7. sınıf matematik dersinde ilk olarak öğrencilerle tanışırlar. iki değişkenli denklemler, ancak bunlar yalnızca iki bilinmeyenli denklem sistemleri bağlamında incelenir. Bu nedenle, onları sınırlayan denklemin katsayılarına belirli koşulların getirildiği bir dizi problem gözden kaçıyor. Buna ek olarak, “Doğal veya tam sayılarda bir denklemi çözme” gibi problem çözme yöntemleri de, USE materyallerinde ve daha fazla olmasına rağmen göz ardı edilir. Giriş sınavları Bu tür sorunlar giderek daha yaygın hale geliyor.

Hangi denklem iki değişkenli denklem olarak adlandırılır?

Örneğin, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 veya xy = 12 denklemleri iki değişkenli denklemlerdir.

2x - y = 1 denklemini göz önünde bulundurun. x = 2 ve y = 3'te gerçek bir eşitliğe dönüşür, bu nedenle bu değişken değer çifti, söz konusu denklemin çözümüdür.

Böylece iki değişkenli herhangi bir denklemin çözümü, sıralı çiftler (x; y) kümesidir, bu denklemin gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştüğü değişkenlerin değerleri.

İki bilinmeyenli bir denklem şunları yapabilir:

a) tek bir çözümü var.Örneğin, x 2 + 5y 2 = 0 denklemi tek karar (0; 0);

b) birden fazla çözümü var.Örneğin (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0'ın 4 çözümü vardır: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

içinde) çözümleri yok.Örneğin, x 2 + y 2 + 1 = 0 denkleminin çözümü yoktur;

G) sonsuz sayıda çözümü vardır.Örneğin, x + y = 3. Bu denklemin çözümleri toplamı 3 olan sayılar olacaktır. Bu denklemin çözüm kümesi (k; 3 - k) şeklinde yazılabilir, burada k herhangi gerçek Numara.

İki değişkenli denklemleri çözmenin ana yöntemleri, çarpanlara ayırma ifadelerine dayalı, tam kareyi vurgulayan, özellikleri kullanan yöntemlerdir. ikinci dereceden denklem, sınırlı ifadeler, değerlendirme yöntemleri. Denklem, kural olarak, bilinmeyenleri bulmak için bir sistemin elde edilebileceği bir forma dönüştürülür.

çarpanlara ayırma

örnek 1

Denklemi çözün: xy - 2 = 2x - y.

Çözüm.

Faktoring amacıyla terimleri gruplandırıyoruz:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Her bir parantezden ortak çarpanı çıkarın:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0.

y = 2, x herhangi bir gerçek sayıdır veya x = -1, y herhangi bir gerçek sayıdır.

Böylece, cevap (x; 2), x € R ve (-1; y), y € R şeklindeki tüm çiftlerdir.

Negatif olmayan sayıların sıfıra eşitliği

Örnek 2

Denklemi çözün: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Çözüm.

Gruplandırma:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Şimdi her parantez kare fark formülü kullanılarak daraltılabilir.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Negatif olmayan iki ifadenin toplamı, yalnızca 3x - 2 = 0 ve 2y - 3 = 0 ise sıfırdır.

Yani x = 2/3 ve y = 3/2.

Cevap: (2/3; 3/2).

Evrim metodu

Örnek 3

Denklemi çözün: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Çözüm.

Her parantezde tam kareyi seçin:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Tahmin parantez içindeki ifadelerin anlamı.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ve (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, denklemin sol tarafı her zaman en az 2'dir. Eşitlik şu durumlarda mümkündür:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ve (y - 2) 2 + 2 = 2, yani x = -1, y = 2.

Cevap: (-1; 2).

İkinci dereceden iki değişkenli denklemleri çözmek için başka bir yöntemle tanışalım. Bu yöntem, denklemin şu şekilde kabul edilmesidir. bazı değişkenlere göre kare.

Örnek 4

Denklemi çözün: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Çözüm.

Denklemi x'e göre ikinci dereceden bir denklem olarak çözelim. Diskriminantı bulalım:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Denklem yalnızca D = 0 olduğunda, yani y = 4 olduğunda bir çözüme sahip olacaktır. y'nin değerini orijinal denklemde yerine koyarız ve x = 3 olduğunu buluruz.

Cevap: (3; 4).

Genellikle iki bilinmeyenli denklemlerde değişkenler üzerindeki kısıtlamalar.

Örnek 5

Denklemi tam sayılarda çözün: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Çözüm.

Denklemi x 2 = -5y 2 + 20x + 2 biçiminde yeniden yazalım. Ortaya çıkan denklemin sağ tarafı, 5'e bölündüğünde 2 kalanını verir. Bu nedenle, x 2, 5'e bölünemez. 5 ile bölünemeyen bir sayının 1 veya 4 kalanını verir. Bu nedenle eşitlik imkansızdır ve çözümü yoktur.

Cevap: kök yok.

Örnek 6

Denklemi çözün: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Çözüm.

Her bir parantez içindeki tam kareleri seçelim:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Denklemin sol tarafı her zaman 3'e eşit veya büyüktür. |x| ise eşitlik mümkündür. – 2 = 0 ve y + 3 = 0. Böylece x = ± 2, y = -3.

Cevap: (2; -3) ve (-2; -3).

Örnek 7

Denklemi sağlayan her bir negatif tam sayı (x; y) çifti için
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, toplamı (x + y) hesaplayın. En küçük miktarı cevaplayın.

Çözüm.

Tam kareleri seçin:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x ve y tamsayı olduğu için kareleri de tam sayıdır. 37'ye eşit iki tamsayının karelerinin toplamı, 1 + 36 eklersek elde ederiz. Bu nedenle:

(x - y) 2 = 36 ve (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 ve (y + 2) 2 = 36.

