Normal dağılıma sahip rasgele değişkenlerle ilgili birçok problemde, parametrelerle normal yasaya uyan bir rasgele değişkenin ile ile arasındaki aralığa düşme olasılığının belirlenmesi gerekir. Bu olasılığı hesaplamak için genel formülü kullanırız.

miktarın dağılım fonksiyonu nerede .

Parametrelerle normal yasaya göre dağılmış bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu bulalım. Değerin dağılım yoğunluğu:

. (6.3.2)

Buradan dağıtım fonksiyonunu buluyoruz.

. (6.3.3)

(6.3.3) integralindeki değişkenin değişimini yapalım.

ve forma getirin:

(6.3.4)

İntegral (6.3.4) cinsinden ifade edilmez temel fonksiyonlar, ancak tabloların derlendiği ifadenin veya (olasılık integrali olarak adlandırılan) belirli bir integralini ifade eden özel bir işlev aracılığıyla hesaplanabilir. Bu tür işlevlerin birçok çeşidi vardır, örneğin:

;

vb. Bu işlevlerden hangisinin kullanılacağı bir zevk meselesidir. Böyle bir fonksiyon seçeceğiz

. (6.3.5)

Bu fonksiyonun, parametrelerle normal olarak dağıtılmış bir rastgele değişken için dağıtım fonksiyonundan başka bir şey olmadığını görmek kolaydır.

Fonksiyonu normal dağılım fonksiyonu olarak adlandırmayı kabul ediyoruz. Ek (Tablo 1), fonksiyon değerleri tablolarını gösterir.

Niceliğin dağılım fonksiyonunu (6.3.3) parametrelerle ve normal dağılım fonksiyonu cinsinden ifade edelim. Açıkça,

. (6.3.6)

Şimdi ile arasındaki segmentte rastgele bir değişkene çarpma olasılığını bulalım. Formüle (6.3.1) göre

Böylece, herhangi bir parametre ile normal yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişkenin, 0.1 parametreleriyle en basit normal yasaya karşılık gelen standart dağılım fonksiyonu cinsinden arsaya düşme olasılığını ifade ettik. Formül (6.3.7)'deki fonksiyon argümanlarının çok basit bir anlamı olduğuna dikkat edin: bölümün sağ ucundan dağılım merkezine kadar standart sapmalarla ifade edilen bir mesafe vardır; - bölümün sol ucu için aynı mesafe ve bu mesafe, uç dağılım merkezinin sağında bulunuyorsa pozitif, solundaysa negatif olarak kabul edilir.

Herhangi bir dağıtım işlevi gibi, işlev aşağıdaki özelliklere sahiptir:

3. - azalmayan fonksiyon.

Ek olarak, orijine ilişkin parametrelerle normal dağılımın simetrisinden şu sonuç çıkar:

Bu özelliği kullanarak, aslında, fonksiyon tablolarını argümanın yalnızca pozitif değerleriyle sınırlamak mümkün olacaktır, ancak gereksiz bir işlemden (birinden çıkarma) kaçınmak için, ekin Tablo 1'i için değerler sağlar. Hem olumlu hem de olumsuz argümanlar.

Pratikte, normal olarak dağılmış bir rasgele değişkenin, dağılım merkezi etrafında simetrik olan bir alana düşme olasılığının hesaplanması sorunuyla sık sık karşılaşılır. Böyle bir uzunluk bölümü düşünün (Şekil 6.3.1). Bu siteye çarpma olasılığını (6.3.7) formülü kullanarak hesaplayalım:

Fonksiyonun (6.3.8) özelliğini dikkate alarak ve formülün (6.3.9) sol tarafına daha kompakt bir form vererek, normal yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişkenin olasılığı için bir formül elde ederiz. saçılma merkezine göre simetrik bir bölüm:

. (6.3.10)

Aşağıdaki problemi çözelim. Saçılma merkezinden ardışık uzunluk parçalarını bir kenara koyalım (Şekil 6.3.2) ve her birine rastgele bir değişkenin düşme olasılığını hesaplayalım. Normal yasanın eğrisi simetrik olduğundan, bu tür bölümleri yalnızca bir yönde ertelemek yeterlidir.

(6.3.7) formülüne göre şunları buluruz:

(6.3.11)

Bu verilerden de anlaşılacağı gibi, aşağıdaki segmentlerin (beşinci, altıncı vb.) her birine 0.001 doğrulukla ulaşma olasılıkları sıfıra eşittir.

Segmentlere ulaşma olasılıklarını 0,01'e (%1'e kadar) yuvarlayarak, hatırlanması kolay üç sayı elde ederiz:

0,34; 0,14; 0,02.

Bu üç değerin toplamı 0,5'tir. Bu, normal olarak dağıtılan bir rastgele değişken için tüm dağılımların (yüzdenin kesirlerine kadar) bölüme uyduğu anlamına gelir.

Bu, bir rastgele değişkenin standart sapmasını ve matematiksel beklentisini bilerek, pratik olarak olası değerlerinin aralığını yaklaşık olarak belirtmeye izin verir. Rastgele bir değişkenin olası değerlerinin aralığını tahmin etmek için böyle bir yöntem bilinmektedir. matematiksel istatistiküç sigma kuralı denir. Üç sigma kuralı aynı zamanda rastgele bir değişkenin standart sapmasını belirlemek için yaklaşık bir yöntem anlamına gelir: ortalamadan pratik olarak mümkün olan maksimum sapmayı alır ve onu üçe bölerler. Tabii ki, bu kaba yöntem yalnızca, belirlemenin başka, daha doğru bir yolu yoksa önerilebilir.

Örnek 1. Normal yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken, belirli bir mesafenin ölçülmesinde bir hatadır. Ölçüm yaparken, 1.2 (m) fazla tahmin yönünde sistematik bir hataya izin verilir; ölçüm hatasının standart sapması 0,8 (m)'dir. Ölçülen değerin gerçek değerden sapmasının mutlak değerde 1,6 (m)'yi geçmeme olasılığını bulun.

Çözüm. Ölçüm hatası, ve parametreleri ile normal yasaya uyan rastgele bir değişkendir. Bu miktarın ile aralığına düşme olasılığını bulmamız gerekiyor. (6.3.7) formülüne göre:

Fonksiyon tablolarını (Ek, Tablo 1) kullanarak şunları buluruz:

; ,

Örnek 2. Sistematik bir hata olmaması koşuluyla, önceki örnektekiyle aynı olasılığı bulun.

Çözüm. (6.3.10) formülüne göre, varsayarak şunları buluruz:

.

Örnek 3. Genişliği 20 m olan bir şerit (otoyol) gibi görünen bir hedefe, otoyola dik bir yönde atış yapılır. Hedefleme, karayolunun merkez hattı boyunca gerçekleştirilir. Atış yönündeki standart sapma m'ye eşittir.Ateş yönünde sistematik bir hata var: alt nokta 3 m.Otoba tek atışta çarpma olasılığını bulun.

Rastgele değişken Her testin sonucunda rastgele nedenlere bağlı olarak önceden bilinmeyen bir değer alan bir değişken olarak adlandırılır. Rastgele değişkenler büyük Latin harfleriyle gösterilir: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Türlerine göre, rastgele değişkenler şunlar olabilir: ayrık ve sürekli.

Ayrık rassal değişken- bu, değerleri sayılabilirden fazla olamayan, yani sonlu veya sayılabilir olan rastgele bir değişkendir. Sayılabilirlik, rastgele bir değişkenin değerlerinin numaralandırılabileceği anlamına gelir.

örnek 1 . Ayrık örnekler verelim rastgele değişkenler:

a) $n$ atışları ile hedefe isabet sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

b) yazı tura atarken düşen arma sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

c) gemiye gelen gemi sayısı (sayılabilir bir değerler dizisi).

d) santrale gelen çağrıların sayısı (sayılabilir bir değerler kümesi).

1. Kesikli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı yasası.

Ayrık bir rastgele değişken $X$, $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ olasılıklarıyla $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerini alabilir. Bu değerler ile olasılıkları arasındaki yazışmaya denir. ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Kural olarak, bu yazışma, ilk satırında $x_1,\dots,\ x_n$ değerlerinin belirtildiği ve ikinci satırda bu değerlere karşılık gelen olasılıkların $ olduğu bir tablo kullanılarak belirtilir. p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(dizi)$

Örnek 2 . Rastgele değişken $X$, bir zar atıldığında atılan puanların sayısı olsun. Böyle bir rastgele değişken $X$ aşağıdaki değerleri alabilir: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Tüm bu değerlerin olasılıkları 1/6$'a eşittir. Ardından $X$ rasgele değişkeni için olasılık dağılım yasası:

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(dizi)$

Yorum. $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ olayları ayrık rastgele değişken $X$'ın dağılım yasasında tam bir olaylar grubu oluşturduğundan, olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır, yani $\sum( p_i)=1$.

2. Kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi"merkezi" değerini belirtir. Kesikli bir rastgele değişken için matematiksel beklenti, $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerinin ve bu değerlere karşılık gelen $p_1,\dots ,\ p_n$ olasılıklarının çarpımlarının toplamı olarak hesaplanır, yani: $M\sol(X\sağ)=\toplam ^n_(i=1)(p_ix_i)$. İngiliz literatüründe, $E\left(X\right)$ başka bir gösterimi kullanılır.

Özellikleri matematiksel beklenti $M\sol(X\sağ)$:

1. $M\left(X\right)$ en küçük ve en yüksek değerler rastgele değişken $X$.
2. Bir sabitin matematiksel beklentisi, sabitin kendisine eşittir, yani. $M\sol(C\sağ)=C$.
3. Sabit faktör beklenti işaretinden çıkarılabilir: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Örnek 3 . Örnek 2$'dan $X$ rasgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulalım.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\üzer (6))+2\cdot ((1)\üzer (6) )+3\cdot ((1)\fazla (6))+4\cdot ((1)\fazla (6))+5\cdot ((1)\fazla (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$

$M\left(X\right)$'ın $X$ rastgele değişkeninin en küçük ($1$) ve en büyük (6$) değerleri arasında olduğunu görebiliriz.

Örnek 4 . $X$ rasgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. 3X+5$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak, $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ elde ederiz. cdot 2 +5=11$.

Örnek 5 . $X$ rasgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=4$'a eşit olduğu bilinmektedir. 2X-9$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak, $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ elde ederiz. cdot 4 -9=-1$.

3. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılımı.

Eşit matematiksel beklentilere sahip rastgele değişkenlerin olası değerleri, ortalama değerleri etrafında farklı şekilde dağılabilir. Örneğin, iki öğrenci grupları not ortalaması olasılık teorisindeki sınav için 4'e eşit olduğu ortaya çıktı, ancak bir grupta herkesin iyi öğrenciler olduğu ve diğer grupta - sadece üç ve mükemmel öğrenciler olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, bir rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafında yayılmasını gösterecek olan bir rastgele değişkenin böyle bir sayısal özelliğine ihtiyaç vardır. Bu özellik dispersiyondur.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı$X$:

$$D\left(X\sağ)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\sağ)\sağ))^2).\ $$

İngiliz literatüründe $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ gösterimi kullanılır. Çoğu zaman $D\left(X\right)$ varyansı $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) formülüyle hesaplanır sol(X \sağ)\sağ))^2$.

Dağılım Özellikleri$D\sol(X\sağ)$:

1. Dağılım her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir, yani. $D\sol(X\sağ)\ge 0$.
2. Bir sabitten dağılım sıfıra eşittir, yani. $D\sol(C\sağ)=0$.
3. Sabit faktör, kare olması koşuluyla dağılım işaretinden çıkarılabilir, yani. $D\sol(CX\sağ)=C^2D\sol(X\sağ)$.
4. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir, yani. $D\sol(X+Y\sağ)=D\sol(X\sağ)+D\sol(Y\sağ)$.
5. Bağımsız rastgele değişkenlerin farkının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir, yani. $D\sol(X-Y\sağ)=D\sol(X\sağ)+D\sol(Y\sağ)$.

Örnek 6 . Örnek 2$'dan $X$ rasgele değişkeninin varyansını hesaplayalım.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\sol(1-3,5\sağ))^2+((1)\üzer (6))\cdot (\sol(2-3,5\sağ))^2+ \dots +((1)\üzer (6))\cdot (\sol(6-3,5\sağ))^2=((35)\üzer (12))\yaklaşık 2,92.$$

Örnek 7 . $X$ rasgele değişkeninin varyansının $D\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. 4X+1$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= buluruz 16D\ sol(X\sağ)=16\cdot 2=32$.

Örnek 8 . $X$'ın varyansının $D\left(X\right)=3$'a eşit olduğu bilinmektedir. $3-2X$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= buluruz 4D\ sol(X\sağ)=4\cdot 3=12$.

4. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu.

Kesikli bir rastgele değişkeni bir dağılım serisi şeklinde temsil etme yöntemi tek değildir ve en önemlisi, sürekli bir rastgele değişken bir dağılım serisi kullanılarak belirlenemediğinden evrensel değildir. Rastgele bir değişkeni temsil etmenin başka bir yolu daha vardır - dağıtım işlevi.

dağıtım işlevi rasgele değişken $X$, rasgele değişken $X$'ın sabit bir $x$ değerinden daha küçük bir değer alma olasılığını belirleyen bir $F\left(x\right)$ işlevidir, yani $F\left(x\ sağ)$ )=P\sol(X< x\right)$

Dağıtım işlevi özellikleri:

1. $0\le F\sol(x\sağ)\le 1$.
2. $X$ rastgele değişkeninin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ aralığından değerler alma olasılığı, bu aralığın sonundaki dağılım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. : $P\sol(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\sol(x\sağ)$ - azalmaz.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \sağ)=1\ )$.

Örnek 9 . Örnek 2$'dan ayrık rastgele değişken $X$'ın dağılım yasası için $F\sol(x\sağ)$ dağıtım fonksiyonunu bulalım.

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(dizi)$

$x\le 1$ ise, açıkçası $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ dahil $F\left(1\right)=P\left(X dahil)< 1\right)=0$).

1$ ise< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

2$ ise< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

3$ ise< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

4$ ise< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

5$ ise< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

$x > 6$ ise, o zaman $F\sol(x\sağ)=P\sol(X=1\sağ)+P\sol(X=2\sağ)+P\sol(X=3\sağ) + P\sol(X=4\sağ)+P\sol(X=5\sağ)+P\sol(X=6\sağ)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Yani $F(x)=\left\(\begin(matris)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, \ 1'de< x\le 2,\\
1/3,\ en\ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3'te< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \'de \ 4< x\le 5,\\
1,\ için \ x > 6.
\end(matris)\sağ.$

Normal olasılık dağılımı yasası

Abartmadan, felsefi bir yasa olarak adlandırılabilir. Çevremizdeki dünyanın çeşitli nesnelerini ve süreçlerini gözlemlerken, çoğu zaman bir şeyin yeterli olmadığı ve bir norm olduğu gerçeğiyle karşılaşırız:


İşte temel bir görünüm yoğunluk fonksiyonları normal olasılık dağılımı ve bu en ilginç derse hoş geldiniz.

