Weibull dağılımını düşünün, matematiksel beklentisini, varyansını, medyanı hesaplayın. MS EXCEL işlevi WEIBULL.DIST()'i kullanarak dağılım işlevini ve olasılık yoğunluk grafiklerini çiziyoruz. Bir dizi rasgele sayı üretelim ve dağılım parametrelerini tahmin edelim.

Weibull dağılımı (İngilizce)weibulldağıtım) 2 parametreye bağlıdır: α ( alfa)>0(dağılımın şeklini tanımlar) ve b (beta)>0(ölçeği tanımlar). bu dağılım aşağıdaki formülle verilir:

parametre ise alfa= 1, o zaman Weibull dağılımı dönüşür . Parametre beta pratikte >=1 genellikle kabul edilir.

dağıtım işlevi aşağıdaki formülle verilir:

Not: Dağıtım parametreleri için örnek dosyada formül yazma kolaylığı için alfa ve beta karşılık gelen yaratılmıştır.

Grafikler ayrıca örnek dosyada oluşturulmuştur olasılık yoğunluğu ve dağıtım fonksiyonları işaretli değerlerle orta, ve .

Rastgele sayı üretimi ve parametre tahmini

Kullanırız ters dağılım fonksiyonu(veya p- çeyreklik, hakkında makaleye bakın), bunun için Weibull dağılımları temel işlevler kullanılarak açıkça ifade edilebilir:

Bu fonksiyon ile değerler üretebilirsiniz. rastgele değişken, hangisi Weibull dağılımı. Bunu yapmak için MS EXCEL formülünü kullanın:

Beta*(-LN(RAND()))^(1/alfa)

RAND() işlevi, 0'dan 1'e kadar üretir ve bu, yalnızca olasılık değişikliği aralığına karşılık gelir (aşağıya bakın). örnek dosya sayfası Üretimi).

Şimdi, verilen dağıtım parametreleriyle oluşturulan bir rasgele sayı dizisine sahip olmak alfa ve beta(200 tane olsun), dağılım parametrelerini tahmin edelim.

parametre tahmini alfa ve beta doğrusal regresyon kullanılarak yapılabilir. Bunun için getirmek gerekli Weibull dağıtım işlevi Y=aX+b denklemiyle verilen sıradan bir düz çizgi formuna. Bunu yapmak için aşağıdaki dönüşümleri yapacağız:

karşılaştırma ifadesi

Y=ax+b düz çizgi denklemiyle şunu elde ederiz:

Y, ifadenin sol tarafıyla eşleşir,
X - ln(x'e karşılık gelir),
dağıtım parametresi beta katsayıya karşılık gelir a, düz çizginin x eksenine eğiminden sorumludur.
–beta*ln(alpha) ifadesi, b katsayısına (Oy ekseni ile kesişme noktasının ordinatı) karşılık gelir.

Aslında, pratik olarak oluşturduk (olasılık grafiği) Weibull dağılımları: x ekseni boyunca çizilen ln(x), yaklaşık olarak düz bir çizgi boyunca uzanıyorsa, bu, örnek değerlerin Weibull dağılımları. Geriye, =LN(-LN(1-Ui)) formülünü kullanarak Oy eksenini değiştirmek kalır, burada Ui=(i-0.5)/200 ve i=1; 2; ...; 200.

-LN(1-Ui) olduğuna dikkat edin ters dağılım fonksiyonu alfa=1 ve beta=1 parametreleriyle. İkinci logaritmaya ihtiyacımız vardı, çünkü apsis x'in kendisini değil, ln(x)'i gösterir.

Not: Çünkü form Weibull dağılımları temelde onun parametrelerine bağlıdır, o zaman alfa=1 ve beta=1 yerine ters fonksiyon daha iyi kullanım bu parametrelerin nokta tahminleri esas alınarak elde edilen örnekler. Alfa ve beta tahminlerinin nasıl hesaplanacağını öğrenmek için aşağıya bakın.

AT sayfa Üretiminde örnek dosya karşılık gelen Olasılık Grafiği.

SLOPE() fonksiyonunu kullanarak, ortaya çıkan eğrinin eğimini hesaplıyoruz (düz çizginin katsayısı a, ingilizce eğim), parametrenin bir tahmini olarak hizmet eder beta.

INTERCEPT() işlevi, Oy (çizginin katsayısı) ile kesişme noktasının ordinatını döndürür. b). =EXP(-b/beta) ifadesi, parametrenin bir değerlendirmesi olarak işlev görür alfa.

Ayrıca karşılaştırabilirsiniz olasılık yoğunluğu tahmin sonucunda elde edilen parametrelerle model dağılımı ve dağılımı.

Yukarıdaki şemadan da görebileceğiniz gibi, maç da oldukça iyi.

TAVSİYE: Çünkü RAND() işlevi kullanılarak rasgele sayılar oluşturulur, ardından tuşuna basılarak F9, her seferinde yeni bir tane alabilirsin örnekleme ve buna göre, yeni bir parametre tahmini.

TAVSİYE: Makalede MS EXCEL'in diğer dağıtımlarını okuyabilirsiniz .

Bu dağılım, geniş bir hizmet ömrü dağılımları sınıfının incelenmesi sonucunda elde edilen ampiriktir. Çok sayıda elektronik cihazın ve önemli miktarda elektromekanik ekipmanın çalışmasındaki deneyim, bunların, bu cihazların ömrünün üç periyoduna karşılık gelen, zaman içindeki arıza yoğunluğunun üç tür bağımlılığı ile karakterize edildiğini göstermektedir.

Zamana göre arıza oranının bu üç tür bağımlılığı, arızaya kadar rastgele zamanın olasılıksal açıklaması için iki parametreli Weibull dağılımı kullanılarak elde edilebilir.Bu dağılıma göre, arıza anının olasılık yoğunluğu

burada  - şekil parametresi (deneysel verilerin işlenmesi sonucunda seçimle belirlenir,  > 0);  - ölçek parametresi,

Başarısızlık oranı ifade ile belirlenir

(3.1)

olasılık çalışma süresi

(3.2)

ve başarısızlık için ortalama zaman

(3.3)

= 1 parametresi için Weibull dağılımının üstel hale geldiğine ve = 2 için Rayleigh dağılımına dönüştüğüne dikkat edin.

1'de arıza oranı monoton olarak azalır (alıştırma periyodu) ve 1'de monoton olarak artar (aşınma periyodu), bkz. şek. 3.1. Bu nedenle,  parametresini seçerek, üç bölümün her birinde, deneysel eğri ile oldukça yakından örtüşen böyle bir teorik eğri  (t) elde etmek mümkündür ve daha sonra gerekli güvenilirlik göstergelerinin hesaplanması yapılabilir. bilinen bir düzenlilik temelinde yapılmıştır.

Weibull dağılımı, bir dizi mekanik nesne (örneğin, bilyalı rulmanlar) için yeterince yakındır, nesnelerin zorlamalı modda hızlandırılmış testi için kullanılabilir

3. Üstel dağılım.Çalışma süresi dağılımlarına sahip birçok öğeden oluşan karmaşık nesneler için tipik olduğu için diğer dağılımlardan daha sık kullanılır. Sabit bir başarısızlık oranı ile basit hesaplama formülleri verir. Belirtildiği gibi, hatasız çalışma olasılığının üstel dağılımı, şekil parametresi  = 1 olduğunda Weibull dağılımının özel bir durumudur. Bu dağılım tek parametrelidir, yani bir parametre  = const yazmak için yeterlidir. hesaplanan ifade. Bu yasa için tersi ifade de doğrudur: hata oranı sabitse, zamanın bir fonksiyonu olarak hatasız çalışma olasılığı üstel yasaya uyar:

Arızasız çalışma aralığının üstel dağılım yasasına göre hatasız çalışmanın ortalama süresi aşağıdaki formülle ifade edilir:

(3.5)

İfadedeki  değerini 1 / T 1 değeriyle değiştirmek,

almak . (3.6)

Böylece, bir üstel dağılım durumunda hatasız çalışma Tı (veya sabit hata oranı ) ortalama süresinin bilinmesiyle, nesnenin hareket ettiği andan itibaren zaman aralığı için hatasız çalışma olasılığını bulmak mümkündür. herhangi bir t anında açılır.

4. Rayleigh dağılımı

Rayleigh yasasındaki olasılık yoğunluğu (bkz. Şekil 3.4) aşağıdaki forma sahiptir.



burada  Rayleigh dağılımının parametresidir (bu dağılımın moduna eşittir). Standart sapma ile karıştırılmasına gerek yoktur:

Başarısızlık oranı:

(3.7)

Rayleigh dağılımının karakteristik bir özelliği, orijinden başlayarak (t) grafiğinin düz çizgisidir.

Bu durumda nesnenin arızasız çalışma olasılığı, ifade ile belirlenir.

(3.8)

MTBF

(3.9)

5. Kesik normal dağılım. Normal (Gauss) bir kısıtlamadan pozitif değerlere türetilen bir dağılım.

Normal dağılım yasası, formun olasılık yoğunluğu ile karakterize edilir.

burada m x ,  x - sırasıyla, matematiksel beklenti ve rastgele değişken x'in standart sapması.

Elektrik tesisatlarının güvenilirliğini rastgele bir değişken şeklinde analiz ederken, zamana ek olarak, akım, elektrik voltajı ve diğer argümanların değerleri sıklıkla ortaya çıkar. Normal yasa, yazmak için m x ve  x'i bilmeniz gereken iki parametreli bir yasadır.

Arızasız çalışma olasılığı formülle belirlenir.

(3.10)

ve başarısızlık oranı - formüle göre

Şek. 3.5, otomatik kontrol sistemlerinde kullanılan elemanların özelliği olan  t  m t durumu için  (t), P (t) ve  (t) eğrilerini gösterir.

4. Gama dağılımı. Poisson dağılımı ve gama dağılımı, her ikisi de aynı süreçleri karakterize ettiğinden, ilişki içinde düşünülür. Sadece ilk durumda, arızalar bir değişken olarak ve ikinci durumda zaman olarak kabul edilir. Gama dağıtımı için
içinde– arızalar arasındaki ortalama süre;

a- başarısızlık sayısı; G( a) gama fonksiyonu eşittir
, ne zaman a-1 pozitif bir sayıdır.

Arızaya kadar olan zamanın pratik dağılımının türünün makul bir seçimi, arızadan önce nesnelerde meydana gelen fiziksel süreçlerin bir açıklaması ile çok sayıda arıza gerektirir.

Elektrik tesisatlarının son derece güvenilir elemanlarında, çalışma veya güvenilirlik testleri sırasında, başlangıçta mevcut olan nesnelerin sadece küçük bir kısmı başarısız olur. Bu nedenle, deneysel verilerin işlenmesi sonucunda bulunan sayısal özelliklerin değeri, büyük ölçüde başarısızlığa kadar beklenen zaman dağılımının türüne bağlıdır. Farklı arıza süresi yasalarında gösterildiği gibi, aynı kaynak verilerden hesaplanan ortalama arıza süresi değerleri yüzlerce kez farklılık gösterebilir. Bu nedenle, başarısızlık zamanının dağılımı için teorik bir model seçme konusuna, teorik ve deneysel dağılımların yaklaşıklığının uygun kanıtı ile özel bir dikkat gösterilmelidir.

Weibull dağılımı (zayıf halka modeli)

Başarısızlık oranının değişkenliğini hesaba katmaya yönelik pratik ihtiyaç, güvenilirlik teorisinin ana dağılımlarına yol açan koşulların (üssel, normal, log-normal, vb.) yüksek güçlü jeneratör lambaları, klistronlar, magnetronlar, yürüyen dalga lambaları ve genel durumda değişken aşınma hızı ile yaşlanma ile karakterize edilen kontrol sistemlerinin diğer elemanlarının güvenilirliği, başlangıç kalitesinde tek tip değildir.

1939'da İsveçli matematikçi ve mühendis W. Weibull (1887-1979), bilyalı rulmanların aşınmasından kaynaklanan arızaları analiz ederek, malzemelerin dayanıklılığını tanımlamak için uygun bir dağıtım fonksiyonu önerdi ve şunları kaydetti: başarı, basit bir işlev seçmek, bunun ampirik olarak test edilmesi ve daha iyi bir şey yoksa, nihai seçimidir.

Şu anda bu kelimelerin geçerliliğinin değerlendirilmesi üzerinde durmadan, Weibull'un basit bir fonksiyon olarak iki parametreli bir olasılık dağılım fonksiyonunu seçtiğini not ediyoruz:

nerede T, s sırasıyla ölçek ve şekil parametreleridir.

1950'lerin ortalarından beri. Weibull dağılımına olan ilgi, karmaşık cihazların güvenilirliğini açıklamak için iyi bir model olduğu ortaya çıktıkça artıyor. Bu yasa, yüksek güçlü elektrovakum mikrodalga cihazlarının hatasız çalışma süresini analiz etmek için en uygun olanıdır.

B.V. Gnedenko, Weibull dağılımının, dizinin minimum değerleri için üçüncü tipte asimptotik bir dağılım olduğunu belirledi. bağımsız değişkenler. Kanıtlanmış karakteristik özellik Weibull yasası: eğer t| = dk (X v X 2, X p) Weibull dağılımına ve rastgele değişkenlere uyar X ( , X 2 ,..., Xn bağımsız ve eşit dağılmışsa, bu yasaya da uyarlar. Birçok cihaz, aynı çalışma koşullarında olan önemli sayıda homojen eleman içerir. Cihazın çalışma süresi ile ilgili olarak yinelenen öğeler belirleyici ise, Weibull dağılımına yol açan bir şema oluşturulur. Cihazın arızası, belirlenen toleransın ötesinde herhangi bir parametrenin çıktısı olarak kabul edilir. Bu parametrelerdeki değişikliklerin zayıf eşleşmiş rastgele süreçler olduğu varsayılabilir. Daha sonra, /-th parametresine göre m dayanıklılık ise, kaynak bir bütün olarak m = min (t r t 2 , ..., t l) olarak tanımlanır.

Weibull dağılımı için güvenilirlik fonksiyonu genellikle üç parametre tarafından belirlenir ve şu şekildedir: