derivat privat funksionet z = f(x, y nga ndryshorja x derivati ​​i këtij funksioni thirret në një vlerë konstante të ndryshores y, shënohet ose z "x.

derivat privat funksionet z = f(x, y) nga ndryshorja y quhet derivati ​​në lidhje me y në një vlerë konstante të ndryshores y; shënohet ose z "y.

Derivati ​​i pjesshëm i një funksioni të disa ndryshoreve në lidhje me një variabël përcaktohet si derivat i këtij funksioni në lidhje me variablin përkatës, me kusht që variablat e tjerë të konsiderohen konstante.

diferencial i plotë funksioni z = f(x, y) në një moment M(X, y) quhet shprehje

,

Ku dhe janë llogaritur në pikën M(x, y), dhe dx = , dy = y.

Shembulli 1

Llogaritni diferencialin total të funksionit.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 në pikën M (1; 2)

Zgjidhja:

1) Gjeni derivatet e pjesshme:

2) Llogaritni vlerën e derivateve të pjesshme në pikën M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Pyetje për vetëkontroll:

1. Çfarë quhet antiderivativ? Listoni vetitë e një antiderivati.

2. Çfarë quhet integral i pacaktuar?

3. Listoni vetitë e integralit të pacaktuar.

4. Listoni formulat bazë të integrimit.

5. Çfarë metodash integrimi dini?

6. Cili është thelbi i formulës Njuton-Leibniz?

7. Jepni një përkufizim të një integrali të caktuar.

8. Cili është thelbi i llogaritjes së një integrali të caktuar me metodën e zëvendësimit?

9. Cili është thelbi i metodës së llogaritjes së një integrali të caktuar sipas pjesëve?

10. Cili funksion quhet funksion i dy ndryshoreve? Si është caktuar?

11. Cili funksion quhet funksion i tre variablave?

12. Çfarë bashkësie quhet domeni i një funksioni?

13. Me ndihmën e çfarë pabarazish mund të përcaktohet një rajon i mbyllur D në një rrafsh?

14. Si quhet derivati ​​i pjesshëm i funksionit z \u003d f (x, y) në lidhje me ndryshoren x? Si është caktuar?

15. Si quhet derivati ​​i pjesshëm i funksionit z \u003d f (x, y) në lidhje me ndryshoren y? Si është caktuar?

16. Cila shprehje quhet diferencial total i një funksioni

Tema 1.2 Ekuacionet diferenciale të zakonshme.

Problemet që çojnë në ekuacione diferenciale. Ekuacione diferenciale me ndryshore të ndashme. Zgjidhje të përgjithshme dhe private. Ekuacione diferenciale homogjene të rendit të parë. Linear ekuacionet homogjene rendit të dytë me koeficientë konstante.

Mësimi praktik nr.7 “Gjetja e zgjidhjeve të përgjithshme dhe të veçanta ekuacionet diferenciale me variabla të ndashëm"*

Mësimi praktik nr.8 "Ekuacionet diferenciale lineare dhe homogjene"

Mësimi praktik nr.9 “Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale të rendit të 2-të me koeficientët konstant»*

L4, kapitulli 15, f. 243 - 256

Udhëzimet

Puna praktike №2

"Diferenciali i Funksionit"

Qëllimi i mësimit: Mësoni të zgjidhni shembuj dhe probleme për një temë të caktuar.

Pyetje teorike (niveli fillestar):

1. Përdorimi i derivateve për studimin e funksioneve deri në një ekstrem.

2. Diferenciali i një funksioni, kuptimi gjeometrik dhe fizik i tij.

3. Diferencial i plotë funksionet e shumë variablave.

4. Gjendja e trupit në funksion të shumë variablave.

5. Llogaritjet e përafërta.

6. Gjetja e derivateve të pjesshme dhe diferencialit total.

7. Shembuj të përdorimit të këtyre koncepteve në farmakokinetikë, mikrobiologji etj.

(vetë-trajnim)

1. përgjigjen pyetjeve për temën e mësimit;

2. zgjidh shembuj.

Shembuj

Gjeni diferencialet e funksioneve të mëposhtme:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Përdorimi i derivateve për të studiuar funksionet

Kushti që funksioni y = f(x) të rritet në segmentin [a, b]

Kushti që funksioni y=f(x) të zvogëlohet në segmentin [a, b]

Kushti për funksionin maksimal y=f(x) në x= a

f"(a)=0 dhe f""(a)<0

Nëse për x \u003d a derivatet f "(a) \u003d 0 dhe f "(a) \u003d 0, atëherë është e nevojshme të hetohet f "(x) në afërsi të pikës x \u003d a. Funksioni y \u003d f (x) për x \u003d a ka një maksimum , nëse kur kalon nëpër pikën x \u003d dhe derivati ​​f "(x) ndryshon shenjën nga "+" në "-", në rastin e një minimumi - nga "-" në "+" Nëse f "(x) nuk ndryshon shenjën kur kalon në pikën x = a, atëherë në këtë pikë funksioni nuk ka ekstrem

Diferenciali i funksionit.

Diferenciali i një ndryshoreje të pavarur është i barabartë me rritjen e tij:

Diferenciali i funksionit y=f(x)

Diferenciali i shumës (diferencës) të dy funksioneve y=u±v

Diferenciali i prodhimit të dy funksioneve y=uv

Diferenciali i herësit të dy funksioneve y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Rritja e funksionit

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx

ku Δx: është rritja e argumentit.

Llogaritja e përafërt e vlerës së funksionit:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f "(x) Δx

Zbatimi i diferencialit në llogaritjet e përafërta

Diferenciali përdoret për të llogaritur gabimet absolute dhe relative në matjet indirekte u \u003d f (x, y, z.). Gabim absolut i rezultatit të matjes

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Gabim relativ i rezultatit të matjes

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

FUNKSIONI DIFERENCIAL.

