Lëreni drejtëzën të kalojë nëpër pikën M1 (x1, y1, z1) dhe të jetë paralel me vektorin (m ,n, l). Le të shkruajmë një ekuacion për këtë rresht.

Le të marrim një pikë arbitrare M (x, y, z) në këtë vijë dhe të gjejmë marrëdhënien midis x, y, z. Le të ndërtojmë një vektor

Vektorët janë kolinear.

- ekuacioni kanonik i një drejtëze në hapësirë.

44 Ekuacionet parametrike të drejtëzës

Sepse ky ekuacion plotësohet nga koordinatat e çdo pike të drejtëzës, atëherë ekuacioni që rezulton është një ekuacion parametrik i drejtëzës.

Ky ekuacion vektorial mund të paraqitet në formë koordinative:

Duke transformuar këtë sistem dhe duke barazuar vlerat e parametrit t, marrim ekuacionet kanonike të një vije të drejtë në hapësirë:

Përkufizimi. Kosinuset e drejtimit të vijës së drejtë janë kosinuset e drejtimit të vektorit, të cilat mund të llogariten me formulat:

Nga këtu marrim: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

Numrat m, n, p quhen pjerrësi e drejtëzës. Meqenëse është një vektor jo zero, atëherë m, n dhe p nuk mund të jenë të barabartë me zero në të njëjtën kohë, por një ose dy nga këta numra mund të jenë të barabartë me zero. Në këtë rast, në ekuacionin e një vije të drejtë, numëruesit përkatës duhet të barazohen me zero.

45 Ekuacioni i një drejtëze në hapësirë ​​që kalon nëpër dy pika të ndryshme të dhëna.

Gjeometria analitike

Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna.

Le të jepen M1(x1y1) dhe M2(x2y2) në rrafsh. Le të përpilojmë ekuacionin kanonik të drejtëzës që kalon nëpër këto dy pika, si vektor drejtimi S marrim M1M2

trojkës.

Ky është ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna (x1 y1) dhe (x2, y2)

Le t'i drejtohemi tani ekuacioneve të drejtëzës dhe rrafshit në hapësirë.

Gjeometria analitike në hapësirën 3-dimensionale

Ngjashëm me rastin dydimensional, çdo ekuacion i shkallës së parë në lidhje me tre ndryshore x, y, z është një ekuacion i një rrafshi në rrafshet e hapësirës Оxyz. Ekuacioni kanonik i rrafshit që kalon nëpër pikën M(x0,y0,z0) dhe ka normalen N(A,B,C) A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =0 – cili është ky ekuacion?

Vlerat x-x0, y-y0 dhe z-z0 janë ndryshimet midis koordinatave të pikës aktuale dhe pikës fikse. Prandaj, vektori a (x-x 0, y-y0, z-z0) është një vektor që shtrihet në rrafshin e përshkruar, dhe vektori N është një vektor pingul me rrafshin, që do të thotë se ata janë pingul me njëri-tjetrin.

Atëherë produkti i tyre skalar duhet të jetë i barabartë me zero.

Në formën e koordinatave (N,a)=0 duket kështu:

A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)=0

Në hapësirë ​​dallohen trefishtë e vektorëve djathtas dhe majtas. Një trefish i vektorëve jokoplanarë a, b, c quhet i drejtë nëse, nga origjina e tyre e përbashkët, kalimi i skajeve të vektorëve a, b, c në rendin e treguar duket se është në drejtim të akrepave të orës për vëzhguesin. Përndryshe mbeten a,b,c.

46 Këndi ndërmjet vijave në hapësirë

Një kënd ndërmjet vijave të drejta në hapësirë ​​është cilido prej qoshet ngjitur, i formuar nga dy vija të drejta të tërhequra përmes një pike arbitrare paralele me të dhënat.

Le të jepen dy vija të drejta në hapësirë:

Natyrisht, këndi φ ndërmjet vijave mund të merret si kënd midis vektorëve të drejtimit të tyre dhe. Meqenëse, atëherë sipas formulës për kosinusin e këndit ndërmjet vektorëve marrim

Kushtet e paralelizmit dhe pingulitetit të dy drejtëzave janë ekuivalente me kushtet e paralelizmit dhe pingulitetit të vektorëve të drejtimit të tyre dhe:

Dy drejtëza janë paralele nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre përkatës janë proporcional, d.m.th. l1 është paralel me l2 nëse dhe vetëm nëse është paralel .

Dy drejtëza janë pingul nëse dhe vetëm nëse shuma e prodhimeve të koeficientëve përkatës është e barabartë me zero: .

Gjeni ekuacionet e drejtëzës që kalon në pikën М1(1;2;3) paralele me drejtëzën l1:

Meqenëse drejtëza e dëshiruar l është paralele me l1, atëherë si vektor i drejtimit të drejtëzës së dëshiruar l, mund të marrim vektorin e drejtimit të drejtëzës l1.

Një nga nënpikat e temës “Ekuacioni i drejtëzës në rrafsh” është çështja e përpilimit të ekuacioneve parametrike të drejtëzës në rrafsh në një sistem koordinativ drejtkëndor. Artikulli më poshtë diskuton parimin e përpilimit të ekuacioneve të tilla për të dhëna të caktuara të njohura. Le të tregojmë se si të kalojmë nga ekuacionet parametrike në ekuacione të një forme tjetër; Le të analizojmë zgjidhjen e problemeve tipike.

Një vijë e veçantë mund të përcaktohet duke specifikuar një pikë që i përket asaj vije dhe një vektor të drejtimit për vijën.

