Prodhimi i dy matricave katrore. Përcaktor i prodhimit të matricave katrore. Përcaktor i prodhimit të dy matricave katrore
Përcaktori i matricës është një numër që karakterizon matricën katrore A dhe është i lidhur ngushtë me zgjidhjen e sistemeve ekuacionet lineare. Përcaktori i matricës A shënohet me ose . Çdo matrice katrore A të rendit n i caktohet, sipas një ligji të caktuar, një numër i llogaritur i quajtur përcaktor ose përcaktor i rendit të n-të të kësaj matrice. Merrni parasysh përcaktuesit e rendit të dytë dhe të tretë.
Lëreni matricën
,
atëherë përcaktori i tij i rendit të dytë llogaritet me formulë
.
Shembull. Llogaritni përcaktorin e matricës A:
Përgjigje: -10.
Përcaktori i rendit të tretë llogaritet me formulë
Shembull. Llogaritni përcaktorin e matricës B
.
Përgjigje: 83.
Llogaritja e përcaktorit të rendit të n-të bazohet në vetitë e përcaktorit dhe teoremës së Laplasit vijues: përcaktori është e barabartë me shumën produktet e elementeve të çdo rreshti (kolone) të matricës dhe plotësimet e tyre algjebrike:
Mbledhja algjebrike elementi është i barabartë 
, ku është elementi minor, i marrë duke fshirë rreshtin i-të dhe kolonën j-të në përcaktor.
Minore rendi i matricës Elementi A është përcaktor i matricës së rendit (n-1)-të, i marrë nga matrica A duke fshirë rreshtin i-të dhe kolonën j-të.
Shembull. Gjeni plotësimet algjebrike të të gjithë elementëve të matricës A:
.
Përgjigje: 
.
Shembull. Llogaritni përcaktorin e matricës së një matrice trekëndore:
Përgjigje: -15.
Vetitë e përcaktorëve:
1. Nëse ndonjë rresht (kolonë) i matricës përbëhet vetëm nga zero, atëherë përcaktorja e saj është 0.
2. Nëse të gjithë elementët e ndonjë rreshti (kolone) të matricës shumëzohen me një numër, atëherë përcaktori i saj do të shumëzohet me këtë numër.
3. Gjatë transpozimit të një matrice, përcaktori i saj nuk do të ndryshojë.
4. Kur dy rreshta (kolona) të një matrice ndërrohen, përcaktori i saj ndryshon shenjën në të kundërtën.
5. Nëse një matricë katrore përmban dy rreshta (kolona) identike, atëherë përcaktori i saj është 0.
6. Nëse elementet e dy rreshtave (kolonave) të një matrice janë proporcionale, atëherë përcaktorja e saj është 0.
7. Shuma e prodhimit të elementeve të çdo rreshti (kolone) të matricës dhe plotësimeve algjebrike të elementeve të një rreshti (kolone) tjetër të kësaj matrice është 0.
8. Përcaktori i matricës nuk do të ndryshojë nëse elementet e ndonjë rreshti (kolone) të matricës u shtohen elementeve të një rreshti (kolone) tjetër, të shumëzuar më parë me të njëjtin numër.
9. Shuma e prodhimeve të numrave arbitrarë dhe e plotësimeve algjebrike të elementeve të çdo rreshti (kolone) është e barabartë me përcaktorin e matricës që fitohet nga ajo e dhënë duke i zëvendësuar elementet e kësaj rreshti (kolone) me numra.
10. Përcaktorja e prodhimit të dy matricave katrore është e barabartë me prodhimin e përcaktorëve të tyre.
Matrica e anasjelltë.
Përkufizimi. Një matricë quhet anasjellta e një matrice katrore A nëse, kur kjo matricë shumëzohet me atë të dhënë në të djathtë dhe në të majtë, merret matrica e identitetit:
.
Nga përkufizimi rezulton se vetëm një matricë katrore ka një të anasjelltë; në këtë rast, matrica e kundërt është gjithashtu katrore e të njëjtit rend. Nëse përcaktori i një matrice është jozero, atëherë një matricë e tillë katrore quhet jo e degjeneruar.
Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për ekzistencën e një matrice inverse: Një matricë e kundërt ekziston (dhe është unike) nëse dhe vetëm nëse matrica origjinale është josingulare.
Algoritmi i parë për llogaritjen e matricës së kundërt:
1. Gjeni përcaktorin e matricës origjinale. Nëse përcaktori nuk është zero, atëherë matrica origjinale është josingulare dhe matrica e anasjelltë ekziston.
2. Gjeni matricën e transpozuar në A.
3. Gjejmë plotësimet algjebrike të elementeve të matricës së transpozuar dhe prej tyre kompozojmë matricën e bashkuar.
4. Llogaritni matricën e anasjelltë me formulën: .
5. Kontrollojmë korrektësinë e llogaritjes së matricës së kundërt, bazuar në përcaktimin e saj 
.
Shembull.
.
Përgjigje: 
.
Algoritmi i dytë për llogaritjen e matricës së kundërt:
Matrica e anasjelltë mund të llogaritet bazuar në transformimet elementare të mëposhtme në rreshtat e matricës:
Ndërrimi i dy rreshtave;
Shumëzimi i një rreshti matricë me çdo numër jo zero;
Shtimi i një rreshti të një matrice një rreshti tjetër, i shumëzuar me çdo numër jo zero.
