Për të punuar me konceptin e rangut të një matrice, na duhen informacione nga tema "Komplementet algjebrike dhe minoret. Llojet e minoreve dhe komplementet algjebrike" . Para së gjithash, kjo ka të bëjë me termin "matricë minor", pasi ne do të përcaktojmë gradën e një matrice pikërisht përmes të miturve.

Rangu i matricës emërtoni rendin maksimal të të miturve të tij, ndër të cilët ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero.

Matricat ekuivalente janë matrica, radhët e të cilave janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Le të shpjegojmë më në detaje. Supozoni se ka të paktën një nga të miturit e rendit të dytë që është i ndryshëm nga zero. Dhe të gjithë të miturit, rendi i të cilave është më i lartë se dy, janë të barabartë me zero. Përfundim: grada e matricës është 2. Ose, për shembull, midis të miturve të rendit të dhjetë ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero. Dhe të gjithë të miturit, rendi i të cilave është më i lartë se 10, janë të barabartë me zero. Përfundim: grada e matricës është 10.

Rangu i matricës $A$ shënohet si më poshtë: $\rang A$ ose $r(A)$. Rangu i matricës zero $O$ është vendosur i barabartë me zero, $\rang O=0$. Më lejoni t'ju kujtoj se për të formuar një matricë minore, kërkohet të kryqëzohen rreshtat dhe kolonat, por është e pamundur të kryqëzohen më shumë rreshta dhe kolona sesa përmban vetë matrica. Për shembull, nëse matrica $F$ ka madhësi $5\herë 4$ (d.m.th. përmban 5 rreshta dhe 4 kolona), atëherë rendi maksimal i minoreve të saj është katër. Nuk do të jetë më e mundur të formohen të mitur të rendit të pestë, pasi ata do të kërkojnë 5 kolona (dhe ne kemi vetëm 4). Kjo do të thotë se rangu i matricës $F$ nuk mund të jetë më i madh se katër, d.m.th. $\ranga F≤4$.

Në një formë më të përgjithshme, sa më sipër do të thotë se nëse matrica përmban rreshta $m$ dhe kolona $n$, atëherë rangu i saj nuk mund të kalojë numrin më të vogël të numrave $m$ dhe $n$, d.m.th. $\ranga A≤\min(m,n)$.

Në parim, metoda e gjetjes së saj rrjedh nga vetë përkufizimi i gradës. Procesi i gjetjes së renditjes së një matrice sipas përkufizimit mund të përfaqësohet skematikisht si më poshtë:

Më lejoni ta shpjegoj këtë diagram në më shumë detaje. Le të fillojmë të arsyetojmë që në fillim, d.m.th. me minorenë të rendit të parë të disa matricës $A$.

1. Nëse të gjitha minoret e rendit të parë (d.m.th., elementët e matricës $A$) janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=0$. Nëse midis të miturve të rendit të parë ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero, atëherë $\ranga A≥ 1$. Kalojmë në verifikimin e të miturve të rendit të dytë.
2. Nëse të gjitha minoret e rendit të dytë janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=1$. Nëse midis të miturve të rendit të dytë ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero, atëherë $\rangu A≥ 2$. Kalojmë në verifikimin e të miturve të rendit të tretë.
3. Nëse të gjitha minoret e rendit të tretë janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=2$. Nëse midis minoreve të rendit të tretë ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, atëherë $\rangu A≥ 3$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të katërt.
4. Nëse të gjitha minoret e rendit të katërt janë të barabarta me zero, atëherë $\rang A=3$. Nëse ka të paktën një minor jozero të rendit të katërt, atëherë $\ranga A≥ 4$. Kalojmë në verifikimin e të miturve të rendit të pestë etj.

Çfarë na pret në fund të kësaj procedure? Është e mundur që midis minoreve të rendit kth të ketë të paktën një që është i ndryshëm nga zero, dhe të gjitha minoret e rendit (k + 1) të jenë të barabarta me zero. Kjo do të thotë se k është rendi maksimal i të miturve midis të cilëve ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero, d.m.th. grada do të jetë e barabartë me k. Mund të ketë një situatë të ndryshme: midis të miturve të rendit k-të do të ketë të paktën një që nuk është e barabartë me zero, dhe minoret e rendit (k + 1) nuk mund të formohen. Në këtë rast, rangu i matricës është gjithashtu i barabartë me k. Shkurtimisht, renditja e minores së fundit jozero të përbërë dhe do të jetë e barabartë me gradën e matricës.

Le të kalojmë te shembujt në të cilët procesi i gjetjes së renditjes së një matrice sipas përkufizimit do të ilustrohet qartë. Edhe një herë theksoj se në shembujt e kësaj teme do të gjejmë renditjen e matricave duke përdorur vetëm përkufizimin e renditjes. Metoda të tjera (llogaritja e rangut të një matrice me metodën e kufirit të të miturve, llogaritja e renditjes së një matrice me metodën e transformimeve elementare) shqyrtohen në temat e mëposhtme.

