Kaybetme. Abone olun ve e-postanızdaki makaleye bir bağlantı alın.

Her gün işte veya çalışmada sayılar ve sayılarla etkileşime giren çoğumuz, çok ilginç bir yasa olduğundan şüphelenmiyoruz bile. büyük sayılarörneğin istatistik, ekonomi ve hatta psikolojik ve pedagojik araştırmalarda kullanılır. Olasılık teorisine atıfta bulunur ve sabit bir dağılımdan herhangi bir büyük örneğin aritmetik ortalamasının bu dağılımın matematiksel beklentisine yakın olduğunu söyler.

Bu yasanın özünü anlamanın, özellikle matematikle özellikle arkadaşça olmayanlar için kolay olmadığını muhtemelen fark etmişsinizdir. Buna dayanarak, bunun hakkında konuşmak istiyoruz. sade dil(elbette mümkün olduğu kadar), herkesin en azından kabaca ne olduğunu anlayabilmesi için. Bu bilgi, bazı matematiksel kalıpları daha iyi anlamanıza, daha bilgili olmanıza ve olumlu etkilemenize yardımcı olacaktır.

Büyük sayılar yasasının kavramları ve yorumlanması

Olasılık teorisinde büyük sayılar yasasının yukarıdaki tanımına ek olarak, ekonomik yorumunu da verebiliriz. Bu durumda, belirli bir tür finansal kaybın sıklığının, mevcut olduğunda yüksek bir kesinlikle tahmin edilebilmesi ilkedir. yüksek seviye genel olarak bu tür kayıplar.

Ek olarak, özelliklerin yakınsaklık düzeyine bağlı olarak, büyük sayıların zayıf ve güçlendirilmiş yasalarını ayırt edebiliriz. zayıf hakkında Konuşuyoruz, yakınsama olasılıkta olduğunda ve yaklaşık olarak - yakınsama hemen hemen her şeyde olduğunda.

Bunu biraz farklı yorumlayacak olursak, o zaman şunu söylemeliyiz: Birden az önceden programlanmış herhangi bir olasılıkla, bir olayın göreceli meydana gelme sıklığının diğerlerinden çok az farklı olacağı böyle sınırlı sayıda deneme bulmak her zaman mümkündür. onun olasılığı.

Böylece, büyük sayılar yasasının genel özü şu şekilde ifade edilebilir: çok sayıda özdeş ve bağımsız rastgele faktörün karmaşık eyleminin sonucu, şansa bağlı olmayan bir sonuç olacaktır. Ve daha da basit bir dille konuşursak, o zaman büyük sayılar yasasında, kitle fenomenlerinin nicel yasaları, yalnızca çok sayıda olduğunda kendilerini açıkça gösterecektir (bu nedenle büyük sayılar yasasına yasa denir).

Bundan, yasanın özünün, kitlesel gözlemle elde edilen sayılarda, az sayıda olguda tespit edilmesi imkansız olan bir miktar doğruluk olduğu sonucuna varabiliriz.

Büyük sayılar yasasının özü ve örnekleri

Büyük sayılar yasası, rastlantısal ve gerekli olanın en genel kalıplarını ifade eder. Rastgele sapmalar birbirini "söndüğünde", aynı yapı için belirlenen ortalamalar tipik olanlar şeklini alır. Belirli zaman ve mekan koşulları altında temel ve kalıcı gerçeklerin işleyişini yansıtırlar.

Büyük sayılar yasasıyla tanımlanan düzenlilikler, yalnızca kitle eğilimlerini temsil ettiklerinde güçlüdür ve bireysel durumlar için yasalar olamazlar. Böylece, ilke matematiksel istatistik Bu, bir dizi rastgele faktörün karmaşık eyleminin rastgele olmayan bir sonuca neden olabileceğini söylüyor. Ve bu ilkenin işleyişinin en çarpıcı örneği, rastgele bir olayın meydana gelme sıklığı ile deneme sayısı arttıkça olasılığının yakınsamasıdır.

Her zamanki yazı tura atışını hatırlayalım. Teorik olarak, yazılar ve yazılar aynı olasılıkla düşebilir. Bu, örneğin, bir madeni para 10 kez havaya atıldığında, 5 tanesinin tura gelmesi ve 5 tanesinin tura gelmesi gerektiği anlamına gelir. Ancak herkes bunun neredeyse hiç olmadığını bilir, çünkü yazı ve yazı frekanslarının oranı 4'e 6, 9'a 1 ve 2'ye 8 vb. olabilir. Bununla birlikte, yazı tura sayısının örneğin 100'e kadar artmasıyla, yazı veya tura düşme olasılığı %50'ye ulaşır. Teorik olarak sonsuz sayıda bu tür deneyler yapılırsa, bir madalyonun her iki tarafa da düşme olasılığı her zaman %50'ye eğilimli olacaktır.

Madeni paranın tam olarak nasıl düşeceği, çok sayıda rastgele faktörden etkilenir. Bu, madalyonun avucunuzun içindeki konumu ve atışın yapıldığı kuvvet, düşüşün yüksekliği ve hızı vb. Ancak birçok deney varsa, faktörlerin nasıl hareket ettiğine bakılmaksızın, pratik olasılığın teorik olasılığa yakın olduğu her zaman tartışılabilir.

Ve işte büyük sayılar yasasının özünü anlamamıza yardımcı olacak başka bir örnek: belirli bir bölgedeki insanların kazanç düzeylerini tahmin etmemiz gerektiğini varsayalım. 9 kişinin 20 bin ruble ve 1 kişinin - 500 bin ruble aldığı 10 gözlemi düşünürsek, aritmetik ortalama elbette olası olmayan 68 bin ruble olacaktır. Ancak, 99 kişinin 20 bin ruble ve 1 kişinin - 500 bin ruble aldığı 100 gözlemi hesaba katarsak, aritmetik ortalamayı hesaplarken, zaten gerçek duruma daha yakın olan 24.8 bin ruble elde ederiz. Gözlem sayısını artırarak, ortalama değeri gerçek değere yönelmeye zorlayacağız.

Bu nedenledir ki, büyük sayılar yasasını uygulamak için, öncelikle inceleyerek doğru sonuçlar elde etmek için istatistiksel malzeme toplamak gerekir. Büyük sayı gözlemler. Bu nedenle, bu yasayı yine istatistik veya sosyal ekonomide kullanmak uygundur.

Özetliyor

Çok sayıda çalışma yasasının önemi hiçbir alanda göz ardı edilemez. bilimsel bilgi ve özellikle için bilimsel gelişmeler istatistik teorisi ve istatistiksel bilgi yöntemleri alanında. Yasanın eylemi, kitlesel düzenlilikleri ile incelenen nesnelerin kendileri için de büyük önem taşımaktadır. Hemen hemen tüm istatistiksel gözlem yöntemleri, büyük sayılar yasasına ve matematiksel istatistik ilkesine dayanır.

Ancak, bilimi ve istatistiği bu şekilde hesaba katmadan bile, büyük sayılar yasasının sadece olasılık teorisi alanından bir fenomen değil, hayatımızda hemen hemen her gün karşılaştığımız bir fenomen olduğu sonucuna güvenle varabiliriz.

Artık büyük sayılar yasasının özünün sizin için daha açık hale geldiğini ve bunu başka birine kolayca ve basitçe açıklayabileceğinizi umuyoruz. Ve matematik ve olasılık teorisi konusu prensipte sizin için ilginçse, o zaman ve hakkında okumanızı öneririz. Ayrıca ve ile tanışın. Ve elbette, bizimkine dikkat edin, çünkü geçtikten sonra sadece yeni düşünme tekniklerinde ustalaşmakla kalmayacak, aynı zamanda matematiksel olanlar da dahil olmak üzere genel olarak bilişsel yeteneklerinizi geliştireceksiniz.

BÜYÜK SAYILAR HUKUKU

Rastgele faktörlerin kombinasyonunun, belirli çok genel koşullar altında, neredeyse şanstan bağımsız bir sonuca götürdüğü genel bir ilke. Rastgele bir olayın meydana gelme sıklığının, deneme sayısındaki artışla (öncelikle kumarda not edilir) olasılığı ile yakınsaması, bu ilkenin işleyişinin ilk örneği olarak hizmet edebilir.

17. ve 18. yüzyılların başında. J. Bernoulli, her birinde belirli bir A olayının meydana gelmesinin aynı değere sahip olduğu bir dizi bağımsız denemede, ilişkinin doğru olduğunu belirten bir teoremi kanıtladı:

herhangi biri için - ilk denemelerde olayın meydana gelme sayısı, - meydana gelme sıklığı. Bu Bernoulli teoremi S. Poisson tarafından, bir A olayının meydana gelme olasılığının deneme numarasına bağlı olabileceği bir dizi bağımsız deneme durumuna genişletildi. k. deneme için bu olasılık eşit olsun ve

O zamanlar Poisson teoremi Devletler

herhangi biri için Bu teoremin ilk titizliği, yöntemi Poisson'un yönteminden tamamen farklı olan ve belirli aşırı düşüncelere dayanan PL Chebyshev (1846) tarafından verilmiştir; S. Poisson, (2)'yi Gauss yasasının kullanımına dayalı olarak belirtilen olasılık için yaklaşık bir formülden türetmiştir ve o sırada hala kesin olarak doğrulanmamıştır. S. Poisson, Bernoulli teoreminin genelleştirilmesi olarak adlandırdığı "büyük sayılar yasası" terimiyle de ilk kez karşılaştı.

Şunu not edersek, Bernoulli ve Poisson teoremlerinin daha doğal bir genellemesi ortaya çıkar. rastgele değişkenler toplam olarak temsil edilebilir

bağımsız rastgele değişkenler, burada A görünüyorsa A-m testi, ve - aksi halde. Aynı zamanda matematiksel beklenti (matematiksel beklentilerin aritmetik ortalaması ile çakışan) Bernoulli durumu ve Poisson durumu için p'ye eşittir. Başka bir deyişle, her iki durumda da aritmetik ortalamanın sapması dikkate alınır. xk onların matematiksel aritmetik ortalamasından. beklentiler.

P. L. Chebyshev'in "Ortalama değerler" (1867) çalışmasında, bağımsız rastgele değişkenler için ilişkinin

(herhangi biri için) çok genel varsayımlar altında doğrudur. P. L. Chebyshev matematiksel olduğunu varsaydı. Beklentilerin tümü aynı sabitle sınırlıdır, ancak kanıtından varyansların sınırlandırılmasını gerektirmesinin yeterli olduğu açıktır.

hatta talepler

Böylece, P. L. Chebyshev, Bernoulli teoreminin geniş bir genelleme olasılığını gösterdi. A. A. Markov, daha fazla genelleme olasılığını kaydetti ve B. h. Bernoulli teoreminin tüm genellemelerine [ve özellikle (3)'e]. Chebyshev'in yöntemi, matematiğin genel özelliklerinin tam olarak belirlenmesine dayanmaktadır. beklentileri ve sözde kullanımı. Chebyshev eşitsizlikleri[olasılık (3) için formun bir tahminini verir

bu sınır, elbette daha önemli kısıtlamalarla daha doğru bir sınırla değiştirilebilir, bkz. Bernstein eşitsizliği]. B. h'nin çeşitli biçimlerinin müteakip kanıtı. bir dereceye kadar, Chebyshev yönteminin bir gelişimidir. Rastgele değişkenlerin uygun "indirgenmesini" uygulayarak (bunları yardımcı değişkenlerle değiştirerek, yani: , eğer bazı sabitler varsa), A. A. Markov B. ch'yi genişletti. terimlerin varyanslarının olmadığı durumlar için. Örneğin, (3)'ün bazı sabitler için geçerli olduğunu gösterdi. ve herkes ve

Büyük ve çeşitli bir malzeme üzerinde keşfedilen rastgele olayların meydana gelme sıklıklarının stabilizasyonu olgusu, ilk başta herhangi bir gerekçeye sahip değildi ve tamamen ampirik bir gerçek olarak algılandı. Bu alandaki ilk teorik sonuç, 1713'te yayınlanan ve büyük sayılar yasalarının temelini oluşturan ünlü Bernoulli teoremiydi.

İçeriğindeki Bernoulli teoremi, bir limit teoremi, yani çok sayıda gözlemle olasılıksal parametrelere ne olacağını söyleyen asimptotik bir anlam ifadesidir. Bu türden tüm modern sayısız ifadenin atası tam olarak Bernoulli'nin teoremidir.

Bugün, büyük sayıların matematik yasası, bazı şeylerin bir yansıması gibi görünüyor. ortak mülk birçok gerçek süreç.

Büyük sayılar yasasını, bu yasayı uygulamak için tüketilmiş potansiyel olanaklardan çok uzaklara karşılık gelen, mümkün olduğu kadar çok kapsama verme arzusuyla, yüzyılımızın en büyük matematikçilerinden biri olan A. N. Kolmogorov özünü şu şekilde formüle etti: büyük sayılar yasası. “Çok sayıda rastgele faktörün eyleminin neredeyse şanstan bağımsız bir sonuca yol açması nedeniyle genel bir ilkedir.

Böylece, büyük sayılar yasasının deyim yerindeyse iki yorumu vardır. Biri matematikseldir, belirli matematiksel modeller, formülasyonlar, teorilerle ilişkilidir ve ikincisi bu çerçevenin ötesine geçerek daha geneldir. İkinci yorum, pratikte sıklıkla not edilen oluşum fenomeni ile bağlantılıdır; bu, dışarıdan böyle bir sürekliliği olmayan çok sayıda gizli veya görünür eylem faktörünün arka planına karşı değişen derecelerde yönlendirilmiş eylemde bulunur. İkinci yoruma ilişkin örnekler, serbest piyasada fiyatlama, belirli bir konuda kamuoyunun oluşmasıdır.

Büyük sayılar yasasının bu genel yorumunu not ettikten sonra, bu yasanın özel matematiksel formülasyonlarına dönelim.

Yukarıda söylediğimiz gibi, olasılık teorisi için ilk ve temel olarak en önemlisi Bernoulli teoremidir. Çevredeki dünyanın en önemli düzenliliklerinden birini yansıtan bu matematiksel gerçeğin içeriği aşağıdakine indirgenmiştir.

Koşulların testten teste değişmez bir şekilde yeniden üretildiği bir dizi ilişkisiz (yani bağımsız) test düşünün. Her testin sonucu, bizi ilgilendiren olayın ortaya çıkması veya görünmemesidir. ANCAK.

Bu prosedür (Bernoulli şeması) açıkça birçok pratik alan için tipik olarak kabul edilebilir: yeni doğanlar sırasında "erkek - kız", günlük meteorolojik gözlemler ("yağmur yağıyordu - değildi"), üretilen ürünlerin akışının kontrolü ("normal - kusurlu") vb.

Olayın meydana gelme sıklığı ANCAK de P denemeler ( t bir -

olay sıklığı ANCAK içinde P testleri) büyüme ile P değerini stabilize etme eğilimi, bu ampirik bir gerçektir.

Bernoulli teoremi. Herhangi bir keyfi küçük pozitif sayı e seçelim.

Bernoulli'nin belirli bir şekilde ortaya koyduğu matematiksel gerçeğin matematiksel model(Bernoulli şemasında), ampirik olarak belirlenmiş frekans kararlılığı düzenliliği ile karıştırılmamalıdır. Bernoulli sadece (9.1) formülünün ifadesiyle yetinmedi, aynı zamanda uygulamanın ihtiyaçlarını göz önünde bulundurarak bu formülde mevcut olan eşitsizliğin bir tahminini verdi. Aşağıda bu yoruma döneceğiz.

Bernoulli'nin büyük sayılar yasası, onu iyileştirmeye çalışan çok sayıda matematikçi tarafından araştırma konusu olmuştur. Böyle bir iyileştirme İngiliz matematikçi Moivre tarafından elde edildi ve şu anda Moivre-Laplace teoremi olarak adlandırılıyor. Bernoulli şemasında, normalize edilmiş niceliklerin sırasını göz önünde bulundurun:

Moivre - Laplace'ın integral teoremi. Herhangi iki sayı seçin X ( ve x 2. Bu durumda, x, x 7, o zaman ne zaman P -» °°

Formül (9.3)'ün sağ tarafında ise değişken x x sonsuza eğilim, o zaman sadece x 2'ye bağlı olan sonuç limiti (bu durumda, indeks 2 kaldırılabilir), bir dağıtım fonksiyonu olacaktır, buna denir standart normal dağılım, veya Gauss yasası.

Formül (9.3)'ün sağ tarafı y'ye eşittir = F(x 2) - F(xx). F(x2)-> 1 de x 2-> °° ve F(x,) -> x için 0, -> Yeterince büyük seçerek

X] > 0 ve mutlak değerde yeterince büyük X] n eşitsizliği elde ederiz:

Formül (9.2)'yi dikkate alarak, pratik olarak güvenilir tahminler elde edebiliriz:

Eğer y = 0.95'in güvenilirliği (yani, 0.05'lik hata olasılığı) birisi için yetersiz görünüyorsa, yukarıda bahsedilen üç sigma kuralını kullanarak güvenli bir şekilde oynayabilir ve biraz daha geniş bir güven aralığı oluşturabilirsiniz:

Bu aralık, çok yüksek bir güven düzeyine karşılık gelir y = 0,997 (tablolara bakın normal dağılım).

Bozuk para atma örneğini düşünün. Hadi yazı tura atalım n = 100 kere. frekans olabilir mi R olasılıktan çok farklı olacak R= 0,5 (madeni paranın simetrisi varsayarak), örneğin sıfıra eşit mi olacak? Bunu yapmak için, armanın bir kez bile düşmemesi gerekir. Böyle bir olay teorik olarak mümkündür, ancak bu tür olasılıkları zaten hesapladık, bu olay için eşit olacaktır. Bu değer

son derece küçüktür, sırası 30 ondalık basamaklı bir sayıdır. Böyle bir olasılığa sahip bir olay, güvenli bir şekilde pratik olarak imkansız olarak kabul edilebilir. Çok sayıda deneyle olasılıktan frekansın hangi sapmaları pratik olarak mümkündür? Moivre-Laplace teoremini kullanarak bu soruyu şu şekilde yanıtlıyoruz: olasılıkla de= 0.95 arması frekansı R güven aralığına uyar:

0,05'lik hata küçük görünmüyorsa, deney sayısını artırmak (yazı-tura atmak) gerekir. bir artış ile P güven aralığının genişliği azalır (ne yazık ki, istediğimiz kadar hızlı değil, ancak ile ters orantılıdır) -Jn).Örneğin, ne zaman P= 10 000 bunu anladık R güven olasılığı ile güven aralığında yer alır de= 0,95: 0,5 ± 0,01.

Böylece, frekansın olasılığa yaklaşması sorununu nicel olarak ele aldık.

Şimdi frekansından bir olayın olasılığını bulalım ve bu yaklaşımın hatasını tahmin edelim.

Çok sayıda deney yapalım P(yazı tura attı), olayın sıklığını buldu ANCAK ve olasılığını tahmin etmek istiyorum R.

Büyük sayılar yasasından Pşunu izler:

Şimdi yaklaşık eşitliğin (9.7) pratik olarak olası hatasını tahmin edelim. Bunu yapmak için eşitsizliği (9.5) şu şekilde kullanırız:

Bulmak için Rüzerinde R eşitsizliği (9.8) çözmek gerekir, bunun için karesini almak ve karşılık gelenleri çözmek gerekir. ikinci dereceden denklem. Sonuç olarak şunları elde ederiz:

nerede

Yaklaşık bir tahmin için Rüzerinde R(9.8) formülünde olabilir R sağdaki ile değiştir R veya formüllerde (9.10), (9.11) şunu düşünün:

Sonra şunu elde ederiz:

Bırak girsin P= 400 deney alınan frekans değeri R= 0.25, sonra y = 0.95 güven düzeyinde şunu buluruz:

Ancak, diyelim ki 0.01'den fazla olmayan bir hatayla, olasılığı daha doğru bir şekilde bilmemiz gerekirse? Bunu yapmak için deney sayısını artırmanız gerekir.

Formül (9.12)'de olasılık varsayarsak R= 0.25, hata değerini eşitliyoruz verilen değer 0.01 ve denklemi elde edin P:

Bu denklemi çözersek, n~ 7500.

Şimdi bir soruyu daha ele alalım: Deneylerde elde edilen olasılıktan frekansın sapması rastgele nedenlerle açıklanabilir mi, yoksa bu sapma olasılığın sandığımız gibi olmadığını mı gösteriyor? Başka bir deyişle, deneyim kabul edileni doğrular. istatistiksel hipotez ya da tam tersine reddedilmesini mi gerektiriyor?

Örneğin, bir madeni para atalım P= 800 kez, tepe frekansını alıyoruz R= 0,52. Madeni paranın simetrik olmadığından şüphelendik. Bu şüphe haklı mı? Bu soruyu cevaplamak için madalyonun simetrik olduğu varsayımından hareket edeceğiz. (p = 0,5). Güven aralığını bulalım (güven olasılığı ile de= 0.95) armanın görülme sıklığı için. Deneyde elde edilen değer ise R= 0,52 bu aralığa uyuyor - her şey normal, madeni paranın simetrisi hakkında kabul edilen hipotez deneysel verilerle çelişmiyor. Formül (9.12) için R= 0,5, 0,5 ± 0,035'lik bir aralık verir; alınan değer p = 0,52 bu aralığa uyar, bu da madeni paranın asimetri şüphelerinden “temizlenmesi” gerektiği anlamına gelir.

Rastgele fenomenlerde gözlemlenen matematiksel beklentiden çeşitli sapmaların rastgele mi yoksa "önemli" mi olduğuna karar vermek için benzer yöntemler kullanılır. Örneğin, birkaç paketlenmiş mal örneğinde kazara düşük ağırlık mı var, yoksa bu, alıcıların sistematik olarak aldatıldığını mı gösteriyor? Yanlışlıkla kullanan hastalarda iyileşme yüzdesini artırdı yeni ilaç veya ilacın etkisi ile mi ilgili?

Normal yasa, olasılık teorisinde ve pratik uygulamalarında özellikle önemli bir rol oynar. Yukarıda rasgele bir değişkenin - Bernoulli şemasındaki bazı olayların oluşum sayısı - olduğunu zaten görmüştük. P-» °° normal yasaya indirgenir. Ancak çok daha genel bir sonuç var.

Merkezi Limit Teoremi. Dağılım sırasına göre birbiriyle karşılaştırılabilir çok sayıda bağımsız (veya zayıf bağımlı) rastgele değişkenin toplamı, terimlerin dağılım yasalarının ne olduğuna bakılmaksızın normal yasaya göre dağıtılır. Yukarıdaki ifade, merkezi limit teorisinin kaba bir nitel formülasyonudur. Bu teoremin, terim sayısındaki artışla toplamlarının “normalleşmesi” için rastgele değişkenlerin sağlaması gereken koşullarda birbirinden farklı birçok formu vardır.

Normal dağılımın yoğunluğu Dx) aşağıdaki formülle ifade edilir:

nerede a - beklenen değer rastgele değişken X s= V7) standart sapmasıdır.

x'in (x 1? x 2) aralığına düşme olasılığını hesaplamak için integral kullanılır:

(9.13) yoğunluğundaki integral (9.14) cinsinden ifade edilemediğinden temel fonksiyonlar(“alınmadı”), daha sonra (9.14) hesaplamak için standart normal dağılımın integral dağılım fonksiyonu tablolarını kullanırlar. bir = 0, a = 1 (bu tür tablolar olasılık teorisi üzerine herhangi bir ders kitabında mevcuttur):

(10.15) denklemi kullanılarak olasılık (9.14) şu formülle ifade edilir:

Örnek. Rastgele değişkenin olma olasılığını bulun x, parametrelerle normal dağılıma sahip a, a, 3a'dan fazla olmayan matematiksel beklenti modülünden sapma.

(9.16) formülünü ve normal yasanın dağılım fonksiyonu tablosunu kullanarak şunları elde ederiz:

Örnek. 700 bağımsız deneyimin her birinde, bir olay ANCAK sabit olasılıkla olur R= 0.35. olayın olma olasılığını bulunuz ANCAK olacak:

• 1) tam olarak 270 kez;
• 2) 270'den az ve 230'dan fazla;
• 3) 270 defadan fazla.

Matematiksel beklentiyi bulma a = vb ve standart sapma:

rastgele değişken - olayın oluşum sayısı ANCAK:

Ortalanmış ve normalleştirilmiş değeri bulma X:

Normal dağılımın yoğunluk tablolarına göre buluyoruz f(x):

şimdi bulalım R w (x,> 270) = P 700 (270 F(1.98) == 1 - 0.97615 = 0.02385.

Büyük sayılarla ilgili problemlerin incelenmesinde ciddi bir adım 1867'de P. L. Chebyshev tarafından atıldı. Matematiksel beklentiler ve varyansların varlığı dışında, bağımsız rastgele değişkenlerden hiçbir şeyin gerekli olmadığı çok genel bir durumu düşündü.

Chebyshev eşitsizliği. Keyfi olarak küçük bir pozitif sayı e için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

Chebyshev teoremi. Eğer bir xx, x2, ..., x n - her biri matematiksel bir beklentiye sahip olan ikili bağımsız rastgele değişkenler E(Xj) = ci ve dağılım D(x,) =) ve varyanslar düzgün bir şekilde sınırlandırılmıştır, yani. 1,2 ..., sonra keyfi olarak küçük bir pozitif sayı için e ilişki yerine getirilir:

Sonuçlar. Eğer bir bir,= aio, -o 2, ben= 1,2 ..., o zaman

Bir görev. Bir madeni paranın en az olasılıkla en az kaç kez atılması gerekir? y - 0,997, armanın sıklığının (0,499; 0,501) aralığında olacağı iddia edilebilir mi?

Madeni paranın simetrik olduğunu varsayalım, p - q - 0,5. (9.19) formülündeki Chebyshev teoremini rastgele değişkene uyguluyoruz X- armanın görünme sıklığı P yazı tura atmak. Bunu zaten yukarıda gösterdik X = X x + 2 + ... +Х„, nerede X t - arması düştüğünde 1 değerini ve yazı düştüğünde 0 değerini alan rastgele bir değişken. Yani:

Olasılık işareti altında belirtilen olayın tersi olan bir olay için eşitsizlik (9.19) yazıyoruz:

Bizim durumumuzda, [e \u003d 0,001, cj 2 \u003d /? -p)] t, arma sayısıdır. P atma. Bu miktarları son eşitsizliğe koyarak ve problemin durumuna göre eşitsizliğin sağlanması gerektiğini dikkate alarak şunları elde ederiz:

Verilen örnek, rasgele değişkenlerin belirli sapmalarının olasılıklarını tahmin etmek için Chebyshev'in eşitsizliğinin kullanılma olasılığını göstermektedir (ve bu örnek gibi bu olasılıkların hesaplanmasıyla ilgili problemler). Chebyshev'in eşitsizliğinin avantajı, rastgele değişkenlerin dağılım yasaları hakkında bilgi gerektirmemesidir. Tabii ki, böyle bir yasa biliniyorsa, Chebyshev'in eşitsizliği çok kaba tahminler veriyor.

Aynı örneği ele alalım, ancak yazı tura atmanın Bernoulli şemasının özel bir durumu olduğu gerçeğini kullanarak. Başarı sayısı (örnekte - arma sayısı) iki terimli yasaya uyar ve büyük ölçüde P bu yasa Moivre - Laplace integral teoremi ile matematiksel beklentiye sahip normal bir yasa olarak temsil edilebilir. a = pr = n? 0,5 ve standart sapma ile a = yfnpq- 25=0.5l/l. Rastgele değişken - armanın sıklığı - matematiksel bir beklentiye sahiptir = 0,5 ve standart sapma

O zaman elimizde:

Son eşitsizlikten şunu elde ederiz:

Normal dağılım tablolarından şunu buluruz:

Normal yaklaşımın, Chebyshev eşitsizliği kullanılarak elde edilen tahminden 37 kat daha küçük olan armanın olasılığını tahmin etmede belirli bir hata sağlayan yazı tura sayısını verdiğini görüyoruz (ancak Chebyshev eşitsizliği bunu gerçekleştirmeyi mümkün kılıyor. benzer hesaplamalar, incelenen rastgele değişkenin dağılım yasası hakkında bilgiye sahip olmadığımızda bile).

Şimdi formül (9.16) yardımıyla çözülen uygulamalı bir problemi ele alalım.

Rekabet sorunu. İki rakip demiryolu şirketinin her birinin Moskova ve St. Petersburg arasında çalışan bir treni var. Bu trenler yaklaşık olarak aynı şekilde donatılmıştır, ayrıca yaklaşık olarak aynı saatte kalkar ve gelirler. farz edelim ki P= 1000 yolcu bağımsız olarak ve rastgele kendileri için bir tren seçerler, bu nedenle yolcular tarafından bir tren seçmek için matematiksel bir model olarak Bernoulli şemasını kullanırız. P denemeler ve başarı şansı R= 0,5. Şirket, trende kaç koltuk sağlayacağına, birbiriyle çelişen iki koşulu göz önünde bulundurarak karar vermelidir: Bir yandan boş koltuklara sahip olmak istemiyorlar, diğer yandan memnun görünmek istemiyorlar. koltuk eksikliği (bir dahaki sefere rakip firmaları tercih edecekler). Tabii ki, trende sağlayabilirsin P= 1000 koltuk, ancak o zaman kesinlikle boş koltuk olacaktır. Rastgele değişken - trendeki yolcu sayısı - De Moivre - Laplace'ın integral teorisini kullanan kabul edilen matematiksel model çerçevesinde matematiksel beklenti ile normal yasaya uymaktadır. bir = pr = n/2 ve dağılım a 2 = npq = s/4 sırayla. Trenin daha fazla gelme olasılığı s yolcular orana göre belirlenir:

Risk seviyesini ayarlayın a, yani olasılıktan daha fazla s yolcular:

Buradan:

Eğer bir a- normal yasanın dağılım fonksiyonu tablolarında bulunan son denklemin risk kökü, şunu elde ederiz:

Örneğin, P = 1000, a= 0.01 (bu risk seviyesi, yer sayısının s 100 üzerinden 99 vakada yeterli olacaktır), o zaman x bir ~ 2.33 ve s= 537 yer. Ayrıca, her iki şirket de aynı risk seviyelerini kabul ederse a= 0.01, o zaman iki trenin 74'ü boş olmak üzere toplam 1074 koltuğu olacak. Benzer şekilde, tüm vakaların %80'inde 514 sandalyenin ve 1000 vakanın 999'unda 549 sandalyenin yeterli olacağı hesaplanabilir.

Benzer hususlar diğer rekabetçi hizmet sorunları için de geçerlidir. örneğin, eğer t sinemalar aynı amaç için yarışıyor P seyirci kabul edilmeli R= -. alırız

o koltuk sayısı s sinemada orana göre belirlenmelidir:

Toplam boş koltuk sayısı şuna eşittir:

İçin a = 0,01, P= 1000 ve t= 2, 3, 4 Bu sayının değerleri sırasıyla yaklaşık olarak 74, 126, 147'ye eşittir.

Bir örnek daha düşünelim. tren olsun P - 100 vagon. Her vagonun ağırlığı, matematiksel beklenti ile rastgele bir değişkendir. a - 65 ton ve ortalama kare beklentisi o = 9 ton Bir lokomotif, ağırlığı 6600 tonu geçmediği takdirde bir tren taşıyabilir; aksi takdirde ikinci lokomotifi bağlamanız gerekir. Bunun gerekli olmayacağı olasılığını bulmamız gerekiyor.

bireysel vagonların ağırlıkları: aynı matematiksel beklentiye sahip olmak a - 65 ve aynı varyans d- o 2 \u003d 81. Matematiksel beklentiler kuralına göre: Eski) - 100 * 65 = 6500. Varyans toplama kuralına göre: D(x) \u003d 100 x 81 \u003d 8100. Kökü alarak standart sapmayı buluruz. Bir lokomotifin bir treni çekebilmesi için trenin ağırlığının X sınırlayıcı olduğu ortaya çıktı, yani aralığın (0; 6600) sınırlarına düştü. Rastgele değişken x - 100 terimin toplamı - normal dağılmış olarak kabul edilebilir. Formül (9.16) ile şunu elde ederiz:

Lokomotifin treni yaklaşık 0,864 olasılıkla "tutacağı" sonucu çıkar. Şimdi trendeki araba sayısını ikişer azaltalım, yani P= 98. Şimdi, lokomotifin treni "yönetme" olasılığını hesaplayarak, 0.99 mertebesinde bir değer elde ederiz, yani bunun için sadece iki vagonun kaldırılması gerekmesine rağmen, neredeyse kesin bir olay.

Dolayısıyla, eğer çok sayıda rastgele değişkenin toplamı ile uğraşıyorsak, normal yasayı kullanabiliriz. Doğal olarak, bu şu soruyu gündeme getiriyor: Toplamın dağıtım yasasının zaten “normalleştirilmiş” olması için kaç tane rastgele değişken eklenmesi gerekiyor? Terimlerin dağıtım yasalarının ne olduğuna bağlıdır. Normalleştirmenin yalnızca çok sayıda terimle gerçekleştiği kadar karmaşık yasalar vardır. Ancak bu yasalar matematikçiler tarafından icat edilirken, doğa bir kural olarak özellikle bu tür sorunları düzenlemez. Genellikle uygulamada, normal yasayı kullanabilmek için beş veya altı terim yeterlidir.

Aynı şekilde dağılmış rastgele değişkenlerin toplamının dağılım yasasının "normalleştirme" hızı, (0, 1) aralığında düzgün dağılımlı rastgele değişkenler örneği ile gösterilebilir. Böyle bir dağılımın eğrisi, zaten normal yasadan farklı olan bir dikdörtgen biçimindedir. bunlardan iki tane ekleyelim bağımsız değişkenler- Simpson yasasına göre dağıtılan rastgele bir değişken elde ederiz, grafik görüntü hangi bir ikizkenar üçgen gibi görünüyor. Normal bir yasaya da benzemiyor ama daha iyi. Ve böyle düzgün dağılmış üç rastgele değişken eklerseniz, normal bir eğriye çok benzeyen üç parabol segmentinden oluşan bir eğri elde edersiniz. Böyle altı rastgele değişken eklerseniz, normalden farklı olmayan bir eğri elde edersiniz. Bu, normal olarak dağıtılmış bir rastgele değişken elde etmek için yaygın olarak kullanılan yöntemin temelidir ve tüm modern bilgisayarlar eşit olarak dağıtılmış (0, 1) rastgele sayı sensörleriyle donatılmıştır.

Bunu kontrol etmenin pratik bir yolu olarak aşağıdaki yöntem önerilir. Seviyeli bir olayın sıklığı için bir güven aralığı oluşturuyoruz. de= 0.997 üç sigma kuralına göre:

ve her iki ucu da (0, 1) segmentinin ötesine geçmiyorsa, normal yasa kullanılabilir. Güven aralığının sınırlarından herhangi biri (0, 1) segmentinin dışındaysa, normal yasa kullanılamaz. Bununla birlikte, belirli koşullar altında, bazı rastgele olayların sıklığı için iki terimli yasa, normal olana eğilimli değilse, başka bir yasaya yönelebilir.

Birçok uygulamada, Bernoulli şeması rastgele bir deneyin matematiksel modeli olarak kullanılır. Pİyi, rastgele olay oldukça nadir, yani R = vb küçük değil, büyük değil (O -5 - 20 aralığında dalgalanır). Bu durumda aşağıdaki bağıntı geçerlidir:

Formül (9.20), iki terimli yasa için Poisson yaklaşımı olarak adlandırılır, çünkü sağ tarafındaki olasılık dağılımı Poisson yasası olarak adlandırılır. Poisson dağılımının, limitler karşılandığında oluştuğundan, nadir olaylar için bir olasılık dağılımı olduğu söylenir: P -»°°, R-»0, ancak X = pro oo.

Örnek. Doğum günleri. olasılık nedir R t (k) 500 kişilik bir toplumda ile yılbaşında doğanlar? Bu 500 kişi rastgele seçilirse, Bernoulli şeması başarı olasılığı ile uygulanabilir. P = 1/365. O zamanlar

Çeşitli için olasılık hesaplamaları ile aşağıdaki değerleri verin: RU = 0,3484...; R2 = 0,2388...; R3 = 0,1089...; P4 = 0,0372...; 5 = 0,0101...; R6= 0,0023... için Poisson formülüyle karşılık gelen yaklaşımlar X= 500 1/365 = 1,37

aşağıdaki değerleri verin: Ru = 0,3481...; R2 = 0,2385...; Р b = 0,1089; R4 = 0,0373...; P5 = 0,0102...; P6 = 0,0023... Tüm hatalar yalnızca dördüncü ondalık basamaktadır.

Poisson'un nadir olaylar yasasının kullanılabileceği durumlara örnekler verelim.

Telefon santralinde yanlış bir bağlantı oluşması olası değildir. R, genellikle R~ 0,005. Ardından Poisson formülü, verilen bir bağlantı için yanlış bağlantı olasılığını bulmanızı sağlar. toplam sayısı Bileşikler n~ 1000 ne zaman X = pr =1000 0,005 = 5.

Çörekler pişirirken, hamura kuru üzüm yerleştirilir. Karıştırma nedeniyle kuru üzüm rulolarının sıklığının yaklaşık olarak Poisson dağılımını takip etmesi beklenmelidir. Pn (k, X), nerede X- hamurdaki kuru üzüm yoğunluğu.

Bir radyoaktif madde n-parçacıkları yayar. Zaman içinde d-parçacık sayısının ulaşması olayı t verilen alan alanı, sabit bir değer alır ile, Poisson yasasına uyar.

Etkisi altında değişen kromozomlara sahip canlı hücre sayısı röntgen Poisson dağılımını takip eder.

Bu nedenle, büyük sayıların yasaları, rastgele deneyimin temel sonuçlarının bilinmeyen olasılıklarının tahmin edilmesiyle ilgili matematiksel istatistik probleminin çözülmesine izin verir. Bu bilgi sayesinde olasılık teorisinin yöntemlerini pratik olarak anlamlı ve kullanışlı hale getiriyoruz. Büyük sayıların yasaları, bilinmeyen temel olasılıklar hakkında bilgi edinme problemini başka bir biçimde - istatistiksel hipotezleri test etme biçiminde - çözmeyi de mümkün kılar.

İstatistiksel hipotezleri test etme problemlerini çözmek için formülasyonu ve olasılık mekanizmasını daha ayrıntılı olarak ele alalım.

Büyük sayılarla ilgili kelimeler, test sayısını ifade eder - bir rastgele değişkenin çok sayıda değeri veya çok sayıda rastgele değişkenin kümülatif eylemi dikkate alınır. Bu yasanın özü şudur: Tek bir deneyde tek bir rasgele değişkenin hangi değeri alacağını tahmin etmek imkansız olsa da, çok sayıda bağımsız rasgele değişkenin eyleminin toplam sonucu rasgele karakterini kaybeder ve neredeyse güvenilir bir şekilde tahmin edilebilir (yani yüksek olasılıkla). Örneğin, bir madalyonun hangi tarafa düşeceğini tahmin etmek imkansızdır. Bununla birlikte, 2 ton madeni parayı atarsanız, o zaman büyük bir kesinlikle, arma ile birlikte düşen madeni paraların ağırlığının 1 ton olduğu iddia edilebilir.

Her şeyden önce, sözde Chebyshev eşitsizliği, ayrı bir testte, ortalama değerden belirli bir değerden daha fazla sapmayan bir değeri kabul eden rastgele bir değişkenin olasılığını tahmin eden büyük sayılar yasasına atıfta bulunur.

Chebyshev eşitsizliği. İzin vermek X keyfi bir rastgele değişkendir, a=M(X) , a D(X) onun dağılımıdır. O zamanlar

Örnek. Makinede işlenen manşonun çapının nominal (yani gerekli) değeri, 5 mm, ve varyans artık yok 0.01 (bu, makinenin doğruluk toleransıdır). Bir burcun imalatında, çapının nominal değerden sapması olasılığını tahmin edin. 0,5 mm .

Çözüm. hadi r.v. X- üretilen burcun çapı. Koşul olarak, matematiksel beklentisi nominal çapa eşittir (makinenin kurulumunda sistematik bir hata yoksa): a=M(X)=5 , ve varyans D(X)≤0.01. Chebyshev eşitsizliğinin uygulanması ε = 0,5, şunu elde ederiz:

Bu nedenle, böyle bir sapma olasılığı oldukça yüksektir ve bu nedenle, bir parçanın tek bir üretimi durumunda, çapın nominalden sapmasının aşmayacağı neredeyse kesin olduğu sonucuna varabiliriz. 0,5 mm .

Temel olarak, standart sapma σ karakterize eder ortalama rastgele bir değişkenin merkezinden sapması (yani matematiksel beklentisinden). Çünkü bu ortalama sapma, daha sonra test sırasında büyük sapmalar (o vurgusu) mümkündür. Pratikte ne kadar büyük sapmalar mümkündür? Normal dağılım gösteren rastgele değişkenleri incelerken “üç sigma” kuralını türettik: normal dağılımlı rastgele değişken X tek bir testte pratik olarak ortalamasından daha fazla sapmaz 3σ, nerede σ= σ(X) r.v.'nin standart sapmasıdır. X. Eşitsizliği elde ettiğimiz gerçeğinden böyle bir kural çıkardık.

.

Şimdi olasılığını tahmin edelim keyfi rastgele değişken X ortalamadan standart sapmanın üç katından fazla farklı olmayan bir değeri kabul edin. Chebyshev eşitsizliğinin uygulanması ε = 3σ ve verilen D(X)=σ 2 , şunu elde ederiz:

.

Böylece, Genel olarak bir rastgele değişkenin ortalamasından sayıya göre en fazla üç standart sapma ile sapma olasılığını tahmin edebiliriz. 0.89 , normal dağılım için olasılık ile garanti edilebilirken 0.997 .

Chebyshev'in eşitsizliği, bağımsız, aynı şekilde dağılmış rastgele değişkenlerden oluşan bir sisteme genelleştirilebilir.

Genelleştirilmiş Chebyshev eşitsizliği. Eğer bağımsız rastgele değişkenler X 1 , X 2 , … , X n M(X i )= a ve dağılımlar D(X i )= D, sonra

saat n=1 bu eşitsizlik, yukarıda formüle edilen Chebyshev eşitsizliğine gider.

İlgili problemleri çözmek için bağımsız bir öneme sahip olan Chebyshev eşitsizliği, Chebyshev teoremini kanıtlamak için kullanılır. Önce bu teoremin özünü tanımlayacağız ve sonra formel formülasyonunu vereceğiz.

İzin vermek X 1 , X 2 , … , X n– matematiksel beklentileri olan çok sayıda bağımsız rastgele değişken M(X 1 )=bir 1 , … , M(X n )=bir n. Deney sonucunda her biri ortalamasından (yani matematiksel beklentiden) uzak bir değer alabilse de, ancak rastgele bir değişkendir.
aritmetik ortalamalarına eşit, yüksek olasılıkla sabit bir sayıya yakın bir değer alacaktır
(bu, tüm matematiksel beklentilerin ortalamasıdır). Bu şu anlama gelir. Test sonucunda bağımsız rastgele değişkenler olsun X 1 , X 2 , … , X n(birçoğu var!) değerleri ona göre almışlar X 1 , X 2 , … , X n sırasıyla. O zaman bu değerlerin kendileri, karşılık gelen rastgele değişkenlerin ortalama değerlerinden uzak olabilirse, ortalama değerleri
yakın olması muhtemel
. Böylece, çok sayıda rasgele değişkenin aritmetik ortalaması zaten rasgele karakterini kaybeder ve büyük bir doğrulukla tahmin edilebilir. Bu, değerlerin rastgele sapmalarının olmasıyla açıklanabilir. X i itibaren a i farklı işaretlerde olabilir ve bu nedenle toplamda bu sapmalar yüksek bir olasılıkla telafi edilir.

Terema Chebysheva (büyük sayılar yasası Chebyshev şeklinde). İzin vermek X 1 , X 2 , … , X n … varyansları aynı sayı ile sınırlı olan ikili bağımsız rastgele değişkenler dizisidir. O halde, ε sayısı ne kadar küçük olursa olsun, eşitsizlik olasılığı

sayı ise keyfi olarak birliğe yakın olacaktır n yeterince büyük almak için rastgele değişkenler. Resmi olarak, bu, teoremin koşulları altında şu anlama gelir:

Bu tür yakınsama, olasılıkta yakınsama olarak adlandırılır ve şu şekilde gösterilir:

Bu nedenle, Chebyshev teoremi, yeterince fazla sayıda bağımsız rastgele değişken varsa, o zaman tek bir testteki aritmetik ortalamalarının neredeyse kesinlikle matematiksel beklentilerinin ortalamasına yakın bir değer alacağını söylüyor.

Çoğu zaman, Chebyshev teoremi, rastgele değişkenlerin olduğu bir durumda uygulanır. X 1 , X 2 , … , X n … aynı dağılıma sahiptir (yani aynı dağılım yasası veya aynı olasılık yoğunluğu). Aslında, bu sadece aynı rastgele değişkenin çok sayıda örneğidir.

Sonuçlar(genelleştirilmiş Chebyshev eşitsizliğinin). Eğer bağımsız rastgele değişkenler X 1 , X 2 , … , X n … matematiksel beklentilerle aynı dağılıma sahip M(X i )= a ve dağılımlar D(X i )= D, sonra

, yani
.

Kanıt, genelleştirilmiş Chebyshev eşitsizliğinden aşağıdaki gibi sınıra geçerek aşağıdakileri takip eder: n→∞ .

Yukarıda yazılan eşitliklerin, miktarın değerini garanti etmediğini bir kez daha not ediyoruz.
eğilimi a de n→∞. Bu değer hala rastgele bir değişkendir ve bireysel değerleri oldukça uzak olabilir. a. Ancak böyle bir olasılık (uzak a) artan değerler n 0'a eğilimlidir.

Yorum. Doğal sonucun sonucu, bağımsız rasgele değişkenler olduğunda daha genel durumda da geçerlidir. X 1 , X 2 , … , X n … farklı bir dağılıma sahip, ancak aynı matematiksel beklentiler (eşit a) ve toplamda sınırlı varyanslar. Bu, bu ölçümler farklı enstrümanlar tarafından yapılsa bile, belirli bir miktarı ölçmenin doğruluğunu tahmin etmeyi mümkün kılar.

Bu sonucun niceliklerin ölçümüne uygulanmasını daha ayrıntılı olarak ele alalım. Biraz cihaz kullanalım n gerçek değeri olan aynı miktardaki ölçümler a ve bilmiyoruz. Bu tür ölçümlerin sonuçları X 1 , X 2 , … , X n birbirinden (ve gerçek değerden) önemli ölçüde farklılık gösterebilir. a) çeşitli rastgele faktörlerden (basınç düşüşleri, sıcaklıklar, rastgele titreşim vb.) R.v.'yi düşünün. X- bir miktarın tek bir ölçümü ve bir dizi r.v. X 1 , X 2 , … , X n- ilk, ikinci, ..., son ölçümde cihaz okuması. Böylece, miktarların her biri X 1 , X 2 , … , X n r.v.'nin örneklerinden sadece biri var. X, ve bu nedenle hepsi r.v. ile aynı dağılıma sahiptir. X. Ölçüm sonuçları birbirinden bağımsız olduğu için r.v. X 1 , X 2 , … , X n bağımsız sayılabilir. Cihaz sistematik bir hata vermiyorsa (örneğin, sıfır ölçekte “devrilmiyor”, yay gerilmedi vb.), o zaman matematiksel beklentinin olduğunu varsayabiliriz. M(X) = bir, ve bu nedenle M(X 1 ) = ... = M(X n ) = bir. Böylece, yukarıdaki sonucun koşulları karşılanır ve bu nedenle miktarın yaklaşık bir değeri olarak a rastgele bir değişkenin "uygulamasını" alabiliriz
deneyimizde (bir dizi nölçümler), yani.

.

Çok sayıda ölçümle, bu formülü kullanarak hesaplamanın iyi doğruluğu pratik olarak güvenilirdir. Bu, çok sayıda ölçümle, aritmetik ortalamalarının pratikte ölçülen miktarın gerçek değerinden çok farklı olmadığı pratik ilkesinin mantığıdır.

Matematiksel istatistiklerde yaygın olarak kullanılan “seçici” yöntem, rastgele bir değişkenin nispeten küçük bir değer örneğinden nesnel özelliklerinin kabul edilebilir doğrulukla elde edilmesini sağlayan büyük sayılar yasasına dayanmaktadır. Ancak bu bir sonraki bölümde tartışılacaktır.

Örnek. Üzerinde ölçü aleti sistematik bozulmalar yapmayan, belirli bir değer ölçülür a bir kez (alınan değer X 1 ) ve ardından 99 kez daha (elde edilen değerler X 2 , … , X 100 ). Gerçek ölçüm değeri için a ilk önce ilk ölçümün sonucunu alın
ve ardından tüm ölçümlerin aritmetik ortalaması
. Cihazın ölçüm doğruluğu, σ ölçümünün standart sapması 1'den fazla olmayacak şekildedir (çünkü dağılım D=σ 2 ayrıca 1'i geçmez. Ölçüm yöntemlerinin her biri için, ölçüm hatasının 2'yi geçmeme olasılığını tahmin edin.

Çözüm. hadi r.v. X- tek bir ölçüm için cihaz okuması. Daha sonra koşula göre M(X)=a. Sorulan soruları cevaplamak için genelleştirilmiş Chebyshev eşitsizliği uyguluyoruz.

ε için =2 için ilk n=1 ve sonra için n=100 . İlk durumda, alırız
, ve ikincisinde. Böylece, ikinci durum, verilen ölçüm doğruluğunu pratik olarak garanti ederken, ilki bu anlamda ciddi şüpheler bırakmaktadır.

Yukarıdaki ifadeleri Bernoulli şemasında ortaya çıkan rastgele değişkenlere uygulayalım. Bu planın özünü hatırlayalım. Üretilmesine izin ver n her birinde bazı olayların olduğu bağımsız testler ANCAK aynı olasılıkla görünebilir R, a q=1–r(anlam olarak, bu, bir olayın meydana gelmesi değil, zıt olayın olasılığıdır ANCAK) . Biraz sayı harcayalım n bu tür testler. Rastgele değişkenleri düşünün: X 1 - olayın meydana gelme sayısı ANCAK içinde 1 th testi, ..., X n- olayın meydana gelme sayısı ANCAK içinde n th testi. Tüm tanıtılan r.v. değerler alabilir 0 veya 1 (Etkinlik ANCAK testte görünebilir veya görünmeyebilir) ve değer 1 bir olasılıkla her denemede şartlı olarak kabul edildi p(bir olayın gerçekleşme olasılığı ANCAK her testte) ve değer 0 olasılıkla q= 1 – p. Bu nedenle, bu miktarlar aynı dağıtım yasalarına sahiptir:

Bu nedenle, bu miktarların ortalama değerleri ve dağılımları da aynıdır: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= p ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ p)− p 2 = p∙(1− p)= p ∙ q, … , D(X n )= p ∙ q . Bu değerleri genelleştirilmiş Chebyshev eşitsizliğine koyarak,

.

Açıktır ki r.v. X=X 1 +…+Х n olayın oluşum sayısıdır ANCAK tümünde n denemeler (dedikleri gibi - "başarıların sayısı" n testler). izin ver n test etkinliği ANCAK ortaya çıkan k onlardan. O zaman önceki eşitsizlik şu şekilde yazılabilir:

.

Ama büyüklük
, olayın meydana gelme sayısının oranına eşit ANCAK içinde n bağımsız denemeler, önceden bağıl olay oranı olarak adlandırılan toplam deneme sayısına ANCAK içinde n testler. Bu nedenle, bir eşitsizlik var

.

Şimdi sınıra geçmek n→∞, elde ederiz
, yani
(olasılığa göre). Bu, Bernoulli biçimindeki büyük sayılar yasasının içeriğidir. Bundan, yeterince fazla sayıda deneme için n bağıl frekansın keyfi olarak küçük sapmaları
olaylar onun olasılığından R neredeyse kesin olaylardır ve büyük sapmalar neredeyse imkansızdır. Göreceli frekansların bu tür kararlılığı hakkında ortaya çıkan sonuç (daha önce deneysel gerçek), bir olayın göreceli sıklığının etrafında dalgalandığı bir sayı olarak bir olayın olasılığının önceden tanıtılan istatistiksel tanımını doğrular.

ifadesi göz önüne alındığında p∙ q= p∙(1− p)= p− p 2 değişim aralığını aşmaz
(bu fonksiyonun bu segmentte minimumunu bularak bunu doğrulamak kolaydır), yukarıdaki eşitsizlikten
bunu elde etmek kolay

,

ilgili problemlerin çözümünde kullanılır (bunlardan biri aşağıda verilecektir).

Örnek. Madeni para 1000 kez çevrildi. Armanın görünüşünün nispi frekansının olasılığından sapmasının 0.1'den az olma olasılığını tahmin edin.

Çözüm. eşitsizliği uygulamak
de p= q=1/2 , n=1000 , ε=0.1, alıyoruz.

Örnek. Önceki örneğin koşulları altında, sayının olasılığını tahmin edin. k bırakılan armaların aralığında olacak 400 önceki 600 .

Çözüm. Şart 400< k<600 anlamına gelir 400/1000< k/ n<600/1000 , yani 0.4< W n (A)<0.6 veya
. Bir önceki örnekte az önce gördüğümüz gibi, böyle bir olayın olasılığı en az 0.975 .

Örnek. Bir olayın olasılığını hesaplamak için ANCAK 1000 deney yapıldı, bu olayda ANCAK 300 kez göründü. Göreceli frekansın (300/1000=0.3'e eşit) gerçek olasılıktan farklı olma olasılığını tahmin edin R 0.1'den fazla değil.

Çözüm. Yukarıdaki eşitsizliği uygulamak
n=1000 için ε=0.1 elde ederiz.

Rastgele fenomenleri inceleme pratiği, aynı koşullar altında gerçekleştirilenler de dahil olmak üzere bireysel gözlemlerin sonuçlarının büyük ölçüde farklılık gösterebilmesine rağmen, aynı zamanda, yeterince büyük sayıda gözlem için ortalama sonuçların sabit olduğunu ve zayıf bir şekilde aşağıdakilere bağlı olduğunu göstermektedir. bireysel gözlemlerin sonuçları.

Rastgele fenomenlerin bu dikkate değer özelliği için teorik gerekçe, büyük sayılar yasası. "Büyük sayılar yasası" adı, çok sayıda rastgele olayın ortalama sonuçlarının kararlılığını belirleyen ve bu kararlılığın nedenini açıklayan bir grup teoremi birleştirir.

Büyük sayılar yasasının en basit biçimi ve tarihsel olarak bu bölümün ilk teoremi Bernoulli teoremi Bir olayın olasılığı tüm denemelerde aynıysa, deneme sayısındaki artışla, olayın sıklığı olayın olasılığına yönelir ve rastgele olmaktan çıkar.

Poisson teoremi, bir dizi bağımsız denemedeki bir olayın sıklığının, olasılıklarının aritmetik ortalamasına yöneldiğini ve rastgele olmaktan çıktığını belirtir.

Olasılık teorisinin limit teoremleri, teoremler Moivre-Laplace Bir olayın meydana gelme sıklığının kararlılığının doğasını açıklar. Bu doğa, deneme sayısında sınırsız bir artışla (bir olayın tüm denemelerdeki olasılığı aynıysa) bir olayın meydana gelme sayısının sınırlayıcı dağılımının olması gerçeğinden oluşur. normal dağılım.

Merkezi limit teoremi yaygın kullanımı açıklar normal hukuk dağıtım. Teorem, sonlu varyanslara sahip çok sayıda bağımsız rastgele değişkenin eklenmesi sonucunda bir rastgele değişken oluşturulduğunda, bu rastgele değişkenin dağılım yasasının pratik olarak ortaya çıktığını belirtir. normal kanunla.

Aşağıdaki teorem, " Büyük Sayılar Yasası" belirli, oldukça genel koşullar altında, rastgele değişkenlerin sayısındaki bir artışla, aritmetik ortalamalarının matematiksel beklentilerin aritmetik ortalamasına yöneldiğini ve rastgele olmaktan çıktığını belirtir.

Lyapunov'un teoremi yaygın olanı açıklıyor normal hukuk dağılımını ve oluşum mekanizmasını açıklar. Teorem, varyansları toplamın varyansına kıyasla küçük olan çok sayıda bağımsız rastgele değişkenin eklenmesi sonucunda bir rastgele değişken oluşturulduğunda, bu rastgele değişkenin dağılım yasasının ortaya çıktığını iddia etmemizi sağlar. pratik olmak normal kanunla. Rastgele değişkenler her zaman sonsuz sayıda neden tarafından üretildiğinden ve çoğu zaman bunların hiçbiri rastgele değişkenin kendi varyansıyla karşılaştırılabilir bir varyansa sahip olmadığından, uygulamada karşılaşılan rastgele değişkenlerin çoğu normal dağılım yasasına tabidir.

Büyük sayılar yasasının nitel ve nicel ifadeleri, Chebyshev eşitsizliği. Rastgele bir değişkenin değerinin matematiksel beklentisinden sapmasının belirli bir sayıdan daha büyük olma olasılığının üst sınırını tanımlar. Dikkat çekici bir şekilde, Chebyshev eşitsizliği olayın olasılığının bir tahminini verir. dağılımı bilinmeyen bir rastgele değişken için sadece matematiksel beklentisi ve varyansı bilinmektedir.

Chebyshev eşitsizliği. Bir rastgele değişken x'in bir varyansı varsa, o zaman herhangi bir e > 0 için eşitsizlik , nerede M x ve D x - rastgele değişken x'in matematiksel beklentisi ve varyansı.

Bernoulli teoremi. m n, n Bernoulli denemesindeki başarı sayısı ve p tek bir denemedeki başarı olasılığı olsun. O zaman elimizdeki herhangi bir e > 0 için .

Merkezi Limit Teoremi. Rastgele değişkenler x 1 , x 2 , …, x n , … ikili olarak bağımsızsa, eşit dağılmışsa ve sonlu varyansa sahipse, o zaman n ®'de x (- ,)'de düzgün şekilde