Për të llogaritur matricën e kundërt për matricën A, është e nevojshme të kompozohet matrica, pastaj me transformime elementare matrica A të sillet në formën e matricës identitare E, pastaj në vend të matricës së identitetit marrim matricën.
Shembull. Llogaritni matricën e anasjelltë për matricën A:
.
Ne hartojmë një matricë B të formës:
.
Elementi = 1 dhe rreshti i parë që përmban këtë element do të quhet udhërrëfyes. Le të bëjmë transformime elementare, si rezultat i të cilave kolona e parë shndërrohet në një kolonë të vetme me një njësi në rreshtin e parë. Për ta bërë këtë, në rreshtat e dytë dhe të tretë, shtoni rreshtin e parë, respektivisht shumëzuar me 1 dhe -2. Si rezultat i këtyre transformimeve, marrim:
.
Më në fund arrijmë
.
Ku 
.
Rangu i matricës. Rangu i një matrice A quhet rendit më të lartë minoret jozero të kësaj matrice. Rangu i matricës A shënohet me rang(A) ose r(A).
Nga përkufizimi rrjedh: a) rangu i një matrice nuk e kalon më të voglën e dimensioneve të saj, d.m.th. r(A) është më i vogël ose i barabartë me minimumin e numrave m ose n; b) r(A)=0 nëse dhe vetëm nëse të gjithë elementët e matricës A janë të barabartë me zero; c) për matricë katrore Rendi i n-të r(A)=n nëse dhe vetëm nëse matrica A është josingulare.
Shembull: Llogaritni radhët e matricave:
.
Përgjigje: r(A)=1. Përgjigje: r(A)=2.
Ne i quajmë elementare transformimet e mëposhtme të matricës:
1) Refuzimi i rreshtit zero (kolona).
2) Shumëzimi i të gjithë elementëve të një rreshti (kolone) të një matrice me një numër jo zero.
3) Ndryshimi i renditjes së rreshtave (kolonave) të matricës.
4) Shtimi i secilit element të një rreshti (kolone) të elementeve përkatës të një rreshti (kolone) tjetër, të shumëzuar me çdo numër.
5) Transpozimi i matricës.
Rangu i një matrice nuk ndryshon nën transformimet elementare të matricës.
Shembuj: Llogaritni matricën , ku
; 
;
Përgjigje: .
Shembull: Llogaritni matricën 
, ku
; ; ; E është matrica e identitetit.
Përgjigje: .
Shembull: Llogaritni përcaktorin e matricës
.
Përgjigju: 160.
Shembull: Përcaktoni nëse matrica A ka një të anasjelltë dhe nëse po, llogarisni atë:
.
Përgjigju: 
.
Shembull: Gjeni gradën e një matrice
.
Përgjigju: 2.
2.4.2. Sistemet e ekuacioneve lineare.
Sistemi i m ekuacioneve lineare me n ndryshore ka formën:
,
ku , janë numra arbitrarë, të quajtur, përkatësisht, koeficientët e variablave dhe termat e lirë të ekuacioneve. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh është një grup i tillë prej n numrash (), kur zëvendësohet çdo ekuacion i sistemit në një barazi të vërtetë.
Një sistem ekuacionesh quhet konsistent nëse ka të paktën një zgjidhje dhe jokonsistent nëse nuk ka zgjidhje. Një sistem i përbashkët ekuacionesh quhet i caktuar nëse ka vetëm vendim, dhe e pacaktuar nëse ka më shumë se një zgjidhje.
Teorema e Kramerit: Le të - përcaktorja e matricës A, e përbërë nga koeficientët e ndryshoreve "x", dhe - përcaktorja e matricës e përftuar nga matrica A duke zëvendësuar kolonën j-të të kësaj matrice me një kolonë anëtarësh të lirë. Atëherë, nëse , atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, të përcaktuar nga formulat: (j=1, 2, …, n). Këto ekuacione quhen formulat e Cramer-it.
Shembull. Zgjidh sisteme ekuacionesh duke përdorur formulat e Cramer-it:
Përgjigjet: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)
Metoda e Gausit- metoda e eliminimit të njëpasnjëshëm të variablave, konsiston në faktin se me ndihmën e shndërrimeve elementare sistemi i ekuacioneve reduktohet në një sistem ekuivalent të formës së shkallëzuar (ose trekëndore), nga i cili gjenden të gjitha ndryshoret e tjera në mënyrë sekuenciale, duke filluar nga variablat e fundit sipas numrit.
Shembull: Zgjidh sisteme ekuacionesh duke përdorur metodën Gaussian.
Përgjigjet: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).
