Rregullat e diferencimit TEOREMA 1. Diferencimi i shumës, prodhimit dhe koeficientit. Nëse funksionet f dhe g janë të diferencueshëm në një pikë x, atëherë f + g, f g, f /g janë të diferencueshëm në këtë pikë (nëse g(x) 0) dhe, për më tepër, Le të jetë y = f g. 1) (f (x) + g (x)) "= f" (x) + g "(x); 2) (f (x) g (x))" = f "(x) g (x) + f(x)g "(x); Dëshmi. Paraqesim vërtetimin e vetive 2. f = f (x + x) – f(x) f (x + x) = f(x) + f ; g \u003d g (x + x) - g (x) g (x + x) \u003d g (x) + g. g "(x) f" (x) 0 në x 0 (Për shkak të funksionit diferencial të nënkuptuar.)

TEOREMA 2. Diferencimi funksion kompleks Le të jetë funksioni y = f(u) i diferencueshëm në pikën u 0, y 0 = f(u 0), dhe funksioni u = (x) të jetë i diferencueshëm në pikën x 0, u 0 = (x 0). Atëherë funksioni kompleks y \u003d f ((x)) është i diferencueshëm në pikën x 0 dhe f "((x 0)) \u003d f" (u 0) "(x 0) ose SHËNIM. Rregulli për llogaritjen e derivati ​​i një funksioni kompleks shtrihet në përbërjen e çdo numri të fundëm funksionesh. Për shembull: (f ((g (x))))" = f "((g (x))) "(g (x)) g " (x). Përfundim. Nëse f (x) është i diferencueshëm në pikën x dhe C \u003d konst, atëherë (C f (x))" \u003d C f "(x); (f (x) / C) " \u003d f "(x) / C.

Shembulli 1. y \u003d cosx, x R. (cosx) \u003d (sin (/ 2 - x)) \u003d cos (/ 2 - x) (/ 2 - x) \u003d - sinx. y = tgx, x /2 + k, k Z. Duke përdorur teoremat 1 dhe 2, gjejmë derivatet funksionet trigonometrike y = ctgx, x + k, k Z.

TEOREMA 3. Diferencimi i funksionit të anasjelltë. Nëse y \u003d f (x) është i vazhdueshëm dhe rreptësisht monoton në segment dhe ka një derivat f "(x 0), atëherë funksioni i kundërt me të x \u003d g (y) është i diferencueshëm në pikën y 0 \u003d f (x 0), dhe g "( y 0) \u003d 1/ f "(x 0). x0x0 x 0 - x 0 + y0y0 x y x y \u003d f (x) x \u003d g (y) Le të jetë y e tillë që y 0 + y (,) Shënoni x = g(y 0 + y) - g(y 0) Është e nevojshme të vërtetohet se ekziston 0 Vërtetim Le të rritet rreptësisht f(x) me .Le = f(x 0 -) , = f(x 0 +) Pastaj në [,] përkufizohet funksioni i anasjelltë x = g(y), i vazhdueshëm dhe rreptësisht në rritje, dhe f(x 0) (,). y, atëherë edhe x, pasi x = g(y) është e vazhdueshme në y 0.

Shembulli 2. Gjeni derivatet e funksioneve trigonometrike të anasjellta

0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; katër). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title="(!LANG: Tabela e derivateve funksionet elementare 1)(C)´= 0, C = konst; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; katër). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "class="link_thumb"> 8 Tabela e derivateve të funksioneve elementare 1)(С)´= 0, C = konst; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; katër). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) \u003d 1 / cos 2 x, x π / 2 + πn, n; 8) (ctg x) \u003d - 1 / sin 2 x, x πn, n; 9)10) 11)12) 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; katër). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R ; (e x)´ = e x, x R; 4) 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, x π / 2 + πn, n; 8) (ctg x) \u003d - 1 / sin 2 x, x πn, n; 9) 10) 11) 12) "\u003e 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; katër). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "title="(!LANG: Tabela e derivateve të funksioneve elementare 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; katër). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7) (tg x) = 1/ cos 2"> title="Tabela e derivateve të funksioneve elementare 1)(С)´= 0, C = konst; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; katër). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7) (tg x) = 1/ cos 2"> !}

Derivat i rendit të n-të PËRKUFIZIM. Le të përcaktohet f(x) në U (x 0) dhe të ketë një derivat f (x) në çdo pikë të këtij intervali. Nëse në pikën x 0 ka një derivat të f (x), atëherë ai quhet derivat i dytë i funksionit f (x) në këtë pikë dhe shënohet.Në mënyrë të ngjashme, derivati ​​f (n) (x) i ndonjë renditi n \u003d 1, 2, ... Nëse në U (x 0) ekziston f (n-1) (x) (në këtë rast, derivati ​​i rendit zero nënkupton vetë funksionin), atëherë n = 1, 2 , 3, .... Një funksion që ka derivate deri në rendin e n-të përfshirës në secilën pikë të grupit X quhet n herë i diferencueshëm në bashkësinë X.

