Ky artikull i kushtohet studimit të temës " Numrat racionalë Më poshtë janë përkufizimet e numrave racionalë, jepen shembuj dhe si të përcaktohet nëse një numër është racional apo jo.

Numrat racionalë. Përkufizimet

Para se të japim një përkufizim të numrave racionalë, le të kujtojmë se cilat janë grupet e tjera të numrave dhe si lidhen ato me njëri-tjetrin.

Numrat natyrorë, së bashku me të kundërtat e tyre dhe numrin zero, formojnë një grup numrash të plotë. Nga ana tjetër, bashkësia e numrave thyesorë të plotë formon bashkësinë e numrave racionalë.

Përkufizimi 1. Numrat racionalë

Numrat racional janë numra që mund të paraqiten si një thyesë e përbashkët pozitive a b, një thyesë e zakonshme negative a b ose numri zero.

Kështu, ne mund të lëmë një numër karakteristikash të numrave racionalë:

1. Çdo numër natyror është një numër racional. Natyrisht, çdo numër natyror n mund të përfaqësohet si një thyesë 1 n .
2. Çdo numër i plotë, duke përfshirë numrin 0, është një numër racional. Në të vërtetë, çdo numër i plotë pozitiv dhe numër i plotë negativ mund të përfaqësohen lehtësisht si një fraksion i përbashkët pozitiv ose negativ, përkatësisht. Për shembull, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
3. Çdo thyesë e përbashkët pozitive ose negative a b është një numër racional. Kjo rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i mësipërm.
4. Çdo numër i përzierështë racionale. Në të vërtetë, në fund të fundit, një numër i përzier mund të përfaqësohet si një fraksion i zakonshëm i papërshtatshëm.
5. Çdo thyesë dhjetore e fundme ose periodike mund të paraqitet si një thyesë e zakonshme. Prandaj, çdo periodike ose e fundme dhjetoreështë një numër racional.
6. Dhjetat e pafundme dhe jo të përsëritura nuk janë numra racionalë. Ato nuk mund të përfaqësohen në formën e thyesave të zakonshme.

Le të japim shembuj të numrave racionalë. Numrat 5, 105, 358, 1100055 janë natyrorë, pozitivë dhe numër të plotë. Në fund të fundit, këto janë numra racionalë. Numrat - 2 , - 358 , - 936 janë numra të plotë negativ dhe janë gjithashtu racionalë sipas përkufizimit. Thyesat e zakonshme 3 5 , 8 7 , - 35 8 janë gjithashtu shembuj të numrave racionalë.

Përkufizimi i mësipërm i numrave racionalë mund të formulohet më konciz. Le t'i përgjigjemi përsëri pyetjes, çfarë është një numër racional.

Përkufizimi 2. Numrat racionalë

Numrat racional janë ata numra që mund të paraqiten si një thyesë ± z n, ku z është një numër i plotë, n është një numër natyror.

Mund të tregohet se këtë përkufizimështë ekuivalente me përkufizimin e mëparshëm të numrave racionalë. Për ta bërë këtë, mbani mend se shiriti i një fraksioni është i njëjtë me shenjën e ndarjes. Duke marrë parasysh rregullat dhe vetitë e ndarjes së numrave të plotë, mund të shkruajmë pabarazitë e mëposhtme të drejta:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Kështu, mund të shkruhet:

z n = z n , p p dhe z > 0 0 , p p dhe z = 0 - z n , p p dhe z< 0

Në fakt, ky procesverbal është provë. Ne japim shembuj të numrave racional bazuar në përkufizimin e dytë. Konsideroni numrat - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 dhe - 1 3 5 . Të gjithë këta numra janë racionalë, pasi mund të shkruhen si thyesë me numërues të plotë dhe emërues natyror: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Ne paraqesim një formë tjetër ekuivalente të përkufizimit të numrave racionalë.

Përkufizimi 3. Numrat racionalë

Një numër racional është një numër që mund të shkruhet si një thyesë dhjetore periodike e fundme ose e pafundme.

Ky përkufizim rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i parë i këtij paragrafi.

Për të përmbledhur dhe formuluar një përmbledhje për këtë artikull:

1. Numrat thyesorë dhe të plotë pozitivë dhe negativë përbëjnë bashkësinë e numrave racionalë.
2. Çdo numër racional mund të paraqitet si një thyesë, numëruesi i së cilës është një numër i plotë dhe emëruesi një numër natyror.
3. Çdo numër racional mund të paraqitet edhe si thyesë dhjetore: periodik i fundëm ose i pafund.

Cili numër është racional?

Siç e kemi zbuluar tashmë, çdo numër natyror, numër i plotë, thyesa e zakonshme e rregullt dhe e papërshtatshme, thyesa dhjetore periodike dhe përfundimtare janë numra racionalë. Të armatosur me këtë njohuri, mund të përcaktoni lehtësisht nëse një numër është racional.

Megjithatë, në praktikë, shpesh duhet të merret jo me numra, por me shprehje numerike që përmbajnë rrënjë, fuqi dhe logaritme. Në disa raste, përgjigja e pyetjes "A është një numër racional?" është larg nga e dukshme. Le të hedhim një vështrim se si t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje.

Nëse një numër jepet si shprehje që përmban vetëm numra racional dhe veprime aritmetike ndërmjet tyre, atëherë rezultati i shprehjes është një numër racional.

Për shembull, vlera e shprehjes 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) është një numër racional dhe është i barabartë me 18 .

Kështu, thjeshtimi i një shprehjeje numerike komplekse ju lejon të përcaktoni nëse numri i dhënë prej tij është racional.

Tani le të merremi me shenjën e rrënjës.

Rezulton se numri m n i dhënë si rrënjë e shkallës n të numrit m është racional vetëm kur m është fuqia n e një numri natyror.

Le të shohim një shembull. Numri 2 nuk është racional. Ndërsa 9, 81 janë numra racionalë. 9 dhe 81 janë katrorët e përsosur të numrave 3 dhe 9, përkatësisht. Numrat 199 , 28 , 15 1 nuk janë numra racionalë, pasi numrat nën shenjën e rrënjës nuk janë katrorë të përsosur të ndonjë numri natyror.

Tani le të marrim një rast më të ndërlikuar. A është racional numri 243 5? Nëse ngreni 3 në fuqinë e pestë, merrni 243, kështu që shprehja origjinale mund të rishkruhet kështu: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Prandaj, ky numër është racional. Tani le të marrim numrin 121 5 . Ky numër nuk është racional, pasi nuk ka asnjë numër natyror, ngritja e të cilit në fuqinë e pestë do të japë 121.

Për të zbuluar nëse logaritmi i një numri a në bazën b është një numër racional, është e nevojshme të zbatohet metoda e kontradiktës. Për shembull, le të zbulojmë nëse regjistri i numrave 2 5 është racional. Le të supozojmë se ky numër është racional. Nëse po, atëherë mund të shkruhet si një thyesë e zakonshme log 2 5 = m n. Nga vetitë e logaritmit dhe vetitë e shkallës, barazitë e mëposhtme janë të vërteta:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Natyrisht, barazia e fundit është e pamundur, pasi anët e majta dhe të djathta përmbajnë përkatësisht numra tek dhe çift. Prandaj, supozimi i bërë është i gabuar dhe regjistri i numrave 2 5 nuk është një numër racional.

Vlen të përmendet se kur përcaktohet racionaliteti dhe irracionaliteti i numrave, nuk duhet të merren vendime të papritura. Për shembull, rezultati i një produkti të numrave irracionalë nuk është gjithmonë një numër irracional. Një shembull ilustrues: 2 · 2 = 2 .

Ka gjithashtu numrat irracionalë, ngritja e së cilës në një fuqi irracionale jep një numër racional. Në një fuqi të formës 2 log 2 3, baza dhe eksponenti janë numra irracionalë. Megjithatë, numri në vetvete është racional: 2 log 2 3 = 3 .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Koncepti i një numri real: numër real- (numër real), çdo numër jo negativ ose negativ ose zero. Me ndihmën e numrave realë shprehni matjet e çdo madhësie fizike.

reale, ose numër real lindi nga nevoja për të matur gjeometrik dhe sasive fizike paqen. Përveç kësaj, për kryerjen e operacioneve të nxjerrjes së rrënjës, llogaritjes së logaritmit, zgjidhjes së ekuacioneve algjebrike etj.

Numrat natyrorë u formuan me zhvillimin e numërimit, dhe numrat racionalë me nevojën për të menaxhuar pjesë të tërësisë, pastaj numrat realë (realë) përdoren për matje. sasi të vazhdueshme. Kështu, zgjerimi i stokut të numrave që konsiderohen ka çuar në bashkësinë e numrave realë, i cili, përveç numrave racionalë, përbëhet nga elementë të tjerë të quajtur numrat irracionalë.

Bashkësia e numrave realë(shënohet R) janë bashkësitë e numrave racionalë dhe irracionalë të bashkuar.

Numrat realë pjesëtohen meracionale dhe irracionale.

Bashkësia e numrave realë shënohet dhe thirret shpesh reale ose rreshti numerik. Numrat realë përbëhen nga objekte të thjeshta: e tërë dhe numrat racionalë.

Një numër që mund të shkruhet si raport, kumështë një numër i plotë, dhe nështë një numër natyrornumër racional.

Çdo numër racional mund të përfaqësohet lehtësisht si një thyesë e fundme ose një thyesë dhjetore periodike e pafundme.

Shembull,

Dhjetë e pafundme, është një thyesë dhjetore që ka një numër të pafund shifrash pas presjes dhjetore.

Numra që nuk mund të përfaqësohen siç janë numrat irracionalë.

Shembull:

Çdo numër irracional është i lehtë për t'u paraqitur si një thyesë dhjetore e pafundme jo periodike.

Shembull,

Numrat racional dhe irracional krijojnë grup numrash realë. Të gjithë numrat realë korrespondojnë me një pikë në vijën koordinative, e cila quhet rreshti numerik.

Për grupet numerike, përdoret shënimi i mëposhtëm:

• N- grup numrash natyrorë;
• Z- grup i numrave të plotë;
• P- grup numrash racionalë;
• Rështë bashkësia e numrave realë.

Teoria e thyesave dhjetore të pafundme.

Një numër real përcaktohet si dhjetore të pafundme, d.m.th.:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n…

ku ± është një nga simbolet + ose −, shenja e një numri,

0 është një numër i plotë pozitiv,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… është një sekuencë e numrave dhjetorë, d.m.th. elementet e një bashkësie numerike {0,1,…9}.

Një thyesë dhjetore e pafundme mund të shpjegohet si një numër që është në vijën numerike midis pikave racionale si:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n dhe ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) per te gjithe n=0,1,2,…

Krahasimi i numrave realë si thyesa dhjetore të pafundme ndodh pak nga pak. Për shembull, supozojmë se janë dhënë 2 numra pozitivë:

α =+a 0,a 1 a 2 …a n…

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n…

Nese nje a 0 0, pastaj α<β ; nëse a0 >b0 pastaj α>β . Kur a 0 = b 0 Le të kalojmë në krahasimin e nivelit tjetër. etj. Kur α≠β , pra pas sasia përfundimtare hapat do të plotësojnë shifrën e parë n, sikurse a n ≠ b n. Nese nje a n n, pastaj α<β ; nëse a n > b n pastaj α>β .

Por në të njëjtën kohë, është e lodhshme t'i kushtohet vëmendje faktit që numri a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Prandaj, nëse rekordi i njërit prej numrave të krahasuar, duke filluar nga një shifër e caktuar, është një thyesë dhjetore periodike, e cila ka 9 në periudhë, atëherë ai duhet të zëvendësohet me një rekord të barabartë, me zero në periudhë.

Veprimet aritmetike me thyesa dhjetore të pafundme janë vazhdimësi e vazhdueshme e veprimeve përkatëse me numra racionalë. Për shembull, shuma e numrave realë α dhe β është një numër real α+β , e cila plotëson kushtet e mëposhtme:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ P(a'⩽ α ⩽ a")∧ (b'⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a'+b'⩽ α + β ⩽ a"+b")

Në mënyrë të ngjashme përcakton veprimin e shumëzimit të thyesave dhjetore të pafundme.

Numrat natyrorë përkufizohen si numra të plotë pozitiv. Numrat natyrorë përdoren për të numëruar objekte dhe për shumë qëllime të tjera. Këtu janë numrat:

Kjo është një seri natyrore numrash.
Zero është një numër natyror? Jo, zero nuk është një numër natyror.
Sa numra natyrorë ka? Ekziston një grup i pafund numrash natyrorë.
Cili është numri natyror më i vogël? Njëri është numri natyror më i vogël.
Cili është numri natyror më i madh? Nuk mund të specifikohet, sepse ka një grup të pafund numrash natyrorë.

Shuma e numrave natyrorë është një numër natyror. Pra, mbledhja e numrave natyrorë a dhe b:

Prodhimi i numrave natyrorë është një numër natyror. Pra, prodhimi i numrave natyrorë a dhe b:

c është gjithmonë një numër natyror.

Diferenca e numrave natyrorë Nuk ka gjithmonë një numër natyror. Nëse minuend është më i madh se nëntrahni, atëherë ndryshimi i numrave natyrorë është një numër natyror, përndryshe nuk është.

Herësi i numrave natyrorë Nuk ka gjithmonë një numër natyror. Nëse për numrat natyrorë a dhe b

ku c është një numër natyror, do të thotë që a është i plotpjesëtueshëm me b. Në këtë shembull, a është dividenti, b është pjesëtuesi, c është herësi.

Pjesëtuesi i një numri natyror është numri natyror me të cilin numri i parë është i plotpjesëtueshëm.

Çdo numër natyror plotpjesëtohet me 1 dhe me vetveten.

Numrat e thjeshtë natyrorë pjesëtohen vetëm me 1 dhe me veten e tyre. Këtu nënkuptojmë të ndarë plotësisht. Shembull, numrat 2; 3; 5; 7 pjesëtohet vetëm me 1 dhe me vetveten. Këta janë numra të thjeshtë natyrorë.

Njëri nuk konsiderohet numër i thjeshtë.

Numrat që janë më të mëdhenj se një dhe që nuk janë të thjeshtë quhen numra të përbërë. Shembuj të numrave të përbërë:

Njëri nuk konsiderohet numër i përbërë.

Bashkësia e numrave natyrorë përbëhet nga një, numrat e thjeshtë dhe numrat e përbërë.

Bashkësia e numrave natyrorë shënohet me shkronjën latine N.

Vetitë e mbledhjes dhe shumëzimit të numrave natyrorë:

vetia komutative e mbledhjes

veti asociative e shtimit

(a + b) + c = a + (b + c);

vetia komutative e shumëzimit

Vetia asociative e shumëzimit

(ab)c = a(bc);

veti shpërndarëse e shumëzimit

a (b + c) = ab + ac;

Numrat e plotë

Numrat e plotë janë numra natyrorë, zero dhe e kundërta e numrave natyrorë.

Numrat e kundërt me numrat natyrorë janë numra të plotë negativë, për shembull:

1; -2; -3; -4;…

Bashkësia e numrave të plotë shënohet me shkronjën latine Z.

Numrat racionalë

Numrat racional janë numra të plotë dhe thyesa.

Çdo numër racional mund të përfaqësohet si një thyesë periodike. Shembuj:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

Nga shembujt mund të shihet se çdo numër i plotë është një thyesë periodike me një periudhë zero.

Çdo numër racional mund të paraqitet si thyesë m/n, ku m numër i plotë,n numri natyror. Le të paraqesim numrin 3, (6) nga shembulli i mëparshëm si një fraksion i tillë:

Një shembull tjetër: numri racional 9 mund të përfaqësohet si një thyesë e thjeshtë si 18/2 ose si 36/4.

Një shembull tjetër: numri racional -9 mund të përfaqësohet si një thyesë e thjeshtë si -18/2 ose si -72/8.

Ky artikull përmban informacion bazë rreth numra realë. Së pari jepet përkufizimi i numrave realë dhe jepen shembuj. Pozicioni i numrave realë në vijën e koordinatave tregohet në vijim. Dhe në përfundim, analizohet se si numrat realë jepen në formën e shprehjeve numerike.

Navigimi i faqes.

Përkufizimi dhe shembuj të numrave realë

Numrat realë si shprehje

Nga përkufizimi i numrave realë, është e qartë se numrat realë janë:

• çdo numër natyror;
• çdo numër i plotë;
• çdo fraksion i zakonshëm (si pozitiv ashtu edhe negativ);
• çdo numër i përzier;
• çdo thyesë dhjetore (pozitive, negative, e fundme, periodike e pafundme, joperiodike e pafundme).

Por shumë shpesh numrat realë mund të shihen në formën, etj. Për më tepër, shuma, diferenca, prodhimi dhe herësi i numrave realë janë gjithashtu numra realë (shih veprimet me numra realë). Për shembull, këta janë numra realë.

Dhe nëse shkoni më tej, atëherë nga numrat realë duke përdorur shenja aritmetike, shenja rrënjësore, gradë, logaritmike, funksionet trigonometrike etj. ju mund të kompozoni të gjitha llojet e shprehjeve numerike, vlerat e të cilave do të jenë gjithashtu numra realë. Për shembull, vlerat e shprehjes dhe janë numra realë.

Në përfundim të këtij artikulli, vërejmë se hapi tjetër në zgjerimin e konceptit të numrit është kalimi nga numrat realë në numra komplekse.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. etj Matematikë. Klasa 6: Libër shkollor për institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: tekst shkollor për 8 qeliza. institucionet arsimore.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për aplikantët në shkollat ​​teknike).

E drejta e autorit nga studentë të zgjuar

Të gjitha të drejtat e rezervuara.
Mbrojtur nga ligji për të drejtën e autorit. Asnjë pjesë e faqes, duke përfshirë materialet e brendshme dhe dizajnin e jashtëm, nuk mund të riprodhohet në asnjë formë ose të përdoret pa lejen paraprake me shkrim të mbajtësit të së drejtës së autorit.