Për sistemet konsistente të ekuacioneve lineare, pohimet e mëposhtme janë të vërteta:
· nëse rangu i matricës së sistemit të përbashkët është i barabartë me numrin e variablave, d.m.th. r = n, atëherë sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje unike;
· nëse rangu i matricës së sistemit të përbashkët është më i vogël se numri i variablave, d.m.th. r 2.4.3. Teknologji për kryerjen e operacioneve në matrica në mjedisin EXCEL. Le të shqyrtojmë disa aspekte të punës me procesorin e tabelave Excel, të cilat na lejojnë të thjeshtojmë llogaritjet e nevojshme për të zgjidhur problemet e optimizimit. Një procesor i fletëllogaritjes është një produkt softuerësh i krijuar për të automatizuar përpunimin e të dhënave në një formë tabelare. Puna me formula. Në programet e tabelave, formulat përdoren për të kryer shumë llogaritje të ndryshme. Me Excel, ju mund të krijoni shpejt një formulë. Formula ka tre pjesë kryesore: Shenja e barabartë; Operatorët. Përdorni në formulat e funksionit. Për ta bërë më të lehtë futjen e formulave, mund të përdorni funksionet Excel. Funksionet janë formula të integruara në Excel. Për të aktivizuar një formulë të caktuar, shtypni butonat Fut, Funksione. Në dritaren që shfaqet Funksioni Wizard në të majtë është një listë e llojeve të funksioneve. Pas zgjedhjes së llojit, një listë e vetë funksioneve do të vendoset në të djathtë. Zgjedhja e funksioneve kryhet duke klikuar butonin e miut në emrin përkatës. Kur kryeni operacione në matrica, zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare, zgjidhjen e problemeve të optimizimit, mund të përdorni funksionet e mëposhtme të Excel: SHUMËZIMI - shumëzimi i matricës; TRANSPOSE - transpozimi i matricës; MOPRED - llogaritja e përcaktorit të matricës; MOBR - llogaritja e matricës së kundërt. Butoni është në shiritin e veglave. Funksionet për kryerjen e operacioneve me matrica janë në kategori Matematikore. Shumëzimi i matricës me një funksion MUMNOZH
. Funksioni MULTIP kthen produktin e matricave (matricat ruhen në vargjet 1 dhe 2). Rezultati është një grup me të njëjtin numër rreshtash si grupi 1 dhe të njëjtin numër kolonash si grupi 2. Shembull. Gjeni produktin e dy matricave A dhe B në Excel (shih Figurën 2.9): Futni matricat A në qelizat A2:C3 dhe B në qelizat E2:F4. Zgjidhni gamën e qelizave për rezultatin e shumëzimit - H2:I2. Futni formulën për shumëzimin e matricës =MMULT(A2:C3, E2:F4). Shtypni CTRL+SHIFT+ENTER. Llogaritjet e matricës së kundërt duke përdorur funksionin NIBR. Funksioni MIN kthen inversin e një matrice të ruajtur në një grup. Sintaksa: NBR (array). Në fig. 2.10 tregon zgjidhjen e shembullit në mjedisin Excel. Shembull. Gjeni matricën e kundërt me atë të dhënë: Figura 2.9. Të dhënat fillestare për shumëzimin e matricës. . Produkti i dy matricave katrore n rendi th është gjithmonë i përcaktuar. Këtu teorema e mëposhtme ka një rëndësi të madhe. Teorema.
Përcaktori i matricës së produktit është i barabartë me produktin e përcaktuesve të matricave të faktorëve: Dëshmi. Le Hartoni një përcaktor ndihmës Nga përfundimi i teoremës së Laplace, ne kemi: Kështu që, Zgjerimi i përcaktorit që rezulton duke përdorur teoremën e Laplasit në terma të fundit P kolona, gjejmë: Kështu, ne kemi vërtetuar barazitë dhe , nga ku del se . Përkufizimi 1
.
Le të jepet një matricë katrore POR P- urdhri. Matrica katrore deklaratë.
Nëse ka një matricë të kundërt me matricën POR, atëherë një matricë e tillë është unike. Dëshmi. Supozoni se matrica nuk është e vetmja matricë e kundërt me matricën POR. Merrni një matricë tjetër të anasjelltë B. Më pas kushtet Konsideroni produktin nga e cila rrjedh se Kur vërtetojmë teoremën mbi ekzistencën e një matrice të kundërt, na nevojitet koncepti i "matricës së bashkuar". Përkufizimi 2
.
Lëreni matricën elementet e të cilit janë plotësues algjebrikë Vini re se për të ndërtuar matricën adjoint NGA elementet e matricës POR ju duhet t'i zëvendësoni ato me plotësues algjebrikë dhe më pas të transpozoni matricën që rezulton. Përkufizimi 3.
matricë katrore POR thirrur jo i degjeneruar
, nëse Teorema.
Në mënyrë për matricën POR ka një matricë inverse , është e nevojshme dhe e mjaftueshme që matrica POR ishte i padegjeneruar. Në këtë rast, matrica përcaktohet nga formula ku janë plotësimet algjebrike të elementeve të matricës POR. Dëshmi. Lëreni matricën POR ka një matricë të anasjelltë. Atëherë plotësohen kushtet që nënkuptojnë . Nga barazia e fundit marrim se përcaktorët dhe Tani le matricën POR jo i degjeneruar. Le të vërtetojmë se matrica POR ka një matricë të kundërt dhe përcaktohet me formulën (1). Për këtë, merrni parasysh punën matricat POR NGA. Sipas rregullit të shumëzimit të matricës, elementi ku E– matrica e identitetit P- urdhri. Barazia Pasoja 1
.
Përcaktuesit e matricës POR dhe janë të lidhura nga . Pasoja 2
.
Vetia kryesore e matricës shoqëruese NGA te matrica POR shprehur barazitë Përfundimi 3
.
Përcaktor i një matrice josingulare POR dhe matricën e bashkangjitur me të NGA i lidhur nga barazia Përfundimi 3 rrjedh nga barazia prej nga rrjedh se . Shembull. Gjeni matricën e kundërt me matricën POR: Zgjidhje. Përcaktues matricë të ndryshme nga zero. Prandaj, matrica POR ka një të kundërt. Për ta gjetur atë, së pari llogarisim plotësimet algjebrike: Tani, duke përdorur formulën (1), shkruajmë matricën e kundërt Përkufizimi
1.
