas. Keling, ehtimollik taqsimot zichligi (tarqatish zichligi) tushunchasini kiritamiz.

Ta'rif : Ehtimollik zichligi f ( x ) uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X uning taqsimot funktsiyasining hosilasidir, ya'ni:

Ehtimollarni taqsimlash zichligi ba'zan differentsial taqsimot funktsiyasi yoki differentsial taqsimot qonuni deb ataladi.

f(x) ehtimollik taqsimotining zichligi grafigi deyiladi ehtimollik taqsimoti egri chizig'i .

Ehtimollik zichligi xususiyatlari:

1) f(x) ≥0, qachon xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" balandligi ="62 src="> x≤2 uchun 0,

f(x)= c(x-2) 2 da<х≤6,

x>6 uchun 0.

Toping: a) c ning qiymati; b) F(x) taqsimot funksiyasi va uning grafigini tuzing; c) R(3≤x<5)

Yechim:

+ ∞

a) Normallashtirish shartidan c qiymatini toping: ∫ f(x)dx=1.

Shuning uchun -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

agar 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> x≤2 uchun 0,

F (x) \u003d (x-2) 2/16 da 2<х≤6,

x>6 uchun 1.

F(x) funksiyaning grafigi 3-rasmda keltirilgan

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> x≤0 uchun 0,

F (x) \u003d (3 arctg x) / p 0 da<х≤√3,

x>√3 uchun 1.

f(x) differentsial taqsimot funksiyasini toping.

Yechim: Chunki f (x) \u003d F '(x), keyin

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Dispers tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ilgari ko'rib chiqilgan matematik kutish va dispersiyaning barcha xossalari uzluksizlar uchun ham amal qiladi.

Vazifa raqami 3. X tasodifiy miqdor f(x) differensial funksiyasi bilan berilgan:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 +x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar.

2.1. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimot funktsiyasi bilan berilgan:

x≤0 uchun 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ p/6 uchun 0,

F(x)= - p/6 da cos 3x<х≤ π/3,

x> p/3 uchun 1.

f(x) va shuningdek, differentsial taqsimot funksiyasini toping

R(2p /9<Х< π /2).

2.3.

x≤2 uchun 0,

f(x)= 2 da x bilan<х≤4,

x>4 uchun 0.

2.4. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimot zichligi bilan berilgan:

x≤0 uchun 0,

f(x)= s √x 0 da<х≤1,

x>1 uchun 0.

Toping: a) c soni; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x uchun,

0 da x.

Toping: a) F(x) va uning grafigini tuzing; b) M(X),D(X), s(X); c) to'rtta mustaqil sinovda X qiymati oraliq (1; 4) ga tegishli qiymatdan roppa-rosa 2 marta ko'p qabul qilish ehtimoli.

2.6. Uzluksiz tasodifiy X ning ehtimollik taqsimot zichligi berilgan:

f (x) \u003d 2 (x-2) x uchun,

0 da x.

Toping: a) F(x) va uning grafigini tuzing; b) M(X),D(X), s(X); c) uchta mustaqil sinovda X qiymatining intervalga tegishli qiymatdan to'liq 2 marta olish ehtimoli.

2.7. f(x) funksiyasi quyidagicha berilgan:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. f(x) funksiyasi quyidagicha berilgan:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- p /to'rt; p /4].

Toping: a) c konstantasining qiymati, bunda funksiya ba'zi X tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi bo'ladi; b) taqsimot funksiyasi F(x).

2.9. (3;7) oraliqda konsentrlangan X tasodifiy o'zgaruvchisi F(x)= taqsimot funksiyasi bilan berilgan. Buning ehtimolini toping

X tasodifiy o'zgaruvchisi quyidagi qiymatni oladi: a) 5 dan kam, b) 7 dan kam emas.

2.10. Tasodifiy o'zgaruvchi X, intervalda to'plangan (-1; 4),

F(x)= taqsimot funksiyasi bilan berilgan. Buning ehtimolini toping

X tasodifiy o'zgaruvchisi quyidagi qiymatni oladi: a) 2 dan kam, b) 4 dan kam emas.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Toping: a) c soni; b) M(X); v) ehtimollik P(X > M(X)).

2.12. Tasodifiy o'zgaruvchi differensial taqsimot funktsiyasi bilan beriladi:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Toping: a) M(X); b) ehtimollik R(X≤M(X))

2.13. Vaqt taqsimoti ehtimollik zichligi bilan berilgan:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0 uchun.

f(x) haqiqatan ham ehtimollik zichligi taqsimoti ekanligini isbotlang.

2.14. Uzluksiz tasodifiy X ning ehtimollik taqsimot zichligi berilgan:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src="> (4-rasm) (5-rasm)

2.16. X tasodifiy miqdor (0; 4) oraliqda "to'g'ri burchakli uchburchak" qonuniga muvofiq taqsimlanadi (5-rasm). Butun real o‘q bo‘yicha f(x) ehtimollik zichligining analitik ifodasini toping.

Javoblar

x≤0 uchun 0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ p/6 uchun 0,

p/6 da F(x)= 3sin 3x<х≤ π/3,

x> p/3 uchun 0. Uzluksiz X tasodifiy o'zgaruvchisi ma'lum bir intervalda (a;b) yagona taqsimot qonuniga ega, agar X ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari tegishli bo'lsa, f(x) ehtimollik taqsimot zichligi bu oraliqda doimiy bo'lsa va undan tashqarida 0 ga teng bo'lsa. , ya'ni.

x≤a uchun 0,

a uchun f(x)=<х

x≥b uchun 0.

f(x) funksiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. bitta

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a uchun 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, s(X)=.

Vazifa raqami 1. X tasodifiy o'zgaruvchisi segmentda bir xil taqsimlangan. Toping:

a) f(x) ehtimollikning taqsimot zichligi va uning grafigini tuzing;

b) F(x) taqsimot funksiyasi va uning grafigini tuzing;

c) M(X),D(X), s(X).

Yechim: Yuqorida ko'rib chiqilgan formulalardan foydalanib, a=3, b=7 bo'lgan holda, biz quyidagilarni topamiz:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤x≤7 da,

x>7 uchun 0

Uning grafigini tuzamiz (3-rasm):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> x≤3 uchun 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" eni="203" balandligi="119 src=">4-rasm.

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> x uchun 0<0,

f(x)= x≥0 da le-lx.

Eksponensial qonun bo'yicha taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funktsiyasi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, s(X)=

Shunday qilib, ko'rsatkich taqsimotining matematik kutilishi va standart og'ishi bir-biriga teng.

X ning (a;b) oralig'iga tushish ehtimoli quyidagi formula bilan hisoblanadi:

R(a<Х

Vazifa raqami 2. Qurilmaning oʻrtacha ish vaqti 100 soat. Qurilmaning ish vaqti eksponensial taqsimot qonuniga ega deb hisoblab, toping:

a) ehtimollikni taqsimlash zichligi;

b) taqsimlash funksiyasi;

c) qurilmaning nosozliksiz ishlash vaqti 120 soatdan oshishi ehtimoli.

Yechim: Shart bo'yicha, matematik taqsimot M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> x uchun 0<0,

a) x≥0 uchun f(x)= 0,01e -0,01x.

b) x uchun F(x)= 0<0,

x≥0 da 1-e -0,01x.

c) taqsimlash funksiyasi yordamida kerakli ehtimollikni topamiz:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1,2)=e-1,2≈0,3.

§ 3.Oddiy taqsimot qonuni

Ta'rif: Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ga ega normal taqsimot qonuni (Gauss qonuni), agar uning tarqalish zichligi quyidagi shaklga ega bo'lsa:

,

bu yerda m=M(X), s2=D(X), s>0.

Oddiy taqsimot egri chizig'i deyiladi normal yoki gauss egri chizig'i (7-rasm)

Oddiy egri chiziq x=m to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo'lib, x=a da maksimalga teng.

Oddiy qonun bo‘yicha taqsimlangan X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagi formula bo‘yicha Laplas funksiyasi F (x) orqali ifodalanadi:

,

Laplas funksiyasi qayerda.