Hangi örnekler verilebilir? Onlar sadece karanlık. Bu, örneğin, insanların boyu, ağırlığı (ve sadece değil), onların Fiziksel gücü, zihinsel kapasite vb. "kitle" var (öyle ya da böyle) ve her iki yönde de sapmalar var.

Bunlar cansız nesnelerin farklı özellikleridir (aynı boyutlar, ağırlık). Bu, örneğin yüz metrelik bir yarışın zamanı veya reçinenin kehribara dönüşmesi gibi rastgele bir süreç süresidir. Fizikten akla hava molekülleri geldi: aralarında yavaş olanlar var, hızlı olanlar var ama çoğu “standart” hızlarda hareket ediyor.

Ardından, merkezden bir standart sapma daha saparız ve yüksekliği hesaplarız:

Çizimdeki işaretleme noktaları (yeşil renk) ve bunun oldukça yeterli olduğunu görüyoruz.

Son aşamada, dikkatlice bir grafik çiziyoruz ve özellikle dikkatle onu yansıt dışbükeylik / içbükeylik! Muhtemelen uzun zaman önce apsis ekseninin Yatay asimptot, ve bunun için “tırmanmak” kesinlikle imkansız!

Çözümün elektronik tasarımı ile grafiği Excel'de oluşturmak kolaydır ve beklenmedik bir şekilde kendim için bu konuyla ilgili kısa bir video bile kaydettim. Ama önce normal eğrinin şeklinin ve değerlerine bağlı olarak nasıl değiştiğinden bahsedelim.

"a"yı arttırırken veya azaltırken (değişmeyen "sigma" ile) grafik şeklini korur ve sağa / sola hareket eder sırasıyla. Örneğin, fonksiyon şu şekli aldığında ve grafiğimiz 3 birim sola "hareket eder" - tam olarak orijine:


Sıfır matematiksel beklentisi olan normal dağılımlı bir miktar tamamen doğal bir isim aldı - merkezli; yoğunluk fonksiyonu – Bile, ve grafik y eksenine göre simetriktir.

"sigma"da bir değişiklik olması durumunda ("a" sabiti ile), grafik "yerinde kalır", ancak şekil değiştirir. Büyütüldüğünde, dokunaçlarını geren bir ahtapot gibi alçalır ve uzar. Ve tersi, grafiği düşürürken daha dar ve uzun olur- "şaşırmış ahtapot" çıkıyor. Evet, saat azalmak iki kez "sigma": önceki tablo iki kez daralır ve uzar:

Her şey tam uyumludur grafiklerin geometrik dönüşümleri.

Birim değeri olan normal dağılıma "sigma" denir. normalleştirilmiş, ve eğer aynı zamanda merkezli(bizim durumumuz), o zaman böyle bir dağıtım denir standart. Daha önce karşılaşılmış olan daha basit bir yoğunluk fonksiyonuna sahiptir. yerel Laplace teoremi: . Standart dağıtım pratikte geniş uygulama alanı buldu ve çok yakında amacını anlayacağız.

Şimdi bir film izleyelim:

Evet, oldukça doğru - bir şekilde haksız yere gölgede kaldık olasılık dağılım fonksiyonu. onu hatırlıyoruz tanım:
- rastgele bir değişkenin tüm gerçek değerleri "artı" sonsuza kadar "çalışan" değişkenden DAHA AZ bir değer alma olasılığı.

İntegralin içinde, notasyonda "bindirme" olmaması için genellikle farklı bir harf kullanılır, çünkü burada her değer atanır uygun olmayan integral bazılarına eşit olan sayı aralığından.

Hemen hemen tüm değerler doğru bir şekilde hesaplanamaz, ancak az önce gördüğümüz gibi, modern hesaplama gücü ile bu zor değildir. Yani fonksiyon için standart dağılımın ilgili excel işlevi genellikle bir argüman içerir:

=NORMSDAĞ(z)

Bir, iki - ve bitirdiniz:

Çizim, hepsinin uygulanmasını açıkça göstermektedir. dağıtım işlevi özellikleri ve buradaki teknik nüanslardan dikkat etmelisiniz yatay asimptotlar ve bir bükülme noktası.

Şimdi konunun temel görevlerinden birini hatırlayalım, yani, nasıl bulunacağını öğrenelim - normal bir rastgele değişken olma olasılığı aralıktan bir değer alacak. Geometrik olarak, bu olasılık eşittir alan karşılık gelen bölümde normal eğri ve x ekseni arasında:

ancak her seferinde yaklaşık bir değer belirleyin mantıksız ve bu nedenle kullanmak daha mantıklı "kolay" formül:
.

! ayrıca hatırlıyor , ne

Burada Excel'i tekrar kullanabilirsiniz, ancak birkaç önemli “ama” vardır: ilk olarak, her zaman elinizin altında değildir ve ikincisi, “hazır” değerler, büyük olasılıkla öğretmenden sorular soracaktır. Neden? Niye?

Bundan daha önce defalarca bahsettim: bir zamanlar (ve çok uzun zaman önce değil) sıradan bir hesap makinesi bir lükstü ve söz konusu sorunu çözmenin “manuel” yolu eğitim literatüründe hala korunmaktadır. Onun özü standartlaştırmak"alfa" ve "beta" değerleri, yani çözümü standart dağılıma indirger:

Not : işlevin genel durumdan elde edilmesi kolaydırdoğrusal kullanarak ikameler. Sonra ve:

ve değiştirmeden sadece formülü takip eder keyfi bir dağılımın değerlerinden standart dağılımın karşılık gelen değerlerine geçiş.

Bu neden gerekli? Gerçek şu ki, değerler atalarımız tarafından titizlikle hesaplandı ve terver ile ilgili birçok kitapta bulunan özel bir tabloda özetlendi. Ama daha da yaygın olanı, daha önce ele aldığımız değerler tablosudur. Laplace integral teoremi:

Elimizde Laplace fonksiyonunun bir değerler tablosu varsa , sonra çözüyoruz:

Kesirli değerler, standart tabloda yapıldığı gibi geleneksel olarak 4 ondalık basamağa yuvarlanır. Ve kontrol için madde 5 Yerleşim.

sana şunu hatırlatırım ve karışıklığı önlemek için her zaman kontrol altında ol, gözlerinizin önünde NE işlevi tablosu.

Cevap yüzde olarak verilmesi gerekir, bu nedenle hesaplanan olasılık 100 ile çarpılmalı ve sonuca anlamlı bir yorum getirilmelidir:

- 5 ila 70 m uçuşla, mermilerin yaklaşık %15,87'si düşecek

Kendi başımıza eğitiyoruz:

Örnek 3

Fabrikada üretilen rulmanların çapı, 1.5 cm beklentisi ve 0.04 cm standart sapması ile normal olarak dağıtılan rastgele bir değişkendir.Rastgele alınan bir rulmanın boyutunun 1,4 ila 1,6 cm arasında olma olasılığını bulun.

Örnek çözümde ve aşağıda, en yaygın seçenek olarak Laplace işlevini kullanacağım. Bu arada, ifadeye göre, burada dikkate alınan aralığın sonlarını dahil edebileceğinizi unutmayın. Ancak, bu kritik değil.

Ve zaten bu örnekte tanıştık özel bir durum– aralık, matematiksel beklentiye göre simetrik olduğunda. Böyle bir durumda, şu şekilde yazılabilir ve Laplace fonksiyonunun tuhaflığını kullanarak çalışma formülünü basitleştirin:

Delta parametresi denir sapma matematiksel beklentiden ve çift eşitsizlik kullanılarak "paketlenebilir" modül:

rastgele bir değişkenin değerinin matematiksel beklentiden daha az sapma olasılığıdır.

Peki, tek satıra sığan çözüm :)
rastgele alınan bir yatağın çapının 1,5 cm'den 0,1 cm'den fazla olmaması olasılığıdır.

Bu görevin sonucu birliğe yakın çıktı, ancak daha fazla güvenilirlik istiyorum - yani çapın olduğu sınırları bulmak için. neredeyse herkes rulmanlar. Bunun bir kriteri var mı? Var! Soru sözde tarafından cevaplanır

üç sigma kuralı

Onun özü şudur pratik olarak güvenilir normal olarak dağılan bir rastgele değişkenin aralıktan bir değer alacağı gerçeğidir. .

Gerçekten de, beklentiden sapma olasılığı şundan daha azdır:
veya %99.73

"Rulmanlar" açısından - bunlar 1,38 ila 1,62 cm çapında 9973 parça ve sadece 27 "standart altı" kopyadır.

AT pratik araştırmaÜç sigma kuralı yaygın olarak kullanılmaktadır. ters yön: eğer istatistiksel olarak hemen hemen tüm değerlerin incelenen rastgele değişken 6 standart sapma aralığına sığarsa, bu değerin normal yasaya göre dağıtıldığına inanmak için iyi nedenler vardır. Doğrulama teori kullanılarak gerçekleştirilir istatistiksel hipotezler.

Zorlu Sovyet görevlerini çözmeye devam ediyoruz:

Örnek 4

Tartım hatasının rastgele değeri, sıfır matematiksel beklenti ve 3 gramlık standart sapma ile normal yasaya göre dağıtılır. Bir sonraki tartımın mutlak değerde 5 gramı geçmeyen bir hata ile yapılması olasılığını bulunuz.

ÇözümÇok basit. Duruma göre ve bir sonraki tartımda hemen not ediyoruz (bir şey veya birisi) 9 gramlık bir doğrulukla neredeyse %100 sonuç alacağız. Ancak problemde daha dar bir sapma var ve formüle göre :

- Bir sonraki tartımın 5 gramı aşmayan bir hatayla yapılma olasılığı.

Cevap:

Çözülmüş bir problem, görünüşte benzer bir problemden temelde farklıdır. Örnek 3 hakkında ders üniforma dağıtımı. Bir hata oluştu yuvarlamaölçüm sonuçları, burada ölçümlerin kendi rastgele hatasından bahsediyoruz. Bu tür hatalar, cihazın kendisinin teknik özelliklerinden kaynaklanmaktadır. (İzin verilen hataların aralığı, kural olarak pasaportunda belirtilir), ve ayrıca deneycinin hatasıyla - örneğin, "gözle" aynı ölçeklerin okundan okumalar aldığımızda.

Diğerlerinin yanı sıra, sözde sistematikölçüm hataları. Çoktan Rastgele olmayan cihazın yanlış kurulumu veya çalışması nedeniyle oluşan hatalar. Bu nedenle, örneğin, ayarlanmamış yer kantarları sürekli olarak bir kilogramı "ekleyebilir" ve satıcı sistematik olarak alıcıların ağırlığını azaltır. Veya sistematik olarak değil, çünkü kısa sürede değiştirebilirsiniz. Ancak, her durumda, böyle bir hata rastgele olmayacaktır ve beklentisi sıfırdan farklıdır.

…Acil olarak bir satış eğitimi kursu geliştiriyorum =)

Sorunu kendi başımıza çözelim:

Örnek 5

Silindir çapı, rastgele, normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkendir, standart sapması mm'dir. Boncuk çapının uzunluğunun olasılıkla düşeceği matematiksel beklentiye göre simetrik olan aralığın uzunluğunu bulun.

Madde 5* dizayn görünümü yardım etmek. Lütfen matematiksel beklentinin burada bilinmediğini unutmayın, ancak bu sorunun çözülmesine en ufak bir müdahalede bulunmaz.

Ve sınav görevi, malzemeyi birleştirmenizi şiddetle tavsiye ederim:

Örnek 6

Normal dağılan bir rastgele değişken, parametreleri (matematiksel beklenti) ve (standart sapma) tarafından verilir. Gerekli:

a) olasılık yoğunluğunu yazın ve grafiğini şematik olarak gösterin;
b) aralıktan bir değer alma olasılığını bulun ;
c) modülün 'den daha fazla sapmama olasılığını bulun;
d) "üç sigma" kuralını uygulayarak rastgele değişkenin değerlerini bulun.

Bu tür problemler her yerde karşımıza çıkıyor ve yıllarca pratik yaparak yüzlercesini çözebildim. Elle çizim yapmayı ve kağıt hesap tablolarını kullanmayı unutmayın ;)

Artan karmaşıklığın bir örneğini analiz edeceğim:

Örnek 7

Rastgele bir değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu şu şekildedir: . Bul , matematiksel beklenti , varyans , dağılım fonksiyonu , çizim yoğunluğu ve dağılım fonksiyonları, bul .

Çözüm: öncelikle koşulun rastgele değişkenin doğası hakkında bir şey söylemediğine dikkat edelim. Tek başına, katılımcının varlığı hiçbir şey ifade etmez: örneğin, gösterici veya genellikle keyfi sürekli dağıtım. Ve bu nedenle, dağılımın “normalliği”nin hala kanıtlanması gerekiyor:

fonksiyon beri belirlenen hiç gerçek değer ve forma indirgenebilir , daha sonra rastgele değişken normal yasaya göre dağıtılır.

Sunuyoruz. Bunun için tam bir kare seçin ve organize etmek üç katlı kesir:


Göstergeyi orijinal formuna döndürerek bir kontrol yaptığınızdan emin olun:

görmek istediğimiz şey buydu.

Böylece:
- üzerinde güç kuralı"çimdikleme". Ve burada bariz olanı hemen yazabiliriz sayısal özellikler:

Şimdi parametrenin değerini bulalım. Normal dağılım çarpanı forma sahip olduğundan ve , o zaman:
işlevimizi ifade ettiğimiz ve değiştirdiğimiz:
, bundan sonra bir kez daha kaydın üzerinden gözlerimizle gözden geçireceğiz ve ortaya çıkan fonksiyonun forma sahip olduğundan emin olacağız. .

Yoğunluğu çizelim:

ve dağıtım fonksiyonunun grafiği :

Elinizde Excel ve hatta normal bir hesap makinesi yoksa, son tablo kolayca manuel olarak oluşturulur! Bu noktada, dağıtım fonksiyonu değeri alır. ve işte burada

Bölüm 1. Ayrık rassal değişken

§ 1. Rastgele değişken kavramı.

Kesikli bir rasgele değişkenin dağılım yasası.

Tanım : Rastgele, test sonucunda, önceden bilinmeyen ve rastgele nedenlere bağlı olarak olası bir dizi değerden yalnızca bir değer alan bir niceliktir.

İki tür rastgele değişken vardır: kesikli ve sürekli.

Tanım : Rastgele değişken X denir ayrık (süreksiz) değerlerinin kümesi sonlu veya sonsuz ise ancak sayılabilirse.

Başka bir deyişle, kesikli bir rastgele değişkenin olası değerleri yeniden numaralandırılabilir.

Rastgele bir değişkeni dağıtım yasasını kullanarak tanımlayabilirsiniz.

Tanım : Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin olası değerleri ile olasılıkları arasındaki yazışmalara denir.

Kesikli bir rastgele değişken X'in dağılım yasası, ilk satırda rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin artan sırada gösterildiği ve ikinci satırda karşılık gelen olasılıkların gösterildiği bir tablo şeklinde verilebilir. bu değerlerin, yani

nerede р1+ р2+…+ рn=1

Böyle bir tabloya ayrı bir rastgele değişkenin bir dizi dağılımı denir.

Bir rastgele değişkenin olası değerler kümesi sonsuz ise, р1+ р2+…+ рn+… serisi yakınsar ve toplamı 1'e eşittir.

Ayrık bir rasgele değişken X'in dağılım yasası, dikdörtgen bir koordinat sisteminde çokgen bir çizginin oluşturulduğu ve noktaları (xi;pi), i=1,2,…n koordinatlarıyla art arda birbirine bağlayan grafiksel olarak gösterilebilir. Sonuç satırı denir dağıtım poligonu (Şek. 1).

Organik kimyanın organik kimyası "href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark"> sırasıyla 0,7 ve 0,8'dir. Rastgele değişken X'in dağılım yasasını hazırlayın - öğrencinin gireceği sınav sayısı geçmek.

Çözüm. İnceleme sonucunda, dikkate alınan rastgele değişken X şu değerlerden birini alabilir: x1=0, x2=1, x3=2.

Bu değerlerin olasılığını bulalım.Olayları belirtin:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Böylece, X rastgele değişkeninin dağılım yasası tablo tarafından verilmektedir:

Kontrol: 0.6+0.38+0.56=1.

§ 2. Dağıtım işlevi

Rastgele bir değişkenin tam bir açıklaması da dağıtım işlevi tarafından verilir.

Tanım: Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonu Her x değeri için X rasgele değişkeninin x'ten küçük bir değer alma olasılığını belirleyen F(x) işlevi çağrılır:

F(x)=P(X<х)

Geometrik olarak dağılım fonksiyonu, X rastgele değişkeninin, x noktasının solundaki bir nokta ile sayı doğrusunda gösterilen değeri alma olasılığı olarak yorumlanır.

1)0≤F(x)≤1;

2) F(x), (-∞;+∞) üzerinde azalmayan bir fonksiyondur;

3) F(x) - x= xi (i=1,2,…n) noktalarında soldan sürekli ve diğer tüm noktalarda sürekli;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Kesikli bir rasgele değişken X'in dağılım yasası bir tablo şeklinde verilirse:

daha sonra dağılım fonksiyonu F(x) aşağıdaki formülle belirlenir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

x≤ x1 için 0

x1'de p1< х≤ x2,

F(x)= p1 + p2 x2'de< х≤ х3

x> xn için 1

Grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir:

§ 3. Kesikli bir rastgele değişkenin sayısal özellikleri.

Matematiksel beklenti önemli sayısal özelliklerden biridir.

Tanım: Matematiksel beklenti M(X) Kesikli rastgele değişken X, tüm değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıkların ürünlerinin toplamıdır:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Matematiksel beklenti, rastgele bir değişkenin ortalama değerinin bir özelliği olarak hizmet eder.

Matematiksel beklentinin özellikleri:

1)M(C)=C, burada C sabit bir değerdir;

2) M (C X) \u003d CM (X),

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), burada X, Y bağımsız rastgele değişkenlerdir;

5)M(X±C)=M(X)±C, burada C sabit bir değerdir;

Kesikli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin ortalama değeri etrafındaki dağılım derecesini karakterize etmek için varyans kullanılır.

Tanım: dağılım D ( X ) rasgele değişken X, rasgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapma karesinin matematiksel beklentisidir:

Dağılım özellikleri:

1)D(C)=0, burada C sabit bir değerdir;

2)D(X)>0, burada X rastgele bir değişkendir;

3)D(C X)=C2 D(X), burada C sabit bir değerdir;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), burada X, Y bağımsız rastgele değişkenlerdir;

Varyansı hesaplamak için genellikle aşağıdaki formülü kullanmak uygundur:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

burada М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

D(X) varyansı, her zaman uygun olmayan bir rastgele değişkenin karesinin boyutuna sahiptir. Bu nedenle, √D(X) değeri, rastgele bir değişkenin olası değerlerinin dağılımının bir göstergesi olarak da kullanılır.

Tanım: Standart sapma σ(X) rasgele değişken X, varyansın karekökü olarak adlandırılır:

Görev numarası 2. Ayrık rasgele değişken X, dağıtım yasası tarafından verilir:

F(x) dağılım fonksiyonu olan P2'yi bulun ve M(X), D(X), σ(X) ile birlikte grafiğini çizin.

Çözüm: X rastgele değişkeninin olası değerlerinin olasılıklarının toplamı 1'e eşit olduğundan,

Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1

F(x)=P(X) dağıtım fonksiyonunu bulun

Geometrik olarak bu eşitlik şu şekilde yorumlanabilir: F(x), rastgele bir değişkenin gerçek eksende gösterilen değeri x'in solundaki bir nokta ile alma olasılığıdır.

Eğer x≤-1 ise, o zaman F(x)=0, çünkü (-∞;x) üzerinde bu rastgele değişkenin tek bir değeri yoktur;

eğer -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

0 ise<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;х) iki değer x1=-1 ve x2=0 düşer;

1 ise<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

2 ise<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

x>3 ise, F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, x1=-1, x2=0,x3=1,x4=2 olmak üzere dört değer (-∞;x) ve x5=3 aralığına düştüğü için.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> x≤-1 için 0,

0.1'de -1<х≤0,

0,2 0'da<х≤1,

F(x)= 0,5'te 1<х≤2,

2'de 0,7<х≤3,

x>3 için 1

F(x) fonksiyonunu grafiksel olarak gösterelim (Şekil 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Binom dağılım yasası

kesikli rastgele değişken, Poisson yasası.

Tanım: binom ayrı bir rastgele değişken X'in dağılım yasası olarak adlandırılır - her birinde A olayının p olasılığı ile gerçekleşebileceği veya q = 1-p olasılığı ile gerçekleşmeyebileceği n bağımsız tekrarlanan denemede A olayının oluşum sayısı. Daha sonra Р(Х=m)-A olayının n denemede tam olarak m kez meydana gelme olasılığı Bernoulli formülüyle hesaplanır:

P(X=m)=Сmnpmqn-m

İkili bir yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken X'in matematiksel beklentisi, varyansı ve standart sapması sırasıyla şu formüllerle bulunur:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Her testte A - "beş alma" olayının olasılığı aynıdır ve 1/6'ya eşittir, yani, P(A)=p=1/6, sonra P(A)=1-p=q=5/6, burada

- "damlalar beş değil."

Rastgele değişken X değerleri alabilir: 0;1;2;3.

Bernoulli formülünü kullanarak olası X değerlerinin her birinin olasılığını buluyoruz:

P(X=0)=P3(0)=C03p0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

P(X=1)=P3(1)=C13p1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

P(X=2)=P3(2)=C23p2q=3(1/6)2(5/6)1=15/216;

P(X=3)=P3(3)=C33p3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

O. rasgele değişken X'in dağılım yasası şu şekildedir:

Kontrol: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

X rastgele değişkeninin sayısal özelliklerini bulalım:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Görev numarası 4. Otomatik makine damgaları parçaları. Üretilen bir parçanın kusurlu olma olasılığı 0,002'dir. Seçilen 1000 parça arasında şunlar olma olasılığını bulun:

a) 5 kusurlu;

b) en az biri kusurludur.

Çözüm: n=1000 sayısı büyüktür, kusurlu bir parça üretme olasılığı p=0,002 küçüktür ve incelenen olaylar (parçanın kusurlu olduğu ortaya çıkar) bağımsızdır, bu nedenle Poisson formülü gerçekleşir:

Рn(m)= e- λ λm

λ=np=1000 0.002=2'yi bulalım.

a) 5 kusurlu parça olma olasılığını bulun (m=5):

P1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) En az bir kusurlu parça olma olasılığını bulunuz.

A Olayı - "seçilen parçalardan en az biri arızalı" olayının tersidir - "seçilen tüm parçalar arızalı değil" Bu nedenle, P (A) \u003d 1-P (). Dolayısıyla istenen olasılık şuna eşittir: Р(А)=1-P1000(0)=1- e-2 20 \u003d 1-e-2 \u003d 1-0.13534≈0.865.

Bağımsız çalışma için görevler.

1.1

1.2. Dağınık rastgele değişken X, dağıtım yasası tarafından verilir:

p4, dağılım fonksiyonu F(X)'i bulun ve M(X), D(X), σ(X) ile birlikte grafiğini çizin.

1.3. Kutu içerisinde 2 tanesi artık yazı yazmayan 9 adet keçeli kalem bulunmaktadır. Rastgele 3 keçeli kalem alın. Rastgele değişken X - alınanlar arasında keçeli kalem yazma sayısı. Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını oluşturun.

1.4. Kütüphane rafında 4'ü ciltli olmak üzere rastgele 6 ders kitabı bulunmaktadır. Kütüphaneci rastgele 4 ders kitabı alır. Rastgele değişken X, alınanlar arasında bağlı ders kitaplarının sayısıdır. Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını oluşturun.

1.5. Biletin iki görevi vardır. İlk problemi doğru çözme olasılığı 0.9, ikincisi 0.7'dir. Rastgele değişken X, biletteki doğru çözülmüş problemlerin sayısıdır. Bir dağılım yasası oluşturun, bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayın ve ayrıca F (x) dağılım fonksiyonunu bulun ve grafiğini oluşturun.

1.6. Üç atıcı bir hedefe ateş eder. İlk atıcı için hedefi bir atışla vurma olasılığı, ikinci için 0,5, üçüncü için 0,8, üçüncü için 0,7'dir. Rastgele değişken X, atıcıların her biri bir atış yapması durumunda hedefteki isabet sayısıdır. Dağılım yasasını bulun, M(X),D(X).

1.7. Bir basketbol oyuncusu, her atışta 0,8 isabet olasılığı ile topu sepete atar. Her vuruş için 10 puan alır ve ıskalama durumunda puan verilmez. Bir basketbol oyuncusu tarafından 3 atış için alınan X sayısındaki rastgele bir değişkenin dağılım yasasını oluşturun. M(X),D(X)'i ve ayrıca 10'dan fazla puan alma olasılığını bulun.

1.8. Kartlara harfler yazılır, sadece 5 sesli harf ve 3 ünsüz. Rastgele 3 kart seçilir ve alınan kart her seferinde geri verilir. Rastgele değişken X, alınan sesli harf sayısıdır. Bir dağılım yasası oluşturun ve M(X),D(X),σ(X)'i bulun.

1.9. Ortalama olarak, sözleşmelerin %60'ından azında sigorta şirketi, sigortalı bir olayın meydana gelmesiyle bağlantılı olarak sigorta tutarlarını öder. Rastgele bir değişken X için bir dağıtım yasası hazırlayın - rastgele seçilen dört sözleşme arasında sigorta tutarının ödendiği sözleşmelerin sayısı. Bu miktarın sayısal özelliklerini bulunuz.

1.10. Radyo istasyonu, iki yönlü iletişim kurulana kadar belirli aralıklarla (dörtten fazla olmayan) çağrı işaretleri gönderir. Bir çağrı işaretine yanıt alma olasılığı 0,3'tür. Rastgele değişken, gönderilen çağrı işaretlerinin X sayısı. Dağılım yasasını oluşturun ve F(x)'i bulun.

1.11. Sadece biri kilide uyan 3 anahtar vardır. Denenen anahtar sonraki denemelere katılmazsa, rastgele değişken X-kilidi açma girişimlerinin sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın. M(X),D(X)'i bulun.

1.12. Güvenilirlik için üç cihazın sıralı bağımsız testleri gerçekleştirilir. Sonraki her cihaz, yalnızca bir öncekinin güvenilir olduğu ortaya çıktığında test edilir. Her enstrüman için testi geçme olasılığı 0.9'dur. Rastgele değişken X sayısı test edilen cihazların dağılım yasasını derleyin.

1.13 .Ayrık rasgele değişken X'in üç olası değeri vardır: x1=1, x2, x3 ve x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Elektronik cihazın bloğu 100 özdeş eleman içerir. T süresi boyunca her bir elemanın arızalanma olasılığı 0,002'ye eşittir. Öğeler bağımsız olarak çalışır. T zamanında en fazla iki elemanın başarısız olma olasılığını bulun.

1.15. Ders kitabı 50.000 adet basılmıştır. Ders kitabının yanlış ciltlenmiş olma olasılığı 0,0002'dir. Dolaşımın içerme olasılığını bulun:

a) Dört kusurlu kitap,

b) ikiden az kusurlu kitap.

1 .16. Dakikada bir PBX'e gelen çağrı sayısı, λ=1,5 parametresi ile Poisson yasasına göre dağıtılır. Bir dakika içinde şu olma olasılığını bulun:

a) iki arama;

b) en az bir çağrı.

1.17.

Z=3X+Y ise M(Z),D(Z)'yi bulun.

1.18. İki bağımsız rastgele değişkenin dağılım yasaları verilmiştir:

Z=X+2Y ise M(Z),D(Z)'yi bulun.

Yanıtlar:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; x≤-2 için 0,

-2'de 0,3<х≤0,

0'da F(x)= 0,5<х≤2,

2'de 0.9<х≤5,

x>5 için 1

1.2. p4=0.1; x≤-1 için 0,

-1'de 0,3<х≤0,

0'da 0,4<х≤1,

F(x)= 1'de 0,6<х≤2,

2'de 0,7<х≤3,

x>3 için 1

M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> x≤0, için 0

0'da 0,03<х≤1,

1'de F(x)= 0.37<х≤2,

x>2 için 1

M(X)=2; D(X)=0.62

M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈

M(X)=2.4; D(X)=0.96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1.22e-0.2≈0.999

1.15. a) 0.0189; b) 0.00049

1.16. a) 0.0702; b) 0.77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Bölüm 2 Sürekli rastgele değişken

Tanım: sürekli tüm olası değerleri sayısal eksenin sonlu veya sonsuz aralığını tamamen dolduran değeri adlandırın.

Açıkçası, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur.

Sürekli bir rastgele değişken, bir dağıtım işlevi kullanılarak belirtilebilir.

Tanım: F dağıtım işlevi sürekli rastgele değişken X, her bir değer için xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R belirleyen bir F(x) işlevidir.

Dağıtım işlevine bazen kümülatif dağılım işlevi denir.

Dağıtım işlevi özellikleri:

1)1≤F(x)≤1

2) Sürekli bir rasgele değişken için, dağılım fonksiyonu herhangi bir noktada süreklidir ve belki de bireysel noktalar dışında her yerde türevlenebilir.

3) Rastgele bir X değişkeninin (a; b), [a; b), [a; b] aralıklarından birine düşme olasılığı, F (x) fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. a ve b noktalarında, yani P(a<Х

4) Sürekli bir rastgele değişken X'in tek bir değer alma olasılığı 0'dır.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Bir dağıtım işlevi kullanarak sürekli bir rastgele değişken belirtmek tek değildir. Olasılık dağılım yoğunluğu (dağılım yoğunluğu) kavramını tanıtalım.

Tanım : olasılık yoğunluğu f ( x ) sürekli rastgele değişken X, dağılım fonksiyonunun türevidir, yani:

Olasılık dağılım yoğunluğuna bazen diferansiyel dağılım fonksiyonu veya diferansiyel dağılım yasası denir.

Olasılık dağılımının f(x) yoğunluğunun grafiğine denir. olasılık dağılım eğrisi .

Olasılık yoğunluğu özellikleri:

1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height olduğunda ="62 kaynak="> x≤2 için 0,

f(x)= c(x-2) 2'de<х≤6,

x>6 için 0.

Bul: a) c'nin değeri; b) dağılım fonksiyonu F(x) ve grafiğini oluşturun; c) Р(3≤х<5)

Çözüm:

+ ∞

a) Normalizasyon koşulundan c'nin değerini bulun: ∫ f(x)dx=1.

Bu nedenle, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

eğer 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

x≤2 için Gif" width="14" height="62"> 0,

F (x) \u003d (x-2) 2/16 2'de<х≤6,

x>6 için 1

F(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 3'te gösterilmiştir.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> x≤0, için 0

F (x) \u003d (3 yay x) / π 0'da<х≤√3,

x>√3 için 1'dir.

diferansiyel dağılım fonksiyonunu bulun f(x)

Çözüm: f (x) \u003d F '(x) olduğundan, o zaman

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Dağınık rasgele değişkenler için daha önce ele alınan matematiksel beklenti ve dağılımın tüm özellikleri, sürekli olanlar için de geçerlidir.

Görev numarası 3. Rastgele değişken X, diferansiyel fonksiyon f(x) tarafından verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 +x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Bağımsız çözüm için görevler.

2.1. Sürekli bir rastgele değişken X, bir dağıtım fonksiyonu tarafından verilir:

x≤0, için 0

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 için 0,

F(х)= - π/6'da cos 3x<х≤ π/3,

x> π/3 için 1'dir.

diferansiyel dağılım fonksiyonu f(x)'i bulun ve ayrıca

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

x≤2 için 0,

f(x)= 2'de x ile<х≤4,

x>4 için 0.

2.4. Sürekli bir rastgele değişken X, dağılım yoğunluğu tarafından verilir:

x≤0, için 0

f(х)= с √х 0'da<х≤1,

x>1 için 0.

Bul: a) c sayısı; b) M(X), D(X).

2.5.

x için https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39">,

0'da x .

Şunları bulun: a) F(x) ve grafiğini çizin; b) M(X),D(X), σ(X); c) Dört bağımsız denemede X değerinin (1; 4) aralığına ait değerin tam olarak 2 katını alma olasılığı.

2.6. Sürekli bir rasgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu verilir:

x için f (x) \u003d 2 (x-2),

0'da x .

Şunları bulun: a) F(x) ve grafiğini çizin; b) M(X),D(X), σ(X); c) Üç bağımsız testte X değerinin aralığa ait değerin tam olarak 2 katını alma olasılığı.

2.7. f(x) fonksiyonu şu şekilde verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. f(x) fonksiyonu şu şekilde verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /dört ; π /4].

Şunları bulun: a) fonksiyonun bazı rasgele değişken X'in olasılık yoğunluğu olacağı c sabitinin değeri; b) dağıtım fonksiyonu F(x).

2.9. (3;7) aralığında yoğunlaşan rastgele değişken Х, dağılım fonksiyonu F(х)= tarafından verilir. olma olasılığını bulun

rasgele değişken X şu değeri alacaktır: a) 5'ten küçük, b) 7'den az değil.

2.10. Rastgele değişken X, (-1; 4) aralığına konsantre,

dağıtım fonksiyonu tarafından verilen F(x)= . olma olasılığını bulun

rasgele değişken X şu değeri alacaktır: a) 2'den küçük, b) 4'ten az değil.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Bul: a) c sayısı; b) M(X); c) olasılık P(X > M(X)).

2.12. Rastgele değişken, diferansiyel dağılım fonksiyonu tarafından verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Bul: a) M(X); b) olasılık Р(Х≤М(Х))

2.13. Zaman dağılımı, olasılık yoğunluğu tarafından verilir:

x ≥0 için https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37">.

f(x)'in gerçekten bir olasılık yoğunluk dağılımı olduğunu kanıtlayın.

2.14. Sürekli bir rasgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src="> (şek.4) (şek.5)

2.16. Rastgele değişken X, (0; 4) aralığında “dik açılı üçgen” yasasına göre dağıtılır (Şekil 5). Gerçek eksenin tamamında olasılık yoğunluğu f(x) için analitik bir ifade bulun.

Yanıtlar

x≤0, için 0

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 için 0,

F(x)= 3sin 3x π/6'da<х≤ π/3,

x> π/3 için 0. Sürekli bir rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğu f(x) bu aralıkta sabitse ve 0'a eşitse, X'in tüm olası değerlerinin ait olduğu belirli bir aralıkta (a;b) düzgün bir dağılım yasasına sahiptir. onun dışında, yani

x≤a için 0,

f(x)= bir için<х

x≥b için 0.

f(x) fonksiyonunun grafiği şek. bir

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a için 0,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(Х)=.

Görev numarası 1. Rastgele değişken X, segment üzerinde düzgün bir şekilde dağılmıştır. Bulmak:

a) olasılık dağılım yoğunluğu f(x) ve grafiğini oluşturun;

b) dağılım fonksiyonu F(x) ve grafiğini oluşturun;

c) M(X),D(X), σ(X).

Çözüm: Yukarıda tartışılan formülleri kullanarak a=3, b=7 ile şunları buluruz:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7'de,

x>7 için 0

Grafiği oluşturalım (Şekil 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> x≤3 için 0,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">şek.4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> x için 0<0,

f(х)= λе-λх х≥0'da.

Üstel bir yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonu aşağıdaki formülle verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ(X)=

Böylece üstel dağılımın matematiksel beklentisi ve standart sapması birbirine eşittir.

X'in (a;b) aralığına düşme olasılığı şu formülle hesaplanır:

Р(a<Х

Görev numarası 2. Cihazın ortalama çalışma süresi 100 saattir Cihazın çalışma süresinin bir üstel dağılım yasasına sahip olduğunu varsayarak, şunu bulun:

a) olasılık dağılım yoğunluğu;

b) dağıtım işlevi;

c) Cihazın arızasız çalışma süresinin 120 saati aşma olasılığı.

Çözüm: Koşullara göre, matematiksel dağılım M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> x için 0<0,

a) x≥0 için f(x)= 0.01e -0.01x.

b) x için F(x)= 0<0,

1-e -0.01x x≥0'da.

c) Dağılım fonksiyonunu kullanarak istenen olasılığı buluruz:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1.2)=e-1.2≈0.3.

§ 3.Normal dağıtım yasası

Tanım: X'in sürekli rastgele değişkeni normal dağılım yasası (Gauss yasası), dağıtım yoğunluğu şu şekildeyse:

,

burada m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Normal dağılım eğrisi denir normal veya gauss eğrisi (şek.7)

Normal eğri, x=m düz çizgisine göre simetriktir, x=a'da maksimuma eşittir.

Normal yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken X'in dağılım işlevi, aşağıdaki formüle göre Laplace işlevi Ф (х) aracılığıyla ifade edilir:

,

Laplace fonksiyonu nerede?

Yorum: Ф(х) fonksiyonu tektir (Ф(-х)=-Ф(х)), ayrıca x>5 ise Ф(х) ≈1/2 olarak kabul edebiliriz.

F(x) dağılım fonksiyonunun grafiği şekil 2'de gösterilmiştir. sekiz

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Sapmanın mutlak değerinin pozitif δ sayısından küçük olma olasılığı şu formülle hesaplanır:

Özellikle, m=0 için eşitlik doğrudur:

"Üç Sigma Kuralı"

Rastgele değişken X, m ve σ parametreleriyle normal bir dağılım yasasına sahipse, değerinin (a-3σ; a+3σ) aralığında olduğu pratik olarak kesindir, çünkü

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) Şu formülü kullanalım:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

Ф(х) fonksiyonunun değer tablosuna göre Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413 buluyoruz.

Yani istenen olasılık:

P(28

Bağımsız çalışma için görevler

3.1. Rastgele değişken X, (-3;5) aralığında eşit olarak dağıtılır. Bulmak:

b) dağıtım fonksiyonu F(x);

c) sayısal özellikler;

d) olasılık P(4<х<6).

3.2. Rastgele değişken X, segment üzerinde düzgün bir şekilde dağılmıştır. Bulmak:

a) dağılım yoğunluğu f(x);

b) dağıtım fonksiyonu F(x);

c) sayısal özellikler;

d) olasılık Р(3≤х≤6).

3.3. Otobana, araçlar için 2 dakika yeşil, 3 saniye sarı ve 30 saniye kırmızı ışık vb. Yanan otomatik bir trafik ışığı kurulur. Araba, otoyol boyunca rastgele bir zamanda geçer. Arabanın trafik ışıklarından durmadan geçme olasılığını bulunuz.

3.4. Metro trenleri 2 dakikalık aralıklarla düzenli olarak çalışmaktadır. Yolcu platforma rastgele bir zamanda girer. Yolcunun tren için 50 saniyeden fazla beklemesi gerekme olasılığı nedir? Bir rasgele değişken X'in matematiksel beklentisini bulun - trenin bekleme süresi.

3.5. Dağılım fonksiyonu tarafından verilen üstel dağılımın varyansını ve standart sapmasını bulun:

F(x)= 0'da x<0,

x≥0 için 1-e-8x.

3.6. Sürekli bir rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğu tarafından verilir:

x'te f(x)=0<0,

x≥0'da 0,7 e-0,7x.

a) Ele alınan rastgele değişkenin dağılım yasasını adlandırın.

b) F(X) dağılım fonksiyonunu ve X rastgele değişkeninin sayısal özelliklerini bulun.

3.7. Rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğu tarafından verilen üstel yasaya göre dağıtılır:

x'te f(x)=0<0,

0,4 e-0,4 x x≥0'da.

Test sonucunda X'in (2.5; 5) aralığından bir değer alma olasılığını bulun.

3.8. Sürekli bir rastgele değişken X, dağılım fonksiyonu tarafından verilen üstel yasaya göre dağıtılır:

F(x)= 0'da x<0,

x≥0'da 1.-0.6x

Test sonucunda X'in aralığından bir değer alma olasılığını bulun.

3.9. Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve standart sapması sırasıyla 8 ve 2'dir.

a) dağılım yoğunluğu f(x);

b) Test sonucunda X'in (10;14) aralığından bir değer alma olasılığı.

3.10. Rastgele değişken X normal olarak ortalama 3.5 ve varyans 0.04 ile dağılır. Bulmak:

a) dağılım yoğunluğu f(x);

b) Test sonucunda X'in aralığından bir değer alma olasılığı.

3.11. Rastgele değişken X, normal olarak M(X)=0 ve D(X)=1 ile dağıtılır. |X|≤0.6 veya |X|≥0.6 olan olaylardan hangisinin olasılığı daha yüksektir?

3.12. Rastgele değişken X normal olarak M(X)=0 ve D(X)=1 ile dağılır. Bir testte hangi aralıktan (-0.5;-0.1) veya (1;2) daha büyük bir değer alacaktır olasılık?

3.13. Hisse başına cari fiyat, M(X)=10den olan normal bir dağılım kullanılarak modellenebilir. birimler ve σ (X)=0.3 den. birimler Bulmak:

a) Cari hisse fiyatının 9,8 den olma olasılığı. birimler 10.4 den'ye kadar. birimler;

b) Hisse senedinin cari fiyatının yer alacağı sınırları bulmak için "üç sigma kuralı"nı kullanmak.

3.14. Madde sistematik hatalar olmadan tartılır. Rastgele tartım hataları, σ=5r kök-ortalama-kare oranı ile normal yasaya tabidir. Dört bağımsız deneyde, üç tartımdaki hatanın mutlak değer 3r'de oluşmama olasılığını bulun.

3.15. Rastgele değişken X normal olarak M(X)=12.6 ile dağıtılır. Bir rastgele değişkenin (11.4;13.8) aralığına düşme olasılığı 0.6826'dır. σ standart sapmasını bulun.

3.16. X rastgele değişkeni normal olarak M(X)=12 ve D(X)=36 ile dağılır. 0,9973 olasılıkla X rastgele değişkeninin test sonucunda düşeceği aralığı bulun.

3.17. Otomatik bir makine tarafından üretilen bir parça, kontrol edilen parametresinin nominal değerden X sapması modulo cinsinden 2 ölçü birimini aşarsa kusurlu olarak kabul edilir. Rastgele değişken X'in normal olarak M(X)=0 ve σ(X)=0,7 ile dağıldığı varsayılır. Makine kusurlu parçaların yüzde kaçını veriyor?

3.18. X ayrıntı parametresi, nominal değere eşit 2 matematiksel beklenti ve 0,014 standart sapma ile normal olarak dağıtılır. X'in nominal değer modülünden sapmasının, nominal değerin %1'ini geçmeme olasılığını bulun.

Yanıtlar

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) x≤-3 için 0,

F(x)=sol">

3.10. a)f(x)= ,

b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185.

3.11. |x|≥0.6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) Р(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

1.2.4. Rastgele değişkenler ve dağılımları

Rastgele değişkenlerin dağılımları ve dağılım fonksiyonları. Sayısal bir rastgele değişkenin dağılımı, bir rastgele değişkenin belirli bir değeri alma veya belirli bir aralığa ait olma olasılığını benzersiz şekilde belirleyen bir fonksiyondur.

Birincisi, rastgele değişkenin sınırlı sayıda değer almasıdır. Daha sonra dağılım fonksiyon tarafından verilir. P(X = x), her olası değeri vererek X rastgele değişken X olasılık X = x.

İkincisi, rastgele değişkenin sonsuz sayıda değer almasıdır. Bu, yalnızca rastgele değişkenin tanımlandığı olasılık uzayı sonsuz sayıda temel olaydan oluştuğunda mümkündür. Daha sonra dağılım, olasılıklar kümesi tarafından verilir. P(a < X tüm sayı çiftleri için bir, böyle ki a . Dağıtım sözde kullanılarak belirtilebilir. dağıtım fonksiyonu F(x) = P(X) tüm gerçek için tanımlayan X rastgele değişken olma olasılığı X değerinden daha küçük değerler alır X. açık ki