Nga rruga, nuk është aspak e nevojshme të fillohet procedura për gjetjen e gradës nga të miturit e rendit më të vogël, siç u bë në shembujt nr.1 dhe nr.2. Mund të shkoni menjëherë te të miturit e urdhrave më të lartë (shih shembullin nr. 3).

Shembulli #1

Gjeni rangun e një matrice $A=\left(\begin(array)(cccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array)\djathtas)$.

Kjo matricë ka madhësi $3\herë 5$, d.m.th. përmban tre rreshta dhe pesë kolona. Nga numrat 3 dhe 5, 3 është minimumi, kështu që rangu i matricës $A$ është më së shumti 3, d.m.th. $\rend A≤ 3$. Dhe kjo pabarazi është e dukshme, pasi ne nuk mund të formojmë më minorenë të rendit të katërt - atyre u duhen 4 rreshta, dhe ne kemi vetëm 3. Le të vazhdojmë drejtpërdrejt në procesin e gjetjes së renditjes së një matrice të caktuar.

Midis minoreve të rendit të parë (d.m.th., midis elementeve të matricës $A$) ka ato jo zero. Për shembull, 5, -3, 2, 7. Në përgjithësi, ne nuk jemi të interesuar për numrin total të elementeve jozero. Ekziston të paktën një element jo zero - dhe kjo është e mjaftueshme. Meqenëse ka të paktën një jozero midis të miturve të rendit të parë, ne konkludojmë se $\ rang A≥ 1$ dhe vazhdojmë të kontrollojmë të miturit e rendit të dytë.

Le të fillojmë të eksplorojmë të miturit e rendit të dytë. Për shembull, në kryqëzimin e rreshtave #1, #2 dhe kolonave #1, #4 ka elemente të minores së mëposhtme: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (array) \djathtas| $. Për këtë përcaktor, të gjithë elementët e kolonës së dytë janë të barabartë me zero, prandaj vetë përcaktorja është e barabartë me zero, d.m.th. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (shih vetinë #3 në vetinë e përcaktorëve). Ose thjesht mund ta llogarisni këtë përcaktor duke përdorur formulën nr. 1 nga seksioni për llogaritjen e përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë:

$$ \majtas|\fillimi(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \djathtas|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Minorja e parë e rendit të dytë që kontrolluam doli të ishte e barabartë me zero. Çfarë thotë ajo? Për nevojën për të kontrolluar më tej të miturit e rendit të dytë. Ose të gjithë rezultojnë të jenë zero (dhe atëherë renditja do të jetë e barabartë me 1), ose midis tyre ka të paktën një minor që është i ndryshëm nga zero. Le të përpiqemi të bëjmë një zgjedhje më të mirë duke shkruar një minor të rendit të dytë, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e rreshtave #1, #2 dhe kolonave #1 dhe #5: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array)\djathtas|$. Le të gjejmë vlerën e kësaj minoreje të rendit të dytë:

$$ \majtas|\fillimi(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \djathtas|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Ky minor nuk është i barabartë me zero. Përfundim: në mesin e të miturve të rendit të dytë ka të paktën një tjetër përveç zeros. Prandaj $\rend A≥ 2$. Është e nevojshme të vazhdohet me studimin e të miturve të rendit të tretë.

Nëse për formimin e minoreve të rendit të tretë zgjedhim kolonën #2 ose kolonën #4, atëherë minore të tilla do të jenë të barabarta me zero (sepse ato do të përmbajnë një kolonë zero). Mbetet të kontrollohet vetëm një minor i rendit të tretë, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e kolonave nr.1, nr.3, nr.5 dhe rreshtave nr.1, nr.2, nr.3. Le të shkruajmë këtë minor dhe të gjejmë vlerën e tij:

$$ \majtas|\fillimi(grupi)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \djathtas|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Pra, të gjithë të miturit e rendit të tretë janë të barabartë me zero. Minorja e fundit jozero që përpiluam ishte e rendit të dytë. Përfundim: rendi maksimal i të miturve, ndër të cilët ka të paktën një tjetër përveç zeros, është i barabartë me 2. Prandaj, $\rang A=2$.

Përgjigju: $\rank A=2$.

Shembulli #2

Gjeni rangun e një matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \djathtas)$.

Ne kemi një matricë katrore të rendit të katërt. Vëmë re menjëherë se rangu i kësaj matrice nuk kalon 4, d.m.th. $\rend A≤ 4$. Le të fillojmë të gjejmë gradën e një matrice.

Midis minoreve të rendit të parë (d.m.th., midis elementeve të matricës $A$) ekziston të paktën një që nuk është e barabartë me zero, kështu që $\rangu A≥ 1$. Kalojmë në verifikimin e të miturve të rendit të dytë. Për shembull, në kryqëzimin e rreshtave Nr. 2, Nr. 3 dhe kolonave Nr. 1 dhe Nr. 2, marrim minorin e mëposhtëm të rendit të dytë: $\left| \fillim(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \djathtas|$. Le ta llogarisim:

$$ \majtas| \fillimi(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \djathtas|=0-10=-10. $$

Ndër të miturit e rendit të dytë, ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, kështu që $\ rang A≥ 2$.

