Varyansın varyansı eşittir. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri

Bir öncekinde, argümanların dağıtım yasaları bilindiğinde fonksiyonların sayısal özelliklerini bulmamıza izin veren bir dizi formül verdik. Bununla birlikte, çoğu durumda, fonksiyonların sayısal özelliklerini bulmak için, argümanların dağılım yasalarını bilmek bile gerekmez, ancak yalnızca bazı sayısal özelliklerini bilmek yeterlidir; bu durumda, herhangi bir dağıtım yasası olmadan yaparız. Fonksiyonların sayısal özelliklerinin, argümanların sayısal özellikleri ile belirlenmesi, olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılmaktadır ve bir dizi problemin çözümünü önemli ölçüde basitleştirmeyi mümkün kılmaktadır. Çoğunlukla, bu tür basitleştirilmiş yöntemler doğrusal fonksiyonlarla ilgilidir; ancak bazı temel doğrusal olmayan fonksiyonlar da benzer bir yaklaşımı benimser.

Şu anda bir dizi teorem sunuyoruz. sayısal özellikler Bütünlükleri içinde bu özellikleri hesaplamak için çok basit bir aygıtı temsil eden fonksiyonlar, çok çeşitli koşullarda uygulanabilir.

1. Rastgele olmayan bir değişkenin matematiksel beklentisi

Belirtilen özellik oldukça açıktır; rasgele olmayan bir değişkeni, bir olası değerle bir olası değere sahip belirli bir rastgele değişken türü olarak ele alarak kanıtlanabilir; sonra matematiksel beklenti için genel formüle göre:

2. Rastgele olmayan bir değişkenin dağılımı

değilse rastgele değer, sonra

3. Matematiksel beklenti işaretinin ötesinde rastgele olmayan bir değişkenin çıkarılması

, (10.2.1)

yani, beklenti işaretinden rastgele olmayan bir değer alınabilir.

Kanıt.

a) Süreksiz miktarlar için

b) Sürekli miktarlar için

4. Varyans ve standart sapmanın işareti için rastgele olmayan bir değerin çıkarılması

Rastgele olmayan bir değişkense ve rastgele ise, o zaman

, (10.2.2)

yani, karesi alınarak dağılım işaretinden rastgele olmayan bir değer alınabilir.

Kanıt. Varyans tanımına göre

Sonuçlar

yani, rastgele olmayan bir değer, mutlak değeriyle standart sapmanın işaretinden çıkarılabilir. (10.2.2) formülünden karekökünü çıkararak ve r.s.c'yi hesaba katarak ispatı elde ederiz. esasen pozitif bir değerdir.

5. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi

Bunu herhangi iki rastgele değişken için kanıtlayalım ve

yani, iki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Bu özellik, beklenti toplama teoremi olarak bilinir.

Kanıt.

a) Süreksiz rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem olsun. Rastgele değişkenlerin toplamına uygulanabilir Genel formül(10.1.6) iki argümanlı bir fonksiyonun beklentisi için:

Ho, değerin değeri alacağı toplam olasılıktan başka bir şey değildir:

;

Sonuç olarak,

Benzer şekilde, bunu kanıtlayacağız

ve teorem kanıtlanmıştır.

b) Sürekli rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem olsun. Formüle göre (10.1.7)

. (10.2.4)

İntegrallerden ilkini (10.2.4) dönüştürüyoruz:

;

aynı şekilde

ve teorem kanıtlanmıştır.

Matematiksel beklentilerin eklenmesi teoreminin, hem bağımlı hem de bağımsız herhangi bir rastgele değişken için geçerli olduğuna özellikle dikkat edilmelidir.

Beklenti toplama teoremi, keyfi sayıda terime genelleştirilebilir:

, (10.2.5)

yani, birkaç rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Bunu kanıtlamak için tam tümevarım yöntemini uygulamak yeterlidir.

6. Matematiksel beklenti doğrusal fonksiyon

Birkaç rastgele bağımsız değişkenin doğrusal bir işlevini düşünün:

rastgele olmayan katsayılar nerede. bunu kanıtlayalım

, (10.2.6)

yani, bir lineer fonksiyonun ortalaması, argümanların ortalamasının aynı lineer fonksiyonuna eşittir.

Kanıt. Toplama teoremini kullanarak m.o. ve m. o. işaretinden rastgele olmayan bir değişken alma kuralı, şunu elde ederiz:

7. Görüntüepbu rastgele değişkenlerin toplamı

İki rastgele değişkenin toplamının varyansı, varyanslarının toplamı artı korelasyon momentinin iki katına eşittir:

Kanıt. belirtmek

Matematiksel beklentilerin toplama teoremine göre

Rastgele değişkenlerden karşılık gelen merkezli değişkenlere geçelim. Eşitlik (10.2.8) eşitliğinden (10.2.9) terim terim çıkarıldığında, şunu elde ederiz:

Varyans tanımına göre

Q.E.D.

Toplamın varyansı için formül (10.2.7), herhangi bir sayıda terime genelleştirilebilir:

, (10.2.10)

değerlerin korelasyon momenti nerede, toplamın altındaki işaret, toplamın, rastgele değişkenlerin olası tüm ikili kombinasyonları için geçerli olduğu anlamına gelir. .

Kanıt öncekine benzer ve bir polinomun karesi formülünden çıkar.

Formül (10.2.10) başka bir biçimde yazılabilir:

, (10.2.11)

çift toplamın, miktarlar sisteminin korelasyon matrisinin tüm öğelerine uzandığı yerde , hem korelasyon momentlerini hem de varyansları içerir.

Tüm rastgele değişkenler ise , sisteme dahil edilen, ilişkisizdir (yani, at ), formül (10.2.10) şu şekli alır:

, (10.2.12)

yani, ilişkisiz rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, terimlerin varyanslarının toplamına eşittir.