Diferenciali i funksionit si pjesa kryesore e rritjes së funksionit dhe. Koncepti i diferencialit të një funksioni është i lidhur ngushtë me konceptin e një derivati. Lëreni funksionin f(x) e vazhdueshme për vlerat e dhëna X dhe ka një derivat

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), prej nga vjen funksioni increment Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, ku a (Dx) ® 0 në Dx ® 0. Le të përcaktojmë rendin e infinite vogëlushes f¢(x)Dx Dx.:

Prandaj, pafundësisht f¢(x)Dx dhe Dx kanë të njëjtin rend të madhësisë, d.m.th f¢(x)Dx = O.

Le të përcaktojmë rendin e infinite vogëlushes a(Dх)Dх në lidhje me të pafundmën Dx:

Prandaj, e pafundme a(Dх)Dх ka një renditje më të lartë të vogëlsisë se infinitimalja Dx, kjo eshte a(Dx)Dx = o.

Kështu, një rritje infinitimale Df Funksioni i diferencueshëm mund të përfaqësohet në formën e dy termave: një infinitimal f¢(x)Dx të rendit të njëjtë të vogëlsisë me Dx dhe pafundësisht i vogël a(Dх)Dх rend më i lartë i vogëlsisë në krahasim me infiniteminalin Dx. Kjo do të thotë se në barazi Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx në Dx® 0 termi i dytë tenton të zero "më shpejt" se i pari, d.m.th. a(Dx)Dx = o.

Termi i parë f¢(x)Dx, lineare në lidhje me Dx, thirri funksioni diferencial f(x) në pikën X dhe shënojnë dy ose df(lexo "de game" ose "de ef"). Kështu që,

dy = df = f¢(x)Dx.

Kuptimi analitik i diferencialit qëndron në faktin se diferenciali i një funksioni është pjesa kryesore e rritjes së funksionit Df, lineare në lidhje me shtimin e argumentit Dx. Diferenciali i një funksioni ndryshon nga rritja e një funksioni me një infinite vogël të një rendi më të vogël të vogël se Dx. Vërtet, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx ose Df = df + a(Dx)Dx . Diferenciali i argumentimit dx e barabartë me rritjen e saj Dx: dx=Dx.

Shembull. Llogaritni vlerën e diferencialit të një funksioni f(x) = x 3 + 2x, kur X varion nga 1 në 1.1.

Zgjidhje. Le të gjejmë një shprehje të përgjithshme për diferencialin e këtij funksioni:

Vlerat zëvendësuese dx=Dx=1,1–1= 0,1 dhe x=1 në formulën e fundit, marrim vlerën e dëshiruar të diferencialit: df½ x=1; = 0,5.

DERIVATET DHE DIFERENCIALET E PJESSHME.

Derivatet e pjesshme të rendit të parë. Derivati ​​i pjesshëm i rendit të parë i funksionit z = f(x,y ) me argument X në pikën e konsideruar (x; y) quhet limit

nëse ekziston.

Derivat i pjesshëm i një funksioni z = f(x, y) me argument X shënohet me një nga karakteret e mëposhtme:

Në mënyrë të ngjashme, derivati ​​i pjesshëm në lidhje me në shënohet dhe përcaktohet me formulën:

Meqenëse derivati ​​i pjesshëm është derivati ​​i zakonshëm i një funksioni të një argumenti, nuk është e vështirë ta llogaritni atë. Për ta bërë këtë, duhet të përdorni të gjitha rregullat e diferencimit të shqyrtuara deri më tani, duke marrë parasysh në çdo rast se cili nga argumentet merret si "numër konstant" dhe cili shërben si "ndryshore diferencimi".

Koment. Për të gjetur derivatin e pjesshëm, për shembull, në lidhje me argumentin x – df/dx, mjafton të gjejmë derivatin e zakonshëm të funksionit f(x,y), duke supozuar se kjo e fundit është funksion i një argumenti X, a në- të përhershme; per te gjetur df/dy- anasjelltas.

Shembull. Gjeni vlerat e derivateve të pjesshme të një funksioni f(x,y) = 2x2 + y2 në pikën P(1;2).

Zgjidhje. Duke numëruar f(x,y) funksioni i vetëm argumenti X dhe duke përdorur rregullat e diferencimit, gjejmë

Në pikën P(1;2) vlerë derivative

Duke e konsideruar f(x; y) si funksion të një argumenti y, gjejmë

Në pikën P(1;2) vlerë derivative

DETYRË PËR PUNËN E PAVARUR TË STUDENTIT:

Gjeni diferencialet e funksioneve të mëposhtme:

Zgjidh detyrat e mëposhtme:

1. Për sa do të zvogëlohet sipërfaqja e një katrori me brinjë x = 10 cm nëse brinja zvogëlohet për 0,01 cm?

2. Është dhënë barazimi i lëvizjes së trupit: y=t 3 /2+2t 2 , ku s shprehet në metra, t është në sekonda. Gjeni shtegun s të mbuluar nga trupi në t=1,92 s nga fillimi i lëvizjes.

LITERATURA

1. Lobotskaya N.L. Bazat e Matematikës së Lartë - M .: "Shkolla e Lartë", 1978.C198-226.

2. Bailey N. Matematika në biologji dhe mjekësi. Per. nga anglishtja. M.: Mir, 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Koleksioni i problemeve në fizikën mjekësore dhe biologjike - M .: "Shkolla e lartë", 1987. C16-20.

Merrni parasysh ndryshimin e një funksioni kur rritni vetëm një nga argumentet e tij − x i, dhe le ta quajmë atë.

Përkufizimi 1.7.derivat privat funksionon me argument x i thirrur .

Emërtimet: .

Kështu, derivati ​​i pjesshëm i një funksioni të disa variablave në të vërtetë përcaktohet si derivat i funksionit një ndryshore - x i. Prandaj, të gjitha vetitë e derivateve të vërtetuara për një funksion të një ndryshoreje janë të vlefshme për të.

Koment. Në llogaritjen praktike të derivateve të pjesshme, ne përdorim rregullat e zakonshme për diferencimin e një funksioni të një ndryshoreje, duke supozuar se argumenti në lidhje me të cilin kryhet diferencimi është i ndryshueshëm dhe argumentet e mbetura janë konstante.