Supozoni se na është dhënë një sistem koordinativ drejtkëndor O x y . Dhe gjithashtu është dhënë drejtëza a, duke treguar pikën M 1 të shtrirë mbi të (x 1, y 1) dhe vektorin e drejtimit të drejtëzës së dhënë a → = (a x, a y) . Ne japim një përshkrim të vijës së dhënë a duke përdorur ekuacionet.

Ne përdorim një pikë arbitrare M (x, y) dhe marrim një vektor M 1 M →; njehso koordinatat e tij nga koordinatat e pikave të fillimit dhe të fundit: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Le të përshkruajmë rezultatin: drejtëza jepet nga një grup pikash M (x, y), kalon nëpër pikën M 1 (x 1, y 1) dhe ka një vektor drejtimi a → = (a x, a y) . Kompleti i specifikuar përcakton një vijë të drejtë vetëm kur vektorët M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) dhe a → = (a x , a y) janë kolinear.

Ekziston një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për kolinearitetin e vektorëve, i cili në këtë rast për vektorët M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) dhe a → = (a x , a y) mund të shkruhet si një ekuacioni:

M 1 M → = λ · a → , ku λ është një numër real.

Përkufizimi 1

Ekuacioni M 1 M → = λ · a → quhet ekuacion vektor-parametrik i drejtëzës.

Në formën e koordinatave, duket kështu:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Ekuacionet e sistemit rezultues x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ quhen ekuacione parametrike të një drejtëze në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor. Thelbi i emrit është si më poshtë: koordinatat e të gjitha pikave të vijës mund të përcaktohen me ekuacione parametrike në rrafshin e formës x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ kur përsëriten mbi të gjitha vlerat reale të parametrit λ

Sipas sa më sipër, ekuacionet parametrike të një vije të drejtë në rrafshin x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ përcaktojnë një vijë të drejtë që është dhënë në një sistem koordinativ drejtkëndor, kalon nëpër pikën M 1 (x 1, y 1) dhe ka një vektor udhëzues a → = (a x, a y) . Prandaj, nëse jepen koordinatat e një pike të caktuar të drejtëzës dhe koordinatat e vektorit drejtues të saj, atëherë është e mundur që menjëherë të shënohen ekuacionet parametrike të drejtëzës së dhënë.

Shembulli 1

Është e nevojshme të përpilohen ekuacione parametrike të një vije të drejtë në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor, nëse është dhënë pika M 1 (2, 3) që i përket dhe vektori i drejtimit të saj. a → = (3 , 1) .

Zgjidhje

Bazuar në të dhënat fillestare, marrim: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Ekuacionet parametrike do të duken kështu:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Le të ilustrojmë qartë:

Përgjigje: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Duhet të theksohet: nëse vektori a → = (a x , a y) shërben si vektor drejtues i drejtëzës a, dhe pikat M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2) i përkasin kësaj drejtëze, atëherë mund të përcaktohet duke vendosur ekuacione parametrike të formës. : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , si dhe ky opsion: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

Për shembull, na jepet një vektor drejtues i një vije të drejtë a → \u003d (2, - 1), si dhe pikat M 1 (1, - 2) dhe M 2 (3, - 3) që i përkasin kësaj linje. Pastaj vija e drejtë përcaktohet me ekuacione parametrike: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ ose x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Duhet t'i kushtohet vëmendje edhe faktit të mëposhtëm: nëse a → = (a x, a y) është vektori drejtues i drejtëzës a , atëherë cilido nga vektorët do të jetë edhe vektori drejtues i saj μ a → = (μ a x, μ a y) , ku μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Kështu, një drejtëz a në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor mund të përcaktohet me ekuacione parametrike: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ për çdo vlerë jozero të μ.

Supozojmë se drejtëza a jepet nga ekuacionet parametrike x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Pastaj a → = (2 , - 5) - vektori i drejtimit të kësaj linje. Dhe gjithashtu ndonjë nga vektorët μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 do të bëhet vektori i drejtimit për drejtëzën e dhënë. Për qartësi, merrni parasysh një vektor specifik - 2 · a → = (- 4 , 10) , ai korrespondon me vlerën μ = - 2 . Në këtë rast, drejtëza e dhënë mund të përcaktohet edhe me ekuacionet parametrike x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Kalimi nga ekuacionet parametrike të një drejtëze në një rrafsh në ekuacione të tjera të një drejtëze të caktuar dhe anasjelltas

Në zgjidhjen e disa problemeve, përdorimi i ekuacioneve parametrike nuk është opsioni më optimal, atëherë bëhet e nevojshme të përkthehen ekuacionet parametrike të një vije të drejtë në ekuacione të një vije të drejtë të një lloji tjetër. Le të shohim se si ta bëjmë atë.

Ekuacionet parametrike të drejtëzës x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ do të korrespondojnë me ekuacionin kanonik të drejtëzës në rrafshin x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Ne zgjidhim secilin prej ekuacioneve parametrike në lidhje me parametrin λ, barazojmë pjesët e duhura të barazive të fituara dhe marrim ekuacionin kanonik të drejtëzës së dhënë:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Në këtë rast, nuk duhet të jetë e turpshme nëse një x ose një y do të jetë e barabartë me zero.

Shembulli 2

Është e nevojshme të kryhet kalimi nga ekuacionet parametrike të drejtëzës x = 3 y = - 2 - 4 · λ në ekuacionin kanonik.

Zgjidhje

Ekuacionet parametrike të dhëna i shkruajmë në këtë formë: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ.

Parametrin λ e shprehim në secilin prej barazimeve: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Ne barazojmë pjesët e duhura të sistemit të ekuacioneve dhe marrim ekuacionin kanonik të kërkuar të një vije të drejtë në rrafsh:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Përgjigje: x - 3 0 = y + 2 - 4

Në rastin kur është e nevojshme të shënohet ekuacioni i drejtëzës së formës A x + B y + C = 0, ndërsa jepen ekuacionet parametrike të drejtëzës në rrafsh, fillimisht duhet bërë kalimi në ekuacionin kanonik, dhe më pas në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës. Le të shkruajmë të gjithë sekuencën e veprimeve:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Shembulli 3

Është e nevojshme të shkruhet ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze nëse janë dhënë ekuacionet parametrike që e përcaktojnë atë: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ.

Zgjidhje

Së pari, le të bëjmë kalimin në ekuacionin kanonik:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Proporcioni që rezulton është identik me barazinë - 3 · (x + 1) = 2 · y. Le të hapim kllapat dhe të marrim ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Përgjigje: 3x + 2y + 3 = 0

Duke ndjekur logjikën e mësipërme të veprimeve, për të marrë ekuacionin e një drejtëze me faktori i pjerrësisë, ekuacioni i një vije të drejtë në segmente ose ekuacioni normal i një vije të drejtë, është e nevojshme të merret ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze dhe prej tij të kryhet një tranzicion i mëtejshëm.

Tani merrni parasysh veprimin e kundërt: shkrimi i ekuacioneve parametrike të një drejtëze për një formë të caktuar të ndryshme të ekuacioneve të kësaj drejtëze.

Kalimi më i lehtë: nga ekuacioni kanonik në ato parametrike. Le të jepet ekuacioni kanonik i formës: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Ne marrim secilën nga relacionet e kësaj barazie të barabartë me parametrin λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Le të zgjidhim ekuacionet që rezultojnë për ndryshoret x dhe y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Shembulli 4

Është e nevojshme të shënohen ekuacionet parametrike të drejtëzës nëse dihet ekuacioni kanonik i drejtëzës në rrafsh: x - 2 5 = y - 2 2

Zgjidhje

Le të barazojmë pjesët e ekuacionit të njohur me parametrin λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Nga barazia e fituar fitojmë ekuacionet parametrike të drejtëzës: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Përgjigje: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Kur është e nevojshme të bëhet një kalim në ekuacionet parametrike nga një ekuacion i dhënë i përgjithshëm i një vije të drejtë, një ekuacion i një vije të drejtë me një pjerrësi ose një ekuacion i një vije të drejtë në segmente, është e nevojshme të sillni ekuacionin origjinal në kanonike, dhe më pas bëni kalimin në ekuacione parametrike.

Shembulli 5

Është e nevojshme të shënohen ekuacionet parametrike të drejtëzës me ekuacionin e përgjithshëm të njohur të kësaj drejtëze: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Zgjidhje

Ne e transformojmë ekuacionin e përgjithshëm të dhënë në një ekuacion të formës kanonike:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

I barazojmë të dyja pjesët e barazisë me parametrin λ dhe marrim ekuacionet parametrike të kërkuara të drejtëzës:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Përgjigje: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Shembuj dhe problema me ekuacionet parametrike të drejtëzës në rrafsh

Le të shqyrtojmë llojet më të zakonshme të problemeve duke përdorur ekuacionet parametrike të një vije të drejtë në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor.

1. Në problemat e tipit të parë jepen koordinatat e pikave, pavarësisht nëse i përkasin një drejtëze të përshkruar me ekuacione parametrike.

Zgjidhja e problemeve të tilla bazohet në faktin e mëposhtëm: numrat (x, y) të përcaktuar nga ekuacionet parametrike x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ për një vlerë reale λ janë koordinatat e një pika që i përket vijës së drejtë, e cila përshkruhet në këto ekuacione parametrike.

Shembulli 6

Është e nevojshme të përcaktohen koordinatat e një pike që shtrihet në një drejtëz të dhënë nga ekuacionet parametrike x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ për λ = 3 .

Zgjidhje

Ne e zëvendësojmë vlerën e njohur λ = 3 në ekuacionet parametrike të dhëna dhe llogarisim koordinatat e dëshiruara: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Përgjigje: 1 1 2 , 5

Problemi i mëposhtëm është gjithashtu i mundur: le të jepet një pikë M 0 (x 0, y 0) në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor dhe është e nevojshme të përcaktohet nëse kjo pikë i përket vijës së përshkruar nga ekuacionet parametrike x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ .

Për të zgjidhur një problem të tillë, është e nevojshme të zëvendësohen koordinatat e një pike të caktuar në ekuacionet e njohura parametrike të një drejtëze. Nëse përcaktohet se është e mundur një vlerë e tillë e parametrit λ = λ 0, në të cilën të dy ekuacionet parametrike do të jenë të vërteta, atëherë pika e dhënë i përket drejtëzës së dhënë.

Shembulli 7

Janë dhënë pikët M 0 (4, - 2) dhe N 0 (- 2, 1). Është e nevojshme të përcaktohet nëse i përkasin drejtëzës së përcaktuar nga ekuacionet parametrike x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Zgjidhje

Ne i zëvendësojmë koordinatat e pikës M 0 (4, - 2) në ekuacionet parametrike të dhëna:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Përfundojmë se pika M 0 i përket një drejtëze të caktuar, sepse korrespondon me vlerën λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Është e qartë se nuk ekziston një parametër i tillë λ të cilit do t'i korrespondojë pika N 0. Me fjalë të tjera, vija e dhënë nuk kalon në pikën N 0 (- 2 , 1) .

