Rastgele değişken çeşitli koşullara bağlı olarak belirli değerler alabilen bir değişkendir ve rastgele değişkene sürekli denir , sınırlı veya sınırsız bir aralıktan herhangi bir değer alabiliyorsa. Sürekli bir rastgele değişken için tüm olası değerleri belirtmek imkansızdır, bu nedenle belirli olasılıklarla ilişkili bu değerlerin aralıkları belirtilir.

Sürekli rastgele değişkenlerin örnekleri şunlardır: belirli bir boyuta döndürülen bir parçanın çapı, bir kişinin yüksekliği, bir merminin menzili, vb.

Sürekli rastgele değişkenler için fonksiyon F(x), Farklı ayrık rastgele değişkenler, hiçbir yerde sıçrama yoksa, sürekli rastgele değişkenin herhangi bir tek değerinin olasılığı sıfıra eşittir.

Bu, sürekli bir rastgele değişken için değerleri arasındaki olasılık dağılımı hakkında konuşmanın bir anlamı olmadığı anlamına gelir: her birinin sıfır olasılığı vardır. Bununla birlikte, bir anlamda, sürekli bir rastgele değişkenin değerleri arasında "daha fazla ve daha az olası" vardır. Örneğin, herhangi birinin rastgele bir değişkenin değerinin - rastgele karşılaşılan bir kişinin yüksekliği - 170 cm - 220 cm'den daha olası olduğundan şüphe duyması olası değildir, ancak bir değer pratikte ortaya çıkabilir.

Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu ve olasılık yoğunluğu

Yalnızca sürekli rastgele değişkenler için anlam ifade eden bir dağılım yasası olarak, dağılım yoğunluğu veya olasılık yoğunluğu kavramı tanıtılmıştır. Sürekli rastgele değişken ve kesikli rastgele değişken için dağılım fonksiyonunun anlamını karşılaştırarak buna yaklaşalım.

Böylece, rastgele bir değişkenin (hem ayrık hem de sürekli) dağılım fonksiyonu veya integral fonksiyonu rastgele bir değişkenin değerinin olma olasılığını belirleyen bir fonksiyon olarak adlandırılır. X limit değerinden küçük veya ona eşit X.

Değerlerinin noktalarında ayrık bir rastgele değişken için x1 , x 2 , ..., x ben ,... yoğunlaşmış olasılık kütleleri p1 , p 2 , ..., p ben ,..., ve tüm kütlelerin toplamı 1'e eşittir. Bu yorumu sürekli bir rastgele değişken durumuna aktaralım. 1'e eşit bir kütlenin ayrı noktalarda toplanmadığını ve x ekseni boyunca sürekli olarak "bulaştığını" hayal edin. Öküz bazı düzensiz yoğunluk ile. Herhangi bir sitede rastgele bir değişkene çarpma olasılığı Δ x bu bölüme atfedilebilir kütle ve bu bölümdeki ortalama yoğunluk - kütlenin uzunluğa oranı olarak yorumlanacaktır. Az önce olasılık teorisinde önemli bir kavramı tanıttık: dağılım yoğunluğu.

Olasılık Yoğunluğu f(x) sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun türevidir:

.

Yoğunluk fonksiyonunu bilerek, sürekli bir rastgele değişkenin değerinin kapalı aralığa ait olma olasılığını bulabiliriz [ a; b]:

sürekli bir rastgele değişken olma olasılığı X[ aralığından herhangi bir değer alacaktır. a; b] aralığındaki olasılık yoğunluğunun belirli bir integraline eşittir. aönceki b:

.

nerede Genel formül fonksiyonlar F(x) yoğunluk fonksiyonu biliniyorsa kullanılabilen sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı f(x) :

.

Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunun grafiği, dağılım eğrisi olarak adlandırılır (aşağıdaki şekil).

Şeklin alanı (şekilde gölgeli), bir eğri ile sınırlanmış, noktalardan çizilen düz çizgiler a ve b apsis eksenine dik ve eksen ey, grafiksel olarak sürekli bir rastgele değişkenin değerinin olasılığını görüntüler. X aralığında aönceki b.

Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri

1. Rastgele bir değişkenin aralıktan (ve fonksiyonun grafiği ile sınırlı olan şeklin alanından) herhangi bir değer alma olasılığı f(x) ve eksen ey) bire eşittir:

2. Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif değerler alamaz:

ve dağılımın varlığı dışında değeri sıfırdır.

dağıtım yoğunluğu f(x) ve dağıtım işlevi F(x), dağıtım yasasının biçimlerinden biridir, ancak dağıtım fonksiyonunun aksine evrensel değildir: dağıtım yoğunluğu yalnızca sürekli rastgele değişkenler için mevcuttur.

Sürekli bir rastgele değişkenin pratikteki en önemli iki dağılım türünden bahsedelim.

dağılım yoğunluğu fonksiyonu ise f(x) sonlu bir aralıkta sürekli bir rastgele değişken [ a; b] sabit bir değer alır C, ve aralığın dışında sıfıra eşit bir değer alır, o zaman bu dağılıma tekdüze denir .

Dağılım yoğunluğu fonksiyonunun grafiği merkeze göre simetrik ise, ortalama değerler merkeze yakın yoğunlaşır ve merkezden uzaklaşırken ortalamalardan daha farklı toplanır (fonksiyonun grafiği bir kesime benzer) bir zil), sonra bu dağılım normal denir .

örnek 1 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu bilinmektedir:

Bir özellik bulun f(x) sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu. Her iki fonksiyon için grafik çizin. Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ile 8 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .

Çözüm. Olasılık dağılım fonksiyonunun türevini bularak olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde ederiz:

Fonksiyon Grafiği F(x) - parabol:

Fonksiyon Grafiği f(x) - düz:

Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ile 8 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:

Örnek 2 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilir:

Faktörü hesapla C. Bir özellik bulun F(x) sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı. Her iki fonksiyon için grafik çizin. Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ile 5 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .

Çözüm. katsayı C olasılık yoğunluk fonksiyonunun 1. özelliğini kullanarak şunları buluruz:

Böylece, sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

Entegrasyon, işlevi buluyoruz F(x) olasılık dağılımları. Eğer bir x < 0 , то F(x) = 0 . 0 ise< x < 10 , то

.

x> 10, sonra F(x) = 1 .

Böylece, olasılık dağılım fonksiyonunun tam kaydı şu şekildedir:

Fonksiyon Grafiği f(x) :

Fonksiyon Grafiği F(x) :

Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ile 5 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:

Örnek 3 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu X eşitlik ile verilirken . katsayısını bul ANCAK, sürekli bir rastgele değişken olma olasılığı X sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu olan ]0, 5/[ aralığından bir değer alır X.

Çözüm. Koşulla, eşitliğe ulaşırız

Bu nedenle, nereden. Yani,

.

Şimdi sürekli bir rastgele değişken olma olasılığını buluyoruz. X]0, 5[ aralığındaki herhangi bir değeri alacaktır:

Şimdi bu rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu alıyoruz:

Örnek 4 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunu bulun X yalnızca negatif olmayan değerler alan , ve dağıtım işlevi .

………………………………………………………

An - rastgele bir değişken X, An değerini almıştır.

Açıkçası, A1 A2 olaylarının toplamı, . , An belirli bir olaydır, çünkü rastgele değişken mutlaka x1, x2, xn değerlerinden en az birini alır.

Bu nedenle, P (A1 È A2 È . È An) = 1.

Ek olarak, A1, A2, ., An olayları uyumsuzdur, çünkü tek bir deneydeki rastgele bir değişken x1, x2, ., xn değerlerinden yalnızca birini alabilir. Uyumsuz olaylar için toplama teoremi ile elde ederiz

P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,

yani p1+p2+ . +pn = 1 veya kısaca,

Bu nedenle, X rastgele değişkeninin dağılım yasasını veren Tablo 1'in ikinci satırında yer alan tüm sayıların toplamı bire eşit olmalıdır.

ÖRNEK 1. Rastgele değişken X, bir zar atıldığında atılan puanların sayısı olsun. Dağıtım yasasını bulun (bir tablo şeklinde).

rastgele değer X değerleri alır

x1=1, x2=2, … , x6=6

olasılıklarla

p1= p2 = … = p6 =

Dağıtım yasası tablo tarafından verilmektedir:

Tablo 2

ÖRNEK 2. Binom dağılımı. Rastgele bir X değişkeni düşünün - her birinde A'nın p olasılığı ile gerçekleştiği bir dizi bağımsız deneyde A olayının oluşum sayısı.

Rastgele değişken X açıkça aşağıdaki değerlerden birini alabilir:

0, 1, 2, ., k, ., n.

Rastgele değişken X'in k'ye eşit bir değer alacağı gerçeğinden oluşan bir olayın olasılığı, Bernoulli formülü ile belirlenir:

Рn(k)= burada q=1- р.

Böyle bir rastgele değişken dağılımına binom dağılımı veya Bernoulli dağılımı denir. Bernoulli dağılımı tamamen iki parametre ile belirlenir: tüm denemelerin sayısı n ve olayın her bir denemede meydana gelme olasılığı p.

Binom dağılımının koşulu şu şekildedir:

Bu eşitliğin geçerliliğini kanıtlamak için özdeşlikte yeterlidir.

(q+px)n=

x=1 koyun.

ÖRNEK 3. Poisson Dağılımı. Bu, formun olasılık dağılımının adıdır:

P(k)= .

Tek bir (pozitif) parametre a ile belirlenir. ξ, Poisson dağılımına sahip bir rastgele değişken ise, karşılık gelen a - parametresi bu rastgele değişkenin ortalama değeridir:

a=Mξ=, burada M matematiksel beklentidir.

Rastgele değişken:

ÖRNEK 4.üstel dağılım.

Eğer zaman rastgele bir değişken ise, onu τ ile gösterelim, öyle ki

nerede 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

Rastgele değişken t'nin ortalama değeri:

Dağılım yoğunluğu şu şekildedir:

4) Normal dağılım

Bağımsız, özdeş dağılımlı rastgele değişkenler olsun ve Terimler yeterince küçükse ve n sayısı yeterince büyükse, - n à ∞ için rastgele değişken Мξ'nin matematiksel beklentisi ve Dξ=M(ξ–Мξ)2'ye eşit olan Dξ varyansı, Мξ~ şeklindedir. а, Dξ~σ2, o zaman

- normal veya gauss dağılımı

.

5) Geometrik dağılım. ξ, ilk "başarıdan" önceki deneme sayısını göstersin. Her testin bir birim zaman sürdüğünü varsayarsak, o zaman ξ'yi ilk "başarıya" kadar bekleme süresi olarak kabul edebiliriz. Dağıtım şöyle görünür:

Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) Hipergeometrik dağılım.

Aralarında n - "özel nesneler" olan N - nesneler vardır. Tüm nesneler arasından k nesneleri rastgele seçilir. Seçilen nesneler arasında r - "özel nesneler"e eşit olma olasılığını bulun. Dağıtım şöyle görünür:

7) Paskal dağılımı.

x - toplam sayısı rth "başarı"nın gelmesinden önceki "başarısızlıklar". Dağıtım şöyle görünür:

Dağıtım işlevi şu şekildedir:

Eşit olasılıklı bir dağılım, rastgele değişken x'in aynı olasılıkla aralıktaki herhangi bir değeri alabileceği anlamına gelir. Bu durumda dağılım yoğunluğu şu şekilde hesaplanır:

Dağılım yoğunluğu ve dağılım fonksiyonu grafikleri aşağıda sunulmuştur.

"Beyaz gürültü" kavramını açıklamadan önce bir takım tanımları vermek gerekir.

Rastgele bir işlev, bağımsız değişkenin her sabit değeri için rastgele bir değişken olan rastgele olmayan bir t bağımsız değişkeninin bir işlevidir. Örneğin, U bir rastgele değişken ise, X(t)=t2U işlevi rastgeledir.

Rastgele bir işlevin bölümü, rastgele işlevin bağımsız değişkeninin sabit bir değerine karşılık gelen rastgele bir değişkendir. Böylece, rastgele işlev t parametresine bağlı olarak bir dizi rasgele değişken (X(t)) olarak düşünülebilir.

Rastgele değişken Aynı koşullar altında yapılan testler sonucunda, hesaba katılmayan rastgele faktörlere bağlı olarak, genel olarak farklı değerler alan niceliğe denir. Rastgele değişkenlere örnekler: kalıptaki noktaların sayısı, partideki kusurlu ürün sayısı, merminin etki noktasının hedeften sapması, zaman çalışma süresi cihazlar, vb. Kesikli ve sürekli rasgele değişkenleri ayırt eder. ayrık Olası değerleri sayılabilir bir küme, sonlu veya sonsuz (yani, elemanları numaralandırılabilen böyle bir küme) oluşturan rastgele bir değişken denir.

Sürekli Olası değerleri sürekli olarak sayısal eksenin bazı sonlu veya sonsuz aralığını dolduran rastgele bir değişken olarak adlandırılır. Sürekli bir rastgele değişkenin değer sayısı her zaman sonsuzdur.

Rastgele değişkenler, Latin alfabesinin sonundaki büyük harflerle gösterilecektir: X, Y, ...; rastgele bir değişkenin değerleri - küçük harflerle: X, y... . Böylece, X Rastgele bir değişkenin tüm olası değerleri kümesini belirtir ve X - Bazı özel anlamlar.

dağıtım yasası Kesikli bir rastgele değişken, bir rastgele değişkenin olası değerleri ile olasılıkları arasında herhangi bir biçimde verilen bir yazışmadır.

Rastgele değişkenin olası değerlerine izin verin X . Test sonucunda rastgele değişken bu değerlerden birini yani; Tam bir ikili uyumsuz olay grubundan bir olay meydana gelecektir.

Bu olayların olasılıkları da bilinsin:

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası X adlı bir tablo şeklinde yazılabilir. Yakın dağıtım Ayrık rassal değişken:

Dağılım serisi eşittir (normalleştirme koşulu).

Örnek 3.1. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını bulun X - iki yazı tura atışında "kartal"ın oluşum sayısı.

Dağıtım işlevi, hem ayrık hem de sürekli rastgele değişkenler için dağıtım yasasını belirlemenin evrensel bir biçimidir.

Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonuX fonksiyon denir F(X), Tam sayı doğrusunda aşağıdaki gibi tanımlanır:

F(X)= P(X< х ),

yani F(X) rastgele değişken olma olasılığı vardır X değerinden daha düşük bir değer alır. X.

Dağıtım fonksiyonu grafiksel olarak gösterilebilir. Ayrık bir rasgele değişken için grafiğin basamaklı bir formu vardır. Örneğin, aşağıdaki seri tarafından verilen rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonunun bir grafiğini oluşturalım (Şekil 3.1):

Pirinç. 3.1. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği

Fonksiyonun atlamaları, rastgele değişkenin olası değerlerine karşılık gelen noktalarda meydana gelir ve bu değerlerin olasılıklarına eşittir. Kırılma noktalarında, fonksiyon F(X) solda süreklidir.

Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği sürekli bir eğridir.

Pirinç. 3.2. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği

Dağıtım işlevi aşağıdaki belirgin özelliklere sahiptir:

1) , 2) , 3) ,

4) .

Rastgele bir değişken olduğu gerçeğinden oluşan bir olay arayacağız. X bir değer alır X, Bazı yarı kapalı aralığa ait A£ X< B, [] aralığında rastgele bir değişkene basarak A, B).

Teorem 3.1. Aralığa düşen rastgele bir değişkenin olasılığı [ A, B) bu aralıktaki dağılım fonksiyonunun artışına eşittir:

Aralığı azaltırsak [ A, B), O halde limitte, aralığa ulaşma olasılığı yerine formül (3.1)'in noktayı yakalama olasılığını, yani rastgele değişkenin değeri alma olasılığını verdiğini varsayarsak A:

Dağılım fonksiyonunun noktada süreksizliği varsa A, O halde limit (3.2) değere eşittir fonksiyon atlama F(X) noktada X=A, Yani, rastgele değişkenin değeri alma olasılıkları A (Şekil 3.3, ANCAK). Rastgele değişken sürekli ise, yani fonksiyon sürekli ise F(X), sonra limit (3.2) sıfıra eşittir (Şekil 3.3, B)

Bu nedenle, sürekli bir rastgele değişkenin herhangi bir belirli değerinin olasılığı sıfırdır. Ancak bu, olayın imkansız olduğu anlamına gelmez. X=A, Yalnızca, bu olayın göreceli sıklığının, test sayısında sınırsız bir artışla sıfıra eğilim göstereceğini söylüyor.

Pirinç. 3.3. Dağıtım fonksiyonu atlama

Sürekli rasgele değişkenler için, dağıtım fonksiyonu ile birlikte, dağıtım yasasını belirtmenin başka bir biçimi kullanılır - dağıtım yoğunluğu.

Aralığa çarpma olasılığı ise, oran, olasılığın nokta civarında dağıldığı yoğunluğu karakterize eder. X. Bu ilişkinin sınırı, yani. e. türev, denir dağıtım yoğunluğu(olasılık dağılımının yoğunluğu, olasılık yoğunluğu) rastgele bir değişkenin X. Dağıtım yoğunluğunu belirtmeyi kabul ediyoruz

.

Böylece dağılım yoğunluğu, rastgele bir değişkenin noktanın yakınına düşme olasılığını karakterize eder. X.

Dağılım yoğunluğunun grafiği denir çarpık ırklarTanımlar(Şekil 3.4).

Pirinç. 3.4. Dağıtım yoğunluğu türü

Dağıtım fonksiyonunun tanımına ve özelliklerine göre F(X), dağılım yoğunluğunun aşağıdaki özelliklerini kurmak kolaydır F(X):

1) F(X)³0

2)

3)

4)

Sürekli bir rastgele değişken için, bir noktaya gelme olasılığının sıfır olması nedeniyle aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

Örnek 3.2. rastgele değer X Dağıtım yoğunluğu tarafından belirtilen

Gerekli:

A) Katsayının değerini bulun ANCAK;

B) dağıtım fonksiyonunu bulun;

C) Rastgele bir değişkenin (0, ) aralığına düşme olasılığını bulun.

Dağıtım işlevi veya dağıtım yoğunluğu, bir rastgele değişkeni tamamen tanımlar. Bununla birlikte, çoğu zaman, pratik problemleri çözerken, dağıtım yasasının tam bilgisine gerek yoktur, sadece bir kısmını bilmek yeterlidir. karakter özellikleri. Bunu yapmak için, olasılık teorisinde, dağıtım yasasının çeşitli özelliklerini ifade eden rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri kullanılır. Başlıca sayısal özellikler şunlardır: MatematikselBeklenti, varyans ve standart sapma.

Beklenen değer Rastgele bir değişkenin sayı eksenindeki konumunu karakterize eder. Bu, etrafında tüm olası değerlerinin gruplandırıldığı rastgele bir değişkenin ortalama bir değeridir.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi X sembolize M(X) veya T. Kesikli bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi, rasgele değişkenin tüm olası değerlerinin eşlenmiş ürünlerinin toplamı ve bu değerlerin olasılıklarıdır:

Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, uygun olmayan bir integral kullanılarak belirlenir:

Tanımlara dayanarak, aşağıdaki özelliklerin geçerliliğini doğrulamak kolaydır. matematiksel beklenti:

1. (rastgele olmayan bir değişkenin matematiksel beklentisi İTİBAREN En rastgele olmayan değere eşittir).

2. ³0, ise ³0.

4. Eğer ve bağımsız, sonra .

Örnek 3.3. Bir dizi dağılım tarafından verilen ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini bulun:

Çözüm.

=0×0,2 + 1×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1=1,3.

Örnek 3.4. Dağılım yoğunluğu tarafından verilen bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini bulun:

.

Çözüm.

Dağılım ve standart sapma Rastgele bir değişkenin dağılımının özellikleridir, matematiksel beklentiye göre olası değerlerinin yayılmasını karakterize ederler.

dağılım D(X) rastgele değişken X Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden karesi alınmış sapmanın matematiksel beklentisine denir.Ayrık bir rastgele değişken için varyans toplamla ifade edilir:

(3.3)

Ve sürekli - integral için

(3.4)

Varyans, rastgele bir değişkenin karesinin boyutuna sahiptir. saçılma özelliği, Boyut olarak eşleştirmeRastgele değişkenli Stee, standart sapmadır.

Dağılım özellikleri:

1) sabittir. Özellikle,

3)

Özellikle,

Varyansın formül (3.5) ile hesaplanmasının, genellikle (3.3) veya (3.4) formülüne göre daha uygun olduğuna dikkat edin.

Değer denir kovaryans rastgele değişkenler.

Eğer bir , ardından değer

aranan Korelasyon katsayısı rastgele değişkenler.

Gösterilebilir ki eğer , o zaman miktarlar doğrusal olarak bağımlıdır: nerede

Dikkat edin, eğer bağımsızlarsa, o zaman

Örnek 3.5.Örnek 1'deki dağılım serisi tarafından verilen bir rastgele değişkenin varyansını bulun.

Çözüm. Varyansı hesaplamak için matematiksel beklentiyi bilmeniz gerekir. Yukarıda verilen bir rastgele değişken için şu bulundu: M=1.3. Varyansı formül (3.5) kullanarak hesaplıyoruz:

Örnek 3.6. Rastgele değişken dağılım yoğunluğu tarafından verilir

Varyansı ve standart sapmayı bulun.

Çözüm. Önce matematiksel beklentiyi buluruz:

(simetrik bir aralıkta tek bir fonksiyonun integrali olarak).

Şimdi varyansı ve standart sapmayı hesaplıyoruz:

1. Binom dağılımı. Bernoulli şemasındaki "BAŞARI" sayısına eşit olan rastgele değişken, bir binom dağılımına sahiptir: , .

Binom yasasına göre dağıtılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi

.

Bu dağılımın varyansı .

2. Poisson Dağılımı ,

Poisson dağılımına sahip bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı , .

Poisson dağılımı genellikle, bir saat içinde bir araba yıkamaya gelen araba sayısı, haftada makine durma sayısı, sayı gibi belirli bir zaman veya mekan aralığında meydana gelen olayların sayısıyla ilgilenirken kullanılır. trafik kazaları vb.

Rastgele değişken var geometrik dağılım parametre ile olasılıklı değerler alırsa . Böyle bir dağılıma sahip rastgele bir değişken mantıklı İlk başarılı testin numaraları başarı olasılığı ile Bernoulli şemasında. Dağıtım tablosu şöyle görünür:

3. Normal dağılım. Normal olasılık dağılımı yasası, diğer dağıtım yasaları arasında özel bir yere sahiptir. Olasılık teorisinde, bağımsız veya toplamın olasılık yoğunluğunun olduğu kanıtlanmıştır. Zayıf bağımlı sayıları sınırsız bir artışla tekdüze küçük (yani, yaklaşık olarak aynı rolü oynayan) terimler, bu terimlerin hangi dağıtım yasalarına sahip olduğuna bakılmaksızın, normal dağılım yasasına istenildiği kadar yaklaşır (merkezi limit teoremi A.M. Lyapunova).

dağıtım yoğunluğu olasılıklar X işlevi çağır f(x) dağılım fonksiyonunun ilk türevidir F(x):

Rastgele bir değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu kavramı X için ayrık miktar uygulanamaz.

olasılık yoğunluğu f(x) diferansiyel dağılım fonksiyonu olarak adlandırılır:

Mülkiyet 1. Dağılım yoğunluğu negatif olmayan bir değerdir:

Mülkiyet 2.İle aralığındaki dağılım yoğunluğunun uygun olmayan integrali bire eşittir:

Örnek 1.25. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu verildiğinde X:

f(x).

Çözüm: Dağılım yoğunluğu, dağılım fonksiyonunun birinci türevine eşittir:

1. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu verildiğinde X:

Dağılım yoğunluğunu bulun.

2. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu verilir X:

Dağıtım yoğunluğunu bulun f(x).

1.3. sayısal özellikler sürekli rastgele

miktarları

Beklenen değer sürekli rastgele değişken X olası değerleri tüm eksene ait olan ey, eşitlik ile belirlenir:

İntegralin mutlak yakınsak olduğu varsayılır.

a,b), sonra:

f(x) rastgele değişkenin dağılım yoğunluğudur.

Dağılım sürekli rastgele değişken X olası değerleri tüm eksene ait olan eşitlikle belirlenir:

özel durum. Rastgele değişkenin değerleri aralığa aitse ( a,b), sonra:

olasılık X aralığına ait değerleri alacaktır ( a,b), eşitlik ile belirlenir:

.

Örnek 1.26. Sürekli rastgele değişken X

Rastgele bir değişkene çarpmanın matematiksel beklentisini, varyansını ve olasılığını bulun X(0; 0.7) aralığında.

Çözüm: Rastgele değişken (0,1) aralığına dağıtılır. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yoğunluğunu tanımlayalım X:

a) Matematiksel beklenti :

b) Dağılım

içinde)

için görevler bağımsız iş:

1. Rastgele değişken X dağıtım fonksiyonu tarafından verilen:

M(x);

b) dispersiyon D(x);

X(2,3) aralığına girin.

2. Rastgele değişken X

Bul: a) matematiksel beklenti M(x);

b) dispersiyon D(x);

c) rastgele bir değişkene çarpma olasılığını belirlemek X aralıkta (1; 1.5).

3. Rastgele değer X integral dağılım fonksiyonu tarafından verilir:

Bul: a) matematiksel beklenti M(x);

b) dispersiyon D(x);

c) rastgele bir değişkene çarpma olasılığını belirlemek X aralığında.

1.4. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yasaları

1.4.1. Üniforma dağıtımı

Sürekli rastgele değişken X aralığında düzgün bir dağılıma sahiptir [ a,b], bu segmentte rastgele bir değişkenin olasılık dağılımının yoğunluğu sabitse ve dışında sıfıra eşitse, yani:

Pirinç. dört.

; ; .

Örnek 1.27. Bir güzergahın otobüsü 5 dakikalık aralıklarla düzgün hareket eder. Düzgün dağılmış bir rastgele değişken olma olasılığını bulun. X– Otobüs bekleme süresi 3 dakikadan az olacaktır.

Çözüm: rastgele değer X- aralık boyunca eşit olarak dağıtılır .

Olasılık Yoğunluğu: .

Bekleme süresinin 3 dakikayı geçmemesi için yolcunun bir önceki otobüsün hareketinden sonra 2 ila 5 dakika içerisinde otobüs durağına gelmesi, yani. rastgele değer X(2;5) aralığı içinde olmalıdır. O. istenen olasılık:

Bağımsız çalışma için görevler:

1. a) rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun X(2; 8) aralığında eşit olarak dağıtılır;

b) rastgele bir değişkenin varyansını ve standart sapmasını bulun X,(2;8) aralığında eşit olarak dağılmıştır.

2. Elektrikli saatin yelkovanı her dakikanın sonunda zıplar. Belirli bir anda saatin gerçek zamandan en fazla 20 saniye farklı olan zamanı gösterme olasılığını bulun.

1.4.2. Üstel (üssel) dağılım

Sürekli rastgele değişken X olasılık yoğunluğu şu şekildeyse üstel olarak dağıtılır:

üstel dağılımın parametresi nerede.

Böylece

Pirinç. 5.

Sayısal özellikler:

Örnek 1.28. rastgele değer X- ampulün çalışma süresi - üstel bir dağılıma sahiptir. Ortalama lamba ömrü 400 saat ise lambanın en az 600 saat dayanma olasılığını belirleyin.

Çözüm: Problemin durumuna göre, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi X 400 saate eşittir, yani:

;

İstenen olasılık, nerede

Nihayet:

Bağımsız çalışma için görevler:

1. Parametre ise, üstel yasanın yoğunluk ve dağılım fonksiyonunu yazın.

2. Rastgele değişken X

Bir miktarın matematiksel beklentisini ve varyansını bulun X.

3. Rastgele değer X olasılık dağılım fonksiyonu tarafından verilen:

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve standart sapmasını bulun.

1.4.3. Normal dağılım

normal sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı olarak adlandırılır X yoğunluğu şu şekildedir:

nerede a– matematiksel beklenti, – standart sapma X.

olasılık X aralığına ait bir değer alacaktır:

, nerede

Laplace fonksiyonudur.

sahip bir dağıtım; , yani olasılık yoğunluğu ile standart denir.

Pirinç. 6.

Sapmanın mutlak değerinin pozitif bir sayıdan küçük olma olasılığı:

.

Özellikle, ne zaman bir= 0 eşitlik doğrudur:

Örnek 1.29. rastgele değer X normal olarak dağılmıştır. Standart sapma . Rastgele bir değişkenin mutlak değerdeki matematiksel beklentisinden sapmasının 0,3'ten küçük olma olasılığını bulun.

Çözüm: .

Bağımsız çalışma için görevler:

1. Rastgele bir değişkenin normal dağılımının olasılık yoğunluğunu yazın X, bilerek M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve standart sapması X sırasıyla 20 ve 5'tir.Test sonucunda X(15;20) aralığındaki değeri alacaktır.

3. Rastgele hatalarölçümler standart sapma mm ve matematiksel beklenti ile normal yasaya tabidir bir= 0. 3 bağımsız ölçümden en az birinin hatasının mutlak değerde 4 mm'yi geçmeme olasılığını bulun.

4. Bazı maddeler sistematik hatalar olmadan tartılır. Rastgele tartım hataları, standart sapma r ile normal yasaya tabidir.Tartmanın mutlak değerde 10 g'ı aşmayan bir hata ile gerçekleştirilme olasılığını bulun.

Matematiksel beklenti kavramları M(X) ve dağılım D(X Daha önce ayrık bir rastgele değişken için tanıtılan ) sürekli rastgele değişkenlere genişletilebilir.

· Matematiksel beklenti M(X) sürekli rastgele değişken X eşitlikle tanımlanır:

Bu integralin yakınsak olması şartıyla.

· Dağılım D(X) sürekli rastgele değişken X eşitlik ile tanımlanır:

· Standart sapmaσ( X) sürekli rastgele değişken eşitlikle tanımlanır:

Kesikli rastgele değişkenler için daha önce ele alınan matematiksel beklenti ve dağılımın tüm özellikleri, sürekli olanlar için de geçerlidir.

Sorun 5.3. rastgele değer X diferansiyel fonksiyon tarafından verilen f(x):

Bulmak M(X), D(X), σ( X), birlikte P(1 < X< 5).

Çözüm:

M(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P 1 =

Görevler

5.1. X

f(x), birlikte

R(‒1/2 < X< 1/2).

5.2. Sürekli rastgele değişken X dağıtım fonksiyonu tarafından verilen:

Diferansiyel dağılım fonksiyonunu bulun f(x), birlikte

R(2π /9< X< π /2).

5.3. Sürekli rastgele değişken X

Bul: a) sayı İle birlikte; b) M(X), D(X).

5.4. Sürekli rastgele değişken X dağıtım yoğunluğu tarafından verilen:

Bul: a) sayı İle birlikte; b) M(X), D(X).

5.5. X:

Bulmak bir) F(X) ve grafiğini çizin; b) M(X), D(X), σ( X); c) dört bağımsız denemede değerin X(1;4) aralığına ait değerin tam 2 katını alır.

5.6. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu göz önüne alındığında X:

Bulmak bir) F(X) ve grafiğini çizin; b) M(X), D(X), σ( X); c) üç bağımsız denemede değerin X aralığa ait olan değerin tam 2 katını alacaktır.

5.7. İşlev f(X) şu şekilde verilir:

İle birlikte X; b) dağıtım işlevi F(x).

5.8. İşlev f(x) şu şekilde verilir:

Bul: a) sabitin değeri İle birlikte, fonksiyonun bazı rastgele değişkenlerin olasılık yoğunluğu olacağı X; b) dağıtım işlevi F(x).

5.9. rastgele değer X(3;7) aralığı üzerinde yoğunlaşan , dağılım fonksiyonu tarafından verilir F(X)= X a) 5'ten küçük, b) 7'den az olmayan değeri alır.

5.10. rastgele değer X, (-1; 4) aralığına konsantre, dağılım fonksiyonu tarafından verilir F(X)= . Rastgele değişkenin olma olasılığını bulun X a) 2'den küçük, b) 4'ten küçük değeri alır.

5.11.

Bul: a) sayı İle birlikte; b) M(X); c) olasılık R(X > M(X)).

5.12. Rastgele değişken, diferansiyel dağılım fonksiyonu tarafından verilir:

Bulmak bir) M(X); b) olasılık R(X ≤ M(X)).

5.13. Zaman dağılımı, olasılık yoğunluğu tarafından verilir:

Kanıtla f(x) aslında bir olasılık yoğunluk dağılımıdır.

5.14. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu göz önüne alındığında X:

bir numara bul İle birlikte.

5.15. rastgele değer X[-2; 2] segmentinde Simpson yasasına (ikizkenar üçgen) göre dağıtılır (Şekil 5.4). Olasılık yoğunluğu için analitik bir ifade bulun f(x) tam sayı doğrusunda.

Pirinç. 5.4 Şek. 5.5

5.16. rastgele değer X(0; 4) aralığında "dik üçgen" yasasına göre dağıtılır (Şekil 5.5). Olasılık yoğunluğu için analitik bir ifade bulun f(x) tam sayı doğrusunda.

Yanıtlar

P (-1/2<X<1/2)=2/3.

P(2π /9<X< π /2)=1/2.

5.3. a) İle birlikte=1/6, b) M(X)=3 , c) D(X)=26/81.

5.4. a) İle birlikte=3/2, b) M(X)=3/5, c) D(X)=12/175.

b) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( X)= /3.

b) M(X)=2 , D(X)= 3 , σ( X)= 1,893.

5.7. a) c = ; b)

5.8. a) İle birlikte=1/2; b)

5.9. a) 1/4; b) 0.

5.10. a) 3/5; b) 1.

5.11. a) İle birlikte= 2; b) M(X)= 2; 1-de içinde 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. a) M(X)= π/2; b) 1/2