Si të gjeni gradën e një matrice. Gjeni gradën e një matrice: metoda dhe shembuj. Transformimi linear dhe rangu i matricës

Konsideroni një matricë A me madhësi .

A=
Zgjidhni k rreshta dhe k kolona në të (
).

Përkufizimi 26:Të mitur Rendi k-të i matricës A quhet përcaktor matricë katrore, që rezulton nga përzgjedhja e dhënë në të.

k rreshta dhe k kolona.

Përkufizimi 27:gradë matrica quhet më e madhja nga rendet jo zero të minoreve të saj, r(A).

Përkufizimi 28: Quhet një i mitur, rendi i të cilit është i njëjtë me gradën e tij bazë e vogël.

Deklaratë:

1. Rangu shprehet si numër i plotë.(
)

2.r=0,
kur A është zero.

Shndërrimet elementare të matricave.

Transformimet elementare të matricave përfshijnë si më poshtë:

1) shumëzimi i të gjithë elementëve të çdo rreshti (kolone) të matricës me të njëjtin numër.

2) shtimi i elementeve të çdo rreshti (kolone) të matricës së elementeve përkatës të një rreshti (kolone) tjetër të shumëzuar me të njëjtin numër;

3) ndërrimi i rreshtave (kolonave) të matricës;

4) hedhja e rreshtit zero (kolona);

5) zëvendësimi i rreshtave të matricës me kolonat përkatëse.

Përkufizimi 29: Matricat e marra nga njëra-tjetra, sipas transformimeve elementare, quhen matrica ekuivalente, të shënuara me "~"

Vetia kryesore e matricave ekuivalente: Radhët e matricave ekuivalente janë të barabarta.

Shembulli 18: Llogaritni r(A),

Zgjidhja: Shumëzoni rreshtin e parë hap pas hapi me (-4)(-2)

(-7) dhe më pas shtoni respektivisht në rreshtat e dytë, të tretë dhe të katërt.

ndërroni rreshtin e dytë dhe të katërt
shumëzojeni rreshtin e dytë me (-2) dhe shtoni në rreshtin e katërt; shtoni rreshtin e dytë dhe të tretë.

shtoni rreshtin e tretë dhe të katërt.

~
hidhni vijën null

~
r(A)=3
rangu i matricës origjinale

është e barabartë me tre.

Përkufizimi 30: Ne e quajmë një matricë A një matricë hapi nëse të gjithë elementët e diagonales kryesore 0, dhe elementet nën diagonalen kryesore janë zero.

Fjali:

1) grada e një matrice hapi është e barabartë me numrin e rreshtave të saj;

2) çdo matricë mund të reduktohet në një formë hapi me ndihmën e transformimeve elementare.

Shembulli 19: Në cilat vlera të matricës 
ka gradë të barabartë me një?

Zgjidhja: Rangu është i barabartë me një nëse përcaktorja e rendit të dytë është e barabartë me zero, d.m.th.

§6. Sistemet e ekuacioneve lineare të formës së përgjithshme.

sistemi i pamjes
---(9) quhet sistem i formës së përgjithshme.

Përkufizimi 31: Dy sisteme quhen ekuivalente (ekuivalente) nëse çdo zgjidhje e sistemit të parë është zgjidhje e të dytit dhe anasjelltas.

Në sistemin (1) matrica A=
do të quhet matrica kryesore e sistemit, dhe =
sistemi i zgjeruar i matricës

Teorema. Kronecker-Cappelli

Që sistemi (9) të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës kryesore të sistemit të jetë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, d.m.th., r(A)=r( )

Teorema 1. Nëse rangu i matricës së një sistemi konsistent është i barabartë me numrin e të panjohurave, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike.

Teorema 2. Nëse rangu i matricës së një sistemi të përbashkët është më i vogël se numri i të panjohurave, atëherë sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Rregulli për zgjidhjen e një sistemi arbitrar të ekuacioneve lineare:

1) gjeni radhët e matricave kryesore dhe të zgjeruara të sistemit. Nese nje
, atëherë sistemi është i paqëndrueshëm.

2) Nëse
=r, atëherë sistemi është i pajtueshëm. Gjeni disa minore themelore të rendit r. Ne do të quajmë minoren bazë, në bazë të së cilës u përcaktua grada e matricës.