Përgjigje: pika M 0 i përket një linje të caktuar; pika N 0 nuk i përket drejtëzës së dhënë.

1. Në problemat e tipit të dytë, kërkohet të përpilohen ekuacione parametrike të një vije të drejtë në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor. Shembulli më i thjeshtë i një problemi të tillë (me koordinata të njohura të pikës së vijës dhe vektorit të drejtimit) u shqyrtua më sipër. Tani le të shohim shembuj në të cilët së pari duhet të gjeni koordinatat e vektorit të drejtimit dhe më pas të shkruani ekuacionet parametrike.

Është dhënë pika M 1 1 2 , 2 3. Është e nevojshme të përpilohen ekuacione parametrike të një vije të drejtë që kalon nëpër këtë pikë dhe një drejtëze paralele x 2 \u003d y - 3 - 1.

Zgjidhje

Sipas gjendjes së problemit, vija e drejtë, ekuacioni i së cilës duhet të kalojmë përpara, është paralel me vijën e drejtë x 2 \u003d y - 3 - 1. Pastaj, si një vektor drejtimi, vija e drejtë që kalon pikë e dhënë, është e mundur të përdoret vektori i drejtimit të drejtëzës x 2 = y - 3 - 1 , të cilin e shkruajmë në formën: a → = (2 , - 1) . Tani dihen të gjitha të dhënat e nevojshme për të hartuar ekuacionet parametrike të dëshiruara:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Përgjigje: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

Shembulli 9

Është dhënë pika M 1 (0, - 7). Është e nevojshme të shkruhen ekuacionet parametrike të drejtëzës që kalon në këtë pikë pingul me drejtëzën 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Zgjidhje

Si vektor drejtues i drejtëzës, ekuacioni i së cilës duhet të përbëhet, është e mundur të merret vektori normal i drejtëzës 3 x - 2 y - 5 = 0 . Koordinatat e saj janë (3 , - 2) . Ne shkruajmë ekuacionet parametrike të kërkuara të drejtëzës:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Përgjigje: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. Në problemat e tipit të tretë, kërkohet kalimi nga ekuacionet parametrike të një drejtëze të caktuar në llojet e tjera të ekuacioneve që e përcaktojnë atë. Zgjidhje shembuj të ngjashëm kemi konsideruar më lart, do të japim një më shumë.

Jepet një drejtëz në një rrafsh në një sistem koordinativ drejtkëndor, i përcaktuar nga ekuacionet parametrike x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Është e nevojshme të gjenden koordinatat e ndonjë vektori normal të kësaj linje.

Zgjidhje

Për të përcaktuar koordinatat e dëshiruara të vektorit normal, do të bëjmë kalimin nga ekuacionet parametrike në ekuacionin e përgjithshëm:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Koeficientët e ndryshoreve x dhe y na japin koordinatat e kërkuara të vektorit normal. Kështu, vektori normal i drejtëzës x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ ka koordinatat 1 , 3 4 .

Përgjigje: 1 , 3 4 .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Barazimi në ekuacionet kanonike të drejtëzës së secilit prej thyesave me ndonjë parametër t:

Ne marrim ekuacione që shprehin koordinatat aktuale të secilës pikë të drejtëzës përmes parametrit t.

pra, ekuacionet parametrike të drejtëzës kanë formën:

Ekuacionet e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna.

Le të lëmë dy pika M 1 (x1, y1, z1) dhe M 2 (x2,y2,z2). Ekuacionet e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna merren në të njëjtën mënyrë si një ekuacion i ngjashëm në një plan. Prandaj, ne japim menjëherë formën e këtij ekuacioni.

Një vijë e drejtë në kryqëzimin e dy planeve. Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze në hapësirë.

Nëse marrim parasysh dy rrafshe jo paralele, atëherë kryqëzimi i tyre do të jetë një vijë e drejtë.

Nëse vektorët normalë dhe jokolineare.

Më poshtë, kur shqyrtojmë shembuj, ne do të tregojmë një mënyrë për të transformuar ekuacione të tilla drejtvizore në ekuacione kanonike.

5.4 Këndi ndërmjet dy vijave të drejta. Kushti i paralelizmit dhe pingulitetit të dy drejtëzave.

Një kënd midis dy vijave të drejta në hapësirë ​​është cilido nga këndet e formuar nga dy vija të drejta të tërhequra përmes një pike arbitrare paralele me të dhënat.

Le të jepen dy rreshta nga ekuacionet e tyre kanonike.

Për këndin ndërmjet dy drejtëzave do të marrim këndin ndërmjet vektorëve të drejtimit.

Dhe

Kushti i pingulitetit të dy vijave të drejta reduktohet në kushtin e pingulitetit të vektorëve të drejtimit të tyre dhe, domethënë, në barazinë me zero të produktit skalar: ose në formë koordinative: .

Kushti i paralelizmit të dy drejtëzave reduktohet në kushtin e paralelizmit të vektorëve të drejtimit të tyre dhe

5.5 Marrëveshje e ndërsjellë drejt dhe i rrafshët.

Le të jepen ekuacionet e drejtëzës:

dhe aeroplanët. Këndi ndërmjet vijës dhe rrafshit do të jetë cilido nga dy këndet ngjitur të formuar nga vija dhe projeksioni i saj në rrafsh (Figura 5.5).

Figura 5.5

Nëse drejtëza është pingul me rrafshin, vektori drejtues i drejtëzës dhe vektori normal me rrafshin janë kolinear. Kështu, kushti i pingulitetit të një drejtëze dhe një rrafshi reduktohet në gjendjen e vektorëve kolinearë.