Nën transformimet elementare
matricës mbi madhësinë kuptoni hapat e mëposhtëm. Ekuivalenca e matricës ka vetitë e mëposhtme: 1) nëse i-Rreshti i saj është zero, d.m.th. përbëhet vetëm nga zero, atëherë 2) nëse elementët e parë jozero i Rreshtat -të dhe -të vendosen në kolona me numra k dhe l, pastaj Shembull. matricat janë shkallëzuar, dhe matrica nuk është një hap. Le të tregojmë se si, duke përdorur transformimet elementare, mund ta zvogëlojmë matricën POR në një pamje me shkallë. Algoritmi i Gausit
.
Merrni parasysh matricën POR madhësia . Pa humbur përgjithësinë, mund të supozojmë se Si rezultat, ne marrim Artikujt e fundit Merrni parasysh matricën Nëse të gjithë elementët e matricës dhe matricën ekuivalente të hapave. Nëse të paktën një nga elementët e matricës është jozero, atëherë mund të supozojmë pa humbur përgjithësinë se respektivisht, Këtu dhe , ,…, Rangu i matricës llogaritet me metodën të mitur në kufi
.
Zgjidhje. numri i përcaktuesve. deklaratë.
Rangu i një matrice nuk ndryshon nën transformimet elementare të rreshtave dhe kolonave të saj. Deklarata e deklaruar tregon mënyrën e dytë për të llogaritur gradën e një matrice. Quhet Metoda e transformimeve elementare
.
Për të gjetur gradën e një matrice, është e nevojshme ta sillni atë në një formë të shkallëzuar duke përdorur metodën Gaussian dhe më pas të zgjidhni minorin maksimal jozero. Le ta shpjegojmë këtë me një shembull. Shembull. Duke përdorur transformimet elementare, llogaritni gradën e një matrice Zgjidhje. Le të kryejmë një zinxhir transformimesh elementare në përputhje me metodën e Gausit. Si rezultat, marrim një zinxhir matricash ekuivalente: Teorema:
Dëshmi: Le të jepen matricat katrore të rendit n. Për të sjellë përcaktorin e duhur në një formë thuajse trekëndore, le të shkëmbejmë 1 dhe 1+ n kolona, 2 dhe 2+ n … n dhe 2 n kolona në të. Si rezultat, marrim barazinë: Koment:Është e qartë se teorema është e vlefshme për çdo numër të kufizuar matricash. Veçanërisht Përkufizimi: Nese nje Konsideroni një matricë katrore arbitrare A. Nga plotësimet algjebrike të elementeve të kësaj matrice, ne hartojmë një matricë dhe e transpozojmë atë. Ne marrim matricën C: Kështu, ekzistenca e A -1 rrjedh nga josingulariteti i matricës A. Nga ana tjetër, nëse A ka A -1, atëherë ekuacioni i matricës AX=E është i zgjidhshëm. Rrjedhimisht Teorema: Një matricë katrore mbi një fushë P ka një invers nëse dhe vetëm nëse nuk është njëjës. Nëse ekziston matrica e kundërt, atëherë ajo gjendet me formulën: Koment:
Përkufizimi: Minorja e rendit k-të e një matrice A është përcaktor i rendit k-të me elementë që shtrihen në kryqëzimin e çdo k rreshti dhe çdo k kolone. Përkufizimi: Rangu i matricës A është renditja më e lartë përveç 0 minoreve të kësaj matrice. Shënohet r(A). qartë 0<=r(A)<=min(m,n).
Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от
0, а все минорыr+1 порядка
и выше равны 0. Përkufizimi:Çdo minor i matricës, përveç 0, rendi i të cilit është i barabartë me gradën e matricës quhet minor bazë i kësaj matrice. Është e qartë se një matricë mund të ketë disa minore bazë. Kolonat dhe rreshtat që formojnë minoret bazë quhen bazë. Teorema: Në matricën derivatore A=(a i) m , n secila kolonë është një kombinim linear i kolonave bazë në të cilat ndodhet minorja bazë (e njëjta gjë për rreshtat). Dëshmi: Le të jetë r(A)=r. Ne zgjedhim një minor bazë nga matrica. Për thjeshtësi, le të supozojmë se minorja bazë ndodhet në këndin e sipërm të majtë të matricës, d.m.th. në rreshtat e parë r dhe kolonat e para r. Atëherë z. bazë i vogël do të duket si: Le të shtojmë disa kolona k-të dhe rreshtin s-të në minorin bazë: kolona janë ndër bazën atëherë përcaktor Pasoja: Nëse A është një matricë katrore dhe përcaktor A=0, atëherë një nga kolonat e matricës është një kombinim linear i kolonave të mbetura, dhe një nga rreshtat është një kombinim linear i rreshtave të mbetur. Dëshmi: Nëse përcaktorja e një matriceA=0, atëherë rangu i kësaj matrice<=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому,
по крайней мере одна строка или один
столбец не входят в число базисных. Эта
строка (столбец) линейно выраженная
через строки (столбцы) в которой расположен
базисный минор, а значит линейно
выраженная через остальные строки
(столбцы). Për [A] =0 është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të paktën një rresht (kolona) të jetë një kombinim linear i rreshtave (kolonave) të tjera të tij. Teorema. Le të jenë A dhe B dy matrica katrore të rendit n. Atëherë përcaktorja e prodhimit të tyre është e barabartë me prodhimin e përcaktorëve, d.m.th. | AB | = | A| | B|. < Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n (d) (2n) = | A | | b | (-1)(^1+...+n+1+...+n) = | A | | B|. Nëse tregojmë se përcaktorja (d) (2n) është e barabartë me përcaktorin e matricës C=AB, atëherë do të vërtetohet teorema. Në (d) (2n) do të kryejmë transformimet e mëposhtme: në 1 rresht shtojmë (n + 1) rresht shumëzuar me a11; (n+2) vargu i shumëzuar me a12, etj. vargu (2n) i shumëzuar me (a) (1n) . Në përcaktuesin që rezulton, n elementët e parë të rreshtit të parë do të jenë zero, dhe n elementët e tjerë do të bëhen si ky: a11* b11 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (1n) = c11 ; a11* b12 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (2n) = c12 ; a11* (d) (1n) + a12 * (d) (2n) + ... + (a) (1n) * (d) (nn) = (c) (1n) . Në mënyrë të ngjashme, marrim zero në 2, ..., n rreshta të përcaktorit (d) (2n) , dhe n elementët e fundit në secilën prej këtyre rreshtave do të bëhen elementët përkatës të matricës C. Si rezultat, përcaktori (d) (2n) shndërrohet në një përcaktor të barabartë: (d) (2n) = | c | (-1))(^1+...+n+...+2n) = |AB|. > Pasoja. Përcaktori i prodhimit të një numri të fundëm matricash katrore është i barabartë me produktin e përcaktorëve të tyre. < Доказательство проводится индукцией: | A1 ... (A) (j+1) | = | A1... Aj | | (A) (j+1) | = ... = | A 1 | ... | A i +1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме.> MATRICË INVERSE. Le të jetë A = (aij) (n x n) një matricë katrore mbi fushën P. Përkufizimi 1. Matrica A do të quhet e degjeneruar nëse përcaktorja e saj është e barabartë me 0. Matrica A do të quhet e padegjeneruar ndryshe. Përkufizim 2. Le të А н Pn. Një matricë B Î Pn do të quhet e anasjelltë me A nëse AB = BA=E. Teorema (kriteri për invertibilitetin e matricës) Matrica A është e kthyeshme nëse dhe vetëm nëse është e padegjeneruar. < Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0. Le, mbrapa, | A | ¹ 0. Duhet të tregojmë se ekziston një matricë B e tillë që AB = BA = E. Si B marrim matricën e mëposhtme: ku A ij është plotësuesi algjebrik i elementit a ij . Pastaj Duhet të theksohet se rezultati do të jetë një matricë identiteti (mjafton të përdoren përfundimet 1 dhe 2 nga teorema e Laplasit), d.m.th. AB \u003d E. Në mënyrë të ngjashme, tregohet se BA \u003d E. > Shembull. Për matricën A, gjeni matricën e kundërt ose provoni se ajo nuk ekziston. det A = -3 Þ ekziston matrica e kundërt. Tani marrim parasysh shtesat algjebrike. A 11 \u003d -3 A 21 \u003d 0 A 31 \u003d 6 A 12 \u003d 0 A 22 \u003d 0 A 32 \u003d -3 A 13 \u003d 1 A 23 \u003d -1 A 33 \u003d -1 Pra, matrica e anasjelltë duket si: B = = Algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt për një matricë 1. Llogaritni det A. 2. Nëse është e barabartë me 0, atëherë matrica e kundërt nuk ekziston. Nëse deti A nuk është i barabartë 0, marrim parasysh shtesat algjebrike. 3. Shtesat algjebrike i vendosim në vendet e duhura. 4. Ndani të gjithë elementët e matricës që rezulton me det A. SISTEMET E EKUACIONET LINEARE. Përkufizim 1. Një ekuacion i formës a1x1+ ....+an xn=b , ku a, ... ,an janë numra; x1, ... ,xn janë të panjohura, quhet ekuacion linear me n i panjohur. s ekuacionet me n i panjohur quhet sistem s ekuacionet lineare me n i panjohur, d.m.th. (1) Nëse matricës A i shtojmë një kolonë termash të lirë, atëherë marrim matricën e zgjeruar të sistemit (1). X = - kolona e të panjohurave. - kolona e anëtarëve të lirë. Në formën e matricës, sistemi ka formën: AX=B (2). Zgjidhja e sistemit (1) është grupi i renditur n numrat (α1 ,…, αn) të tillë që nëse i zëvendësojmë me (1) x1 = α1, x2 = α2 ,…, xn = αn , atëherë fitojmë identitete numerike. Përkufizimi 2. Sistemi (1) quhet konsistent nëse ka zgjidhje, dhe jokonsistent ndryshe. Përkufizimi 3. Dy sisteme quhen ekuivalente nëse bashkësitë e zgjidhjeve të tyre janë të njëjta. Ekziston një mënyrë universale për të zgjidhur sistemin (1) - metoda e Gausit (metoda e eliminimit të njëpasnjëshëm të të panjohurave) Le të shqyrtojmë më në detaje rastin kur s = n. Ekziston një metodë Cramer për zgjidhjen e sistemeve të tilla. Le të jetë d = det, dj - përcaktor i d, në të cilin kolona j zëvendësohet me një kolonë anëtarësh të lirë. RREGULLI I CRAMER Teorema (rregulla e Kramerit). Nëse përcaktori i sistemit është d ¹ 0, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike të marrë nga formula: x1 = d1 / d …xn = dn / d <Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим dhe merrni parasysh ekuacionin AX = B (2) me matricën e panjohur të kolonës X. Meqenëse A, X, B janë matrica të dimensioneve n x n, n x 1, n x 1 në përputhje me rrethanat, produkti i matricave drejtkëndore AX është i përcaktuar dhe ka të njëjtat dimensione si matrica B. Kështu, ekuacioni (2) ka kuptim. Lidhja ndërmjet sistemit (1) dhe ekuacionit (2) është zgjidhja e këtij sistemi nëse dhe vetëm nëse kolona është zgjidhja e ekuacionit (2). Në të vërtetë, kjo deklaratë do të thotë se barazia Barazia e fundit, si barazi matricash, është ekuivalente me sistemin e barazive që do të thotë se është një zgjidhje për sistemin (1). Kështu, zgjidhja e sistemit (1) reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit të matricës (2). Meqenëse përcaktorja d e matricës A është jo zero, ajo ka një matricë të anasjelltë A -1. Pastaj AX = B z A(^-1)(AX) = A(^-1)B z (A(^-1)A)X = A(^-1)B z EX = A(^-1) B z X = A(^-1)B (3). Prandaj, nëse ekuacioni (2) ka një zgjidhje, atëherë ai jepet me formulën (3). Nga ana tjetër, A(A(^-1)B) = (A A(^-1))B = EB = B. Prandaj, X \u003d A (^-1) B është e vetmja zgjidhje për ekuacionin (2). Sepse, ku A ij është plotësimi algjebrik i elementit a ij në përcaktorin d, atëherë prej nga (4). Në barazinë (4) në kllapa është zgjerimi sipas elementeve të kolonës së j-të të përcaktorit dj, i cili fitohet nga përcaktorja d pas zëvendësimit në të. kolona j-të nga një kolonë anëtarësh të lirë. Prandaj, xj = dj/ d.> Pasoja. Nëse një sistem homogjen prej n ekuacionesh lineare nga n e të panjohurave ka një zgjidhje jozero, atëherë përcaktorja e këtij sistemi është e barabartë me zero. Teorema. Le të jenë A dhe B dy matrica katrore të rendit n. Atëherë përcaktorja e prodhimit të tyre është e barabartë me prodhimin e përcaktorëve, d.m.th. | AB | = | A| | B|. ¢ Le të A = (a ij) n x n , B = (b ij) n x n . Konsideroni përcaktorin d 2 n të rendit 2n d 2n = | A | | b | (-1) 1 + ... + n + 1 + ... + n = | A | | B|. Nëse tregojmë se përcaktorja d 2 n është e barabartë me përcaktorin e matricës C=AB, atëherë do të vërtetohet teorema. Le të bëjmë transformimet e mëposhtme në d 2 n: shtojmë (n+1) rreshtin e shumëzuar me një 11 në rreshtin 1; vargu (n+2) i shumëzuar me 12, etj. vargu (2n) i shumëzuar me një 1 n. Në përcaktuesin që rezulton, n elementët e parë të rreshtit të parë do të jenë zero, dhe n elementët e tjerë do të bëhen si ky: a 11 b 11 + a 12 b 21 + ... + a 1n b n1 = c 11; a 11 b 12 + a 12 b 22 + ... + a 1n b n2 = c 12; a 11 b 1n + a 12 b 2n + ... + a 1n b nn = c 1n. Në mënyrë të ngjashme, marrim zero në 2, ..., n rreshta të përcaktorit d 2 n , dhe n elementët e fundit në secilën prej këtyre rreshtave do të bëhen elementët përkatës të matricës C. Si rezultat, përcaktorja d 2 n shndërrohet në një përcaktor të barabartë: d 2n = | c | (-1) 1 + ... + n + ... + 2n = |AB|. £ Pasoja. Përcaktori i prodhimit të një numri të fundëm matricash katrore është i barabartë me produktin e përcaktorëve të tyre. ¢ Prova është me induksion: | A 1 ... A i +1 | = | A 1 ... A i | | A i +1 | = ... = = | A 1 | ... | A i +1 | . Ky zinxhir barazish është i vërtetë nga teorema. £ Matrica e anasjelltë. Le të jetë A = (a ij) n x n një matricë katrore mbi fushën Р. Përkufizimi 1. Një matricë A do të quhet e degjeneruar nëse përcaktori i saj është i barabartë me 0. Një matricë A do të quhet jo e degjeneruar ndryshe. Përkufizimi 2. Le të А н P n . Një matricë В О P n do të quhet e anasjelltë me А nëse АВ = ВА=Е. Teorema (kriteri për invertibilitetin e matricës). Një matricë A është e kthyeshme nëse dhe vetëm nëse nuk është e degjeneruar. ¢ Le të ketë A një matricë inverse. Pastaj AA -1 = E dhe, duke zbatuar teoremën mbi shumëzimin e përcaktorëve, marrim | A | | A -1 | = | e | ose | A | | A -1 | = 1. Prandaj, | A | ¹0. Le, mbrapa, | A | ¹ 0. Duhet të tregojmë se ekziston një matricë B e tillë që AB = BA = E. Si B marrim matricën e mëposhtme: ku A ij është plotësuesi algjebrik i elementit a ij . Pastaj Duhet të theksohet se rezultati do të jetë një matricë identiteti (mjafton të përdoren Konkluzionet 1 dhe 2 nga teorema e Laplace § 6), d.m.th. AB = E. Në mënyrë të ngjashme, tregohet se BA = E. £ Shembull. Për matricën A, gjeni matricën e kundërt ose provoni se ajo nuk ekziston. det A = -3 ekziston matrica inverse. Tani marrim parasysh shtesat algjebrike. A 11 \u003d -3 A 21 \u003d 0 A 31 \u003d 6 A 12 \u003d 0 A 22 \u003d 0 A 32 \u003d -3 A 13 \u003d 1 A 23 \u003d -1 A 33 \u003d -1 Pra, matrica e anasjelltë duket si: B = = Algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt për matricën A. 1. Llogaritni det A. 2. Nëse është e barabartë me 0, atëherë matrica e kundërt nuk ekziston. Nëse det A nuk është i barabartë me 0, numërojmë shtesat algjebrike. 3. Shtesat algjebrike i vendosim në vendet e duhura. 4. Ndani të gjithë elementët e matricës që rezulton me det A. Ushtrimi 1. Zbuloni nëse matrica e anasjelltë është me një vlerë. Ushtrimi 2. Le të jenë elementët e matricës A numra të plotë racionalë. A do të jenë elementët e matricës së anasjelltë numra të plotë racionalë? Sistemet e ekuacioneve lineare. Përkufizimi 1. Një ekuacion i formës a 1 x 1 + ....+a n x n =b , ku a, ... ,a n janë numra; x 1 , ... ,x n - e panjohur, quhet ekuacion linear me n i panjohur. s ekuacionet me n i panjohur quhet sistem s ekuacionet lineare me n i panjohur, d.m.th. Matrica A, e përbërë nga koeficientët e të panjohurave të sistemit (1), quhet matrica e sistemit (1). X = - kolona e të panjohurave. Kolona e anëtarëve të lirë. Në formën e matricës, sistemi ka formën: AX=B (2). Zgjidhja e sistemit (1) është grupi i renditur n numrat (α 1 ,…, α n) të tillë që nëse bëjmë një zëvendësim në (1) x 1 = α 1 , x 2 = α 2 ,…, x n = α n , atëherë marrim identitete numerike. Përkufizimi 2. Sistemi (1) quhet konsistent nëse ka zgjidhje, dhe jokonsistent ndryshe. Përkufizimi 3. Dy sisteme thuhet se janë ekuivalente nëse grupet e tyre të zgjidhjeve janë të njëjta. Ekziston një mënyrë universale për të zgjidhur sistemin (1) - metoda e Gausit (metoda e eliminimit të njëpasnjëshëm të të panjohurave), shih, f.15. Le të shqyrtojmë më në detaje rastin kur s = n. Ekziston një metodë Cramer për zgjidhjen e sistemeve të tilla. Le të jetë d = det, d j - përcaktor d, në të cilin kolona j-të zëvendësohet me një kolonë me terma të lirë. Teorema (rregulla e Kramerit). Nëse përcaktori i sistemit është d ¹ 0, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike të marrë nga formula: x 1 \u003d d 1 / d ... x n \u003d d n / d ¢Ideja e provës është të rishkruhet sistemi (1) në formën e një ekuacioni matricë. Le të vendosim dhe merrni parasysh ekuacionin AX = B (2) me matricën e panjohur të kolonës X. Meqenëse A, X, B janë matrica të dimensioneve n x n, n x 1, n x 1 në përputhje me rrethanat, produkti i matricave drejtkëndore AX është i përcaktuar dhe ka të njëjtat dimensione si matrica B. Kështu, ekuacioni (2) ka kuptim. Lidhja ndërmjet sistemit (1) dhe ekuacionit (2) është zgjidhja e këtij sistemi nëse dhe vetëm nëse kolona është zgjidhja e ekuacionit (2). Në të vërtetë, kjo deklaratë do të thotë se barazia Sepse ku A ij është plotësimi algjebrik i elementit a ij në përcaktorin d, atëherë = prej nga (4). Në barazinë (4) në kllapa është zgjerimi me elemente të kolonës j të përcaktorit d j, i cili fitohet nga përcaktorja d pas zëvendësimit në të. kolona j-të nga një kolonë anëtarësh të lirë. Prandaj, xj = dj / d.£ Pasoja. Nëse një sistem homogjen prej n ekuacionesh lineare nga n e të panjohurave ka një zgjidhje jozero, atëherë përcaktorja e këtij sistemi është e barabartë me zero. TEMA 3. Polinome në një ndryshore.
; . .
Leksioni 6
4.6 Përcaktor i prodhimit të dy matricave katrore.
dhe 
,
.
.
.
, këtë do ta tregojmë 
. Për ta bërë këtë, ne e transformojmë përcaktorin si më poshtë. i pari i pari P 
, shtoni në 
-kolona e th. Pastaj i pari P kolonat e shumëzuara përkatësisht me 
, shtoni në 
- kolona, e kështu me radhë. Në hapin e fundit për 
-kolona e parë do të shtohet P kolonat e shumëzuara përkatësisht me 
. Si rezultat, marrim përcaktorin
.
4.7 Matrica e anasjelltë
të të njëjtit rend quhen e kundërta te matrica POR, nëse , ku E-Matrica e identitetit P- urdhri.
. Ka barazitë
. Kështu, vërtetohet veçantia e matricës së kundërt.
elementet 
matricat POR, quhet bashkangjitur
matricë në matricë POR.
. 
, (1)
. Këta përcaktorë lidhen nga relacioni 
. matricat POR dhe jo të degjeneruara, pasi përcaktuesit e tyre janë jozero.
punon 
matricat POR dhe NGA duket si:. Meqenëse shuma e produkteve të elementeve i-vija e saj në plotësimet algjebrike të elementeve përkatëse j-
Rreshti i th është zero në 
dhe përcaktorja në 
. Rrjedhimisht,
. Në këtë mënyrë, 
, që do të thotë se 
dhe matricës 
është anasjellta e matricës POR. Prandaj, matrica josingulare POR ka një matricë të kundërt, e cila përcaktohet me formulën (1).
.
.
dhe vetitë e përcaktorëve, sipas të cilave, kur shumëzohen me P- fuqia e këtij numri. Në këtë rast
.
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
.
.
4.8. Transformimet elementare mbi matricat. Algoritmi i Gausit.
Përkufizimi 2.
matricat POR dhe AT ne do të thërrasim ekuivalente
,
nëse njëri prej tyre mund të shndërrohet në tjetrin me shndërrime elementare. Do të shkruajë
Shumëzimi i çdo rreshti (kolone) të një matrice me ndonjë numër jozero.
shtesë në ndonjë i-rreshti i matricës së cilësdo prej saj j-
rreshti i th, i shumëzuar me një numër arbitrar.
shtesë në ndonjë i-kolona e matricës së cilësdo prej saj j-
kolona e shumëzuar me një numër arbitrar.
Ndërrimi i rreshtave (kolonave) të një matrice.
.
Përkufizimi 3
.
shkeli
e quajtur matricë POR që ka vetitë e mëposhtme:
-vargu i th është gjithashtu null;
.
dhe 
. (Nëse në matricë POR ka të paktën një element jozero, pastaj duke ndërruar rreshtat dhe më pas kolonat, mund të siguroheni që ky element të bjerë në kryqëzimin e rreshtit të parë dhe kolonës së parë.) Le të shtojmë në rreshtin e dytë të matricës POR së pari shumëzuar me 
, në rreshtin e tretë - i pari, shumëzuar me 
etj.
.
linjat përcaktohen nga formula:
, 
, 
.
.
atëherë janë të barabarta me zero
(kjo mund të arrihet duke riorganizuar rreshtat dhe kolonat e matricës). Transformimi në këtë rast i matricës si dhe i matricës POR, marrim
.
, 
, 
.
. Në matricë POR t rreshtave dhe për ta sjellë atë në A r , jo zero, dhe të gjitha minoret e rendit të mësipërm r janë të barabarta me zero. Rangu i një matrice do të shënohet me simbolin 
.
Shembull. Llogaritni rangun e një matrice duke përdorur metodën e vogël fringing
.
Metoda e mësipërme nuk është gjithmonë e përshtatshme, sepse. lidhur me llogaritjen
.14. Teorema mbi përcaktorin e prodhimit të matricave.
dhe 
. Bazuar në teoremën mbi përcaktorin e një matrice pothuajse trekëndore ( 
) ne kemi: 
rendi i kësaj matrice është 2n. Pa ndryshuar përcaktorin, ne kryejmë transformimet e mëposhtme në një matricë të rendit 2n: shtoni në rreshtin e parë. Si rezultat i një transformimi të tillë, n pozicionet e para të rreshtit të parë do të jenë të gjitha 0, dhe e dyta (në bllokun e dytë) do të përmbajë shumën e produkteve të rreshtit të parë të matricës A dhe kolonës së parë të matricës. B. Pasi kemi bërë të njëjtat transformime me 2 ... n rreshta, marrim barazinë e mëposhtme: 
.15. Teorema mbi ekzistencën e një matrice të anasjelltë.
matrica quhet jo-njëjës (jo njëjës). Nese nje 
atëherë matrica quhet e degjeneruar (e veçantë).
matrica C quhet e bashkangjitur në lidhje me matricën A. Duke llogaritur prodhimin e A*C dhe B*C, marrim 
Rrjedhimisht 
, pra 
nëse 
.
dhe. Duke kombinuar rezultatet e marra marrim deklaratën:
, ku C është matrica e lidhur.
16. Përcaktimi i rangut të një matrice. Teorema e vogël themelore dhe rrjedha e saj.
. Ne duhet të vërtetojmë se çdo kolonë e matricës A është një kombinim linear i kolonave të para të kësaj matrice në të cilën ndodhet baza e vogël, d.m.th. është e nevojshme të vërtetohet se ka numra λ j të tillë që për çdo kolonë k-të të matricës A bëhet barazia: ku 
…
.
sepse nëse vija e shtuar ose
, si përcaktor me dy rreshta (kolona) identike. Nëse shtohet një rresht (kolona) atëherë 
sipas përcaktimit të rangut të një matrice. Zgjero përcaktorin 
nga elementët e rreshtit të poshtëm, marrim: nga këtu marrim: 
ku λ 1 … λ r nuk varen nga numri S, sepse Dhe Sj nuk varen nga elementët e rreshtit të shtuar S. Barazia (1) është barazia që na nevojitet. (p.t.d.)
Matrica A, e përbërë nga koeficientët e të panjohurave të sistemit (1), quhet matrica e sistemit (1). .
.
Nëse matricës A i shtojmë një kolonë termash të lirë, atëherë marrim matricën e zgjeruar të sistemit (1). 
=
,
,
