Çoğu zaman, bir zaman serisi olarak sunulan ekonomik göstergeler karmaşık bir yapıya sahiptir. Bu tür serilerin trend, mevsimsellik ve periyodik bileşen modeli oluşturularak modellenmesi tatmin edici sonuçlara yol açmamaktadır. Bir dizi kalıntı genellikle istatistiksel kalıplara sahiptir. En yaygın durağan seri modelleri, otoregresif ve hareketli ortalama modelleridir.

Durağan zaman serilerinin sınıfını ele alacağız. Görev, bir zaman serisi artıkları modeli oluşturmaktır. sen ve değerlerini tahmin etmek.

Otoregresif model, durağan zaman serilerini tanımlamak için tasarlanmıştır. Durağan süreç, oldukça hızlı azalan katsayılarla sonsuz mertebeden otoregresyon denklemini karşılar. Bu nedenle özellikle otoregresif model yeterlidir. yüksek mertebe hemen hemen her durağan süreci iyi bir şekilde yaklaştırabilir. Bu bağlamda, otoregresif model genellikle regresyon modeli veya trend modeli gibi şu veya bu parametrik modeldeki artıkları modellemek için kullanılır.

Markov süreçlerine, nesnenin sonraki her andaki durumunun yalnızca o andaki durumu tarafından belirlendiği ve nesnenin bu duruma nasıl ulaştığına bağlı olmadığı süreçler denir. açısından korelasyon analizi Zaman serileri için Markov süreci şu şekilde tanımlanabilir: Orijinal seri ile bir zaman aralığı kaydırılan seri arasında istatistiksel olarak anlamlı bir korelasyon vardır ve iki, üç vb. zaman aralığı ile kaydırılan seriler ile herhangi bir korelasyon yoktur. İdeal olarak, bu korelasyon katsayıları sıfırdır.

sen(t)=sen(t-1)+e(t) , (5.1)

nerede m- sayısal katsayı | m|<1, e(t) "beyaz gürültü" (E( e(t))=0, E( e(t)e(t+t))=).

Model (5.1) ayrıca Markov süreci olarak da adlandırılır.

E(sen(t))º0. (5.2)

r(sen(t)sen(t± t))=m t . (5.3)

Dsen(t)=s 2 /(1-m 2). (5.4)

cov( sen(t)sen(t±t))= m t Dsen(t). (5.5)

(5.3)'ten, | m| birlik varyansına yakın sen(t) varyanstan çok daha büyük olacaktır e t. Bunun anlamı (verilen (5.2) m=r(sen(t)sen(t±1))= r(1), yani parametre m serinin komşu değerlerinin güçlü bir korelasyonu olması durumunda birinci dereceden bir otokorelasyon değeri olarak yorumlanabilir. sen(t) bir dizi zayıf pertürbasyon e t artıkların kapsamlı salınımlarını üretecek sen(t).

Seri (5.1) için durağanlık koşulu, gereksinim | m|<1.

Otokorelasyon fonksiyonu (ACF) r(t) Markov sürecinin bağıntısı (5.3) ile belirlenir.

Kısmi otokorelasyon işlevi

r sık ( t)=r(sen(t)sen(t+t)) | sen(+ 1)=sen(+ 2)=…=sen(t+t-1)=0

formülle hesaplanabilir: r bölüm (2)=( r(2)-r 2 (1))/(1-r 2 (1)). İkinci ve daha yüksek siparişler için (bkz. s. 413, 414) r sık ( t)=0 "t=2,3,… . Bunu modele (5.1) uydurmak için kullanmak uygundur: eğer tahmin edilen artıklardan hesaplanırsa sen(t)=YT-örnek kısmi korelasyonlar, sıfırdan istatistiksel olarak önemsiz derecede farklıdır. t=2,3,…, ardından modeli kullanarak AR(1) rastgele artıkları tanımlamak için orijinal verilerle çelişmez.

Model tanımlama. Parametreleri istatistiksel olarak tahmin etmek gerekir m ve s Orijinal serinin mevcut değerlerine göre 2 model (5.1) YT.

Zaman serilerine dayalı analiz ve tahminde önemli olan durağan zaman serisi, olasılık özellikleri zamanla değişmez. Zaman serisi y ( = (1,2,..., P) ortak olasılık dağılımı ise kesinlikle durağan olduğu söylenir. P gözlemler y ( , y 2 , ???, y p gözlemlerle aynı y 1+m, y 2+m, ???,U n+T(herhangi bir ", / onlar için). Kesin olarak durağan serilerin özellikleri zamanın anına bağlı değildir.Bu nedenle, durağan bir rastgele süreç, aşağıdaki gibi ana olasılık özelliklerinin zamanla değişmezliği ile karakterize edilir. beklenen değer ve dispersiyon.

Durağan seriler, özellikleri zamanla değişmeyen, zaman içinde homojen olan rastgele süreçler olarak anlaşılır /. Bu süreçlerin özellikleri, süreçlerin özelliklerini belirlemekte ve araştırma konusudur. Bu özellikler (matematiksel beklenti, dağılım vb.) belirli bir doğruluk derecesi ile bulunabilirse, bu tür durağan süreçleri tahmin etme sorunu son derece basit hale gelir. Aynı zamanda, durağan süreçler dinamiklerin çok farklı bir doğasına sahip olabilir - bunların bir kısmındaki değişiklik zaman içinde belirgin eğilimlere sahip değildir, diğer kısmın dinamikleri de zaman içinde açıkça ifade edilmiş bir eğilime sahiptir. çok karmaşık doğrusal olmayan bir doğa. Böylece, zaman serisi dinamiği türlerinin durağan grubu sırayla iki alt gruba ayrılabilir: 1) basit durağan; 2) karmaşık sabit. Birinci grup faktör için, basit bir durağan tip, matematiksel beklentilerinin zamanında değişmezlik koşulu ve rastgele süreçlerin diğer özellikleri karşılanır. Olasılık sürecinin matematiksel beklentisi ve diğer özellikleri zamanla değişirse, bu tür seriler karmaşık durağandır.

Durağan ve durağan olmayan zaman serileri modelleri

Basit Durağan İşlemler sosyo-ekonomik nesnelerle ilgili olarak, en basit matematiksel istatistik yöntemleri kullanılarak analiz edilir ve tahmin edilir (nokta ve aralık tahminleri zaman serisi dinamikleri). Çoğu zaman, bir normal dağılım yasasının varlığı ileri sürülebilir ve bu nedenle ana çabalar, uygun istatistiksel hipotezler ve bunları test etmek için yöntemler kullanarak bu ifadeyi kanıtlamaya ve bundan sonra sürecin özelliklerini hesaplamaya yönlendirilmelidir. Çalışılan serinin dağılımının normal doğası hakkındaki hipotezi doğrulamak mümkün olsaydı, matematiksel beklentisinin en iyi tahmini aritmetik ortalamadır ve varyansın en iyi tahmini örnek varyansıdır. Ayrıca, örnekleme yönteminin temel ilkesi burada geçerlidir - daha fazla gözlem, modelin tahminini daha iyi yapar.

Karmaşık sabit süreçler göstergeleri zamanla değişen nesneyi etkileyen birçok faktörün varlığını gösterir. Bu nedenle, tahmincinin görevi, bu faktörlerin ana öğelerini belirlemek ve ana faktörlerin tahmin nesnesi üzerindeki etkisini tanımlayan bir model oluşturmaktır. Bu faktörlerin birçoğu varsa ve herhangi bir nedenle ana olanları ayırt etmek imkansızsa, zamanın böyle bir genelleme faktörü olarak hareket ettiğini düşünürler ve tahmin göstergesi ile zaman arasındaki ilişkinin bir modelini bulurlar. Kural olarak, bu durumlarda araştırmacı, rastgele dinamik durağan bir sürecin temel özelliklerinin çoğunu bilmez. Sürecin gözlemsel verilerinden bu özellikleri bulmalıdır. Burada araştırmacı, bazı a priori varsayımlara başvurmak zorunda kalır - bir veya başka bir olasılık dağılımı yasasının varlığını, sürecin özelliklerini ve ilişkilerini, dinamiklerin doğasını vb. Bu durumda, ekonomi biliminin adı verilen bölümü Ekonometri.

Karmaşık durağan serilerin istatistiksel özellikleri

zamanla değişirse, bu özellikler verilen bazı fonksiyonlar hesaplanarak toplanabilir ve ortaya çıkarılabilir. Bu amaçla ilk kez kullanılan işlev, otokorelasyon fonksiyonu(AKF). p y 2 zaman serisinin gözlem dizileri arasındaki bağlantının sıkılık derecesi, -,y yi 1+t, y2+x, ’ Paket+x genellikle ile tanımlanır örnek korelasyon katsayısı r( t). Formülü aşağıda verilmiştir:

/7-T (/7-T L ^

(l-t) 2>, 2 - 5>,

Xp-"ş.

• (6.5)

burada m, otokorelasyon katsayısının hesaplandığı dönem sayısıdır (gecikme).

Bu katsayı, aynı serinin seviyeleri arasındaki korelasyonu değerlendirir, bu nedenle bazen denir. otokorelasyon katsayısı. Hesaplama formülü 1. dereceden otokorelasyon katsayısı(m = 1 için) aşağıdaki gibi gösterilebilir:

• (6.6)

• 1=2 1=2

2. dereceden otokorelasyon katsayısı formül tarafından belirlenir

• (6.8)
• - 2

• 1l 5> n
• (6.9)

Gecikme arttıkça, otokorelasyon katsayısını hesaplamak için kullanılan değer çiftlerinin sayısı azalır. Otokorelasyon katsayılarının istatistiksel güvenilirliğini sağlamak için kuralın kullanılması uygun kabul edilir - maksimum gecikme s/6.İşlev G( t) denir örnek otokorelasyon fonksiyonu, ve onun programı korelogram benim.Örnek otokorelasyon fonksiyonunun formu, aşağıdakilerle yakından ilgilidir:

; y, = " 3

satır yapısı.

• 1. Otokorelasyon fonksiyonu g(t) m > 0'daki "beyaz gürültü" için de ortalama değeri sıfır olan durağan bir zaman serisi oluşturur.
• 2. Durağan bir seri için, ACF artan m ile hızla azalır.Belirli bir trendin varlığında, otokorelasyon fonksiyonu çok yavaş düşen bir eğrinin karakteristik biçimini alır.
• 3. Belirgin mevsimsellik durumunda, ACF grafiği ayrıca mevsimsellik döneminin katları olan gecikmeler için "aykırı değerler" içerir, ancak bu "aykırı değerler", bir eğilimin varlığı veya rastgele bileşenin büyük bir dağılımı ile örtülebilir.

Birinci mertebeden otokorelasyon katsayısının en yüksek olduğu ortaya çıkarsa, incelenen seri sadece bir trend içerir. m mertebesinin otokorelasyon katsayısının en yüksek olduğu ortaya çıkarsa, seri, m zaman noktası periyodikliğine sahip döngüsel dalgalanmalar içerir. Otokorelasyon katsayılarından hiçbiri anlamlı değilse, bu serinin yapısı hakkında iki varsayımdan biri yapılabilir: ya seri bir eğilim ve döngüsel dalgalanmalar içermiyor ya da seri, ek analiz gerektiren belirgin bir doğrusal olmayan eğilim içeriyor. tespit etmek. Bu nedenle, zaman serisindeki trend bileşenini ve döngüsel (mevsimsel) bileşeni tanımlamak için otokorelasyon katsayısı ve otokorelasyon fonksiyonunun kullanılması tavsiye edilir. Bu nedenle, karmaşık durağan zaman serilerini incelerken asıl görev, otokorelasyonu belirlemek ve ortadan kaldırmaktır.

Durağan olmayan süreçler durağan olanların aksine, zamanla tüm özelliklerini değiştirmeleri bakımından farklılık gösterirler. Ayrıca, bu değişiklik o kadar önemli olabilir ki, bir göstergenin dinamikleri tamamen bir göstergenin gelişimini yansıtacaktır. farklı süreçler. Tahmin nesnesinin tüm karşılıklı ilişkileri ve karşılıklı bağımlılıkları zamanla değişir. Ayrıca tahmin nesnesini oluşturan unsurların etkileşim yapısı ve yönü de zaman içinde değişmektedir. Artışların zamanla ne kadar değiştiğine bağlı olarak DIŞARI), durağan olmayan süreçler de iki alt gruba ayrılabilir: 1) evrimsel süreçler; 2) kaotik süreçler.

artışlar ise DIŞARI) yansıması durağan olmayan bir serinin uygulanması olan sistemde meydana gelen nicel ve nitel değişikliklerin bir sonucu olarak zamanla kademeli olarak artar, o zaman bu süreçler çağrılabilir. evrimsel. Aynı zamanda, belirsizlikteki artışı karakterize eden D K(7)/T(? + 7) oranı zamanla artan bir değere sahiptir. T dinamikler - sıfırdan sonsuza. artışlar ne zaman DIŞARI) zaman içinde yeterince belirgin bir eğilimi yoktur ve değişiklikleri kaotiktir (örneğin, ilk gözlemde DIŞARI) göstergenin kendisiyle karşılaştırıldığında oldukça büyük olabilir U(T)), o zaman bu tür işlemler olarak sınıflandırılabilir kaotik. Dinamiklerin kaotik doğası, sürecin kendisinin eylemsiz olmadığı ve gelişiminin dinamiklerinin dış veya iç faktörlerin etkisi altında kolayca değiştiği veya eylemsizlik sürecinin böyle bir kuvvetin dış faktörlerinden etkilendiği durumlarda ortaya çıkar. sürecin iç yapısı onların etkisi altında “kırılır”, ara bağlantıları ve dinamikleri. Başka bir deyişle, evrimsel dinamikler, uyum süreci dış ve iç etkilere karşı nesne ve kaotik dinamikler - bir nesnenin uyum sağlama yeteneğinin olmaması.

Durağan olmayan dinamiklerin karmaşık doğası, bu dinamiği modellemek ve tahmin etmek için aparatın karmaşıklığını önceden belirler. Ekonomik durumun evrimsel bileşenlerini yakın zamana kadar tahmin etmek, sosyo-ekonomik tahminde uzmanların görüş alanına girmedi - sadece son yıllar tahminle ilgili ders kitaplarında ilgili bölümlere yer verilmeye başlanmıştır. Uygulamada, evrimsel süreçler ayrı bir grup olarak seçilmedi ve analizleri ve tahminleri için böyle bir uygulamanın doğruluğunu düşünmeden klasik ekonometri yöntemleri kullanıldı. Sosyo-ekonomik dinamikleri tahmin etme uygulamasında araç seçiminde ciddi hatalara ve önemli tahmin dağılımına yol açan, tahmin nesnesinin özellikleriyle metodolojik olarak uyumsuz olan tahmin cihazının kullanılmasıdır. Evrimsel bir türdeki sosyo-ekonomik göstergelerin zaman serilerini tahmin etmek için, metodolojik olarak kullanılması haklıdır. Uyarlanabilir tahmin yöntemleri. Kaotik bir dizi sosyo-ekonomik dinamikleri tahmin etme sorunları şu anda kullanılarak çözülmektedir. kaos teorisi ve felaket teorisi.

Daha sonra, karmaşık durağan ve evrimsel durağan olmayan tahmin yöntemlerini ele alacağız. dinamik süreçler. Yukarıdaki türden diziler için, 1990'ların ortalarında İngiliz istatistikçiler D. Box ve W. Jenkins. bir tahmin algoritması geliştirilmiştir. Box-Jenkins algoritmalarının hiyerarşisi birkaç algoritma içerir, bunlardan en ünlüsü ve kullanılanı algoritmadır. AYA1MA. Hemen hemen tüm özel tahmin paketlerinde yerleşik olarak bulunur. Klasik versiyonda LYA1MA bağımsız değişkenler kullanılmaz. Modeller, yalnızca tahmin edilen serinin geçmişinde yer alan ve algoritmanın yeteneklerini sınırlayan bilgilere dayanır. Şu anda Bilimsel edebiyat model varyantlarından sıklıkla bahsedilir AYA1MA, bağımsız değişkenlerin dikkate alınmasına izin verir.

Modeller AYA1MA esas olarak verilerin otokorelasyon yapısına dayanmaktadır. metodolojide AYA1MA Bu zaman serisini tahmin etmek için net bir model sağlanmamıştır. Yalnızca bir zaman serisini tanımlayan ve bir değişkenin mevcut değerini önceki değerleri aracılığıyla ifade etmeye izin veren genel bir model sınıfı belirtilir. Daha sonra algoritma AYA1MA, modellerin parametrelerini ayarlayarak en uygun tahmin modelini seçer. Box-Jenkins modellerinde tam bir hiyerarşi vardır. Mantıksal olarak şu şekilde tanımlanabilir:

AZ(p) + MA(d) -> AYAMA(p, d) AYAMA(p, d)(P, 0 ->

-? AR1MA(p, d, d)(P, 0 BEN) ... (6.10)

nerede AYA (r) - otoregresif sipariş modeli p MA(d) - hareketli ortalama sipariş modeli d; AYAMA(r, d) - otoregresyon ve hareketli ortalamanın birleşik modeli; AYAMA(p, e) (P, O)- üstel yumuşatma modeli; AYA1MA(p, e, d) (P, 0 BEN)- doğrusal bir eğilim ile durağan olmayan evrimsel sürecin modellenmesi.

İlk üç model, karmaşık durağan zaman serilerinin dinamiklerine yaklaşırken, sonraki iki model, durağan olmayan evrimsel zaman serilerinin dinamiklerine yaklaşır. Artıklar (çoğunlukla küçük) rastgele dağıtılıyorsa ve faydalı bilgi içermiyorsa, model kabul edilebilir olarak kabul edilir. Verilen model tatmin edici değilse, süreç tekrarlanır, ancak yeni geliştirilmiş bir model kullanılır. Bu yinelemeli prosedür, tatmin edici bir model bulunana kadar tekrarlanır. Bu noktadan sonra verilen model tahmin amaçlı kullanılabilir.

modelde AŞMA dinamik aralık seviyesi deönceki değerlerinin ve artık değerlerinin ağırlıklı toplamı olarak tanımlanır Örneğin -şimdiki ve önceki. Sıra otoregresif modelini birleştirir. R ve hareketli ortalama sipariş modeli c. Eğilim dahildir LSMA seri sonlu fark operatörünü kullanarak y g Doğrusal bir trendi filtrelemek için, parabolik bir trendi filtrelemek için 1. derece farklar kullanılır - 2. derece farklar, vb. Fark inci sabit olmalıdır. Model görünümü AŞMA, gerçek sürece yeterliliği ve tahmin edici özellikleri, otoregresyon sırasına bağlıdır. R ve hareketli ortalamanın sırası

Modellemenin kilit anı, tanımlama prosedürüdür - model tipinin doğrulanması. Standart yöntemde AŞMA tanımlama, otokorelogramların görsel bir analizine indirgenir ve buna göre ekonomi ilkesine dayanır. (p + ashma düzeni (R, (1 , (Rya, A?, 05). Böylece, zaman serisi tanımlama artıkların “beyaz gürültü” olduğu ve tüm regresyonların anlamlı olduğu bir dizi artık için yeterli bir modelin oluşturulması olarak adlandırılır.

Bazı modelleri düşünün AŞMA daha fazla. otoregresif model emir R forma sahip

Y, = Ro + P1 saat,-1 + P 2 T/- 2 + + P RU, - R+ e, (* = ben 2, ..., P), (6.11)

burada P 0 , p., ..., p bazı sabitlerdir; G (- ihmal edilebilecek "beyaz gürültü" seviyesi.

İncelenen süreç ise deşu anda Г sadece önceki 7-1 periyodundaki değerleriyle belirlenir, o zaman birinci dereceden bir otoregresif model elde ederiz

sen,\u003d P 0 + P1L-1 + e, (7 \u003d 1,2, ..., "), (6.12)

AT hareketli ortalama modelleri simüle edilmiş değer verilir doğrusal fonksiyonönceki zamanlardaki bozulmalardan (artıklardan). q sırasının hareketli ortalama modeli şu şekildedir:

Y,= e 1 -Y 1 e, -1-Y 2 e, - 2 - - -Y, e, -, (7 \u003d 1,2, ..., "), (6.13)

burada y p u., ..., y bazı sabitlerdir; e - hatalar.

Çoğu zaman, aşağıdaki şekle sahip birleştirilmiş otoregresif ve hareketli ortalama modeli kullanılır.

Y, = Ro + R.L-, + RzYa-2+- + RPU "-r +?1 - U&-1 - U 2^-2 -???- U&-Z (6.14)

Seçenekler R ve

• 1) bir parametre (R), otokorelasyon fonksiyonu (ACF) üstel olarak azalırsa;
• 2) iki otoregresyon parametresi (R), ACF sinüzoid şeklindeyse veya katlanarak azalıyorsa;
• 3) bir hareketli ortalama parametresi (
• 4) hareketli ortalamanın iki parametresi (e) ACF'nin gecikme 1 ve 2'de aykırı değerleri varsa ve diğer gecikmelerde korelasyon yoksa.

Uyarlanabilir Tahmin

Durağan olmayan evrimsel zaman serilerini incelerken kullanılır. uyarlanabilir tahmin. Uyarlanabilir tahmin yöntemleri yapılarını ve parametrelerini değişen koşullara uyarlayabilen bir dizi veri indirgeme modelidir. Uyarlanabilir modellerin parametreleri tahmin edilirken, gözlemlere (serinin seviyeleri), mevcut seviye üzerindeki etkilerinin ne kadar güçlü kabul edildiğine bağlı olarak farklı ağırlıklar atanır. Bu, trenddeki değişiklikleri ve bir modelin izlenebileceği herhangi bir dalgalanmayı hesaba katmanıza olanak tanır. Uyarlanabilir tahmin yöntemleri, yeni alınan bilgilere dayalı olarak tahmin modellerinin seçilmesi ve uyarlanmasıdır. Bunlardan en yaygın olanları, üstel yumuşatma yöntemini ve Helwig harmonik ağırlık yöntemini içerir.

Üstel yumuşatma yöntemi. Özelliği, her gözlem için hizalama prosedüründe, yalnızca belirli bir ağırlıkla alınan zaman serisinin önceki seviyelerinin değerlerinin kullanılması gerçeğinde yatmaktadır. Düzleştirilmiş değerin belirlendiği andan uzaklaştıkça her bir gözlemin ağırlığı azalır. Şu anda seri 5 seviyesinin düzleştirilmiş değeri / formülü ile belirlenir.

5, \u003d ay, + (1-a) 5,_ 1, (6.15)

burada 5, şu andaki üstel ortalamanın değeridir /; 5 / _ 1 - şu anda üstel ortalamanın değeri (/ - 1); ? - ekonomik sürecin o zamanki değeri /; a - dinamik serinin /-th değerinin ağırlığı (veya değerleri sıfırdan bire değişen yumuşatma parametresi).

Formül (6.15)'in tutarlı bir şekilde uygulanması, belirli bir zaman serisinin tüm seviyelerinin değerleri aracılığıyla üstel ortalamanın hesaplanmasını mümkün kılar. Ayrıca formül (6.15) temelinde 1. mertebenin üstel ortalamaları belirlenir, yani. zaman serisinin ilk verilerinin düzleştirilmesiyle doğrudan elde edilen ortalamalar. Orijinal serinin yumuşatılmasından sonraki trendin net olarak tanımlanmadığı durumlarda, yumuşatma prosedürü tekrarlanır, yani. (6.16-6.18) ifadelerini kullanarak ikinci, üçüncü mertebeden vb. üstel ortalamaları hesaplayın:

burada 5^ üstel ortalamadır kim bir noktada sipariş ben (k = 1,

2, 3,..., P).

Doğrusal model için de = 0 + bir ve başlangıç ​​koşulları aşağıdaki gibidir:

? - bir - bir2 (1~a) a^O(y) "O"R (y) "Ah bir"

Bu model için birinci ve ikinci mertebeden üstel ortalamalar:

5,1" = ay,+ (1? - a)5™5,1 "= a5|" + (1 - a) 5.

Tahmin, formüle göre gerçekleştirilir. y *= ben 0 + ben,/. Ayrıca, parametreler 0 ve a ( sırasıyla eşit

• (6.19)
• (6.20)

Tahmin hatası formül tarafından belirlenir

) / (G-a) [* -4 (1 - a) + 5 (1 - a) 2 + 2a (4-3a)

/ + 2 bir saat

nerede yy - doğrusal bir eğilimden standart sapma hatası.

Harmonik ağırlıklar yöntemi. Bu yöntem Polonyalı istatistikçi Z. Helwig tarafından geliştirilmiştir. Basit üstel yumuşatma yöntemine yakındır, aynı prensibi kullanır. Hareketli bir göstergenin ağırlığına dayanır, ancak hareketli bir ortalama yerine hareketli bir trend fikri kullanılır. pro-

hareketli bir trend üzerinde gerçekleştirilirse, çoklu çizginin tek tek noktaları harmonik ağırlıklar kullanılarak ağırlıklandırılır, bu da daha yeni gözlemlere daha fazla ağırlık verilmesine olanak tanır. Harmonik ağırlıklar yöntemi aşağıdaki varsayımlara dayanmaktadır:

• ekonomik sürecin incelendiği zaman periyodu, onun kalıplarını belirleyebilmek için yeterince uzun olmalıdır;
• ilk dinamik serisinde sıçrama olmamalıdır

• bir sosyo-ekonomik fenomenin ataleti olması gerekir, yani. sürecin özelliklerinde önemli bir değişikliğin meydana gelmesi için önemli bir süre geçmesi gerekir;
• hareketli trendden sapmalar rastgeledir;
• ardışık farklardan hesaplanan otokorelasyon fonksiyonu / arttıkça azalmalıdır, yani. daha yeni bilgilerin etkisi, orijinal bilgiden ziyade tahmin edilen değere daha güçlü bir şekilde yansıtılmalıdır.

Harmonik ağırlıklar yöntemiyle doğru bir tahmin elde etmek için, orijinal zaman serisi için yukarıdaki tüm ön koşulların yerine getirilmesi gerekir. Bu yöntemi kullanmak için orijinal seri aşamalara ayrılır. ile. Faz sayısı, serinin üye sayısından az olmalıdır. P, yani k Tipik olarak, aşama üç ila beş seviyedir. Her aşama için doğrusal bir eğilim hesaplanır, yani.

Y t \u003d bir,+ V 0" = 1, 2 ,P - ile + 1).

Ayrıca, bir için / eşittir, Γ = 1, 2,..., ile;/ ikiye eşit, Γ = 2, 3,..., ile+1; için / eşittir p - k+ 1, r = ben - k + ,n - k +2,..., P. Parametreleri değerlendirmek için a. ( ve bw en küçük kareler yöntemi kullanılır. Alınan yardımı ile (n - ila + 1) denklemler hareketli trendin değerleri ile belirlenir. Bu amaçla değerler y (tsu bunun için Г = /, gösterilirler y.^. Olsunlar Pu Sonra ortalama bulunur YT formüle göre

Bundan sonra, hareketli trendden sapmaların durağan bir süreç olduğu hipotezini test etmek gerekir. Bu amaçla bir otokorelasyon fonksiyonu hesaplanır. Otokorelasyon fonksiyonunun değerleri dönemden döneme azalırsa, bu yöntemin beşinci öncülü karşılanır. Daha sonra, artışlar formülle hesaplanır

Ortalama kazanç formülle hesaplanır

nerede С" +| - С” +1 > 0 (/ = 1.2) koşullarını sağlayan harmonik katsayılar P- 1) ve ^C," (= 1.

İfade (6.25), daha sonraki bilgilere daha fazla ağırlık verilmesine izin verir, çünkü kazançlar, şu an için orijinal bilgiyi sonrakinden ayıran zamanla ters orantılıdır Г = P.İlk bilgilerin ağırlığı varsa t 2 \u003d / [n - 1), sonra

zamanın bir sonraki noktasıyla ilgili bilgilerin ağırlığı eşittir

t, \u003d t 2 - 1--- = --I---. (6.26)

3 2 p-2 p- 1 /7-2

AT Genel görünüm bir dizi harmonik ağırlık şu şekilde tanımlanır:

= t,ben--

• (/ = 2, 3, , P 1),
• (6.27)

^t, +1 = /7 -1. (6.29)

Yukarıdaki iki koşulu sağlayan "C" harmonik katsayılarını elde etmek için, harmonik ağırlıklar 1+1'e bölünmelidir (P - 1), yani

sen,= U/ + Yu (6.31)

başlangıç ​​koşulu altında Y* = Yd,y Bu method Tahmin, gelecekteki eğilimin düzgün bir eğri ile tanımlandığına dair bir güven olduğunda kullanılır; seride mevsimsel ve döngüsel dalgalanmalar yoktur. Bu nedenle, incelenen nesnenin gelişimini tahmin etmeden önce, zaman serilerinin durağanlığı veya durağanlığı hakkında bir sonuç çıkarmak gerekir. Bu pozisyon Dickey-Fuller testi kullanılarak doğrulanabilir. Testte kullanılan temel oluşturma süreci, birinci dereceden bir otoregresif süreçtir:

y (= t 0 + t ( / + y-y(_(+ e /? (6.32)

nerede t 0 , t ( ig - sabit katsayılar, en küçük kareler kullanılarak bulunabilen; ? - rastgele hata hangi dikkate alınmayabilir.

0 r 1 koşulu sağlanırsa seri durağandır. saat r 0 ve g> 1 ise, çalışılan zaman serisi durağan değildir.

Zaman serilerinin özellikleri. Zaman serilerinin daha ayrıntılı bir çalışması için olasılıksal-istatistiksel modeller kullanılır. Bu durumda, X(t) zaman serisi rastgele bir süreç olarak kabul edilir (ayrık zamanlı), ana karakteristikler matematiksel beklenti X(t), yani.

varyans X(t), yani

ve X(t) zaman serisinin otokorelasyon fonksiyonu

şunlar. iki değişkenli fonksiyon, katsayısına eşit X(t) ve X(s) zaman serilerinin iki değeri arasındaki korelasyonlar.

Teorik ve uygulamalı araştırmalarda çok çeşitli zaman serisi modelleri göz önünde bulundurulur. Önce seçin sabit modeller. Herhangi bir sayıda zaman noktası için ortak dağılım fonksiyonlarına sahiptirler ve bu nedenle yukarıda listelenen zaman serilerinin tüm özellikleri zamanla değişmez. Özellikle, ortalama ve varyans sabitler, otokorelasyon işlevi yalnızca farklar. Durağan olmayan zaman serilerine durağan olmayan zaman serileri denir.

Bir zaman serisi, bir veya sonlu bir rastgele değişkenler kümesinin zaman sıralı bir değer dizisi olarak anlaşılır. İlk durumda, tek boyutlu bir zaman serisinden, ikinci durumda ise çok boyutlu bir zaman serisinden bahsediliyor. Burada sadece tek boyutlu zaman serileri ele alınacaktır. Olasılık özellikleri sabit ise tek boyutlu bir zaman serisi durağan olarak adlandırılır. Olasılık özelliklerinden en az biri sabit değilse, bir zaman serisi durağan değildir. Rastgele değişkenlerin dizisi y 1 , y 2 , . . . veya y-1, y 0, y 1,. . ayrık zaman parametreli rastgele bir süreç olarak adlandırılır.

Zaman serisinin bir sonraki değerinin oluşum zamanındaki sırası önemli olduğundan ve belirli bir oluşma zamanının değeri değil, zaman serilerinde zaman serisinin referans değerinin sayısı argüman olarak kullanılır. Örneğin:

x(1), x(2), ... ,x(k), ...

burada x(k), k'inci gözlemdeki zaman serisinin sırası ile değeridir; k - gözlem numarası.

Çoğu pratik uygulamada, zaman serileri, seri değerlerinin normal dağılım kanunu ile matematiksel beklenti açısından durağan ve durağan değildir. Demek oluyor:

durağan seriler: x(k) є (µ, y 2) , µ = sabit, y 2 = sabit;

durağan olmayan seriler: x(k) є (µ, y 2) , µ = var, y 2 = sabit.

Durağan bir zaman serisinin uygulaması aşağıdaki gibidir:

Zaman serisi tahmin edilebilirliği.

Bir zaman serisini tahmin etmek için onun modelini oluşturmak gerekir. Bir serinin öngörülebilirliği ancak serinin sonraki değerleri ile öncekiler arasında olasılıksal (analitik) bir ilişki olduğunda mümkündür. Durağan bir zaman serisinin tahmin edilebilirliği, otokorelasyon fonksiyonu (ACF) kullanılarak belirlenir:

c(m) = M[(x(k) - µ)*(x(k + m) - µ)]/y 2

burada: c(m) - x(k) zaman serisinin m kaymasındaki otokorelasyon fonksiyonunun değeri

Serinin ACF tahminleri şu şekildedir:

c(0) = 1 olduğu açıktır, çünkü bu zaman serisinin kendi üzerindeki korelasyonudur.

m>0 varsa durağan zaman serisi tahmin edilebilir c(m) ? 0.

Herhangi bir m>0 c(m) = 0 ise durağan bir zaman serisi tahmin edilemez. Böyle bir seriye "beyaz gürültü" denir.

ACF, korelasyon katsayılarının değerleri olduğundan, rastgele olmayan değerlerin bir fonksiyonudur.

ACF'nin tahmini, zaman serisinin uygulanmasına göre yapılır. Uygulama n değer içeriyorsa, otokorelasyon fonksiyonunun tahmini şu şekildedir:

burada: r(m) - ACF tahmini; x - zaman serisinin uygulanmasının ortalama değeri; S 2 - zaman serisinin uygulanmasının varyansının tahmini.

Bir zaman serisinin öngörülebilirliği kontrol edilirken, uygulama uzunluğu en az 20 - 30 gözlem olmalıdır.

Dikkate alınan yöntemle zaman serilerinin tahmin edilmesinin iki koşulun karşılandığını varsaydığına dikkat edilmelidir:

• 1. Modellerin bir bileşeni olarak "beyaz gürültü"nün rasgele değişkeni e(k) uymak zorundadır. normal hukuk sıfır matematiksel beklenti ve sonlu varyans y e 2 ile dağılım .
• 2. "Beyaz gürültü" y e 2'nin dağılımı sabit olmalıdır.

Tahmin hesaplama formülü:

x(k) = 27.2661 - 0.900766*

burada x(k), zaman serisinin k. değeri için model tahminidir.

Durağan Zaman Serisi Model Tanımlaması

Model tanımlama. Mevcut zaman serilerine dayalı olarak gelecekteki performansı tahmin etmek için, örnek bir zaman serisi oluşturma sürecini en iyi tanımlayan modeli belirlemek gerekir. Böyle bir modeli tanımlamak için hesaplanmış otokorelasyon fonksiyonunu kullanabilirsiniz. Zaman serilerinin dinamiklerini tanımlayan birçok modelden en sık üçü kullanılır: beyaz gürültü modeli, birinci dereceden otoregresif model ve ikinci dereceden otoregresif model. Hesaplanan otokorelasyon fonksiyonu, anlamlı olmayan otokorelasyonların bir koleksiyonuysa, bu, n'inci serinin verilen zaman değişkenliğinin en iyi şekilde "beyaz gürültü" veya rastgele dalgalanmalar olarak nitelendirildiğinin açık bir göstergesidir.

Bir zaman serisi modelinin tanımlanmasının altında yatan ana fikir, hem basit hem de karmaşık modeller için aynı kalır: gözlemlenen veri yapısının belirli bir model sınıfıyla ilişkili bilinen bir yapıya uygunluğu. Model önceden tanımlandıktan sonra parametreleri tahmin edilir.

Teşhis kontrolü. Bir zaman serisi modelinin tanımlanması bir dereceye kadar öznel bir prosedüre dayandığından, bazen bu modelin artıklarının otokorelasyon fonksiyonunun önemini test ederek tanımlanan modelin yeterliliğinin değerlendirilmesi tavsiye edilir. Bu yararlıdır çünkü zaman serisi modelinin artıkları otokorelasyona sahip değildir.

Bununla birlikte, durağan bir zaman serisinin otokorelasyon fonksiyonu, serinin modelini benzersiz bir şekilde tanımlamaya izin vermez. Bu, ikinci ek işlev - özel otokorelasyon işlevi (PACF) kullanılarak mümkündür. FACF değerleri, zaman serisinin m mertebesinde otoregresif işlemle temsilindeki m-inci katsayının değeridir. Durağan bir x(k) zaman serisi olsun. Otoregresif süreç aracılığıyla aşağıdaki zaman serisi temsillerini göz önünde bulundurun:

x(k) - m = bir 11 *

x(k) - m = bir 12 * + bir 22 *

x(k) - m = bir 13 * + bir 23 * + bir 33 *

... ... ... ... ... ... ... ... ...

x(k) - m = bir 1 * + bir 2 * + bir 33 * + ... + bir mm *

1, 2, 3, ..., m kaymaları için FACF değerleri katsayıların değerleridir: a 11 , 22 , 33 , ..., mm . CHAF grafiği şöyle görünebilir:

FACF'yi tahmin ettikten sonra, her m için karşılık gelen kısmi otokorelasyon katsayısının sıfıra eşit olduğu hipotezini test etmesi gerekir. İstatistiksel veri işleme programlarında, FACF tahmin grafiğinde kontrol limitleri şeklini alan katsayıların her biri için kritik değerler hesaplanır.

Bir model tanımlanırken kural olarak aşağıdaki kurallar kullanılır:

• 1. ACF'nin ilk h değerleri sıfır değilse ve FACF modülde asimptotik olarak sıfır olma eğilimindeyse, o zaman АРСС(0,h) - h sırasının hareketli ortalaması gerçekleşir.
• 2. PACF'nin ilk değerlerinden h'si sıfır değilse ve ACF asimptotik olarak modülde sıfır olma eğilimindeyse, o zaman АРСС(h,0) - h sırasının otoregresyonu gerçekleşir.
• 3. ACF ve PACF değerleri asimptotik olarak modülde sıfır olma eğilimindeyse, karışık bir АРСС(p,q) işlemi gerçekleşir.

Bir stokastik zaman serisinin ortalaması, varyansı, otokovaryansı ve otokorelasyonu zaman içinde sabit ise durağan olduğu söylenir.

Durağan zaman serilerinin ana doğrusal modelleri şunlardır:

1. otoregresyon modelleri;
2. hareketli ortalama modelleri;
3. hareketli ortalama otoregresyon modelleri.

Sıra otoregresyon modeli tarafından temsil edilen zaman serisinin seviyesi R, aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

y t =δ 1 y t-1 +δ 2 y t-2 +…+δ p y t–p +ν t ,

vt- Beyaz gürültü ( rastgele değer sıfır matematiksel beklenti ile)

Uygulamada, çoğu zaman birinci, ikinci, maksimum üçüncü derecelerin otoregresif modelleri kullanılabilir.

Birinci dereceden otoregresif model AP(1) değişkenin değerleri olduğu için "Markov süreci" olarak adlandırılır. yşimdiki zamanda t sadece değişkenin değerlerine bağlıdır yönceki zamanda (t–1) Bu model şu şekildedir:

y t =δy t–1 +ν t.

Modeli için AP(1) bir kısıtlama var |δ|<1 .

y t =δ 1 y t-1 +δ 2 y t-2 +ν t.

1. (δ 1 +δ 2)<1;
2. (δ 1 –δ 2)<1;
3. |δ 2 |<1 .

Hareketli ortalama modelleri ᴏᴛʜᴏϲᴙ, zaman serisinin seviyesini, terim sayısı ile beyaz gürültü serisinin terimlerinin cebirsel toplamı olarak temsil ederek elde edilebilen, sınırlı sayıda parametreye sahip basit bir zaman serisi modeli sınıfına indirgenir. q.

Genel hareketli ortalama sipariş modeli qşuna benziyor:

y t =ν t –φ 1 ν t–1 –φ2ν t–2 –…–φqν t –q,

burada q, hareketli ortalama modelinin sırasıdır;

φ t – tahmin edilecek modelin bilinmeyen katsayıları;

ν t beyaz gürültüdür.

Hareketli ortalama sipariş modeli q olarak belirtilir CC(q) veya MA(q)

Uygulamada, ilkinin hareketli ortalama modelleri CC(1) ve ikinci sıra CC(2)

Hareketli Ortalama Sipariş Modeli Katsayıları q bire kadar eklemek zorunda değilsiniz ve pozitif olmak zorunda değilsiniz.

Ekonometrik modellemede zaman serisi modelinin daha fazla esnekliğini elde etmek için hem otoregresif terimler hem de hareketli ortalama terimleri buna dahil edilmiştir. Bu tür modeller, karışık hareketli ortalama otoregresyon modelleri olarak adlandırılır ve aynı zamanda durağan zaman serilerinin doğrusal modelleri ile de ilgilidir.

Çoğu zaman, pratikte, bir otoregresif parametre p=1 ve bir hareketli ortalama parametresi ile karma bir ARCC(1) modeli kullanılır. q=1. Bu model şuna benziyor:

y t =δy t–1 +ν t –φν t–1 ,

φ hareketli ortalama sürecinin parametresidir;

ν t beyaz gürültüdür.

Bu modelin katsayıları aşağıdaki kısıtlamalara tabidir:

1. |δ|<1 karma modelin durağanlığını sağlayan koşul;
2. | φ |‹1 karma modelin tersinirliğini sağlayan koşuldur.

Karışık APCC(p,q) modelinin tersine çevrilebilirlik özelliği, hareketli ortalama modelinin tersine çevrilebileceği veya sınırsız sıralı bir otoregresif model olarak yeniden yazılabileceği ve bunun tersi anlamına gelir.

Toplamsal ve çarpımsal modeller örneğinde bir zaman serisi modeli oluşturmak için algoritma

Döngüsel dalgalanmaları içeren bir zaman serisi modeli oluşturma algoritması, içeriği toplamsal ve çarpımsal modeller için biraz farklı olan ana aşamalardan oluşur.

Döngünün süresine veya mevsimsel veya fırsatçı doğasına bakılmaksızın, serinin döngüsel bileşeni için tek bir tanım getirerek modeli basitleştirelim. t olarak gösterelim. Ardından toplamsal model y t = u t + s t + e t ve çarpımsal bir - y t = u t * s t * e t biçimini alacaktır.

Yani, bir model oluşturmanın ana aşamaları:

1) Döngünün süresine karşılık gelen bir zaman periyodu üzerinden hesaplanan ortalamalara dayalı olarak orijinal seriyi yumuşatmak.

2) Döngüsel veya mevsimsel bileşenin değerlerinin belirlenmesi (daha fazla ayrıntı için bkz. Eliseeva I.I., Kurysheva S.V., Kosteeva T.V. ve diğerleri. Ekonometri: Ders Kitabı. - M.: Finans ve İstatistik, 2001. - S. 242-251 ). Toplamsal bir model için, bir döngünün tüm periyotları için bu bileşenin değerlerinin toplamı sıfıra ve çarpımsal bir modelde bir döngüdeki periyotların sayısına eşit olmalıdır. Bu, döngüsel bileşenin karşılıklı itfasını sağlar.

3) Döngüsel bileşenlerin modelden çıkarılması. Toplamsal modelde çıkarma işlemi yapılır, ardından model y t = u t + e t şeklini alır. Çarpımsal modelde bölme işlemi yapılır, ardından model y t = u t * e t şeklini alır.

4) Elde edilen y t = u t + e t veya y t = u t * e t serisinin, y t = f(t) trend denkleminin oluşturulmasına dayalı olarak analitik hizalaması.

5) Döngüsel bileşen, serinin elde edilen seviyelerine eklenir (toplamsal model durumunda) veya onunla çarpılır (çarpımsal model durumunda): y t = f(t) + s t veya y t = f( t) * s t .

6) Oluşturulan model kullanılarak elde edilen serilerin seviyelerinin hesaplanan değerlerinin gerçek değerlerle karşılaştırılması. Ortaya çıkan modelin değerlendirilmesi, hataların hesaplanması.

Zaman serileri stokastik bir yapıya sahiptir ve buna göre onlar için çeşitli olasılıksal özellikler hesaplanabilir.

Durağan bir zaman serisi, tüm olasılık özelliklerinin sabit olduğu bir zaman serisidir.

Bu, zaman serisinin hangi parçasını alırsak alalım, gösterge değerlerinin olasılık özelliklerinin bu serinin diğer zaman aralıklarıyla aynı olacağı anlamına gelir. Durağan seride trend bileşeni yoktur.

Durağan olmayan bir zaman serisi bu özelliğe sahip değildir.

Görsel olarak durağan olan ve durağan olmayan zaman serileri Şekil 5.1'de sunulmaktadır.

Kavramları ayırt etmek güçsüz ve katı durağanlık. Bir diziyi zayıf durağan veya kelimenin geniş anlamıyla durağan olarak kabul etmek için, sabit matematiksel beklenti, varyans ve otokorelasyon katsayılarına sahip olması yeterlidir. Durağanlığın daha kesin bir tanımı için, olasılık teorisi sırasında ayrıntılı olarak incelenen diğer olasılık özelliklerinin sabitliği de gereklidir (dağıtım fonksiyonu aynı olmalıdır).

Kesin olarak durağan herhangi bir serinin de zayıf durağan olduğu, ancak bunun tersi olmadığı unutulmamalıdır. Böylece, zayıf durağan seriler kümesi ile kesinlikle durağan seriler kümesinin kesişimi (ortak kısım), kesinlikle durağan seriler kümesidir. Zayıf durağan seriler kümesi ile kesinlikle durağan seriler kümesinin birleşimi, zayıf durağan seriler kümesidir (çünkü kesinlikle durağan seriler zayıf durağan serilere dahildir).

Durağan bir zaman serisinin bir örneği, regresyon modellerinde "beyaz gürültü" olabilir (yani, ortalama ve varyansın sabit olduğu rastgele bileşenin zaman sıralı değerleri (bu durumda, kalıntının beklenen değeri sıfırdır) ve bu değerler birbiriyle ilişkisizdir).

Ergodik seri. Bazı durağan serilerin önemli bir özelliği özelliktir. ergodiklik. Bu özelliğin özü, ergodik bir seri için, seviyelerinin uzaydaki matematiksel beklentisinin, zaman içindeki seviyelerinin matematiksel beklentisiyle çakışmasıdır.

Herhangi bir t anında zayıf durağan bir süreç için M(y t) = µ değerinin beklentisine izin verin (bu uzaydaki beklentidir). Zamandaki matematiksel beklenti, n ® ¥'deki zaman serisinin n değerlerinin ortalamasıdır. Eğer , o zaman böyle bir dizi ergodiktir.

Başka bir deyişle, durağan bir zaman serisi için, belirli zaman noktaları için gerçekleşmeler kümesi üzerindeki ortalama değer, bir gerçekleşme üzerinden hesaplanan zaman içindeki ortalama değere eşittir.