Le të kalojmë tek të miturit e rendit të tretë. Le të gjejmë, për shembull, një të mitur, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e rreshtave nr. 1, nr. 3, nr. 4 dhe kolonave nr. 1, nr. 2, nr. 4:

$$ \majtas | \fillim(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \djathtas|=105-105=0. $$

Meqenëse kjo minorenë e rendit të tretë doli të jetë e barabartë me zero, është e nevojshme të hetohet një tjetër minorene e rendit të tretë. Ose të gjithë do të jenë të barabartë me zero (atëherë grada do të jetë e barabartë me 2), ose midis tyre do të ketë të paktën një që nuk është i barabartë me zero (atëherë do të fillojmë të studiojmë të miturit e rendit të katërt). Konsideroni një të mitur të rendit të tretë, elementët e të cilit ndodhen në kryqëzimin e rreshtave nr. 2, nr. 3, nr. 4 dhe kolonave nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$ \majtas| \fillim(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \djathtas|=-28. $$

Ekziston të paktën një minor jozero midis të miturve të rendit të tretë, kështu që $\ rang A≥ 3$. Le të kalojmë në kontrollin e të miturve të rendit të katërt.

Çdo minor i rendit të katërt ndodhet në kryqëzimin e katër rreshtave dhe katër kolonave të matricës $A$. Me fjalë të tjera, minori i rendit të katërt është përcaktuesi i matricës $A$, pasi kjo matricë përmban vetëm 4 rreshta dhe 4 kolona. Përcaktori i kësaj matrice është llogaritur në shembullin nr. 2 të temës "Zvogëlimi i rendit të përcaktorit. Zbërthimi i përcaktorit në një rresht (kolona)", kështu që le të marrim vetëm rezultatin e përfunduar:

$$ \majtas| \fillim(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \fund (array)\djathtas|=86. $$

Pra, minorja e rendit të katërt nuk është e barabartë me zero. Nuk mund të formojmë më të mitur të rendit të pestë. konkluzioni: rendit më të lartë të miturit, ndër të cilët ka të paktën një tjetër përveç zeros, është i barabartë me 4. Rezultati: $\rang A=4$.

Përgjigju: $\rank A=4$.

Shembulli #3

Gjeni rangun e një matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end(array)\djathtas)$.

Vini re menjëherë se kjo matricë përmban 3 rreshta dhe 4 kolona, ​​kështu që $\ranga A≤ 3$. Në shembujt e mëparshëm, ne filluam procesin e gjetjes së gradës duke marrë parasysh të miturit e rendit më të vogël (të parë). Këtu do të përpiqemi të kontrollojmë menjëherë të miturit e rendit më të lartë të mundshëm. Për matricën $A$, këto janë minorenë të rendit të tretë. Konsideroni një të mitur të rendit të tretë, elementët e të cilit shtrihen në kryqëzimin e rreshtave nr. 1, nr. 2, nr. 3 dhe kolonave nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$ \majtas| \fillim(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \djathtas|=-8-60-20=-88. $$

Pra, rendi më i lartë i të miturve, ndër të cilët ka të paktën një që nuk është i barabartë me zero, është 3. Prandaj, renditja e matricës është 3, d.m.th. $\rank A=3$.

Përgjigju: $\rank A=3$.

Në përgjithësi, gjetja e renditjes së një matrice sipas përkufizimit është, në rastin e përgjithshëm, një detyrë mjaft kohë. Për shembull, një matricë relativisht e vogël $5\herë 4$ ka 60 minorenë të rendit të dytë. Dhe edhe nëse 59 prej tyre janë të barabarta me zero, atëherë minori i 60-të mund të rezultojë të jetë jo zero. Pastaj ju duhet të eksploroni të miturit e rendit të tretë, nga të cilët kjo matricë ka 40 pjesë. Zakonisht dikush përpiqet të përdorë metoda më pak të vështira, të tilla si metoda e kufirit të të miturve ose metoda e transformimeve ekuivalente.

Përkufizimi. Rangu i matricësështë numri maksimal i rreshtave linearisht të pavarur të konsideruar si vektorë.

Teorema 1 në rangun e një matrice. Rangu i matricësështë rendi maksimal i një minoreje jozero të një matrice.

Ne kemi diskutuar tashmë konceptin e të miturit në mësimin për përcaktorët, dhe tani do ta përgjithësojmë atë. Le të marrim disa rreshta dhe disa kolona në matricë, dhe kjo "diçka" duhet të jetë më e vogël se numri i rreshtave dhe kolonave të matricës, dhe për rreshtat dhe kolonat kjo "diçka" duhet të jetë i njëjti numër. Pastaj në kryqëzimin e sa rreshtave dhe sa kolonave do të ketë një matricë me një renditje më të vogël se matrica jonë origjinale. Përcaktori i kësaj matrice do të jetë një minor i rendit k-të nëse "diçka" e përmendur (numri i rreshtave dhe kolonave) shënohet me k.

Përkufizimi. E vogla ( r+1)-të rendit, brenda së cilës shtrihet minoresha e zgjedhur r-rendi, quhet kufitar për minoren e dhënë.

Dy metodat më të përdorura gjetja e renditjes së një matrice. atë mënyra e frenimit të të miturve dhe Metoda e transformimeve elementare(me metodën e Gausit).

Metoda e kufirit të të miturve përdor teoremën e mëposhtme.

Teorema 2 në rangun e një matrice. Nëse është e mundur të kompozohet një minor nga elementet e matricës r rendi i th, i cili nuk është i barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me r.

Me metodën e transformimeve elementare, përdoret vetia e mëposhtme:

Nëse një matricë trapezoidale ekuivalente me atë origjinale fitohet nga transformimet elementare, atëherë rangu i kësaj matriceështë numri i rreshtave në të, përveç linjave që përbëhen tërësisht nga zero.

Gjetja e renditjes së një matrice me metodën e kufirit të të miturve

Minorja kufitare është minor i rendit më të lartë në raport me atë të dhënë, nëse ky minor i rendit më të lartë përmban minorin e dhënë.

Për shembull, duke pasur parasysh matricën

Le të marrim një të mitur

bordurët do të jenë të mitur të tillë:

Algoritmi për gjetjen e rangut të një matrice tjetër.

1. Gjejmë minore të rendit të dytë që nuk janë të barabarta me zero. Nëse të gjitha minoret e rendit të dytë janë të barabarta me zero, atëherë rangu i matricës do të jetë i barabartë me një ( r =1 ).

2. Nëse ekziston të paktën një minor i rendit të dytë që nuk është i barabartë me zero, atëherë kompozojmë minore të rendit të tretë kufizues. Nëse të gjithë të miturit kufitarë të rendit të tretë janë zero, atëherë rangu i matricës është dy ( r =2 ).

3. Nëse të paktën një nga minoret kufitare të rendit të tretë nuk është i barabartë me zero, atëherë kompozojmë të miturit që kufizojnë atë. Nëse të gjithë të miturit në kufi të rendit të katërt janë zero, atëherë rangu i matricës është tre ( r =2 ).

4. Vazhdoni për aq kohë sa e lejon madhësia e matricës.

Shembulli 1 Gjeni gradën e një matrice

.

Zgjidhje. Minoren e rendit të dytë .

Ne e kornizojmë atë. Do të jenë katër të mitur në kufi:

,

,

Kështu, të gjithë të miturit e rendit të tretë në kufi janë të barabartë me zero, prandaj, renditja e kësaj matrice është dy ( r =2 ).

Shembulli 2 Gjeni gradën e një matrice

Zgjidhje. Renditja e kësaj matrice është 1, pasi të gjithë të miturit e rendit të dytë të kësaj matrice janë të barabarta me zero (në këtë, si në rastet e të miturve në kufi në dy shembujt e ardhshëm, të dashur studentë ftohen të verifikojnë vetë, ndoshta duke përdorur rregullat për llogaritjen e përcaktorëve), dhe midis të miturve të rendit të parë, domethënë midis elementeve të matricës, nuk janë të barabartë me zero.

Shembulli 3 Gjeni gradën e një matrice

Zgjidhje. Minorja e rendit të dytë e kësaj matrice është, dhe të gjitha minoret e rendit të tretë të kësaj matrice janë zero. Prandaj, rangu i kësaj matrice është dy.

Shembulli 4 Gjeni gradën e një matrice

Zgjidhje. Renditja e kësaj matrice është 3 sepse e vetmja minore e rendit të tretë e kësaj matrice është 3.

Gjetja e renditjes së një matrice me metodën e transformimeve elementare (me metodën e Gausit)

Tashmë në Shembullin 1, mund të shihet se problemi i përcaktimit të renditjes së një matrice me metodën e kufirit të të miturve kërkon llogaritjen një numër i madh përcaktuesit. Megjithatë, ekziston një mënyrë për të reduktuar sasinë e llogaritjes në minimum. Kjo metodë bazohet në përdorimin e transformimeve elementare të matricës dhe quhet edhe metoda e Gausit.

Transformimet elementare të një matrice nënkuptojnë veprimet e mëposhtme:

1) shumëzimi i çdo rreshti ose çdo kolone të matricës me një numër të ndryshëm nga zero;

2) duke i shtuar elementeve të çdo rreshti ose ndonjë kolone të matricës elementet përkatëse të një rreshti ose kolone tjetër, të shumëzuar me të njëjtin numër;

3) ndërrimi i dy rreshtave ose kolonave të një matrice;

4) heqja e rreshtave "nul", domethënë atyre, të gjithë elementët e të cilëve janë të barabartë me zero;

5) fshirja e të gjitha vijave proporcionale, përveç njërës.

Teorema. Transformimi elementar nuk e ndryshon rangun e matricës. Me fjalë të tjera, nëse përdorim transformime elementare nga matrica A shkoni në matricë B, pastaj .

Konsideroni një matricë A me madhësi .

A=
Zgjidhni k rreshta dhe k kolona në të (
).

Përkufizimi 26:Të mitur Rendi k-të i matricës A është përcaktor i matricës katrore, e cila fitohet nga ajo e dhënë me përzgjedhje në të.

k rreshta dhe k kolona.

Përkufizimi 27:gradë matrica quhet më e madhja nga rendet jo zero të minoreve të saj, r(A).

Përkufizimi 28: Quhet një i mitur, rendi i të cilit është i njëjtë me gradën e tij bazë e vogël.

Deklaratë:

1. Rangu shprehet si numër i plotë.(
)

2.r=0,
kur A është zero.

Shndërrimet elementare të matricave.

Transformimet elementare të matricave përfshijnë si më poshtë:

1) shumëzimi i të gjithë elementëve të çdo rreshti (kolone) të matricës me të njëjtin numër.

2) shtimi i elementeve të çdo rreshti (kolone) të matricës së elementeve përkatës të një rreshti (kolone) tjetër të shumëzuar me të njëjtin numër;

3) ndërrimi i rreshtave (kolonave) të matricës;

4) hedhja e rreshtit zero (kolona);

5) zëvendësimi i rreshtave të matricës me kolonat përkatëse.

Përkufizimi 29: Matricat e marra nga njëra-tjetra, sipas transformimeve elementare, quhen matrica ekuivalente, të shënuara me "~"

Vetia kryesore e matricave ekuivalente: Radhët e matricave ekuivalente janë të barabarta.

Shembulli 18: Llogaritni r(A),

Zgjidhja: Shumëzoni rreshtin e parë hap pas hapi me (-4)(-2)

(-7) dhe më pas shtoni respektivisht në rreshtat e dytë, të tretë dhe të katërt.

~

ndërroni rreshtin e dytë dhe të katërt
shumëzojeni rreshtin e dytë me (-2) dhe shtoni në rreshtin e katërt; shtoni rreshtin e dytë dhe të tretë.

shtoni rreshtin e tretë dhe të katërt.

~
hidhni vijën null

~
r(A)=3
rangu i matricës origjinale

është e barabartë me tre.

Përkufizimi 30: Ne e quajmë një matricë A një matricë hapi nëse të gjithë elementët e diagonales kryesore 0, dhe elementet nën diagonalen kryesore janë zero.

Fjali:

1) grada e një matrice hapi është e barabartë me numrin e rreshtave të saj;

2) çdo matricë mund të reduktohet në një formë hapi me ndihmën e transformimeve elementare.

Shembulli 19: Në cilat vlera të matricës 
ka gradë të barabartë me një?

Zgjidhja: Rangu është i barabartë me një nëse përcaktorja e rendit të dytë është e barabartë me zero, d.m.th.

§6. Sistemet e ekuacioneve lineare të formës së përgjithshme.

sistemi i pamjes
---(9) quhet sistem i formës së përgjithshme.

Përkufizimi 31: Dy sisteme quhen ekuivalente (ekuivalente) nëse çdo zgjidhje e sistemit të parë është zgjidhje e të dytit dhe anasjelltas.

Në sistemin (1) matrica A=
do të quhet matrica kryesore e sistemit, dhe =
sistemi i zgjeruar i matricës

Teorema. Kronecker-Cappelli

Që sistemi (9) të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës kryesore të sistemit të jetë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, d.m.th., r(A)=r( )

Teorema 1. Nëse rangu i matricës së një sistemi konsistent është i barabartë me numrin e të panjohurave, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike.

Teorema 2. Nëse rangu i matricës së një sistemi të përbashkët është më i vogël se numri i të panjohurave, atëherë sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Rregulli për zgjidhjen e një sistemi arbitrar të ekuacioneve lineare:

1) gjeni radhët e matricave kryesore dhe të zgjeruara të sistemit. Nese nje
, atëherë sistemi është i paqëndrueshëm.

2) Nëse
=r, atëherë sistemi është i pajtueshëm. Gjeni disa minore themelore të rendit r. Ne do të quajmë minoren bazë, në bazë të së cilës u përcaktua grada e matricës.

Të panjohurat koeficientët e të cilëve përfshihen në minorën bazë quhen kryesore (bazë) dhe të majtë në të majtë, ndërsa të panjohurat e mbetura quhen të lira dhe transferohen në anën e djathtë të ekuacionit.

3) Gjeni shprehjet e të panjohurave kryesore për sa i përket atyre të lira. Përftohet zgjidhja e përgjithshme e sistemit.

Shembulli 20: Hetoni sistemin dhe, në rast të përputhshmërisë së tij, gjeni një zgjidhje unike ose të përgjithshme

Zgjidhja: 1) sipas T. Kronecker-Capelli, gjejmë radhët e matricave të zgjeruara dhe themelore të sistemit:

~
~

~
~
grada e matricës kryesore është dy

2) gjeni rangun e matricës së shtuar
~
~
~

3) konkluzioni:
=2, atëherë sistemi është i pajtueshëm.

Por

sistemi është i pacaktuar dhe ka një numër të pafund zgjidhjesh.

4) Të panjohurat themelore dhe , meqenëse i përkasin të miturës bazë, dhe - i panjohur falas.

Le =c, ku c është çdo numër.

5) Matrica e fundit korrespondon me sistemin

6) Përgjigje:

7) Verifikimi: në cilindo nga ekuacionet e sistemit origjinal, ku janë të pranishme të gjitha të panjohurat, ne zëvendësojmë vlerat e gjetura.

Numri r quhet rangu i matricës A nëse:
1) matrica A përmban një minore jozero të rendit r;
2) të gjitha minoret e rendit (r + 1) dhe më të larta, nëse ekzistojnë, janë të barabarta me zero.
Përndryshe, renditja e një matrice është rendi më i lartë i një minoreje jo zero.
Emërtimet: rangA , r A ose r .
Nga përkufizimi rrjedh se r është një numër i plotë pozitiv. Për një matricë zero, rangu konsiderohet të jetë zero.

Detyrë shërbimi. Llogaritësi në internet është krijuar për të gjetur renditja e matricës. Zgjidhja ruhet në format Word dhe Excel. shih shembullin e zgjidhjes.

Udhëzim. Zgjidhni dimensionin e matricës, klikoni Next.

Përkufizimi . Le të jepet një matricë e rangut r. Çdo matricë e vogël përveç zeros dhe e rendit r quhet bazë, dhe rreshtat dhe kolonat e përbërësve të saj quhen rreshta dhe kolona bazë.
Sipas këtij përkufizimi, matrica A mund të ketë disa minore bazë.

Rangu i matricës së identitetit E është n (numri i rreshtave).

Shembulli 1 . Duke pasur parasysh dy matrica, dhe të miturit e tyre , . Cila prej tyre mund të merret si bazë?
Zgjidhje. Minorja M 1 =0, kështu që nuk mund të jetë bazë për asnjë nga matricat. Minor M 2 =-9≠0 dhe ka rend 2, kështu që mund të merret si matrica bazë e A ose / dhe B, me kusht që ato të kenë renditje të barabarta me 2 . Meqenëse detB=0 (si përcaktor me dy kolona proporcionale), atëherë rangB=2 dhe M 2 mund të merren si bazë minore e matricës B. Rangu i matricës A është 3, për faktin se detA=-27≠ 0 dhe, si rrjedhim, rendi bazë minor i kësaj matrice duhet të jetë 3, domethënë M 2 nuk është bazë për matricën A . Vini re se matrica A ka një bazë unike minore të barabartë me përcaktuesin e matricës A.

Teorema (në bazë të vogël). Çdo rresht (kolona) i një matrice është një kombinim linear i rreshtave (kolonave) të saj bazë.
Pasojat nga teorema.

1. Çdo (r+1) kolonë (rresht) e një matrice të rangut r janë të varura linearisht.
2. Nëse renditja e një matrice është më e vogël se numri i rreshtave (kolonave) të saj, atëherë rreshtat (kolonat) e saj varen në mënyrë lineare. Nëse rangA është e barabartë me numrin e rreshtave (kolonave) të tij, atëherë rreshtat (kolonat) janë linearisht të pavarura.
3. Përcaktori i një matrice A është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse rreshtat (kolonat) e saj janë të varura në mënyrë lineare.
4. Nëse një rresht (kolona) tjetër i shumëzuar me ndonjë numër tjetër përveç zeros i shtohet një rreshti (kolona) të një matrice, atëherë rangu i matricës nuk do të ndryshojë.
5. Nëse kaloni një rresht (kolona) në matricë, i cili është një kombinim linear i rreshtave (kolonave) të tjera, atëherë rangu i matricës nuk do të ndryshojë.
6. Rangu i një matrice është i barabartë me numrin maksimal të rreshtave (kolonave) të saj linearisht të pavarur.
7. Numri maksimal i rreshtave linearisht të pavarur është i njëjtë si numri maksimal kolona të pavarura në mënyrë lineare.

Shembulli 2. Gjeni gradën e një matrice .
Zgjidhje. Bazuar në përkufizimin e rangut të një matrice, ne do të kërkojmë një minor të rendit më të lartë që është i ndryshëm nga zero. Së pari, ne e transformojmë matricën në një formë më të thjeshtë. Për ta bërë këtë, shumëzojeni rreshtin e parë të matricës me (-2) dhe shtoni në të dytin, pastaj shumëzojeni atë me (-1) dhe shtoni të tretën.

Ky artikull do të diskutojë një koncept të tillë si renditja e një matrice dhe konceptet e nevojshme shtesë. Ne do të japim shembuj dhe prova për gjetjen e renditjes së një matrice, dhe gjithashtu do t'ju tregojmë se çfarë është një matricë minore dhe pse është kaq e rëndësishme.

Matricë e vogël

Për të kuptuar se cili është rangu i një matrice, është e nevojshme të kuptohet një koncept i tillë si një matricë e vogël.

Përkufizimi 1

Minorekmatrica e rendit të th - përcaktorja e një matrice katrore të rendit k × k, e cila përbëhet nga elementët e matricës A, të vendosura në k-rreshta dhe k-kolona të parazgjedhura, duke ruajtur pozicionin e elementeve të matricës A.

E thënë thjesht, nëse në matricën A fshijmë (p-k) rreshtat dhe (n-k) kolonat, dhe nga ato elemente që mbeten, bëjmë një matricë, duke mbajtur renditjen e elementeve të matricës A, atëherë përcaktori i matricës që rezulton është ​minori i rendit k i matricës A.

Nga shembulli del se minorët e rendit të parë të matricës A janë vetë elementët e matricës.

Mund të japim disa shembuj të të miturve të rendit të dytë. Le të zgjedhim dy rreshta dhe dy kolona. Për shembull, rreshti 1 dhe 2, kolona 3 dhe 4.

Me këtë zgjedhje të elementeve, minori i rendit të dytë do të jetë - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Një tjetër minor i rendit të dytë i matricës A është 0 0 1 1 = 0

Le të japim ilustrime të ndërtimit të të miturve të rendit të dytë të matricës A:

Minorja e rendit të tretë fitohet duke fshirë kolonën e tretë të matricës A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Një ilustrim se si fitohet minorja e rendit të tretë të matricës A:

Për një matricë të caktuar, nuk ka minore më të larta se rendi i 3-të, sepse

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Sa minore të rendit k-të ka për një matricë A të rendit p×n?

Numri i të miturve llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

C p k × C n k , g e C p k = p ! k! (p - k) ! dhe C nk = n ! k! (n - k) ! - numri i kombinimeve nga p në k, nga n në k, përkatësisht.

Pasi të kemi vendosur se cilat janë minorët e matricës A, mund të vazhdojmë me përcaktimin e renditjes së matricës A.

Rangu i matricës: metodat e gjetjes

Rangu i matricës - renditja më e lartë e matricës, përveç zeros.

Emërtimi 1

Renditja (A), Rg (A), Rang (A).

Nga përkufizimi i renditjes së një matrice dhe minorit të një matrice, bëhet e qartë se grada e një matrice zero është e barabartë me zero, dhe renditja e një matrice jo zero është e ndryshme nga zero.

Gjetja e renditjes së një matrice sipas përkufizimit

Metoda e numërimit të vogël - një metodë e bazuar në përcaktimin e renditjes së një matrice.

Algoritmi i veprimeve me numërimin e të miturve :

Është e nevojshme të gjesh renditjen e rendit të matricës A fq× n. Nëse ka të paktën një element jo zero, atëherë rangu i matricës është të paktën i barabartë me një ( sepse është një minor i rendit të parë që nuk është i barabartë me zero).

Më pas vijon numërimi i të miturve të rendit të dytë. Nëse të gjitha minoret e rendit të dytë janë të barabarta me zero, atëherë renditja është e barabartë me një. Nëse ka të paktën një minor jo zero të rendit të dytë, është e nevojshme të shkoni në numërimin e të miturve të rendit të tretë, dhe rangu i matricës, në këtë rast, do të jetë së paku dy.

Le të bëjmë të njëjtën gjë me renditjen e rendit të tretë: nëse të gjitha minoret e matricës janë të barabarta me zero, atëherë renditja do të jetë e barabartë me dy. Nëse ka të paktën një minor të rendit të tretë jo zero, atëherë rangu i matricës është të paktën tre. Dhe kështu me radhë, për analogji.

Shembulli 2

Gjeni gradën e një matrice:

A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Meqenëse matrica është jo zero, rangu i saj është të paktën i barabartë me një.

Minorja e rendit të dytë - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 është jo zero. Kjo nënkupton që rangu i matricës A është të paktën dy.

Ne i renditim të miturit e rendit të tretë: C 3 3 × C 5 3 \u003d 1 5 ! 3! (5-3)! = 10 copë.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Të miturit e rendit të tretë janë zero, kështu që renditja e matricës është dy.

Përgjigju : Renditja (A) = 2.

Gjetja e renditjes së një matrice me metodën e fringing të të miturve

Metoda e vogël e fringimit - një metodë që ju lejon të merrni një rezultat me më pak punë llogaritëse.

Fringing i vogël - minor M o k (k + 1) -rendi i th i matricës A, i cili kufizohet me minorin M të rendit k të matricës A, nëse matrica që i përgjigjet minorit M o k "përmban" matricën që i përgjigjet minorit. M.

E thënë thjesht, matrica që i korrespondon minorit M me kufi merret nga matrica që i korrespondon minorit kufitar M o k duke fshirë elementet e një rreshti dhe një kolone.

Shembulli 3

Gjeni gradën e një matrice:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Për të gjetur gradën, marrim minorin e rendit të dytë M = 2 - 1 4 1

Ne shkruajmë të gjithë të miturit në kufi:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Për të vërtetuar metodën e kufirit të minoreve, ne paraqesim një teoremë, formulimi i së cilës nuk kërkon një bazë provuese.

Teorema 1

Nëse të gjitha minoret që kufizojnë minorën e rendit k-të të një matrice A të rendit p me n janë të barabarta me zero, atëherë të gjitha minoret e rendit (k + 1) të matricës A janë të barabarta me zero.

Algoritmi i veprimit :

Për të gjetur gradën e një matrice, nuk është e nevojshme të kaloni nëpër të gjithë të miturit, thjesht shikoni kufijtë.

Nëse të miturit në kufi janë të barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është zero. Nëse ekziston të paktën një minor që nuk është i barabartë me zero, atëherë ne konsiderojmë të mitur në kufi.

Nëse të gjitha janë zero, atëherë Renditja (A) është dy. Nëse ka të paktën një të vogël kufitare jozero, atëherë ne vazhdojmë të marrim parasysh të miturat kufitare të saj. Dhe kështu me radhë, në një mënyrë të ngjashme.

Shembulli 4

Gjeni rangun e një matrice me metodën e fringing të të miturve

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Si të vendosni?

Meqenëse elementi a 11 i matricës A nuk është i barabartë me zero, atëherë marrim minorin e rendit të parë. Le të fillojmë të kërkojmë për një të vogël kufitare përveç zeros:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

Ne kemi gjetur një minor kufitar të rendit të dytë që nuk është i barabartë me zero 2 0 4 1 .

Le të numërojmë minoret kufitare - (ka (4 - 2) × (5 - 2) = 6 copë).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Përgjigju : Renditja (A) = 2.

Gjetja e renditjes së një matrice me metodën e Gausit (duke përdorur transformimet elementare)

Kujtoni cilat janë transformimet elementare.

Transformimet elementare:

• duke riorganizuar rreshtat (kolonat) e matricës;
• duke shumëzuar të gjithë elementët e çdo rreshti (kolone) të matricës me një numër arbitrar jo zero k;

duke i shtuar elementeve të çdo rreshti (kolone) elemente që i përgjigjen një rreshti (kolone) tjetër të matricës, të cilët shumëzohen me një numër arbitrar k.

Përkufizimi 5

Gjetja e renditjes së një matrice duke përdorur metodën e Gausit - një metodë e bazuar në teorinë e ekuivalencës së matricës: nëse matrica B merret nga matrica A duke përdorur një numër të fundëm transformimesh elementare, atëherë Rank(A) = Rank(B).

Vlefshmëria e kësaj deklarate rrjedh nga përkufizimi i matricës:

• në rastin e një ndryshimi të rreshtave ose kolonave të një matrice, përcaktori i saj ndryshon shenjën. Nëse është e barabartë me zero, atëherë kur ndërrojmë rreshta ose kolona mbetet e barabartë me zero;
• në rastin e shumëzimit të të gjithë elementëve të çdo rreshti (kolone) të matricës me një numër arbitrar k, i cili nuk është i barabartë me zero, përcaktori i matricës që rezulton është i barabartë me përcaktuesin e matricës origjinale, i cili shumëzohet nga k;

në rastin e shtimit të elementeve të një rreshti ose kolone të caktuar të matricës elementet përkatëse të një rreshti ose kolone tjetër, të cilat shumëzohen me numrin k, nuk ndryshon përcaktorin e saj.

Thelbi i metodës së transformimeve elementare : zvogëloni matricën, rangu i së cilës duhet gjetur, në një matricë trapezoidale duke përdorur transformime elementare.

Per cfare?

Renditja e matricave të këtij lloji është mjaft e lehtë për t'u gjetur. Është e barabartë me numrin e rreshtave që kanë të paktën një element jonul. Dhe meqenëse rangu nuk ndryshon gjatë transformimeve elementare, kjo do të jetë radha e matricës.

Le të ilustrojmë këtë proces:

• për matricat drejtkëndore A të rendit p me n, numri i rreshtave të të cilave më shumë numër kolonat:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n 0 - 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

• për matricat drejtkëndore A të rendit p me n, numri i rreshtave të të cilave është më i vogël se numri i kolonave:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• për matricat katrore Dhe rendit n me n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n 0 - 1 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k ,< n

Shembulli 5

Gjeni gradën e matricës A duke përdorur transformimet elementare:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Si të vendosni?

Meqenëse elementi a 11 është jo zero, është e nevojshme të shumëzohen elementët e rreshtit të parë të matricës A me 1 a 11 \u003d 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Elementeve të rreshtit të dytë i shtojmë elementët përkatës të rreshtit të parë, të cilët shumëzohen me (-3). Elementeve të rreshtit të tretë shtojmë elementet e rreshtit të parë, të cilët shumëzohen me (-1):

~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Elementi a 22 (2) është jo zero, kështu që ne i shumëzojmë elementet e rreshtit të dytë të matricës A me A (2) me a 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Elementeve të rreshtit të 3-të të matricës që rezulton, shtojmë elementët përkatës të rreshtit të 2-të, të cilët shumëzohen me 3 2;
• tek elementët e rreshtit të 4-të - elementët e rreshtit të 2-të, të cilët shumëzohen me 9 2;
• tek elementët e rreshtit të 5-të - elementët e rreshtit të 2-të, të cilët shumëzohen me 3 2 .

Të gjithë elementët e rreshtit janë zero. Kështu, me ndihmën e shndërrimeve elementare matricën e kemi reduktuar në formë trapezoidale, nga e cila shihet se R a n k (A (4)) = 2 . Nga kjo rrjedh se grada e matricës origjinale është gjithashtu e barabartë me dy.

Koment

Nëse kryeni transformime elementare, atëherë vlerat e përafërta nuk lejohen!

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter