Tani që kemi mësuar se si të mbledhim dhe shumëzojmë thyesat individuale, mund të konsiderojmë struktura më komplekse. Për shembull, çka nëse mbledhja, zbritja dhe shumëzimi i thyesave ndodhin në një problem?

Para së gjithash, ju duhet të konvertoni të gjitha fraksionet në ato të pahijshme. Pastaj ne kryejmë në mënyrë sekuenciale veprimet e kërkuara - në të njëjtin rend si për numrat e zakonshëm. Gjegjësisht:

1. Së pari, kryhet fuqizimi - hiqni qafe të gjitha shprehjet që përmbajnë eksponentë;
2. Pastaj - pjesëtimi dhe shumëzimi;
3. Hapi i fundit është mbledhja dhe zbritja.

Sigurisht, nëse ka kllapa në shprehje, rendi i veprimeve ndryshon - gjithçka që është brenda kllapave duhet të merret parasysh së pari. Dhe mbani mend për fraksionet e pahijshme: duhet të zgjidhni të gjithë pjesën vetëm kur të gjitha veprimet e tjera të kenë përfunduar tashmë.

Le t'i përkthejmë të gjitha thyesat nga shprehja e parë në ato të pasakta dhe më pas të kryejmë veprimet e mëposhtme:

Tani le të gjejmë vlerën e shprehjes së dytë. Nuk ka thyesa me një pjesë të plotë, por ka kllapa, kështu që së pari kryejmë mbledhjen dhe vetëm pastaj ndarjen. Vini re se 14 = 7 2 . Pastaj:

Më në fund, merrni parasysh shembullin e tretë. Këtu ka kllapa dhe një diplomë - është më mirë t'i numëroni ato veç e veç. Duke pasur parasysh se 9 = 3 3, kemi:

Kushtojini vëmendje shembullit të fundit. Për të ngritur një thyesë në një fuqi, duhet të ngrini veçmas numëruesin në këtë fuqi dhe veçmas emëruesin.

Ju mund të vendosni ndryshe. Nëse kujtojmë përkufizimin e shkallës, problemi do të reduktohet në shumëzimin e zakonshëm të thyesave:

Thyesat shumëkatëshe

Deri më tani kemi shqyrtuar vetëm thyesat "të pastra", kur numëruesi dhe emëruesi janë numra të zakonshëm. Kjo është në përputhje me përkufizimin e një thyese numerike të dhënë në mësimin e parë.

Por, çka nëse një objekt më kompleks vendoset në numërues ose emërues? Për shembull, një pjesë tjetër numerike? Ndërtime të tilla ndodhin mjaft shpesh, veçanërisht kur punoni me shprehje të gjata. Këtu janë disa shembuj:

Ekziston vetëm një rregull për të punuar me fraksione shumëkatëshe: duhet t'i heqësh menjëherë. Heqja e dyshemeve "shtesë" është mjaft e thjeshtë, nëse mbani mend se shiriti i pjesshëm nënkupton funksionimin standard të ndarjes. Prandaj, çdo thyesë mund të rishkruhet si më poshtë:

Duke përdorur këtë fakt dhe duke ndjekur procedurën, ne mund të reduktojmë lehtësisht çdo fraksion shumëkatësh në një të rregullt. Hidhini një sy shembujve:

Një detyrë. Shndërroni thyesat shumëkatëshe në ato të zakonshme:

Në secilin rast, ne rishkruajmë fraksionin kryesor, duke zëvendësuar vijën ndarëse me një shenjë ndarjeje. Mos harroni gjithashtu se çdo numër i plotë mund të përfaqësohet si një thyesë me emërues 1. Kjo do të thotë, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Ne marrim:

Në shembullin e fundit, thyesat u reduktuan para shumëzimit përfundimtar.

Specifikat e punës me fraksione shumëkatëshe

Ekziston një hollësi në fraksionet shumëkatëshe që duhet mbajtur mend gjithmonë, përndryshe mund të merrni përgjigjen e gabuar, edhe nëse të gjitha llogaritjet ishin të sakta. Hidhi nje sy:

1. Në numërues ka një numër të veçantë 7, dhe në emërues - thyesa 12/5;
2. Numëruesi është thyesa 7/12, dhe emëruesi është numri i vetëm 5.

Pra, për një rekord, ne morëm dy interpretime krejtësisht të ndryshme. Nëse numëroni, përgjigjet do të jenë gjithashtu të ndryshme:

Për të siguruar që regjistrimi të lexohet gjithmonë pa mëdyshje, përdorni një rregull të thjeshtë: vija ndarëse e fraksionit kryesor duhet të jetë më e gjatë se vija e mbivendosur. Mundësisht disa herë.

Nëse ndiqni këtë rregull, atëherë thyesat e mësipërme duhet të shkruhen si më poshtë:

Po, ndoshta është e shëmtuar dhe zë shumë hapësirë. Por ju do të numëroni saktë. Së fundi, disa shembuj ku ndodhin me të vërtetë fraksionet me shumë nivele:

Një detyrë. Gjeni vlerat e shprehjes:

Pra, le të punojmë me shembullin e parë. Le t'i kthejmë të gjitha thyesat në të pahijshme dhe më pas të kryejmë veprimet e mbledhjes dhe pjesëtimit:

Le të bëjmë të njëjtën gjë me shembullin e dytë. Shndërroni të gjitha fraksionet në të pahijshme dhe kryeni veprimet e kërkuara. Për të mos e mërzitur lexuesin, do të heq disa llogaritje të dukshme. Ne kemi:

Për faktin se numëruesi dhe emëruesi i thyesave kryesore përmbajnë shuma, rregulli i shkrimit të thyesave shumëkatëshe respektohet automatikisht. Gjithashtu, në shembullin e fundit, qëllimisht kemi lënë numrin 46/1 në formën e një thyese për të kryer pjesëtimin.

Unë gjithashtu vërej se në të dy shembujt, shiriti thyesor në të vërtetë zëvendëson kllapat: para së gjithash, ne gjetëm shumën, dhe vetëm atëherë - herësin.

Dikush do të thotë se kalimi në fraksione të pahijshme në shembullin e dytë ishte qartësisht i tepërt. Ndoshta kështu është. Por në këtë mënyrë sigurohemi nga gabimet, sepse herën tjetër shembulli mund të dalë shumë më i ndërlikuar. Zgjidhni vetë atë që është më e rëndësishme: shpejtësia ose besueshmëria.

Materiali i këtij artikulli është një vështrim i përgjithshëm në transformimin e shprehjeve që përmbajnë thyesa. Këtu do të shqyrtojmë shndërrimet themelore që janë karakteristike për shprehjet me thyesa.

Navigimi i faqes.

Shprehje thyesore dhe shprehje thyesore

Për të filluar, le të sqarojmë se me çfarë lloj transformimi të shprehjes do të merremi.

Titulli i artikullit përmban shprehjen vetë-shpjeguese " shprehjet me thyesa". Kjo do të thotë, më poshtë do të flasim për transformimin e shprehjeve numerike dhe shprehjeve me ndryshore, në regjistrimin e të cilave ka të paktën një fraksion.

Vëmë re menjëherë se pas botimit të artikullit " Transformimi i thyesave: një pamje e përgjithshme"Ne nuk jemi më të interesuar për fraksione individuale. Kështu, më tej do të shqyrtojmë shumat, diferencat, produktet, të pjesshme dhe më shumë shprehje komplekse me rrënjë, shkallë, logaritme, të cilat bashkohen vetëm nga prania e të paktën një fraksioni.

Dhe le të flasim për shprehjet thyesore. Kjo nuk është e njëjtë me shprehjet me thyesa. Shprehjet me thyesa - më shumë koncept i përgjithshëm. Jo çdo shprehje me thyesa është një shprehje thyesore. Për shembull, shprehja nuk është një shprehje thyesore, megjithëse përmban një fraksion, ajo është një shprehje racionale me numër të plotë. Pra, mos e quani një shprehje me thyesa një shprehje thyesore pa qenë plotësisht i sigurt se është.

Shndërrime themelore identike të shprehjeve me thyesa

Shembull.

Thjeshtoni shprehjen .

Zgjidhje.

Në këtë rast, mund të hapni kllapat, të cilat do të japin shprehjen , i cili përmban terma të ngjashëm dhe , si dhe −3 dhe 3 . Pas zvogëlimit të tyre, marrim një fraksion.

Le të tregojmë formë e shkurtër hyrjet në zgjidhje:

Përgjigje:

.

Puna me thyesa individuale

Shprehjet për të cilat po flasim për transformim ndryshojnë nga shprehjet e tjera kryesisht në prani të thyesave. Dhe prania e fraksioneve kërkon mjete për të punuar me to. Në këtë paragraf do të diskutojmë transformimin e thyesave individuale të përfshira në regjistrimin e kësaj shprehjeje dhe në paragrafin tjetër do të vazhdojmë të kryejmë veprime me thyesat që përbëjnë shprehjen origjinale.

Me çdo thyesë që është pjesë integrale shprehje origjinale, ju mund të kryeni cilindo nga konvertimet e përshkruara në artikullin e konvertimit të fraksionit. Kjo do të thotë, ju mund të merrni një fraksion të veçantë, të punoni me numëruesin dhe emëruesin e tij, ta zvogëloni atë, ta çoni në një emërues të ri, etj. Është e qartë se me këtë transformim, thyesa e zgjedhur do të zëvendësohet me një thyesë identike të barabartë me të, dhe shprehja origjinale do të zëvendësohet me një shprehje identike me të. Le të shohim një shembull.

Shembull.

Shndërroni shprehjen me thyesë në një formë më të thjeshtë.

Zgjidhje.

Le të fillojmë transformimin duke punuar me një thyesë. Së pari, hapni kllapat dhe jepni terma të ngjashëm në numëruesin e thyesës: . Tani kërkon vendosjen në kllapa të faktorit të përbashkët x në numërues dhe reduktimin pasues të thyesës algjebrike: . Mbetet vetëm për të zëvendësuar rezultatin e marrë në vend të një fraksioni në shprehjen origjinale, e cila jep .

Përgjigje:

.

Kryerja e veprimeve me thyesa

Një pjesë e procesit të konvertimit të shprehjeve me thyesa shpesh bëhet veprimet me thyesa. Ato kryhen në përputhje me procedurën e pranuar për kryerjen e veprimeve. Vlen gjithashtu të kihet parasysh se çdo numër ose shprehje mund të përfaqësohet gjithmonë si një thyesë me emërues 1.

Shembull.

Thjeshtoni shprehjen .

Zgjidhje.

Problemi mund të trajtohet nga këndvështrime të ndryshme. Në kuadër të temës në shqyrtim do të shkojmë duke kryer veprime me thyesa. Le të fillojmë duke shumëzuar thyesat:

Tani e shkruajmë produktin si një thyesë me emërues 1, pas së cilës i zbresim thyesat:

Nëse dëshironi dhe është e nevojshme, ende mund të shpëtoni nga irracionaliteti në emërues , mbi të cilën mund të përfundoni transformimin.

Përgjigje:

Zbatimi i vetive të rrënjëve, fuqive, logaritmeve etj.

Klasa e shprehjeve me thyesa është shumë e gjerë. Shprehje të tilla, përveç vetë thyesave, mund të përmbajnë rrënjë, shkallë me eksponentë të ndryshëm, module, logaritme, funksione trigonometrike etj. Natyrisht, kur ato konvertohen, zbatohen vetitë përkatëse.

E zbatueshme për thyesat, vlen të theksohet vetia e rrënjës së thyesës, vetia e thyesës në shkallë, vetia e modulit të herësit dhe vetia e logaritmit të diferencës .

Për qartësi, ne japim disa shembuj. Për shembull, në shprehje Mund të jetë e dobishme, bazuar në vetitë e shkallës, të zëvendësohet thyesa e parë me një shkallë, e cila më tej na lejon të paraqesim shprehjen si një ndryshim në katror. Kur konvertohet një shprehje logaritmike është e mundur të zëvendësohet logaritmi i një thyese me diferencën e logaritmeve, gjë që më tej na lejon të sjellim terma të ngjashëm dhe në këtë mënyrë të thjeshtojmë shprehjen: . Konvertimi i shprehjeve trigonometrike mund të kërkojë zëvendësimin e raportit të sinusit me kosinusin e të njëjtit kënd me një tangjente. Mund të jetë gjithashtu e nevojshme të kaloni nga një gjysmë argument duke përdorur formulat e duhura në një argument të tërë, duke hequr qafe argumentin e thyesës, për shembull, .

Zbatimi i vetive të rrënjëve, shkallëve, etj. transformimi i shprehjeve trajtohet më në detaje në artikujt:

• Transformimi i shprehjeve irracionale duke përdorur vetitë e rrënjëve,
• Transformimi i shprehjeve duke përdorur vetitë e fuqive,
• Shndërrimi i shprehjeve logaritmike duke përdorur vetitë e logaritmeve,
• Shndërrimi i shprehjeve trigonometrike.

Nga kursi i algjebrës kurrikula shkollore Le të zbresim në specifikat. Në këtë artikull, ne do të studiojmë në detaje një lloj të veçantë të shprehjeve racionale - thyesat racionale, dhe gjithashtu analizoni se çfarë karakteristike është identike shndërrimet e thyesave racionale zhvillohen.

Vëmë re menjëherë se thyesat racionale në kuptimin në të cilin i përkufizojmë më poshtë quhen thyesa algjebrike në disa tekste algjebër. Kjo do të thotë, në këtë artikull do të kuptojmë të njëjtën gjë nën thyesat racionale dhe algjebrike.

Si zakonisht, ne fillojmë me një përkufizim dhe shembuj. Më pas, le të flasim për sjelljen e një thyese racionale në një emërues të ri dhe për ndryshimin e shenjave të anëtarëve të thyesës. Pas kësaj do të analizojmë se si kryhet reduktimi i thyesave. Së fundi, le të ndalemi në paraqitjen e një thyese racionale si një shumë e disa thyesave. I gjithë informacioni do të jepet me shembuj me përshkrime të hollësishme të zgjidhjeve.

Navigimi i faqes.

Përkufizimi dhe shembuj të thyesave racionale

Thyesat racionale studiohen në mësimet e algjebrës në klasën e 8-të. Ne do të përdorim përkufizimin e një fraksioni racional, i cili është dhënë në librin shkollor të algjebrës për klasat 8 nga Yu. N. Makarychev dhe të tjerët.

AT këtë përkufizim nuk specifikohet nëse polinomet në numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale duhet të jenë polinome të formës standarde apo jo. Prandaj, do të supozojmë se thyesat racionale mund të përmbajnë polinome standarde dhe jo standarde.

Këtu janë disa shembuj të thyesave racionale. Pra, x/8 dhe - thyesat racionale. Dhe thyesat dhe nuk i përshtaten përkufizimit të tingëlluar të një thyese racionale, pasi në të parën numëruesi nuk është polinom, dhe në të dytën edhe numëruesi edhe emëruesi përmbajnë shprehje që nuk janë polinome.

Shndërrimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese racionale

Numëruesi dhe emëruesi i çdo thyese janë shprehje matematikore të vetë-mjaftueshme, në rastin e thyesave racionale janë polinome, në një rast të veçantë janë monomë dhe numra. Prandaj, me numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale, si me çdo shprehje, mund të kryhen shndërrime identike. Me fjalë të tjera, shprehja në numëruesin e një thyese racionale mund të zëvendësohet me një shprehje që është identike e barabartë me të, ashtu si emëruesi.

Në numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale mund të kryhen shndërrime identike. Për shembull, në numërues, ju mund të gruponi dhe zvogëloni terma të ngjashëm, dhe në emërues, produkti i disa numrave mund të zëvendësohet me vlerën e tij. Dhe meqenëse numëruesi dhe emëruesi i një fraksioni racional janë polinome, është e mundur të kryhen transformime karakteristike të polinomeve me to, për shembull, reduktimi në një formë standarde ose paraqitje si produkt.

Për qartësi, merrni parasysh zgjidhjet e disa shembujve.

Shembull.

Shndërroni thyesën racionale kështu që numëruesi është një polinom i formës standarde, dhe emëruesi është prodhimi i polinomeve.

Zgjidhje.

Reduktimi i thyesave racionale në një emërues të ri përdoret kryesisht kur mblidhen dhe zbriten thyesat racionale.

Ndryshimi i shenjave para një thyese, si dhe në numëruesin dhe emëruesin e saj

Vetia themelore e një thyese mund të përdoret për të ndryshuar shenjat e termave të thyesës. Në të vërtetë, shumëzimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese racionale me -1 është i barabartë me ndryshimin e shenjave të tyre, dhe rezultati është një thyesë që është identike e barabartë me atë të dhënë. Një transformim i tillë duhet të përdoret mjaft shpesh kur punoni me thyesa racionale.

Kështu, nëse ndryshoni njëkohësisht shenjat e numëruesit dhe emëruesit të një thyese, do të merrni një thyesë të barabartë me atë origjinale. Kjo deklaratë korrespondon me barazinë.

Le të marrim një shembull. Një thyesë racionale mund të zëvendësohet nga një thyesë identike e barabartë me shenja të kundërta të numëruesit dhe emëruesit të formës.

Me thyesa, mund të kryhet një transformim tjetër identik, në të cilin shenja ndryshohet ose në numërues ose në emërues. Le të kalojmë mbi rregullin e duhur. Nëse zëvendësoni shenjën e një thyese së bashku me shenjën e numëruesit ose të emëruesit, ju merrni një thyesë që është identike e barabartë me origjinalin. Deklarata e shkruar korrespondon me barazitë dhe .

Nuk është e vështirë të vërtetohen këto barazi. Vërtetimi bazohet në vetitë e shumëzimit të numrave. Le të vërtetojmë të parën prej tyre: . Me ndihmën e transformimeve të ngjashme vërtetohet edhe barazia.

Për shembull, një fraksion mund të zëvendësohet me një shprehje ose .

Për të përfunduar këtë nënseksion, ne paraqesim dy barazi më të dobishme dhe . Kjo do të thotë, nëse ndryshoni shenjën vetëm të numëruesit ose vetëm të emëruesit, atëherë thyesa do të ndryshojë shenjën e saj. Për shembull, dhe .

Shndërrimet e konsideruara, të cilat lejojnë ndryshimin e shenjës së termave të një thyese, përdoren shpesh gjatë transformimit të shprehjeve racionale të pjesshme.

Reduktimi i thyesave racionale

Shndërrimi i mëposhtëm i thyesave racionale, i quajtur reduktimi i thyesave racionale, bazohet në të njëjtën veti bazë të një thyese. Ky transformim korrespondon me barazinë , ku a , b dhe c janë disa polinome, dhe b dhe c janë jo zero.

Nga barazia e mësipërme, bëhet e qartë se reduktimi i një thyese racionale nënkupton heqjen e faktorit të përbashkët në numëruesin dhe emëruesin e tij.

Shembull.

Zvogëloni thyesën racionale.

Zgjidhje.

Faktori i përbashkët 2 është menjëherë i dukshëm, le ta zvogëlojmë (kur shkruajmë, është e përshtatshme të kryqëzohen faktorët e zakonshëm me të cilët bëhet zvogëlimi). Ne kemi . Meqenëse x 2 \u003d x x dhe y 7 \u003d y 3 y 4 (shih nëse është e nevojshme), është e qartë se x është një faktor i përbashkët i numëruesit dhe emëruesit të fraksionit që rezulton, si y 3 . Le të reduktojmë me këta faktorë: . Kjo plotëson reduktimin.

Më sipër, ne kryem reduktimin e një thyese racionale në mënyrë sekuenciale. Dhe ishte e mundur të kryhej reduktimi në një hap, duke reduktuar menjëherë fraksionin me 2·x·y 3 . Në këtë rast, zgjidhja do të duket si kjo: .

Përgjigje:

.

Kur zvogëloni thyesat racionale, problemi kryesor është se faktori i përbashkët i numëruesit dhe emëruesit nuk është gjithmonë i dukshëm. Për më tepër, ajo nuk ekziston gjithmonë. Për të gjetur një faktor të përbashkët ose për t'u siguruar që ai nuk ekziston, duhet të faktorizoni numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale. Nëse nuk ka faktor të përbashkët, atëherë fraksioni racional origjinal nuk ka nevojë të zvogëlohet, përndryshe, zvogëlimi kryhet.

Në procesin e zvogëlimit të fraksioneve racionale, mund të shfaqen nuanca të ndryshme. Hollësitë kryesore me shembuj dhe detaje diskutohen në artikullin reduktimi i thyesave algjebrike.

Duke përfunduar bisedën për reduktimin e thyesave racionale, vërejmë se ky transformim është identik dhe vështirësia kryesore në zbatimin e tij qëndron në faktorizimin e polinomeve në numërues dhe emërues.

Paraqitja e një thyese racionale si një shumë e thyesave

Mjaft specifik, por në disa raste shumë i dobishëm, është shndërrimi i një thyese racionale, e cila konsiston në paraqitjen e saj si shumë e disa thyesave, ose si shumë e një shprehjeje me numër të plotë dhe një thyese.

Një thyesë racionale, në numëruesin e së cilës ka një polinom, i cili është shuma e disa monomëve, gjithmonë mund të shkruhet si shumë e thyesave me emërues të njëjtë, në numëruesit e të cilave janë monomët përkatës. Për shembull, . Ky paraqitje shpjegohet me rregullin e mbledhjes dhe zbritjes së thyesave algjebrike me emërues të njëjtë.

Në përgjithësi, çdo thyesë racionale mund të përfaqësohet si një shumë e thyesave në mënyra të ndryshme. Për shembull, thyesa a/b mund të përfaqësohet si shuma e dy thyesave - një fraksion arbitrar c/d dhe një fraksion i barabartë me diferencën midis thyesave a/b dhe c/d. Kjo deklaratë është e vërtetë, që nga barazia . Për shembull, një thyesë racionale mund të përfaqësohet si një shumë e thyesave në mënyra të ndryshme: Ne paraqesim thyesën origjinale si shumën e një shprehjeje me numër të plotë dhe një fraksioni. Pasi pjesëtojmë numëruesin me emëruesin me një kolonë, marrim barazinë . Vlera e shprehjes n 3 +4 për çdo numër të plotë n është një numër i plotë. Dhe vlera e një thyese është një numër i plotë nëse dhe vetëm nëse emëruesi i saj është 1, −1, 3, ose −3. Këto vlera korrespondojnë me vlerat n=3, n=1, n=5 dhe n=−1 respektivisht.

Përgjigje:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografi.

• Algjebra: teksti shkollor për 8 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M. : Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 7-të. Në orën 14.00 Pjesa 1. Teksti mësimor i nxënësit institucionet arsimore/ A. G. Mordkovich. - Botimi i 13-të, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 f.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasën e 8-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Një libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për aplikantët në shkollat ​​teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.

Në shkollën e tipit VIII nxënësit njihen me shndërrimet e thyesave: shprehja e thyesës në thyesa më të mëdha (klasa e 6-të), shprehja e një thyese të gabuar me numër të plotë ose të përzier (klasa e VI), shprehja e thyesave në pjesë të barabarta. (klasa e 7-të), shprehja e një numri të përzier si thyesë e pasaktë (klasa e 7-të).

Shprehje e gabuar e thyesësose numër i përzier

I Studimi i këtij materiali duhet të fillojë me detyrën: merrni 2 rrathë të qepur dhe ndani secilin prej tyre në 4 pjesë të barabarta, numëroni numrin e pjesëve të katërta (Fig. 25). Më tej, propozohet që kjo shumë të shkruhet si thyesë (t) Më pas pjesët e katërta i shtohen njëra-tjetrës dhe nxënësit binden se ka rezultuar

rrethi 1. Rrjedhimisht, -t= një. Shtohet në katër të katërtat - radhazi më shumë -t, dhe nxënësit shkruajnë: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

Mësuesi/ja tërheq vëmendjen e nxënësve se në të gjitha rastet e konsideruara ata morën një thyesë të pasaktë dhe si rezultat i transformimit morën një numër të plotë ose një numër të përzier, domethënë shprehën një thyesë të pasaktë si numër të plotë. ose numër i përzier. Më pas, ne duhet të përpiqemi të sigurojmë që studentët të përcaktojnë në mënyrë të pavarur se çfarë veprimi aritmetik mund të kryhet ky transformim. Shembuj të gjallë që çojnë në përgjigjen

katër. 8 0 5 .1 7 .3 „L

në pyetjen janë: -2-=! dhe t = 2, 4" = 1t dhe t T " YV °D : te

Për të shprehur një thyesë jo të duhur si numër i plotë ose i përzier, duhet të ndani numëruesin e thyesës me emëruesin, të shkruani herësin si numër të plotë, të shkruani pjesën e mbetur në numërues dhe të lini emëruesin të njëjtë. Meqenëse rregulli është i rëndë, nuk është aspak e nevojshme që studentët ta mësojnë përmendësh. Ata duhet të jenë në gjendje të tregojnë vazhdimisht për veprimet gjatë kryerjes së këtij transformimi.

Përpara se t'i njihni studentët me shprehjen e një thyese të gabuar me një numër të plotë ose të përzier, këshillohet të përsërisni me ta pjesëtimin e një numri të plotë me një numër të plotë me një mbetje.

Konsolidimi i një transformimi të ri për studentët lehtësohet nga zgjidhja e problemeve të një natyre jetike dhe praktike, për shembull:

“Ka nëntë të katërtat e një portokalli në vazo. Skol| A mund të shtohen portokall të tëra nga këto aksione? Sa të katërtat do të mbeten?"

“Për prodhimin e kapakëve për kuti, çdo fletë e kartës

35 pritet në 16 pjesë të barabarta. Mora -^. Sa gola!

Pritini fletët e kartonit? Sa të gjashtëmbëdhjeta të prerjes! nga pjesa tjetër? etj.

Shprehje e numrit të plotë dhe të përzierthyesë e papërshtatshme

Prezantimi i studentëve me këtë transformim të ri duhet të paraprihet nga zgjidhja e problemeve, për shembull:

“2 copa pëlhure, të barabarta në gjatësi, që kanë formën e një katrori. > prerë në 4 pjesë të barabarta. Nga çdo pjesë e tillë ishte qepur një shami. Sa shami keni marrë? Unë Regjistroj: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

keni marrë verë? Shkruani: kishte 1 * rrathë, u bë rrathë *, që do të thotë

Kështu, bazuar në një bazë vizuale dhe praktike, ne shqyrtojmë një sërë shembujsh. Në shembujt në shqyrtim, nxënësve u kërkohet të krahasojnë numrin origjinal (të përzier ose të plotë) dhe numrin që doli pas konvertimit (thyesë e papërshtatshme).

Për t'i njohur nxënësit me rregullin e shprehjes së një numri të plotë dhe të përzier si thyesë e gabuar, është e nevojshme t'u drejtohet vëmendja e tyre në krahasimin e emëruesve të një numri të përzier dhe të një thyese të gabuar, si dhe në mënyrën se si fitohet numëruesi. shembull:

1 2"=?, 1 = 2", plus ^, gjithsej ^ 3 ^=?, 3=-^-, plus ^, gjithsej

do të jetë -^-. Si rezultat formulohet rregulli: në mënyrë që një numër i përzier

e shprehur si një thyesë e pahijshme, është e nevojshme të shumëzohet emëruesi me një numër të plotë, të shtohet numëruesi te produkti dhe të shkruhet shuma si numërues dhe të lihet emëruesi i pandryshuar.

Së pari, duhet t'i ushtrosh studentët në shprehjen e një njësie si thyesë jo të duhur, pastaj çdo numër tjetër të plotë me emërues dhe vetëm më pas një numër të përzier:

Vetia themelore e një thyese 1

[koncepti i pandryshueshmërisë së një thyese gjatë rritjes

1 rënie në anëtarët e saj, pra numëruesi dhe emëruesi, asimilohen nga nxënësit e shkollës së tipit VIII me shumë vështirësi. Ky koncept duhet të futet në materialin vizual dhe didaktik,

Pse është e rëndësishme që nxënësit jo vetëm të vëzhgojnë veprimtaritë e mësuesit, por edhe të punojnë në mënyrë aktive me materialin didaktik dhe, në bazë të vëzhgimeve dhe veprimtarive praktike, të arrijnë në përfundime, përgjithësime të caktuara.

Për shembull, mësuesi merr një rrepë të plotë, e ndan në 2 hakmarrje të barabarta dhe pyet: “Çfarë morët kur e ndatë të gjithë rrepën?

në gjysmë? (2 gjysma.) Trego * rrepa. Le të presim (veçojmë)

gjysma e rrepës në 2 pjesë të barabarta. Çfarë do të marrim? -y. Le të shkruajmë:

tt \u003d - m - Le të krahasojmë numëruesit dhe emëruesit e këtyre thyesave. Në çfarë kohe

herë është rritur numëruesi? Sa herë është rritur emëruesi? Sa herë janë rritur edhe numëruesi edhe emëruesi? A ka ndryshuar thyesa? Pse nuk ka ndryshuar? Cilat ishin aksionet: më të mëdha apo më të vogla? Numri është rritur apo ulur

Më pas të gjithë nxënësit e ndajnë rrethin në 2 pjesë të barabarta, secila gjysmë ndahet në 2 pjesë të tjera të barabarta, çdo tremujor ndahet më tej në

2 pjesë të barabarta etj dhe shkruajnë: "o ^ A ^ tg ^ tgg dhe t - L- Më pas përcaktojnë sa herë është rritur numëruesi dhe emëruesi i thyesës, nëse thyesa ka ndryshuar. Pastaj vizatojnë një segment. dhe ndajeni atë në mënyrë sekuenciale me 3, 6, 12 pjesë të barabarta dhe shkruani:

1 21 4 Kur krahasohen thyesat -^ dhe -^, -^ dhe -^, konstatohet se

numëruesi dhe emëruesi i thyesës r rritet me të njëjtin numër herë, thyesa nuk ndryshon nga kjo.

Pas shqyrtimit të një numri shembujsh, nxënësve duhet t'u kërkohet t'i përgjigjen pyetjes: "A do të ndryshojë thyesa nëse numëruesi?" , në klasat e nivelimit për fëmijët me vështirësi në të nxënë në matematikë. Në këtë tekst shkollor, paragrafët që japin një metodologji për studimin e këtij materiali,

shënuar me një yll (*).

Shembuj të ngjashëm jepen kur merret parasysh zvogëlimi i numëruesit dhe emëruesit me të njëjtin numër herë (numëruesit dhe emëruesi pjesëtohen me të njëjtin numër). Për shembull, cr>"

( 4 \ e ndarë në 8 pjesë të barabarta, merr 4 të tetat e rrethit I -o-]

pasi i kanë zmadhuar aksionet, marrin të katërtën, do të jenë 2 të tilla.

4 2 1 merr të dytën. Do të ketë 1 : ~th = -d--%- Krahaso ndjekës!I

numëruesit dhe emëruesit e këtyre thyesave, duke iu përgjigjur pyetjeve: “Në<>sa herë zvogëlohet numëruesi dhe emëruesi? A do të ndryshojë fraksioni?

Një përfitim i mirë janë shiritat, të ndarë në 12, 6, 3 pjesë të barabarta (Fig. 26).

H

12 6 3 Fig. 26

Ky material i përgjithësuar njihet nga kursi shkollor matematikë. Këtu po shikojmë thyesat. pamje e përgjithshme me numra, fuqi, rrënjë, logaritme, funksione trigonometrike ose objekte të tjera. Do të merren parasysh shndërrimet bazë të thyesave, pavarësisht nga lloji i tyre.

Çfarë është një thyesë?

Ka disa përkufizime të tjera.

Përkufizimi 2

Vija horizontale që ndan A dhe B quhet thyesë ose vijë thyesore.

Përkufizimi 3

Shprehja mbi shiritin e një thyese quhet numërues dhe nën - emërues.

Nga thyesat e zakonshme në thyesat e përgjithshme

Njohja me një thyesë ndodh në klasën e 5-të, kur kalojnë thyesat e zakonshme. Nga përkufizimi shihet se numëruesi dhe emëruesi janë numra natyrorë.

Shembulli 1

Për shembull 1 5 , 2 6 , 12 7 , 3 1 , e cila mund të shkruhet si 1 / 5 , 2 / 6 , 12 / 7 , 3 / 1 .

Pasi studiojmë veprimet me thyesat e zakonshme, kemi të bëjmë me thyesa që nuk kanë një numër natyror në emërues, por shprehje me numra natyrorë.

Shembulli 2

Për shembull, 1 + 3 5 , 9 - 5 16 , 2 7 9 12 .

Kur kemi të bëjmë me thyesa, ku ka shkronja ose shprehje fjalë për fjalë, shkruhet si më poshtë:

a + b c , a - b c , a c b d .

Përkufizimi 4

Rregulloni rregullat për mbledhjen, zbritjen, shumëzimin e thyesave të zakonshme a c + b c = a + b c , a c - b c = a - b c , a b v d = a c b d

Për të llogaritur, shpesh është e nevojshme të vini në një përkthim numra të përzier në thyesa të zakonshme. Kur shënojmë pjesën e plotë si a, atëherë pjesa thyesore ka formën b / c, marrim një pjesë të formës a · c + b c, nga e cila është e qartë pamja e thyesave të tilla 2 · 11 + 3 11, 5 · 2 + 1 2 e kështu me radhë.

Vija e një thyese konsiderohet si shenjë e ndarjes. Prandaj, rekordi mund të konvertohet në një mënyrë tjetër:

1: a - (2 b + 1) \u003d 1 a - 2 b + 1, 5 - 1, 7 3: 2 3 - 4: 2 \u003d 5 - 1, 7 3 2 3 - 4: 2 , ku herësi 4: 2 mund të zëvendësohet me një fraksion, atëherë marrim një shprehje të formës

5 - 1 , 7 3 2 3 - 4 2

Llogaritjet me thyesa racionale zënë një vend të veçantë në matematikë, pasi numëruesi dhe emëruesi mund të përmbajnë jo vetëm vlera numerike, por polinome.

Shembulli 3

Për shembull, 1 x 2 + 1 , x y - 2 y 2 0 , 5 - 2 x + y 3 .

Shprehjet racionale konsiderohen si thyesa të një forme të përgjithshme.

Shembulli 4

Për shembull, x x + 1 4 x 2 x 2 - 1 2 x 3 + 3 , 1 + x 2 y (x - 2) 1 x + 3 x 1 + 2 - x 4 x 5 + 6x.

Studimi i rrënjëve, fuqive me eksponentë racional, logaritme, funksionet trigonometrike thotë se aplikimi i tyre shfaqet në fraksione të dhëna të formës:

Shembulli 5

a n b n , 2 x + x 2 3 x 1 3 - 12 x , 2 x 2 + 3 3 x 2 + 3 , ln (x - 3) ln e 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 - 1 cos 2 α .

Fraksionet mund të kombinohen, domethënë të kenë formën x + 1 x 3 log 3 sin 2 x + 3, lg x + 2 lg x 2 - 2 x + 1.

Llojet e shndërrimeve të fraksioneve

Për një numër transformimesh identike, konsiderohen disa lloje:

Përkufizimi 5

• transformim specifik për punën me numëruesin dhe emëruesin;
• ndryshimi i shenjës përpara një shprehjeje thyesore;
• reduktimi në një emërues të përbashkët dhe reduktimi i thyesave;
• paraqitja e një thyese si shumë polinomesh.

Shndërrimi i shprehjeve në numërues dhe emërues

Me shprehje identike të barabarta, kemi që thyesa që rezulton është identike e barabartë me origjinalin.

Nëse jepet një pjesë e formës A / B, atëherë A dhe B janë disa shprehje. Pastaj, kur zëvendësojmë, marrim një pjesë të formës A 1 / B 1 . Është e nevojshme të vërtetohet barazia A / A 1 = B / B 1 për çdo vlerë të variablave që plotësojnë ODZ.

Ne e kemi atë A dhe A 1 dhe B dhe B1 janë identike të barabarta, atëherë edhe vlerat e tyre janë të barabarta. Nga kjo rrjedh se për çdo vlerë A/B dhe A 1 / B 1 thyesat do të jenë të barabarta.

Ky konvertim e bën më të lehtë punën me thyesat nëse duhet të konvertoni numëruesin dhe emëruesin veç e veç.

Shembulli 6

Për shembull, le të marrim një pjesë të formës 2 / 18, të cilën e kthejmë në 2 2 · 3 · 3. Për ta bërë këtë, ne e zbërthejmë emëruesin në faktorë të thjeshtë. Pjesa x 2 + x y x 2 + 2 x y + y 2 \u003d x x + y (x + y) 2 ka një numërues të formës x 2 + x y, do të thotë se është e nevojshme të zëvendësohet me x (x + y) , e cila do të fitohet duke vendosur në kllapa faktorin e përbashkët x. Emëruesi i një thyese të dhënë x 2 + 2 x y + y 2 kolapsi me formulën e shkurtuar të shumëzimit. Atëherë marrim se shprehja e saj identike e barabartë është (x + y) 2 .

Shembulli 7

Nëse është dhënë një pjesë e formës sin 2 3 φ - π + cos 2 3 φ - π φ φ 5 6, atëherë për të thjeshtuar është e nevojshme të zëvendësohet numëruesi me 1 sipas formulës dhe të sjellë emëruesin në formë. φ 11 12. Atëherë marrim se 1 φ 11 12 është e barabartë me thyesën e dhënë.

Ndryshimi i shenjës para një thyese, në numëruesin e saj, emërues

Shndërrimet e fraksioneve janë gjithashtu zëvendësim i shenjave përpara thyesës. Le të shohim disa rregulla:

Përkufizimi 7

• kur ndryshojmë shenjën e numëruesit, marrim një fraksion që është i barabartë me atë të dhënë, dhe fjalë për fjalë duket si _ - A - B \u003d A B, ku A dhe B janë disa shprehje;
• kur ndryshojmë shenjën para thyesës dhe para numëruesit, marrim se - - A B = A B ;
• kur zëvendësojmë shenjën përballë thyesës dhe emëruesit të saj, marrim se - A - B = A B .

Dëshmi

Shenja minus në shumicën e rasteve trajtohet si një faktor i shënuar - 1, dhe prerja është pjesëtimi. Nga këtu marrim se - A - B = - 1 · A: - 1 · B . Duke grupuar faktorët, kemi atë

1 A: - 1 B = ((- 1) : (- 1) A: B = = 1 A: B = A: B = A B

Pas vërtetimit të pohimit të parë, ne justifikojmë pjesën tjetër. Ne marrim:

A B = (- 1) (((- 1) A) : B) = (- 1 - 1) A: B = = 1 (A: B) = A: B = A B - A - B = (- 1) (A: - 1 B) = ((- 1) : (- 1)) (A: B) == 1 (A: B) = A: B = A B

Konsideroni shembuj.

Shembulli 8

Kur është e nevojshme të konvertohet thyesa 3/7 në formën - 3 - 7, - - 3 7, - 3 - 7, atëherë kryhet në mënyrë të ngjashme me një fraksion të formës - 1 + x - x 2 2 2 3. - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x .

Transformimet kryhen si më poshtë:

1) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - (- 1 + x - x 2) - 2 2 3 - ln x 2 + 3 x + sin 2 x 3 x = = 1 - x + x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - s i n 2 x 3 x 2) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - (- 1 + x - x 2) 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - 1 - x + x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x 3) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - sin 2 x 3 x

Sjellja e një thyese në një emërues të ri

Gjatë studimit të thyesave të zakonshme, ne prekëm pronën bazë të thyesave, e cila ju lejon të shumëzoni, ndani numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër natyror. Kjo mund të shihet nga barazia a · m b · m = a b dhe a: m b: m = a b , ku a , b , m janë numra natyrorë.

Kjo barazi është e vlefshme për çdo vlerë a , b , m dhe të gjitha a përveç b ≠ 0 dhe m ≠ 0 . Kjo do të thotë, marrim se nëse numëruesi i thyesës A / B me A dhe C, që janë disa shprehje, shumëzohet ose pjesëtohet me shprehjen M, jo e barabartë me 0, atëherë marrim një thyesë që është identike e barabartë me fillestar. Marrim se A · M B · M = A B dhe A: M B: M = A B .

Kjo tregon se transformimet bazohen në 2 transformime: reduktimi në një emërues të përbashkët, reduktimi.

Kur reduktohet në një emërues të përbashkët, shumëzimi kryhet me të njëjtin numër ose shprehje, numërues dhe emërues. Kjo do të thotë, ne kalojmë në zgjidhjen e thyesës identike të konvertuar të barabartë.

Konsideroni shembuj.

Shembulli 9

Nëse marrim thyesën x + 1 0, 5 x 3 dhe shumëzojmë me 2, atëherë marrim se emëruesi i ri do të jetë 2 x 0, 5 x 3 = x 3, dhe shprehja do të marrë formën 2 x + 1 x 3.

Shembulli 10

Për të reduktuar thyesën 1 - x 2 x 2 3 1 + ln x në një emërues tjetër të formës 6 x 1 + ln x 3, numëruesi dhe emëruesi duhet të shumëzohen me 3 x 1 3 (1 + ln x) 2. Si rezultat, marrim fraksionin 3 x 1 3 1 + ln x 2 1 - x 6 x (1 + ln x) 3

Një transformim i tillë si heqja e irracionalitetit në emërues është gjithashtu i zbatueshëm. Ajo eliminon praninë e një rrënjë në emërues, e cila thjeshton procesin e zgjidhjes.

Reduktimi i fraksionit

Prona kryesore është një transformim, domethënë reduktimi i drejtpërdrejtë i tij. Kur zvogëlohet, marrim një fraksion të thjeshtuar. Le të shohim një shembull:

Shembulli 11

Ose një pjesë e formës x 3 x 3 x 2 (2 x 2 + 1 + 3) x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 3 + 1 3 x, ku zvogëlimi bëhet duke përdorur x 3, x 3, 2 x 2 + 1 + 3 ose një shprehje si x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 . Pastaj marrim thyesën x 2 3 + 1 3 x

Reduktimi i fraksionit është i thjeshtë kur faktorët e përbashkët janë menjëherë të dukshëm. Në praktikë, kjo nuk ndodh shpesh, prandaj, së pari duhet të kryhen disa transformime të shprehjeve të këtij lloji. Ka raste kur është e nevojshme të gjendet një faktor i përbashkët.

Nëse ka një fraksion të formës x 2 2 3 (1 - cos 2 x) 2 sin x 2 cos x 2 2 x 1 3, atëherë është e nevojshme të zbatohen formulat trigonometrike dhe vetitë e fuqive në mënyrë që të mund të kthejeni thyesën në formën x 1 3 x 2 1 3 sin 2 x sin 2 x x 1 3 . Kjo do të bëjë të mundur zvogëlimin e tij me x 1 3 · sin 2 x.

Paraqitja e një thyese si shumë

Kur numëruesi ka një shumë algjebrike të shprehjeve si A 1 , A 2 , … , A n, dhe shënohet emëruesi B, atëherë kjo thyesë mund të paraqitet si A 1 / B , A 2 / B , ... , A n / B.

Përkufizimi 8

Për ta bërë këtë, rregulloni këtë A 1 + A 2 +. . . + A n B = A 1 B + A 2 B + . . . + A n B.

Ky transformim është thelbësisht i ndryshëm nga shtimi i thyesave me të njëjtët eksponentë. Konsideroni një shembull.

Shembulli 12

Jepet një thyesë e trajtës sin x - 3 x + 1 + 1 x 2, të cilën do ta paraqesim si shumë algjebrike të thyesave. Për ta bërë këtë, imagjinoni si sin x x 2 - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 ose sin x - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 ose sin x x 2 + - 3 x + 1 + 1 x 2.

Çdo thyesë që ka formën A / B përfaqësohet si një shumë e thyesave në çfarëdo mënyre. Shprehja A në numërues mund të zvogëlohet ose rritet me çdo numër ose shprehje A 0 që do të bëjë të mundur arritjen e A + A 0 B - A 0 B .

Zbërthimi i një thyese në më të thjeshtën është një rast i veçantë për shndërrimin e një thyese në një shumë. Më shpesh përdoret në llogaritjet komplekse për integrim.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter