Një ekuacion linear me një ndryshore ka formën e përgjithshme
sëpatë + b = 0.
Këtu x është një ndryshore, a dhe b janë koeficientë. Në një mënyrë tjetër, a quhet "koeficienti i së panjohurës", b është "termi i lirë".

Koeficientët janë disa numra dhe zgjidhja e ekuacionit nënkupton gjetjen e vlerës x për të cilën shprehja ax + b = 0 është e vërtetë. Për shembull, ne kemi një ekuacion linear 3x - 6 \u003d 0. Zgjidhja e tij do të thotë të gjesh se me çfarë duhet të jetë x në mënyrë që 3x - 6 të jetë e barabartë me 0. Duke kryer transformime, marrim:
3x=6
x=2

Kështu shprehja 3x - 6 = 0 është e vërtetë për x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 eshte rrënja e këtij ekuacioni. Kur zgjidhni një ekuacion, gjeni rrënjët e tij.

Koeficientët a dhe b mund të jenë çdo numër, megjithatë, ka vlera të tilla kur ka më shumë se një rrënjë të një ekuacioni linear me një ndryshore.

Nëse a = 0, atëherë ax + b = 0 kthehet në b = 0. Këtu x "shkatërrohet". Vetë shprehja b = 0 mund të jetë e vërtetë vetëm nëse njohuria për b është 0. Kjo do të thotë, ekuacioni 0*x + 3 = 0 është i gabuar, sepse 3 = 0 është një pohim i gabuar. Megjithatë, 0*x + 0 = 0 është shprehja e saktë. Nga këtu arrihet në përfundimin se nëse a \u003d 0 dhe b ≠ 0, një ekuacion linear me një ndryshore nuk ka fare rrënjë, por nëse a \u003d 0 dhe b \u003d 0, atëherë ekuacioni ka një numër të pafund rrënjësh.

Nëse b \u003d 0, dhe a ≠ 0, atëherë ekuacioni do të marrë formën ax \u003d 0. Është e qartë se nëse a ≠ 0, por rezultati i shumëzimit është 0, atëherë x \u003d 0. Kjo është, rrënja e këtij ekuacioni është 0.

Nëse as a as b nuk janë të barabarta me zero, atëherë ekuacioni ax + b = 0 shndërrohet në formën
x \u003d -b / a.
Vlera e x në këtë rast do të varet nga vlerat e a dhe b. Megjithatë, do të jetë i vetmi. Kjo do të thotë, është e pamundur të merren dy ose më shumë vlera x të ndryshme për të njëjtat koeficientë. Për shembull,
-8,5x - 17 = 0
x = 17 / -8,5
x = -2
Asnjë numër tjetër përveç -2 nuk mund të merret duke pjesëtuar 17 me -8.5.

Ka ekuacione që në pamje të parë nuk duken si forma e përgjithshme e një ekuacioni linear me një ndryshore, por konvertohen lehtësisht në të. Për shembull,
-4,8 + 1,3x = 1,5x + 12

Nëse lëvizim gjithçka në anën e majtë, atëherë 0 do të mbetet në të djathtë:
–4,8 + 1,3x – 1,5x – 12 = 0

Tani ekuacioni është reduktuar në formën standarde dhe ju mund ta zgjidhni atë:
x = 16,8 / 0,2
x=84

Ekuacionet. Me fjalë të tjera, zgjidhja e të gjitha ekuacioneve fillon me këto shndërrime. Kur vendoset ekuacionet lineare, ajo (zgjidhja) mbi shndërrimet identike dhe përfundon me përgjigjen përfundimtare.