Bu önerme, varyans toplama teoremi olarak bilinir.

8. Doğrusal bir fonksiyonun dağılımı

Birkaç rastgele değişkenin doğrusal bir fonksiyonunu düşünün.

rastgele olmayan değişkenler nerede.

Bu lineer fonksiyonun dağılımının formülle ifade edildiğini ispatlayalım.

, (10.2.13)

niceliklerin korelasyon momenti nerede , .

Kanıt. Notasyonu tanıtalım:

. (10.2.14)

(10.2.14) ifadesinin sağ tarafına toplamın varyansı için formül (10.2.10) uygulayarak ve bunu dikkate alarak, şunu elde ederiz:

miktarların korelasyon momenti nerede:

Bu anı hesaplayalım. Sahibiz:

;

aynı şekilde

Bu ifadeyi (10.2.15) yerine koyarak (10.2.13) formülüne ulaşırız.

Özel durumda, tüm miktarlar korelasyonsuz, formül (10.2.13) şu şekli alır:

, (10.2.16)

yani, ilişkisiz rastgele değişkenlerin doğrusal bir fonksiyonunun varyansı, katsayıların karelerinin çarpımlarının ve karşılık gelen argümanların varyanslarının toplamına eşittir.

9. Rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi

İki rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına ve korelasyon momentine eşittir:

Kanıt. Korelasyon momentinin tanımından devam edeceğiz:

Bu ifadeyi matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak dönüştürüyoruz:

bu formül (10.2.17) ile açıkça eşdeğerdir.

Rastgele değişkenler ilişkisiz ise, formül (10.2.17) şu şekli alır:

yani, ilişkisiz iki rastgele değişkenin çarpımının ortalaması, ortalamalarının çarpımına eşittir.

Bu ifade, beklenti çarpma teoremi olarak bilinir.

Formül (10.2.17), sistemin ikinci karma merkezi momentinin ikinci karma başlangıç momenti ve matematiksel beklentiler cinsinden ifadesinden başka bir şey değildir:

. (10.2.19)

Bu ifade genellikle, bir rastgele değişken için varyansın genellikle ikinci başlangıç anı ve matematiksel beklenti yoluyla hesaplanmasıyla aynı şekilde korelasyon momentini hesaplarken pratikte kullanılır.

Beklenti çarpım teoremi ayrıca rastgele sayıda faktöre genelleştirilebilir, ancak bu durumda uygulanması için miktarların ilişkisiz olması yeterli değildir, ancak sayısı bağlı olan bazı daha yüksek karışık momentlerin de ortadan kalkması gerekir. üründeki terim sayısı. Ürüne dahil edilen rastgele değişkenler bağımsız ise, bu koşullar kesinlikle sağlanır. Bu durumda

, (10.2.20)

yani, bağımsız rastgele değişkenlerin ürününün matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir.

Bu önerme, tam tümevarımla kolayca kanıtlanabilir.

10. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının dağılımı

Bunu bağımsız değişkenler için kanıtlayalım.

Kanıt. belirtelim. Varyans tanımına göre

Miktarlar bağımsız olduğundan ve

saat bağımsız miktarlar ayrıca bağımsız; Sonuç olarak,

Ancak miktarın ikinci ilk anından başka bir şey yoktur ve bu nedenle varyans cinsinden ifade edilir:

;

aynı şekilde

Bu ifadeleri (10.2.22) formülünde yerine koyarak ve benzer terimleri getirerek (10.2.21) formülüne ulaşırız.

Merkezlenmiş rastgele değişkenlerin çarpılması durumunda (matematiksel beklentileri sıfıra eşit olan değerler), formül (10.2.21) şu şekilde olur:

, (10.2.23)

yani, bağımsız merkezli rastgele değişkenlerin çarpımının varyansı, bunların varyanslarının çarpımına eşittir.

11. Rastgele değişkenlerin toplamının daha yüksek anları

Bazı durumlarda, bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının daha yüksek momentlerini hesaplamak gerekir. Bazı ilgili ilişkileri ispatlayalım.

1) Miktarlar bağımsız ise, o zaman

Kanıt.

beklenti çarpma teoremi ile nereden

Ancak herhangi bir miktar için ilk merkezi moment sıfırdır; iki orta terim kaybolur ve formül (10.2.24) ispatlanır.

İlişki (10.2.24), keyfi sayıda bağımsız terime tümevarım yoluyla kolayca genelleştirilebilir:

. (10.2.25)

2) İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının dördüncü merkezi momenti formülle ifade edilir.

ve dispersiyonları nerede.

Kanıt öncekiyle tamamen aynı.

Tam tümevarım yöntemini kullanarak, (10.2.26) formülünün keyfi sayıda bağımsız terime genelleştirilmesini kanıtlamak kolaydır.

Konum özelliklerine ek olarak - rastgele bir değişkenin ortalama, tipik değerleri - her biri dağılımın bir veya başka özelliğini tanımlayan bir dizi özellik kullanılır. Sözde anlar genellikle bu tür özellikler olarak kullanılır.

Moment kavramı, mekanikte kütlelerin dağılımını (statik momentler, eylemsizlik momentleri vb.) tanımlamak için yaygın olarak kullanılmaktadır. Rastgele bir değişkenin dağılımının temel özelliklerini tanımlamak için olasılık teorisinde tamamen aynı yöntemler kullanılır. Çoğu zaman, pratikte iki tür an kullanılır: ilk ve merkezi.