Të panjohurat koeficientët e të cilëve përfshihen në minorën bazë quhen kryesore (bazë) dhe të majtë në të majtë, ndërsa të panjohurat e mbetura quhen të lira dhe transferohen në anën e djathtë të ekuacionit.

3) Gjeni shprehjet e të panjohurave kryesore për sa i përket atyre të lira. Përftohet zgjidhja e përgjithshme e sistemit.

Shembulli 20: Hetoni sistemin dhe, në rast të përputhshmërisë së tij, gjeni një zgjidhje unike ose të përgjithshme

Zgjidhja: 1) sipas T. Kronecker-Capelli, gjejmë radhët e matricave të zgjeruara dhe themelore të sistemit:

~
~

~
~
grada e matricës kryesore është dy

2) gjeni rangun e matricës së shtuar
~
~
~

3) konkluzioni:
=2, atëherë sistemi është i pajtueshëm.

Por

sistemi është i pacaktuar dhe ka një numër të pafund zgjidhjesh.

4) Të panjohurat themelore dhe , meqenëse i përkasin të miturës bazë, dhe - i panjohur falas.

Le =c, ku c është çdo numër.

5) Matrica e fundit korrespondon me sistemin

6) Përgjigje:

7) Verifikimi: në cilindo nga ekuacionet e sistemit origjinal, ku janë të pranishme të gjitha të panjohurat, ne zëvendësojmë vlerat e gjetura.

Le të jepet një matricë:

Zgjidhni në këtë matricë vija arbitrare dhe kolona arbitrare
. Pastaj përcaktorja rendi i th, i perbere nga elemente matrice
që ndodhet në kryqëzimin e rreshtave dhe kolonave të zgjedhura quhet minor -Matrica e rendit të th
.

Përkufizimi 1.13. Rangu i matricës
është rendi më i madh i minorit jozero të kësaj matrice.

Për të llogaritur gradën e një matrice, duhet të merren parasysh të gjitha minoret e saj të rendit më të vogël dhe, nëse të paktën njëri prej tyre është jo zero, të vazhdohet me marrjen në konsideratë të minoreve të rendit më të lartë. Kjo qasje për përcaktimin e renditjes së një matrice quhet metoda e kufirit (ose metoda e minoreve kufitare).

Detyra 1.4. Me metodën e kufirit të të miturve, përcaktoni gradën e një matrice
.

Merrni parasysh kufijtë e rendit të parë, për shembull,
. Pastaj i drejtohemi shqyrtimit të disa kufijve të rendit të dytë.

Për shembull,
.

Së fundi, le të analizojmë kufirin e rendit të tretë.

Në këtë mënyrë, rendit më të lartë minor jozero është 2, pra
.

Gjatë zgjidhjes së problemit 1.4, mund të vërehet se seritë e minoreve kufitare të rendit të dytë janë jozero. Në lidhje me këtë, vërehet nocioni i mëposhtëm.

Përkufizimi 1.14. Minorja bazë e një matrice është çdo minor jo zero, rendi i të cilit është i barabartë me gradën e matricës.

Teorema 1.2.(Teorema bazë e vogël). Rreshtat bazë (kolonat bazë) janë linearisht të pavarura.

Vini re se rreshtat (kolonat) e një matrice varen në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse të paktën njëra prej tyre mund të përfaqësohet si një kombinim linear i të tjerëve.

Teorema 1.3. Numri i rreshtave të matricës në mënyrë lineare të pavarura është i barabartë me numrin e kolonave të matricës linearisht të pavarur dhe është i barabartë me gradën e matricës.

Teorema 1.4.(Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm që përcaktorja të jetë e barabartë me zero). Në mënyrë që përcaktorja - urdhri është e barabartë me zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rreshtat (kolonat) e tij të jenë të varura linearisht.

Llogaritja e renditjes së një matrice bazuar në përkufizimin e saj është shumë e rëndë. Kjo bëhet veçanërisht e rëndësishme për matricat e rendit të lartë. Në këtë drejtim, në praktikë, rangu i një matrice llogaritet bazuar në zbatimin e teoremave 10.2 - 10.4, si dhe përdorimin e koncepteve të ekuivalencës së matricës dhe transformimeve elementare.

Përkufizimi 1.15. Dy matrica
dhe quhen ekuivalente nëse radhët e tyre janë të barabarta, d.m.th.
.

Nëse matricat
dhe janë ekuivalente, pastaj vini re
 .

Teorema 1.5. Rangu i një matrice nuk ndryshon nga transformimet elementare.

Ne do të quajmë transformime elementare të matricës
ndonjë nga veprimet e mëposhtme në matricë:

Zëvendësimi i rreshtave me kolona dhe kolonave me rreshtat përkatës;

Permutacioni i rreshtave të matricës;

Kalimi i një vije, të gjithë elementët e së cilës janë të barabartë me zero;

Shumëzimi i çdo vargu me një numër jo zero;

Shtimi i elementeve të një rreshti të elementeve përkatës të një rreshti tjetër të shumëzuar me të njëjtin numër
.

Përfundimi i Teoremës 1.5. Nëse matrica
të marra nga matrica duke përdorur një numër të kufizuar transformimesh elementare, pastaj matricat
dhe janë ekuivalente.

Kur llogaritet rangu i një matrice, ajo duhet të reduktohet në një formë trapezoidale duke përdorur një numër të kufizuar transformimesh elementare.

Përkufizimi 1.16. Ne do ta quajmë trapezoid një formë të tillë paraqitjeje të një matrice, kur në minorën kufitare të rendit më të madh jozero, të gjithë elementët poshtë atyre diagonale zhduken. Për shembull:

Këtu
, elementet e matricës
kthehet në zero. Atëherë forma e paraqitjes së një matrice të tillë do të jetë trapezoidale.

Si rregull, matricat reduktohen në një formë trapezoidale duke përdorur algoritmin Gaussian. Ideja e algoritmit Gaussian është që, duke shumëzuar elementët e rreshtit të parë të matricës me faktorët përkatës, ata arrijnë që të gjithë elementët e kolonës së parë të vendosura poshtë elementit.
, do të kthehej në zero. Më pas, duke shumëzuar elementët e kolonës së dytë me shumëzuesit përkatës, arrijmë që të gjithë elementët e kolonës së dytë të vendosura poshtë elementit
, do të kthehej në zero. Më tej vazhdoni në mënyrë të ngjashme.

Detyra 1.5. Përcaktoni rangun e një matrice duke e reduktuar atë në një formë trapezoidale.

Për lehtësinë e aplikimit të algoritmit Gaussian, mund të ndërroni rreshtin e parë dhe të tretë.








.

Natyrisht këtu
. Megjithatë, për të sjellë rezultatin në një formë më elegante, mund të vazhdohen transformimet e mëtejshme mbi kolonat.










.

Renditja e një matrice është një gjë e rëndësishme karakteristikë numerike. Problemi më karakteristik që kërkon gjetjen e renditjes së një matrice është kontrollimi i përputhshmërisë së një sistemi të ekuacioneve algjebrike lineare. Në këtë artikull, ne do të japim konceptin e renditjes së një matrice dhe do të shqyrtojmë metodat për gjetjen e saj. Për një asimilim më të mirë të materialit, do të analizojmë në detaje zgjidhjet e disa shembujve.

Navigimi i faqes.

Përcaktimi i rangut të një matrice dhe konceptet e nevojshme shtesë.

Përpara se të shprehet përkufizimi i rangut të një matrice, duhet të keni një kuptim të mirë të konceptit të një minori, dhe gjetja e minoreve të një matrice nënkupton aftësinë për të llogaritur përcaktuesin. Pra, ne rekomandojmë, nëse është e nevojshme, të kujtojmë teorinë e artikullit, metodat për gjetjen e përcaktorit të matricës, vetitë e përcaktorit.

Merrni një matricë A të renditjes. Le të jetë k një numër natyror që nuk e kalon më të voglin e numrave m dhe n, domethënë, .

Përkufizimi.

Rendi i vogël k-të matrica A është përcaktorja e matricës katrore të rendit , e përbërë nga elementet e matricës A, të cilat janë në k rreshta dhe k kolona të parazgjedhura, dhe vendndodhja e elementeve të matricës A është ruajtur.

Me fjalë të tjera, nëse fshijmë (p–k) rreshtat dhe (n–k) kolonat në matricën A, dhe formojmë një matricë nga elementët e mbetur, duke mbajtur renditjen e elementeve të matricës A, atëherë përcaktori i matricës që rezulton është një minor i rendit k të matricës A.

Le të shohim përkufizimin e një minoreje matrice duke përdorur një shembull.

Merrni parasysh matricën .

Le të shkruajmë disa minore të rendit të parë të kësaj matrice. Për shembull, nëse zgjedhim rreshtin e tretë dhe kolonën e dytë të matricës A, atëherë zgjedhja jonë korrespondon me një minor të rendit të parë . Me fjalë të tjera, për të marrë këtë minor, ne kaluam rreshtin e parë dhe të dytë, si dhe kolonën e parë, të tretë dhe të katërt nga matrica A, dhe përcaktuam përcaktuesin nga elementi i mbetur. Nëse zgjedhim rreshtin e parë dhe kolonën e tretë të matricës A, atëherë marrim një minor .

Le të ilustrojmë procedurën për marrjen e të miturve të konsideruar të rendit të parë
dhe .

Kështu, minorët e rendit të parë të një matrice janë vetë elementët e matricës.

Le të tregojmë disa të mitur të rendit të dytë. Zgjidhni dy rreshta dhe dy kolona. Për shembull, merrni rreshtin e parë dhe të dytë dhe kolonën e tretë dhe të katërt. Me këtë zgjedhje, ne kemi një të mitur të rendit të dytë . Ky minor mund të formohet gjithashtu duke fshirë rreshtin e tretë, kolonën e parë dhe të dytë nga matrica A.

Një tjetër minor i rendit të dytë i matricës A është .

Le të ilustrojmë ndërtimin e këtyre të miturve të rendit të dytë
dhe .

Minoret e rendit të tretë të matricës A mund të gjenden në mënyrë të ngjashme. Meqenëse ka vetëm tre rreshta në matricën A, ne i zgjedhim të gjitha. Nëse zgjedhim tre kolonat e para për këto rreshta, atëherë marrim një minor të rendit të tretë

Mund të ndërtohet gjithashtu duke fshirë kolonën e fundit të matricës A.

Një tjetër minorenë e rendit të tretë është

fitohet duke fshirë kolonën e tretë të matricës A.

Këtu është një vizatim që tregon ndërtimin e këtyre të miturve të rendit të tretë
dhe .

Për një matricë të dhënë A, nuk ka minore të rendit më të lartë se e treta, pasi .

Sa minore të rendit k-të të matricës A të rendit ekzistojnë?

Numri i k minoreve të rendit mund të llogaritet si , ku dhe - numri i kombinimeve përkatësisht nga p në k dhe nga n në k.

Si të ndërtohen të gjitha minoret e rendit k të matricës A të rendit p në n?

Ne kemi nevojë për një grup numrash të rreshtave të matricës dhe një grup numrash kolonash. Regjistrimi i gjithçkaje kombinimet e p elementeve nga k(ato do të korrespondojnë me rreshtat e zgjedhur të matricës A kur ndërtohet një minor i rendit k). Në secilin kombinim të numrave të rreshtave, ne shtojmë në mënyrë sekuenciale të gjitha kombinimet e n elementeve sipas k numrave të kolonave. Këto grupe kombinimesh të numrave të rreshtave dhe numrave të kolonave të matricës A do të ndihmojnë për të kompozuar të gjitha minoret e rendit k.

Le të marrim një shembull.

Shembull.

Gjeni të gjitha minoret e rendit të dytë të matricës.

Zgjidhje.

Meqenëse rendi i matricës origjinale është 3 me 3, atëherë totali i të miturve të rendit të dytë do të jetë .

Le të shkruajmë të gjitha kombinimet e numrave nga 3 deri në 2 rreshta të matricës A: 1, 2; 1, 3 dhe 2, 3. Të gjitha kombinimet e numrave të kolonave 3 me 2 janë 1, 2; 1, 3 dhe 2, 3.

Merrni rreshtin e parë dhe të dytë të matricës A. Duke zgjedhur kolonën e parë dhe të dytë për këto rreshta, kolonën e parë dhe të tretë, kolonën e dytë dhe të tretë, marrim, përkatësisht, të miturit

Për rreshtat e parë dhe të tretë, me një zgjedhje të ngjashme të kolonave, kemi

Mbetet për të shtuar kolonat e parë dhe të dytë, të parë dhe të tretë, të dytë dhe të tretë në rreshtat e dytë dhe të tretë:

Pra, gjenden të nëntë minoret e rendit të dytë të matricës A.

Tani mund të kalojmë në përcaktimin e renditjes së matricës.

Përkufizimi.

Rangu i matricësështë rendi më i lartë i minorit të matricës jozero.

Rangu i matricës A shënohet si Rank(A). Ju gjithashtu mund të shihni emërtimet Rg(A) ose Rang(A).

Nga përkufizimet e renditjes së një matrice dhe minorit të një matrice, mund të konkludojmë se grada e një matrice zero është e barabartë me zero, dhe renditja e një matrice jozero është të paktën një.

Gjetja e renditjes së një matrice sipas përkufizimit.

Pra, metoda e parë për gjetjen e renditjes së një matrice është metoda e numërimit të vogël. Kjo metodë bazohet në përcaktimin e rangut të matricës.

Le të na duhet të gjejmë rangun e një matrice A të rendit .

Përshkruani shkurtimisht algoritmi zgjidhja e këtij problemi me metodën e numërimit të të miturve.

Nëse ka të paktën një element matricë përveç zeros, atëherë rangu i matricës është të paktën i barabartë me një (pasi ekziston një minor i rendit të parë që nuk është i barabartë me zero).

Më pas, ne përsërisim mbi të miturit e rendit të dytë. Nëse të gjithë të miturit e rendit të dytë janë të barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me një. Nëse ekziston të paktën një minorenë e rendit të dytë jo zero, atëherë kalojmë në numërimin e të miturve të rendit të tretë, dhe grada e matricës është të paktën e barabartë me dy.

Në mënyrë të ngjashme, nëse të gjithë të miturit e rendit të tretë janë zero, atëherë rangu i matricës është dy. Nëse ka të paktën një minorenë të rendit të tretë jo zero, atëherë rangu i matricës është të paktën tre, dhe ne vazhdojmë me numërimin e të miturve të rendit të katërt.

Vini re se rangu i një matrice nuk mund të kalojë më të voglin e p dhe n.

Shembull.

Gjeni gradën e një matrice .

Zgjidhje.

Meqenëse matrica është jo zero, rangu i saj nuk është më pak se një.

Minoren e rendit të dytë është i ndryshëm nga zero, prandaj, rangu i matricës A është të paktën dy. Kalojmë në numërimin e të miturve të rendit të tretë. Të gjithë ata gjërat.

Të gjithë të miturit e rendit të tretë janë të barabartë me zero. Prandaj, rangu i matricës është dy.

Përgjigje:

Renditja (A) = 2 .

Gjetja e renditjes së një matrice me metodën e fringing të të miturve.

Ka metoda të tjera për të gjetur gradën e një matrice që ju lejojnë të merrni rezultatin me më pak punë llogaritëse.

Një nga këto metoda është metodë e vogël fringing.

Le të merremi me nocioni i të miturit në kufi.

Thuhet se minori M ok i rendit (k+1) të matricës A kufizohet me minorin M të rendit k të matricës A nëse matrica që i korrespondon minorit M ok “përmban” matricën që i korrespondon minorit. M .

Me fjalë të tjera, matrica që i korrespondon minorit të kufizuar M merret nga matrica që i përgjigjet minorit kufitar M ok duke fshirë elementet e një rreshti dhe një kolone.

Për shembull, merrni parasysh matricën dhe të marrë një të mitur të rendit të dytë. Le të shkruajmë të gjithë të miturit në kufi:

Metoda e kufirit të minoreve justifikohet nga teorema e mëposhtme (e paraqesim formulimin e saj pa prova).

Teorema.

Nëse të gjitha minoret që kufizojnë minorën e rendit k-të të një matrice A të rendit p me n janë të barabarta me zero, atëherë të gjitha minoret e rendit (k + 1) të matricës A janë të barabarta me zero.

Kështu, për të gjetur gradën e një matrice, nuk është e nevojshme të numërohen të gjithë të miturit që janë mjaftueshëm në kufi. Numri i minoreve që kufizojnë minorin e rendit k-të të matricës A të rendit gjendet me formulën . Vini re se nuk ka më minore që kufizojnë minorin e rendit k-të të matricës A sesa ka (k + 1) minore të rendit të matricës A. Prandaj, në shumicën e rasteve, përdorimi i metodës së kufirit të të miturve është më fitimprurës sesa thjesht numërimi i të gjithë të miturve.

Le të vazhdojmë me gjetjen e renditjes së një matrice me metodën e fringing të të miturve. Përshkruani shkurtimisht algoritmi këtë metodë.

Nëse matrica A është jo zero, atëherë marrim çdo element të matricës A që është i ndryshëm nga zeroja si minor i rendit të parë. Ne konsiderojmë të miturit e saj në kufi. Nëse të gjithë janë të barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me një. Nëse ka të paktën një minore kufitare jo zero (rendi i tij është i barabartë me dy), atëherë kalojmë në shqyrtimin e të miturve kufitarë të tij. Nëse të gjitha janë zero, atëherë Rank(A) = 2 . Nëse të paktën një minor kufitar është jozero (rendi i tij është i barabartë me tre), atëherë marrim parasysh minoret kufitare të tij. Dhe kështu me radhë. Si rezultat, Rank(A) = k nëse të gjitha minoret kufitare të rendit (k + 1) të matricës A janë të barabarta me zero, ose Rank(A) = min(p, n) nëse ekziston një jo- zero minor që kufizohet me minorin e rendit (min( p, n) – 1) .

Le të analizojmë metodën e kufirit të të miturve për gjetjen e renditjes së një matrice duke përdorur një shembull.

Shembull.

Gjeni gradën e një matrice me metodën e kufirit të të miturve.

Zgjidhje.

Meqenëse elementi a 1 1 i matricës A është jo zero, ne e marrim atë si minor të rendit të parë. Le të fillojmë të kërkojmë për një të vogël kufitare përveç zeros:

Gjendet një minor i rendit të dytë me kufi jo zero. Le të numërojmë të miturit e saj në kufi (të tyre gjërat):

Të gjithë të miturit që kufizojnë minorin e rendit të dytë janë të barabartë me zero, prandaj, rangu i matricës A është i barabartë me dy.

Përgjigje:

Renditja (A) = 2 .

Shembull.

Gjeni gradën e një matrice me ndihmën e të miturve në kufi.

Zgjidhje.

Si minor jozero i rendit të parë, marrim elementin a 1 1 = 1 të matricës A . Fringing atë të vogël të rendit të dytë nuk është e barabartë me zero. Kjo e mitur kufizohet me një të mitur të rendit të tretë
. Meqenëse nuk është e barabartë me zero dhe nuk ka asnjë të vogël kufitare për të, rangu i matricës A është i barabartë me tre.

Përgjigje:

Renditja (A) = 3 .

Gjetja e renditjes duke përdorur transformimet elementare të matricës (me metodën e Gausit).

Konsideroni një mënyrë tjetër për të gjetur gradën e një matrice.

Transformimet e mëposhtme të matricës quhen elementare:

ndërrimi i rreshtave (ose kolonave) të matricës;
shumëzimi i të gjithë elementëve të çdo rreshti (kolone) të matricës me një numër arbitrar k që është i ndryshëm nga zero;
shtim në elementet e çdo rreshti (kolone) të elementeve përkatës të një rreshti (kolone) tjetër të matricës, shumëzuar me një numër arbitrar k.

Matrica B quhet ekuivalente me matricën A, nëse B-ja merret nga A me ndihmën e një numri të kufizuar shndërrimesh elementare. Ekuivalenca e matricave shënohet me simbolin "~", domethënë shkruhet A ~ B.

Gjetja e renditjes së një matrice duke përdorur transformimet elementare të matricës bazohet në pohimin: nëse matrica B merret nga matrica A duke përdorur një numër të fundëm transformimesh elementare, atëherë Rank(A) = Rank(B) .

Vlefshmëria e kësaj deklarate rrjedh nga vetitë e përcaktorit të matricës:

Kur rreshtat (ose kolonat) e një matrice ndërrohen, përcaktori i saj ndryshon shenjën. Nëse është e barabartë me zero, atëherë kur ndryshoni rreshtat (kolonat), ajo mbetet e barabartë me zero.
Kur shumëzoni të gjithë elementët e çdo rreshti (kolone) të matricës me një numër arbitrar k të ndryshëm nga zero, përcaktori i matricës që rezulton është i barabartë me përcaktuesin e matricës origjinale, shumëzuar me k. Nëse përcaktori i matricës origjinale është i barabartë me zero, atëherë pasi të keni shumëzuar të gjithë elementët e çdo rreshti ose kolone me numrin k, përcaktori i matricës që rezulton gjithashtu do të jetë i barabartë me zero.
Shtimi i elementeve të një rreshti (kolone) të caktuar të matricës elementet përkatëse të një rreshti (kolone) tjetër të matricës, të shumëzuar me një numër k, nuk e ndryshon përcaktuesin e saj.

Thelbi i metodës së transformimeve elementareështë të sjellim matricën, rangun e së cilës duhet të gjejmë, në një trapez (në një rast të veçantë, në një trekëndësh të sipërm) duke përdorur transformime elementare.

Për çfarë është? Renditja e matricave të këtij lloji është shumë e lehtë për t'u gjetur. Është e barabartë me numrin e rreshtave që përmbajnë të paktën një element jo-nul. Dhe meqenëse rangu i matricës nuk ndryshon gjatë transformimeve elementare, vlera që rezulton do të jetë rangu i matricës origjinale.

Ne japim ilustrime të matricave, njëra prej të cilave duhet të merret pas transformimeve. Forma e tyre varet nga rendi i matricës.

Këto ilustrime janë shabllone në të cilat ne do të transformojmë matricën A.

Le të përshkruajmë algoritmi i metodës.

Supozoni se duhet të gjejmë rangun e një matrice A jozero të rendit (p mund të jetë e barabartë me n).

Kështu që, . Le të shumëzojmë të gjithë elementët e rreshtit të parë të matricës A me . Në këtë rast, marrim një matricë ekuivalente, e shënojmë atë A (1):

Elementeve të rreshtit të dytë të matricës rezultuese A (1), shtojmë elementët përkatës të rreshtit të parë, shumëzuar me . Elementeve të rreshtit të tretë, shtoni elementet përkatëse të rreshtit të parë, shumëzuar me . Dhe kështu me radhë deri në vijën p-të. Marrim një matricë ekuivalente, e shënojmë A (2):

Nëse të gjithë elementët e matricës rezultuese që janë në rreshta nga e dyta në p-të janë të barabarta me zero, atëherë rangu i kësaj matrice është i barabartë me një, dhe, rrjedhimisht, rangu i matricës origjinale është e barabartë me një.

Nëse ka të paktën një element jozero në rreshtat nga i dyti në p-të, atëherë vazhdojmë të kryejmë transformime. Për më tepër, ne veprojmë saktësisht në të njëjtën mënyrë, por vetëm me pjesën e matricës A të shënuar në figurën (2)

Nëse , atëherë ne i riorganizojmë rreshtat dhe (ose) kolonat e matricës A (2) në mënyrë që elementi "i ri" të bëhet jo zero.

Çdo matricë A urdhëroj m×n mund të shihet si një koleksion m vektorët e rreshtave ose n vektorët e kolonave .

gradë matricat A urdhëroj m×nështë numri maksimal i vektorëve të kolonës në mënyrë lineare të pavarura ose vektorëve të rreshtave.

Nëse rangu i matricës A barazohet r, atëherë shkruhet:

Gjetja e renditjes së një matrice

Le A matrica e rendit arbitrar m× n. Për të gjetur gradën e një matrice A aplikoni metodën e eliminimit Gaussian për të.

Vini re se nëse në një fazë të eliminimit elementi kryesor rezulton të jetë i barabartë me zero, atëherë ne e ndërrojmë vargun e dhënë me vargun në të cilin elementi kryesor është i ndryshëm nga zero. Nëse rezulton se nuk ka një rresht të tillë, atëherë kalojmë në kolonën tjetër, e kështu me radhë.

Pas lëvizjes përpara të eliminimit Gaussian, marrim një matricë, elementët e së cilës nën diagonalen kryesore janë të barabarta me zero. Përveç kësaj, mund të ketë vektorë të rreshtave të pavlefshëm.

Numri i vektorëve të rreshtave jozero do të jetë rangu i matricës A.

Le t'i shohim të gjitha këto me shembuj të thjeshtë.

Shembulli 1

Duke shumëzuar rreshtin e parë me 4 dhe duke shtuar në rreshtin e dytë dhe duke shumëzuar rreshtin e parë me 2 dhe duke shtuar në rreshtin e tretë kemi:

Shumëzojeni rreshtin e dytë me -1 dhe shtoni atë në rreshtin e tretë:

Ne morëm dy rreshta jo zero dhe, për rrjedhojë, renditja e matricës është 2.

Shembulli 2

Gjeni rangun e matricës së mëposhtme:

Shumëzojeni rreshtin e parë me -2 dhe shtoni në rreshtin e dytë. Në mënyrë të ngjashme, vendosni elementët e rreshtit të tretë dhe të katërt të kolonës së parë në zero:

Le të rivendosim elementet e rreshtit të tretë dhe të katërt të kolonës së dytë duke shtuar rreshtat përkatës në rreshtin e dytë të shumëzuar me numrin -1.

Në secilën matricë, dy rang mund të shoqërohen: një renditje rreshti (grada e sistemit të rreshtave) dhe një renditje e kolonës (grada e sistemit të kolonës).

Teorema

Renditja e rreshtit të një matrice është e barabartë me renditjen e kolonës së saj.

Rangu i matricës

Përkufizimi

Rangu i matricës$A$ është rangu i sistemit të tij të rreshtave ose kolonave.

Shënuar me $\operatorname(rang) A$

Në praktikë, për të gjetur gradën e një matrice, përdoret pohimi i mëposhtëm: grada e një matrice është e barabartë me numrin e rreshtave jo zero pasi matrica të jetë reduktuar në një formë të shkallëzuar.

Transformimet elementare mbi rreshtat (kolonat) e një matrice nuk e ndryshojnë renditjen e saj.

Renditja e një matrice hapi është e barabartë me numrin e rreshtave të saj jozero.

Shembull

Ushtrimi. Gjeni rangun e një matrice $ A=\left(\fille(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\fund (arrit)\djathtas) $

Zgjidhje. Duke përdorur transformimet elementare mbi rreshtat e saj, ne e reduktojmë matricën $A$ në një formë hapi. Për ta bërë këtë, së pari zbritni dy të dytat nga rreshti i tretë:

$$ A \sim \left(\fillimi(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\fund (array)\djathtas) $$

Nga rreshti i dytë zbresim rreshtin e katërt, shumëzuar me 4; nga e treta - dy të katërtat:

$$ A \sim \left(\fillim(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\fund (arrit)\djathtas) $$

Ne shtojmë pesë të parat në rreshtin e dytë dhe tre të tretat në të tretën:

$$ A \sim \left(\fille(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\fund (array)\djathtas) $$

Ndërroni rreshtin e parë dhe të dytë:

$$ A \sim \left(\fillimi(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\fund (array)\djathtas) $$

$$ A \sim \left(\fillimi(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\fund (array)\djathtas) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$

Përgjigju.$ \emri i operatorit(grada) A=2 $

Metoda e kufirit të vogël

Një metodë tjetër për të gjetur gradën e një matrice bazohet në këtë teoremë - Metoda e kufirit të vogël. Thelbi i kësaj metode është gjetja e të miturve, duke filluar nga urdhrat më të ulët dhe duke kaluar në ato më të larta. Nëse minorja e rendit $n$-të është jo zero, dhe të gjitha minoret $n+1$-të janë të barabarta me zero, atëherë rangu i matricës do të jetë i barabartë me $n$.

Shembull

Ushtrimi. Gjeni rangun e një matrice $ A=\left(\fille(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(array)\djathtas) $ duke përdorur metodën e kufirit të vogël.

Zgjidhje. Minoret e rendit minimal janë minoret e rendit të parë, të cilat janë të barabarta me elementet e matricës $A$. Konsideroni, për shembull, minorin $ M_(1)=1 \neq 0 $ . ndodhet në rreshtin e parë dhe në kolonën e parë. Duke e kufizuar atë me rreshtin e dytë dhe kolonën e dytë, marrim vlerën e vogël $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; konsiderojmë një minor tjetër të rendit të dytë, për këtë e kufizojmë minorin $M_1$ me ndihmën e rreshtit të dytë dhe kolonës së tretë, pastaj kemi minorin $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $, domethënë, rangu i matricës është të paktën dy. Më pas, ne konsiderojmë të miturit e rendit të tretë që rrethojnë minoren $ M_(2)^(2) $. Ka dy minore të tilla: një kombinim i rreshtit të tretë me kolonën e dytë ose me kolonën e katërt. Ne i llogarisim këta të mitur.