1. z= 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = x y,

Interpretimi gjeometrik i derivateve të pjesshme të një funksioni të dy ndryshoreve.

Merrni parasysh ekuacionin e sipërfaqes z = f(x,y) dhe vizatoni një aeroplan x = konst. Le të zgjedhim një pikë në vijën e kryqëzimit të rrafshit me sipërfaqen M (x, y). Nëse vendosni argumentin në rritje Δ në dhe konsideroni pikën T në kurbë me koordinata ( x, y+Δ y, z+Δy z), pastaj tangjentja e këndit të formuar nga sekanti MT me drejtim pozitiv të boshtit O në, do të jetë e barabartë me . Duke kaluar në kufirin në , marrim se derivati ​​i pjesshëm është i barabartë me tangjenten e këndit të formuar nga tangjentja me lakoren që rezulton në pikën M me drejtim pozitiv të boshtit O y. Prandaj, derivati ​​i pjesshëm është i barabartë me tangjenten e këndit me boshtin O X tangjente me lakoren që rezulton nga seksioni i sipërfaqes z = f(x,y) aeroplan y= konst.

Përkufizimi 2.1. Thirret rritja e plotë e funksionit u = f(x, y, z).

Përkufizimi 2.2. Nëse rritja e funksionit u \u003d f (x, y, z) në pikën (x 0, y 0, z 0) mund të përfaqësohet në formën (2.3), (2.4), atëherë funksioni quhet i diferencueshëm në këtë pikë, dhe shprehja quhet pjesa kryesore lineare e rritjes ose diferenciali total i funksionit në shqyrtim.

Shënimi: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

Ashtu si në rastin e një funksioni të një ndryshoreje, diferencialet e variablave të pavarur janë rritjet e tyre arbitrare, prandaj

Vërejtje 1. Pra, pohimi "funksioni është i diferencueshëm" nuk është i barabartë me pohimin "funksioni ka derivate të pjesshme" - diferencimi kërkon gjithashtu vazhdimësinë e këtyre derivateve në pikën në shqyrtim.

4. Plani tangjent dhe normal me sipërfaqen. Kuptimi gjeometrik i diferencialit.

Lëreni funksionin z = f(x, y)është i diferencueshëm në një lagje të pikës M (x 0, y 0). Atëherë derivatet e tij të pjesshme janë pjerrësia e tangjentëve në vijat e kryqëzimit të sipërfaqes z = f(x, y) me avionë y = y 0 dhe x = x 0, e cila do të jetë tangjente me vetë sipërfaqen z = f(x, y). Le të shkruajmë një ekuacion për rrafshin që kalon nëpër këto rreshta. Vektorët e drejtimit të tangjentave kanë formën (1; 0; ) dhe (0; 1; ), kështu që normalja në rrafsh mund të përfaqësohet si prodhimi i tyre vektor: n = (- ,- , 1). Prandaj, ekuacioni i rrafshit mund të shkruhet si:

ku z0 = .

Përkufizimi 4.1. Rrafshi i përcaktuar nga ekuacioni (4.1) quhet rrafshi tangjent në grafikun e funksionit z = f(x, y) në pikën me koordinata (x 0, y 0, z 0).

Nga formula (2.3) për rastin e dy variablave del se rritja e funksionit f në afërsi të pikës M mund të përfaqësohet si:

Prandaj, diferenca midis aplikimeve të grafikut të funksionit dhe planit tangjent është një rend infinit i vogël më i lartë se ρ, në ρ→ 0.

Në këtë rast, diferenciali i funksionit f duket si:

që korrespondon rritja e aplikimit të planit tangjent në grafikun e funksionit. Ky është kuptimi gjeometrik i diferencialit.

Përkufizimi 4.2. Vektor jozero pingul me planin tangjent në një pikë M (x 0, y 0) sipërfaqeve z = f(x, y), quhet normale në sipërfaqe në atë pikë.

Si normale për sipërfaqen në shqyrtim, është e përshtatshme të merret vektori - n = { , ,-1}.

Lëreni funksionin të përcaktohet në ndonjë domen (të hapur). D pikë
hapësirë ​​dimensionale, dhe
është një pikë në këtë zonë, d.m.th.
D.

Rritja e pjesshme e një funksioni shumë variabla për çdo variabël quhet rritja që do të marrë funksioni nëse i japim një rritje kësaj ndryshoreje, duke supozuar se të gjitha ndryshoret e tjera kanë vlera konstante.

Për shembull, rritja e pjesshme e një funksioni mbi një ndryshore do të jetë

Derivat i pjesshëm në lidhje me variablin e pavarur në pikën
nga funksioni quhet kufiri (nëse ekziston) i relacionit të rritjes së pjesshme
funksionet në rritje
e ndryshueshme duke u përpjekur
në zero:

Derivati ​​i pjesshëm shënohet me një nga simbolet:

;
.

Koment. Indeksi më poshtë në këtë shënim tregon vetëm se nga cili prej variablave është marrë derivati ​​dhe nuk lidhet me cilën pikë
llogaritet ky derivat.

Llogaritja e derivateve të pjesshme nuk është asgjë e re në krahasim me llogaritjen e derivatit të zakonshëm, vetëm duhet të mbahet mend se kur diferencohet një funksion në lidhje me çdo ndryshore, të gjitha variablat e tjerë merren si konstante. Le ta tregojmë këtë me shembuj.

Shembulli 1Gjeni derivatet e pjesshme të funksioneve
.

Zgjidhje. Kur njehsohet derivati ​​i pjesshëm i një funksioni
me argument konsideroni funksionin si funksion i vetëm një ndryshoreje , d.m.th. besoje ate ka një vlerë fikse. Në një fiks funksionin
është funksioni i fuqisë së argumentit . Sipas formulës për diferencimin e një funksioni fuqie, marrim:

Në mënyrë të ngjashme, gjatë llogaritjes së derivatit të pjesshëm supozojmë se vlera është fikse , dhe merrni parasysh funksionin
si funksion eksponencial i argumentit . Si rezultat, marrim:

Shembulli 2. Hgjeni derivatet e pjesshme dhe funksione
.

Zgjidhje. Gjatë llogaritjes së derivatit të pjesshëm në lidhje me funksioni i dhënë do ta konsiderojmë si funksion të një ndryshoreje , dhe shprehjet që përmbajnë , do të jenë faktorë konstant, d.m.th.
vepron si një faktor konstant me një funksion fuqie (
). Duke e diferencuar këtë shprehje në lidhje me , marrim:

.

Tani, përkundrazi, funksioni konsiderohet si funksion i një ndryshoreje , ndërsa shprehjet që përmbajnë , veprojnë si koeficient
(
).Diferencues sipas rregullave të diferencimit të funksioneve trigonometrike marrim:

Shembulli 3 Llogaritni derivatet e pjesshëm të një funksioni
në pikën
.

Zgjidhje. Ne fillimisht gjejmë derivatet e pjesshme të këtij funksioni në një pikë arbitrare
fusha e tij e përkufizimit. Gjatë llogaritjes së derivatit të pjesshëm në lidhje me besoje ate
janë të përhershme.

kur diferencohet nga do të jetë i përhershëm
:

dhe kur llogariten derivatet e pjesshme në lidhje me dhe nga , në mënyrë të ngjashme, do të jetë konstante, përkatësisht,
dhe
, d.m.th.:

Tani ne llogarisim vlerat e këtyre derivateve në pikë
, duke zëvendësuar vlerat specifike të variablave në shprehjet e tyre. Si rezultat, marrim:

11. Diferencialet e pjesshme dhe totale të një funksioni

Nëse tani në një rritje private
zbatoni teoremën e Lagranzhit në rritje të fundme në lidhje me një ndryshore , pastaj, duke numëruar të vazhdueshme, marrim marrëdhëniet e mëposhtme:

ku
,
është një sasi infinite e vogël.

Diferenciali i pjesshëm i një funksioni sipas ndryshores quhet pjesa kryesore lineare e rritjes së pjesshme
, e barabartë me produktin e derivatit të pjesshëm në lidhje me këtë ndryshore dhe rritjen e kësaj ndryshoreje, dhe shënohet

Natyrisht, diferenciali i pjesshëm ndryshon nga rritja e pjesshme me një rend më të lartë infinitimal.

Rritja e funksionit të plotë shumë ndryshore quhet rritja e saj, të cilën do ta marrë kur t'u japim një rritje të gjitha variablave të pavarur, d.m.th.

ku janë të gjithë
, varen dhe së bashku me to priren në zero.

Nën diferenciale të variablave të pavarur pranoi të thotë arbitrare rritjet
dhe etiketoni ato
. Kështu, shprehja e diferencialit të pjesshëm do të marrë formën:

Për shembull, një diferencial i pjesshëm në përkufizohet kështu:

.

diferencial i plotë
funksionet e shumë variablave quhet pjesa kryesore lineare e rritjes totale
e barabartë me, d.m.th. shuma e të gjitha diferencave të tij të pjesshme:

Nëse funksioni
ka derivate të pjesshme të vazhdueshme

në pikën
, pastaj ajo të diferencueshëm në një pikë të caktuar.

Për mjaftueshëm i vogël për një funksion të diferencueshëm
ka barazi të përafërta

,

të cilat mund të përdoren për llogaritjet e përafërta.

Shembulli 4Gjeni diferencialin e plotë të një funksioni
tre variabla
.

Zgjidhje. Para së gjithash, gjejmë derivatet e pjesshme:

Duke vënë në dukje se ato janë të vazhdueshme për të gjitha vlerat
, ne gjejme:

Për diferencialet e funksioneve të disa ndryshoreve, të gjitha teoremat mbi vetitë e diferencialeve janë të vërteta, të cilat janë vërtetuar për rastin e funksioneve të një ndryshoreje, për shembull: nëse dhe janë funksione të vazhdueshme të ndryshoreve
, të cilat kanë derivate të pjesshme të vazhdueshme në lidhje me të gjitha variablat, dhe dhe janë konstante arbitrare, atëherë:

(6)

transkript

1 LEKTURA N Diferenciale totale, derivate të pjesshme dhe diferenciale të rendit më të lartë Diferenciale totale Diferenciale parciale Derivatet e pjesshme të rendit të lartë Diferenciale të rendit të lartë 4 Derivatet e funksioneve komplekse 4 Diferenciali total Diferencialet e pjesshme Nëse një funksion z=f(,) është i diferencueshëm, atëherë totali i tij diferenciali dz është i barabartë me dz= a +B () z z z z, duke vënë në dukje se A=, B =, ne shkruajmë formulën () në formën e mëposhtme z z dz= + () E zgjerojmë konceptin e një diferenciali funksioni në ndryshore të pavarura, duke vendosur diferencialet e ndryshoreve të pavarura të barabarta me rritjet e tyre: d= ; d= Pas kësaj, formula për diferencialin total të funksionit do të marrë formën z z dz= d + d () d + d n variabla, pastaj du= d (d =) = Shprehja d z=f (,)d (4) quhet diferencial i pjesshëm i funksionit z=f(,) në lidhje me ndryshoren; shprehja d z=f (,)d (5) quhet diferencial i pjesshëm i funksionit z=f(,) në lidhje me ndryshoren Nga formula (), (4) dhe (5) rezulton se diferenciali total i një funksion është shuma e diferencialeve të tij të pjesshme: dz=d z+d z rritja z= z z + + α (,) + β (,) ndryshon nga pjesa e tij lineare dz= z z + vetëm nga shuma e termave të fundit α. + β, të cilat në 0 dhe 0 janë infinitimale më e lartë se termat e pjesës lineare Prandaj për dz 0, pjesa lineare e rritjes së funksionit të diferencueshëm quhet pjesa kryesore e rritjes së funksionit dhe formula e përafërt z. përdoret dz, e cila do të jetë sa më e saktë, aq më e vogël është vlera absolute e rritjeve të argumenteve,97 Shembull Llogaritni afërsisht arctg(),0

2 Zgjidhje Konsideroni funksionin f(,)=arctg() Duke përdorur formulën f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz, marrim arctg(+) arctg() + [ arctg() ] + [ arctg()] ose + + arctg() arctg() () + () Le =, =, pastaj =-0.0, =0.0 Prandaj, (0.0 0.0 arctg) arctg( ) + (0.0) 0,0 = arctan 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Mund të tregohet se gabimi që rezulton nga aplikimi i formulës së përafërt z dz nuk e kalon numrin = M (+), ku M është vlera më e madhe e vlerave absolute të derivateve të dytë të pjesshëm f (,), f (,), f (,) kur argumentet ndryshojnë nga + dhe nga në + Derivatet e pjesshëm të rendit më të lartë nëse funksioni u =f (, z) ka një derivat të pjesshëm në lidhje me një nga variablat në një fushë (të hapur) D, atëherë derivati ​​i gjetur, duke qenë vetë një funksion i z, nga ana tjetër, mund të ketë derivate të pjesshëm në një pikë (0, 0, z 0) në lidhje me të njëjtin ose ndonjë ndryshore tjetër Për funksionin origjinal u=f(, z), këto derivate do të jenë derivate të pjesshëm të rendit të dytë Nëse është marrë derivati ​​i parë, p.sh. ep, in, atëherë derivati ​​i tij në lidhje me, z shënohet si më poshtë: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; = ; = ose u, u, u z z z Derivatet e rendit të tretë, të katërt, e kështu me radhë përcaktohen në mënyrë të ngjashme.Vini re se derivati ​​i pjesshëm i rendit më të lartë merret në lidhje me ndryshore të ndryshme, për shembull, ; i quajtur derivat i pjesshëm i përzier Shembull u= 4 z, atëherë, u =4 z; u = 4z; u z = 4 z; u = z u=64z; uzz = 4; u = z u = z u z = 4 z; u z =8 z; u z =6 4 z; u z =6 4 z funksioni f(,) përcaktohet në një fushë (të hapur) D,) në këtë fushë ka derivatet e parë f dhe f, si dhe derivatet e dyta të përziera f dhe f, dhe së fundi,) këto derivate të fundit f dhe f, si funksione të u, janë të vazhdueshme në një pikë (0, 0) të rajonit D Pastaj në këtë pikë f (0, 0)=f (0, 0) Vërtetim Merrni parasysh shprehjen

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, ku janë jozero, për shembull, janë pozitive dhe, për më tepër, janë aq të vogla sa që D përmban i gjithë drejtkëndëshi [ 0, 0 +; 0, 0 +] 0 +) (, 0) ()= dhe prandaj i vazhdueshëm Me këtë funksion f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f ( 0, 0) shprehja W, e cila është e barabartë me W= mund të rishkruhet si: ϕ (0 +) ϕ (0) W= pra: W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 + θ)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Ne shohim se du është gjithashtu një funksion i, Nëse supozojmë ekzistencën e derivateve të vazhdueshme të pjesshme të rendit të dytë për u, atëherë du do të ketë derivate të vazhdueshme të pjesshme të rendit të parë dhe mund të flasim për diferencialin total të këtij diferenciali du , d(du), që quhet diferencial i rendit të dytë (ose diferencial i dytë) i u; shënohet me d u Theksojmë se rritjet d, d, d konsiderohen konstante dhe mbeten të njëjta kur lëvizim nga një diferencial në tjetrin (për më tepër, d, d do të jetë zero) Pra, d u=d(du)=d (d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d ose d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Në mënyrë të ngjashme, definohet diferenciali i rendit të tretë d u, e kështu me radhë. diferenciali i n-të është i garantuar, por shprehjet për to bëhen gjithnjë e më komplekse Mund të thjeshtojmë shënimin Le të nxjerrim shkronjën "u" në shprehjen e diferencialit të parë Më pas, shënimi do të jetë simbolik: du=(d + d + + d) u ; d u=(d + d + + d) u ; d n n u=(d + d + + d) u, që duhet kuptuar si më poshtë: së pari, "polinomi" në kllapa ngrihet zyrtarisht në një fuqi. sipas rregullave të algjebrës, atëherë të gjithë termat që rezultojnë "shumohen" me u (i cili shtohet në n në numëruesit në) , dhe vetëm pas kësaj të gjitha simbolet e kthejnë vlerën e tyre si derivate dhe diferenciale u d) d u në variablin t në një interval: =ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Le të, përveç kësaj, si t ndryshon, pikat (, z) nuk shkojnë përtej rajonit D Duke zëvendësuar vlerat dhe z në funksionin u, marrim një funksion kompleks: u=f(φ(t), ψ(t), λ(t)) Supozoni se u ka derivate të pjesshme të vazhdueshme u, u dhe u z në dhe z dhe se t, t dhe z t ekzistojnë Atëherë është e mundur të vërtetohet ekzistenca e një derivati ​​të një funksioni kompleks dhe ta llogarisim atë. , atëherë, dhe z do të marrin përkatësisht rritje, dhe z, funksioni u do të marrë një rritje u Le ta paraqesim rritjen e funksionit u në formën: (kjo mund të bëhet, pasi kemi supozuar ekzistencën e derivateve të pjesshme të vazhdueshme u, u dhe u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, ku α, β, χ 0 at, z 0 I ndajmë të dyja pjesë e barazisë në t, marrim u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t t 4

5 Tani le ta lëmë shtimin t t'i afrohet zeros: atëherë, z do të priret në zero, pasi funksionet z të t janë të vazhdueshme (supozuam ekzistencën e derivateve t, t, z t), dhe për këtë arsye, α, β, χ gjithashtu priren në zero Në kufi fitojmë u t =u t +u t +u z z t () Shohim se sipas supozimeve të bëra, derivati ​​i funksionit kompleks ekziston.Nëse përdorim shënimin diferencial, atëherë du d dz () do të duket si , z në disa ndryshore t: =ϕ(t, v), =ψ(t, v), z=χ(t, v) Përveç ekzistencës dhe vazhdimësisë së derivateve të pjesshëm të funksionit f(, z), ne supozojmë këtu ekzistencën e derivateve të funksioneve, z në lidhje me t dhe v Ky rast nuk ndryshon ndjeshëm nga ai i konsideruar tashmë, pasi kur llogaritim derivatin e pjesshëm të një funksioni të dy ndryshoreve, ne rregullojmë njërën nga variablat dhe ne janë lënë me një funksion të vetëm një ndryshoreje, formula () do të jetë e njëjtë z, dhe () duhet të rishkruhet si: = + + (a) t t z t z = + + (b) v v v z v Shembull u= ; =ϕ(t)=t ; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Funksionet e disa ndryshoreve Në shumë çështje të gjeometrisë së shkencave natyrore dhe disiplinave të tjera, duhet të trajtohen funksionet e dy tre ose më shumë ndryshoreve Shembuj: Sipërfaqja e një trekëndëshi S a h ku a është baza

13. Derivatet e pjesshme të rendit më të lartë Le = të ketë dhe të përkufizohet në D O. Funksionet dhe quhen edhe derivate të pjesshëm të rendit të parë të një funksioni ose derivate të parë të pjesshëm të një funksioni. dhe në përgjithësi

Zbatimi Përkufizimi i derivatit Le të jenë dhe vlerat e argumentit, dhe f) dhe f) - ((vlerat përkatëse të funksionit f () Diferenca quhet rritje e argumentit, dhe diferenca është rritja e funksionit në interval,

Ushtrim praktik DIFERENCIMI I NJË FUNKSIONI KOMPLEKS DHE IMPLICIT Diferencimi i një funksioni kompleks Diferencimi i një funksioni të nënkuptuar i dhënë nga një ekuacion Sistemet e të dhënave implicite dhe parametrike

FUNKSIONET E SHUMË NDRYSHOREVE Funksionet e një ndryshoreje të pavarur nuk mbulojnë të gjitha varësitë që ekzistojnë në natyrë. Prandaj, është e natyrshme të zgjerohet dhe të prezantohet koncepti i njohur i varësisë funksionale

6 Funksionet e nënkuptuara 6.1 Përkufizimet, sfondi

1. Konceptet bazë. Funksionet e disa variablave. Ne do të studiojmë funksionin e disa variablave duke përdorur shembuj të funksioneve të dy dhe tre ndryshoreve, pasi të gjitha këto përkufizime dhe rezultatet e marra

2.2.7. Zbatimi i diferencialit në llogaritjet e përafërta. Diferenciali i funksionit y = varet nga x dhe është pjesa kryesore e rritjes x. Ju gjithashtu mund të përdorni formulën: dy d Pastaj gabimi absolut:

Leksioni 9. Derivatet dhe diferencialet e rendit më të lartë, vetitë e tyre. Pikat ekstreme të funksionit. Teorema e Fermatit dhe e Rolit. Le të jetë funksioni y i diferencueshëm në një segment [b]. Në këtë rast, derivati ​​i tij

5 Pika në të cilën F F F ose të paktën një prej këtyre derivateve nuk ekziston quhet pikë singulare e sipërfaqes.Në një pikë të tillë, sipërfaqja mund të mos ketë një plan tangjent Përkufizimi Normal me sipërfaqen

INTEGRALI I PËRKUFIZUAR. Shumat integrale dhe integrali i caktuar Le të jetë një funksion y = f () i përcaktuar në segmentin [, b ], ku< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

EKUACIONET E ZAKONSHME DIFERENCIALE TË RENDIT TË PARË Konceptet themelore Një ekuacion diferencial është një ekuacion në të cilin një funksion i panjohur hyn nën shenjën derivatore ose diferenciale.

6. Diferenciali i një funksioni 1. Përkufizimi dhe kuptimi gjeometrik PËRKUFIZIM. Një funksion y = f(x) quhet i diferencueshëm në një pikë x 0 nëse rritja e tij në këtë pikë mund të shkruhet si shuma e një lineare

Leksione Kapitulli Funksionet e disa ndryshoreve Konceptet themelore Disa funksione të disa ndryshoreve janë të njohura. Le të japim disa shembuj Për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi, dihet formula S e Heronit

~ 1 ~ FUNKSIONI I SHUMË NDRYSHOREVE 3 Funksioni i dy variablave, fusha e përkufizimit, mënyrat e specifikimit dhe kuptimi gjeometrik. Përkufizimi: z f, quhet funksion i dy ndryshoreve, nëse çdo çift vlerash,

Ekuacionet diferenciale të rendit të parë të zgjidhura në lidhje me derivatin Ekzistenca dhe teorema unike për një zgjidhje Në rastin e përgjithshëm, një ekuacion diferencial i rendit të parë ka formën F ()

Leksioni 3 Ekstremumi i një funksioni të disa variablave Le të përcaktohet një funksion i disa ndryshoreve u = f (x, x) në domenin D, dhe pika x (x, x) = i përket këtij domeni. Funksioni u = f ( x, x) ka

Tema e modulit Sekuencat dhe seritë e funksionit Vetitë e konvergjencës uniforme të sekuencave dhe serive Seritë e fuqisë Leksion Përkufizimet e sekuencave dhe serive të funksioneve Në mënyrë të njëtrajtshme

9 Derivati ​​dhe diferenciali 91 Formulat dhe përkufizimet bazë për zgjidhjen e problemeve Përkufizim Le të përcaktohet funksioni y f () në ndonjë f (Δ) f () Δy fqinjësi të pikës Kufiri i relacionit për Δ Δ Δ, nëse

1 Tema 1. Ekuacionet diferenciale të rendit të parë 1.0. Përkufizime dhe teorema bazë Ekuacioni diferencial i rendit të parë: ndryshore e pavarur; y = y() është funksioni i dëshiruar; y = y () derivati ​​i tij.

Leksioni 8 Diferencimi i një funksioni kompleks Merrni parasysh një funksion kompleks t t f ku ϕ t t t t t t f t t t t t t t t t

UNIVERSITETI TEKNIK SHTETËROR I AVIACIONIT CIVIL TË MOSKËS V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov

II EKUACIONET DIFERENCIALE Ekuacione diferenciale të rendit të parë Përkufizimi Marrëdhëniet në të cilat ndryshoret e panjohura dhe funksionet e tyre janë nën shenjën derivatore ose diferenciale quhen

6 Probleme që çojnë në konceptin e një derivati ​​Lëreni një pikë materiale të lëvizë në një vijë të drejtë në një drejtim sipas ligjit s f (t), ku t është koha dhe s është rruga e përshkuar nga pika në kohë t Shënoni një moment të caktuar

Leksioni 3. Integrali i pacaktuar. Integrali antiderivativ dhe i pacaktuar Në njehsimin diferencial, problemi zgjidhet: për një funksion të caktuar f () gjeni derivatin (ose diferencialin) e tij. Njehsimi integral

1 Leksion 7 Derivatet dhe diferencialet e rendit më të lartë Abstrakt: Prezantohet koncepti i një funksioni të diferencueshëm, jepet një interpretim gjeometrik i diferencialit të parë dhe vërtetohet pandryshueshmëria e tij.

Funksionet e disa argumenteve Koncepti i një funksioni për secilin element x nga bashkësia X sipas një ligji y \u003d f (x) shoqërohet me një vlerë të vetme të ndryshores y nga grupi Y në secilën palë numrash

Përpiluar nga VPBelkin 1 Leksion 1 Funksioni i disa variablave 1 Konceptet themelore Varësia \u003d f (1, n) e një ndryshoreje nga variablat 1, n quhet funksion i n argumenteve 1, n Në vijim do të shqyrtojmë

EKUACIONET DIFERENCIALE Koncepte të përgjithshme Ekuacionet diferenciale kanë aplikime të shumta dhe shumë të ndryshme në mekanikë, fizikë, astronomi, teknologji dhe në degë të tjera të matematikës së lartë (për shembull,

I Përkufizimi i një funksioni të disa ndryshoreve Fusha e përkufizimit Kur studiohen shumë dukuri, duhet të trajtohen funksionet e dy ose më shumë ndryshoreve të pavarura, për shembull, temperatura e trupit në një moment të caktuar.

Leksioni 8 Teoremat e Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange dhe L'Hospital

SA Lavrenchenko wwwlawrencenkoru Leksion 4 Diferencimi i funksioneve komplekse Diferencimi i nënkuptuar Kujtoni rregullin e diferencimit për funksionet e një ndryshoreje, i quajtur gjithashtu rregulli i zinxhirit (shih

Seksioni Llogaritja diferenciale e funksioneve të një dhe disa ndryshoreve Funksioni i argumentit real Numrat realë Numrat e plotë pozitivë quhen numra natyrorë Shtoni numrat natyrorë

Workshop: "Diferencibiliteti dhe diferenciali i një funksioni" Nëse funksioni y f () ka një derivat të fundëm në një pikë, atëherë rritja e funksionit në këtë pikë mund të përfaqësohet si: y (,) f () () () ku

Leksion Ekuacionet diferenciale të rendit të th Llojet kryesore të ekuacioneve diferenciale të rendit të th dhe zgjidhja e tyre Ekuacionet diferenciale janë një nga mjetet më të zakonshme të matematikës.

TEMA 1 FUNKSIONI DERIVATIV FUNKSIONI DIFERENCIAL PYETJE PROGRAMIKE: 11 Lidhja funksionale Kufiri i funksionit 1 Derivati ​​i funksionit 1 Kuptimi mekanik fizik dhe gjeometrik i derivatit 14 Themelore

M I N I S T E R S T O E D U R A O V A N I A I A N A U K I R O S I O Y F E D E R A T I O N INSTITUCIONI ARSIMOR AUTONOM SHTETËROR FEDERAL I ARSIMIT TË LARTË "Kërkime Kombëtare

DISIPLINË Lënda "Matematika e Lartë", semestri Forma e studimit me korrespondencë TEMA Matrica Algjebra

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin Diferencimi i funksioneve të disa variablave. Diferencimi i një funksioni në një pikë. Kushtet e mjaftueshme për diferencim përsa i përket derivateve të pjesshme. Diferencimi kompleks

Kapitulli 4 Limiti i një Funksioni 4 1 KONCEPTI I KUFIZIMIT TË NJË FUNKSIONI Ky kapitull fokusohet në konceptin e kufirit të një funksioni. Përcaktoi se cili është kufiri i një funksioni në pafundësi, dhe më pas kufiri në një pikë, kufijtë

LEKTURA 23 SHNDËRRIMET KANONIKE. TEOREMA E LIOUVILLE MBI RUAJTJEN E VËLLIMIT TË FAZËS. FUNKSIONI GJENERUES I TRANSFORMIMIT TË FALAS Ne vazhdojmë të studiojmë transformimet kanonike. Le të kujtojmë së pari kryesoren

Departamenti i Matematikës dhe Informatikës Analiza matematikore Kompleksi arsimor dhe metodologjik për studentët e HPE që studiojnë me përdorimin e teknologjive në distancë Moduli 3 Llogaritja diferenciale e funksioneve të një

55 është në një vlerë pafundësisht të vogël të një rendi më të lartë të vogëlsisë në krahasim me ρ n (,), ku ρ () + (), atëherë mund të përfaqësohet në formën Peano n R, ρ Shembull Shkruani formulën e Taylor për n me

Tema Integral i caktuar Integral i caktuar Probleme që çojnë në konceptin e një integrali të caktuar Problemi i llogaritjes së sipërfaqes së një trapezi lakor Në sistemin koordinativ Oxy, jepet një trapezoid lakor,

5 Seritë e fuqisë 5 Seritë e fuqisë: përkufizimi, domeni i konvergjencës Seritë funksionale të formës (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) numrat quhen seri fuqie Numrat

Seritë numerike Sekuenca numerike Opr Një sekuencë numerike është një funksion numerik i përcaktuar në bashkësinë e numrave natyrorë x - një anëtar i përbashkët i sekuencës x =, x =, x =, x =,

Ligjërata e ekuacioneve diferenciale 4 Ekuacionet në diferencialet totale. Faktori integrues Ligjërues Anna Igorevna Sherstneva 9. Ekuacionet në diferencialet totale Ekuacioni d + d = 14 quhet ekuacion

Fakulteti i Metalurgjisë Departamenti i Matematikës së Lartë

Analiza matematikore Seksioni: Funksioni i disa variablave Tema: Diferencimi i FNP (fund. Derivatet e pjesshme dhe diferencialet e FNP komplekse. Diferencimi i funksioneve implicite Ligjerues Rozhkova S.V.

(Teorema e Fermatit - Teorema e Darboux - Teorema e Rolit - Teorema e Lagranzhit - Teorema e vlerës mesatare - interpretimi gjeometrik i teoremës së vlerës mesatare - Teorema e Cauchy - formula e rritjes së fundme - Rregulli i L'Hopital

Kapitulli 4 Teoremat themelore të njehsimit diferencial Zbulimi i pasigurive Teoremat themelore të llogaritjes diferenciale Teorema e Fermatit (Pierre Fermat (6-665) Matematikan francez) Nëse funksioni y f

LEKTURA 7 LLOGARITJA DIFERENCIALE E NJË FUNKSIONI TË NJË VARIABLE 1 Koncepti i një derivati ​​të një funksioni

Ministria e Arsimit e Republikës së Bjellorusisë Universiteti Shtetëror Teknologjik Vitebsk Tema. "Rreshtat" Departamenti i Matematikës Teorike dhe të Aplikuar. zhvilluar nga Assoc. E.B. Dunina. Kryesor

Leksioni 3 Seritë Taylor dhe Maclaurin Zbatimi i serive të fuqisë Zgjerimi i funksioneve në seritë e fuqisë Taylor dhe Maclaurin Për aplikime, është e rëndësishme të jeni në gjendje të zgjeroni një funksion të caktuar në një seri fuqie, ato funksione

58 Integral i caktuar Le të jepet funksioni () në interval.Ne do ta konsiderojmë funksionin të vazhdueshëm, edhe pse kjo nuk është e nevojshme.Ne zgjedhim numra arbitrar në intervalin, 3, n-, duke plotësuar kushtin:

Ekuacione diferenciale të rendit më të lartë. Konev V.V. Përvijimet e ligjëratës. Përmbajtja 1. Konceptet bazë 1 2. Ekuacionet që lejojnë reduktimin e rendit 2 3. Ekuacionet diferenciale lineare të rendit më të lartë

Leksioni 20 TEOREMA MBI DERIVATIN E NJË FUNKSIONI KOMPLEKS. Le të jetë y = f(u) dhe u= u(x). Ne marrim një funksion y në varësi të argumentit x: y = f(u(x)). Funksioni i fundit quhet funksion i një funksioni ose një funksion kompleks.

Diferencimi i një funksioni të nënkuptuar Merrni parasysh funksionin (,) = C (C = konst) Ky ekuacion përcakton një funksion të nënkuptuar () Supozoni se e kemi zgjidhur këtë ekuacion dhe kemi gjetur një shprehje eksplicite = () Tani mund të

Instituti i Aviacionit në Moskë (Universiteti Kombëtar i Kërkimeve) Departamenti i Matematikës së Lartë Limitet Derivatet Funksionet e disa variablave Udhëzimet dhe opsionet e kontrollit

PUNË LABORATORIKE 7 FUNKSIONET E PËRGJITHSHME I. KONCEPTET THEMELORE DHE TEOREMAT Shënoni me D bashkësinë e të gjitha funksioneve të fundme pafundësisht të diferencueshme të një ndryshoreje reale. atë

Kapitulli 3. Hetimi i funksioneve me ndihmën e derivateve 3.1. Ekstremimet dhe monotonia Konsideroni një funksion y = f () të përcaktuar në një interval I R. Thuhet se ai ka një maksimum lokal në pikën

Universiteti Teknik Shtetëror i Moskës me emrin N.E. Bauman Fakulteti i Shkencave Themelore Departamenti i Modelimit Matematik А.Н. Kanatnikov,

Udhëzimet dhe variantet e RGR mbi temën Funksioni i disa variablave për studentët e specialitetit Dizajn. Nëse sasia përcaktohet në mënyrë unike duke vendosur vlerat e sasive dhe të pavarura nga njëra-tjetra,

Universiteti Teknik Shtetëror i Moskës me emrin N.E. Bauman Fakulteti i Shkencave Themelore Departamenti i Modelimit Matematik А.Н. Kanatnikov, A.P. Kryshenko

UDHËZIME METODOLOGJIKE PËR DETYRA LLOGARITJE TË LËNDËS SË MATEMATIKËS SË LARTË "EKUACIONET E ZAKONSHME DIFERENCIALE SERIA INTEGRALET E DYFISHTE" PJESA III SERIA TEMATIVE Përmbajtja Seritë Seritë numerike Konvergjenca dhe diferenca

Kufiri i funksionit. Përkufizimi i kufirit të sekuencës së numrave. Një sekuencë numerike e pafundme (ose thjesht një sekuencë numerike) është një funksion f f (, i përcaktuar në grupin e të gjithëve

Leksioni 19 DERIVATI DHE ZBATIMET E TIJ. PËRKUFIZIMI I DERIVATIT. Le të kemi një funksion y=f(x) të përcaktuar në një interval. Për çdo vlerë të argumentit x nga ky interval, funksioni y=f(x)

Llogaritja diferenciale e funksioneve të disa ndryshoreve Funksionet e disa variablave Një sasi quhet funksion i ndryshoreve n nëse çdo pikë M n që i përket një grupi X është caktuar

LEKTURA N 7 .Fuqia

Leksioni 3 Teorema e ekzistencës dhe unike për një zgjidhje të një ekuacioni skalar Paraqitja e problemit Rezultati kryesor Merrni parasysh problemin Cauchy d f () d =, () =

Agjencia Federale e Arsimit Universiteti Shtetëror i Gjeodezisë dhe Hartografisë në Moskë (MIIGAiK) UDHËZIME METODOLOGJIKE DHE DETYRA PËR PUNË TË PAVARUR në lëndën MATEMATIKA E LARTË