kesir ay/n indirgenemez olarak kabul edeceğiz (sonuçta, indirgenebilir bir kesir her zaman indirgenemez bir forma indirgenebilir). Denklemin her iki tarafının karesini alırsak m^2=2n^2. Bundan m^2 olduğu sonucuna varıyoruz ve sonra sayı m- Bile. şunlar. m = 2k. Bu yüzden m^2 = 4k^2 ve dolayısıyla 4 k^2 =2n^2 veya 2 k^2 = n^2. Ama sonra ortaya çıkıyor ki n kesir olduğundan çift sayı da olamaz. ay/n indirgenemez. Bir çelişki var. Varsayımımızın yanlış olduğu sonucuna varmak gerekiyor ve rasyonel sayı ay/n√2'ye eşit yok."

Bütün kanıtları bu.

Antik Yunanlıların kanıtlarının eleştirel değerlendirmesi

1) Yunanlılar tarafından benimsenen rasyonel sayıda ay/n sayılar m ve n bütün, ama Bilinmeyen(isterler Bile, onlar olsun garip). Ve öyle! Ve bir şekilde aralarında herhangi bir bağımlılık kurmak için, amaçlarını kesin olarak belirlemeli;

2) Eskiler bu sayının olduğuna karar verdiğinde m eşittir, o zaman kabul edilen eşitliklerinde m = 2k onlar (kasıtlı olarak veya cehaletten!) “ sayısını tam olarak “doğru” olarak nitelendirmediler. k ". Ama burada numara k- bu tüm(Bütün!) ve tamamen tanınmış bulunanı açıkça tanımlayan bir sayı Bile sayı m. Ve o olma bulundu sayılar " k» eskiler daha ileri gidemediler « kullanmak» ve sayı m ;

3) Ve eşitlik 2'den ne zaman k^2 = n^2 numarayı eskiler aldı n^2 eşittir ve aynı zamanda n- hatta, sahip olmaları gerekirdi acele etme hakkında bir sonuca vararak ortaya çıkan tartışma", ancak sınırdan emin olmak daha iyidir kesinlik onlar tarafından kabul seçim» sayılar « n ».

Ve bunu nasıl yapabildiler? Evet, basit!
Bakınız: onların denkleminden 2 k^2 = n^2 aşağıdaki eşitlik kolayca elde edilebilir k√2 = n. Ve burada hiçbir şekilde ayıplanacak bir şey yok - sonuçta eşitlikten aldılar ay/n=√2 başka bir yeterli eşitlik m^2=2n^2 ! Ve kimse onları geçmedi!

Ama yeni eşitlikte k√2 = n bariz INTEGER sayılarıyla k ve n den olduğu açıktır Her zaman √2 sayısını al - akılcı . Her zaman! Rakam içerdiği için k ve n- ünlü BÜTÜN!

Ama böylece eşitliklerinden 2 k^2 = n^2 ve sonuç olarak k√2 = n√2 sayısını al - mantıksız (bunun gibi " diledi"antik Yunanlılar!"), o zaman sahip olmalılar, en az , sayı " k" olarak Tamsayı olmayan (!!!) sayılar. Ve eski Yunanlılar buna sahip değildi!

Dolayısıyla SONUÇ: 2400 yıl önce eski Yunanlılar tarafından yapılan √2 sayısının mantıksızlığının yukarıdaki kanıtı, açıkçası yanlış ve en hafif tabirle matematiksel olarak yanlış - bu sadece yanlış .

Yukarıda gösterilen küçük F-6 broşüründe (yukarıdaki fotoğrafa bakın), 2015 yılında Krasnodar'da (Rusya) yayınlanan toplam 15.000 kopya tirajlı. (tabii ki, bir sponsorlukla) yeni, matematik açısından son derece doğru ve son derece doğru] √2 sayısının irrasyonelliğinin kanıtı, katı olmasaydı uzun zaman önce gerçekleşebilirdi " hazırlık n" Tarihin eski eserlerinin incelenmesine.

Bir irrasyonel sayı kavramının kendisi öyle düzenlenmiştir ki, "rasyonel olma" özelliğinin olumsuzlanmasıyla tanımlanır, bu nedenle burada çelişkiyle kanıtlama en doğal olanıdır. Bununla birlikte, aşağıdaki gerekçeyi sunmak mümkündür.

Temelde rasyonel sayılar irrasyonel olanlardan nasıl farklıdır? Her ikisine de herhangi bir kesinlikte rasyonel sayılarla yaklaşılabilir, ancak rasyonel sayılar için "sıfır" kesinlikte bir yaklaşım vardır (sayının kendisi), ancak irrasyonel sayılar için artık durum böyle değildir. Onunla oynamaya çalışalım.

Her şeyden önce, böyle basit bir gerçeği not ediyoruz. $%\alpha$%, $%\beta$% $%\varepsilon$% doğrulukla birbirine yaklaşan iki pozitif sayı olsun, yani $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Rakamları tersine çevirirsek ne olur? Bu doğruluğu nasıl değiştirir? $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\ beta),$$ için $%\alpha\beta>%1$ için kesinlikle $%\varepsilon$% değerinden az olacaktır. Bu iddia bağımsız bir lemma olarak kabul edilebilir.

Şimdi $%x=\sqrt(2)$% koyalım ve $%q\in(\mathbb Q)$% $%x$% hassasiyetinde $%\varepsilon$% ile rasyonel bir yaklaşım olsun. $%x>1$% olduğunu biliyoruz ve $%q$% yaklaşımına gelince, $%q\ge1$% eşitsizliğinin sağlanmasını istiyoruz. %1$% değerinden küçük tüm sayılar için, yaklaşıklık doğruluğu %1$% değerinden daha kötü olacaktır ve bu nedenle onları dikkate almayacağız.

$%x$%, $%q$% sayılarının her birine %1$% ekleyelim. Açıkçası, yaklaşıklık doğruluğu aynı kalacaktır. Şimdi elimizde $%\alpha=x+1$% ve $%\beta=q+1$% sayıları var. Karşılıklılara geçerek ve "lemma"yı uygulayarak, yaklaşıklık doğruluğumuzun iyileştiği ve kesinlikle $%\varepsilon$%'den daha az olduğu sonucuna varacağız. Gerekli koşul $%\alpha\beta>1$% bir marjla bile karşılanır: aslında, $%\alpha>2$% ve $%\beta\ge2$% olduğunu biliyoruz, bundan şu sonuca varabiliriz. doğruluk en az %4$% kat artar, yani %%\varepsilon/4$% değerini aşmaz.

Ve asıl nokta şudur: koşula göre, $%x^2=2$%, yani $%x^2-1=1$%, yani $%(x+1)(x- 1) =1$%, yani $%x+1$% ve $%x-1$% sayıları birbirinin tersidir. Ve bu, $%\alpha^(-1)=x-1$% öğesinin bir (rasyonel) sayı olan $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% için bir doğruluk kesinlikle $%\varepsilon$% değerinden daha az. Geriye bu sayılara $%1$% eklemek kalıyor ve $%x$% sayısının, yani $%\sqrt(2)$% sayısının $%\beta'ya eşit yeni bir rasyonel yaklaşıma sahip olduğu ortaya çıkıyor. ^(- 1)+1$%, yani "gelişmiş" doğrulukla $%(q+2)/(q+1)$%. Bu, ispatı tamamlar, çünkü yukarıda belirttiğimiz gibi, rasyonel sayılar $%\varepsilon=0$% doğrulukla "kesinlikle kesin" bir rasyonel yaklaşıma sahiptir, burada doğruluk prensipte artırılamaz. Ve sayımızın mantıksızlığından bahseden bunu yapmayı başardık.

Aslında, bu argüman $%\sqrt(2)$% için sürekli artan doğrulukla somut rasyonel yaklaşımların nasıl oluşturulacağını gösterir. Önce $%q=1$% yaklaşımını almalı ve ardından aynı değiştirme formülünü uygulamalıyız: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Bu işlem şunları üretir: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ vb.

Örnek:
\(4\) bir rasyonel sayıdır, çünkü \(\frac(4)(1)\) şeklinde yazılabilir;
\(0.0157304\) de rasyoneldir çünkü \(\frac(157304)(10000000)\) olarak yazılabilir;
\(0.333(3)…\) - ve bu bir rasyonel sayıdır: \(\frac(1)(3)\) olarak gösterilebilir;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\), \(\frac(1)(2)\) olarak temsil edilebildiğinden rasyoneldir. Gerçekten de, bir dönüşümler zinciri \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

irrasyonel sayı pay ve payda tamsayı ile kesir olarak yazılamayan sayıdır.

imkansız çünkü sonsuz kesirler ve hatta periyodik olmayanlar. Bu nedenle, birbirine bölündüğünde irrasyonel bir sayı verecek tamsayılar yoktur.

Örnek:
\(\sqrt(2)≈1.414213562…\) bir irrasyonel sayıdır;
\(π≈3.1415926… \) irrasyonel bir sayıdır;
\(\log_(2)(5)≈2.321928…\) bir irrasyonel sayıdır.

Örnek (OGE'den gelen görev). İfadelerden hangisinin değeri bir rasyonel sayıdır?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Çözüm:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) bir sayıyı tam sayılarla kesir olarak göstermek de imkansızdır , bu nedenle sayı irrasyoneldir.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - kök kalmadı, sayı kolayca kesir olarak temsil edilebilir, örneğin \(\frac(-5)(1)\) , bu nedenle rasyoneldir.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - kök çıkarılamaz - sayı irrasyoneldir.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) da irrasyoneldir.

Birim uzunluk parçasıyla, eski matematikçiler zaten biliyorlardı: örneğin, sayının irrasyonelliğine eşdeğer olan köşegenin ve karenin kenarının ölçülemezliğini biliyorlardı.

İrrasyonel:

Mantıksızlık Kanıt Örnekleri

2'nin kökü

Aksini varsayın: rasyoneldir, yani, ve tamsayı olan indirgenemez bir kesir olarak temsil edilir. Sözde eşitliğin karesini alalım:

Bundan bile, bu nedenle, hatta ve . Bütün nerede olsun. O zamanlar

Bu nedenle, hatta, bu nedenle, hatta ve . Kesirin indirgenemezliği ile çelişen bunu elde ettik ve eşittir. Bu nedenle, orijinal varsayım yanlıştı ve irrasyonel bir sayıdır.

3 sayısının ikili logaritması

Aksini varsayın: rasyoneldir, yani tamsayıların olduğu bir kesir olarak temsil edilir. beri ve pozitif alınabilir. O zamanlar

Ama açık, garip. Bir çelişki elde ederiz.

e

Hikaye

İrrasyonel sayılar kavramı, MÖ 7. yüzyılda Manawa'nın (MÖ 750 - MÖ 690), 2 ve 61 gibi bazı doğal sayıların kareköklerinin açıkça ifade edilemediğini bulduğunda, Hintli matematikçiler tarafından örtük olarak benimsendi.

İrrasyonel sayıların varlığının ilk kanıtı genellikle bu kanıtı bir pentagramın kenarlarının uzunluklarını inceleyerek bulan bir Pisagorcu olan Metapontuslu Hippasus'a (MÖ 500) atfedilir. Pisagorcular zamanında, yeterince küçük ve bölünemez tek bir uzunluk birimi olduğuna inanılıyordu; bu, herhangi bir segmente dahil edilen tamsayı sayısıdır. Ancak Hippasus, tek bir uzunluk birimi olmadığını, çünkü varlığının varsayımının bir çelişkiye yol açtığını savundu. Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü tam sayıda birim parça içeriyorsa, bu sayının aynı anda hem çift hem de tek olması gerektiğini gösterdi. Kanıt şöyle görünüyordu:

• Bir ikizkenar dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun bacak uzunluğuna oranı şu şekilde ifade edilebilir: a:b, nerede a ve b mümkün olan en küçük olarak seçilmiştir.
• Pisagor teoremine göre: a² = 2 b².
• Çünkü a² bile, açift ​​olmalıdır (çünkü tek bir sayının karesi tek olacaktır).
• Çünkü a:b indirgenemez b tuhaf olmalı.
• Çünkü a hatta, belirtmek a = 2y.
• O zamanlar a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², bu nedenle b eşit, o zaman b Bile.
• Ancak kanıtlanmıştır ki b garip. çelişki.

Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar oranı olarak adlandırdılar. alogolar(ifade edilemez), ancak efsanelere göre Hippasus'a gereken saygı gösterilmedi. Hippasus'un bir deniz yolculuğunda keşfi yaptığı ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve oranlarına indirgenebileceği doktrini reddeden evrenin bir öğesini yarattığı için" denize atıldığına dair bir efsane var. " Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve ayrılmaz olduğu şeklindeki tüm teorinin altında yatan varsayımı yıktı.

Ayrıca bakınız

Notlar

Hangi sayılar irrasyoneldir? irrasyonel sayı rasyonel bir gerçek sayı değildir, yani kesir olarak temsil edilemez (iki tam sayının oranı olarak), burada m bir tamsayıdır, n- doğal sayı . irrasyonel sayı sonsuz periyodik olmayan ondalık kesir olarak temsil edilebilir.

irrasyonel sayı kesin olamaz. Yalnızca 3.333333 biçiminde…. Örneğin, Kare kök iki - irrasyonel bir sayıdır.

irrasyonel sayı nedir? İrrasyonel sayı(rasyonel olanlardan farklı olarak) sonsuz ondalık periyodik olmayan kesir olarak adlandırılır.

Birçok irrasyonel sayı genellikle büyük Latince harfle, koyu olarak, gölgelenmeden gösterilir. O.:

Şunlar. irrasyonel sayılar kümesi, gerçek ve rasyonel sayılar kümesi arasındaki farktır.

İrrasyonel sayıların özellikleri.

• Negatif olmayan 2 irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayı olabilir.
• İrrasyonel sayılar Rasyonel sayılar kümesinde, alt sınıfta yer almayan Dedekind bölümlerini tanımlar. Büyük bir sayı, ve üstte daha küçüğü yok.
• Her gerçek aşkın sayı bir irrasyonel sayıdır.
• Tüm irrasyonel sayılar ya cebirseldir ya da aşkındır.
• İrrasyonel sayılar kümesi sayı doğrusunda her yerde yoğundur: Her sayı çifti arasında bir irrasyonel sayı vardır.
• İrrasyonel sayılar kümesindeki sıra, gerçek aşkın sayılar kümesindeki sıraya eşbiçimlidir.
• İrrasyonel sayılar kümesi sonsuzdur, 2. kategorinin bir kümesidir.
• Rasyonel sayılarda (0'a bölme hariç) her aritmetik işlemin sonucu bir rasyonel sayıdır. İrrasyonel sayılar üzerinde aritmetik işlemlerin sonucu ya bir rasyonel ya da bir irrasyonel sayı olabilir.
• Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamı her zaman bir irrasyonel sayı olacaktır.
• İrrasyonel sayıların toplamı bir rasyonel sayı olabilir. Örneğin,İzin Vermek x mantıksız, o zaman y=x*(-1) ayrıca irrasyonel; x+y=0, ve sayı 0 rasyonel (örneğin, herhangi bir 7 derecesinin kökünü toplarsak ve aynı yedi derecenin kökünü çıkarırsak, 0 rasyonel sayısı elde ederiz).

İrrasyonel sayılar, örnekler.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