Rasti i një koeficienti jozero për një ndryshore të panjohur.

ax+b=0, a ≠ 0

Ne transferojmë anëtarët me x në njërën anë dhe numrat në anën tjetër. Sigurohuni që të mbani mend se kur transferoni termat në anën e kundërt të ekuacionit, duhet të ndryshoni shenjën:

sëpatë:(a)=-b:(a)

Ne zvogëlojmë a në X dhe marrim:

x=-b: (a)

Kjo është përgjigja. Nëse dëshironi të kontrolloni nëse është një numër -b: (a) rrënja e ekuacionit tonë, atëherë ne duhet të zëvendësojmë në ekuacionin fillestar në vend të X ky është i njëjti numër:

a(-b:(a))+b=0 ( ato. 0=0)

Sepse atëherë kjo barazi është e vërtetë -b: (a) dhe e vërteta është rrënja e ekuacionit.

Përgjigje: x=-b: (a), a ≠ 0.

Shembulli i parë:

5x+2=7x-6

Ne transferojmë në njërën anë kushtet nga X, dhe në anën tjetër të numrit:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Me një koeficient të panjohur e reduktuan dhe morën përgjigjen:

Kjo është përgjigja. Nëse duhet të kontrolloni nëse numri 4 është vërtet rrënja e ekuacionit tonë, ne e zëvendësojmë këtë numër në vend të x në ekuacionin origjinal:

5*4+2=7*4-6 ( ato. 22=22)

Sepse kjo barazi është e vërtetë, atëherë 4 është rrënja e ekuacionit.

Shembulli i dytë:

Zgjidhe ekuacionin:

5x+14=x-49

Duke transferuar të panjohurat dhe numrat në drejtime të ndryshme, morëm:

Pjesët e ekuacionit i ndajmë me koeficientin në x(në 4) dhe merrni:

Shembulli i tretë:

Zgjidhe ekuacionin:

Së pari, ne heqim qafe irracionalitetin në koeficientin e të panjohurës duke shumëzuar të gjithë termat me:

Kjo formë konsiderohet e thjeshtuar, sepse numri e ka rrënjën e numrit në emërues. Ne duhet të thjeshtojmë përgjigjen duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër, kemi këtë:

Rasti i mungesës së zgjidhjeve.

Zgjidhe ekuacionin:

2x+3=2x+7

Per te gjithe x ekuacioni ynë nuk do të bëhet një barazi e vërtetë. Kjo do të thotë, ekuacioni ynë nuk ka rrënjë.

Përgjigje: Nuk ka zgjidhje.

Një rast i veçantë është një numër i pafund zgjidhjesh.

Zgjidhe ekuacionin:

2x+3=2x+3

Duke transferuar x-të dhe numrat në drejtime të ndryshme dhe duke sjellë terma të ngjashëm, marrim ekuacionin:

Edhe këtu nuk është e mundur të ndahen të dyja pjesët me 0, sepse është e ndaluar. Megjithatë, duke vënë në vend Xçdo numër, marrim barazinë e saktë. Kjo do të thotë, çdo numër është një zgjidhje për një ekuacion të tillë. Pra, ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Përgjigje: një numër i pafund zgjidhjesh.

Rasti i barazisë së dy formave të plota.

sëpatë+b=cx+d

sëpatë-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Përgjigje: x=(d-b):(a-c), nëse d≠b dhe a≠c, përndryshe ka pafundësisht shumë zgjidhje, por nëse a=c, a d≠b, atëherë nuk ka zgjidhje.

Ekuacioni linearështë një ekuacion algjebrik. Në këtë ekuacion, shkalla totale e polinomeve përbërëse të tij është e barabartë me një.

Ekuacionet lineare janë paraqitur në formën e mëposhtme:

Në formë të përgjithshme: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b = 0

Në formë kanonike: a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = b.

Ekuacion linear me një ndryshore.

Ekuacioni linear me variablin e parë reduktohet në formën:

sëpatë+ b=0.

Për shembull:

2x + 7 = 0. Ku a=2, b=7;

0,1x - 2,3 = 0. Ku a=0,1, b=-2,3;

12x + 1/2 = 0. Ku a=12, b=1/2.

Numri i rrënjëve varet nga a dhe b:

Kur a= b=0 , që do të thotë se ekuacioni ka një numër të pakufizuar zgjidhjesh, pasi .

Kur a=0 , b≠ 0 , që do të thotë se ekuacioni nuk ka rrënjë, pasi .

Kur a ≠ 0 , pra ekuacioni ka vetëm një rrënjë .

Ekuacion linear me dy ndryshore.

Ekuacioni me ndryshore xështë barazi e llojit A(x)=B(x), ku A(x) dhe B(x)- shprehje nga x. Gjatë zëvendësimit të kompletit T vlerat x në ekuacion marrim barazinë e vërtetë numerike, e cila quhet shumë të vërteta këtë ekuacion ose zgjidhje ekuacioni i dhënë , dhe të gjitha vlerat e tilla të ndryshores janë rrënjët e ekuacionit.

Ekuacionet lineare të 2 variablave janë paraqitur në këtë formë:

Në formë të përgjithshme: sëpatë + nga + c = 0,

Në formë kanonike: sëpatë + nga = -c,

Në formën e funksion linear: y = kx + m, ku .

Zgjidhja ose rrënjët e këtij ekuacioni është një çift i tillë vlerash variablash (x;y), që e kthen atë në një identitet . Një ekuacion linear me 2 ndryshore ka një numër të pakufizuar të këtyre zgjidhjeve (rrënjëve). Modeli (grafiku) gjeometrik i këtij ekuacioni është një vijë e drejtë y=kx+m.

Nëse ka një x në katror në ekuacion, atëherë quhet një ekuacion i tillë

Një ekuacion linear është një ekuacion algjebrik, shkalla e plotë e polinomeve të të cilit është e barabartë me një. Zgjidhja e ekuacioneve lineare - pjesë kurrikula shkollore, dhe jo më e vështira. Megjithatë, disa ende përjetojnë vështirësi në kalimin e kësaj teme. Shpresojmë që pas leximit të këtij materiali, të gjitha vështirësitë për ju të mbeten në të kaluarën. Pra, le ta kuptojmë. si të zgjidhim ekuacionet lineare.

Forma e përgjithshme

Ekuacioni linear paraqitet si:

• ax + b = 0, ku a dhe b janë çdo numër.

Edhe pse a dhe b mund të jenë çdo numër, vlerat e tyre ndikojnë në numrin e zgjidhjeve të ekuacionit. Ekzistojnë disa raste të veçanta zgjidhjeje:

• Nëse a=b=0, ekuacioni ka një numër të pafund zgjidhjesh;
• Nëse a=0, b≠0, ekuacioni nuk ka zgjidhje;
• Nëse a≠0, b=0, ekuacioni ka një zgjidhje: x = 0.

Në rast se të dy numrat kanë vlera jo zero, ekuacioni duhet të zgjidhet për të nxjerrë shprehja përfundimtare për një variabël.

Si të vendosni?

Zgjidhja e një ekuacioni linear do të thotë të gjesh se me çfarë është e barabartë një ndryshore. Si ta bëjmë atë? Po, është shumë e thjeshtë - duke përdorur veprime të thjeshta algjebrike dhe duke ndjekur rregullat e transferimit. Nëse ekuacioni u shfaq para jush në një formë të përgjithshme, ju jeni me fat, gjithçka që duhet të bëni është:

1. Lëvizni b në anën e djathtë të ekuacionit, duke mos harruar të ndryshoni shenjën (rregulli i transferimit!), Kështu, nga një shprehje e formës ax + b = 0, duhet të merret një shprehje e formës ax = -b.
2. Zbatoni rregullin: për të gjetur një nga faktorët (x - në rastin tonë), duhet të ndani produktin (-b në rastin tonë) me një faktor tjetër (a - në rastin tonë). Kështu, duhet të merret një shprehje e formës: x \u003d -b / a.

Kjo është e gjitha - zgjidhja është gjetur!

Tani le të shohim një shembull specifik:

1. 2x + 4 = 0 - lëvizni b, që në këtë rast është 4, në të djathtë
2. 2x = -4 - pjestojeni b me a (mos harroni shenjën minus)
3. x=-4/2=-2

Kjo eshte e gjitha! Zgjidhja jonë: x = -2.