Süreksiz bir rasgele değişkenin s. mertebesinin ilk momenti, formun toplamıdır:

. (5.7.1)

Açıktır ki, bu tanım, eğer kütleler x ekseni üzerindeki noktalarda yoğunlaşmışsa, mekanikteki s mertebesinin ilk momentinin tanımıyla örtüşür.

Sürekli bir rastgele değişken X için, s. mertebenin ilk momenti integraldir.

. (5.7.2)

Önceki n°'de tanıtılan konumun temel özelliğinin - matematiksel beklentinin - rastgele değişkenin ilk ilk anından başka bir şey olmadığını görmek kolaydır.

Beklenti işaretini kullanarak (5.7.1) ve (5.7.2) iki formülü tek bir formülde birleştirebiliriz. Aslında, (5.7.1) ve (5.7.2) formülleri, yapı olarak (5.6.1) ve (5.6.2) formüllerine tamamen benzerdir, aradaki fark sırasıyla yerine ve ve vardır. Bu nedenle, hem süreksiz hem de sürekli nicelikler için geçerli olan -th mertebesinin ilk momentinin genel bir tanımını yazabiliriz:

, (5.7.3)

şunlar. bir rasgele değişkenin th derecesinin ilk anı, bu rasgele değişkenin th derecesinin matematiksel beklentisidir.

Merkezi momentin tanımını vermeden önce, yeni bir "merkezli rasgele değişken" kavramını tanıtıyoruz.

Matematiksel beklentisi olan bir rastgele değişken olsun. Değere karşılık gelen ortalanmış rastgele değişken, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasıdır:

Aşağıda, verilen rastgele değişkene karşılık gelen ortalanmış rastgele değişkeni, üstteki simgeyle aynı harfle belirtmek için her yerde anlaşacağız.

Merkezlenmiş bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin sıfıra eşit olduğunu doğrulamak kolaydır. Gerçekten de, süreksiz bir miktar için

sürekli bir miktar için benzer şekilde.

Rastgele bir değişkeni merkezlemek, açıkçası, orijini orta, apsisi matematiksel beklentiye eşit olan "merkezi" noktaya taşımakla eşdeğerdir.

Merkezlenmiş bir rastgele değişkenin anlarına merkezi anlar denir. Mekanikteki ağırlık merkezi ile ilgili anlara benzerler.

Böylece, bir rasgele değişkenin s derecesinin merkezi momenti, karşılık gelen merkezli rasgele değişkenin th gücünün matematiksel beklentisidir:

, (5.7.6)

ve sürekli - integral için

. (5.7.8)

Aşağıda, belirli bir anın hangi rasgele değişkene ait olduğu konusunda hiçbir şüphe olmadığı durumlarda, kısaca ve yerine basitçe ve yazacağız.

Açıkçası, herhangi bir rastgele değişken için, birinci derecenin merkezi momenti sıfıra eşittir:

, (5.7.9)

merkezli bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi her zaman sıfırdır.

Farklı düzenlerin merkezi ve ilk momentlerini birbirine bağlayan ilişkiler türetelim. Türetmeyi yalnızca süreksiz miktarlar için gerçekleştireceğiz; Sonlu toplamları integrallerle ve olasılıkları olasılık öğeleriyle değiştirirsek, tam olarak aynı ilişkilerin sürekli nicelikler için geçerli olduğunu doğrulamak kolaydır.

İkinci merkezi noktayı düşünün:

Benzer şekilde, üçüncü merkezi an için şunu elde ederiz:

vb için ifadeler benzer şekilde elde edilebilir.

Böylece, herhangi bir rastgele değişkenin merkezi momentleri için formüller geçerlidir:

(5.7.10)

Genel olarak konuşursak, momentler yalnızca orijine (başlangıç momentleri) veya matematiksel beklentiye (merkezi momentler) göre değil, aynı zamanda keyfi bir noktaya göre de düşünülebilir:

. (5.7.11)

Bununla birlikte, merkezi momentlerin diğerlerine göre bir avantajı vardır: Gördüğümüz gibi, ilk merkezi moment her zaman sıfıra eşittir ve onu takip eden ikinci merkezi moment, bu referans çerçevesi için minimum bir değere sahiptir. Hadi kanıtlayalım. 'de süreksiz bir rastgele değişken için formül (5.7.11) şu şekildedir:

. (5.7.12)

Bu ifadeyi dönüştürelim:

Açıkçası, bu değer minimuma ulaştığında, yani. an noktaya göre alındığında.

Tüm anlardan, ilk başlangıç anı (beklenti) ve ikinci merkezi an, çoğunlukla rastgele bir değişkenin özellikleri olarak kullanılır.

İkinci merkezi moment, rastgele değişkenin varyansı olarak adlandırılır. Bu özelliğin aşırı önemi nedeniyle, diğer noktaların yanı sıra, onun için özel bir tanım sunuyoruz:

Merkezi moment tanımına göre

, (5.7.13)

şunlar. X rastgele değişkeninin varyansı, karşılık gelen ortalanmış değişkenin karesinin matematiksel beklentisidir.

(5.7.13) ifadesindeki ifadesinin değerini değiştirerek, şunu da elde ederiz:

. (5.7.14)

Varyansı doğrudan hesaplamak için aşağıdaki formüller kullanılır:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Sırasıyla süreksiz ve sürekli miktarlar için.

Rastgele bir değişkenin dağılımı, dağılımın bir özelliğidir, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafında dağılmasıdır. "Dağılma" kelimesinin kendisi "saçılma" anlamına gelir.

Dağılımın mekanik yorumuna dönersek, dağılım, belirli bir kütle dağılımının ağırlık merkezine (matematiksel beklenti) göre atalet momentinden başka bir şey değildir.

