Rregulli për diferencimin e një funksioni kompleks do të na çojë në një veti të jashtëzakonshme dhe të rëndësishme të një diferenciali.

Le të jenë funksionet të tilla që një funksion kompleks të mund të përbëhet prej tyre: . Nëse ka derivate, atëherë - sipas rregullit V - ekziston edhe një derivat

Megjithatë, duke zëvendësuar derivatin e tij me shprehjen (7) dhe duke vërejtur se ekziston një diferencial i x në funksion të t, më në fund marrim:

d.m.th., le të kthehemi në formën e mëparshme të diferencialit!

Kështu, shohim se forma e diferencialit mund të ruhet edhe nëse ndryshorja e vjetër e pavarur zëvendësohet me një të re. Ne jemi gjithmonë të lirë të shkruajmë diferencialin e y në formën (5), pavarësisht nëse x është një ndryshore e pavarur apo jo; i vetmi ndryshim është se nëse t zgjidhet si një variabël e pavarur, atëherë nuk do të thotë një rritje arbitrare, por një x diferencial në funksion të Kjo veti quhet pandryshueshmëri e formës së diferencialit.

Meqenëse formula (5) jep drejtpërdrejt formulën (6), e cila shpreh derivatin në terma diferencialë, formula e fundit mbetet e vlefshme, pavarësisht se cila variabël e pavarur (sigurisht e njëjtë në të dyja rastet) llogariten diferencialet e emërtuara.

Le të, për shembull, kështu

Ne tani vendosim Pastaj do të kemi gjithashtu: Është e lehtë të kontrollohet se formula

jep vetëm një shprehje tjetër për derivatin e llogaritur më sipër.

Kjo rrethanë është veçanërisht e përshtatshme për t'u përdorur në rastet kur varësia e y nga x nuk specifikohet drejtpërdrejt, por në vend të kësaj është dhënë varësia e të dy variablave x dhe y nga një variabël i tretë, ndihmës (i quajtur parametri):

Duke supozuar se të dy këta funksione kanë derivate dhe se për të parin ekziston një funksion i anasjelltë që ka një derivat, është e lehtë të shihet se atëherë edhe y rezulton të jetë një funksion i x:

për të cilin ka edhe derivat. Llogaritja e këtij derivati ​​mund të kryhet sipas rregullit të mësipërm:

pa rivendosur varësinë e drejtpërdrejtë të y nga x.

Për shembull, nëse derivati ​​mund të përcaktohet, siç u bë më lart, pa përdorur fare varësinë.

Nëse i konsiderojmë x dhe y si koordinata drejtkëndore të një pike në rrafsh, atëherë ekuacionet (8) caktojnë çdo vlerë të parametrit t në një pikë të caktuar, e cila, me një ndryshim në t, përshkruan një kurbë në plan. Quhen ekuacionet (8). ekuacionet parametrike kjo kurbë.

Në rastin e një specifikimi parametrik të kurbës, formula (10) bën të mundur vendosjen direkt nga ekuacionet (8) shpat tangjente pa vazhduar me specifikimin e kurbës me ekuacionin (9); saktësisht,

Komentoni. Mundësia e shprehjes së derivatit në terma të diferencialeve të marra në lidhje me çdo variabël, në veçanti, çon në faktin se formulat

duke shprehur në shënimin e Leibniz rregullat e diferencimit funksioni i anasjelltë dhe një funksion kompleks, bëhen identitete të thjeshta algjebrike (pasi të gjitha diferencialet këtu mund të merren në lidhje me të njëjtën ndryshore). Sidoqoftë, nuk duhet menduar se kjo jep një derivim të ri të formulave të mësipërme: para së gjithash, ekzistenca e derivateve në të majtë nuk u vërtetua këtu, por gjëja kryesore është se në thelb kemi përdorur pandryshueshmërinë e formës së diferencialit. , e cila në vetvete është pasojë e rregullit V.

Shprehja për diferencialin total të një funksioni të disa ndryshoreve është e njëjtë nëse u dhe v janë ndryshore të pavarura ose funksione të ndryshoreve të tjera të pavarura.

Vërtetimi bazohet në formulën totale diferenciale

Q.E.D.

5.Derivati ​​total i një funksioniështë derivati ​​kohor i funksionit përgjatë trajektores. Funksioni le të ketë formën dhe argumentet e tij varen nga koha: . Pastaj, ku janë parametrat që përcaktojnë trajektoren. Derivati ​​total i funksionit (në pikën ) në këtë rast është i barabartë me derivatin kohor të pjesshëm (në pikën përkatëse) dhe mund të llogaritet me formulën:

ku - derivatet e pjesshme. Duhet të theksohet se emërtimi është i kushtëzuar dhe nuk ka të bëjë me ndarjen e diferencialeve. Për më tepër, derivati ​​total i një funksioni varet jo vetëm nga vetë funksioni, por edhe nga trajektorja.

Për shembull, derivati ​​total i një funksioni:

Nuk ka këtu, pasi në vetvete ("në mënyrë eksplicite") nuk varet nga .

Diferencial i plotë

Diferencial i plotë

funksionet f (x, y, z, ...) të disa ndryshoreve të pavarura - shprehje

në rastin kur ndryshon nga rritja e plotë

Δf = f(x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f(x, y, z, …)

në një vlerë pafundësisht të vogël në krahasim me

Plani tangjent në sipërfaqe

(X, Y, Z - koordinatat aktuale të pikës në planin tangjent; - vektori i rrezes së kësaj pike; x, y, z - koordinatat e pikës tangjente (përkatësisht për normalen); - vektorët tangjentë me vijat koordinative, respektivisht v = konst;u = konst ; )

1.

2.

3.

Sipërfaqja normale

3.

4.

Koncepti i një diferenciali. Kuptimi gjeometrik i diferencialit. Pandryshueshmëria e formës së diferencialit të parë.

Konsideroni një funksion y = f(x) të diferencueshëm në një pikë të dhënë x. Rritja e tij Dy mund të përfaqësohet si

D y \u003d f "(x) D x + a (D x) D x,

ku termi i parë është linear në lidhje me Dx, dhe termi i dytë në pikën Dx = 0 është një funksion pafundësisht i vogël i rendit më të lartë se Dx. Nëse f "(x) nr. 0, atëherë termi i parë është pjesa kryesore e rritjes Dy. Kjo pjesë kryesore e rritjes është funksion linear argumenti Dx dhe quhet diferencial i funksionit y = f(x). Nëse f "(x) \u003d 0, atëherë diferenciali i funksionit, sipas përkufizimit, konsiderohet të jetë i barabartë me zero.

Përkufizimi 5 (diferencial). Diferenciali i funksionit y = f(x) është pjesa kryesore e rritjes Dy, lineare në lidhje me Dx, e barabartë me produktin e derivatit dhe rritjen e ndryshores së pavarur.

Vini re se diferenciali i një ndryshoreje të pavarur është i barabartë me rritjen e kësaj ndryshoreje dx = Dx. Prandaj, formula për diferencialin zakonisht shkruhet në formën e mëposhtme: dy \u003d f "(x) dx. (4)

Le të zbulojmë se çfarë kuptimi gjeometrik diferencial. Merrni një pikë arbitrare M(x, y) në grafikun e funksionit y = f(x) (Fig. 21.). Vizatoni një tangjente me lakoren y = f(x) në pikën M, e cila formon një kënd f me drejtim pozitiv të boshtit OX, pra f "(x) = tgf. Nga trekëndëshi kënddrejtë MKN

KN \u003d MNtgf \u003d D xtg f \u003d f "(x) D x,

dmth dy = KN.

Kështu, diferenciali i një funksioni është rritja e ordinatës së tangjentes së tërhequr në grafikun e funksionit y = f(x) në një pikë të caktuar kur x rritet me Dx.

Vëmë re vetitë kryesore të diferencialit, të cilat janë të ngjashme me vetitë e derivatit.

2. d(c u(x)) = c d u(x);

3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x)d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

Le të theksojmë edhe një veti që diferenciali ka, por derivati ​​jo. Konsideroni funksionin y = f(u), ku u = f (x), domethënë, merrni parasysh funksionin kompleks y = f(f(x)). Nëse secili prej funksioneve f dhe f janë të diferencueshëm, atëherë derivati ​​i funksionit të përbërë, sipas teoremës (3), është i barabartë me y" = f"(u) u". Atëherë diferenciali i funksionit

dy \u003d f "(x) dx \u003d f "(u) u" dx \u003d f "(u) du,

meqë u "dx = du. Domethënë dy = f" (u) du. (5)

Barazia e fundit do të thotë që formula diferenciale nuk ndryshon nëse, në vend të një funksioni x, marrim një funksion të ndryshores u. Kjo veti e diferencialit quhet pandryshueshmëri e formës së diferencialit të parë.

Komentoni. Vini re se në formulën (4) dx = Dx, ndërsa në formulën (5) du është vetëm pjesa lineare e rritjes së funksionit u.

Llogaritja integrale është një degë e matematikës që studion vetitë dhe metodat e llogaritjes së integraleve dhe aplikimet e tyre. I. dhe. është i lidhur ngushtë me llogaritjen diferenciale dhe së bashku me të përbën një nga pjesët kryesore

Kemi parë që diferenciali i një funksioni mund të shkruhet si:
(1),

nëse është një variabël i pavarur. Lëreni tani ka një funksion kompleks , d.m.th.
,
dhe për këtë arsye
. Nëse derivatet e funksioneve
dhe
ekzistojnë, atëherë
, si derivat i një funksioni kompleks. Diferenciale
ose. Por
dhe prandaj mund të shkruajmë
, d.m.th. merrni shprehjen për
si në (1).

konkluzioni: formula (1) është e saktë si në rastin kur është një variabël i pavarur, dhe në rastin kur është funksion i ndryshores së pavarur . Në rastin e parë nën
kuptohet si diferencial i variablit të pavarur
, në të dytën - diferenciali i funksionit (në këtë rast
, në përgjithësi). Kjo veti ruajtëse e formës (1) quhet pandryshueshmëria e formës diferenciale.

Pandryshueshmëria e formës së diferencialit jep përfitime të mëdha gjatë llogaritjes së diferencialeve të funksioneve komplekse.

Për shembull: për t'u llogaritur
. Qoftë variabël i varur apo i pavarur , mund të shkruajmë. Nese nje - funksioni, për shembull
, pastaj gjejmë
dhe, duke përdorur pandryshueshmërinë e formës së diferencialit, kemi të drejtë të shkruajmë.

§tetëmbëdhjetë. Derivatet e urdhrave më të lartë.

Le të jetë funksioni y \u003d  (x) i diferencueshëm në një interval X, (d.m.th., ai ka një derivat të fundëm y 1 \u003d  1 (x) në secilën pikë të këtij intervali). Atëherë  1 (x) është në vetë X një funksion i x. Mund të rezultojë se në disa pika ose fare x 1 (x) vetë ka një derivat, d.m.th. ekziston një derivat i derivatit (y 1) 1 \u003d ( 1 (x) 1. Në këtë rast, ai quhet derivat i dytë ose derivat i rendit të dytë. Ato shënohen me simbolet y 11,  11 ( x), d 2 y / dx 2. Nëse është e nevojshme theksoni se derivati ​​është në m.x 0, atëherë shkruani

y 11 / x \u003d x 0 ose 11 (x 0) ose d 2 y / dx 2 / x \u003d x 0

derivati ​​i y 1 quhet derivat i rendit të parë ose derivat i parë.

Pra, derivati ​​i rendit të dytë është derivati ​​i derivatit të rendit të parë të një funksioni.

Po kështu, derivati ​​(ku ekziston) i derivatit të rendit të dytë quhet derivat i rendit të tretë ose derivat i tretë.

Cakto (y 11) 1 \u003d y 111 \u003d 111 (x) \u003d d 3 y / dx 3 \u003d d 3  (x) / dx 3

Në përgjithësi, derivati ​​i rendit të n-të të funksionit y \u003d  (x) është derivati ​​i derivatit (n-1) të rendit të këtij funksioni. (nëse ekzistojnë, sigurisht).

caktoj

Lexohet: derivati ​​n-të i y, nga  (x); d n y nga d x në n-të.

E katërta, e pesta etj. është e papërshtatshme të tregohet renditja me goditje, prandaj numrin e shkruajnë në kllapa, në vend të  v (x) shkruajnë  (5) (x).

Në kllapa, për të mos ngatërruar rendin e n-të të derivatit dhe shkallën e n-të të funksionit.

Derivatet e rendit më të lartë se i pari quhen derivate të rendit më të lartë.

Nga vetë përkufizimi rrjedh se për të gjetur derivatin e n-të, duhet të gjeni me radhë të gjitha të mëparshmet nga e para në (n-1).

Shembuj: 1) y \u003d x 5; y 1 \u003d 5x 4; y 11 \u003d 20x 3;

y 111 \u003d 60x 2; y (4) =120x; y (5) =120; y (6) =0,…

2) y=e x; y 1 \u003d e x; y 11 \u003d e x; ...;

3) y=sinx; y 1 = cosx; y 11 = -sinx; y 111 = -cosx; y (4) = mëkat;…

Vini re se derivati ​​i dytë ka një kuptim të caktuar mekanik.

Nëse derivati ​​i parë i shtegut në lidhje me kohën është shpejtësia e lëvizjes drejtvizore jo uniforme

V=ds/dt, ku S=f(t) është ekuacioni i lëvizjes, atëherë V 1 =dV/dt= d 2 S/dt 2 është shpejtësia e ndryshimit të shpejtësisë, d.m.th. përshpejtimi i lëvizjes:

a \u003d f 11 (t) \u003d dV / dt \u003d d 2 S / dt 2.

Pra, derivati ​​i dytë i shtegut në lidhje me kohën është përshpejtimi i lëvizjes së pikës - ky është kuptimi mekanik i derivatit të dytë.

Në një numër rastesh, është e mundur të shkruhet një shprehje për një derivat të çdo rendi, duke anashkaluar ato të ndërmjetme.

Shembuj:

y=e x; (y) (n) = (e x) (n) = e x;

y=a x; y 1 \u003d a x lna; y 11 \u003d a x (lna) 2; y (n) = a x (lna) n;

y \u003d x α; y 1 \u003d αx α-1; y 11 =
; y (p) \u003d α (α-1) ... (α-n + 1) x α-n, me =n kemi

y (n) = (x n) (n) = n! Derivatet e rendit mbi n janë të gjitha zero.

y \u003d sinx; y 1 = cosx; y 11 = -sinx; y 111 = -cosx; y (4) = sinх;… etj.

y 1 \u003d mëkat (x + /2); y 11 \u003d mëkat (x + 2 /2); y 111 \u003d mëkat (x + 3 /2); etj., pastaj y (n) \u003d (sinx) (n) \u003d sin (x + n /2).

Është e lehtë të përcaktohet me diferencime të njëpasnjëshme dhe formula të përgjithshme:

1) (CU) (n) = C (U) (n) ; 2) (U ± V) (n) = U (n) ± V (n)

Më e ndërlikuar është formula për derivatin e n-të të produktit të dy funksioneve (U·V) (n) . Quhet formula e Leibniz-it.

Le ta marrim atë

y \u003d U V; y 1 \u003d U 1 V + UV 1; y 11 \u003d U 11 V + U 1 V 1 + U 1 V 1 + UV 11 \u003d U 11 V + 2U 1 V 1 + UV 11;

y 111 \u003d U 111 V + U 11 V 1 + 2U 11 V 1 + 2U 1 V 11 + U 1 V 11 + UV 111 \u003d U 111 V + 3U 11 V 1 +3 U 1 V 11 + UV 1;

Në mënyrë të ngjashme, ne marrim

y (4) \u003d U (4) V + 4 U 111 V 1 +6 U 11 V 11 +4 U 1 V 111 + UV (4), etj.

Është e lehtë të shihet se anët e djathta të të gjitha këtyre formulave ngjajnë me zgjerimin e fuqive të binomit U+V, (U+V) 2, (U+V) 3, etj. Vetëm në vend të fuqive të U dhe V ka derivate të rendeve përkatëse. Ngjashmëria do të jetë veçanërisht e plotë nëse në formulat rezultuese shkruajmë në vend të U dhe V, U (0) dhe V (0) , d.m.th. Derivatet e 0-të të funksioneve U dhe V (vetë funksionet).

Duke e shtrirë këtë ligj në rastin e çdo n, marrim formulën e përgjithshme

y(n) = (UV)(n) = U(n) V+ n/1! U (n-1) V 1 + n(n-1)/2! U (n-2) V (2) + n(n-1) (n-2)/3! U (n-3) V (3) +…+ n(n-1)…(n-k+1)/K! U (k) V (n-k) + ... + UV (n) - formula e Leibniz-it.

Shembull: gjeni (e x x) (n)

(e x) (n) \u003d e x, x 1 \u003d 1, x 11 \u003d 0 dhe x (n) \u003d 0, prandaj (e x x) (n) \u003d (e x) (n) x + n / 1 ! (e x) (n-1) x 1 \u003d e x x + ne x \u003d e x (x + n).

Diferenciali i funksionit

Funksioni thirret i diferencueshëm në një pikë, duke kufizuar për grupin E, nëse rritja e tij Δ f(x 0) që korrespondon me shtimin e argumentit x, mund të përfaqësohet si

Δ f(x 0) = A(x 0)(x - x 0) + ω (x - x 0), (1)

ku ω (x - x 0) = rreth(x - x 0) në x → x 0 .

Ekrani, i quajtur diferencial funksione f në pikën x 0, dhe vlera A(x 0)h - vlera diferenciale në këtë pikë.

Për vlerën e diferencialit të funksionit f emërtimi i pranuar df ose df(x 0) nëse doni të dini se në cilën pikë është llogaritur. Në këtë mënyrë,

df(x 0) = A(x 0)h.

Pjestimi në (1) me x - x 0 dhe duke synuar x te x 0, marrim A(x 0) = f"(x 0). Prandaj kemi

df(x 0) = f"(x 0)h. (2)

Duke krahasuar (1) dhe (2), shohim se vlera e diferencialit df(x 0) (kur f"(x 0) ≠ 0) është pjesa kryesore e rritjes së funksionit f në pikën x 0 , lineare dhe homogjene në të njëjtën kohë në lidhje me rritjen h = x - x 0 .

Kriteri i diferencimit të funksionit

Në mënyrë për funksionin f ishte i diferencueshëm në një pikë të caktuar x 0 , është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të ketë një derivat të fundëm në këtë pikë.

Pandryshueshmëria e formës së diferencialit të parë

Nese nje xështë një ndryshore e pavarur, pra dx = x - x 0 (rritje fikse). Në këtë rast kemi

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Nese nje x = φ (t) është një funksion i diferencueshëm, pra dx = φ" (t 0)dt. Rrjedhimisht,