Izoh: F(x) funksiya toq (F(-x)=-F(x)), bundan tashqari, agar x>5 bo'lsa, F(x) ≈1/2 ni ko'rib chiqishimiz mumkin.

F(x) taqsimot funksiyasining grafigi rasmda ko'rsatilgan. sakkiz

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Og'ishning mutlaq qiymati musbat d sonidan kichik bo'lish ehtimoli quyidagi formula bilan hisoblanadi:

Xususan, m=0 uchun tenglik to'g'ri:

"Uch Sigma qoidasi"

Agar X tasodifiy o‘zgaruvchisi m va s parametrli normal taqsimot qonuniga ega bo‘lsa, u holda uning qiymati (a-3s; a+3s) oralig‘ida yotishi amalda aniq bo‘ladi, chunki

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) formuladan foydalanamiz:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

F(x) funksiya qiymatlari jadvaliga asosan F(1,5)=0,4332, F(1)=0,3413 ni topamiz.

Shunday qilib, kerakli ehtimollik:

P(28

Mustaqil ish uchun topshiriqlar

3.1. X tasodifiy miqdor (-3;5) oraliqda bir xil taqsimlangan. Toping:

b) taqsimot funksiyasi F(x);

v) sonli xarakteristikalar;

d) ehtimollik P(4<х<6).

3.2. X tasodifiy o'zgaruvchisi segmentda bir xil taqsimlangan. Toping:

a) taqsimlanish zichligi f(x);

b) taqsimot funksiyasi F(x);

v) sonli xarakteristikalar;

d) ehtimollik R(3≤x≤6).

3.3. Magistral yo‘lda avtomatik svetofor o‘rnatilgan bo‘lib, unda transport vositalari uchun yashil chiroq 2 daqiqa, sariq 3 soniya va qizil chiroq 30 soniya yonadi va hokazo.Mashina avtomagistral bo‘ylab tasodifiy vaqtda o‘tadi. Mashinaning svetofordan to'xtamasdan o'tish ehtimolini toping.

3.4. Metro poyezdlari muntazam ravishda 2 daqiqalik interval bilan harakatlanadi. Yo'lovchi platformaga tasodifiy vaqtda kiradi. Yo‘lovchining poyezdni 50 soniyadan ko‘proq kutish ehtimoli qanday? X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini toping - poezdning kutish vaqti.

3.5. Taqsimot funksiyasi bilan berilgan eksponensial taqsimotning dispersiyasi va standart og‘ishini toping:

X da F(x)= 0<0,

x≥0 uchun 1-e-8x.

3.6. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ehtimollik taqsimot zichligi bilan berilgan:

x da f(x)=0<0,

x≥0 da 0,7 e-0,7x.

a) Ko'rib chiqilayotgan tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini ayting.

b) F(X) taqsimot funksiyasi va X tasodifiy miqdorning son xarakteristikalarini toping.

3.7. X tasodifiy o'zgaruvchisi ehtimollik taqsimoti zichligi bilan berilgan eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi:

x da f(x)=0<0,

x≥0 da 0,4 e-0,4 x.

Sinov natijasida X ning (2,5; 5) oraliqdan qiymat olishi ehtimolligini toping.

3.8. Uzluksiz tasodifiy miqdor X taqsimot funktsiyasi tomonidan berilgan eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi:

X da F(x)= 0<0,

x≥0 da 1-0,6x

Sinov natijasida X ning intervaldan qiymat olishi ehtimolini toping.

3.9. Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va standart og‘ishi mos ravishda 8 va 2 ga teng.Topish:

a) taqsimlanish zichligi f(x);

b) test natijasida X ning (10;14) oraliqdan qiymat olishi ehtimoli.

3.10. X tasodifiy o'zgaruvchisi odatda o'rtacha 3,5 va dispersiya 0,04 bilan taqsimlanadi. Toping:

a) taqsimlanish zichligi f(x);

b) test natijasida X ning intervaldan qiymat olishi ehtimoli.

3.11. X tasodifiy o'zgaruvchisi odatda M(X)=0 va D(X)=1 bilan taqsimlanadi. Hodisalarning qaysi biri: |X|≤0,6 yoki |X|≥0,6 ehtimoli yuqori?

3.12. X tasodifiy o'zgaruvchisi odatda M(X)=0 va D(X)=1 bilan taqsimlanadi.Bir testda qaysi intervaldan (-0,5;-0,1) yoki (1;2) kattaroq qiymatga ega bo'ladi. ehtimollik?

3.13. Har bir aksiyaning joriy narxini M(X)=10den bilan normal taqsimot yordamida modellashtirish mumkin. birliklar va s (X)=0,3 den. birliklar Toping:

a) aksiyaning joriy narxi 9,8 den dan bo'lishi ehtimoli. birliklar 10,4 den gacha. birliklar;

b) "uch sigma qoidasi" dan foydalanib, aksiyaning joriy narxi joylashgan chegaralarni toping.

3.14. Moddaning tortilishi tizimli xatolarsiz amalga oshiriladi. Tasodifiy tortish xatolari s=5r ildiz va o'rtacha kvadrat nisbati bilan normal qonunga bo'ysunadi. To'rtta mustaqil tajribada uchta tortishda xatolik 3r mutlaq qiymatda bo'lmasligi ehtimolini toping.

3.15. X tasodifiy miqdor normal taqsimlanadi M(X)=12,6. (11,4;13,8) oraliqda tasodifiy miqdorning tushish ehtimoli 0,6826 ga teng. Standart og'ish s ni toping.

3.16. X tasodifiy o'zgaruvchisi M(X)=12 va D(X)=36 bilan normal taqsimlanadi.Test natijasida 0,9973 ehtimollik bilan X tasodifiy miqdor tushadigan intervalni toping.

3.17. Avtomatik mashina tomonidan ishlab chiqarilgan qism, agar uning nazorat qilinadigan parametrining nominal qiymatdan X og'ishi modulda 2 o'lchov birligidan oshsa, nuqsonli hisoblanadi. X tasodifiy miqdor M(X)=0 va s(X)=0,7 bilan normal taqsimlangan deb faraz qilinadi. Mashina nuqsonli qismlarning necha foizini beradi?

3.18. Tafsilot parametri X odatda nominal qiymatga teng 2 matematik kutish va 0,014 standart og'ish bilan taqsimlanadi. X ning nominal modulidan chetlanishi nominal qiymatning 1% dan oshmasligi ehtimolini toping.

Javoblar

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) x≤-3 uchun 0,

F(x)=chap">

3.10. a)f(x)=,

b) R(3,1≤X≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) R(9,8≤X≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. s=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

1.2.4. Tasodifiy o'zgaruvchilar va ularning taqsimlanishi

Tasodifiy miqdorlarning taqsimoti va taqsimot funksiyalari. Raqamli tasodifiy miqdorni taqsimlash - tasodifiy o'zgaruvchining berilgan qiymatni olish yoki ma'lum bir intervalga tegishli bo'lish ehtimolini yagona aniqlaydigan funksiya.

Birinchisi, agar tasodifiy o'zgaruvchi cheklangan miqdordagi qiymatlarni qabul qilsa. Keyin taqsimot funksiya tomonidan beriladi P(X = x), har bir mumkin bo'lgan qiymatni berish X tasodifiy o'zgaruvchi X ehtimolligi X = x.

Ikkinchisi, agar tasodifiy o'zgaruvchi cheksiz ko'p qiymatlarni qabul qilsa. Bu tasodifiy miqdor aniqlangan ehtimollik fazosi cheksiz miqdordagi elementar hodisalardan iborat bo'lgandagina mumkin bo'ladi. Keyin taqsimot ehtimollar to'plami bilan beriladi P(a < X barcha juft raqamlar uchun a, b shu kabi a . Tarqatish deb atalmish yordamida aniqlanishi mumkin. taqsimot funksiyasi F(x) = P(X hamma uchun aniq belgilovchi X tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli X dan kichik qiymatlarni oladi X. Bu aniq