Bir rastgele değişkenin varyansı, rastgele değişkenin karesinin boyutuna sahiptir; Saçılmanın görsel bir karakterizasyonu için, boyutu rastgele bir değişkeninkiyle çakışan bir nicelik kullanmak daha uygundur. Bunu yapmak için dağılımın karekökünü alın. Ortaya çıkan değer, rastgele bir değişkenin standart sapması (aksi takdirde - "standart") olarak adlandırılır. Ortalama kare sapma şu şekilde gösterilecektir:

, (5.7.17)

Kayıtları basitleştirmek için, standart sapma ve varyans için genellikle kısaltılmış gösterimi kullanacağız: ve . Bu özelliklerin hangi rasgele değişkene atıfta bulunduğuna dair bir şüphe olmadığında, bazen xy ve işaretini atlayacağız ve basitçe ve yazacağız. "Standart sapma" kelimeleri bazen s.c.o harfleriyle kısaltılır.

Uygulamada, genellikle bir rasgele değişkenin varyansını ikinci ilk momenti (formüllerin ikincisi (5.7.10)) cinsinden ifade eden bir formül kullanılır. Yeni gösterimde şöyle görünecek:

Matematiksel beklenti ve varyans (veya standart sapma), bir rastgele değişkenin en sık kullanılan özellikleridir. Dağıtımın en önemli özelliklerini karakterize ederler: konumu ve dağılım derecesi. Dağılımın daha ayrıntılı bir açıklaması için daha yüksek dereceli anlar kullanılır.

Üçüncü merkezi moment, dağılımın asimetrisini (veya "çarpıklığını") karakterize etmeye hizmet eder. Dağılım, matematiksel beklentiye göre simetrik ise (veya mekanik yorumda, kütle ağırlık merkezine göre simetrik olarak dağıtılır), o zaman tek sıralı tüm momentler (eğer varsa) sıfıra eşittir. Nitekim, toplamda

dağılım yasasına göre simetrik ve tek olan bir dağılımla, her pozitif terim mutlak değerde kendisine eşit bir negatif terime karşılık gelir, böylece toplam toplam sıfıra eşittir. Aynısı açıkça integral için de geçerlidir.

tek bir fonksiyonun simetrik limitlerinde integral olarak sıfıra eşittir.

Bu nedenle, dağılım asimetrisinin bir özelliği olarak tek anlardan herhangi birini seçmek doğaldır. Bunların en basiti üçüncü merkezi momenttir. Rastgele bir değişkenin küpünün boyutuna sahiptir: boyutsuz bir özellik elde etmek için üçüncü an standart sapmanın küpüne bölünür. Ortaya çıkan değere "asimetri katsayısı" veya basitçe "asimetri" denir; etiketleyeceğiz:

Şek. 5.7.1 iki çarpık dağılımı gösterir; bunlardan biri (I eğrisi) pozitif bir asimetriye () sahiptir; diğeri (eğri II) negatiftir ().

Dördüncü merkezi an, sözde "soğukluğu" karakterize etmeye hizmet eder, yani. tepeli veya düz tepeli dağılım. Bu dağılım özellikleri, sözde basıklık kullanılarak tanımlanır. Rastgele bir değişkenin basıklığı miktardır

3 sayısı orandan çıkarılır çünkü doğada çok önemli ve yaygın bir normal dağılım yasası için (ki bunu daha sonra ayrıntılı olarak öğreneceğiz). Böylece normal dağılım için basıklık sıfırdır; normal eğrilerden daha sivri olan eğriler pozitif basıklığa sahiptir; eğriler daha düzdür - negatif basıklık ile.

Şek. 5.7.2 sunar: normal dağılım(eğri I), pozitif basıklıklı dağılım (eğri II) ve negatif basıklıklı dağılım (eğri III).

Yukarıda tartışılan başlangıç ve merkezi momentlere ek olarak, uygulamada bazen formüllerle tanımlanan mutlak momentler (ilk ve merkezi) olarak adlandırılanlar kullanılır.

Açıktır ki, düzenlerin bile mutlak anları sıradan anlarla örtüşür.

Mutlak anlardan ilk mutlak merkezi an en sık kullanılır.

, (5.7.21)

aritmetik ortalama sapma denir. Dağılım ve standart sapma ile birlikte, aritmetik ortalama sapma bazen dağılım özelliği olarak kullanılır.

Matematiksel beklenti, mod, medyan, başlangıç ve merkezi momentler ve özellikle varyans, standart sapma, çarpıklık ve basıklık, rastgele değişkenlerin en sık kullanılan sayısal özellikleridir. Pek çok pratik problemde, bir rasgele değişkenin - dağıtım yasasının - tam bir karakterizasyonu ya gerekli değildir ya da elde edilemez. Bu durumlarda, yardım ile rastgele bir değişkenin yaklaşık bir açıklaması ile sınırlıdırlar. Her biri dağılımın bazı karakteristik özelliklerini ifade eden sayısal özellikler.

Çok sık olarak, sayısal özellikler bir dağılımın diğeriyle değiştirilmesini yaklaşık olarak tahmin etmek için kullanılır ve genellikle bu değiştirmeyi birkaç önemli noktanın değişmeden kalması için yapmaya çalışırlar.

Örnek 1. Bir olayın ortaya çıkabileceği veya çıkmayabileceği, olasılığı 'e eşit olan bir deney gerçekleştirilir. Rastgele bir değişken kabul edilir - bir olayın meydana gelme sayısı (bir olayın karakteristik rastgele değişkeni). Özelliklerini belirleyin: matematiksel beklenti, varyans, standart sapma.

Çözüm. Miktar dağılım serisi şu şekildedir:

olayın gerçekleşmeme olasılığı nerededir.

(5.6.1) formülüne göre değerin matematiksel beklentisini buluruz:

Değerin dağılımı formül (5.7.15) ile belirlenir:

(Okuyucuyu, varyansı ikinci başlangıç momenti cinsinden ifade ederek aynı sonucu elde etmeye davet ediyoruz).

Örnek 2. Hedefe üç bağımsız atış yapılıyor; her atışta isabet olasılığı 0,4'tür. rastgele değişken, isabet sayısıdır. Miktarın özelliklerini belirleyin - matematiksel beklenti, dağılım, s.c.o., asimetri.

Çözüm. Miktar dağılım serisi şu şekildedir:

Miktarın sayısal özelliklerini hesaplıyoruz:

Aynı özelliklerin, fonksiyonların sayısal özellikleri üzerine teoremler kullanılarak çok daha basit bir şekilde hesaplanabileceğini unutmayın (bkz. Bölüm 10).

Rastgele bir değişkenin dağılımı, bu değişkenin değerlerinin yayılmasının bir ölçüsüdür. Küçük varyans, değerlerin birbirine yakın kümelenmesi anlamına gelir. Büyük bir varyans, güçlü bir değer dağılımını gösterir. Rastgele bir değişkenin dağılımı kavramı istatistikte kullanılır. Örneğin, iki niceliğin değerlerinin varyansını karşılaştırırsanız (erkek ve kadın hastaların gözlem sonuçları gibi), bazı değişkenlerin anlamlılığını test edebilirsiniz. Varyans, istatistiksel modeller oluştururken de kullanılır, çünkü küçük varyans, değerlere fazla uyduğunuzun bir işareti olabilir.

adımlar

Örnek Varyans Hesaplaması

Örnek değerleri kaydedin.Çoğu durumda, istatistikçiler için yalnızca belirli popülasyonların örnekleri mevcuttur. Örneğin, kural olarak, istatistikçiler Rusya'daki tüm arabaların popülasyonunu korumanın maliyetini analiz etmezler - birkaç bin arabanın rastgele bir örneğini analiz ederler. Böyle bir örnek, araba başına ortalama maliyeti belirlemeye yardımcı olacaktır, ancak büyük olasılıkla ortaya çıkan değer gerçek değerden uzak olacaktır.

Örneğin, bir kafede 6 günde satılan, rastgele alınan çörek sayısını inceleyelim. Örnek şu şekildedir: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Bu bir popülasyon değil, bir örnektir, çünkü kafenin açık olduğu her gün için satılan çörekler hakkında verimiz yok.
Size bir değer örneği değil de bir popülasyon verilmişse, bir sonraki bölüme geçin.

Örnek varyansını hesaplamak için formülü yazın. Dağılım, bir miktar değerlerin yayılmasının bir ölçüsüdür. Dağılım değeri sıfıra ne kadar yakınsa, değerler o kadar yakın gruplanır. Bir değer örneğiyle çalışırken, varyansı hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:

Ortalamayı Hesapla örnekler. x̅ olarak gösterilir. Numune ortalaması normal bir aritmetik ortalama gibi hesaplanır: numunedeki tüm değerleri toplayın ve ardından sonucu numunedeki değerlerin sayısına bölün.
- Örneğimizde örnekteki değerleri ekleyin: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
  Şimdi sonucu örnekteki değer sayısına bölün (örneğimizde 6 tane var): 84 ÷ 6 = 14.
  Örnek ortalama x̅ = 14.
- Örnek ortalama merkezi önem, örnekteki değerlerin etrafına dağıtıldığı. Numune etrafındaki numune kümesindeki değerler ortalama ise varyans küçüktür; aksi halde dağılım büyüktür.
Örnekteki her bir değerden örnek ortalamasını çıkarın.şimdi farkı hesapla x ben (\displaystyle x_(i))- x̅, nerede x ben (\displaystyle x_(i))- örnekteki her bir değer. Elde edilen her sonuç, belirli bir değerin numune ortalamasından ne kadar saptığını, yani bu değerin numune ortalamasından ne kadar uzak olduğunu gösterir.

Yukarıda belirtildiği gibi, farklılıkların toplamı x ben (\displaystyle x_(i))- x̅ sıfıra eşit olmalıdır. Bu, ortalama varyansın her zaman sıfır olduğu anlamına gelir, bu da bazı miktarların değerlerinin yayılması hakkında herhangi bir fikir vermez. Bu sorunu çözmek için, her bir farkın karesini alın x ben (\displaystyle x_(i))- x. Bu, yalnızca birlikte eklendiğinde hiçbir zaman 0'a ulaşmayacak pozitif sayılar elde etmenize neden olur.

Farkların karelerinin toplamını hesaplayın. Yani, formülün şu şekilde yazılmış kısmını bulun: ∑[( x ben (\displaystyle x_(i))-x) 2 (\görüntüleme stili ^(2))]. Burada Σ işareti, her değer için kare farklarının toplamı anlamına gelir. x ben (\displaystyle x_(i))örnekte. Kare farkları zaten buldunuz (x ben (\displaystyle (x_(i))-x) 2 (\görüntüleme stili ^(2)) her değer için x ben (\displaystyle x_(i))örnekte; şimdi sadece bu kareleri ekleyin.
- Örneğimizde: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .
Sonucu n - 1'e bölün, burada n, örnekteki değerlerin sayısıdır. Bir süre önce, örneklem varyansını hesaplamak için istatistikçiler sonucu basitçe n'ye böldüler; bu durumda, belirli bir örneğin varyansını tanımlamak için ideal olan kare varyansın ortalamasını alırsınız. Ancak herhangi bir örneğin sadece küçük bir parça olduğunu unutmayın. nüfus değerler. Farklı bir örnek alıp aynı hesaplamaları yaparsanız, farklı bir sonuç alırsınız. Görünen o ki, n - 1'e bölmek (sadece n yerine) popülasyon varyansı hakkında daha iyi bir tahmin verir, bu da peşinde olduğunuz şeydir. N - 1'e bölme yaygın hale geldi, bu nedenle örnek varyansını hesaplama formülüne dahil edildi.

Varyans ve standart sapma arasındaki fark. Formülün bir üs içerdiğine dikkat edin, bu nedenle varyans, analiz edilen değerin kare birimlerinde ölçülür. Bazen böyle bir değeri çalıştırmak oldukça zordur; bu gibi durumlarda, şuna eşit olan standart sapmayı kullanın: kare kök dispersiyondan. Bu nedenle örnek varyansı şu şekilde ifade edilir: s 2 (\displaystyle s^(2)), ve örnek standart sapması olarak s (\görüntüleme stili s).
- Örneğimizde, örnek standart sapma: s = √33.2 = 5.76.
Nüfus varyansı hesaplaması
1. Bazı değerleri analiz edin. Set, dikkate alınan miktarın tüm değerlerini içerir. Örneğin, Leningrad bölgesinin sakinlerinin yaşını okuyorsanız, nüfus bu bölgenin tüm sakinlerinin yaşını içerir. Bir agrega ile çalışılması durumunda, bir tablo oluşturmanız ve agreganın değerlerini buna girmeniz önerilir. Aşağıdaki örneği göz önünde bulundurun:
  
  Popülasyon varyansını hesaplamak için formülü yazın. Popülasyon belirli bir niceliğin tüm değerlerini içerdiğinden, aşağıdaki formül popülasyonun varyansının tam değerini elde etmenizi sağlar. Nüfus varyansını örnek varyansından ayırt etmek için (ki bu yalnızca bir tahmindir), istatistikçiler çeşitli değişkenler kullanır:
  
  Popülasyon ortalamasını hesaplayın. Genel nüfusla çalışırken, ortalama değeri μ (mu) olarak gösterilir. Popülasyon ortalaması, olağan aritmetik ortalama olarak hesaplanır: popülasyondaki tüm değerleri toplayın ve ardından sonucu popülasyondaki değerlerin sayısına bölün.
  
  Popülasyondaki her bir değerden popülasyon ortalamasını çıkarın. Fark değeri sıfıra ne kadar yakınsa, belirli değer popülasyon ortalamasına o kadar yakındır. Popülasyondaki her bir değer ile ortalaması arasındaki farkı bulun ve ilk olarak değerlerin dağılımına bir göz atın.
  
  Aldığınız her sonucun karesini alın. Fark değerleri hem pozitif hem de negatif olacaktır; bu değerleri bir sayı doğrusuna koyarsanız, popülasyon ortalamasının sağında ve solunda yer alacaktır. Pozitif ve negatif sayılar birbirini iptal ettiğinden bu, varyansı hesaplamak için iyi değildir. Bu nedenle, yalnızca pozitif sayılar elde etmek için her bir farkın karesini alın.
  
  Elde edilen sonuçların ortalamasını bulun. Popülasyondaki her bir değerin ortalamasından ne kadar uzak olduğunu buldunuz. Popülasyondaki değerlerin sayısına bölerek kare farklarının toplamının ortalamasını bulun.
2. Bu çözümü formülle eşleştirin. Yukarıdaki çözümün formülle nasıl ilişkili olduğunu anlamıyorsanız, aşağıda çözümün bir açıklaması bulunmaktadır:
  - Her bir değer ile popülasyon ortalaması arasındaki farkı buluyoruz ve sonra her bir farkın karesini alıyoruz, yani (( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\görüntüleme stili ^(2)), (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\görüntüleme stili ^(2)) ve böylece ( x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\görüntüleme stili ^(2)), nerede x n (\displaystyle x_(n)) popülasyondaki son değerdir.
  - Elde edilen sonuçların ortalama değerini hesaplamak için toplamlarını bulmanız ve n'ye bölmeniz gerekir: (( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\görüntüleme stili ^(2)) + (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\görüntüleme stili ^(2)) + ... + (x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\görüntüleme stili ^(2))) / n
  - Şimdi yukarıdaki açıklamayı değişkenleri kullanarak yazalım: (∑( x ben (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\görüntüleme stili ^(2))) / n ve popülasyon varyansını hesaplamak için bir formül elde edin.

Tanım.Dispersiyon (saçılma) Kesikli rasgele değişken, rasgele değişkenin matematiksel beklentisinden karesi alınmış sapmanın matematiksel beklentisi olarak adlandırılır:

Örnek. Yukarıdaki örnek için bulduğumuz

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi:

Kare sapmanın olası değerleri:

; ;

Dağılım:

Ancak pratikte varyansı hesaplamak için bu yöntem elverişsizdir, çünkü rastgele bir değişkenin çok sayıda değeri için hantal hesaplamalara yol açar. Bu nedenle, başka bir yöntem kullanılır.

Varyans Hesaplaması

Teorem. Varyans, X rastgele değişkeninin karesinin matematiksel beklentisi ile matematiksel beklentisinin karesi arasındaki farka eşittir.:

Kanıt. Matematiksel beklentinin ve matematiksel beklentinin karesinin sabit değerler olduğu gerçeğini dikkate alarak şunu yazabiliriz:

Bu formülü yukarıdaki örneğe uygulayalım:

X
x2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Dağılım Özellikleri

1) Dağılım sabit değer sıfıra eşittir:

2) Sabit faktör, karesini alarak dağılım işaretinden çıkarılabilir:

3) İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının varyansı, bu değişkenlerin varyanslarının toplamına eşittir:

4) İki bağımsız rastgele değişkenin farkının varyansı, bu değişkenlerin varyanslarının toplamına eşittir:

Bu eşitliğin geçerliliği, özellik 2'den kaynaklanmaktadır.

Teorem. Her birinde olayın meydana gelme olasılığının sabit olduğu n bağımsız denemede A olayının meydana gelme sayısının varyansı, deneme sayısının meydana gelme olasılığı ve olayın olasılığı ile çarpımına eşittir. her denemede gerçekleşmeyen:

Örnek. Fabrika birinci sınıf ürünlerin %96'sını ve ikinci sınıf ürünlerin %4'ünü üretmektedir. 1000 ürün rastgele seçilir. İzin vermek X- bu örnekteki birinci sınıf ürün sayısı. Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını, matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.

Bu nedenle, dağıtım yasası iki terimli olarak kabul edilebilir.

Örnek. Ayrık bir rastgele değişkenin varyansını bulun X- olayın meydana gelme sayısı ANCAK iki bağımsız denemede, bu olayın her denemede meydana gelme olasılıkları eşitse ve biliniyorsa,

Çünkü rastgele değer X binom yasasına göre dağıtılır, daha sonra

Örnek. Olayın meydana gelme olasılığı aynı olan bağımsız testler yapılır. ANCAK her testte. Bir olayın olma olasılığını bulun ANCAKüç bağımsız denemede olayın meydana gelme sayısının varyansı 0.63 ise.

Binom yasasının dağılım formülüne göre şunları elde ederiz:

;

Örnek. Dört bağımsız çalışan cihazdan oluşan bir cihaz test ediliyor. Cihazların her birinin arızalanma olasılıkları sırasıyla eşittir ; ; . Başarısız cihazların sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.

Arızalı cihaz sayısını rastgele değişken olarak aldığımızda bu rastgele değişkenin 0, 1, 2, 3 veya 4 değerlerini alabildiğini görüyoruz.

Bu rastgele değişken için bir dağılım kanunu hazırlamak için karşılık gelen olasılıkları belirlemek gerekir. kabul edelim.

1) Tek bir cihaz başarısız olmadı:

2) Cihazlardan biri arızalandı.

dağılım (saçılım) bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapma karesinin matematiksel beklentisidir:

Varyansı hesaplamak için biraz değiştirilmiş bir formül kullanabilirsiniz.

çünkü M(X), 2 ve
sabit değerlerdir. Böylece,

4.2.2. Dağılım Özellikleri

Mülkiyet 1. Sabit bir değerin dağılımı sıfırdır. Nitekim tanım gereği

Mülkiyet 2. Sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir.

Kanıt

ortalanmış bir rastgele değişken, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasıdır:

Ortalanmış değer, dönüşüm için uygun olan iki özelliğe sahiptir:

Mülk 3. Eğer rastgele değişkenler X ve Y bağımsız, daha sonra

Kanıt. belirtmek
. O zamanlar.

İkinci dönemde rasgele değişkenlerin bağımsızlığı ve merkezli rasgele değişkenlerin özelliklerinden dolayı

Örnek 4.5. Eğer bir a ve b sabittir, o zaman D (aX+b)= D(aX)+D(b)=
.

4.2.3. Standart sapma

Rastgele bir değişkenin yayılmasının bir özelliği olarak dağılım, bir dezavantaja sahiptir. Örneğin, X– ölçüm hatasının boyutu var AA, o zaman varyans boyuta sahiptir
. Bu nedenle, genellikle başka bir dağılım özelliğinin kullanılması tercih edilir - standart sapma varyansın kareköküne eşit olan

Standart sapma, rastgele değişkenin kendisiyle aynı boyuta sahiptir.

Örnek 4.6. Bağımsız denemeler şemasında bir olayın meydana gelme sayısının varyansı

Üretilmiş n bağımsız denemeler ve her denemede bir olayın meydana gelme olasılığı R. Daha önce olduğu gibi olayın meydana gelme sayısını ifade ediyoruz. X bireysel deneylerde olayın meydana gelme sayısı aracılığıyla:

Deneyler bağımsız olduğundan, deneylerle ilişkili rastgele değişkenler bağımsız. Ve bağımsızlık sayesinde sahibiz

Ancak rastgele değişkenlerin her birinin bir dağılım yasası vardır (örnek 3.2).

ve
(örnek 4.4). Bu nedenle, varyans tanımı gereği:

nerede q=1- p.

Sonuç olarak, elimizde
,

Bir olayın meydana gelme sayısının standart sapması n bağımsız deneyler
.

4.3. Rastgele değişkenlerin anları

Halihazırda ele alınanlara ek olarak, rastgele değişkenlerin başka birçok sayısal özelliği vardır.

Başlangıç anı k X (
) matematiksel beklenti denir k bu rastgele değişkenin gücü.

Merkezi an k-. sıradaki rastgele değişken X beklenti denir k karşılık gelen ortalanmış miktarın gücü.

Birinci mertebenin merkez momentinin her zaman sıfıra eşit olduğunu, ikinci mertebenin merkez momentinin dağılıma eşit olduğunu görmek kolaydır, çünkü .

Üçüncü mertebenin merkezi momenti, rastgele bir değişkenin dağılımının asimetrisi hakkında bir fikir verir. İkinciden daha yüksek dereceli anlar nispeten nadiren kullanılır, bu yüzden kendimizi sadece onların kavramlarıyla sınırlayacağız.

4.4. Dağıtım yasalarını bulma örnekleri

Rastgele değişkenlerin dağılım yasalarını ve sayısal özelliklerini bulma örneklerini düşünün.

Örnek 4.7.

Her atışta isabet olasılığı 0,4 ise, hedefe üç atışla hedefteki isabet sayısı için dağıtım yasasını derleyin. İntegral fonksiyonunu bulun F(X) ayrık bir rastgele değişkenin sonuçtaki dağılımı için X ve grafiğini çiziniz. Matematiksel beklentiyi bulun M(X) , dağılım D(X) ve standart sapma
(X) rastgele değişken X.

Çözüm

1) Ayrık rastgele değişken X- üç atışla hedefe isabet sayısı - dört değer alabilir: 0, 1, 2, 3 . Her birini kabul etme olasılığını Bernoulli formülüyle buluruz: n=3,p=0,4,q=1- p=0.6 ve m=0, 1, 2, 3:

Olası değerlerin olasılıklarını alın X:;

Rastgele bir değişkenin istenen dağılım yasasını oluşturalım X:

Kontrol: 0.216+0.432+0.288+0.064=1.

Elde edilen rastgele değişkenin bir dağılım poligonu oluşturalım X. Bunu yapmak için, dikdörtgen bir koordinat sisteminde (0; 0.216), (1; 0.432), (2; 0.288), (3; 0.064) noktalarını işaretleyin. Bu noktaları doğru parçalarıyla birleştirelim, ortaya çıkan kesikli çizgi istenen dağılım poligonudur (Şekil 4.1).

2) Eğer x 0, o zaman F(X)=0. Gerçekten de, sıfırdan küçük değerler için değer X kabul etmez. Bu nedenle, herkes için X0 , tanımı kullanarak F(X), alırız F(X)=P(X< x) =0 (imkansız bir olayın olasılığı olarak).

0 ise , sonra F(X) =0.216. Nitekim bu durumda F(X)=P(X< x) = =P(- < X 0)+ P(0< X< x) =0,216+0=0,216.

Örneğin alırsak, X=0.2, o zaman F(0,2)=P(X<0,2) . Ama bir olayın olasılığı X<0,2 равна 0,216, так как случайная величинаX sadece bir durumda 0,2'den küçük bir değer alır, yani 0 0.216 olasılıkla.

1 ise , sonra

Yok canım, X 0,216 olasılıkla 0 değerini ve 0,432 olasılıkla 1 değerini alabilir; bu nedenle, bu değerlerden biri, hangisi olursa olsun, X 0.648 olasılıkla (uyumsuz olayların olasılıklarının eklenmesi teoremine göre) kabul edebilir.

2 ise , o zaman, benzer şekilde tartışarak, elde ederiz F(X)=0.216+0.432 + + 0.288=0.936. Nitekim, örneğin, X=3. O zamanlar F(3)=P(X<3) bir olayın olasılığını ifade eder X<3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функцииF(X).

Eğer bir x>3, o zaman F(X)=0.216+0.432+0.288+0.064=1. Nitekim olay X
güvenilirdir ve olasılığı bire eşittir ve X>3 - imkansız. Verilen

F(X)=P(X< x) =P(X 3) + P(3< X< x) , belirtilen sonucu elde ederiz.

Böylece, X rastgele değişkeninin istenen integral dağılım fonksiyonu elde edilir:

F(x) =

kimin grafiği Şekil 1'de gösterilmiştir. 4.2.

3) Kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, tüm olası değerlerin çarpımlarının toplamına eşittir. X olasılıklarına göre:

M(X)=0=1,2.

Yani ortalama olarak hedefe üç atışla bir vuruş yapılır.

Varyans, varyans tanımından hesaplanabilir D(X)= M(X- M(X)) veya formülü kullanın D(X)= M(X
, bu da hedefe daha hızlı yol açar.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını yazalım X :

için matematiksel beklentiyi bulun X:

M(X ) = 04
= 2,16.

İstenen varyansı hesaplayalım:

D(X) = M(X ) – (M(X)) = 2,16 – (1,2)= 0,72.

Ortalama kare sapma formülle bulunur

(X) =
= 0,848.

Aralık ( M- ; M+ ) = (1.2-0.85; 1.2+0.85) = (0.35; 2.05) - rastgele değişkenin en olası değerlerinin aralığı X, 1 ve 2 değerleri içine düşer.

Örnek 4.8.

Sürekli bir rastgele değişkenin diferansiyel dağılım fonksiyonu (yoğunluk fonksiyonu) verilir X:

f(x) =

1) Sabit bir parametre tanımlayın a.

2) İntegral fonksiyonunu bulun F(x) .

3) Fonksiyon grafiklerini çizin f(x) ve F(x) .

4) Olasılıkların iki yolunu bulun P(0.5< X 1,5) ve P(1,5< X<3,5) .

5). Matematiksel beklentiyi bulun M(X), dağılım D(X) ve standart sapma
rastgele değişken X.

Çözüm

1) Özelliğe göre diferansiyel fonksiyon f(x) koşulu karşılaması gerekir
.

Verilen fonksiyon için bu uygunsuz integrali hesaplayalım f(x) :

Bu sonucu eşitliğin sol tarafına koyarsak, şunu elde ederiz. a=1. Şu durumda f(x) parametreyi değiştir a 1'de:

2) bulmak F(x) formülü kullan

x ise
, sonra
, Sonuç olarak,

1 ise
sonra

x>2 ise

Böylece, istenen integral fonksiyonu F(x) şuna benziyor:

3) Fonksiyonların grafiklerini oluşturalım f(x) ve F(x) (şekil 4.3 ve 4.4).

4) Belirli bir aralıkta rastgele bir değişkene çarpma olasılığı (a,b) formülle hesaplanır
, eğer fonksiyon biliniyorsa f(x), ve formüle göre P(a < X < b) = F(b) – F(a), fonksiyon biliniyorsa F(x).

Bulalım
iki formül kullanarak sonuçları karşılaştırın. koşula göre a=0.5;b=1,5; işlev f(X) 1. paragrafta belirtilmiştir. Bu nedenle, formüle göre istenen olasılık: