Bölüm 6. Zaman Serileri Ekonometrisi

6.1. Durağan ve durağan olmayan zaman serilerinin modelleri, tanımlanması

Zaman serisini ele alalım X(t). Zaman serilerinin önce sayısal değerler almasına izin verin. Bu, örneğin yakındaki bir mağazadaki bir somun ekmeğin fiyatı veya en yakın döviz bürosundaki dolar-ruble döviz kuru olabilir. Genellikle, bir zaman serisinin davranışında iki ana eğilim tanımlanır - bir eğilim ve periyodik dalgalanmalar.

Bu durumda, eğilim, bir veya başka bir yumuşatma yöntemi (örneğin, üstel yumuşatma) veya özellikle en küçük kareler yöntemini kullanarak hesaplama ile ortaya çıkan doğrusal, ikinci dereceden veya başka bir türün zamana bağımlılığı olarak anlaşılır. . Başka bir deyişle, bir trend, bir zaman serisinin rastgelelikten arındırılmış ana eğilimidir.

Zaman serisi genellikle bir trend etrafında salınır ve trendden sapmalar genellikle doğrudur. Çoğu zaman bu, mevsimsel veya haftalık, aylık veya üç aylık (örneğin, bordro ve vergi ödeme planlarına göre) gibi doğal veya belirlenmiş bir sıklıktan kaynaklanır. Bazen periyodikliğin varlığı ve hatta daha çok nedenleri belirsizdir ve ekonometristin görevi gerçekten bir periyodiklik olup olmadığını bulmaktır.

Zaman serilerinin özelliklerini tahmin etmek için temel yöntemler, "Genel İstatistik Teorisi" derslerinde (örneğin, ders kitaplarına bakınız) genellikle yeterli ayrıntıda ele alınır, bu nedenle burada ayrıntılı olarak analiz etmeye gerek yoktur. (Ancak, periyot uzunluğunu ve periyodik bileşenin kendisini tahmin etmek için bazı modern yöntemler aşağıda tartışılacaktır.)

Zaman serisi özellikleri. Zaman serilerinin daha ayrıntılı bir çalışması için olasılıksal-istatistiksel modeller kullanılır. Aynı zamanda zaman serisi X(t) rastgele bir süreç olarak kabul edilir (ayrık zamanlı) temel özellikler matematiksel beklentidir X(t), yani

dağılım X(t), yani

ve otokorelasyon fonksiyonu Zaman serisi X(t)

şunlar. iki değişkenli fonksiyon, katsayısına eşit iki zaman serisi değeri arasındaki korelasyonlar X(t) ve X(ler).

Teorik ve uygulamalı araştırmalarda çok çeşitli zaman serisi modelleri göz önünde bulundurulur. Önce seçin sabit modeller. Herhangi bir sayıda zaman noktası için ortak dağıtım işlevlerine sahiptirler. k ve dolayısıyla yukarıda listelenen zaman serilerinin tüm özellikleri zamanla değişme. Özellikle, ortalama ve varyans sabitler, otokorelasyon işlevi yalnızca farka bağlıdır t-s. Durağan olmayan zaman serilerine denir. durağan olmayan.

Homoskedastik ve değişen varyanslı, bağımsız ve otokorelasyonlu artıkları olan lineer regresyon modelleri. Yukarıdan da anlaşılacağı gibi, ana şey, zaman serilerinin rastgele sapmalardan "temizlenmesi", yani. değerlendirme matematiksel beklenti. Bölüm 5'te tartışılan daha basit regresyon modellerinin aksine, daha karmaşık modeller doğal olarak ortaya çıkar. Örneğin, varyans zamana bağlı olabilir. Bu tür modellere heteroskedastik, zamana bağlı olmayan modellere ise homoskedastik denir. (Daha doğrusu, bu terimler sadece "zaman" değişkenine değil, aynı zamanda diğer değişkenlere de atıfta bulunabilir.)

Ayrıca, Bölüm 5'te hataların birbirinden bağımsız olduğu varsayılmıştır. Bu bölüm açısından, bu, otokorelasyon fonksiyonunun dejenere olması gerektiği anlamına gelir - argümanlar eşitse 1'e eşit, değilse 0'dır. Gerçek zamanlı seriler için durumun her zaman böyle olmadığı açıktır. Gözlenen süreçteki değişikliklerin doğal seyri, ardışık gözlemler arasındaki aralığa kıyasla yeterince hızlıysa, otokorelasyonun "solmasını" ve neredeyse bağımsız artıkların elde edilmesini bekleyebiliriz, aksi takdirde artıklar otokorelasyonlu olacaktır.

Model tanımlama. Model tanımlama genellikle yapılarını ortaya çıkarmak ve parametreleri tahmin etmek olarak anlaşılır. Yapı aynı zamanda sayısal olmasa da bir parametre olduğundan (bkz. Bölüm 8), ekonometrinin tipik görevlerinden biri olan parametre tahmini hakkında konuşuyoruz.

Tahmin problemi, homoskedastik bağımsız artıklara sahip doğrusal (parametreler açısından) modeller için en kolay şekilde çözülür. Zaman serilerindeki bağımlılıkların restorasyonu, doğrusal (parametrelere göre) regresyon modellerinin 5. Bölümünde tartışılan en küçük kareler ve en küçük modül yöntemleri temelinde gerçekleştirilebilir. Gerekli regresör kümesinin tahmin edilmesiyle ilgili sonuçlar, zaman serisi durumuna aktarılabilir; özellikle, bir trigonometrik polinom derecesinin tahmininin sınırlayıcı geometrik dağılımını elde etmek kolaydır.

Ancak bu kadar basit bir transfer daha genel bir duruma yapılamaz. Bu nedenle, örneğin, değişen varyanslı ve otokorelasyonlu artıklara sahip bir zaman serisi durumunda, yine en küçük kareler yönteminin genel yaklaşımını kullanabilirsiniz, ancak en küçük kareler yönteminin denklem sistemi ve doğal olarak çözümü farklı olacaktır. . Bölüm 5'te bahsedilen matris cebiri açısından formüller farklı olacaktır. Bu nedenle söz konusu yönteme " genelleştirilmiş en küçük kareler(OMNK)" (örneğin bakınız).

Yorum. Bölüm 5'te belirtildiği gibi, en küçük kareler yönteminin en basit modeli, özellikle zaman serileri için eşzamanlı ekonometrik denklem sistemleri alanında, çok uzak genellemelere izin verir. İlgili teori ve algoritmaları anlamak için profesyonel matris cebiri bilgisi gereklidir. Bu nedenle, ekonometrik denklem sistemleri ve doğrudan spektral teoriye çok fazla ilgi duyulan zaman serileri üzerine literatüre ilgi duyanları, yani. sinyali gürültüden ayırmak ve harmoniklere ayrıştırmak. Her bölümün arkasında olduğunu bir kez daha vurguluyoruz. bu kitap geniş bir bilimsel ve uygulamalı araştırma alanı var, buna çok çaba harcamaya değer. Ancak kitabın hacminin sınırlı olması nedeniyle sunumu kısa ve öz yapmak zorunda kaldık.

Öncesi

GİRİİŞ

Mevcut zaman serisi modelleri, çeşitli nitelikteki gerçek fenomenlerin dinamiklerini inceleme sürecinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Genellikle kargo ve yolcu akışlarının dinamikleri, emtia ve depo stokları, göç süreçleri, analiz çalışmalarında kullanılırlar. kimyasal süreçler, çeşitli doğa olaylarını modelleme. Analizde en aktif olarak zaman serisi modelleri kullanılır. finansal piyasalar, finansal göstergelerdeki değişiklikleri değerlendirirken, çeşitli mallar için fiyatları tahmin ederken, hisse senedi fiyatları, döviz kuru oranları vb.

Çok çeşitli gerçek sosyal ve doğal süreçler, genellikle, belirli zamanlarda sabitlenen tahmini gösterge y 1 , y 2 ,..., y t ,..., y T'nin bir dizi ardışık değeri ile temsil edilebilir. t=1,2,.. .T, yani (t, t+1) aralığı sabittir. t , t=1,2,... için belirtilen değer kümesine genellikle zaman serisi (zaman serisi) denir. Böyle bir dizi ayrık bir zaman sürecidir.

Zaman içinde y t değerlerindeki değişiklikler gerçek hayat genellikle herhangi bir nedenin, faktörlerin etkisi altında ortaya çıkar. Ancak bunların çeşitliliği, ölçümün karmaşıklığı, y değişkeni ile ilişkilerin varlığına ilişkin varsayımlardaki belirsizlik, y t , t=1,2, ... klasik tipte çok faktörlü ekonometrik model. Bu nedenle, genellikle, bu faktörlerin birleşik etkisinin, y t süreciyle ilgili olarak iç kalıpları oluşturduğu varsayılır.

Bu varsayım, gerçek zamanlı süreçleri tanımlamak için belirli bir zaman serisi modelleri sınıfından ekonometrik modelleri kullanmayı amaçlamaktadır.

DURAĞAN ZAMAN SERİSİ MODELLERİ

Durağan zaman serilerinin özellikleri ve durağanlık testleri

Tüm zaman serisi modelleri, y t gösterge seviyesinin mevcut değerinin geçmişine önemli ölçüde bağımlı olduğu varsayımına dayanan ortak bir özelliğe sahiptir. Başka bir deyişle, y t göstergesinin seviyesi, bu zaman serisinin düzenlilikleri temelinde y t-1 , y t-2 ,... değerleri tarafından üretilir.

Bu varsayım genel denklemle ifade edilir:

y t = f(y t-1 , y t-2 , …) + t (1.1)

burada t, t anındaki model hatasıdır.

Burada f fonksiyonu, dikkate alınan y t, t=1,2,... zaman serisinde var olan ilişkilerin doğasını yansıtır. (1.1) ifadesi serinin gerçek değerlerine. Bu yaklaşımın derecesi genellikle t, t=1,2,... serisinin tahminleri ve hata özellikleri ile tanımlanır.

Geniş bir süreç yelpazesi için f fonksiyonu doğrusal görünüm. Örneğin,

y t = bir 1 y t-1 + bir n y t-n + t .

Zaman serilerinin doğrusal modelleri, kural olarak, durağan süreçleri tanımlamak için kullanılırken, ikinci dereceden durağan süreçler kastedilmektedir. N'inci dereceden durağan bir süreç için, t=1,2,..., T aralığına dahil olan tüm zaman aralıklarında n ve altındaki tüm anlarının değerleri sabittir. Kesin olarak durağan süreçler, tüm siparişlerin anlarının sabit olmasıyla ayırt edilir. Yukarıdakilerden, herhangi iki zaman aralığı (T 1 , T 2) ve (T 3 , T 4) için t'de ikinci dereceden bir durağan süreç için aşağıdaki koşulların karşılanması gerekir:

matematiksel beklentilerin eşitliği;

Varyansların eşitliği;

Tek sıralı otokorelasyon katsayılarının eşitliği.

Matematiksel olarak, bu koşullar ilişkilerle ifade edilir:

nerede - matematiksel beklentilerin tahminleri;

D 1 (y), D 2 (y) - varyans tahminleri;

y t sürecinin i-inci mertebesinin otokorelasyon katsayılarının sırasıyla 1. ve 2. aralıklarla tahminleri;

(1, T) aralığında sürecin ortalama değeri (matematiksel beklenti tahmini);

D(y) - (1, T) aralığında sürecin dağılımının tahmini.

Durağan zaman serilerinin gerçek bir çalışmasında, (1.2)-(1.4) eşitlikleri istatistiksel anlamda ele alınır. Bu, eksik yazışmalarla bile, y t sürecinin matematiksel beklentisinin sabitliği hipotezinin, değerler ve belirli bir istatistiksel kriter karşılandığında kabul edilebileceğini iddia etmek için zemin verir.

y t, t=1,2,... zaman serisinin durağan süreçle tutarlı olduğunu ve (1.2)-(1.4) koşullarının karşılandığını doğrulamak için çeşitli testler kullanılır. Bunlardan birinin sonuçları, ileri sürülen hipotezin doğruluğunu veya yanlışlığını ortaya koymayı mümkün kılmıyorsa, aynı koşulu test etmek için birkaç test kullanmak gerekebilir.

Zaman serilerinin durağanlığına yönelik tüm testler üç ana gruba ayrılabilir: parametrik olmayan, yarı parametrik ve parametrik testler.

Parametrik olmayan testler, test edilen zaman serilerinin dağılım yasası, parametreleri hakkında herhangi bir bilgi geliştirmez. Onu oluşturan değerlerin dizisi arasındaki ilişkinin çalışmasına dayanırlar, örneğin diziler tarafından oluşturulan dizilerinin süresi ve (veya) değişimindeki kalıpların varlığını veya yokluğunu belirlemenize izin verir. ile nüfus birimlerinin aynı işaretler, bu birimler için işaret değişikliği vb.

Yarı parametrik testler, zaman serisi değerlerinin dağılımının doğası hakkında nispeten zayıf varsayımlar kullanır. Onlar yansıtır Genel Özellikler seri değerlerin artışlarının dağıtım fonksiyonları - simetri, niceliklerin yeri.

Bu grubun yöntemlerini kullanırken, dağıtım parametrelerinin tahminleri, sıra istatistiklerine göre tahmin edilir: medyan üzerinden ortalama, standart sapma - serinin seviyeleri aralığı boyunca, vb.

Parametrik testler, zaman serilerinin dağılım yasası ve parametreleri hakkında nispeten katı varsayımlar altında kullanılır. Bu testler, zaman serisi dağılımının ampirik (gözlenen) özelliklerinin hesaplanan teorik seviyelere yaklaşma derecesini değerlendirmeyi mümkün kılar.

Göz önünde bulundurulan serilerin özelliklerinin durağan bir sürece karşılık geldiği hipotezini kabul etmeyi veya reddetmeyi mümkün kılan bu yaklaşıklık derecesidir.

Giriş……………………………………………………….2

1. Zaman serisi analizinin ana görevleri…………….4

2. Zaman serisi analizi…………………………………….9

2.3 Durağan zaman serisi modelleri ve tanımlamaları…13

2.3.2. Hareketli ortalama sipariş modelleri q (MA(q)-modelleri)….17

Sonuç………………………………………………………21

Edebiyat……………………………………………………..23

giriiş

AT son yıllar ekonometrik literatürde, zaman göstergelerinin dinamikleri dizisinin çalışmasına çok dikkat edilir. Ekonomik analizin çeşitli önemli görevleri, incelenen ekonomik süreçleri karakterize eden ve zaman serileri şeklinde zaman içinde uygulanan istatistiksel verilerin kullanılmasını gerektirir. Aynı zamanda, aynı zaman serileri genellikle farklı asli sorunları çözmek için kullanılır.

Zaman serilerinin değerleri her zaman sadece herhangi bir faktörün etkisi altında oluşmaz. Belirli bir sürecin gelişiminin, genellikle kendi iç yasalarından kaynaklandığı ve deterministik bir süreçten sapmaların ölçüm hatalarından veya rastgele dalgalanmalardan kaynaklandığı görülür. Özellikle ilgi çekici olan, "geçiş" modunda olan süreçlerdir, yani. esasen "durağan" olan ancak incelenen zaman aralığı boyunca durağan olmayan bir zaman serisinin özelliklerini sergileyen ve durağan rejimden uzak başlangıç koşullarıyla açıklanan süreçler. Zaman serilerinin belirli bir dizi rastgele ve rastgele olmayan faktörün etkisi altında oluştuğu durumlarda, hem ortaya çıkan hem de faktör olan bireysel zaman serilerinin analizi büyük önem taşımaktadır. Bu, incelenen süreçler (vektör otoregresyonları, hata düzeltme modelleri, dağıtılmış gecikmeli dinamik modeller, vb.) hakkındaki bilgilere dayanarak oluşturulan modellerin doğru tanımlanması için gereklidir.

Zaman serilerini analiz ederken, yapılarının incelenmesine, tanımlanmasına ve/veya modellenmesine büyük önem verilir. Bu tür çalışmaların amacı, kural olarak, ilgili süreçlerin çalışmasını basitçe modellemekten daha geniştir. Oluşturulan model genellikle bir zaman serisini tahmin etmek veya tahmin etmek için kullanılır ve daha sonra tahminin kalitesi, birkaç alternatif model arasından seçim yaparken yararlı bir kriter olarak hizmet edebilir. Mevsimsel ayarlama ve yumuşatma gibi diğer uygulamalar için iyi seri modeller oluşturmak da gereklidir. Son olarak, oluşturulan modeller, zaman serilerinin girdi bilgisi olarak kabul edildiği büyük sistemlerin incelenmesinde uzun gözlem serilerinin istatistiksel modellemesi için kullanılabilir.

Ekonomik göstergelerin ölçümündeki hataların varlığı, gözlemlenen sistemlerde bulunan rastgele dalgalanmaların varlığı nedeniyle, olasılıksal-istatistiksel yaklaşım, zaman serilerinin çalışmasında yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu yaklaşım çerçevesinde, gözlemlenen zaman serileri, bazı rastgele süreçlerin gerçekleşmesi olarak anlaşılmaktadır. Aynı zamanda, zaman serisinin, onu bağımsız bir dizi dizisinden ayıran bir yapıya sahip olduğu zımnen varsayılır. rastgele değişkenler, bu nedenle gözlemler tamamen bağımsız sayısal değerler kümesi değildir. (Seri yapısının bazı unsurları, bazen, seri grafiğinin basit bir görsel analizi temelinde zaten tanımlanabilir. Bu, örneğin, trend ve döngüler gibi seri bileşenleri için geçerlidir.) Genellikle, yapının yapısının olduğu varsayılır. seriler, gözlem sayısına kıyasla az sayıda parametre içeren bir modelle tanımlanabilir, bu, modeli tahmin için kullanırken pratik olarak önemlidir. Bu tür modellerin örnekleri, otoregresyon modelleri, hareketli ortalama ve bunların kombinasyonlarıdır - modeller AR(p), MA(q), ARMA(p, q), ARIMA(p, k, q).

Uzun vadede ilişki modelleri kurarken, analiz edilen makroekonomik serilerin stokastik (deterministik olmayan) bir trende sahip olup olmadığı gerçeğini hesaba katmak gerekir. Başka bir deyişle, incelenen serilerin her birinin deterministik bir trend (veya basitçe durağan) - TS (trend durağan) serisine göre durağan olan seriler sınıfına mı yoksa seriler sınıfına mı ait olduğuna karar vermek gerekir. stokastik bir eğilime sahip olan (belki de deterministik bir eğilimle birlikte) ve yalnızca serilerin - DS (fark durağanlığı) serisinin tek veya k-kat farklılaşmasıyla durağan (veya deterministik bir eğilime göre durağan) bir seriye yol açan. Bu iki seri sınıfı arasındaki temel fark, TS serisi durumunda, ilgili deterministik trendin seriden çıkarılmasının aşağıdakilere yol açmasıdır. sabit sıra, bir DS serisi söz konusu olduğunda, serinin deterministik bileşeninin çıkarılması, seride stokastik bir trendin varlığından dolayı seriyi durağan bırakır.

Bölüm 1. Zaman serisi analizinin ana görevleri.

Bir zaman serisi ile rastgele bir örnek oluşturan bir gözlem dizisi arasındaki temel farklar şunlardır:

ilk olarak, rastgele bir örneğin elemanlarından farklı olarak, zaman serisinin üyeleri bağımsız değildir;

ikincisi, zaman serisinin üyeleri mutlaka eşit olarak dağıtılmaz, bu nedenle P(xt< x} P{xt < x} при t t.

Bu, rastgele bir örneğin istatistiksel analizinin özelliklerinin ve kurallarının zaman serilerine genişletilemeyeceği anlamına gelir. Öte yandan, zaman serisi üyelerinin birbirine bağımlılığı, gözlemlenen değerlere dayalı olarak analiz edilen göstergenin tahmin değerlerini oluşturmak için kendi özel temelini oluşturur.

Bir zaman serisi oluşturan gözlemlerin oluşumu (veri üretme mekanizması). Hakkında etkisi altında zaman serilerinin değerlerinin oluştuğu ana faktörlerin yapısı ve sınıflandırılması hakkında. Kural olarak, bu tür faktörlerin 4 türü ayırt edilir.

Uzun vadeli, genel (uzun vadede) bir trend oluşturan incelenen özelliğin değişimi xt. Genellikle bu eğilim, genellikle monoton olan bir veya başka rastgele olmayan ftr(t) işlevi (argümanı zaman olan) kullanılarak tanımlanır. Bu fonksiyona trend fonksiyonu veya basitçe trend denir.

Mevsimsel, periyodik olarak tekrar eden oluşum kesin zaman analiz edilen özelliğin yıllarca dalgalanması. Bu fonksiyon (e) periyodik olması gerektiğinden ("mevsimlerin" katları olan periyotlarla), analitik ifadesi harmonikleri içerir ( trigonometrik fonksiyonlar), sıklığı, kural olarak, görevin içerik özü tarafından belirlenir.

Döngüsel (fırsatçı), ekonomik veya demografik nitelikteki uzun vadeli döngülerin (Kondratiev dalgaları, demografik “çukurlar”, vb.) Etkisi nedeniyle analiz edilen özellikte değişiklikler oluşturan döngüsel faktörlerin eyleminin sonucu belirtilecektir. rastgele olmayan bir işlev (t) kullanarak.

Rastgele (düzensiz), muhasebe ve kayıt için uygun değil. Zaman serilerinin değerlerinin oluşumu üzerindeki etkileri, sadece xt öğelerinin stokastik doğasını ve dolayısıyla x1,…, xT'yi rastgele değişkenler 1,…, T üzerinde yapılan gözlemler olarak yorumlama ihtiyacını belirler. rasgele nicelikler ("artıklar", "hatalar") kullanılarak rastgele faktörlerin etkisinin sonucunu ifade edecektir t.

Tabii ki, herhangi bir zaman serisinin değerlerini oluşturma sürecine dört türden tüm faktörlerin aynı anda katılması hiç de gerekli değildir. Bu tür faktörlerin belirli bir serinin değerlerinin oluşumunda yer alıp almadığına ilişkin sonuçlar, hem sorunun içerik özünün analizine hem de incelenen zaman serilerinin özel bir istatistiksel analizine dayanabilir. . Ancak, her durumda, rastgele faktörlerin vazgeçilmez katılımı varsayılmaktadır. Böylece, içinde Genel görünüm veri oluşturma modeli (faktörlerin etkisinin ek bir blok şemasıyla birlikte) şöyle görünür:

xt = 1f(t) + 2(t) +3(t) + t. (bir)

burada i = 1, eğer i-th tipindeki faktörler, serinin değerlerinin oluşumunda yer alıyorsa, aksi takdirde i = 0.

Zaman serisi analizinin ana görevleri. Bir zaman serisinin istatistiksel analizinin temel amacı, bu serinin mevcut yörüngesini takip etmektir:

genişleme (1)'de rastgele olmayan işlevlerden hangisinin mevcut olduğunu belirleyin, yani. göstergelerin değerlerini belirlemek i;

genişleme (1)'de bulunan rastgele olmayan işlevler için "iyi" tahminler oluşturun;

t rastgele artıkların davranışını yeterince tanımlayan bir model seçin ve bu modelin parametrelerini istatistiksel olarak değerlendirin.

Zaman serisinin istatistiksel analizinin temel amacı nedeniyle listelenen görevlerin başarılı bir şekilde çözülmesi, nihai uygulamalı araştırma hedeflerine ulaşmanın ve her şeyden önce kısa ve orta vadeli tahmin problemini çözmenin temelidir. zaman serisinin değerlerinden. Zaman serilerinin ekonometrik analizinin ana unsurlarını kısaca sunalım.

· Çoğu matematiksel-istatistiksel yöntem, gözlemlerin bağımsız ve eşit olarak dağıtıldığı varsayıldığı modellerle ilgilenir. Aynı zamanda, gözlemler arasındaki bağımlılık çoğunlukla bu yöntemlerin etkili bir şekilde uygulanmasının önünde bir engel olarak kabul edilir. Bununla birlikte, ekonomi, sosyoloji, finans, ticaret ve insan faaliyetinin diğer alanlarındaki çeşitli veriler, gözlemlerin karşılıklı olarak bağımlı olduğu zaman serileri biçiminde gelir ve bu bağımlılığın doğası kesinlikle araştırmacının ana ilgi alanıdır. Bu tür bağımlı gözlem dizilerini incelemek için bir dizi yöntem ve modele zaman serisi analizi denir. Zaman serilerinin ekonometrik analizinin temel amacı, mümkün olduğu kadar, mevcut gözlem serilerini yeterince tanımlayan ve her şeyden önce aşağıdaki görevleri çözmek için temel oluşturan basit ve ekonomik olarak parametreli modeller oluşturmaktır:

(a) analiz edilenleri oluşturan gözlemlerin oluşum mekanizmasını ortaya çıkarmak

(b) zaman serileri;

analiz edilen süreçleri yönetmek ve optimize etmek için bir stratejinin geliştirilmesi.

· Bir zaman serisini oluşturan gözlemlerin oluşumundan bahsetmişken, bu gözlemlerin etkisi altında oluşturulabileceği dört tür faktör akılda tutulmalıdır (ve mümkünse model bir şekilde tanımlanmalıdır): uzun vadeli, mevsimsel , döngüsel (veya fırsatçı) ve rastgele. Aynı zamanda, dört türün tümünün faktörleri, belirli bir zaman serisinin değerlerini oluşturma sürecine mutlaka katılmamalıdır. Bu faktörlerin eylemini belirleme ve modelleme problemlerinin başarılı çözümü, esası önceki paragrafta belirtilen nihai uygulamalı araştırma hedeflerine ulaşmak için temel başlangıç noktası olan temeldir.

· Kronolojik sıraya göre düzenlenmiş ayrık bir gözlem dizisini analiz etmeye başlarken, öncelikle bu dizinin değerlerinin oluşumuna tamamen rastgele olanlar dışında herhangi bir faktörün gerçekten katılıp katılmadığından emin olunmalıdır. Aynı zamanda, "tamamen rastgele", yalnızca, etkisi altında, karşılıklı olarak ilişkisiz ve özdeş olarak dağıtılmış rastgele değişken dizilerinin üretildiği, sabit (zamandan bağımsız) ortalamalara ve varyanslara sahip olan rastgele faktörler anlamına gelir.

Eğer böyle bir kontrol sonucunda istatistiksel hipotez mevcut gözlemlerin karşılıklı olarak bağımlı olduğu (ve muhtemelen eşit olmayan bir şekilde dağıldığı) ortaya çıktı, daha sonra bu seri için uygun bir model seçimine geçtiler. Bu seçimin gerçekleştirildiği model seti genellikle aşağıdaki model sınıflarıyla sınırlıdır: (a) durağan zaman serileri sınıfı (esas olarak "rastgele artıkların" davranışını tanımlamak için kullanılır), (b) deterministik bir trend ve durağan bir zaman serisinin toplamı olan durağan olmayan zaman serileri sınıfı, (c) serilerin art arda türevlenmesiyle ortadan kaldırılabilen stokastik bir eğilime sahip durağan olmayan zaman serileri sınıfı (yani, bir dizi düzeyden birinci veya daha yüksek düzeydeki bir dizi farklılığa geçerek).

Makroekonomik göstergelerin zaman serilerinin ekonometrik analizinin bir parçası olarak Rus ekonomisi Bu çalışmada yürütülen, (a) ve (b) sınıflarındaki serileri, son uygulamayı takiben [bakınız, örneğin, Maddala, Kim (1998), sınıfa TS- satırları ( trend durağan seriler - deterministik bir trende göre durağan olan satırlar). (b) sınıfına ait durağan zaman serileri için yeterli bir yöntem, seriden deterministik bir trendin çıkarılmasıdır. Aksine, (c) sınıfına ait seriler için, durağan seriler için yeterli bir yöntem, bir dizi düzeyden bir dizi farka (birinci veya daha yüksek dereceden) geçiştir.

· Durağan (geniş anlamda) zaman serisi xt, ortalama değerlerinin Ext, Dxt varyansları ve kovaryanslarının () = E, hesaplandıkları t'ye bağlı olmamasıyla karakterize edilir. Durağan bir zaman serisinin üyeleri arasında var olan karşılıklı bağımlılıklar, kural olarak, p-mertebesinde otoregresif modeller (AR(p)-modelleri), q-mertebesinde hareketli ortalama modelleri (MA(q) çerçevesinde yeterince tanımlanabilir. -modeller) veya p ve q sırasının kalanında hareketli ortalama otoregresif modeller (ARMA(p, q)-modelleri) .

· Bir xt zaman serisine, k dereceli bu serinin ardışık farkları kxt (ancak dereceden daha az değil!) durağan bir zaman serisi oluşturuyorsa, k dereceli tümleşik (entegre) denir. Mevsimsel bir bileşen içeren seriler de dahil olmak üzere bu tür serilerin uygulamalı ekonometrik problemlerdeki davranışı, p, k ve q dereceli entegre hareketli ortalama otoregresyon modelleri (ARIMA(p, k, q) modelleri) ve bunların bazıları kullanılarak oldukça başarılı bir şekilde tanımlanmıştır. değişiklikler. Bu sınıf aynı zamanda en basit stokastik trend modelini de içerir - rastgele yürüyüş süreci (ARIMA(0, 1, 0)). Rastgele yürüyüş artışları, bir dizi bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler ("beyaz gürültü") oluşturur. Bu nedenle rastgele yürüme süreci “entegre beyaz gürültü” olarak da adlandırılır.

Şu anda, k dereceli entegre seriler sınıfı, aynı zamanda, k derece farkının (ancak daha az değil!) deterministik bir eğilime göre durağan bir süreç olduğu serileri de içerir. Çalışmamızda kullanılan tanım budur. Ayrıca, zaman serisinin kendisi deterministik bir eğilime (TS-serisi) göre durağan veya durağan ise, o zaman entegre sıfır dereceli bir seri olarak tanımlanır.

Mevsimsellik varlığında, bazen serinin komşu değerlerinin değil, karşılık gelen zaman birimi sayısı ile ayrılan değerlerin farklılıklarına giderek durağan bir seri elde etmek mümkündür. Örneğin üç aylık verilerle durağanlığı sağlamak için 4 birim zaman aralıklı seri değerlerindeki farklılıklar dizisine gitmek yeterli olabilir.

Belirli bir zaman serisi (xt), t = 1, 2,…, T için bir model uydurmak, geçerli bir çözüm kümesi olarak uygun bir parametrik model ailesini belirlemek ve ardından mevcut gözlemlere dayalı olarak model parametrelerini istatistiksel olarak tahmin etmek anlamına gelir x1, x2,…, xT. Bu sürecin tamamına model tanımlama süreci veya basitçe tanımlama denir. Bir zaman serisi modelini doğru bir şekilde tanımlamak için, incelenen zaman serisinin durağan olup olmadığına, deterministik bir eğilime göre (yani, deterministik bileşenlerin ve durağan bir serinin toplamına göre) durağan olup olmadığına veya stokastik bir trend içerip içermediğine karar vermek gerekir. . Bu çalışmanın ana kısmı, bir dizi Rus makroekonomik serisi için bu sorunun çözümüne ayrılmıştır.

Zaman serilerinin (xt) ve (yt), t = 1, 2,…, T olduğu durumlarda, x üzerinde bir y regresyonu oluşturmak için ilk veriler ve bunlardan birinde bir kerelik bir değişikliğin etkisi ( x) diğer yandan (y) zamanla gerilir (dağıtılır), sözde dağıtılmış gecikme modelleri uygulamalı olarak büyük ilgi görür. Bu özel model sınıfı çerçevesinde, özellikle, “kısmi uyum süreci”, “uyarlanabilir beklenti modelleri” vb. gibi önemli ekonomik olayların ekonometrik analizi yapılır.

Ekonomik karar destek sistemlerinde önemli bir rol, ekonomik göstergelerin tahmin edilmesiyle oynanır. Zaman serisi analizine dayalı otomatik tahmin yöntemleri, mevcut serileri yalnızca içerdiği bilgiler temelinde tahmin eder. Bu tür bir tahmin ancak kısa vadede ve en fazla orta vadede etkili olabilir. Uzun vadeli tahmin sorunlarına ciddi bir çözüm, entegre yaklaşımların kullanılmasını ve her şeyden önce, uzman tahminlerinin toplanması ve analiz edilmesi için çeşitli (istatistik dahil) teknolojilerin dahil edilmesini gerektirir.

Kısa ve orta vadeli otomatik tahmin problemlerini çözmeye yönelik etkili bir yaklaşım, özel durumlar olarak AR-, MA- dahil olmak üzere ARIMA(p, k, q) türündeki "takılmış" (tanımlanmış) modellerin kullanımına dayalı tahmindir. ve ARMA modelleri.

Uyarlanabilir yöntemler olarak adlandırılan yöntemler, kısa ve orta vadeli otomatik tahminlerin uygulamalı problemlerinin çözümünde de çok yaygındır; bu, önceden yapılmış tahminlerin minimum gecikmeyle güncellenmesine ve yeni veriler elde edildikçe nispeten basit matematiksel prosedürlerin kullanılmasına olanak tanır.

Bölüm 2. Zaman Serisi Analizi

2.1. Durağan zaman serileri ve temel özellikleri

Analiz edilen xt zaman serisinin rastgele artıklarının t davranışını yeterince tanımlayan bir model arayışı genellikle durağan zaman serileri sınıfı içinde gerçekleştirilir.

Tanım 2.1. Herhangi bir ve t1,…, tm için m gözlemlerinin ortak olasılık dağılımı m gözlemleriyle aynıysa, bir xt serisine kesinlikle durağan (veya dar anlamda durağan) denir.

Başka bir deyişle, kesinlikle durağan bir zaman serisinin özellikleri, zamanın kökeni değiştirildiğinde değişmez. Özellikle, m = 1 için, xt zaman serisinin katı durağanlığı varsayımından, xt rastgele değişkeninin olasılık dağılım yasasının t'ye bağlı olmadığı sonucu çıkar, yani tüm ana sayısal özellikler, dahil: ortalama Ext = ve varyans Dxt = 2.

Açıkça, değer, analiz edilen xt zaman serisinin dalgalandığı sabit seviyeyi belirler ve sabit değer, bu dalgalanmaların aralığını karakterize eder. Rastgele değişken xt'nin olasılık dağılım yasası tüm t için aynı olduğundan, o ve ana sayısal özellikleri x1,…, xT gözlemlerinden tahmin edilebilir. Özellikle:

ortalama değer tahmini, varyans tahmini.

Otokovaryans fonksiyonu (). Otokovaryans fonksiyonunun değerleri, formül kullanılarak zaman serisinin mevcut gözlemlerinden istatistiksel olarak tahmin edilir.

burada = 1,… T 1 ve formül (2.1) ile hesaplanır.

Açıkçası, = 0'daki otokovaryans fonksiyonunun değeri, zaman serisinin varyansından başka bir şey değildir.

Otokorelasyon fonksiyonu r(). Bir zaman serisini oluşturan gözlem dizisi ile rastgele bir örnek arasındaki temel farklardan biri, zaman serisinin üyelerinin, genel olarak konuşursak, istatistiksel olarak birbirine bağımlı olmasıdır. sıkılık derecesi istatistiksel bağlantı iki rastgele değişken arasındaki ikili korelasyon katsayısı ile ölçülebilir. Bizim durumumuzda katsayı, aynı zaman serisinin üyeleri arasında var olan korelasyonu ölçtüğü için, genellikle otokorelasyon katsayısı olarak adlandırılır. Değere bağlı olarak r() değerindeki değişikliği analiz ederken, r() otokorelasyon fonksiyonundan bahsetmek adettendir. Bir otokorelasyon fonksiyonunun grafiğine bazen korelogram denir. Otokorelasyon fonksiyonu (otokovaryans fonksiyonunun aksine) boyutsuzdur, yani. analiz edilen zaman serisinin ölçüm ölçeğine bağlı değildir. Değerleri tanım gereği 1 ile +1 arasında değişebilir. Ek olarak, durağanlıktan r() = r() çıkar, böylece otokorelasyon fonksiyonlarının davranışını analiz ederken kendimizi sadece pozitif değerleri dikkate almakla sınırlandırırız.

genel var özellikler durağan bir zaman serisinin otokorelasyon fonksiyonunun davranışını ayırt eden . Başka bir deyişle, bir kişi tarif edebilir genel anlamda Durağan bir zaman serisinin korelogramının şematik görünümü. Bunun nedeni şu genel düşüncedir: açıkçası, xt ve xt+ zaman serisi üyeleri zaman içinde ne kadar çok ayrılırsa, bu üyelerin ilişkisi o kadar zayıf olur ve buna bağlı olarak r()'nin mutlak değeri o kadar küçük olmalıdır. Ayrıca, bazı durumlarda, tüm değerlerin aynı şekilde sıfıra eşit olacağı böyle bir eşik değeri r0 vardır.

Özel otokorelasyon işlevi rpart(). Bu fonksiyon yardımıyla, zaman dizileri ile ayrılmış xt ve xt+ zaman serisi üyeleri arasında var olan otokorelasyonun ölçülmesi fikri, bu zaman serisinin tüm ara elemanlarının bu karşılıklı bağımlılık üzerindeki dolaylı etkisi ortadan kaldırılarak gerçekleştirilmektedir. 1. dereceden kısmi otokorelasyon, ilişki kullanılarak hesaplanabilir:

analiz edilen durağan sürecin ortalama değeri nerede.

Daha yüksek mertebelerin kısmi otokorelasyonları, genel korelasyon matrisinin R = ||rij|| öğeleriyle benzer şekilde hesaplanabilir, burada rij = r(xi, xj) = r(|i j|), burada i, j = 1,… , T ve r(0) = 1. Yani, örneğin, 2. mertebenin kısmi otokorelasyonu aşağıdaki formülle belirlenir:

Otokorelasyon fonksiyonlarının ampirik (seçici) versiyonları, aynı ilişkiler (2.4), (2.5) kullanılarak, içlerinde yer alan teorik otokorelasyon değerleri r() ile değiştirilerek elde edilir. istatistiksel tahminler.

Ortaya çıkan kısmi otokorelasyonlar rpart(1), rpart(2),…, kaydırma değerinin apsis rolünü oynadığı bir grafik üzerinde çizilebilir. Otokorelasyon fonksiyonları r() ve rpart() bilgisi, analiz edilen zaman serisinin modelini seçme ve tanımlama problemini çözmede önemli yardım sağlar.

Bu fonksiyonun özelliklerinin uygulamalı zaman serisi analizinde kullanılması "zaman serilerinin spektral analizi" olarak tanımlanır. Bu yaklaşımın oldukça eksiksiz bir açıklaması, örneğin [Jenkins, Watts (1971, 1972)] ve [Lloyd, Lederman (1990)]'da verilmiştir. Ekonomik zaman serilerinin istatistiksel analizi ile ilgili olarak, bu yaklaşım henüz kabul görmemiştir. yaygın, çünkü Spektral yoğunluğun ampirik analizi, bilgi tabanı olarak ya yeterince uzun durağan zaman serilerini veya analiz edilen zaman serilerinin birkaç yörüngesini gerektirir (ekonomik zaman serilerinin istatistiksel analizi uygulamasında her iki durum da çok nadirdir).

Anlamlı bir analiz için, spektral yoğunluk değerinin xt zaman serisi ile 2/ periyodu olan bir harmonik arasındaki ilişkinin gücünü karakterize etmesi önemlidir. Bu, spektrumu, analiz edilen zaman serilerindeki periyodiklikleri yakalamanın bir aracı olarak kullanmayı mümkün kılar: spektrum tepe noktaları seti, genişlemedeki harmonik bileşenler setini belirler. Seri bir gizli frekans harmoniği içeriyorsa, o zaman /2, /3 vb. frekanslı periyodik terimleri de içerir. Bu, spektrum tarafından düşük frekanslarda tekrarlanan sözde "yankı"dır. "Yankı" etkisi, 1875-1958 yılları için ABD bankaları arasındaki bir dizi aylık nakit dışı ödeme örneğindeki makalede analiz edildi.

Belirli ekonomik dinamik serilerinin analizinde kullanılan durağan zaman serisi modellerinin sınıfını biraz genişletmek mümkündür.

Tanım 2.2. Bir serinin ortalaması, varyansı ve kovaryansı t'ye bağlı değilse zayıf durağan (veya genel olarak durağan) olduğu söylenir.

2.2. Zaman serisinin rastgele olmayan bileşeni ve yumuşatma yöntemleri.

Genişlemede (1.1.1) eğilimi, mevsimsel ve döngüsel bileşenleri belirleme ve değerlendirme problemlerini çözmede önemli bir rol, analizin ilk aşaması tarafından oynanır, bu aşamada:

genişlemede (1.1.1) rastgele olmayan (ve zamana bağlı) bir bileşenin varlığı/yokluğu gerçeği ortaya çıkar; Esasen, bu istatistiksel bir hipotez testidir.

H0: Dahili = = sabit (2.6)

(çalışılan zaman serisinin üyelerinin karşılıklı istatistiksel bağımsızlığı hakkındaki ifade dahil) türün alternatif hipotezlerini somutlaştırmak için çeşitli seçeneklerle

bilinmeyen integral rasgele olmayan bileşen f(t) = 1ftr(t) + 2(t) +3(t) için bir tahmin (yaklaşım) oluşturulur, yani. analiz edilen xt zaman serisinin düzleştirme (rastgele artıkların t'nin ortadan kaldırılması) sorunu çözülmüştür.

Bir zaman serisinin davranışını yansıtan bir yörüngede rastgele olmayan bir bileşeni çıkarma yöntemleri iki türe ayrılır.

Birinci tip (analitik) yöntemler, genişlemedeki rastgele olmayan bileşenin genel biçiminin bilindiği varsayımına dayanır.

f(t) = 1ftr(t) + 2(t) +3(t). (2.8)

Örneğin, zaman serisinin rastgele olmayan bileşeninin tanımlandığı biliniyorsa doğrusal fonksiyon zaman f(t) = 0 + 1t, burada 0 ve 1 modelin bazı bilinmeyen parametreleridir, daha sonra seçim problemi (rastgele artıkları ortadan kaldırma problemi veya zaman serisini yumuşatma problemi) problemine indirgenir. model parametreleri için de iyi tahminler oluşturmak.

İkinci tip (algoritmik) yöntemler, istenen fonksiyonun (2.8) genel analitik biçiminin araştırmacı tarafından bilindiği kısıtlayıcı varsayımla bağlı değildir. Bu anlamda daha esnek, daha çekicidirler. Bununla birlikte, problemin “çıktısında”, araştırmacıya herhangi bir önceden istenen f (t) fonksiyonu için tahminin hesaplanması için yalnızca bir algoritma sunarlar. verilen nokta t ve fonksiyonun analitik bir temsili olduğunu iddia etmeyin.

Zaman serisinin rastgele olmayan bileşenini seçmek (tahmin etmek) için analitik yöntemler. Bu yöntemler, xt değişkeninin bağımlı değişken, t zamanının ise tek açıklayıcı değişken olduğu regresyon modelleri çerçevesinde uygulanmaktadır. Bu nedenle, formun bir regresyon modelini düşünüyoruz.

xt = f(t,) + t, t = 1,…, T, ki burada f(t,) fonksiyonunun genel formu bilinir, ancak parametrelerin değerleri = (0, 1,…, m) bilinmiyor. Parametre tahminleri gözlemlere dayalıdır. Tahmin yönteminin seçimi, f(t,) fonksiyonunun varsayımsal biçimine ve rastgele regresyon artıklarının t stokastik doğasına bağlıdır.

Bir zaman serisinin rastgele olmayan bir bileşenini çıkarmak için algoritmik yöntemler (hareketli ortalama yöntemleri). Analiz edilen zaman serisinin davranışındaki rastgele dalgalanmaları ortadan kaldırmak için kullanılan bu yöntemler basit bir fikre dayanmaktadır: bir zaman serisi üyesinin xt değerlerinin ortalama (düzleştirilmiş) değeri a etrafında "bireysel" yayılması, varyans ile karakterize edilirse 2, o zaman zaman serisinin N üyesinin ortalamasının (x1 + x2 +…+ xT) / N'nin aynı a değerine yakın yayılması, çok daha küçük bir dağılım değeri, yani 2 /'ye eşit bir dağılım ile karakterize edilecektir. N. Rastgele yayılma (varyans) ölçüsündeki bir azalma, tam olarak karşılık gelen yörüngenin düzleştirilmesi anlamına gelir. Bu nedenle, analiz edilen zaman serisinin ardışık üyelerinin sayısıyla ölçülen bazı tek "ortalama uzunluk" N = 2m + 1 seçilir. Daha sonra xt zaman serisinin düzleştirilmiş değeri xtm, xtm+1,…, xt, xt+1,…, xt+m değerlerinden hesaplanır.

burada wk (k = m, m + 1,…, m) toplamı bir olan bazı pozitif “ağırlık” katsayılarıdır, yani. hafta > 0 ve. t'yi m + 1'den Tm'ye değiştirerek, zaman ekseni boyunca “kayıyor” gibi göründüğümüz için, formül (2.9)'a dayalı yöntemlere genellikle hareketli ortalama yöntemleri (MSA) denir.

Açıkçası, bir MSS, m ve wk parametrelerinin seçiminde diğerinden farklıdır.

wk seçeneklerinin tanımı aşağıdaki prosedüre dayanmaktadır. Weierstrass teoremine uygun olarak, en genel varsayımlar altında herhangi bir düzgün f(x) fonksiyonu, uygun p derecesine sahip bir cebirsel polinom ile yerel olarak temsil edilebilir. Bu nedenle, x1,…, x2m+1 zaman serisinin ilk 2m + 1 üyelerini alıyoruz, zaman serisi yörüngesinin bu ilk bölümünün davranışına yaklaşan p dereceli bir polinom oluşturmak için LSM'yi kullanıyoruz ve bu polinomu kullanıyoruz. serinin bu bölümünün orta (yani (m + 1)-th) noktasındaki zaman serisinin düzleştirilmiş değerinin f(t) tahminini belirlemek, yani. inanıyoruz. Sonra zaman ekseni boyunca bir döngü "kayıyoruz" ve aynı şekilde x2,…, xm + 2 zaman serisi segmentine aynı derecede p bir polinom seçiyoruz ve zaman serisinin düzleştirilmiş değerinin tahminini belirliyoruz. bir kaydırılan zaman serisi segmentinin orta noktasında, yani. , vb.

Sonuç olarak, t = 1,…, m ve t = T,… T m + 1 hariç tüm t için analiz edilen zaman serilerinin düzleştirilmiş değerleri için tahminler bulacağız.

Analiz edilen zaman serisinin yörüngesine polinomu yaklaştıran en iyi (en küçük kareler kriteri anlamında) seçimi, formun bir formülüne yol açar ve sonuç, bu seçimin hangi “kayma” zaman aralıklarından hangisine bağlı olduğuna bağlı değildir. için yapıldı.

Üstel ağırlıklı hareketli ortalama (Brown'ın yöntemi). Bu yönteme göre, t noktasındaki düzgünleştirilmiş değerin tahmini, formun bir optimizasyon probleminin çözümü olarak tanımlanır.

nerede 0< < 1. Следовательно, веса k в критерии Q(f) обобщенного («взвешенного») МНК уменьшаются экспоненциально по мере удаления наблюдений xtk в прошлое. Решение оптимизационной задачи (2.10) дает:

Alışılmış MCC'nin aksine, burada ortalama alma aralığının yalnızca sağ ucu kayar ve ayrıca geçmişe doğru ilerledikçe ağırlıklar katlanarak azalır. Formül (2.11), zaman serisinin ortadaki değil, ortalama alma aralığının sağ uç noktasındaki düzleştirilmiş değerinin bir tahminini verir.

2.3. Durağan zaman serilerinin modelleri ve tanımlanması.

2.2'de, çalışılan zaman serisinin (1) rastgele artıklarının davranışını tanımlamaya uygun bir modelin seçildiği bir durağan zaman serisi sınıfı düşünülmüştür. Burada, bu sınıftan bir dizi doğrusal parametrik model ve bunların tanımlanması için yöntemler ele alınmaktadır. Bu nedenle, burada zaman serilerinin modellenmesinden değil, orijinal zaman serisi xt'den rastgele olmayan bileşeni (2.8) çıkarıldıktan sonra elde edilen rastgele artıklarının (t) modellenmesinden bahsediyoruz. Bu nedenle, rastgele artıkların değerlerini yok sayan bir regresyon modeline dayanan bir tahminden farklı olarak, zaman serisi tahmini, rastgele artıkların kendi aralarındaki bağımlılığı ve tahminini önemli ölçüde kullanır.

Notasyonu tanıtalım. Rastgele artıkların davranışı burada açıklandığı için, simüle edilen zaman serisini t ile gösteriyoruz ve tüm t için matematiksel beklentisinin sıfıra eşit olduğunu varsayacağız, yani. Et, 0. "Beyaz gürültü" oluşturan zaman dizileri t ile gösterilecektir.

Aşağıda tartışılan modellerin tanımı ve analizi, beyaz gürültünün şimdiki ve geçmiş değerlerinin ağırlıklı toplamı olarak temsil edilen genel bir doğrusal süreç açısından formüle edilmiştir, yani:

Bu nedenle, beyaz gürültü, geniş bir gerçek durum sınıfında, incelenen zaman serilerinin rastgele artıklarını üreten bir dizi dürtüdür.

Zaman serisi t, tüm geçmiş zamanlarda kendi değerlerinin açıklayıcı değişkenler olarak hareket ettiği klasik bir doğrusal çoklu regresyon modeli şeklinde elde edildiği eşdeğer bir biçimde temsil edilebilir:

Bu durumda ağırlık katsayıları 1, 2,…, t serisinin durağanlığını sağlayan belirli koşullara bağlıdır. (2.14)'den (2.13)'e geçiş, t1, t2, ... yerine (2.14)'ün sağ tarafında art arda ikame edilerek, t 1, t 2 zaman anları için (2.14)'e göre hesaplanan ifadeleri ile gerçekleştirilir. , vb.

Ayrıca, hem sürecin kendisinin otoregresif terimlerinin hem de beyaz gürültü öğelerinin kayan bir toplamının olduğu karma tip bir süreci ele alalım:

p ve q'nun da sonsuz değerler alabileceğini ve ayrıca özel durumlarda bazı (hatta tüm) katsayıların veya sıfıra eşit olduğunu varsayacağız.

Önce en basit özel durumları düşünün.

1. dereceden otoregresif model AR(1) (Markov süreci). Bu model, birinci hariç tüm katsayılar sıfıra eşit olduğunda, (2.14) tipindeki bir otoregresif sürecin en basit versiyonudur. Buna göre, ifade ile tanımlanabilir

t = t1 + t, (2.15)

burada mutlak değerde birini geçmeyen bazı sayısal katsayılar (||< 1), а t последовательность случайных величин, образующая белый шум. При этом t зависит от t и всех предшествующих, но не зависит от будущих значений. Соответственно, в уравнении (2.15) t не зависит от t1 и более ранних значений. В связи с этим, t называют инновацией (обновлением).

(2.15) bağıntısını sağlayan diziler, genellikle Markov süreçleri olarak da adlandırılır. Demek oluyor

r(t, tk) = k, (2.17)

cov(t, tk) = kDt. (2.19)

(2.19)'un önemli bir sonucu, eğer || birliğe yakınsa, t'nin varyansı varyanstan çok daha büyük olacaktır. Ve bu, t serisinin komşu değerlerinin güçlü bir şekilde ilişkilendirilmesi durumunda, t'nin bir dizi oldukça zayıf pertürbasyonu, t kalıntılarının geniş salınımlarını üreteceği anlamına gelir.

(2.15) serisi için durağanlık koşulu, aşağıdaki katsayı gereksinimi ile belirlenir: ||< 1, или, что то же, корень z0 уравнения 1 z = 0 должен быть по абсолютной величине больше единицы.

Markov sürecinin otokorelasyon fonksiyonu (2.17) ilişkisi ile belirlenir:

r() = r(t, t) = . (2.20)

Bu, özellikle, parametrenin basit bir olasılık yorumu anlamına gelir: = r(t, t1), yani, değer, t serisinin iki bitişik üyesi arasındaki korelasyon miktarını belirler.

(2.20)'den, (2.15) dizisinin üyeleri arasındaki korelasyonun yakınlık derecesinin, zaman içinde birbirlerinden uzaklaştıkça katlanarak azaldığı görülebilir.

Kısmi otokorelasyon fonksiyonu rpart() = r(t, t+ | t+1 = t+2 =…= t+1 = 0) formülleri (2.4)-(2.5) kullanılarak hesaplanabilir. Bu formülleri kullanarak doğrudan hesaplama, aşağıdaki basit sonucu verir: kısmi korelasyon fonksiyonunun rpart() değerleri, tümü = 2, 3,… için sıfıra eşittir. Bu özellik bir model uydurulurken kullanılabilir: hesaplanan örnek kısmi korelasyonlar = 2, 3,… noktasında sıfırdan istatistiksel olarak önemsiz derecede farklıysa, o zaman zamanın rastgele artıklarının davranışını tanımlamak için 1. dereceden otoregresif modelin kullanılması seriler orijinal istatistiksel verilerle çelişmez.

Markov sürecinin (2.15) spektral yoğunluğu, otokorelasyon fonksiyonunun (2.20) bilinen formu dikkate alınarak hesaplanabilir:

1'e yakın bir parametre değeri olması durumunda, t serisinin komşu değerleri büyüklük olarak birbirine yakındır, otokorelasyon fonksiyonu pozitif kalırken katlanarak azalır ve spektrumda düşük frekanslar baskındır, bu da oldukça büyük bir ortalama anlamına gelir. t serisinin tepe noktaları arasındaki mesafe. Parametrenin değeri -1'e yakın olduğunda, seri hızla salınır (spektrumda yüksek frekanslar baskındır) ve otokorelasyon fonksiyonunun grafiği, alternatif bir işaret değişikliği ile üssel olarak sıfıra düşer.

Model tanımlama, yani parametrelerinin istatistiksel tahmini ve xt zaman serisinin (ve gözlemlenemeyen kalıntılarına değil) mevcut uygulamasına göre, (2.16)(2.19) ilişkilerine dayanır ve momentler yöntemi kullanılarak gerçekleştirilebilir. Bunu yapmak için, öncelikle gelecekte artıklarla çalışmamıza izin verecek rastgele olmayan bir bileşen seçme problemini çözmek gerekir.

Daha sonra artıkların örnek varyansı formül kullanılarak hesaplanır.

burada ve "artıklar" (artıklar) formülle hesaplanır.

Parametrenin tahmini, formül (2.18) kullanılarak elde edilir, korelasyon katsayısı yerine örnek değeri değiştirilir, yani. .

Son olarak, parametrenin tahmini, sırasıyla Dt ve miktarlarının tahminlerle değiştirildiği (2.19) bağıntısına dayanır ve:

2. dereceden otoregresif modeller - AR(2) (Youul süreçleri). AR(1) gibi bu model, ilk ikisi hariç (2.14)'ün sağ tarafındaki tüm j katsayılarının sıfıra eşit olduğu otoregresif sürecin özel bir durumudur. Buna göre, ifade ile tanımlanabilir

t = 1t1 + 2t2 + t, (2.22)

burada 1, 2,… dizisi beyaz gürültü oluşturur.

(2.22) serisi için (gerekli ve yeterli) durağanlık koşulları şu şekilde tanımlanır:

Modellerin genel teorisi çerçevesinde, karşılık gelen karakteristik denklemin tüm köklerinin birim çemberin dışında olması şartından aynı durağanlık koşulları elde edilir. 2. dereceden otoregresif model için karakteristik denklem:

Yule sürecinin otokorelasyon fonksiyonu aşağıdaki gibi hesaplanır. İlk iki değer r(1) ve r(2), ilişkilerle tanımlanır.

ve r(), = 3, 4,… değerleri özyinelemeli ilişki kullanılarak hesaplanır

r() = 1r(1) + 2r(2).

2. mertebeden otoregresyon modeli tarafından üretilen zaman serilerinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu aşağıdaki ayırt edici özelliğe sahiptir: rpart() = 0 for all = 3, 4,…

Yule sürecinin spektral yoğunluğu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Değerler, tahminleri ve buna bağlı olarak Dt varyanslarını ve r(1) ve r(2) otokorelasyonlarını hesaplamak için kullanılır. Bu, (2.2) ve (2.3) ilişkileri kullanılarak yapılır:

p. dereceden otoregresif modeller - AR(p) (p 3). Genel doğrusal modeller sınıfında bir alt küme oluşturan bu modeller, oldukça geniş bir model sınıfını oluşturur. Genel lineer modelde (2.14) ilk p katsayıları hariç tüm j parametrelerinin sıfıra eşit olduğunu varsayarsak, AR(p) modelinin tanımına ulaşırız:

burada rastgele değişkenler 1, 2,… dizisi beyaz gürültü oluşturur.

Model (2.23) tarafından üretilen süreç için durağanlık koşulları da karakteristik denkleminin kökleri cinsinden formüle edilmiştir.

1 1z 2z2 … pzp = 0.

Sürecin durağanlığı için karakteristik denklemin tüm köklerinin birim çemberin dışında olması gerekli ve yeterlidir. modülde birliği aşacaktır.

Sürecin (2.23) otokorelasyon fonksiyonu, ilk p değerleri r(1),…, r(p) için yineleme ilişkisi kullanılarak hesaplanabilir. Bu oran şöyle görünür:

r () = 1r(1) + 2r(2) +…+ pr(p), = p + 1, p + 2,... (2.24)

Sürecin (2.23) kısmi otokorelasyon fonksiyonu sadece p için sıfır olmayan değerlere sahip olacaktır; > p için tüm rpart(p) değerleri sıfır olacaktır, örneğin bakınız, [Box, Jenkins (1974)]. analiz edilen zaman serileri. Örneğin, k mertebesinden başlayarak tüm kısmi otokorelasyon katsayıları sıfırdan istatistiksel olarak önemsiz derecede farklıysa, o zaman otoregresif modelin p = k 1 mertebesine eşit sırasını belirlemek doğaldır.

P-dereceli otoregresif modelin tanımlanması, modelin bilinmeyen parametreleri ile incelenen zaman serilerinin otokorelasyonlarını birbirine bağlayan ilişkilere dayanmaktadır. Bu bağıntıları türetmek için = 1, 2,…, p değerleri art arda (2.24) ile değiştirilir. sistem ortaya çıkıyor lineer denklemler 1, 2,…, p ile ilgili olarak:

Yule-Walker denklemleri olarak adlandırılan Yule (1927), Walker (1931).. k parametreleri için tahminler, otokorelasyonların teorik değerlerinin r(k) tahminleriyle değiştirilmesi ve bu şekilde elde edilen denklem sisteminin çözülmesiyle elde edilecektir.

Parametrenin tahmini, sağ tarafta yer alan tüm miktarların tahminleriyle değiştirilerek ilişkiden elde edilir.

2.3.2. Hareketli ortalama mertebesi q modelleri (MA(q)-modelleri).

J ağırlık katsayılarının yalnızca ilk q'su sıfır olmadığında, genel lineer sürecin (2.13) özel bir durumunu ele alalım. Bu durumda, süreç gibi görünüyor

t = t 1t1 2t2 … qtq, (2.26)

burada 1,…, q sembolleri, (2.13)'te yer alan sonlu bir parametre kümesini belirtmek için kullanılır. İşlem (2.26), q (MA(q) düzeyindeki hareketli ortalama modeli olarak adlandırılır).

AR ve MA modellerinin temsilinde dualite ve MA modeli tersinirliği kavramı. (2.13) ve (2.14)'den aynı genel lineer sürecin ya sonsuz dereceden bir AR modeli ya da sonsuz dereceden bir MA modeli olarak temsil edilebileceği görülebilir.

İlişki (2.26) şu şekilde yeniden yazılabilir:

t =t + 1t1 + 2t2 +…+ qtq.

t = t 1t1 2t2 …, (2.27)

burada j (j = 1, 2,…) katsayıları 1,…, q parametreleri cinsinden belirli bir şekilde ifade edilir. İlişki (2.27) sonsuz düzenin otoregresif bir modeli şeklinde yazılabilir (yani, bir ters açılım şeklinde)

MA(q)-modelinin tersinirlik koşulunun (yani, serinin yakınsaklığının koşulu) şu şekilde formüle edildiği bilinmektedir (örneğin bakınız, [Box, Jenkins, (1974)]). modelin (2.26) karakteristik denklemi aşağıdaki gibidir:

Karakteristik denklemin tüm kökleri birim çemberin dışında olmalıdır, yani. |zj| > 1 tüm j = 1, 2,…, q için.

MA(q) sürecinin temel özellikleri. Bu nedenle, MA(q) sürecinin otokorelasyon işlevi r(), q sürecinin sırasından daha büyük tüm değerler için sıfıra eşittir. Bu önemli özellik, deneysel verilerden MA(q) modelinin sırasını seçmek için kullanılır;

MA(q) sürecinin spektral yoğunluğu şu bağıntı kullanılarak hesaplanabilir:

MA(q) modeli, ilişkiler (2.29) temelinde tanımlanır, yani: 1) değerler formül kullanılarak hesaplanır; 2) = 1,…, q değerleri, daha önce elde edilen tahminlerle sol tarafta değiştirilen r() değerleriyle ilişkilere art arda ikame edilir; 3) bu şekilde elde edilen q denklem sistemi, bilinmeyen 1,…, q değerlerine göre çözülür; bu sistemin çözümleri ve modelin bilinmeyen parametrelerinin tahminlerini verecek; 4) parametrenin tahmini, bağıntılardan ilki (2.28) kullanılarak (0), 1,…, q tahminleri yerine ikame edilerek elde edilebilir.

YuleWalker denklemlerinin (2.25) sisteminin aksine, MA(q)-modelinin parametreleri için tahminleri belirlemeye yönelik denklemlerin doğrusal olmadığına dikkat edin. Bu nedenle, bu denklemler yinelemeli prosedürler kullanılarak çözülmelidir, örneğin bkz. Box ve Jenkins (1974).

AR(q) ve MA(q) süreçleri arasındaki ilişki. Otoregresyon süreçleri ile hareketli ortalama arasındaki ilişki hakkında bazı açıklamalar yapalım.

p dereceli bir sonlu otoregresif süreç için, t, öncüllerin sonlu ağırlıklı toplamı olarak temsil edilebilir veya t, sonsuz bir öncül toplamı olarak temsil edilebilir. Aynı zamanda, bir sonlu hareketli ortalama mertebesinde, q t öncüllerin sonlu ağırlıklı toplamı veya t sonsuz ağırlıklı öncüller toplamı olarak temsil edilebilir.

Sonlu MA işlemi, bir noktadan sonra kaybolan bir otokorelasyon fonksiyonuna sahiptir, ancak sonsuz bir AR işlemine eşdeğer olduğu için, kısmi otokorelasyon fonksiyonu sonsuza kadar genişletilir. İçindeki ana rol, sönümlü üsteller ve (veya) sönümlü sinüzoidler tarafından oynanır. Tersine, bir AR işlemi, bir noktadan sonra kaybolan kısmi bir otokorelasyon fonksiyonuna sahiptir, ancak otokorelasyon fonksiyonu sonsuz bir genişliğe sahiptir ve bir dizi azalan üstellerden ve / veya azalan sinüzoidlerden oluşur.

Sonlu mertebeden otoregresif bir sürecin parametreleri, sürecin durağan olması için herhangi bir koşulu sağlamamalıdır. Ancak MA işleminin tersinir olması için karakteristik denkleminin kökleri birim çemberin dışında olmalıdır.

Hareketli ortalama sürecinin spektrumu, ilgili otoregresif sürecin spektrumunun tersidir.

MA tipi bir süreci otoregresif bir süreç olarak temsil etmek, parametreleştirme açısından ekonomik değildir. Benzer şekilde, AR süreci, hareketli bir ortalama modeli ile ekonomik olarak temsil edilemez. Bu nedenle, ekonomik bir parametreleştirme elde etmek için, bazen hem otoregresyonu tanımlayan terimleri hem de artıkları hareketli bir ortalama olarak modelleyen terimleri modele dahil etmek uygundur. Bu tür doğrusal süreçler şu şekildedir:

t = 1t1 +…+ puan + t 1t1 … qtq (2.30)

ARMA(p, q)-süreçlerinin durağanlığı ve tersinirliği. Süreci (2.30) (2.31) formunda yazmak, burada durağanlık (2.31) AR(p)-süreçleriyle aynı şemaya göre analiz edilebilir. “Artıklar” ve e arasındaki fark, otoregresif süreç için durağanlık koşullarını belirleyen sonuçları hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu nedenle, süreç (2.30) durağandır, ancak ve ancak AR(p) sürecinin karakteristik denkleminin tüm kökleri birim çemberin dışındaysa.

Benzer şekilde, süreci (2.30) şeklinde ifade ederek ve dikkate alarak, MA(q) süreci için olduğu gibi bu sürecin tersinirliği için koşullarla ilgili aynı sonuçları elde ederiz: ARMA(p, q)-sürecinin tersinir olması için MA(q)-süreçler karakteristik denkleminin tüm köklerinin birim çemberin dışında olması gerekli ve yeterlidir.

Otokorelasyon işlevi, AR ve MA süreçleri için yapıldığı gibi analiz edilir, bu da aşağıdaki sonuçları çıkarmamızı sağlar.

1) () = 1(1) +…+ p(p) + () 1(1) … q(q), (burada (k) = E(tkt) t dizilerinin “çapraz” kovaryans fonksiyonu ve t ) için = 0, 1,…, q kovaryansları (0), (1),…, (q) ve buna göre otokorelasyonlar r(1),…, r(q) belirli bir şekilde bağlanır q parametreleri hareketli ortalama 1,…, q ve p ile bağımlılıklar sistemi, otoregresyon parametreleri 1,…, p ile. Bu durumda, zaman kaymasının pozitif değerleri için çapraz kovaryanslar (), (1),…, (q) sıfıra eşittir ve negatif değerler için 1 parametreleri cinsinden de ifade edilebilirler, …, p,1,…, q aşağıdaki yöntemi kullanarak: k > 0 olsun; o zaman (k) = E(tkt); tkt ürününde, (2.30) formülüne göre birinci faktörün (k + 1)-kat ardışık ikamesi yardımıyla, t1, beyaz gürültü elemanlarının ve model parametrelerinin doğrusal bir kombinasyonu ile değiştirilir; ortalama işlemi E'nin sonuçtaki ürüne uygulanması, yalnızca parametre modeline bağlı olan bir ifade verir (çünkü E(t1t) = 0).

2) q + 1 için otokorelasyon fonksiyonunun r() değerleri, tam olarak q + 1 için r() = 1r(1) + 2r(2) +…+ pr(p) özyinelemeli ilişkisi ile hesaplanır. AR(p) sürecinin otokorelasyon fonksiyonu için benzer özyinelemeli ilişkiyi (2.24) tekrarlar. Bu, = q + 1'den başlayarak, ARMA(p, q) sürecinin otokorelasyon fonksiyonunun, AR(p) sürecinin otokorelasyon fonksiyonu ile aynı şekilde davrandığı anlamına gelir, yani. bir dizi sönümlü üs ve (veya) sönümlü sinüzoidden oluşacaktır ve özellikleri 1,…, p katsayıları ve r(1),…, r(p) başlangıç değerleri ile belirlenir.

ARMA(p, q) işleminin kısmi otokorelasyon fonksiyonu, MA(q) işleminin kısmi otokorelasyon fonksiyonu olarak büyük değerlerde davranır. Bu, azalan üsteller ve (veya) bozunan sinüzoidler gibi terimlerin baskın olduğu anlamına gelir (ikisi arasındaki oran, hareketli ortalamanın q sırasına ve işlem parametrelerinin değerlerine bağlıdır).

ARMA(p, q) sürecinin spektral yoğunluğu şu ilişki kullanılarak hesaplanabilir:

ARMA(p, q) sürecinin tanımlanması (AR ve MA modellerinin yanı sıra) moment yöntemi kullanılarak model parametrelerinin istatistiksel tahminine dayanır. k (k = 1, 2,…, p), j (j = 1, 2,…, q) parametrelerini tahmin etme prosedürü iki aşamaya ayrılmıştır. 1. aşamada, k parametrelerinin tahminleri, 2. aşamada, j ve parametrelerinin tahminleri elde edilir.

1. aşama. Modelin (2.30) otokorelasyon bileşeninin parametreleri, lineer denklem sistemini karşılar:

Örnek değerlerini r(k) yerine (2.32) yerine koyarak ve elde edilen sistemi j (j = 1,…, p)'ye göre çözerek tahminler elde ederiz.

2. aşama. Elde edilen tahminleri (2.30) ile değiştirerek bir dizi q + 1 ilişki elde ederiz:

Bu sistem, 1,…, q istenen parametreleri otokovaryanslar ve 1. aşamada oluşturulan tahminlerle birleştiren doğrusal olmayan bağımlılıkların elde edilmesini mümkün kılar.

Çözüm

Ekonometri, ekonomik teoriyi istatistiksel ve matematiksel analiz yöntemleriyle birleştiren bir ekonomik analiz yöntemidir. Ekonomik tahminleri iyileştirme ve başarılı bir ekonomik politika planlaması sağlama girişimidir. Ekonometride, ekonomik teoriler matematiksel oranlar olarak ifade edilir ve daha sonra istatistiksel yöntemlerle ampirik olarak test edilir. Bu sistem gayri safi milli hasıla, işsizlik oranı, enflasyon oranı ve federal bütçe açığı gibi önemli göstergeleri tahmin etmek için modeller oluşturmak için kullanılır. Ekonometri, yardımıyla elde edilen tahminlerin her zaman yeterince doğru olmamasına rağmen, giderek daha yaygın olarak kullanılmaktadır.

Ekonometrideki problemler çok ve çeşitlidir. Ekonomi karmaşık, dinamik, çok boyutlu ve gelişen bir nesnedir, bu yüzden onu incelemek zordur. Hem toplum hem de sosyal sistem zamanla değişir, yasalar değişir, teknolojik yenilikler meydana gelir, dolayısıyla bu sistemde değişmezleri bulmak kolay değildir. Zaman serileri kısadır, oldukça kümelenmiştir, heterojendir, durağan değildir, zamana ve birbirine bağlıdır, bu nedenle incelenecek çok az ampirik bilgimiz var. Ekonomik miktarlar kesin olmayan bir şekilde ölçülür, daha sonra önemli düzeltmelere tabidir ve önemli değişkenler genellikle ölçülemez veya gözlemlenemez, bu nedenle tüm sonuçlar kesin değildir ve güvenilmezdir. ekonomik teoriler zamanla değişir, birbiriyle rekabet eden açıklamalar bir arada bulunur ve bu nedenle güvenilir bir teorik temel modeller için mevcut değildir. Ve ekonometristlerin kendi aralarında, konularının nasıl ele alınması gerektiği konusunda bir anlaşma yok gibi görünüyor.

Son yıllarda, ekonometrik literatürde ekonomik zaman serilerinin yapısal özelliklerinin analizine çok fazla ilgi gösterilmiştir. Bunun nedeni, zaman serilerinin değerlerinin her zaman belirli faktörlerin etkisi altında oluşmamasıdır. Belirli bir sürecin gelişiminin, genellikle kendi iç yasalarından kaynaklandığı ve deterministik bir süreçten sapmaların ölçüm hatalarından veya rastgele dalgalanmalardan kaynaklandığı görülür. Son zamanlarda, Rus ekonomisinin gelişiminin çeşitli ekonometrik yönlerini dikkate alan oldukça fazla sayıda çalışma ortaya çıktı.

Zaman serileri için ana ilgi, yapılarının tanımlanması veya modellenmesidir. Bu tür çalışmaların amacı, kural olarak, modellemeden daha geniştir, ancak bazı bilgiler doğrudan modelden elde edilebilse de, belirli çalışmaların performansı hakkında sonuçlar çıkarır. ekonomik yasalar(örneğin, satın alma gücü paritesi yasası) ve çeşitli hipotezlerin test edilmesi. Oluşturulan model, bir zaman serisini tahmin etmek veya tahmin etmek için kullanılabilir ve daha sonra tahminin kalitesi, birkaç model arasından seçim yaparken yararlı bir kriter olarak hizmet edebilir. Mevsimsel ayarlama ve yumuşatma gibi diğer uygulamalar için iyi seri modeller oluşturmak da gereklidir. Son olarak, oluşturulan modeller, zaman serilerinin girdi bilgisi olarak kabul edildiği büyük sistemlerin incelenmesinde uzun gözlem serilerinin istatistiksel modellemesi için kullanılabilir.

Edebiyat

1. Efimova M. R., Petrova E. V., Rumyantsev V. N. Genel istatistik teorisi, Moskova: Infra-N, 2000.

2. Eliseeva I.I. Yuzbaşev M.M. Genel istatistik teorisi. Moskova, "Finans ve istatistik" 2005.

3. AO Kryshtanovskiy. Zaman serilerinin analiz yöntemleri // Kamuoyunun izlenmesi: ekonomik ve sosyal değişimler. 2000. Sayı 2 (46). s. 44-51. [Madde]

4. Shmoylova R. A. İstatistik teorisi, M.: Finans ve istatistik, 1996.

5. İstatistik teorisi. Ders Kitabı./Ed. Shmoylova R.A. 3. baskı, Rev.-M.: Finans ve istatistik, 2002

6. Gusarov V.M. İstatistik teorisi. - M.: Denetim, 2001. - 248 s.

7. Kildishev G.S., Ovsienko V.E., Rabinovich P.M., Ryabushkin T.V. Genel istatistik teorisi. - M.: İstatistikler, 2001. - 423 s.

8. İstatistik çalıştayı: öğreticiüniversiteler için (Düzenleyen V.M. Simchera). VZFEI. - M.: CJSC "Fisstatinform", 2001. - 259 s.

Giriş……………………………………………………….2

1. Zaman serisi analizinin ana görevleri…………….4

2. Zaman serisi analizi…………………………………….9

2.3 Durağan zaman serisi modelleri ve tanımlamaları…13

2.3.2. Hareketli ortalama sipariş modelleri q (MA(q)-modelleri)….17

Sonuç………………………………………………………21

Edebiyat……………………………………………………..23

giriiş

Son yıllarda, ekonometrik literatürde, zaman serileri dinamiğinin incelenmesine çok dikkat edilmiştir. Ekonomik analizin çeşitli önemli görevleri, incelenen ekonomik süreçleri karakterize eden ve zaman serileri şeklinde zaman içinde uygulanan istatistiksel verilerin kullanılmasını gerektirir. Aynı zamanda, aynı zaman serileri genellikle farklı asli sorunları çözmek için kullanılır.

Ekonomik göstergelerin ölçümündeki hataların varlığı, gözlemlenen sistemlerde bulunan rastgele dalgalanmaların varlığı nedeniyle, olasılıksal-istatistiksel yaklaşım, zaman serilerinin çalışmasında yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu yaklaşım çerçevesinde, gözlemlenen zaman serileri, bazı rastgele süreçlerin gerçekleşmesi olarak anlaşılmaktadır. Bu, dolaylı olarak, zaman serisinin, onu bağımsız rastgele değişkenler dizisinden ayıran bir yapıya sahip olduğunu, böylece gözlemlerin tamamen bağımsız sayısal değerler kümesi olmadığını varsayar. (Seri yapısının bazı unsurları, bazen, seri grafiğinin basit bir görsel analizi temelinde zaten tanımlanabilir. Bu, örneğin, trend ve döngüler gibi seri bileşenleri için geçerlidir.) Genellikle, yapının yapısının olduğu varsayılır. seriler, gözlem sayısına kıyasla az sayıda parametre içeren bir modelle tanımlanabilir, bu, modeli tahmin için kullanırken pratik olarak önemlidir. Bu tür modellerin örnekleri, otoregresyon modelleri, hareketli ortalama ve bunların kombinasyonlarıdır - modeller AR(p), MA(q), ARMA(p, q), ARIMA(p, k, q).

Uzun vadede ilişki modelleri kurarken, analiz edilen makroekonomik serilerin stokastik (deterministik olmayan) bir trende sahip olup olmadığı gerçeğini hesaba katmak gerekir. Başka bir deyişle, incelenen serilerin her birinin deterministik bir trend (veya basitçe durağan) - TS (trend durağan) serisine göre durağan olan seriler sınıfına mı yoksa seriler sınıfına mı ait olduğuna karar vermek gerekir. stokastik bir eğilime sahip olan (belki de deterministik bir eğilimle birlikte) ve yalnızca serilerin - DS (fark durağanlığı) serisinin tek veya k-kat farklılaşmasıyla durağan (veya deterministik bir eğilime göre durağan) bir seriye yol açan. Bu iki seri sınıfı arasındaki temel fark, TS serisi durumunda, ilgili deterministik trendin seriden çıkarılmasının durağan bir seriye yol açması, DS serisi durumunda ise serinin deterministik bileşeninin çıkarılmasının çıkmasıdır. seri, stokastik bir trendin varlığından dolayı durağan değildir.

Bölüm 1. Zaman serisi analizinin ana görevleri.

Bir zaman serisi ile rastgele bir örnek oluşturan bir gözlem dizisi arasındaki temel farklar şunlardır:

ilk olarak, rastgele bir örneğin elemanlarından farklı olarak, zaman serisinin üyeleri bağımsız değildir;

ikincisi, zaman serisinin üyeleri mutlaka eşit olarak dağıtılmaz, bu nedenle P(xt< x} P{xt < x} при t t.

Bir zaman serisi oluşturan gözlemlerin oluşumu (veri üretme mekanizması). Etkisi altındaki zaman serilerinin değerlerinin oluştuğu ana faktörlerin yapısı ve sınıflandırılmasından bahsediyoruz. Kural olarak, bu tür faktörlerin 4 türü ayırt edilir.

Analiz edilen özelliğin mevsimsel, oluşturan dalgalanmaları, yılın belirli bir zamanında periyodik olarak tekrarlanır. Bu fonksiyon (e) periyodik olması gerektiğinden ("mevsimlerin" katları olan periyotlarla), harmonikler (trigonometrik fonksiyonlar), periyodikliği bir kural olarak problemin içeriği tarafından belirlenen analitik ifadesine katılır.

Tabii ki, herhangi bir zaman serisinin değerlerini oluşturma sürecine dört türden tüm faktörlerin aynı anda katılması hiç de gerekli değildir. Bu tür faktörlerin belirli bir serinin değerlerinin oluşumunda yer alıp almadığına ilişkin sonuçlar, hem sorunun içerik özünün analizine hem de incelenen zaman serilerinin özel bir istatistiksel analizine dayanabilir. . Ancak, her durumda, rastgele faktörlerin vazgeçilmez katılımı varsayılmaktadır. Bu nedenle, genel anlamda, veri oluşturma modeli (faktörlerin etkisinin ek bir blok diyagramı ile) şöyle görünür:

xt = 1f(t) + 2(t) +3(t) + t. (bir)

burada i = 1, eğer i-th tipindeki faktörler, serinin değerlerinin oluşumunda yer alıyorsa, aksi takdirde i = 0.

Zaman serisi analizinin ana görevleri. Bir zaman serisinin istatistiksel analizinin temel amacı, bu serinin mevcut yörüngesini takip etmektir:

genişleme (1)'de rastgele olmayan işlevlerden hangisinin mevcut olduğunu belirleyin, yani. göstergelerin değerlerini belirlemek i;

genişleme (1)'de bulunan rastgele olmayan işlevler için "iyi" tahminler oluşturun;

t rastgele artıkların davranışını yeterince tanımlayan bir model seçin ve bu modelin parametrelerini istatistiksel olarak değerlendirin.

Dipnot: Zaman serisi altında zamana bağlı ekonomik değerleri anlayın. Bu durumda, zamanın kesikli olduğu varsayılır; aksi takdirde, zaman serilerinden değil, rastgele süreçlerden söz edilir.

Durağan ve durağan olmayan zaman serilerinin modelleri, tanımlanması

Zaman serisini ele alalım. Zaman serilerinin önce sayısal değerler almasına izin verin. Bu, örneğin yakındaki bir mağazadaki bir somun ekmeğin fiyatı veya en yakın döviz bürosundaki dolar-ruble döviz kuru olabilir. Genellikle, bir zaman serisinin davranışında iki ana eğilim tanımlanır - bir eğilim ve periyodik dalgalanmalar.

Aynı zamanda, bir eğilim, bir veya başka bir yumuşatma yöntemi (örneğin, üstel yumuşatma) veya özellikle kullanarak hesaplama ile ortaya çıkan doğrusal, ikinci dereceden veya başka bir türün zamana bağımlılığı olarak anlaşılır. en küçük kareler yöntemi. Başka bir deyişle, bir trend, bir zaman serisinin rastgelelikten arındırılmış ana eğilimidir.

Zaman serisi özellikleri. Zaman serilerinin daha ayrıntılı bir çalışması için olasılıksal-istatistiksel modeller kullanılır. Bu durumda, zaman serisi rastgele bir süreç olarak kabul edilir (ayrık zamanlı), ana özellikleri matematiksel beklentidir, yani.

Dispersiyon, yani

ve otokorelasyon fonksiyonu Zaman serisi

şunlar. eşit iki değişkenli fonksiyon korelasyon katsayısı zaman serisinin iki değeri arasında ve .

Teorik ve uygulamalı araştırmalarda çok çeşitli zaman serisi modelleri göz önünde bulundurulur. Önce seçin sabit modeller. Ortak dağıtım işlevlerine sahiptirler. herhangi bir sayıda zaman noktası ve dolayısıyla yukarıda listelenen zaman serisinin tüm özellikleri için zamanla değişme. Özellikle matematiksel beklenti ve varyans sabittir, otokorelasyon fonksiyonu sadece farka bağlıdır. Durağan olmayan zaman serilerine denir. durağan olmayan.

Homoscedastic ve Heteroscedastic, Bağımsız ve Otokorelasyonlu Artıklar ile Lineer Regresyon Modelleri. Yukarıdan da anlaşılacağı gibi, ana şey, zaman serilerinin rastgele sapmalardan "temizlenmesi", yani. matematiksel beklenti tahmini. En basit modellerin aksine regresyon analizi içinde düşünüldüğünde, daha karmaşık modeller doğal olarak burada ortaya çıkıyor. Örneğin, varyans zamana bağlı olabilir. Bu tür modeller denir heteroskedastik ve zamana bağımlılığı olmayanlar homoskedastiktir. (Daha doğrusu, bu terimler sadece "zaman" değişkenine değil, aynı zamanda diğer değişkenlere de atıfta bulunabilir.)

Yorum. "Çok Değişkenli İstatistiksel Analiz"de belirtildiği gibi, en basit model en küçük kareler yöntemiözellikle zaman serileri için eşzamanlı ekonometrik denklem sistemleri alanında çok uzak genellemelere izin verir. İlgili teori ve algoritmaları anlamak için profesyonel matris cebiri bilgisi gereklidir. Bu nedenle, ekonometrik denklem sistemleri ve doğrudan spektral teoriye çok fazla ilgi duyulan zaman serileri üzerine literatüre ilgi duyanları, yani. sinyali gürültüden ayırmak ve harmoniklere ayrıştırmak. Bir kez daha vurguluyoruz ki, bu kitabın her bölümünün arkasında, kendisine çok çaba sarf etmeye değer, geniş bir bilimsel ve uygulamalı araştırma alanı vardır. Ancak kitabın hacminin sınırlı olması nedeniyle sunumu kısa ve öz yapmak zorunda kaldık.

ekonometrik denklem sistemleri

Bir otoregresif model örneği. İlk örnek olarak, tüketici fiyat endeksinin (enflasyon endeksi) büyümesini tanımlayan bir zaman serisinin ekonometrik modelini düşünün. Let - aylık fiyatlarda artış (bu konuda daha fazla bilgi için bkz. "Enflasyonun Ekonometrik Analizi"). O halde, bazı ekonomistlere göre, şunu varsaymak doğaldır.

(6.1)

önceki aydaki fiyat artışı nerede (a, dış etkilerin yokluğunda fiyat artışının duracağını varsayarak bir sönümleme katsayısıdır), sabittir (zaman içinde değerde doğrusal bir değişime karşılık gelir), Para emisyonunun (yani ülke ekonomisindeki para miktarının artması, Merkez Bankası tarafından gerçekleştirilen) etkisine tekabül eden ve bir katsayılı konu ile orantılı bir terimdir ve bu etki hemen ortaya çıkmaz, ancak 4 ay sonra; Son olarak, bu kaçınılmaz bir hatadır.

Model (1), sadeliğine rağmen birçok karakter özellikleriçok daha karmaşık ekonometrik modeller. İlk olarak, bazı değişkenlerin model içinde tanımlandığına (hesaplandığına) dikkat edelim. Arandılar endojen (iç). Diğerleri dışarıdan verilir (bu dışsal değişkenler). Bazen, kontrol teorisinde olduğu gibi, dışsal değişkenler, tahsis etmek yönetilen değişkenler - yöneticinin sistemi istenen duruma getirebileceği değişkenler.

İkinci olarak, yeni türlerin değişkenleri (1) ilişkisinde - gecikmelerle, yani. değişkenlerdeki argümanlar şimdiki ana değil, bazı geçmiş anlara atıfta bulunur.

Üçüncüsü, (1) tipi bir ekonometrik modelin derlenmesi hiçbir şekilde rutin bir işlem değildir. Örneğin, para ihracı ile ilgili vadede tam 4 aylık gecikme, oldukça karmaşık bir ön istatistiksel işlemin sonucudur. Ayrıca, miktarların bağımlılığı veya bağımsızlığı sorunu ve incelenmesi gerekir. Yukarıda belirtildiği gibi, prosedürün özel olarak uygulanması bu sorunun çözümüne bağlıdır. en küçük kareler yöntemi.

Öte yandan, (1) modelinde sadece 3 bilinmeyen parametre vardır ve ifade en küçük kareler yöntemi yazmak kolaydır:

Kimlik sorunu. Şimdi tapa modelini (6.1) çok sayıda endojen ve dışsal değişkenler, gecikmeler ve karmaşık bir iç yapı ile. Genel olarak konuşursak, hiçbir yerden böyle bir sistem için en az bir çözüm olduğu sonucu çıkmaz. Yani bir değil iki problem var. En az bir çözüm var mı (tanımlanabilirlik sorunu)? Evet ise, mümkün olan en iyi çözüm nasıl bulunur? (Bu, istatistiksel parametre tahmininin bir sorunudur.)

Hem birinci hem de ikinci görevler oldukça zordur. Her iki sorunu da çözmek için, genellikle oldukça karmaşık olan birçok yöntem geliştirilmiştir; bilimsel gerekçe. Özellikle, genellikle tutarlı olmayan istatistiksel tahminler kullanılır (kesin konuşmak gerekirse, bunlara tahmin bile denilemez).

Doğrusal ekonometrik denklem sistemleriyle çalışırken bazı yaygın teknikleri kısaca tanımlayalım.

Lineer eşzamanlı ekonometrik denklemler sistemi. Tamamen biçimsel olarak, tüm değişkenler, yalnızca zamanın şu anına bağlı olan değişkenler cinsinden ifade edilebilir. Örneğin, denklem (6.1) durumunda,

O zaman denklem formun bir örneğidir

(6.2)

Burada regresyon modellerini kullanma olasılığını not ediyoruz. değişken yapı kukla değişkenler tanıtarak. Bu değişkenler bazı zaman değerleri (örneğin, ilk olanlar) fark edilir değerler alır ve diğerlerinde kaybolur (aslında 0'a eşit olur). Sonuç olarak, resmi olarak (matematiksel) tek ve aynı model tamamen farklı bağımlılıkları tanımlar.

Dolaylı, İki Adımlı ve Üç Adımlı En Küçük Kareler. Daha önce belirtildiği gibi, ekonometrik denklem sistemlerinin sezgisel analizi için birçok yöntem geliştirilmiştir. bulmaya çalışırken ortaya çıkan belirli sorunları çözmek için tasarlanmıştır. sayısal çözümler denklem sistemleri.

Problemlerden biri, tahmin edilen parametreler üzerinde önsel kısıtlamaların varlığı ile ilgilidir. Örneğin, hane geliri tüketim veya tasarruf için harcanabilir. Bu, bu iki harcama türünün paylarının toplamının a priori 1'e eşit olduğu anlamına gelir. Ve ekonometrik denklemler sisteminde bu paylar bağımsız olarak katılabilir. Onları değerlendirmek için bir fikir var en küçük kareler, a priori kısıtlamayı yok sayarak ve ardından ayarlayın. Bu yaklaşıma dolaylı denir. en küçük kareler.

iki adım en küçük kareler yöntemi Sistemi bir bütün olarak düşünmek yerine, sistemin tek bir denkleminin parametrelerini tahmin etmekten ibarettir. Aynı zamanda üç aşamalı en küçük kareler yöntemi bir bütün olarak eşzamanlı denklem sisteminin parametrelerini tahmin etmek için kullanılır. İlk olarak, her bir denklemin katsayılarını ve hatalarını tahmin etmek ve ardından hata kovaryans matrisi için bir tahmin oluşturmak için her bir denkleme iki aşamalı bir yöntem uygulanır. tüm sistem. en küçük kareler yöntemi.

Bir yönetici ve bir ekonomist, belirli yazılım sistemlerinin yardımıyla bile ekonometrik denklem sistemlerini derleme ve çözme konusunda uzman olmamalıdır, ancak bir görev formüle etmek için bu ekonometri alanının olanaklarının farkında olmalıdır. üretim ihtiyacı olması durumunda nitelikli bir şekilde ekonometrik uzmanlar.

Trend tahmininden (ana trend), zaman serisi ekonometrisinin ikinci ana görevine geçelim - periyodun (döngü) tahmini.