Bu sistemleri çözerek ve x ve y'nin negatif olduğunu dikkate alarak çözümler buluyoruz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Cevap: -17.

İki bilinmeyenli denklemleri çözerken zorluk yaşıyorsanız umutsuzluğa kapılmayın. Biraz pratikle, herhangi bir denklemde ustalaşabileceksiniz.

Sormak istediğiniz bir şey var mı? İki değişkenli denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için - kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Eserin metni, resim ve formüller olmadan yerleştirilmiştir.
Tam versiyonçalışma, PDF formatında "İş dosyaları" sekmesinde mevcuttur

Çalışmanın amacı.

Araştırma, sayılar teorisinin en ilginç dallarından biri olan tam sayılardaki denklemlerin çözümü ile ilgilidir.

Çalışma konusu.

Birden fazla bilinmeyende tamsayılı katsayılı cebirsel denklemlerin tam sayılarda çözümü, en zor ve en eski matematik problemlerinden biridir ve yeterince derinlemesine sunulmamaktadır. okul kursu matematik. Çalışmamda, tamsayılardaki denklemlerin oldukça eksiksiz bir analizini, bu denklemlerin onları çözme yöntemlerine göre bir sınıflandırmasını, bunları çözmek için algoritmaların bir tanımını ve her yöntemin uygulanmasının pratik örneklerini sunacağım. tamsayılarda denklem çözme.

Hedef.

Tam sayılardaki denklemleri nasıl çözeceğinizi öğrenin.

Görevler:

Eğitim ve referans literatürünü inceleyin;

Denklemlerin nasıl çözüleceğine dair teorik materyal toplayın;

Bu tür denklemleri çözmek için algoritmaları analiz edin;

Çözümleri açıklayın;

Bu yöntemleri kullanarak denklem çözme örneklerini düşünün.

Hipotez:

Olimpiyat görevlerinde tamsayılı denklemlerle karşı karşıya kaldığımda, onları çözmedeki zorlukların, onları çözmenin tüm yollarının bana bilinmemesinden kaynaklandığını varsaydım.

alaka düzeyi:

USE görevlerinin yaklaşık türevlerini çözerken, genellikle birinci ve ikinci dereceden denklemleri tam sayılarda çözmek için görevler olduğunu fark ettim. Ayrıca olimpiyat görevleri çeşitli seviyeler ayrıca tamsayılı denklemleri veya tamsayılı denklemleri çözme becerileri kullanılarak çözülen problemleri içerir. Tam sayılardaki denklemlerin nasıl çözüleceğini bilmenin önemi, araştırmamın alaka düzeyini belirler.

Araştırma Yöntemleri

Teorik analiz ve bilginin genelleştirilmesi Bilimsel edebiyat tamsayılardaki denklemler hakkında.

Tam sayılardaki denklemlerin çözüm yöntemlerine göre sınıflandırılması.

Tamsayılarda denklem çözme yöntemlerinin analizi ve genelleştirilmesi.

Araştırma sonuçları

Makale, denklemleri çözme yöntemlerini açıklar, Fermat teoreminin teorik materyalini, Pisagor teoremi, Öklid'in algoritmasını dikkate alır, problem çözme örnekleri ve çeşitli karmaşıklık seviyelerindeki denklemleri sunar.

2.Tamsayılarda denklemlerin tarihi

Diophantus - bilim adamı - cebirci Antik Yunan Bazı kaynaklara göre MS 364 yılına kadar yaşamıştır. e. Tamsayılarda problem çözme konusunda uzmanlaştı. Bu nedenle Diophant denklemleri adı. Diophantus tarafından çözülen en ünlüsü, "iki kareye ayrıştırma" sorunudur. Eşdeğeri, iyi bilinen Pisagor teoremidir. Diophantus'un hayatı ve çalışmaları İskenderiye'de devam etti, bilinen sorunları topladı ve çözdü ve yeni problemler icat etti. Daha sonra bunları Aritmetik adlı büyük bir çalışmada birleştirdi. Aritmetiği oluşturan on üç kitaptan sadece altısı Orta Çağ'a kadar hayatta kaldı ve Rönesans matematikçileri için bir ilham kaynağı oldu.Diophantus'un Aritmetiği, her biri bir çözüm ve gerekli bir açıklama içeren bir problemler koleksiyonudur. Koleksiyon, çeşitli sorunları içerir ve bunların çözümü genellikle son derece ustacadır. Diophantus sadece pozitif tam sayılar ve rasyonel çözümlerle ilgilenir. İrrasyonel çözümleri "imkansız" olarak adlandırır ve istenen pozitif, rasyonel çözümlerin elde edilmesi için katsayıları dikkatlice seçer.

Fermat teoremi, tam sayılardaki denklemleri çözmek için kullanılır. Kanıtının tarihi oldukça ilginç. Birçok seçkin matematikçi Büyük Teoremin tam bir kanıtı üzerinde çalıştı ve bu çabalar modern sayılar teorisinde birçok sonuca yol açtı. Yanlış ispat sayısı bakımından teoremin ilk sırada olduğuna inanılmaktadır.

Dikkat çekici Fransız matematikçi Pierre Fermat, n ≥ 3 tamsayısının denkleminin x, y, z pozitif tamsayılarında hiçbir çözümü olmadığını belirtti (xyz = 0, x, y, z'nin pozitifliği tarafından hariç tutulur. n = 3 durumu için, bu Teorem X yüzyılda Orta Asyalı matematikçi el-Hojandi tarafından kanıtlandı, ancak kanıtı korunmadı. Bir süre sonra, Fermat'ın kendisi n = 4 için belirli bir durumun kanıtını yayınladı.

Euler teoremi 1770'de n = 3 için, Dirichlet ve Legendre 1825'te n = 5 için ve Lame n = 7 için kanıtladı. Kummer, teoremin 37 hariç, 100'den küçük tüm asal sayılar için doğru olduğunu gösterdi, 59, 67.

1980'lerde vardı yeni yaklaşım sorunu çözmek için. 1983'te Faltings tarafından kanıtlanan Mordell varsayımından, denklem şu şekildedir:

n > 3 için yalnızca sonlu sayıda asal çözüm olabilir.

Teoremin ispatında son fakat en önemli adım Eylül 1994'te Wiles tarafından atıldı. 130 sayfalık kanıtı Annals of Mathematics'te yayınlandı. Kanıt, Alman matematikçi Gerhard Frei'nin Fermat'ın Son Teoreminin Taniyama-Shimura hipotezinin bir sonucu olduğu varsayımına dayanmaktadır (bu varsayım J.-P. Serra'nın katılımıyla Ken Ribet tarafından kanıtlanmıştır). ispatının 1993'teki versiyonu (7 yıllık sıkı çalışmanın ardından), ancak çok geçmeden içinde ciddi bir boşluk keşfedildi; Richard Lawrence Taylor'ın yardımıyla aradaki fark hızla kapandı. Nihai versiyonu 1995 yılında yayınlandı. 15 Mart 2016 Andrew Wiles, Abel Ödülü'nü aldı. Şu anda prim 6 milyon Norveç kronu, yani yaklaşık 50 milyon ruble. Wiles'a göre, ödül ona "tam bir sürpriz" olarak geldi.

3. Tam sayılarda doğrusal denklemler

Doğrusal denklemler, tüm Diophant denklemlerinin en basitidir.

a ve b'nin bazı sayılar ve x'in bilinmeyen bir değişken olduğu ax=b biçimindeki bir denkleme, bir bilinmeyenli doğrusal denklem denir. Burada denklemin sadece tamsayılı çözümlerinin bulunması gerekmektedir. Görüldüğü gibi a ≠ 0 ise, denklemin tamsayı çözümü ancak b, a ile tam bölünebiliyorsa ve bu çözüm x = b / f ise görülebilir. Eğer a=0 ise, b=0 olduğunda ve bu durumda x herhangi bir sayı olduğunda denklemin bir tamsayı çözümü olacaktır.

çünkü 12, 4'e tam bölünürse

Çünkü a=o ve b=0, o zaman x herhangi bir sayıdır

Çünkü 7, 10'a tam bölünemez, o zaman çözüm yok.

4. Seçenekleri sıralamanın yolu.

Seçeneklerin numaralandırılması yönteminde, sayıların bölünebilirlik işaretlerini dikkate almak, hepsini dikkate almak gerekir. olası seçenekler sonlu numaralandırma eşitliği. Bu yöntem, bu sorunları çözmek için kullanılabilir:

№1 49x+69y=602 denkleminin çözümü olan tüm doğal sayı çiftlerinin kümesini bulun

x = denkleminden ifade ederiz,

Çünkü x ve y doğal sayılardır, sonra x = ≥ 1, paydadan kurtulmak için tüm denklemi 49 ile çarpın:

602'yi sol tarafa taşıyın:

51y ≤ 553, ifade y, y= 10

Seçeneklerin eksiksiz bir listesi, denklemin doğal çözümlerinin x=5, y=7 olduğunu gösterir.

Cevap: (5,7).-

№2 Sorunu çözün

2, 4, 7 sayılarından, tek bir sayının ikiden fazla tekrarlanamayacağı üç basamaklı bir sayı yapılmalıdır.

2 ile başlayan tüm üç basamaklı sayıların sayısını bulalım: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - bunlardan 8 tane var.

Benzer şekilde, 4 ve 7 sayılarıyla başlayan tüm üç basamaklı sayıları buluruz: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - ayrıca her biri 8 sayıdır. Sadece 24 sayı var.

Cevap: 24.

5. Devamlı kesir ve Öklid algoritması

Sürekli bir kesir, sıradan bir kesrin biçimindeki bir ifadesidir.

burada q 1 bir tamsayıdır ve q 2 , … ,qn doğal sayılardır. Böyle bir ifadeye sürekli (sonlu sürekli) kesir denir. Sonlu ve sonsuz sürekli kesirler vardır.

İçin rasyonel sayılar devam eden kesir var son görüş. Ek olarak, a i dizisi tam olarak bir kesrin pay ve paydasına Öklid algoritması uygulanarak elde edilen bölüm dizisidir.

Sürekli kesirli denklemleri çözerek, bu denklemleri tam sayılarda çözme yöntemi için genel bir eylem algoritması derledim.

algoritma

1) Bilinmeyenler için katsayıların oranını kesir biçiminde derleyin

2) İfadeyi uygun olmayan kesre dönüştürün

3) Uygun olmayan bir kesrin tamsayı kısmını seçin

4) Uygun bir kesri eşit bir kesirle değiştirin

5) Paydada elde edilen yanlış kesir ile 3.4 yapın

6) Son sonuca kadar 5'i tekrarlayın

7) Elde edilen ifadede, devam eden fraksiyonun son halkasını atın, elde edilen yeni sürekli fraksiyonu basit bir fraksiyona çevirin ve orijinal fraksiyondan çıkarın.

Örnek#1 127x- 52y+ 1 = 0 denklemini tam sayılarda çözün

Katsayıların oranını bilinmeyenlere dönüştürelim.

Her şeyden önce, uygunsuz kesrin tamsayı kısmını seçiyoruz; = 2 +

Uygun bir kesri eşit bir kesirle değiştirin.

nerede = 2+

Paydada elde edilen yanlış kesir ile aynı dönüşümleri yapalım.

Şimdi orijinal kesir şu şekli alacaktır: Kesir için aynı akıl yürütmeyi tekrarlayarak, şunu elde ederiz:

Son devam eden veya devam eden kesir adı verilen bir ifade aldık. Bu sürekli fraksiyonun son halkasını - beşte birini attıktan sonra, ortaya çıkan yeni sürekli fraksiyonu basit bir fraksiyona çeviririz ve onu orijinal fraksiyondan çıkarırız:

Ortaya çıkan ifadeyi ortak bir paydaya getirelim ve atalım.

Buradan 127∙9-52∙22+1=0. Elde edilen eşitliğin 127x- 52y + 1 = 0 denklemi ile karşılaştırılmasından, x= 9, y= 22'nin orijinal denklemin bir çözümü olduğu ve teoreme göre tüm çözümleri içinde yer alacağı sonucu çıkar. ilerlemeler x= 9+ 52t, y= 22+ 127t , burada t=(0; ±1; ±2....). , son bağlantısını atın ve yukarıda verilenlere benzer hesaplamalar yapın.

Bu varsayımı kanıtlamak için, sürekli kesirlerin bazı özelliklerine ihtiyacımız olacak.

İndirgenemez bir kesir düşünün. q 1 ile bölümü ve r 2 ile a'yı b'ye bölmenin kalanını belirtin. Sonra şunu elde ederiz:

O zaman b=q 2 r 2 +r 3 ,

Benzer

r 2 \u003d q 3 r 3 + r 4, ;

r 3 \u003d q 4 r 4 + r 5,;

………………………………..

q 1 , q 2 ,… niceliklerine eksik bölümler denir. Yukarıdaki tamamlanmamış bölüm oluşturma işlemine denir. Öklid'in algoritması. r 2 , r 3 ,… bölümünden kalanlar eşitsizlikleri sağlıyor

şunlar. azalan negatif olmayan sayılar dizisi oluşturur.

Örnek 2 170x+190y=3000 denklemini tam sayılarla çözün

10'a indirdikten sonra denklem şöyle görünür,

Belirli bir çözüm bulmak için, bir kesrin sürekli bir kesre genişlemesini kullanırız.

Kendisine uygun sondan bir önceki kesri sıradan bir kesre daraltmak

Bu denklemin özel bir çözümü şu şekildedir:

X 0 \u003d (-1) 4300 ∙ 9 \u003d 2700, y 0 \u003d (-1) 5300 ∙ 8 \u003d -2400,

ve genel formül tarafından verilir

x=2700-19k, y=-2400+17k.

k parametresindeki koşulu nereden elde ederiz

Şunlar. k=142, x=2, y=14. .

6. Faktoring yöntemi

Seçeneklerin numaralandırılması yöntemi, bu tür sonsuz sayıda çözüm olduğu için, numaralandırma yoluyla tam çözümler bulmanın imkansız olduğu durumlar olduğu için uygunsuz bir yoldur. Çarpanlara ayırma yöntemi çok ilginç bir tekniktir ve hem temel matematikte hem de yüksek matematikte bulunur.

Öz, özdeş dönüşümden oluşur. Herhangi bir özdeş dönüşümün anlamı, bir ifadeyi özünü koruyarak farklı bir biçimde yazmaktır. Bu yöntemin uygulama örneklerini düşünün.

№1 Denklemi y tamsayılarında çözün 3 -x 3 = 91.

Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak denklemin sağ tarafını faktörlere ayırırız:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91

91 sayısının tüm bölenlerini yazıyoruz: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

Herhangi bir x ve y tamsayısı için sayının

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

bu nedenle, denklemin sol tarafındaki her iki faktör de pozitif olmalıdır. O zaman orijinal denklem, denklem sistemleri kümesine eşdeğerdir:

Sistemleri çözdükten sonra, tamsayı olan kökleri seçiyoruz.

Orijinal denklemin çözümlerini elde ederiz: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4; 3).

Cevap: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 x denklemini sağlayan tüm doğal sayı çiftlerini bulun 2 -y 2 = 69

Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırıyoruz ve denklemi şu şekilde yazıyoruz.

Çünkü 69 sayısının bölenleri 1, 3, 23 ve 69 sayılarıdır, bu durumda 69 iki şekilde elde edilebilir: 69=1 69 ve 69=3 23. x-y > 0 olduğunu düşünürsek, çözerek istenen sayıları bulabileceğimiz iki denklem sistemi elde ederiz:

Bir değişkeni ifade ettikten ve ikinci denklemde yerine koyarak, denklemlerin köklerini buluyoruz.Birinci sistemin çözümü x=35;y=34 ve ikinci sistemin çözümü x=13, y=10.

Cevap: (35; 34), (13; 10).

№3 x + y \u003d xy denklemini tam sayılarda çözün:

Denklemi formda yazıyoruz

Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayıralım. Almak

İki tamsayının çarpımı yalnızca iki durumda 1'e eşit olabilir: eğer her ikisi de 1 veya -1'e eşitse. İki sistem alıyoruz:

İlk sistemin çözümü x=2, y=2 ve ikinci sistemin çözümü x=0, y=0 Cevap: (2; 2), (0; 0).

№4 Denklemin (x - y) olduğunu kanıtlayın 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30'un tamsayılarda çözümü yoktur.

Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırıyoruz ve denklemin her iki tarafını da 3'e bölüyoruz, sonuç olarak denklemi elde ediyoruz:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10

10'un bölenleri ±1, ±2, ±5, ±10 sayılarıdır. Ayrıca, denklemin sol tarafındaki faktörlerin toplamının 0'a eşit olduğuna dikkat edin. Çarpımda 10'u veren 10'un bölenleri kümesinden herhangi üç sayının toplamının olmayacağını kontrol etmek kolaydır. eşittir 0. Bu nedenle, orijinal denklemin tamsayılarda çözümü yoktur.

7. Artıkların yöntemi

Yöntemin ana görevi, elde edilen sonuçlara dayanarak denklemin her iki bölümünün bir tamsayıya bölümünden kalanını bulmaktır. Genellikle elde edilen bilgiler, denklemin çözüm kümelerinin olasılıklarını azaltır. Örnekleri düşünün:

№1 denkleminin x olduğunu kanıtlayın 2 = 3y + 2'nin tamsayılarda çözümü yoktur.

Kanıt.

x, y ∈ N olduğu durumu düşünün. Her iki tarafın da 3'e bölümünden kalanları düşünün. Denklemin sağ tarafı, herhangi bir y değeri için 3'e bölündüğünde 2 kalanını verir. Bir doğal sayının karesi olan sol taraf, 3'e bölündüğünde her zaman 0 veya 1 kalanını verir. Buna dayanarak, doğal sayılarda bu denklemin bir çözümünün olmadığı sonucuna varırız.

Sayılardan birinin 0'a eşit olduğu durumu düşünün. O halde, tamsayılarda çözüm olmadığı açıktır.

y'nin negatif bir tam sayı olduğu durumun çözümü yoktur, çünkü sağ taraf negatif, sol taraf pozitif olacaktır.

x'in negatif bir tamsayı olduğu durumun da çözümü yoktur, çünkü (-x) 2 = (x) 2 olması nedeniyle daha önce ele alınan durumlardan birinin kapsamına girer.

Belirtilen denklemin, ispatlanması gereken tamsayılarda hiçbir çözümü olmadığı ortaya çıktı.

№2 Tam sayılarda çözün 3 X = 1 + y 2 .

(0; 0) bu denklemin çözümü olduğunu görmek zor değil. Denklemin başka tamsayı köklerine sahip olmadığını kanıtlamak için kalır.

Durumları düşünün:

1) x∈N, y∈N ise, Z, kalansız üçe bölünebilir ve 1 + y 2, 3'e bölündüğünde şunu verir:

kalan 1 veya 2'dir. Bu nedenle, pozitif tamsayılar için eşitlik

x, y değerleri imkansızdır.

2) x negatif bir tam sayı ise, y∈Z , o zaman 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

eşitlik de imkansızdır. Bu nedenle, (0; 0) tek

Cevap: (0; 0).

№3 Denklemi 2x çözün 2 -2xy+9x+y=2 tam sayılarda:

Sadece birinci dereceden giren bilinmeyeni, yani y değişkenini denklemden ifade edelim:

2x 2 + 9x-2 = 2xy-y, nereden

Bir polinomu bir polinom "açısına" bölme kuralını kullanarak kesrin tamsayı kısmını seçiyoruz. Şunları elde ederiz:

Açıkçası, 2x-1'lik bir fark sadece -3, -1, 1 ve 3 değerlerini alabilir.

Geriye bu dört durumu sıralamak kalıyor, bunun sonucunda çözümler elde ediyoruz: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3).

Cevap: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8. Tam sayılarda iki değişkenli denklemleri değişkenlerden birine göre kare olarak çözme örneği

№1 5x denklemini tam sayılarda çözün 2 +5y 2 + 8xy+2y-2x +2=0

Bu denklem çarpanlara ayırma yöntemi ile çözülebilir, ancak bu yöntem, bu denkleme uygulandığında oldukça zahmetlidir. Daha mantıklı bir yol düşünelim.

Denklemi x değişkenine göre ikinci dereceden bir biçimde yazıyoruz:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Köklerini buluyoruz.

Bu denklemin bir çözümü vardır, ancak ve ancak diskriminant

bu denklemin sıfıra eşittir, yani. - 9(y+1) 2 =0, dolayısıyla y= - 1.

y=-1 ise, x=1.

Cevap: (1; - 1).

9. Tam sayılardaki denklemleri kullanarak problem çözme örneği.

№ 1. Denklemi doğal sayılarda çözün : nerede n>m

n değişkenini m değişkeni cinsinden ifade edelim:

625 sayısının bölenlerini bulalım: bu 1; 5; 25; 125; 625

1) m-25 =1 ise m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, sonra m=30, n=150

3) m-25 =25, sonra m=50, n=50

4) m-25 =125, sonra m=150, n=30

5) m-25 =625, sonra m=650, n=26

Cevap: m=150, n=30

№ 2. Denklemi doğal sayılarla çözün: mn +25 = 4m

Çözüm: milyon +25 = 4m

1) 4m değişkenini n cinsinden ifade edin:

2) 25 sayısının doğal bölenlerini bulun: bu 1'dir; 5; 25

4-n=1 ise n=3, m=25

4-n=5, sonra n=-1, m=5; 4-n =25, sonra n=-21, m=1 (yabancı kökler)

Cevap: (25;3)

Denklemi tamsayılarla çözme görevlerine ek olarak, denklemin tamsayı köklerine sahip olmadığını kanıtlama görevleri vardır.

Bu tür problemleri çözerken, bölünebilmenin aşağıdaki özelliklerini hatırlamak gerekir:

1) n Z ise; n 2'ye bölünebilir, sonra n = 2k, k ∈ Z.

2) n ∈ Z ise; n 2'ye bölünemez, o zaman n = 2k+1, k ∈ Z.

3) n ∈ Z ise; n, 3'e bölünebilir, sonra n = 3k, k ∈ Z.

4) n ∈ Z ise; n 3'e bölünemez, o zaman n = 3k±1, k ∈ Z.

5) n ∈ Z ise; n 4'e bölünemez, o zaman n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) n ∈ Z ise; n(n+1) 2'ye bölünebilir, sonra n (n+1)(n+2) 2;3;6'ya bölünebilir.

7) n; n+1 asaldır.

№3 denkleminin x olduğunu kanıtlayın 2 - 3y = 17'nin tamsayı çözümü yoktur.

Kanıt:

x olsun; y - denklemin çözümleri

x 2 \u003d 3 (y + 6) -1 y ∈ Z o zaman y+6 ∈ Z , yani 3(y+6) 3 ile bölünebilir, dolayısıyla 3(y+6)-1 3 ile bölünemez, dolayısıyla x 2 3 ile bölünemez, dolayısıyla x 3 ile bölünebilir, yani x = 3k±1, k ∈ Z.

Bunu orijinal denklemde yerine koyun.

Bir çelişki yakaladık. Bu, denklemin kanıtlanması gereken tüm çözümleri olmadığı anlamına gelir.

10. Tepe Formülü

Pick'in formülü, 1899'da Avusturyalı matematikçi Georg Pick tarafından keşfedildi. Formül, tamsayılardaki denklemlerle ilgilidir, çünkü çokgenlerden yalnızca tamsayı düğümleri ve denklemlerdeki tamsayılar alınır.

Bu formülü kullanarak, bir hücrede (üçgen, kare, yamuk, dikdörtgen, çokgen) bir sayfa üzerine oluşturulmuş bir şeklin alanını bulabilirsiniz.

Bu formülde çokgenin içinde ve sınırında tamsayı noktaları bulacağız.

Sınavda olacak görevlerde, hücre içinde bir levha üzerine inşa edilmiş bir çokgenin verildiği ve alanı bulma ile ilgili bir soru olduğu bütün bir görev grubu vardır. Hücre ölçeği bir santimetre karedir.

Örnek 1

M - üçgenin sınırındaki düğüm sayısı (yanlarda ve köşelerde)

N, üçgen içindeki düğüm sayısıdır.

*"Düğümler" altında, çizgilerin kesişimini kastediyoruz. Üçgenin alanını bulun:

Düğümlere dikkat edin:

M = 15 (kırmızı ile gösterilir)

N = 34 (mavi ile işaretlenmiştir)

Örnek #2

Çokgenin alanını bulun: Düğümlere dikkat edin:

M = 14 (kırmızı ile gösterilir)

N = 43 (mavi ile işaretlenmiştir)

12.İniş yöntemi

Tam sayılardaki denklemleri çözme yöntemlerinden biri olan iniş yöntemi, Fermat teoremine dayanmaktadır.

İniş yöntemi, sonsuz azalan pozitif z ile sonsuz bir çözüm dizisine tek bir çözüm oluşturmayı içeren bir yöntemdir.

Belirli bir denklemi çözme örneğini kullanarak bu yöntemin algoritmasını ele alacağız.

Örnek 1. Denklemi 5x + 8y = 39 tamsayılarında çözün.

1) Katsayıları en küçük olan bilinmeyeni seçelim (bizim durumumuzda bu x'tir) ve bunu başka bir bilinmeyenle ifade edelim:

2) Tamsayı kısmını seçin: Açıkçası, ifadenin tamsayı olduğu ortaya çıkarsa x tamsayı olacaktır, bu da 4 - 3y sayısı 5'e kalansız bölündüğünde gerçekleşecektir.

3) Aşağıdaki gibi ek bir tamsayı değişkeni z ekleyelim: 4 -3y = 5z. Sonuç olarak, orijinaliyle aynı tipte, ancak daha küçük katsayılara sahip bir denklem elde ederiz.

4) Paragraf 1, 2'dekiyle tamamen aynı şekilde tartışarak, y değişkenine göre zaten çözüyoruz: Tamsayı kısmını seçerek, şunu elde ederiz:

5) Bir öncekine benzer şekilde tartışarak, yeni bir u değişkeni tanıtıyoruz: 3u = 1 - 2z.

6) Bilinmeyeni en küçük katsayılı, bu durumda z: değişkeni ile ifade edin. Bir tamsayı olmasını şart koşarsak, şunu elde ederiz: 1 - u = 2v, buradan u = 1 - 2v olur. Kesir kalmadı, iniş bitti (bir sonraki değişken için ifadede kesir kalmayana kadar işleme devam ediyoruz).

7) Şimdi "yukarı çıkmanız" gerekiyor. Önce z, sonra y ve sonra x değişkeni aracılığıyla ifade edin:

8) v'nin keyfi bir tam sayı olduğu x = 3+8v ve y = 3 - 5v formülleri, orijinal denklemin tam sayılardaki genel çözümünü temsil eder.

Bu nedenle, iniş yöntemi, ilk olarak, değişkenin temsilinde hiç kesir kalmayana kadar bir değişkenin bir diğeri aracılığıyla ardışık ifadesini ve ardından denkleme genel bir çözüm elde etmek için eşitlikler zinciri boyunca ardışık “yükselmeyi” içerir.

12.Sonuç

Çalışmanın sonucunda, tamsayılardaki denklemleri çözmedeki zorlukların, onları çözmenin tüm yöntemlerini bilmemesinden kaynaklandığı hipotezi doğrulandı. Araştırma sırasında, tamsayılardaki denklemleri çözmenin az bilinen yollarını bulmayı ve tanımlamayı başardım, bunları örneklerle gösterdim. Araştırmamın sonuçları matematikle ilgilenen tüm öğrenciler için faydalı olabilir.

13. Kaynakça

Kitap Kaynakları:

1. N. Ya. Vilenkin ve diğerleri, Cebir ve matematiksel analiz / 10. Sınıf, 11. Sınıf / / M., “Prosveshchenie”, 1998;

2. A.F. Ivanov ve diğerleri, Matematik. Sınava hazırlanmak için eğitim ve öğretim materyalleri // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007

3. A. O. Gel’fond, Matematik, sayı teorisi// Denklemleri tam sayılarda çözme// LIBROCOM Kitap Evi

İnternet kaynakları:

4. Demo Seçenekleri kontrol ölçüm malzemeleri matematikte birleşik devlet sınavı http://fipi.ru/

5. Tamsayılardaki denklem çözümlerine örnekler http://reshuege.ru

6. Tamsayılardaki denklem çözümlerine örnekler http://mat-ege.ru

7. Diophant Denklemlerinin Tarihi http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. Diophantus'un Tarihi http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9.Diophant Denklemlerinin Tarihihttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. Diophantus'un Tarihi http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

1.3 Denklemleri çözmenin yolları

Tamsayı ve doğal sayılardaki denklemleri çözerken koşullu olarak ayırt edebiliriz. aşağıdaki yöntemler:

1. Seçenekleri sıralamanın bir yolu.

2. Öklid'in algoritması.

3. Devamlı kesirler.

4. Çarpanlara ayırma yöntemi.

5. Tam sayılardaki denklemleri bazı değişkenlere göre kare şeklinde çözme.

6. Artıkların yöntemi.

7. Sonsuz iniş yöntemi.

Bölüm 2

1. Denklem çözme örnekleri.

2.1 Öklid'in algoritması.

Görev 1 . Denklemi 407 tamsayılarında çözün X – 2816y = 33.

Derlenmiş algoritmayı kullanalım.

1. Öklid algoritmasını kullanarak 407 ve 2816 sayılarının en büyük ortak bölenini buluruz:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Bu nedenle (407.2816) = 11, 33'ün 11'e bölünebilmesi

2. Denklem 37'yi elde etmek için orijinal denklemin her iki tarafını da 11'e bölün X – 256y= 3 ve (37, 256) = 1

3. Öklid algoritmasını kullanarak, 37 ve 256 sayıları aracılığıyla 1 sayısının doğrusal bir temsilini buluruz.

256 = 37 6 + 34;

Son eşitlikten 1'i ifade edelim, ardından art arda yükselen 3'ü ifade edeceğiz; 34 ve elde edilen ifadeleri 1 ifadesinin yerine koyun.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83 37 – 256 (–12)

Böylece, 37 (- 83) - 256 (-12) = 1, dolayısıyla sayı çifti x 0= – 83 ve 0'da= – 12, Denklem 37'nin çözümüdür X – 256y = 3.

4. Orijinal denklemin çözümleri için genel formülü yazın

nerede t- herhangi bir tam sayı.

2.2 Seçenekleri sıralamanın yolu.

Görev 2. Tavşanlar ve sülünler bir kafeste otururlar, toplam 18 bacakları vardır. Bunlardan ve diğerlerinden kaç tanesinin hücrede olduğunu bul.

Çözüm: x'in tavşan sayısı, y'nin sülün sayısı olduğu iki bilinmeyen değişkenli bir denklem kurulur:

4x + 2y = 18 veya 2x + y = 9.

İfade etmek de vasıtasıyla X : y \u003d 9 - 2x.

Böylece, problemin dört çözümü vardır.

Cevap: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Faktoring yöntemi.

İki değişkenli bir denkleme doğal çözümler bulurken seçeneklerin sıralanması çok zahmetli oluyor. Ayrıca, eğer denklem tüm sonsuz sayıda çözüm olduğu için bunları saymak imkansızdır. Bu nedenle, bir numara daha göstereceğiz - çarpanlara ayırma yöntemi.

Görev 3. Denklemi tam sayılarda çözüny 3 - x 3 = 91.

Çözüm. 1) Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak denklemin sağ tarafını faktörlere ayırırız:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)

2) 91 sayısının tüm bölenlerini yazın: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

3) Araştırma yaparız. Herhangi bir tamsayı için unutmayın x ve y sayı

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

bu nedenle, denklemin sol tarafındaki her iki faktör de pozitif olmalıdır. O zaman denklem (1) bir dizi denklem sistemine eşdeğerdir:

4) Sistemleri çözdükten sonra şunu elde ederiz: birinci sistemin çözümleri (5; 6), (-6; -5); üçüncü (-3; 4),(-4; 3); tamsayılarda ikinci ve dördüncü çözümler yoktur.

Cevap:(1) denkleminin dört çözümü vardır (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Görev 4. Denklemi sağlayan tüm doğal sayı çiftlerini bulun

Çözüm. Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırıyoruz ve denklemi şu şekilde yazıyoruz.

Çünkü 69 sayısının bölenleri 1, 3, 23 ve 69 sayılarıdır, bu durumda 69 iki şekilde elde edilebilir: 69=1 69 ve 69=3 23. Verilen

İlk sistemin bir çözümü var

Cevap:

Görev 5. Denklemi tam sayılarda çözün:

Çözüm. Denklemi formda yazıyoruz

Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayıralım. Almak

İki tamsayının çarpımı yalnızca iki durumda 1'e eşit olabilir: eğer her ikisi de 1 veya -1'e eşitse. İki sistem alıyoruz:

İlk sistem x=2, y=2 çözümüne sahiptir ve ikinci sistem x=0, y=0 çözümüne sahiptir.

Cevap:

Görev 6. Denklemi tam sayılarda çözün

Çözüm. Bu denklemi formda yazıyoruz

Denklemin sol tarafını gruplama yöntemiyle faktörlere ayırırız, elde ederiz

Aşağıdaki durumlarda iki tamsayının çarpımı 7'ye eşit olabilir:

7=1 7=7 1=-1 (-7)=-7 (-1) Böylece dört sistem elde ederiz:

Birinci sistemin çözümü bir çift sayıdır x = - 5, y = - 6. İkinci sistemi çözerek x = 13, y = 6 elde ederiz. Üçüncü sistem için çözüm, x = 5 sayılarıdır, y = 6. Dördüncü sistemin çözümü x = - 13, y = - 6.

Görev 7. Denklemin ( x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 değil

Son video, iki değişken içeren lineer denklemlere ayrılmıştı. Bu tür ifadelerin temel özelliklerini, dönüşüm ve çözüm olanaklarını ve ayrıca grafik ekranıİki değişken arasındaki bağımlılıklar.

Bu denklemlerin büyük çoğunluğunun, her zaman bir çift sayı ile temsil edilen bir dizi cevabı olduğu bilinmektedir. Bu çift, x ve y değerleridir. Aşağıdaki formun denkleminin köklerinin olası çeşitlerini düşünün:

Açıkçası, (4, 6) çifti bu denklemin kökleri olabilir:

Veya 1/5 ve 1/3 kesirler:

5(1/5) - 3(1/3) = 2

Her iki durumda da, doğru eşitlik elde edilir, bu, her iki kök çiftinin de sunulan denklemin bir çözümü olarak kabul edilebilir olduğu anlamına gelir. Ancak aynı zamanda, bir çift kesirdir ve ikincisi tamsayılarla temsil edilir. Değerleri tamsayı olan iki değişkenli denklemlerin köklerine tamsayı denir.
Matematikte oldukça sık, bu tür denklemlerin tamsayı çözümlerini gerektiren problemler vardır. Öte yandan, aşağıdaki gibi bazı varyasyonlar:

bir bütün yok sayısal çözümler genel olarak. X ve y'nin herhangi bir tamsayı değeri için bir tamsayı elde edersiniz. genel ifade hiçbir şekilde bir kesire eşit olamayacak sol taraf (2x + 3y) - yani eşitliğin korunması ilkesi ihlal edilecektir.
Denklemin olası çözümlerini düşünün:

Eşittir işareti ve özdeş dönüşümler yoluyla aktarımı kullanarak bunu bir bağımlılık formuna çevirelim:

Formun eşitliğinin korunduğu oldukça açıktır:

Burada n, değerinde bir tam sayı olabilecek herhangi bir doğal sayıdır. Yani, 7x - y \u003d -1 denkleminin bir dizi tamsayı çözümü vardır. Herhangi bir tamsayıyı x olarak kontrol edelim:

x = -3; y = -26

İki değişkenli herhangi bir doğrusal denklemi tanımlamak için genel soyut formülü zaten biliyoruz:

x ve y değişkenler olduğunda, a ve b değişkenlerin katsayılarıdır ve c serbest bir terimdir. x ve y ile doğrusal ifadelere benzer herhangi bir denklem, eşdeğer dönüşümlerle böyle soyut bir forma indirgenebilir. Detaylı çalışma Genel formül tamsayı çözümlerinin varlığı açısından bazı kalıpları tanımlamayı kolaylaştırır. Öyleyse, formun bir denklemi verilirse:

Serbest terimin bir kesir olduğu durumlarda, denklemin kökleri integral sayısal ifadeler olamaz. Temel cebir yasasına göre iki tamsayının toplamı veya farkı kesirli bir ifadeye eşit olamaz.

Sayının fazla olması nedeniyle Muhtemel çözümler, iki değişkenli denklemlerin kökleri bazen bir çift bireysel sayı değil, bir çift iki bireysel formül şeklini alır - x ve y için. Örneğin, denklemi çözelim:

Bunun için bir takım dönüşümler yapmamız gerekiyor. Tek terimli 20x'i aynı toplam 18x + 2x'e bölelim:

20x = 18x + 2x

18x + 2x + 3y = 10

Çoklu sayısal katsayıları olan tek terimlileri gruplandırıyoruz. x'in mümkün olduğu kadar büyük bir katsayı ve y değişkeninin sayısal katsayısının bir katı ile elde edilebilmesi için x değişkeninin bir toplama bölünmesi gerektiğini belirtmekte fayda var. Örneğimizde y'de bir üçlü olduğu için, x'i izin verilen maksimum katsayı, üçün katı ile kırıyoruz. Gruplamadan sonra ortak çarpanı çıkarıyoruz:

18x + 2x + 3y = 10

18x + 3y + 2x = 10

3(6x + y) + 2x = 10

Parantez içindeki ifade (6x + y) bir c değişkenine eşit olsun, o zaman:

3(6x + y) + 2x = 10

x için katsayıyı böldüğümüz gibi, c değişkeninin değerini de aynı prensibe göre bölüyoruz. Bu durumda, ikinin katı olacak (2x'teki değer), ancak üçten fazla olmayacak belirli bir sayı seçmemiz gerekiyor. Açıkçası şöyle olacak:

2s + s + 2x = 10

Aynı değişiklikleri yapıyoruz:

2s + s + 2x = 10

2(c + x) + c = 10

Parantezlerin içeriğini n olarak gösterelim, o zaman:

2(c + x) + c = 10

Ortaya çıkan eşitliği yerine şununla değiştiririz:

3(10 - 2n) + 2x = 10

Ve x değişkeni için elde edilen denklemi çözüyoruz:

3(10 - 2n) + 2x = 10

30 - 6n + 2x = 10

2x \u003d 10 + 6n - 30

Yazmak uygundur:

6x + y \u003d n - x

y'yi hesaplamak için bildiğimiz formülü x yerine koyarız:

6x + y \u003d n - x

6(- 10 + 3n) + y = n - (- 10 + 3n)

60 + 18n + y = n + 10 - 3n

y \u003d n + 10 - 3n + 60 - 18n

20x + 3y = 10 denkleminin kökleri, formun iki ifadesidir:

n herhangi bir tam sayı olduğunda - 0, 1, 2, vb. Bu nedenle, olası tamsayı çözümlerinin tüm çeşitliliğini tanımlamanın en kolay yolu, x ve y'yi hızlı bir şekilde hesaplamak için bazı formülleri hesaplamaktır. Bu formüllerde herhangi bir n ifadesini değiştirerek, istediğiniz sayı çiftini kolayca elde edebilirsiniz.