Le të kenë funksionet f(x) dhe g(x) derivate të rendit të n-të në pikën x. Atëherë funksioni Аf(x) + Вg(x), ku А dhe В janë konstante, gjithashtu ka një derivat në pikën x, dhe (Аf(x) + Вg(x)) (n) = Аf (n) ( x) + Вg (n)(x). Gjatë llogaritjes së derivateve të çdo rendi, shpesh përdoren formulat themelore të mëposhtme. y=x; y (n) = (-1)… (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1)(-2) x -3 ... Në veçanti, nëse = m N, atëherë y = a x; y (n) = a x (lna) n. y \u003d a x lna, y \u003d a x (lna) 2, y \u003d a x (lna) 3, ... Në veçanti, (e x) (n) \u003d e x. y "= ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3, y """ = (x + a) - 4, ...

Y = ln(x+a); y (n) \u003d (-1) n-1 (n-1)!(x + a) -n. y \u003d (x + a) -1, y \u003d - (x + a) -2, y \u003d 2 (x + a) -3, y (4) \u003d - 2 3 (x + a) - 4, ... y = sinαx; y (n) = α n sin(αx+n /2) y = α cos αx = α sin(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+ /2) = α 2 sin(αx+2 / 2) , y = α 3 cos(αx + 2 /2) = α 3 sin(αx+3 /2), … y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n /2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+ /2) = α 2 cos(αx + 2 / 2), y = – α 3 sin(αx+2 /2) = α 3 cos(αx + 3 /2),...

Derivati ​​N-të i produktit të dy funksioneve (formula e Leibniz-it) ku Kjo formulë quhet formula e Leibniz-it. Mund të shkruhet në formën ku Le të kenë funksionet f(x) dhe g(x) derivate të rendit të n-të në pikën x. Me induksion, mund të vërtetojmë se (f(x) g(x)) (n) = ?
Shembulli 5. y \u003d (x 2 + 3x + 5) sin x, y (13) \u003d? = sin(x +13π /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12π /2) (2x+3) + 78 sin (x +11π /2) 2 = = cos x (x 2 +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) sin x. Ne aplikojmë formulën Leibniz, duke vendosur në të f (x) \u003d sin x, g (x) \u003d (x 2 + 3x + 5). Pastaj

Për të përdorur pamjen paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari (llogari) Google dhe regjistrohuni: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjeve:

Derivatet e funksioneve elementare. Mësimi i përgjithësimit të përsëritjes Klasa 11 Kruglova A.N., mësuese matematike, shkolla e mesme nr. 186

Objektivat e mësimit 1. Përgjithësoni dhe konsolidoni konceptin e një derivati. 2. Përsëritni konceptin e kufirit të një funksioni dhe vazhdimësinë e tij, konceptin e një derivati. 3. Përsëritni rregullat e diferencimit, derivatet e fuqisë dhe disa funksione elementare. 4. Zbatoni këto njohuri në diferencim. 5. Zbatimi i mënyrës individuale të funksionimit.

Referenca e historisë. Termi "funksion" u përdor për herë të parë në 1692 nga matematikani gjerman G. Leibniz. Në 1748 L. Euler përcaktoi funksionin dhe prezantoi simbolin f(x). Në 1834, N.I. Lobachevsky dha një përkufizim të një funksioni bazuar në idenë e korrespondencës midis dy grupeve numerike. Në 1837, matematikani gjerman P. Dirichlet formuloi konceptin e përgjithësuar të një funksioni: “y është një funksion i ndryshores x në segment nëse secila vlerë e x korrespondon me një vlerë të caktuar të y, dhe nuk ka rëndësi se si kjo korrespondenca krijohet - me një formulë, grafik, tabelë ose përshkrim verbal ". Përkufizimi i parë i kufirit u dha nga matematikani anglez D. Vallis (1616-1703). Metoda e kufijve u zhvillua në veprat e shkencëtarit anglez I. Newton (1643-1727), ai gjithashtu prezantoi simbolin lim. Një kontribut të rëndësishëm në zhvillimin e llogaritjes diferenciale dhanë shkencëtarët francezë P. Fermat (1601-1665) dhe R. Descartes (1596-1650). Njutoni erdhi në konceptin e një derivati ​​duke zgjidhur probleme në mekanikë që lidhen me gjetjen e shpejtësisë së menjëhershme. Termi "derivativ" u prezantua në vitin 1800 nga matematikani francez L. Arbogast (1759-1803). Shënimi për derivatin y’ dhe f(x)’ u prezantua nga matematikani francez J. Lagrange (1736-1813). Një përafrim thelbësor i teorisë së llogaritjes diferenciale me të prezantim modern filloi punën e matematikanit francez O. Cauchy (1789-1857).

Kufiri i funksionit. Ndërtoni grafikët e funksioneve 1) y \u003d x + 1 2) x ² - 1 x - 1 për x 1 y \u003d 3 për x \u003d 1 3) y \u003d (x ² - 1): (x - 1) Përgjigjuni pyetjeve a) Çfarë janë grafikët e funksionit? Drejtëza b) Në cilat pika të boshteve koordinative kalojnë grafikët? (0;1) dhe (-1;0) c) Cili është ndryshimi midis grafikëve? Grafikët e dytë dhe të tretë me një pikë "të shpuar" (1; 2), por në grafikun e dytë për x = 1, vlera e funksionit është 3.

Grafikët e funksioneve. y y y x x x 1 2 3

konkluzioni Pronë e përgjithshme funksionet për vlerat x afër 1? Vlerat e secilit prej funksioneve ndryshojnë pak nga 2. Prandaj, secili prej këtyre funksioneve ka një kufi të barabartë me 2 në pikën x = 1. Si ta shkruajmë këtë? Megjithatë, për funksionin e parë lim y(x) = y(1) = 2 Për funksionin e dytë lim y(x) ≠ y(1) , për funksionin e tretë y(1) nuk ekziston. Funksioni i parë quhet i vazhdueshëm, dhe funksioni i dytë dhe i tretë quhen të ndërprerë në pikën x = 1. lim y(x) = 2 x 1

Përkufizimi i derivatit Derivati ​​i funksionit f (x) në pikën x 0 quhet kufiri i relacionit të diferencës f (x 0 + h) - f (x 0) h për h → 0: ƒ'(x 0 ) = lim Veprimi i gjetjes së derivatit quhet diferencim. 0h

Derivat i fuqisë dhe disa funksione elementare. (Gjeni vazhdimin e formulave në anën e djathtë) (xⁿ) " = 1 2 3 4 5 6 () ' = 1 2 3 4 5 6 3. (ln x)' = 1 2 3 4 5 6 4. ( sin x) ' = 1 2 3 4 5 6 (cos x)' = 1 2 3 4 5 6 Vazhdo = cos x = - sin x = = tg x = 1/x = nx ⁿˉ¹

Zgjidh shembuj 1) (x ³)' = 2) (2 x)' = 3) ()' = 4) (lnx)' = 5) (-4 lnx)' = 6) (3)' = 7) ( 5 cosx)' = 8) (0,3 sinx)' = 3x ² 2 - 10 x ˉ ³ 1 / x - 4 / x 3 e - 5 sinx 0,3 cosx

Rregullat e diferencimit. Derivati ​​i shumës (f(x) + g(x))' = f'(x) – g'(x) = f'(x) + g'(x) = f'(x) * g'( x) Faktori konstant (cf(x))' = = c + f'(x) = f'(x) – c = cf'(x) Derivati ​​i produktit (f(x) g(x))' = f' (x) g(x) + f(x) g'(x) = f'(x) g'(x) = f'(x) g(x) g(x))' = f'( x)/g'(x) = (f'(x) g(x) - f(x) g'(x)) / g²(x) = f' (x) g(x) – f(x) g'(x) Le të vazhdojmë mësimin.

rrëshqitje 1

rrëshqitje 2

rrëshqitje 3

rrëshqitje 4

rrëshqitje 5

rrëshqitje 6

Rrëshqitja 7

Rrëshqitja 8

Rrëshqitja 9

rrëshqitje 10

rrëshqitje 11

rrëshqitje 12

rrëshqitje 13

DERIVATIV

MOU Shkolla e mesme Srednesantimirskaya

Bërë nga një mësues matematike

Singatullova G.Sh.

• Përkufizimi i një derivati.
• kuptimi fizik derivatore.
• .

• Rregullat themelore të diferencimit.
• Derivat i një funksioni kompleks.
• Shembuj të zgjidhjes së problemeve në derivatin e temës.