Në rastin e paralelizmit të një drejtëze dhe një rrafshi, vektorët e tyre të treguar më sipër janë reciprokisht pingul. Prandaj, kushti i paralelizmit të drejtëzës dhe rrafshit reduktohet në kushtin e pingulitetit të vektorëve; ato. produkti i tyre me pika është zero ose në formë koordinative: .

Më poshtë janë shembuj të zgjidhjes së problemeve që lidhen me temën e kapitullit 5.

Shembulli 1:

Shkruani një ekuacion për një plan që kalon nga pika A (1,2,4) pingul me drejtëzën e dhënë nga ekuacioni:

Zgjidhja:

Ne përdorim ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Si pikë marrim pikën A (1,2,4), nëpër të cilën kalon rrafshi pranë kushtit.

Duke ditur ekuacionet kanonike të drejtëzës, ne njohim vektorin paralel me drejtëzën.

Për shkak të faktit se, sipas kushtit, vija e drejtë është pingul me rrafshin e dëshiruar, vektori i drejtimit mund të merret si vektor normal i rrafshit.

Kështu, marrim ekuacionin e rrafshit në formën:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Shembulli 2:

Gjeni në aeroplan 4x-7y+5z-20=0 një pikë P për të cilën OP bën kënde të barabarta me boshtet koordinative.

Zgjidhja:

Le të bëjmë një vizatim skematik. (Figura 5.6)

në

Figura 5.6

Pika boshe Р ka koordinata . Meqenëse vektori bën të njëjtat kënde me boshtet e koordinatave, kosinuset e drejtimit të këtij vektori janë të barabarta me njëri-tjetrin.

Le të gjejmë projeksionet e vektorit:

atëherë kosinuset e drejtimit të këtij vektori gjenden lehtësisht.

Nga barazia e kosinuseve të drejtimit del barazia:

x p \u003d y p \u003d z p

meqenëse pika P shtrihet në rrafsh, zëvendësimi i koordinatave të kësaj pike në ekuacionin e rrafshit e kthen atë në një identitet.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Përkatësisht: y r=10; z f=10.

Kështu, pika e dëshiruar P ka koordinatat P (10; 10; 10)

Shembulli 3:

Jepen dy pika A (2, -1, -2) dhe B (8, -7.5). Gjeni ekuacionin e rrafshit që kalon në pikën B, pingul me segmentin AB.

Zgjidhja:

Për të zgjidhur problemin, ne përdorim ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Si pikë, përdorim pikën B (8, -7.5), dhe si vektor pingul me planin, vektor. Le të gjejmë projeksionet e vektorit:

atëherë marrim ekuacionin e rrafshit në formën:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Shembulli 4:

Gjeni ekuacionin e një rrafshi paralel me boshtin OY dhe që kalon nga pikat K(1,-5,1) dhe M(3,2,-2).

Zgjidhja:

Meqenëse rrafshi është paralel me boshtin OY, do të përdorim ekuacionin jo të plotë të rrafshit.

Ax+Cz+D=0

Për shkak të faktit se pikat K dhe M shtrihen në rrafsh, marrim dy kushte.

Le të shprehim nga këto kushte koeficientët A dhe C në terma të D.

Ne i zëvendësojmë koeficientët e gjetur në ekuacionin jo të plotë të rrafshit:

pasi , atëherë zvogëlojmë D:

Shembulli 5:

Gjeni ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër tre pika M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Zgjidhja:

Le të përdorim ekuacionin e një rrafshi që kalon nga 3 pika të dhëna.

duke zëvendësuar koordinatat pikat M, K, R si e para, e dyta dhe e treta marrim:

zgjeroni përcaktorin përgjatë vijës 1.

Shembulli 6:

Gjeni ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikat M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) dhe pingul me rrafshin 3x+5y-7z-21=0

Zgjidhja:

Le të bëjmë një vizatim skematik (Figura 5.7)

Figura 5.7

Shënojmë rrafshin e dhënë P 2 dhe planin e dëshiruar P 2. . Nga ekuacioni i një rrafshi të caktuar Р 1 përcaktojmë projeksionet e vektorit pingul me rrafshin Р 1.

Vektori mund të zhvendoset në rrafshin P 2 me anë të përkthimit paralel, pasi sipas kushtit të problemit, rrafshi P 2 është pingul me rrafshin P 1, që do të thotë se vektori është paralel me rrafshin P 2.

Le të gjejmë projeksionet e vektorit të shtrirë në rrafshin Р 2:

tani kemi dy vektorë dhe të shtrirë në rrafshin R 2 . padyshim vektor , i barabartë me produktin vektorial të vektorëve dhe do të jetë pingul me rrafshin R 2, pasi është pingul me vektorin e tij normal dhe, rrjedhimisht, me rrafshin R 2.

Vektorët dhe janë dhënë nga projeksionet e tyre, pra:

Më pas, ne përdorim ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me vektorin. Si pikë, mund të merrni ndonjë nga pikat M 1 ose M 2, për shembull M 1 (8, -3.1); Si vektor normal ndaj rrafshit Р 2 marrim .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Shembulli 7:

Një vijë e drejtë përcaktohet nga kryqëzimi i dy planeve. Gjeni ekuacionet kanonike të drejtëzës.

Zgjidhja:

Ne kemi një ekuacion në formën:

Duhet gjetur një pikë x 0, y 0, z 0) nëpër të cilin kalon drejtëza dhe vektori i drejtimit.

Ne zgjedhim njërën nga koordinatat në mënyrë arbitrare. Për shembull, z=1, atëherë marrim një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura:

Kështu, ne kemi gjetur një pikë të shtrirë në vijën e dëshiruar (2,0,1).

Si vektor drejtues të drejtëzës së dëshiruar, marrim prodhimin kryq të vektorëve dhe , të cilët janë vektorë normalë meqënëse , që do të thotë paralel me vijën e dëshiruar.

Kështu, vektori i drejtimit të drejtëzës ka projeksione . Duke përdorur ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar paralele me një vektor të caktuar:

Pra, ekuacioni i dëshiruar kanonik ka formën:

Shembulli 8:

Gjeni koordinatat e pikës së prerjes së drejtëzës dhe rrafshit 2x+3y+3z-8=0

Zgjidhja:

Le ta shkruajmë ekuacionin e dhënë të drejtëzës në formë parametrike.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

çdo pikë e drejtëzës i përgjigjet një vlere të vetme të parametrit t. Për të gjetur parametrin t që korrespondon me pikën e kryqëzimit të drejtëzës dhe rrafshit, ne e zëvendësojmë shprehjen në ekuacionin e rrafshit x, y, z me anë të parametrit t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

pastaj koordinatat e pikës së dëshiruar

pika e dëshiruar e kryqëzimit ka koordinatat (1;1;1).

Shembulli 9:

Gjeni ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër drejtëza paralele.

Le të bëjmë një vizatim skematik (Figura 5.9)

Figura 5.9

Nga ekuacionet e dhëna vijat dhe të përcaktojë projeksionet e vektorëve të drejtimit të këtyre vijave. Ne gjejmë projeksionet e vektorit të shtrirë në rrafshin P, dhe marrim pikat dhe nga ekuacionet kanonike të drejtëzave M 1 (1, -1,2) dhe M 2 (0,1, -2).

1. Ekuacioni parametrik i një drejtëze

Le të jepet një pikë M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) në një vijë të drejtë dhe një vektor s = (l ,m ,n ) i shtrirë në

këtë vijë (ose paralele me të). Quhet edhe vektori s vektor udhëzues drejt.

Këto kushte përcaktojnë në mënyrë unike një vijë të drejtë në hapësirë. Le ta gjejmë atë

ekuacionin. Merrni një pikë arbitrare M (x, y, z) në vijë. Është e qartë se vektorët

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) dhe s janë kolineare.

Prandaj, M 0 M = t s − është një ekuacion vektorial i një drejtëze.

Në shënimin koordinativ, ekuacioni i fundit ka paraqitjen parametrike të mëposhtme

dy kënde të formuara nga dy drejtëza, përkatësisht, paralele me atë të dhënë dhe që kalojnë nëpër një pikë (që mund të kërkojë përkthim paralel të njërës prej drejtëzave).

Nga përkufizimi del se një nga këndet është i barabartë me këndin ϕ ndërmjet

Vijat janë pingul me s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. Këndi ndërmjet vijës dhe rrafshit. Kushtet « » dhe « » direkte dhe

aeroplan

Le të jepet drejtëza L me ekuacionin e saj kanonik x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

dhe rrafshi P nga ekuacioni

Ax + By + Cz + D = 0.

Përkufizimi. Këndi ndërmjet drejtëzës L

dhe rrafshi p quhet kënd i mprehtë ndërmjet vijës L dhe projeksionit të saj në rrafsh.

Nga përkufizimi (dhe figura) rrjedh se këndi i kërkuar ϕ është shtesë (deri në kënd i drejtë) në këndin ndërmjet vektorit normal n (A , B ,C ) dhe

vektori i drejtimit s (l ,m ,n ) .

(. merret për të marrë një kënd akut).

Nëse L Р, atëherë s n (s, n) = 0

Tani, nëse e zëvendësojmë "t"-në e gjetur në ekuacionet parametrike të drejtëzës, atëherë do të gjejmë pikën e dëshiruar të kryqëzimit

Një nga veprimet kryesore të analizës matematikore është operacioni i kalimit në kufi, i cili ndodh në kurs në forma të ndryshme. Fillojmë me formën më të thjeshtë të veprimit të kalimit në kufi, bazuar në konceptin e kufirit të të ashtuquajturës sekuencë numrash. Kjo do të lehtësojë futjen e një forme tjetër shumë të rëndësishme të kalimit në operacionin limit, kufirit të një funksioni. Në vijim, ndërtimet e kalimeve deri në kufi do të përdoren në ndërtimin e llogaritjes diferenciale dhe integrale.



 Sekuenca pafundësisht të vogla dhe pafundësisht të mëdha

 Marrëdhënia midis sekuencave pafundësisht të mëdha dhe pafundësisht të vogla.

 Vetitë më të thjeshta të sekuencave infiniteminale

 Kufiri i sekuencës.

 Vetitë e sekuencave konvergjente

 Veprimet aritmetike në sekuenca konvergjente

 Sekuenca monotonike

 Kriteri i konvergjencës Cauchy

 Numri e dhe ilustrimi i tij ekonomik.

 Zbatimi i limiteve në llogaritjet ekonomike

§ 1. Sekuenca numerike dhe veti të thjeshta

1. Koncepti i një sekuence numerike. Veprimet aritmetike në sekuenca

Sekuencat e numrave janë grupe të pafundme numrash. Sekuencat e shembujve njihen nga shkolla:

1) sekuenca e të gjithë anëtarëve të një progresion të pafund aritmetik dhe gjeometrik;

2) sekuenca e perimetrave të rregullt n-gons të brendashkruara në një rreth të caktuar;

do të quhet sekuencë numrash (ose thjesht një sekuencë).

Numrat e veçuar x 3 , x 5 , x n do të quhen elementë ose anëtarë të sekuencës (1). Simboli x n quhet anëtari i përbashkët ose i n-të i kësaj sekuence. Duke dhënë vlerën n = 1, 2, … në termin e përbashkët x n marrim, përkatësisht, x 1 , të dytën x 2 e kështu me radhë. anëtarët.

Një sekuencë konsiderohet e dhënë (shih përkufizimin) nëse specifikohet një metodë për marrjen e ndonjë prej elementeve të saj. Shpesh një sekuencë jepet nga një formulë për termin e përbashkët të sekuencës.

Për të shkurtuar shënimin, sekuenca (1) ndonjëherë shkruhet si

Struktura e termit të përbashkët (formula e tij) mund të jetë komplekse. Për shembull,

Ndonjëherë sekuenca jepet nga të ashtuquajturat formulat e përsëritura, d.m.th. formula që ju lejojnë të gjeni anëtarët pasues të sekuencës nga ato të mëparshme të njohura.

Shembull (numrat Fibonacci). Le të jetë x 1 = x 2 = 1 dhe është dhënë formula e përsëritur x n = x n − 1 + x n − 2 për n = 3, 4, …. Pastaj kemi sekuencën 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (numrat e Leonardos nga Piza, me nofkën Fibonacci). Gjeometrikisht, një sekuencë numerike mund të përshkruhet në një numerike

boshti në formën e një sekuence pikash, koordinatat e të cilave janë të barabarta me ato përkatëse

anëtarët përkatës të sekuencës. Për shembull, (xn) = 1 n.

Leksioni № 8-9 Bazat e analizës matematikore prof. Dymkov M.P. 66

Konsideroni së bashku me sekuencën ( x n ) një sekuencë tjetër ( y n ) : y 1 , y 2 , y , n (2).

Përkufizimi. Shuma (diferenca, prodhimi, herësi) e sekuencës

vlerat (xn) dhe (yn) quhet një sekuencë (zn) anëtarët e së cilës janë

Prodhimi i një sekuence (xn) dhe një numri c R është një sekuencë (c xn).

Përkufizimi. Sekuenca ( xn ) quhet e kufizuar

nga lart (nga poshtë), nëse ka një numër real M (m) i tillë që çdo element i kësaj sekuence xn plotëson jobarazimin

xn ≤ M (xn ≥ m) . Një sekuencë quhet e kufizuar nëse është e kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë m ≤ xn ≤ M . Sekuenca xn quhet

është i pakufizuar nëse për një numër pozitiv A (arbitrarisht i madh) ka të paktën një element i sekuencës xn , kënaq

që jep pabarazinë xn > A.

(x n) = (1n) 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − është i kufizuar nga poshtë me 1, por është i pakufizuar.

( x n ) = ( − n ) − i kufizuar nga lart (–1), por edhe i pakufizuar.

Përkufizimi. Sekuenca ( x n ) quhet pafundësisht i vogël,

nëse për çdo numër real pozitiv ε (pa marrë parasysh sa i vogël është marrë) ekziston një numër N në varësi, në përgjithësi, nga ε , (N = N (ε )) i tillë që për të gjithë n ≥ N pabarazia x n< ε .

Shembull. (x n) = 1 n.

Përkufizimi. Sekuenca ( xn ) quhet dhimbje pa fund -

shy nëse për një numër real pozitiv A (pavarësisht se sa i madh është) ka një numër N (N = N(A)) i tillë që për të gjithë n ≥ N

fitohet mosbarazimi xn > A.

KËNDI MIDIS Aeroplanëve

Le të shqyrtojmë dy plane α 1 dhe α 2 të dhëna përkatësisht nga ekuacionet:

Nën këndi ndërmjet dy rrafsheve nënkuptojmë një nga këndet dihedrale të formuar nga këto rrafshe. Është e qartë se këndi midis vektorëve normalë dhe rrafsheve α 1 dhe α 2 është i barabartë me një nga këndet diedrale ngjitur të treguara ose . Kjo është arsyeja pse . Sepse dhe , pastaj

.

Shembull. Përcaktoni këndin midis planeve x+2y-3z+4=0 dhe 2 x+3y+z+8=0.

Gjendja e paralelizmit të dy rrafsheve.

Dy rrafshe α 1 dhe α 2 janë paralele nëse dhe vetëm nëse vektorët e tyre normalë janë paralelë, dhe kështu .

Pra, dy plane janë paralel me njëri-tjetrin nëse dhe vetëm nëse koeficientët në koordinatat përkatëse janë proporcionale:

ose

Gjendja e pingulitetit të planeve.

Është e qartë se dy plane janë pingul nëse dhe vetëm nëse vektorët e tyre normalë janë pingul, dhe për këtë arsye, ose .

Në këtë mënyrë, .

Shembuj.

DIREKT NË HAPËSIRË.

EKUACIONI VEKTORI DIREKT.

EKUACIONET PARAMETRIKE DIREKTE

Pozicioni i një vije të drejtë në hapësirë ​​përcaktohet plotësisht duke specifikuar ndonjë nga pikat e saj fikse M 1 dhe një vektor paralel me këtë vijë.

Një vektor paralel me një vijë të drejtë quhet udhëzues vektori i kësaj linje.

Pra, le të drejtë l kalon nëpër një pikë M 1 (x 1 , y 1 , z 1) shtrirë në një vijë të drejtë paralele me vektorin .

Konsideroni një pikë arbitrare M(x,y,z) në një vijë të drejtë. Nga figura shihet se .

Vektorët dhe janë kolinear, kështu që ekziston një numër i tillë t, çfarë , ku është shumëzuesi t mund të marrë çdo vlerë numerike në varësi të pozicionit të pikës M në një vijë të drejtë. Faktori t quhet parametër. Duke treguar vektorët e rrezes së pikave M 1 dhe M përkatësisht, përmes dhe , marrim . Ky ekuacion quhet vektoriale ekuacioni drejtvizor. Ajo tregon se çdo vlerë parametër t korrespondon me vektorin e rrezes së një pike M shtrirë në një vijë të drejtë.

Këtë ekuacion e shkruajmë në formë koordinative. Vini re se, dhe nga këtu

Ekuacionet që rezultojnë quhen parametrike ekuacionet drejtvizore.

Kur ndryshoni parametrin t koordinatat ndryshojnë x, y dhe z dhe pika M lëviz në vijë të drejtë.

EKUACIONET KANONIKE DIREKTE

Le M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - një pikë e shtrirë në një vijë të drejtë l, dhe është vektori i drejtimit të tij. Përsëri, merrni një pikë arbitrare në një vijë të drejtë M(x,y,z) dhe merrni parasysh vektorin.

Është e qartë se vektorët dhe janë kolinearë, kështu që koordinatat e tyre përkatëse duhet të jenë proporcionale, prandaj

– kanonike ekuacionet drejtvizore.

Vërejtje 1. Vini re se ekuacionet kanonike të linjës mund të merren nga ekuacionet parametrike duke eliminuar parametrin t. Në të vërtetë, nga ekuacionet parametrike marrim ose .

Shembull. Shkruani ekuacionin e një drejtëze në mënyrë parametrike.

Shënoni , prandaj x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Vërejtje 2. Lëreni vijën të jetë pingul me një nga boshtet e koordinatave, për shembull, boshti kau. Atëherë vektori i drejtimit të drejtëzës është pingul kau, Rrjedhimisht, m=0. Për rrjedhojë, ekuacionet parametrike të drejtëzës marrin formën

Eliminimi i parametrit nga ekuacionet t, marrim ekuacionet e drejtëzës në formë

Megjithatë, edhe në këtë rast, ne jemi dakord që të shkruajmë zyrtarisht ekuacionet kanonike të drejtëzës në formë . Kështu, nëse emëruesi i njërës prej thyesave është zero, atëherë kjo do të thotë se vija është pingul me boshtin koordinativ përkatës.

Në mënyrë të ngjashme, ekuacionet kanonike korrespondon me një vijë të drejtë pingul me boshtet kau dhe Oy ose boshti paralel Oz.

Shembuj.

EKUACIONET E PËRGJITHSHME NJË VIJË E DIREKT SI VINJË PËRGJIMI I DY RROFONEVE

Nëpër çdo vijë të drejtë në hapësirë ​​kalon një numër i pafund i planeve. Çdo dy prej tyre, duke u kryqëzuar, e përcaktojnë atë në hapësirë. Prandaj, ekuacionet e çdo dy rrafshe të tillë, të konsideruara së bashku, janë ekuacionet e kësaj linje.

Në përgjithësi, çdo dy plane jo paralele të dhëna nga ekuacionet e përgjithshme

përcaktoni vijën e tyre të kryqëzimit. Këto ekuacione quhen ekuacionet e përgjithshme drejt.

Shembuj.

Ndërtoni një drejtëz të dhënë nga ekuacionet

Për të ndërtuar një vijë, mjafton të gjesh çdo dy nga pikat e saj. Mënyra më e lehtë është të zgjidhni pikat e kryqëzimit të drejtëzës me planet koordinative. Për shembull, pika e kryqëzimit me rrafshin xOy marrim nga ekuacionet e një drejtëze, duke supozuar z= 0:

Duke zgjidhur këtë sistem, gjejmë pikën M 1 (1;2;0).

Në mënyrë të ngjashme, duke supozuar y= 0, marrim pikën e kryqëzimit të drejtëzës me rrafshin xOz:

Nga ekuacionet e përgjithshme të një vije të drejtë, mund të kalohet në ekuacionet e saj kanonike ose parametrike. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni një pikë M 1 në vijë dhe vektori i drejtimit të vijës.

Koordinatat e pikave M 1 marrim nga ky sistem ekuacionesh, duke i dhënë njërës prej koordinatave një vlerë arbitrare. Për të gjetur vektorin e drejtimit, vini re se ky vektor duhet të jetë pingul me të dy vektorët normalë dhe . Prandaj, për vektorin e drejtimit të drejtëzës l ju mund të merrni produkt vektorial vektorë normalë:

.

Shembull. Plumbi ekuacionet e përgjithshme drejt në formën kanonike.

Gjeni një pikë në një vijë të drejtë. Për ta bërë këtë, ne zgjedhim në mënyrë arbitrare një nga koordinatat, për shembull, y= 0 dhe zgjidhni sistemin e ekuacioneve:

Vektorët normalë të rrafsheve që përcaktojnë drejtëzën kanë koordinata Prandaj, vektori i drejtimit do të jetë i drejtë

. Rrjedhimisht, l: .

KËNDI MIDIS TË DREJTAVE

qoshe ndërmjet drejtëzave në hapësirë ​​do të quajmë cilindo nga këndet ngjitur të formuar nga dy drejtëza të tërhequra përmes një pike arbitrare paralele me të dhënat.

Le të jepen dy vija të drejta në hapësirë:

Natyrisht, këndi φ ndërmjet vijave mund të merret si kënd midis vektorëve të drejtimit të tyre dhe . Meqenëse , atëherë sipas formulës për kosinusin e këndit ndërmjet vektorëve marrim