Siç mund ta shihni, gjetja e një zgjidhjeje për një ekuacion linear me një ndryshore është mjaft e thjeshtë, por gjithçka është kaq e thjeshtë nëse jemi me fat që e përmbushim ekuacionin në një formë të përgjithshme. Në shumicën e rasteve, përpara se të zgjidhet ekuacioni në dy hapat e përshkruar më sipër, është gjithashtu e nevojshme të reduktohet shprehja ekzistuese në pamje e përgjithshme. Megjithatë, kjo nuk është gjithashtu një detyrë e frikshme. Le të shohim disa raste të veçanta me shembuj.

Zgjidhja e rasteve të veçanta

Së pari, le të hedhim një vështrim në rastet që përshkruam në fillim të artikullit dhe të shpjegojmë se çfarë do të thotë të kesh një numër të pafund zgjidhjesh dhe pa zgjidhje.

• Nëse a=b=0, ekuacioni do të duket si: 0x + 0 = 0. Duke kryer hapin e parë, marrim: 0x = 0. Çfarë do të thotë kjo marrëzi, ju bërtisni! Në fund të fundit, pavarësisht nga numri që shumëzoni me zero, gjithmonë do të merrni zero! E drejtë! Prandaj, ata thonë se ekuacioni ka një numër të pafund zgjidhjesh - çfarëdo numri që merrni, barazia do të jetë e vërtetë, 0x \u003d 0 ose 0 \u003d 0.
• Nëse a=0, b≠0, ekuacioni do të duket si: 0x + 3 = 0. Kryejmë hapin e parë, marrim 0x = -3. Sërish marrëzi! Është e qartë se kjo barazi nuk do të jetë kurrë e vërtetë! Kjo është arsyeja pse ata thonë se ekuacioni nuk ka zgjidhje.
• Nëse a≠0, b=0, ekuacioni do të duket si: 3x + 0 = 0. Duke ndërmarrë hapin e parë, marrim: 3x = 0. Cila është zgjidhja? Është e lehtë, x = 0.

Vështirësi në përkthim

Rastet e veçanta të përshkruara nuk janë të gjitha me të cilat mund të na befasojnë ekuacionet lineare. Ndonjëherë ekuacioni është përgjithësisht i vështirë për t'u identifikuar në shikim të parë. Le të marrim një shembull:

• 12x - 14 = 2x + 6

A është ky një ekuacion linear? Por çfarë ndodh me zeron në anën e djathtë? Ne nuk do të nxitojmë në përfundime, ne do të veprojmë - ne do t'i transferojmë të gjithë përbërësit e ekuacionit tonë në anën e majtë. Ne marrim:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Tani duke zbritur like nga like, marrim:

• 10x - 20 = 0

I mesuar? Ekuacioni më linear ndonjëherë! Zgjidhja e së cilës: x = 20/10 = 2.

Po sikur të kemi këtë shembull:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Po, ky është gjithashtu një ekuacion linear, vetëm duhet të bëhen më shumë transformime. Le të zgjerojmë së pari kllapat:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - tani kryeni transferimin:
4. 25x - 4 = 0 - mbetet për të gjetur një zgjidhje sipas skemës tashmë të njohur:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Siç mund ta shihni, gjithçka është zgjidhur, gjëja kryesore nuk është të shqetësoheni, por të veproni. Mos harroni, nëse ekuacioni juaj përmban vetëm variabla të shkallës së parë dhe numra, ky është një ekuacion linear, i cili, pavarësisht se si duket fillimisht, mund të reduktohet në një formë të përgjithshme dhe të zgjidhet. Shpresojmë që gjithçka të funksionojë për ju! Paç fat!

Sistemet e ekuacioneve përdoren gjerësisht në industrinë ekonomike me modelimi matematik procese të ndryshme. Për shembull, kur zgjidhen problemet e menaxhimit dhe planifikimit të prodhimit, rrugëve të logjistikës (problemi i transportit) ose vendosjes së pajisjeve.

Sistemet e ekuacioneve përdoren jo vetëm në fushën e matematikës, por edhe në fizikë, kimi dhe biologji, kur zgjidhen problemet e gjetjes së madhësisë së popullsisë.

Një sistem ekuacionesh lineare është një term për dy ose më shumë ekuacione me disa ndryshore për të cilat është e nevojshme të gjendet një zgjidhje e përbashkët. Një sekuencë e tillë numrash për të cilat të gjitha ekuacionet bëhen barazi të vërteta ose vërtetojnë se sekuenca nuk ekziston.

Ekuacioni linear

Ekuacionet e trajtës ax+by=c quhen lineare. Emërtimet x, y janë të panjohurat, vlera e të cilave duhet gjetur, b, a janë koeficientët e variablave, c është termi i lirë i ekuacionit.
Zgjidhja e ekuacionit duke vizatuar grafikun e tij do të duket si një vijë e drejtë, të gjitha pikat e së cilës janë zgjidhje e polinomit.

Llojet e sistemeve të ekuacioneve lineare

Më të thjeshtat janë shembuj të sistemeve të ekuacioneve lineare me dy ndryshore X dhe Y.

F1(x, y) = 0 dhe F2(x, y) = 0, ku F1,2 janë funksione dhe (x, y) janë variabla funksioni.

Zgjidh një sistem ekuacionesh - do të thotë të gjesh vlera të tilla (x, y) për të cilat sistemi bëhet një barazi e vërtetë, ose të vërtetosh se nuk ka vlera të përshtatshme të x dhe y.

Një çift vlerash (x, y), të shkruara si koordinata pikash, quhet zgjidhje për një sistem ekuacionesh lineare.

Nëse sistemet kanë një zgjidhje të përbashkët ose nuk ka zgjidhje, ato quhen ekuivalente.

Sistemet homogjene të ekuacioneve lineare janë sisteme ana e djathtë e të cilave është e barabartë me zero. Nëse pjesa e djathtë pas shenjës "e barabartë" ka një vlerë ose shprehet me një funksion, një sistem i tillë nuk është homogjen.

Numri i variablave mund të jetë shumë më tepër se dy, atëherë duhet të flasim për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare me tre ndryshore ose më shumë.

Përballë sistemeve, nxënësit e shkollës supozojnë se numri i ekuacioneve duhet domosdoshmërisht të përkojë me numrin e të panjohurave, por kjo nuk është kështu. Numri i ekuacioneve në sistem nuk varet nga variablat, mund të ketë një numër arbitrarisht të madh të tyre.

Metoda të thjeshta dhe komplekse për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Nuk ka asnjë mënyrë të përgjithshme analitike për të zgjidhur sisteme të tilla, të gjitha metodat bazohen në zgjidhje numerike. AT kursi shkollor Matematika përshkruan në detaje metoda të tilla si ndryshimi, shtimi algjebrik, zëvendësimi, si dhe metoda grafike dhe matricore, zgjidhjen me metodën e Gausit.

Detyra kryesore në metodat mësimore të zgjidhjes është të mësoni se si të analizoni saktë sistemin dhe të gjeni algoritmin optimal të zgjidhjes për secilin shembull. Gjëja kryesore nuk është të mësosh përmendësh një sistem rregullash dhe veprimesh për secilën metodë, por të kuptosh parimet e aplikimit të një metode të veçantë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare të klasës së 7-të të programit shkolla e mesme mjaft e thjeshtë dhe e shpjeguar me shumë detaje. Në çdo tekst shkollor të matematikës, këtij seksioni i kushtohet vëmendje e mjaftueshme. Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare me metodën e Gauss dhe Cramer është studiuar më hollësisht në kurset e para të institucioneve të arsimit të lartë.

Zgjidhja e sistemeve me metodën e zëvendësimit

Veprimet e metodës së zëvendësimit synojnë të shprehin vlerën e një ndryshore përmes të dytës. Shprehja zëvendësohet në ekuacionin e mbetur, pastaj reduktohet në një formë të vetme variabël. Veprimi përsëritet në varësi të numrit të të panjohurave në sistem

Le të japim një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare të klasës së 7-të me metodën e zëvendësimit:

Siç mund të shihet nga shembulli, ndryshorja x u shpreh përmes F(X) = 7 + Y. Shprehja rezultuese, e zëvendësuar në ekuacionin e dytë të sistemit në vend të X, ndihmoi për të marrë një ndryshore Y në ekuacionin e dytë. . Zgjidhje ky shembull nuk shkakton vështirësi dhe ju lejon të merrni vlerën Y. Hapi i fundit është kontrollimi i vlerave të marra.

Nuk është gjithmonë e mundur të zgjidhet një shembull i një sistemi ekuacionesh lineare me zëvendësim. Ekuacionet mund të jenë komplekse dhe shprehja e ndryshores në termat e të panjohurës së dytë do të jetë shumë e rëndë për llogaritje të mëtejshme. Kur ka më shumë se 3 të panjohura në sistem, zgjidhja e zëvendësimit është gjithashtu jopraktike.

Zgjidhja e një shembulli të një sistemi ekuacionesh lineare johomogjene:

Zgjidhje duke përdorur mbledhjen algjebrike

Kur kërkoni një zgjidhje për sistemet me metodën e mbledhjes, kryhet mbledhja term-pas-term dhe shumëzimi i ekuacioneve me numra të ndryshëm. Qëllimi përfundimtar i operacioneve matematikore është një ekuacion me një ndryshore.

Për aplikime këtë metodë duhet praktikë dhe vëzhgim. Nuk është e lehtë të zgjidhësh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e mbledhjes me numrin e ndryshoreve 3 ose më shumë. Mbledhja algjebrike është e dobishme kur ekuacionet përmbajnë thyesa dhe numra dhjetorë.

Algoritmi i veprimit të zgjidhjes:

1. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me një numër. Si rezultat i veprimit aritmetik, një nga koeficientët e ndryshores duhet të bëhet i barabartë me 1.
2. Shtoni shprehjen që rezulton term pas termi dhe gjeni një nga të panjohurat.
3. Zëvendësoni vlerën që rezulton në ekuacionin e dytë të sistemit për të gjetur variablin e mbetur.

Metoda e zgjidhjes duke futur një ndryshore të re

Një variabël i ri mund të futet nëse sistemi duhet të gjejë një zgjidhje për jo më shumë se dy ekuacione, numri i të panjohurave gjithashtu duhet të jetë jo më shumë se dy.

Metoda përdoret për të thjeshtuar një nga ekuacionet duke futur një ndryshore të re. Ekuacioni i ri zgjidhet në lidhje me të panjohurën e futur dhe vlera që rezulton përdoret për të përcaktuar variablin origjinal.

Nga shembulli mund të shihet se duke futur një ndryshore të re t, u bë e mundur të reduktohet ekuacioni i parë i sistemit në një trinom standard katror. Ju mund të zgjidhni një polinom duke gjetur diskriminuesin.

Është e nevojshme të gjendet vlera e diskriminuesit duke përdorur formulën e njohur: D = b2 - 4*a*c, ku D është diskriminuesi i dëshiruar, b, a, c janë shumëzuesit e polinomit. AT shembulli i dhënë a=1, b=16, c=39, pra D=100. Nëse diskriminuesi është më i madh se zero, atëherë ekzistojnë dy zgjidhje: t = -b±√D / 2*a, nëse diskriminuesi është më i vogël se zero, atëherë ka vetëm një zgjidhje: x= -b / 2*a.

Zgjidhja për sistemet rezultuese gjendet me metodën e shtimit.

Një metodë vizuale për zgjidhjen e sistemeve

I përshtatshëm për sisteme me 3 ekuacione. Metoda konsiston në vizatimin e grafikëve të secilit ekuacion të përfshirë në sistem në boshtin koordinativ. Koordinatat e pikave të prerjes së kurbave do të jenë zgjidhja e përgjithshme e sistemit.

Metoda grafike ka një numër nuancash. Shqyrtoni disa shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare në mënyrë vizuale.

Siç shihet nga shembulli, dy pika u ndërtuan për secilën rresht, vlerat e ndryshores x u zgjodhën në mënyrë arbitrare: 0 dhe 3. Bazuar në vlerat e x, u gjetën vlerat për y: 3 dhe 0. Pikat me koordinatat (0, 3) dhe (3, 0) janë shënuar në grafik dhe janë lidhur me një vijë.

Hapat duhet të përsëriten për ekuacionin e dytë. Pika e prerjes së vijave është zgjidhja e sistemit.

Shembulli i mëposhtëm duhet gjetur zgjidhje grafike sistemet e ekuacioneve lineare: 0.5x-y+2=0 dhe 0.5x-y-1=0.

Siç shihet nga shembulli, sistemi nuk ka zgjidhje, sepse grafikët janë paralelë dhe nuk kryqëzohen në të gjithë gjatësinë e tyre.

Sistemet nga Shembujt 2 dhe 3 janë të ngjashëm, por kur ndërtohen, bëhet e qartë se zgjidhjet e tyre janë të ndryshme. Duhet mbajtur mend se nuk është gjithmonë e mundur të thuhet nëse sistemi ka një zgjidhje apo jo, është gjithmonë e nevojshme të ndërtohet një grafik.

Matrica dhe varietetet e saj

Matricat përdoren për të shkruar shkurtimisht një sistem ekuacionesh lineare. Një matricë është një lloj i veçantë tabele i mbushur me numra. n*m ka n - rreshta dhe m - kolona.

Një matricë është katror kur numri i kolonave dhe rreshtave është i barabartë. Një matricë-vektor është një matricë me një kolonë me një numër pafundësisht të mundshëm rreshtash. Një matricë me njësi përgjatë njërës prej diagonaleve dhe elementëve të tjerë zero quhet identitet.

Një matricë e kundërt është një matricë e tillë, kur shumëzohet me të cilën ajo origjinale kthehet në një njësi, një matricë e tillë ekziston vetëm për atë katrore origjinale.

Rregullat për shndërrimin e një sistemi ekuacionesh në një matricë

Në lidhje me sistemet e ekuacioneve, koeficientët dhe anëtarët e lirë të ekuacioneve shkruhen si numra të matricës, një ekuacion është një rresht i matricës.

Një rresht matricë quhet jo zero nëse të paktën një element i rreshtit nuk është i barabartë me zero. Prandaj, nëse në ndonjë nga ekuacionet numri i variablave ndryshon, atëherë është e nevojshme të futet zero në vend të të panjohurës që mungon.

Kolonat e matricës duhet të korrespondojnë rreptësisht me variablat. Kjo do të thotë se koeficientët e ndryshores x mund të shkruhen vetëm në një kolonë, për shembull e para, koeficienti i të panjohurës y - vetëm në të dytën.

Kur shumëzoni një matricë, të gjithë elementët e matricës shumëzohen në mënyrë sekuenciale me një numër.

Opsione për gjetjen e matricës së kundërt

Formula për gjetjen e matricës së kundërt është mjaft e thjeshtë: K -1 = 1 / |K|, ku K -1 është matrica e kundërt dhe |K| - përcaktor i matricës. |K| nuk duhet të jetë e barabartë me zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje.

Përcaktori llogaritet lehtësisht për një matricë dy-nga-dy, është e nevojshme vetëm të shumëzohen elementët diagonalisht me njëri-tjetrin. Për opsionin "tre nga tre", ekziston një formulë |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Ju mund të përdorni formulën, ose mund të mbani mend se duhet të merrni një element nga çdo rresht dhe çdo kolonë në mënyrë që numrat e kolonave dhe rreshtave të elementeve të mos përsëriten në produkt.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare me metodën e matricës

Metoda e matricës për gjetjen e një zgjidhjeje bën të mundur reduktimin e hyrjeve të rënda gjatë zgjidhjes së sistemeve me një numër të madh variablash dhe ekuacionesh.

Në shembull, një nm janë koeficientët e ekuacioneve, matrica është një vektor x n janë variablat dhe b n janë termat e lirë.

Zgjidhja e sistemeve me metodën e Gausit

Në matematikën e lartë, metoda e Gausit studiohet së bashku me metodën Cramer dhe procesi i gjetjes së një zgjidhjeje për sistemet quhet metoda e zgjidhjes Gauss-Cramer. Këto metoda përdoren për të gjetur variablat e sistemit me shumë ekuacione lineare.

Metoda Gaussian është shumë e ngjashme me zgjidhjet e zëvendësimit dhe të mbledhjes algjebrike, por është më sistematike. Në kursin shkollor, zgjidhja Gaussian përdoret për sistemet me 3 dhe 4 ekuacione. Qëllimi i metodës është të sjellë sistemin në formën e një trapezi të përmbysur. Me shndërrime dhe zëvendësime algjebrike, vlera e një ndryshoreje gjendet në një nga ekuacionet e sistemit. Ekuacioni i dytë është një shprehje me 2 të panjohura, dhe 3 dhe 4 - me 3 dhe 4 ndryshore, respektivisht.

Pas sjelljes së sistemit në formën e përshkruar, zgjidhja e mëtejshme reduktohet në zëvendësimin vijues të variablave të njohur në ekuacionet e sistemit.

Në tekstet shkollore për klasën 7, një shembull i një zgjidhjeje Gaussian përshkruhet si më poshtë:

Siç shihet nga shembulli, në hapin (3) janë marrë dy ekuacione 3x 3 -2x 4 =11 dhe 3x 3 +2x 4 =7. Zgjidhja e cilitdo prej ekuacioneve do t'ju lejojë të zbuloni një nga ndryshoret x n.

Teorema 5, e cila përmendet në tekst, thotë se nëse një nga ekuacionet e sistemit zëvendësohet me një ekuivalent, atëherë sistemi që rezulton do të jetë gjithashtu i barabartë me atë origjinal.

Metoda e Gausit është e vështirë për t'u kuptuar nga nxënësit e shkollave të mesme, por është një nga mënyrat më interesante për të zhvilluar zgjuarsinë e fëmijëve të regjistruar në program. studim i thelluar në orët e matematikës dhe fizikës.

Për lehtësinë e regjistrimit të llogaritjeve, është zakon të bëni sa më poshtë:

Koeficientët e ekuacionit dhe termat e lirë shkruhen në formën e një matrice, ku çdo rresht i matricës korrespondon me një nga ekuacionet e sistemit. ndan anën e majtë të ekuacionit nga ana e djathtë. Numrat romakë tregojnë numrin e ekuacioneve në sistem.

Së pari, ata shkruajnë matricën me të cilën do të punojnë, pastaj të gjitha veprimet e kryera me një nga rreshtat. Matrica që rezulton shkruhet pas shenjës "shigjeta" dhe vazhdon të kryejë të nevojshmen veprime algjebrike derisa të arrihet rezultati.

Si rezultat, duhet të merret një matricë në të cilën një nga diagonalet është 1, dhe të gjithë koeficientët e tjerë janë të barabartë me zero, domethënë, matrica reduktohet në një formë të vetme. Nuk duhet të harrojmë të bëjmë llogaritjet me numrat e të dy anëve të ekuacionit.

Ky shënim është më pak i rëndë dhe ju lejon të mos shpërqendroheni duke renditur shumë të panjohura.

Aplikimi falas i çdo metode zgjidhjeje do të kërkojë kujdes dhe një sasi të caktuar përvoje. Jo të gjitha metodat aplikohen. Disa mënyra për të gjetur zgjidhje janë më të preferuara në një fushë të caktuar të veprimtarisë njerëzore, ndërsa të tjera ekzistojnë për qëllimin e të mësuarit.