Përkufizimi derivat

Le të jetë në një interval (a, b) funksioni y= f(x). Merrni çdo pikë x 0 nga ky interval dhe vendosni argumentin x në pikën x 0 në një rritje arbitrare ∆ x të tillë që pika x 0 + ∆ x t'i përkasë këtij intervali. Funksioni do të rritet

derivatore funksionet y= f(x) në pikën x \u003d x 0 quhet kufiri i raportit të rritjes së funksionit ∆y në këtë pikë me rritjen e argumentit ∆x, pasi rritja e argumentit tenton në zero.

Kuptimi gjeometrik i derivatit

Le të jetë funksioni y= f(x)është përcaktuar në një interval (a, b). Pastaj tangjentja e pjerrësisë së MP sekantës në grafikun e funksionit.

Ku  është pjerrësia e funksionit tangjente f(x) në pikën (x 0, f(x 0)).

Këndi midis kthesave mund të përkufizohet si këndi midis tangjenteve të tërhequra në këto kthesa në një pikë.

Ekuacioni i një tangjente në një kurbë:

Kuptimi fizik i derivatit 1. Problemi i përcaktimit të shpejtësisë së lëvizjes së një grimce materiale

Lëreni një pikë të lëvizë përgjatë një vije të drejtë sipas ligjit s= s(t), ku s është distanca e përshkuar, t është koha dhe është e nevojshme të gjendet shpejtësia e pikës në momentin t 0 .

Në kohën t 0, distanca e përshkuar është e barabartë me s 0 = s(t 0), dhe në kohën (t 0 + ∆t) - rruga s 0 + ∆s=s(t 0 + ∆t).

Pastaj, mbi intervalin ∆t, shpejtësia mesatare do të jetë

Sa më i vogël ∆t, aq më mirë shpejtësia mesatare karakterizon lëvizjen e një pike në momentin t 0 . Prandaj, nën shpejtësia e pikës në momentin t 0 duhet kuptuar kufiri i shpejtësisë mesatare për intervalin nga t 0 në t 0 +∆t, kur ∆t⇾0 , d.m.th.

2. PROBLEMI I SHPEJTËSISË SË KIMIKE REAKSIONET

Lëreni një substancë të hyjë në një reaksion kimik. Sasia e kësaj lënde Q ndryshon gjatë reaksionit në varësi të kohës t dhe është funksion i kohës. Le të ndryshojë sasia e substancës me ∆Q gjatë kohës ∆t, atëherë raporti do të shprehet Shpejtësia mesatare reaksion kimik me kalimin e kohës ∆t, dhe kufirin e këtij raporti

Shpejtësia aktuale e një reaksioni kimik

koha t.

3. NJË DETYRË PËRCAKTIMET E SHKALLËS SË SHKERBJES RADIOAKTIVE

Nëse m është masa e lëndës radioaktive dhe t është koha, atëherë dukuria e zbërthimit radioaktiv në kohën t, me kusht që masa e lëndës radioaktive të zvogëlohet me kalimin e kohës, karakterizohet me funksionin m = m(t).

Shkalla mesatare e zbërthimit me kalimin e kohës ∆t shprehet me raportin

dhe shkalla e zbërthimit të menjëhershëm në kohën t

ALGORITMI për llogaritjen e derivatit

Derivati ​​i funksionit y= f(x) mund të gjendet si më poshtë:

1. Të shtojmë ∆x≠0 në argumentin x dhe të gjejmë vlerën e grumbulluar të funksionit y+∆y= f(x+∆x).

2. Gjeni shtimin e funksionit ∆y= f(x+∆x) - f(x).

3. Ne bëjmë një marrëdhënie

4. Gjeni kufirin e këtij raporti në ∆x⇾0, d.m.th.

(nëse ekziston ky kufi).

Rregullat themelore të diferencimit

Le u=u(x) dhe v=v(x) - funksionet e diferencueshme në pikën x.

1) (u  v)  =u   v 

2) (UV)  =u  v+uv 

(cu)  = cu 

3) , nëse v  0

Derivat i një funksioni kompleks

Teorema. Nëse funksioni është i diferencueshëm në një pikë x dhe funksioni

është i diferencueshëm në pikën përkatëse, atëherë funksioni kompleks është i diferencueshëm në pikën x dhe:

ato. derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të funksionit në lidhje me argumentin e ndërmjetëm nga derivati ​​i argumentit të ndërmjetëm në lidhje me x.

Detyra 1.

Detyra 2 .

Detyra 3 .

Detyra 4 .

Detyra 5 .

Detyra 6 .

Detyra 7 .

Detyra 8 .