Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare është një nga problemet kryesore të algjebrës lineare. Kjo detyrë ka një rëndësi të madhe praktike në zgjidhjen e problemeve shkencore dhe teknike, përveç kësaj, është ndihmëse në zbatimin e shumë algoritmeve të matematikës llogaritëse, fizikës matematikore dhe përpunimit të rezultateve të studimeve eksperimentale.

Sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare quhet sistem ekuacionesh të formës: (1)

ku – i panjohur; - anëtarë të lirë.

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve(1) emërtoni çdo grup numrash që, duke u vendosur në sistem (1) në vend të të panjohurës konverton të gjitha ekuacionet e sistemit në barazime numerike të vërteta.

Sistemi i ekuacioneve quhet të përbashkët nëse ka të paktën një zgjidhje, dhe të papajtueshme nëse nuk ka zgjidhje.

Sistemi i përbashkët i ekuacioneve quhet të caktuara nëse ka një zgjidhje të vetme, dhe i pasigurt nëse ka të paktën dy zgjidhje të dallueshme.

Quhen dy sisteme ekuacionesh ekuivalente ose ekuivalente nëse kanë të njëjtin grup zgjidhjesh.

Sistemi (1) quhet homogjene nëse termat e lirë janë të barabartë me zero:

Një sistem homogjen është gjithmonë konsistent - ai ka një zgjidhje (ndoshta jo të vetmen).

Nëse në sistemin (1) , atëherë kemi sistemin n ekuacionet lineare Me n i panjohur: ku – i panjohur; janë koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë.

Sistemi linear mund të ketë një zgjidhje të vetme, pafundësisht shumë zgjidhje, ose asnjë.

Konsideroni një sistem me dy ekuacione lineare me dy të panjohura

Nëse atëherë sistemi ka një zgjidhje unike;

nëse atëherë sistemi nuk ka zgjidhje;

nëse atëherë sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Shembull. Sistemi ka një zgjidhje unike për një çift numrash

Sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh. Për shembull, zgjidhjet e këtij sistemi janë çifte numrash, e kështu me radhë.

Sistemi nuk ka zgjidhje, pasi ndryshimi i dy numrave nuk mund të marrë dy vlera të ndryshme.

Përkufizimi. Përcaktues i rendit të dytë quhet një shprehje si:

Cakto përcaktorin me simbolin D.

Numrat a 11, …, a 22 quhen elementë përcaktues.

Diagonale e formuar nga elementë a 11 ; a 22 telefononi kryesore, diagonalja e formuar nga elementet a 12 ; a 21 − anësor.

Kështu, përcaktori i rendit të dytë është i barabartë me ndryshimin midis produkteve të elementeve të diagonaleve kryesore dhe dytësore.

Vini re se përgjigjja është një numër.

Shembull. Le të llogarisim përcaktuesit:

Konsideroni një sistem prej dy ekuacionesh lineare me dy të panjohura: ku X 1, X 2 – i panjohur; a 11 , …, a 22 - koeficientët për të panjohurat, b 1 , b 2 - anëtarë falas.

Nëse një sistem me dy ekuacione në dy të panjohura ka një zgjidhje unike, atëherë mund të gjendet duke përdorur përcaktorë të rendit të dytë.

Përkufizimi. Përcaktori, i përbërë nga koeficientët e të panjohurave, quhet kualifikuesi i sistemit: D=.

Kolonat e përcaktorit D janë koeficientët, përkatësisht, për X 1 dhe në , X 2. Le të prezantojmë dy përcaktues shtesë, të cilat fitohen nga përcaktorja e sistemit duke zëvendësuar njërën nga kolonat me një kolonë anëtarësh të lirë: D 1 = D 2 = .

Teorema 14(Kramer, për rastin n=2). Nëse përcaktori D i sistemit është i ndryshëm nga zero (D¹0), atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, e cila gjendet me formulat:

Këto formula quhen Formulat e Cramer-it.

Shembull. Ne e zgjidhim sistemin sipas rregullit të Cramer:

Zgjidhje. Le të gjejmë numrat

Përgjigju.

Përkufizimi. Përcaktori i rendit të tretë quhet një shprehje si:

Elementet a 11; a 22 ; a 33 - formoni diagonalen kryesore.

Numrat a 13; a 22 ; a 31 - formoni një diagonale anësore.

Hyrja me plus përfshin: produktin e elementeve në diagonalen kryesore, dy termat e mbetur janë prodhimi i elementeve të vendosura në kulmet e trekëndëshave me baza paralele me diagonalen kryesore. Termat me minus formohen në të njëjtën mënyrë në lidhje me diagonalen dytësore.

Shembull. Le të llogarisim përcaktuesit:

Konsideroni një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura: ku – i panjohur; janë koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë.

Në rastin e një zgjidhjeje unike, një sistem prej 3 ekuacionesh lineare me tre të panjohura mund të zgjidhet duke përdorur përcaktorë të rendit të tretë.

Përcaktori i sistemit D ka formën:

Ne prezantojmë tre përcaktues shtesë:

Teorema 15(Kramer, për rastin n=3). Nëse përcaktori D i sistemit është jo zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, e cila gjendet duke përdorur formulat Cramer:

Shembull. Le të zgjidhim sistemin duke përdorur rregullin e Cramer.

Zgjidhje. Le të gjejmë numrat

Le të përdorim formulat e Cramer dhe të gjejmë një zgjidhje për sistemin origjinal:

Përgjigju.

Vini re se teorema e Cramer-it është e zbatueshme kur numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave dhe kur përcaktori i sistemit D është i ndryshëm nga zero.

Nëse përcaktorja e sistemit është e barabartë me zero, atëherë në këtë rast sistemi ose mund të mos ketë zgjidhje ose të ketë një numër të pafund zgjidhjesh. Këto raste janë duke u studiuar veçmas.

Vërejmë vetëm një rast. Nëse përcaktorja e sistemit është e barabartë me zero (D=0), dhe të paktën një nga përcaktorët shtesë është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi nuk ka zgjidhje, domethënë është i paqëndrueshëm.

Teorema e Cramer-it mund të përgjithësohet në sistem n ekuacionet lineare me n i panjohur: ku – i panjohur; janë koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë.

Nëse përcaktori i një sistemi ekuacionesh lineare me të panjohura, atëherë zgjidhja e vetme për sistemin gjendet duke përdorur formulat Cramer:

Një përcaktues shtesë merret nga përcaktorja D nëse përmban një kolonë koeficientësh për të panjohurën x i zëvendësohet me një kolonë anëtarësh të lirë.

Vini re se përcaktorët D, D 1 , ... , D n kanë rregull n.

Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare

Një nga metodat më të zakonshme për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare është metoda e eliminimit të njëpasnjëshëm të të panjohurave. - Metoda e Gausit. Kjo metodëështë një përgjithësim i metodës së zëvendësimit dhe konsiston në eliminimin e njëpasnjëshëm të të panjohurave derisa të mbetet një ekuacion me një të panjohur.

Metoda bazohet në disa transformime të sistemit të ekuacioneve lineare, si rezultat i të cilave fitohet një sistem që është ekuivalent me sistemin origjinal. Algoritmi i metodës përbëhet nga dy faza.

Faza e parë quhet në vijë të drejtë Metoda e Gausit. Ai konsiston në eliminimin e njëpasnjëshëm të të panjohurave nga ekuacionet. Për ta bërë këtë, në hapin e parë, ekuacioni i parë i sistemit ndahet me (përndryshe, ekuacionet e sistemit ndërrohen). Koeficientët e ekuacionit të reduktuar që rezulton shënohen, shumëzohen me koeficientin dhe zbriten nga ekuacioni i dytë i sistemit, duke përjashtuar kështu nga ekuacioni i dytë (zero koeficientin ).

Pjesa tjetër e ekuacioneve trajtohen në mënyrë të ngjashme dhe fitohet një sistem i ri, në të gjitha ekuacionet e të cilit, duke filluar nga i dyti, koeficientët në përmbajnë vetëm zero. Natyrisht, që rezulton sistemi i ri, do të jetë ekuivalent me sistemin origjinal.

Nëse koeficientët e rinj, në , nuk janë të gjithë të barabartë me zero, ne mund t'i eliminojmë ata nga ekuacioni i tretë dhe i mëpasshëm në të njëjtën mënyrë. Duke vazhduar këtë operacion për të panjohurat e mëposhtme, sistemi sillet në të ashtuquajturën formë trekëndore:

Këtu, simbolet dhe tregojnë koeficientët numerikë dhe termat e lirë që kanë ndryshuar si rezultat i transformimeve.

Nga ekuacioni i fundit i sistemit e vetmja mënyrë përcaktoni , dhe më pas me zëvendësim të njëpasnjëshëm - të panjohurat e mbetura.

Koment. Ndonjëherë, si rezultat i shndërrimeve, në cilindo nga ekuacionet, të gjithë koeficientët dhe ana e djathtë kthehen në zero, domethënë ekuacioni kthehet në identitetin 0=0. Duke përjashtuar një ekuacion të tillë nga sistemi, numri i ekuacioneve zvogëlohet në krahasim me numrin e të panjohurave. Një sistem i tillë nuk mund të ketë një zgjidhje unike.

Nëse, në procesin e aplikimit të metodës së Gausit, çdo ekuacion kthehet në një barazi të formës 0=1 (koeficientët për të panjohurat kthehen në 0, dhe ana e djathtë merr një vlerë jo zero), atëherë sistemi origjinal nuk ka zgjidhje, pasi një barazi e tillë është e pasaktë për ndonjë vlerë të panjohur.

Konsideroni një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura:

ku – i panjohur; janë koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë. , duke zëvendësuar të gjeturën

Zgjidhje. Duke aplikuar metodën Gaussian në këtë sistem, marrim

Nga ku barazia e fundit është e rreme për çdo vlerë të të panjohurave, prandaj sistemi nuk ka zgjidhje.

Përgjigju. Sistemi nuk ka zgjidhje.

Vini re se metoda e Cramer e konsideruar më parë mund të përdoret për të zgjidhur vetëm ato sisteme në të cilat numri i ekuacioneve përkon me numrin e të panjohurave dhe përcaktori i sistemit duhet të jetë i ndryshëm nga zero. Metoda Gaussian është më universale dhe është e përshtatshme për sisteme me çdo numër ekuacionesh.

forma matrice

Sistemi i ekuacioneve lineare mund të paraqitet në formë matrice si:

ose, sipas rregullit të shumëzimit të matricës,

AX = B.

Nëse një kolonë me terma të lirë i shtohet matricës A, atëherë A quhet matricë e shtuar.

Metodat e zgjidhjes

Metodat e drejtpërdrejta (ose të sakta) ju lejojnë të gjeni një zgjidhje në një numër të caktuar hapash. Metodat përsëritëse bazohen në përdorimin e një procesi përsëritës dhe ju lejojnë të merrni një zgjidhje si rezultat i përafrimeve të njëpasnjëshme

Metodat e drejtpërdrejta

• Metoda e fshirjes (për matricat tridiagonale)
• Zbërthimi ose metoda Cholesky rrënjë katrore(për matricat simetrike pozitive-të përcaktuara dhe hermitiane)

Metodat përsëritëse

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare në VBA

Opsioni eksplicit Sub rewenie() Dim i si Dim i plotë Dim j Si Dim i plotë Dim r() Si Dim i Dyfishtë P Si Dim i Dyfishtë x() Si Dim i Dyfishtë K Si Dim i plotë Dim n Si Dim i plotë Dim b() Si Dopio Dim skedar Si Dim i plotë y () Si skedar i dyfishtë = skedar i lirë Hap "C:\data.txt" për hyrje si skedar Hyrja #file, n ReDim x(0 Në n * n - 1 ) Si Double ReDim y(0 Në n - 1 ) Si Double ReDim r(0 në n - 1 ) Si e dyfishtë Për i = 0 në n - 1 Për j = 0 në n - 1 Hyrja #file, x(i * n + j) Tjetra j Futni #skedarin, y(i) Më pas i Mbylle #file Për i = 0 Në n - 1 p = x(i * n + i) Për j = 1 Në n - 1 x(i * n + j) = x(i * n + j) / p Tjetra j y (i) = y(i) / p Për j = i + 1 Për n - 1 p = x(j * n + i) Për k = i Për n - 1 x(j * n + k) = x(j * n + k) - x(i * n + k) * p Tjetra k y(j) = y(j) - y(i) * p Tjetra j Tjetra i "Matrica e sipërme trekëndore Për i = n - 1 Tek 0 Hapi -1 p = y(i) Për j = i + 1 Tek n - 1 p = p - x(i * n + j) * r(j) Tjetra j r(i) = p / x(i * n + i) Tjetra i " Backtrack për i = 0 në n - 1 MsgBox r(i) Tjetra i "fundi nën

Shiko gjithashtu

Lidhjet

Shënime

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

Shihni se çfarë është "SLAU" në fjalorë të tjerë:

SLAU- një sistem ekuacionesh algjebrike lineare ... Fjalor i shkurtesave dhe i shkurtesave

Ky term ka kuptime të tjera, shih Slough (kuptimet). Qyteti dhe njësia unitare e Slough Engl. Vendi Slough ... Wikipedia

- (Slough) një qytet në MB, pjesë e brezit industrial që rrethon Londrën e Madhe, në hekurudhor London Bristol. 101,8 mijë banorë (1974). Inxhinieri mekanike, elektrike, elektronike, automobilistike dhe kimike ... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Slough- (Slough) Slough, një qytet industrial dhe tregtar në Berkshire, në jug. Anglia, në perëndim të Londrës; 97.400 banorë (1981); industria e lehtë filloi të zhvillohet në periudhën midis luftërave botërore ... Vendet e botës. Fjalor

Slough: Slough është një qytet në Angli, në qarkun e Berkshire SLAU Sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare ... Wikipedia

Komuna Röslau Röslau Stema ... Wikipedia

Qyteti i Bad Vöslau Bad Vöslau Stema ... Wikipedia

Metodat e projeksionit për zgjidhjen e SLAE janë një klasë e metodave përsëritëse në të cilat problemi i projektimit të një vektori të panjohur në një hapësirë ​​të caktuar zgjidhet në mënyrë optimale në lidhje me një hapësirë ​​tjetër. Përmbajtja 1 Deklarata e problemit ... Wikipedia

Qyteti i Bad Vöslau Bad Vöslau Vendi AustriAustri ... Wikipedia

Sistemi themelor i zgjidhjeve (FSR) është një grup zgjidhjesh linearisht të pavarura të një sistemi homogjen ekuacionesh. Përmbajtja 1 Sisteme homogjene 1.1 Shembull 2 ​​Sisteme heterogjene ... Wikipedia

librat

• Probleme të drejtpërdrejta dhe të kundërta të rindërtimit të imazhit, spektroskopisë dhe tomografisë me MatLab (+CD), Sizikov Valery Sergeevich. Libri përshkruan përdorimin e aparatit ekuacionet integrale(SI), sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE) dhe sistemet e ekuacioneve lineare-jolineare (SLNU), si dhe mjetet softuerike ...

Shembulli 1. Gjeni një zgjidhje të përgjithshme dhe një zgjidhje të veçantë të sistemit

Zgjidhje bëjeni atë me një kalkulator. Ne shkruajmë matricat e zgjeruara dhe kryesore:

Matrica kryesore A është e ndarë me një vijë me pika. Nga lart shkruajmë sistemet e panjohura, duke pasur parasysh ndërrimin e mundshëm të termave në ekuacionet e sistemit. Duke përcaktuar gradën e matricës së zgjeruar, gjejmë njëkohësisht gradën e asaj kryesore. Në matricën B, kolona e parë dhe e dytë janë proporcionale. Nga dy kolonat proporcionale, vetëm një mund të bjerë në minoren bazë, kështu që le ta zhvendosim, për shembull, kolonën e parë përtej vijës së ndërprerë me shenjën e kundërt. Për sistemin, kjo nënkupton transferimin e termave nga x 1 në anën e djathtë të ekuacioneve.

Ne e sjellim matricën në një formë trekëndore. Ne do të punojmë vetëm me rreshta, pasi shumëzimi i një rreshti matricë me një numër të ndryshëm nga zero dhe shtimi në një rresht tjetër për sistemin do të thotë shumëzimi i ekuacionit me të njëjtin numër dhe shtimi i tij në një ekuacion tjetër, i cili nuk ndryshon zgjidhjen e sistemit. . Puna me rreshtin e parë: shumëzojeni rreshtin e parë të matricës me (-3) dhe shtoni në rreshtin e dytë dhe të tretë me radhë. Pastaj shumëzojmë rreshtin e parë me (-2) dhe ia shtojmë të katërtit.

Linjat e dyta dhe të treta janë proporcionale, prandaj, njëra prej tyre, për shembull e dyta, mund të kalohet. Kjo është e barabartë me fshirjen e ekuacionit të dytë të sistemit, pasi është pasojë e të tretit.

Tani ne punojmë me rreshtin e dytë: shumëzojeni atë me (-1) dhe shtoni atë në të tretën.

E mitura, e rrethuar me një vijë me pika, ka rendit më të lartë(i minoreve të mundshme) dhe është i ndryshëm nga zero (është i barabartë me prodhimin e elementeve në diagonalen kryesore), dhe ky minor i përket si matricës kryesore ashtu edhe asaj të zgjeruar, prandaj rangA = rangB = 3 .
Minore është bazë. Ai përfshin koeficientët për të panjohurën x 2, x 3, x 4, që do të thotë se e panjohura x 2, x 3, x 4 janë të varura dhe x 1, x 5 janë të lira.
Ne e transformojmë matricën, duke lënë vetëm minorin bazë në të majtë (që korrespondon me pikën 4 të algoritmit të zgjidhjes së mësipërme).

Sistemi me koeficientët e kësaj matrice është i barabartë me sistemin origjinal dhe ka formën

Me metodën e eliminimit të të panjohurave gjejmë:
x 4 =3-4x 5, x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Ne morëm marrëdhënie që shprehin variabla të varur x 2, x 3, x 4 përmes x 1 dhe x 5 të lirë, domethënë gjetëm një zgjidhje të përgjithshme:

Duke u dhënë vlera arbitrare të panjohurave të lira, marrim çdo numër zgjidhjesh të veçanta. Le të gjejmë dy zgjidhje të veçanta:
1) le të x 1 = x 5 = 0, pastaj x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) vendosni x 1 = 1, x 5 = -1, pastaj x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Kështu, gjetëm dy zgjidhje: (0.1, -3,3,0) - një zgjidhje, (1.4, -7.7, -1) - një zgjidhje tjetër.

Shembulli 2. Hetoni përputhshmërinë, gjeni një zgjidhje të përgjithshme dhe një të veçantë të sistemit

Zgjidhje. Le të riorganizojmë ekuacionin e parë dhe të dytë që të kemi një njësi në ekuacionin e parë dhe të shkruajmë matricën B.

Ne marrim zero në kolonën e katërt, duke vepruar në rreshtin e parë:

Tani merrni zerat në kolonën e tretë duke përdorur rreshtin e dytë:

Rreshtat e tretë dhe të katërt janë proporcionale, kështu që njëra prej tyre mund të kryqëzohet pa ndryshuar renditjen:
Shumëzojeni rreshtin e tretë me (-2) dhe shtoni në të katërtin:

Ne shohim që radhët e matricave kryesore dhe të zgjeruara janë 4, dhe renditja përkon me numrin e të panjohurave, prandaj, sistemi ka një zgjidhje unike:
-x 1 \u003d -3 → x 1 \u003d 3; x 2 \u003d 3-x 1 → x 2 \u003d 0; x 3 \u003d 1-2x 1 → x 3 \u003d 5.
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

Shembulli 3. Ekzaminoni sistemin për pajtueshmërinë dhe gjeni një zgjidhje nëse ekziston.

Zgjidhje. Ne përpilojmë matricën e zgjeruar të sistemit.

Riorganizoni dy ekuacionet e para në mënyrë që të ketë 1 në këndin e sipërm të majtë:
Duke shumëzuar rreshtin e parë me (-1), ne e shtojmë atë në të tretën:

Shumëzojeni rreshtin e dytë me (-2) dhe shtoni rreshtin e tretë:

Sistemi është i paqëndrueshëm, pasi matrica kryesore mori një rresht të përbërë nga zero, i cili kryqëzohet kur gjendet rangu, dhe rreshti i fundit mbetet në matricën e zgjeruar, domethënë r B > r A .

Ushtrimi. Hulumtimi këtë sistem ekuacionet e përputhshmërisë dhe ta zgjidhin atë me anë të llogaritjes së matricës.
Zgjidhje

Shembull. Vërtetoni përputhshmërinë e një sistemi ekuacionesh lineare dhe zgjidhni atë në dy mënyra: 1) me metodën e Gausit; 2) Metoda e Cramer. (shkruani përgjigjen në formën: x1,x2,x3)
Zgjidhja :doc :doc :xls
Përgjigje: 2,-1,3.

Shembull. Jepet një sistem ekuacionesh lineare. Provoni përputhshmërinë e tij. Gjeni një zgjidhje të përgjithshme të sistemit dhe një zgjidhje të veçantë.
Zgjidhje
Përgjigje: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Ushtrimi. Gjeni zgjidhje të përgjithshme dhe të veçanta për secilin sistem.
Zgjidhje. Ne studiojmë këtë sistem duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli.
Ne shkruajmë matricat e zgjeruara dhe kryesore:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x2	x 3	x4	x5

Këtu matrica A është me shkronja të zeza.
Ne e sjellim matricën në një formë trekëndore. Ne do të punojmë vetëm me rreshta, pasi shumëzimi i një rreshti matricë me një numër të ndryshëm nga zero dhe shtimi në një rresht tjetër për sistemin do të thotë shumëzimi i ekuacionit me të njëjtin numër dhe shtimi i tij në një ekuacion tjetër, i cili nuk ndryshon zgjidhjen e sistemit. .
Shumëzoni rreshtin e parë me (3). Shumëzoni rreshtin e dytë me (-1). Le të shtojmë rreshtin e dytë në rreshtin e parë:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Shumëzoni rreshtin e dytë me (2). Shumëzoni rreshtin e 3-të me (-3). Le të shtojmë rreshtin e tretë në rreshtin e dytë:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Shumëzoni rreshtin e dytë me (-1). Le të shtojmë rreshtin e dytë në rreshtin e parë:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Minorja e zgjedhur ka renditjen më të lartë (ndër minorat e mundshme) dhe është e ndryshme nga zero (është e barabartë me prodhimin e elementeve në diagonalen reciproke), dhe kjo minor i përket si matricës kryesore ashtu edhe asaj të zgjeruar, prandaj rang( A) = rang(B) = 3 Që nga rangu i matricës kryesore e barabartë me gradën zgjeruar, atëherë sistemi është bashkëpunues.
Ky minor është bazë. Ai përfshin koeficientët për të panjohurën x 1, x 2, x 3, që do të thotë se e panjohura x 1, x 2, x 3 janë të varura (bazë) dhe x 4, x 5 janë të lira.
Ne e transformojmë matricën, duke lënë vetëm minorin bazë në të majtë.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x2	x 3		x4	x5

Sistemi me koeficientët e kësaj matrice është i barabartë me sistemin origjinal dhe ka formën:
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Me metodën e eliminimit të të panjohurave gjejmë:
Ne morëm marrëdhënie që shprehin variablat e varur x 1, x 2, x 3 përmes x 4, x 5 të lirë, domethënë gjetëm vendim të përbashkët:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
i pasigurt, sepse ka më shumë se një zgjidhje.

Ushtrimi. Të zgjidhë sistemin e ekuacioneve.
Përgjigju:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Duke u dhënë vlera arbitrare të panjohurave të lira, marrim çdo numër zgjidhjesh të veçanta. Sistemi është i pasigurt

Edhe në shkollë, secili prej nesh studionte ekuacione dhe, me siguri, sisteme ekuacionesh. Por jo shumë njerëz e dinë se ka disa mënyra për t'i zgjidhur ato. Sot do të analizojmë në detaje të gjitha metodat për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare, të cilat përbëhen nga më shumë se dy barazi.

Histori

Sot dihet se arti i zgjidhjes së ekuacioneve dhe sistemeve të tyre e ka origjinën në Babiloninë e lashtë dhe Egjiptin. Sidoqoftë, barazitë në formën e tyre të zakonshme u shfaqën pas shfaqjes së shenjës së barabartë "=", e cila u prezantua në 1556 nga matematikani anglez Record. Nga rruga, kjo shenjë u zgjodh për një arsye: do të thotë dy segmente të barabarta paralele. Dhe e vërteta është shembulli më i mirë barazia nuk mund të imagjinohet.

Themeluesi i emërtimeve moderne të shkronjave të të panjohurave dhe shenjave të gradave është një matematikan francez, por emërtimet e tij ndryshonin shumë nga ato të sotmet. Për shembull, një shesh datë e panjohur ai caktoi shkronjën Q (lat. "quadratus"), dhe kubin - shkronjën C (lat. "cubus"). Këto shënime duken të sikletshme tani, por në atë kohë ishte mënyra më e kuptueshme për të shkruar sisteme të ekuacioneve lineare algjebrike.

Sidoqoftë, një pengesë në metodat e atëhershme të zgjidhjes ishte se matematikanët konsideronin vetëm rrënjë pozitive. Ndoshta kjo për faktin se vlerat negative nuk kishin përdorim praktik. Në një mënyrë apo tjetër, ishin matematikanët italianë Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano dhe Rafael Bombelli të cilët ishin të parët që morën parasysh rrënjët negative në shekullin e 16-të. POR pamje moderne, metoda kryesore e zgjidhjes (përmes diskriminuesit) u krijua vetëm në shekullin e 17-të falë punës së Dekartit dhe Njutonit.

Në mesin e shekullit të 18-të, matematikani zviceran Gabriel Cramer gjeti një mënyrë të re për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Kjo metodë u emërua më pas pas tij dhe sot e kësaj dite ne e përdorim atë. Por për metodën e Cramer do të flasim pak më vonë, por tani për tani do të diskutojmë ekuacionet lineare dhe metodat për zgjidhjen e tyre veçmas nga sistemi.

Ekuacionet lineare

Ekuacionet lineare janë barazitë më të thjeshta me ndryshore. Ato klasifikohen si algjebrike. shkruani në pamje e përgjithshme kështu: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b. Ne do të na duhet përfaqësimi i tyre në këtë formë gjatë përpilimit të sistemeve dhe matricave më tej.

Sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare

Përkufizimi i këtij termi është si vijon: është një grup ekuacionesh që kanë të përbashkëta sasi të panjohura dhe zgjidhje të përgjithshme. Si rregull, në shkollë, gjithçka zgjidhej nga sisteme me dy ose edhe tre ekuacione. Por ka sisteme me katër ose më shumë komponentë. Le të kuptojmë fillimisht se si t'i shkruajmë ato në mënyrë që të jetë e përshtatshme për t'i zgjidhur ato më vonë. Së pari, sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare do të duken më mirë nëse të gjitha variablat shkruhen si x me indeksin e duhur: 1,2,3, e kështu me radhë. Së dyti, të gjitha ekuacionet duhet të sillen në formën kanonike: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Pas gjithë këtyre veprimeve, ne mund të fillojmë të flasim se si të gjejmë një zgjidhje për sistemet e ekuacioneve lineare. Matricat janë shumë të dobishme për këtë.

matricat

Një matricë është një tabelë që përbëhet nga rreshta dhe kolona, ​​dhe në kryqëzimin e tyre janë elementët e saj. Këto mund të jenë ose vlera specifike ose variabla. Më shpesh, për të caktuar elementë, nënshkrimet vendosen nën to (për shembull, një 11 ose një 23). Indeksi i parë nënkupton numrin e rreshtit dhe i dyti numrin e kolonës. Në matricat, si dhe në çdo element tjetër matematikor, mund të kryeni operacione të ndryshme. Kështu, ju mund të:

2) Shumëzoni një matricë me një numër ose vektor.

3) Transpozoni: ktheni rreshtat e matricës në kolona dhe kolonat në rreshta.

4) Shumëzoni matricat nëse numri i rreshtave të njërës prej tyre është i barabartë me numrin e kolonave të tjetrës.

Të gjitha këto teknika do t'i diskutojmë më në detaje, pasi ato do të jenë të dobishme për ne në të ardhmen. Zbritja dhe shtimi i matricave është shumë i lehtë. Meqenëse marrim matrica me të njëjtën madhësi, çdo element i një tabele korrespondon me secilin element të një tjetri. Kështu, ne i shtojmë (zbresim) këta dy elementë (është e rëndësishme që ato të jenë në të njëjtat vende në matricat e tyre). Kur shumëzoni një matricë me një numër ose vektor, thjesht duhet të shumëzoni çdo element të matricës me atë numër (ose vektor). Transpozimi është një proces shumë interesant. Është shumë interesante ndonjëherë ta shohësh atë jeta reale, për shembull, kur ndryshoni orientimin e tabletit ose telefonit tuaj. Ikonat në desktop janë një matricë, dhe kur ndryshoni pozicionin, ajo transpozohet dhe bëhet më e gjerë, por zvogëlohet në lartësi.

Le të analizojmë një proces të tillë si Megjithëse nuk do të jetë i dobishëm për ne, do të jetë prapë e dobishme ta njohim atë. Ju mund të shumëzoni dy matrica vetëm nëse numri i kolonave në një tabelë është i barabartë me numrin e rreshtave në tjetrën. Tani le të marrim elementet e një rreshti të një matrice dhe elementet e kolonës përkatëse të një tjetre. I shumëzojmë me njëri-tjetrin dhe më pas i mbledhim (d.m.th., prodhimi i elementeve a 11 dhe a 12 me b 12 dhe b 22 do të jetë i barabartë me: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Kështu, fitohet një element i tabelës dhe plotësohet më tej me një metodë të ngjashme.

Tani mund të fillojmë të shqyrtojmë se si zgjidhet sistemi i ekuacioneve lineare.

Metoda e Gausit

Kjo temë fillon në shkollë. Ne e njohim mirë konceptin "sistemi i dy ekuacioneve lineare" dhe dimë t'i zgjidhim ato. Por çka nëse numri i ekuacioneve është më shumë se dy? Kjo do të na ndihmojë

Sigurisht, kjo metodë është e përshtatshme për t'u përdorur nëse bëni një matricë nga sistemi. Por ju nuk mund ta transformoni atë dhe ta zgjidhni atë në formën e tij të pastër.

Pra, si zgjidhet sistemi i ekuacioneve lineare Gaussian me këtë metodë? Nga rruga, megjithëse kjo metodë është emëruar pas tij, ajo u zbulua në kohët e lashta. Gauss propozon si më poshtë: të kryhen operacione me ekuacione në mënyrë që përfundimisht të reduktohet i gjithë grupi në një formë të shkallëzuar. Kjo do të thotë, është e nevojshme që nga lart poshtë (nëse vendoset saktë) nga ekuacioni i parë në të fundit, një e panjohur të zvogëlohet. Me fjalë të tjera, duhet të sigurohemi që të marrim, të themi, tre ekuacione: në të parën - tre të panjohura, në të dytën - dy, në të tretën - një. Pastaj nga ekuacioni i fundit gjejmë të panjohurën e parë, e zëvendësojmë vlerën e saj në ekuacionin e dytë ose të parë dhe më pas gjejmë dy variablat e mbetur.

Metoda Cramer

Për të zotëruar këtë metodë, është jetike të zotëroni aftësitë e mbledhjes, zbritjes së matricave dhe gjithashtu duhet të jeni në gjendje të gjeni përcaktues. Prandaj, nëse i bëni të gjitha këto dobët ose nuk dini fare, do t'ju duhet të mësoni dhe praktikoni.

Cili është thelbi i kësaj metode dhe si ta bëjmë atë në mënyrë që të merret një sistem ekuacionesh lineare Cramer? Gjithçka është shumë e thjeshtë. Duhet të ndërtojmë një matricë nga koeficientët numerikë (pothuajse gjithmonë) të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare. Për ta bërë këtë, thjesht marrim numrat përpara të panjohurave dhe i vendosim në tabelë sipas renditjes që janë shkruar në sistem. Nëse numri paraprihet nga një shenjë "-", atëherë shkruajmë një koeficient negativ. Pra, ne kemi përpiluar matricën e parë të koeficientëve të të panjohurave, duke mos përfshirë numrat pas shenjave të barabarta (natyrisht, ekuacioni duhet të reduktohet në formën kanonike, kur vetëm numri është në të djathtë, dhe të gjitha të panjohurat me koeficientët janë në të majtë). Pastaj ju duhet të krijoni disa matrica të tjera - një për secilën variabël. Për ta bërë këtë, në matricën e parë, nga ana tjetër, ne zëvendësojmë secilën kolonë me koeficientë me një kolonë numrash pas shenjës së barabartë. Kështu, marrim disa matrica dhe më pas gjejmë përcaktuesit e tyre.

Pasi kemi gjetur përcaktuesit, çështja është e vogël. Ne kemi një matricë fillestare, dhe ka disa matrica rezultuese që korrespondojnë me variabla të ndryshëm. Për të marrë zgjidhjet e sistemit, ne ndajmë përcaktorin e tabelës që rezulton me përcaktorin e tabelës fillestare. Numri që rezulton është vlera e njërit prej variablave. Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë të gjitha të panjohurat.

Metoda të tjera

Ekzistojnë disa metoda të tjera për të marrë një zgjidhje për sistemet e ekuacioneve lineare. Për shembull, e ashtuquajtura metoda Gauss-Jordan, e cila përdoret për të gjetur zgjidhje për sistemin ekuacionet kuadratike dhe lidhet edhe me përdorimin e matricave. Ekziston edhe një metodë Jacobi për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare. Është më e lehtë për t'u përshtatur me një kompjuter dhe përdoret në teknologjinë kompjuterike.

Raste të vështira

Kompleksiteti zakonisht lind kur numri i ekuacioneve është më i vogël se numri i variablave. Atëherë mund të themi me siguri se ose sistemi është i paqëndrueshëm (d.m.th., ai nuk ka rrënjë), ose numri i zgjidhjeve të tij priret në pafundësi. Nëse kemi rastin e dytë, atëherë duhet të shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të sistemit të ekuacioneve lineare. Ai do të përmbajë të paktën një variabël.

konkluzioni

Këtu kemi ardhur në fund. Le të përmbledhim: ne kemi analizuar se çfarë është një sistem dhe një matricë, kemi mësuar se si të gjejmë një zgjidhje të përgjithshme për një sistem ekuacionesh lineare. Përveç kësaj, u shqyrtuan opsione të tjera. Zbuluam se si zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare: metoda e Gausit dhe folëm për raste të vështira dhe mënyra të tjera për të gjetur zgjidhje.

Në fakt, kjo temë është shumë më e gjerë dhe nëse dëshironi ta kuptoni më mirë, atëherë ju këshillojmë të lexoni literaturë më të specializuar.

Një sistem ekuacionesh lineare është një bashkim i n ekuacioneve lineare, secila prej të cilave përmban k variabla. Është shkruar kështu:

Shumë, kur përballen me algjebër më të lartë për herë të parë, gabimisht besojnë se numri i ekuacioneve duhet domosdoshmërisht të përkojë me numrin e ndryshoreve. Në algjebrën e shkollës kjo është zakonisht rasti, por për algjebrën e lartë kjo, në përgjithësi, nuk është e vërtetë.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh është një sekuencë numrash (k 1 , k 2 , ..., k n ), që është zgjidhja e secilit ekuacion të sistemit, d.m.th. kur zëvendësohet në këtë ekuacion në vend të ndryshoreve x 1 , x 2 , ..., x n jep barazinë numerike të saktë.

Prandaj, të zgjidhësh një sistem ekuacionesh do të thotë të gjesh bashkësinë e të gjitha zgjidhjeve të tij ose të provosh se ky grup është bosh. Meqenëse numri i ekuacioneve dhe numri i të panjohurave mund të mos jenë të njëjtë, tre raste janë të mundshme:

1. Sistemi është i paqëndrueshëm, d.m.th. grupi i të gjitha zgjidhjeve është bosh. Një rast mjaft i rrallë që zbulohet lehtësisht, pavarësisht se cila metodë për të zgjidhur sistemin.
2. Sistemi është konsistent dhe i përcaktuar, d.m.th. ka saktësisht një zgjidhje. Versioni klasik, i njohur që nga shkolla.
3. Sistemi është konsistent dhe i papërcaktuar, d.m.th. ka pafundësisht shumë zgjidhje. Ky është opsioni më i vështirë. Nuk mjafton të thuhet se "sistemi ka një grup të pafund zgjidhjesh" - është e nevojshme të përshkruhet se si është rregulluar ky grup.

Ndryshorja x i quhet e lejuar nëse përfshihet vetëm në një ekuacion të sistemit, dhe me koeficient 1. Me fjalë të tjera, në ekuacionet e mbetura, koeficienti për ndryshoren x i duhet të jetë i barabartë me zero.

Nëse zgjedhim një variabël të lejuar në çdo ekuacion, marrim një grup variablash të lejuar për të gjithë sistemin e ekuacioneve. Vetë sistemi, i shkruar në këtë formë, do të quhet gjithashtu i lejuar. Në përgjithësi, i njëjti sistem fillestar mund të reduktohet në sisteme të ndryshme të lejuara, por kjo nuk na shqetëson tani. Këtu janë shembuj të sistemeve të lejuara:

Të dy sistemet lejohen në lidhje me variablat x 1 , x 3 dhe x 4 . Megjithatë, me të njëjtin sukses mund të argumentohet se sistemi i dytë lejohet në lidhje me x 1, x 3 dhe x 5. Mjafton të rishkruhet ekuacioni i fundit në formën x 5 = x 4 .

Tani merrni parasysh një rast më të përgjithshëm. Supozoni se kemi k variabla në total, nga të cilat r lejohen. Atëherë janë të mundshme dy raste:

1. Numri i variablave të lejuar r është i barabartë me numrin total të variablave k : r = k . Marrim një sistem k ekuacionesh në të cilin r = k ndryshore të lejuara. Një sistem i tillë është bashkëpunues dhe i përcaktuar, sepse x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Numri i variablave të lejuar r është më i vogël se numri total variablat k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Pra, në sistemet e mësipërme, variablat x 2 , x 5 , x 6 (për sistemin e parë) dhe x 2, x 5 (për të dytin) janë të lira. Rasti kur ka variabla të lirë formulohet më mirë si teoremë:

Ju lutemi vini re: kjo është një pikë shumë e rëndësishme! Në varësi të mënyrës se si e shkruani sistemin përfundimtar, e njëjta ndryshore mund të jetë edhe e lejuar edhe e lirë. Shumica e mësuesve të avancuar të matematikës rekomandojnë shkrimin e variablave sipas rendit leksikografik, d.m.th. indeksi në rritje. Megjithatë, nuk duhet ta ndiqni fare këtë këshillë.

Teorema. Nëse në një sistem prej n ekuacionesh variablat x 1 , x 2 , ..., x r janë të lejuara dhe x r + 1 , x r + 2 , ..., x k janë të lira, atëherë:

1. Nëse vendosim vlerat e ndryshoreve të lira (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), dhe më pas gjejmë vlerat x 1 , x 2 , . .., x r, marrim një nga zgjidhjet.
2. Nëse vlerat e ndryshoreve të lira në dy zgjidhje janë të njëjta, atëherë edhe vlerat e variablave të lejuara janë të njëjta, d.m.th. zgjidhjet janë të barabarta.

Cili është kuptimi i kësaj teoreme? Për të marrë të gjitha zgjidhjet e sistemit të lejuar të ekuacioneve, mjafton të veçohen variablat e lirë. Më pas, duke caktuar vlera të ndryshme variablave të lirë, do të marrim zgjidhje të gatshme. Kjo është e gjitha - në këtë mënyrë ju mund të merrni të gjitha zgjidhjet e sistemit. Nuk ka zgjidhje të tjera.

Përfundim: sistemi i lejuar i ekuacioneve është gjithmonë i pajtueshëm. Nëse numri i ekuacioneve në sistemin e lejuar është i barabartë me numrin e variablave, sistemi do të jetë i përcaktuar, nëse më pak, do të jetë i pacaktuar.

Dhe gjithçka do të ishte mirë, por lind pyetja: si ta marrim atë të zgjidhur nga sistemi origjinal i ekuacioneve? Për këtë ka