Lëreni një vektor ( X , në , z ).

Le të shënojmë këndet e prirjes së këtij vektori ndaj boshteve Oh, oh dhe Oz përkatësisht shkronjat , dhe. tre numra cos, cos dhe cos thirrur kosinuset e drejtimit të vektorit. Duke supozuar = (1; 0; 0 ) marrim nga (9)

Në mënyrë të ngjashme

Nga formula (11) - (13) vijon:

1) cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 ,

ato. shuma e kosinuseve me drejtim katror të çdo vektori jozero është e barabartë me një;

ato.kosinuset e drejtimit të këtij vektori janë proporcionale me projeksionet përkatëse të tij.

Shënim. Nga formula (11)-(13) mund të shihet se projeksionet e çdo vektori njësi në boshtet koordinative, përkatësisht, përkojnë me kosinuset e drejtimit të tij dhe, për rrjedhojë,

Shembull. Gjeni kosinuset e drejtimit të një vektori (1; 2; 2). Sipas formulave (11)-(13) kemi

4. Prodhimi vektorial i dy vektorëve dhe vetitë kryesore të tij.

Përkufizimi. Prodhimi vektorial i dy vektorëvedhe quhet një vektor i ri, moduli i të cilit është i barabartë me sipërfaqen e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë dhe i reduktuar në një origjinë të përbashkët, dhe që është pingul me vektorët e shumëzuar (me fjalë të tjera, pingul me rrafshin e paralelogramit të ndërtuara mbi to) dhe të drejtuara në një drejtim të tillë që kthesa më e shkurtër nga rreth vektorit që rezulton duket se po ndodh në drejtim të kundërt të akrepave të orës kur shikohet nga fundi i vektorit (Fig. 40).

Nëse vektorët janë kolinear, atëherë të tyre produkt vektorial konsiderohet i barabartë me vektorin zero. Nga ky përkufizim del se

|| = || || mëkati,

ku është këndi midis vektorëve dhe ( 0 ). Prodhimi kryq i vektorëve dhe shënohet me simbolin

x ose ose [,].

Le të zbulojmë kuptimin fizik të produktit vektor. Nëse vektori paraqet atë të aplikuar në një pikë Znj silo, dhe vektori shkon nga një pikë O pikërisht M, pastaj vektori = paraqet momentin e forcës rreth pikës O.

Karakteristikat e produkteve të kryqëzuara

1 . Kur faktorët riorganizohen, produkti vektorial ndryshon shenjën, d.m.th.

x = -(x).

()x=x()=(x), ku është një skalar.

3. Produkti vektorial i bindet ligjit të shpërndarjes, d.m.th.

4. Nëse prodhimi vektorial i dy vektorëve është i barabartë me vektorin zero, atëherë ose të paktën njëri nga vektorët e shumëzuar është i barabartë me vektorin zero (rasti i parëndësishëm), ose sinusi i këndit ndërmjet tyre është i barabartë me zero, d.m.th. vektorët janë kolinearë.

Mbrapa, nëse dy vektorë jozero janë kolinearë, atëherë produkti i tyre vektor është i barabartë me vektorin zero.

Në këtë mënyrë , që dy vektorë jozero u të jenë kolinearë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që produkti i tyre vektorial të jetë i barabartë me vektorin zero.

Nga kjo, në veçanti, rrjedh se produkti vektorial i një vektori dhe i vetvetes është i barabartë me vektorin zero:

x =0

(X quajtur edhe vektor vektor katror .

5. Produkti i përzier i tre vektorëve dhe vetitë kryesore të tij.

Le të jenë tre vektorë , dhe. Imagjinoni që vektori të shumëzohet në mënyrë vektoriale dhe vektori x që rezulton shumëzohet në mënyrë shkallëzuese me vektorin, duke përcaktuar kështu numrin (x). Ajo quhet ose produkt i përzier tre vektorë, dhe.

Për shkurtësi, produkti i përzier (x) do të shënohet me ose ().

Le të zbulojmë kuptimin gjeometrik të produktit të përzier. Lërini vektorët e konsideruar të jenë jokomplanarë. Le të ndërtojmë një paralelipiped në vektorë dhe si në skaje.

Produkti kryq x është një vektor (=) numerikisht i barabartë me sipërfaqen e paralelogramit OADB (baza e paralelopipedit të ndërtuar), e ndërtuar mbi vektorë dhe e drejtuar pingul me rrafshin e paralelogramit (Fig. 41).

Produkti skalar (x)=është prodhimi i modulit të vektorit dhe projeksionit të vektorit (shih pikën 1, (2)).

Lartësia e paralelepipedit të ndërtuar është vlera absolute e këtij projeksioni.

Prandaj, produkti | | në vlerë absolute është e barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës së paralelopipedit dhe lartësisë së tij, d.m.th. vëllimi i një paralelepipedi të ndërtuar mbi vektorë, dhe.

Është e rëndësishme të theksohet se produkti skalar jep vëllimin e paralelipipedit, herë me shenjë pozitive e herë negative. Një shenjë pozitive merret nëse këndi midis vektorëve është i mprehtë; negative - nëse është budalla. Me një kënd të mprehtë midis dhe vektori ndodhet në të njëjtën anë të planit OADB , i cili është vektori dhe, për rrjedhojë, nga fundi i vektorit, rrotullimi nga k do të shihet në të njëjtën mënyrë si nga fundi i vektorit, d.m.th. në drejtim pozitiv (në drejtim të kundërt të akrepave të orës).

Në një kënd të mpirë midis vektorit të vendosur në anën tjetër të planit OADB se vektori, dhe kështu nga fundi i vektorit, rrotullimi nga k do të shihet në drejtim negativ (në drejtim të akrepave të orës). Me fjalë të tjera, produkti është pozitiv nëse vektorët dhe formojnë një sistem me të njëjtin emër me Oxyz kryesor (të vendosura reciprokisht në të njëjtën mënyrë si boshtet Ox, Oy, Oz), dhe është negativ nëse vektorët formojnë një sistem. që është e ndryshme nga ajo kryesore.

Në këtë mënyrë, produkti i përzier është një numër,vlera absolute e së cilës shpreh vëllimin e paralelopipedit,ndërtuar mbi vektorë,si në brinjë.

Shenja e produktit është pozitive nëse vektorët ,, formojnë një sistem me të njëjtin emër si ai kryesor, dhe negativ përndryshe.

Nga kjo rrjedh se vlera absolute e produktit = (x) do të mbetet e njëjtë, në çfarëdo radhe të marrim faktorët,,. Sa i përket shenjës, ajo do të jetë pozitive në disa raste, negative në të tjera; varet nëse tre vektorët tanë, të marrë në një rend të caktuar, formojnë një sistem me të njëjtin emër si ai kryesor, apo jo. Vini re se boshtet tona të koordinatave janë të vendosura në atë mënyrë që të ndjekin njëri pas tjetrit në drejtim të kundërt të akrepave të orës, nëse shikoni në pjesën e brendshme (Fig. 42). Rendi i vazhdimësisë nuk cenohet nëse e nisim turneun nga aksi i dytë ose nga i treti, përderisa ai bëhet në të njëjtin drejtim, d.m.th. në drejtim të kundërt të orës. Në këtë rast, shumëzuesit riorganizohen në një rend rrethor (ciklikisht). Kështu, marrim pronën e mëposhtme:

Produkti i përzier nuk ndryshon me një ndërrim rrethor (ciklik) të faktorëve të tij. Ndërrimi i dy faktorëve fqinjë ndryshon shenjën e produktit

= ==-()=-()=-().

Së fundi, nga kuptimi gjeometrik produkt i përzier, menjëherë pason pohimi i mëposhtëm.

Një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për krahasimin e vektorëve,,është barazia me zero e produktit të tyre të përzier:

Def. 1.5.6. Kosinuset e drejtimit vektoriale a le t'i quajmë kosinuset e atyre këndeve që formon ky vektor me vektorët bazë, përkatësisht, i , j , k .

Kosinuset e drejtimit të vektorit a = (X, në, z) gjenden me formulat:

Shuma e katrorëve të kosinuseve të drejtimit është e barabartë me një:

Kosinuset e drejtimit të vektorit a janë koordinatat e orthit të tij: .

Le të vektorët bazë i , j , k nxjerrë nga një pikë e përbashkët O. Do të supozojmë se ortat vendosin drejtimet pozitive të boshteve Oh, OU, Oz. mbledhjen e pikëve O (origjinën) dhe një bazë ortonormale i , j , k thirrur Sistemi i koordinatave drejtkëndore kartezian në hapësirë. Le PORështë një pikë arbitrare në hapësirë. Vektor a = OA= x i + y j + z k thirrur vektori i rrezes pikë POR, koordinatat e këtij vektori ( x, y, z) quhen edhe koordinata pikash POR(simboli: POR(x, y, z)). Boshtet e koordinatave Oh, OU, Oz i quajtur gjithashtu, përkatësisht, boshti abshissa, boshti ordinator, boshti aplikojnë.

Nëse vektori jepet me koordinatat e pikës fillestare të tij AT 1 (x 1 , y 1 , z 1) dhe pika përfundimtare AT 2 (x 2 , y 2 , z 2), atëherë koordinatat e vektorit janë të barabarta me ndryshimin midis koordinatave të fundit dhe fillimit: (pasi ).

Sistemet e koordinatave drejtkëndore karteziane në rrafsh dhe në vijë përcaktohen saktësisht në të njëjtën mënyrë me ndryshimet sasiore (sipas dimensionit) përkatës.

Zgjidhja e detyrave tipike.

Shembulli 1 Gjeni gjatësinë dhe drejtimin e kosinusit të një vektori a = 6i – 2j -3k .

Zgjidhje. Gjatësia e vektorit: . Kosinuset e drejtimit: .

Shembulli 2 Gjeni koordinatat vektoriale a , duke formuar me boshte koordinative të barabarta qoshe të mprehta, nëse gjatësia e këtij vektori është .

Zgjidhje. Meqenëse , pastaj duke zëvendësuar në formulën (1.6), marrim . Vektor a formon kënde të mprehta me boshtet koordinative, pra orto . Prandaj, gjejmë koordinatat e vektorit .

Shembulli 3 Janë dhënë tre vektorë joplanarë e 1 = 2i – k , e 2 = 3i + 3j , e 3 = 2i + 3k . Vektori i zbërthimit d = i + 5j - 2k bazë e 1 , e 2 , e 3 .

Le të jepet një vektor. Vektori njësi në të njëjtin drejtim si (vektor vektor ) gjendet me formulën:

.

Lëreni boshtin formon kënde me boshtet koordinative
.Kosinuset e drejtimit të boshtit kosinuset e ketyre kendeve quhen: Nëse drejtimi dhënë nga vektori njësi , atëherë kosinuset e drejtimit shërbejnë si koordinata të tij, d.m.th.

.

Kosinuset e drejtimit lidhen me relacionin:

Nëse drejtimi dhënë nga një vektor arbitrar , më pas gjeni vektorin njësi të këtij vektori dhe, duke e krahasuar me shprehjen për vektorin njësi , marr:

Produkt skalar

Produkt me pika
dy vektorë dhe quhet një numër i barabartë me prodhimin e gjatësive të tyre nga kosinusi i këndit ndërmjet tyre:
.

Produkti skalar ka vetitë e mëposhtme:

Rrjedhimisht,
.

Kuptimi gjeometrik i produktit skalar: produkt pikash i vektorit dhe vektorit njësi e barabartë me projeksionin e vektorit në drejtimin e përcaktuar , d.m.th.
.

Nga përkufizimi i prodhimit skalar vijon tabela e mëposhtme e shumëzimit të orteve
:

.

Nëse vektorët jepen me koordinatat e tyre
dhe
, d.m.th.
,
, më pas, duke i shumëzuar këta vektorë në mënyrë shkallëzore dhe duke përdorur tabelën e shumëzimit të orteve, marrim shprehjen për produktin skalar
përmes koordinatave të vektorëve:

.

produkt vektorial

Prodhimi kryq i një vektoripër vektor i quajtur vektor , gjatësia dhe drejtimi i të cilave përcaktohet nga kushtet:

Produkti vektor ka këto veti:

Nga tre vetitë e para rezulton se shumëzimi vektorial i një shume vektorësh me një shumë vektorësh u bindet rregullave të zakonshme për shumëzimin polinomial. Është e nevojshme vetëm të sigurohet që rendi i shumëzuesve të mos ndryshojë.

Vektorët bazë të njësive shumëzohen si më poshtë:

Nese nje
dhe
, atëherë duke marrë parasysh vetitë e produktit vektorial të vektorëve, mund të nxjerrim një rregull për llogaritjen e koordinatave të produktit vektorial nga koordinatat e vektorëve të faktorëve:

Nëse marrim parasysh rregullat për shumëzimin e orteve të marra më sipër, atëherë:

Një formë më kompakte e shkrimit të një shprehjeje për llogaritjen e koordinatave të prodhimit vektorial të dy vektorëve mund të ndërtohet nëse prezantojmë konceptin e një përcaktori matricë.

Konsideroni një rast të veçantë kur vektorët dhe i përkasin aeroplanit
, d.m.th. ato mund të përfaqësohen si
dhe
.

Nëse koordinatat e vektorëve shkruhen në formën e një tabele si më poshtë:
, atëherë mund të themi se prej tyre formohet një matricë katrore e rendit të dytë, d.m.th. madhësia
, i përbërë nga dy rreshta dhe dy kolona. Secili matricë katrore caktohet një numër, i cili llogaritet nga elementet e matricës sipas rregullave të caktuara dhe quhet përcaktor. Përcaktori i një matrice të rendit të dytë është i barabartë me ndryshimin midis produkteve të elementeve të diagonales kryesore dhe diagonales dytësore:

.

Në këtë rast:

Pra, vlera absolute e përcaktorit është e barabartë me sipërfaqen e paralelogramit të ndërtuar mbi vektorët dhe si në anët.

Nëse e krahasojmë këtë shprehje me formulën e produktit vektor (4.7), atëherë:

Kjo shprehje është një formulë për llogaritjen e përcaktorit të një matrice të rendit të tretë nga rreshti i parë.

Në këtë mënyrë:

Përcaktues i matricës së rendit të tretë llogaritet si më poshtë:

dhe është shuma algjebrike e gjashtë termave.

Formula për llogaritjen e përcaktorit të një matrice të rendit të tretë është e lehtë për t'u mbajtur mend nëse përdorni rregullSarrus, e cila është formuluar si më poshtë:

Çdo term është produkt i tre elementeve të vendosur në kolona të ndryshme dhe rreshta të ndryshëm të matricës;

Shenja plus ka produktet e elementeve që formojnë trekëndësha me brinjë paralele me diagonalen kryesore;

Shenja minus u jepet produkteve të elementeve që i përkasin diagonales dytësore dhe dy produkteve të elementeve që formojnë trekëndësha me brinjë paralele me diagonalen dytësore.

PËRKUFIZIM

Vektor quhet çift pikash të renditura dhe (d.m.th., dihet saktësisht se cila nga pikat e këtij çifti është e para).

Pika e parë quhet fillimi i vektorit, dhe e dyta është e tij fund.

Distanca midis fillimit dhe fundit të një vektori quhet gjatësia ose moduli vektorial.

Një vektor, fillimi dhe fundi i të cilit janë të njëjta quhet zero dhe shënohet me ; gjatësia e tij supozohet të jetë zero. Përndryshe, nëse gjatësia e vektorit është pozitive, atëherë quhet jo zero.

Koment. Nëse gjatësia e një vektori është e barabartë me një, atëherë ai quhet ortom ose vektor njësi dhe shënohet.

SHEMBULL

Ushtrimi	Kontrolloni nëse vektori është beqare.
Zgjidhje	Le të llogarisim gjatësinë e vektorit të dhënë, është e barabartë me rrënjën katrore të shumës së koordinatave në katror: Meqenëse gjatësia e vektorit është e barabartë me një, atëherë vektori është një vektor.
Përgjigju	Vektori është i vetëm.

Një vektor jo zero mund të përkufizohet gjithashtu si një segment i drejtuar.

Koment. Drejtimi i vektorit null nuk është i përcaktuar.

Kosinuset e drejtimit të vektorit

PËRKUFIZIM

Kosinuset e drejtimit disa vektorë quhen kosinuset e këndeve që formon vektori me drejtimet pozitive të boshteve koordinative.

Koment. Drejtimi i një vektori përcaktohet në mënyrë unike nga kosinuset e drejtimit të tij.

Për të gjetur kosinuset e drejtimit të një vektori, është e nevojshme të normalizohet vektori (d.m.th., ndani vektorin me gjatësinë e tij):

Koment. Koordinatat e vektorit njësi janë të barabarta me kosinuset e drejtimit të tij.

TEOREMA

(Veti e kosinuseve të drejtimit). Shuma e katrorëve të kosinuseve të drejtimit është e barabartë me një: