Açıktır ki, her olayın bir dereceye kadar gerçekleşmesi (uygulanması) olasılığı vardır. Olayları olasılık derecelerine göre niceliksel olarak karşılaştırmak için, her olayla belirli bir sayıyı ilişkilendirmek gerektiği açıktır; bu, ne kadar büyükse, olay o kadar olasıdır. Bu sayıya olayın olasılığı denir.

Olay Olasılığı- bu olayın gerçekleşmesinin nesnel olasılık derecesinin sayısal bir ölçüsüdür.

Bir stokastik deneyi ve bu deneyde gözlemlenen rastgele bir A olayını düşünün. Bu deneyi n kez tekrarlayalım ve m(A), A olayının gerçekleştiği deney sayısı olsun.

İlişki (1.1)

aranan göreceli sıklık deney serisindeki A olayı.

Özelliklerin geçerliliğini doğrulamak kolaydır:

A ve B uyumsuz ise (AB= ), o zaman ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Göreceli sıklık yalnızca bir dizi deneyden sonra belirlenir ve genel olarak konuşursak, diziden diziye değişebilir. Ancak deneyimler, birçok durumda deney sayısı arttıkça bağıl frekansın belirli bir sayıya yaklaştığını göstermektedir. Göreceli frekansın kararlılığının bu gerçeği defalarca doğrulanmıştır ve deneysel olarak kurulmuş olarak kabul edilebilir.

Örnek 1.19.. Bir madeni parayı atarsanız, kimse hangi tarafa geleceğini tahmin edemez. Ancak iki ton madeni para atarsanız, o zaman herkes bir tonun arması gibi düşeceğini, yani armanın düşme sıklığının yaklaşık 0,5 olduğunu söyleyecektir.

Deney sayısı arttıkça, ν(A) olayının bağıl frekansı sabit bir sayıya yöneliyorsa, o zaman şunu deriz: A olayı istatistiksel olarak kararlıdır, ve bu sayıya A olayının olasılığı denir.

Bir olayın olasılığı ANCAK Bu olayın nispi frekansı ν(A)'nın deney sayısındaki artışla eğilim gösterdiği bazı sabit sayı P(A) denir, yani,

Bu tanım denir olasılığın istatistiksel tanımı .

Bir stokastik deney düşünün ve temel olaylarının uzayı, sonlu veya sonsuz (ancak sayılabilir) bir dizi temel olaydan oluşsun ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . her temel olaya ω i belirli bir sayı atandığını varsayalım - р i , bu temel olayın meydana gelme olasılığının derecesini karakterize eder ve aşağıdaki özellikleri karşılar:

Böyle bir sayı p i denir temel olay olasılığıω i.

Şimdi A, bu deneyde gözlemlenen rastgele bir olay olsun ve belirli bir küme buna karşılık geliyor.

Böyle bir ortamda olay olasılığı ANCAK A lehine temel olayların olasılıklarının toplamı denir.(ilgili A kümesine dahil edilmiştir):

Bu şekilde tanıtılan olasılık, bağıl frekansla aynı özelliklere sahiptir, yani:

Ve eğer AB \u003d (A ve B uyumsuzsa),

o zaman P(A+B) = P(A) + P(B)

Nitekim, (1.4)'e göre

Son bağıntıda, hiçbir temel olayın aynı anda iki uyumsuz olayı destekleyemeyeceği gerçeğinden yararlandık.

Özellikle, olasılık teorisinin pi'yi belirleme yöntemlerini göstermediğini, pratik düşüncelerden aranmaları veya uygun bir istatistiksel deneyden elde edilmeleri gerektiğini not ediyoruz.

Örnek olarak, olasılık teorisinin klasik şemasını düşünün. Bunu yapmak için, temel olayların uzayı sonlu (n) sayıda elemandan oluşan stokastik bir deney düşünün. Ayrıca tüm bu temel olayların eşit derecede olası olduğunu, yani temel olayların olasılıklarının p(ω i)=p i =p olduğunu varsayalım. Bu nedenle şu şekildedir:

Örnek 1.20. Simetrik bir madeni para atıldığında, arma ve yazı eşit derecede mümkündür, olasılıkları 0,5'tir.

Örnek 1.21. Simetrik bir zar atıldığında, tüm yüzler eşit derecede olasıdır, olasılıkları 1/6'dır.

Şimdi A olayı m tane temel olay tarafından tercih edilsin, genellikle A olayı lehine sonuçlar. O zamanlar

Var olasılığın klasik tanımı: A olayının olasılığı P(A), A olayının lehine olan sonuçların sayısının, olaya oranına eşittir. toplam sayısı sonuçlar

Örnek 1.22. Bir kavanozda m tane beyaz top ve n tane siyah top var. Beyaz bir top çekme olasılığı nedir?

Çözüm. Toplamda m+n elementer olay vardır. Hepsi eşit derecede inanılmaz. Olumlu olay A bunlardan m. Sonuç olarak, .

Aşağıdaki özellikler olasılık tanımından çıkar:

Mülk 1. Belirli bir olayın olasılığı bire eşittir.

Gerçekten de, olay güvenilir ise, testin her bir temel sonucu olay lehinedir. Bu durumda m=p, Sonuç olarak,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Mülkiyet 2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.

Gerçekten de, eğer olay imkansızsa, o zaman davanın temel sonuçlarının hiçbiri olay lehine değildir. Bu durumda t= 0, bu nedenle, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Mülk 3.Rastgele bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasında pozitif bir sayıdır.

Gerçekten de, testin toplam temel sonuçlarının yalnızca bir kısmı rastgele bir olayı destekler. Yani, 0≤m≤n, yani 0≤m/n≤1 anlamına gelir, bu nedenle herhangi bir olayın olasılığı 0≤ ikili eşitsizliğini sağlar. P(A) ≤1. (1.8)

Olasılık (1.5) ve göreceli frekans (1.1) tanımlarını karşılaştırarak şu sonuca varıyoruz: olasılığın tanımı test yapılmasını gerektirmez gerçekte; bağıl frekansın tanımı varsayar testler gerçekten yapıldı. Diğer bir deyişle, olasılık, deneyimden önce ve göreceli frekans - deneyimden sonra hesaplanır.

Bununla birlikte, olasılığın hesaplanması, belirli bir olayı destekleyen temel sonuçların sayısı veya olasılıkları hakkında önceden bilgi gerektirir. Bu tür ön bilgilerin yokluğunda, olasılığı belirlemek için ampirik veriler kullanılır, yani olayın göreceli sıklığı, stokastik bir deneyin sonuçlarından belirlenir.

Örnek 1.23. Teknik kontrol departmanı keşfedilen 3 80 rastgele seçilmiş parçadan oluşan bir partide standart olmayan parçalar. Standart olmayan parçaların göreceli oluşma sıklığı r (A)= 3/80.

Örnek 1.24. Amaca göre.üretildi 24 vuruldu ve 19 isabet kaydedildi. Hedefi vurmanın göreceli sıklığı. r (A)=19/24.

Uzun süreli gözlemler, deneylerin her birinde yeterince büyük olduğu aynı koşullar altında gerçekleştirilirse, bağıl frekansın kararlılık özelliği gösterdiğini göstermiştir. Bu özellik çeşitli deneylerde bağıl frekansın az değiştiği (ne kadar az, o kadar çok test yapılır), belirli bir sabit sayı etrafında dalgalanır. Bu sabit sayının, olasılığın yaklaşık bir değeri olarak alınabileceği ortaya çıktı.

Göreceli sıklık ve olasılık arasındaki ilişki aşağıda daha ayrıntılı ve daha kesin olarak açıklanacaktır. Şimdi kararlılık özelliğini örneklerle gösterelim.

Örnek 1.25. İsveç istatistiklerine göre, 1935'te kızların aylara göre nispi doğum oranı, aşağıdaki sayılarla karakterize edilir (sayılar, aşağıdaki rakamlardan başlayarak ay sırasına göre düzenlenmiştir: Ocak): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Göreceli frekans, 0,481 sayısı civarında dalgalanır ve şu şekilde alınabilir: Yaklaşık değer kız olma olasılığı.

Farklı ülkelerin istatistiklerinin yaklaşık olarak aynı bağıl frekans değerini verdiğine dikkat edin.

Örnek 1.26. Bir madeni para atmak için tekrarlanan deneyler yapıldı, burada "armanın" oluşumlarının sayısı sayıldı. Birkaç deneyin sonuçları tabloda gösterilmiştir.

1. Ana teoremlerin ve olasılık formüllerinin sunumu: toplama teoremi, koşullu olasılık, çarpma teoremi, olayların bağımsızlığı, formül tam olasılık.

Hedefler: bir olayın olasılığı kavramının tanıtılması için uygun koşulların yaratılması; olasılık teorisinin temel teorem ve formüllerine aşinalık; toplam olasılık formülünü girin.

Ders ilerlemesi:

Rastgele deney (deney) farklı sonuçların mümkün olduğu bir süreçtir ve sonucun ne olacağını önceden tahmin etmek imkansızdır. Bir deneyimin olası birbirini dışlayan sonuçlarına deneyim denir. temel olaylar . Temel olaylar kümesi W ile gösterilecektir.

rastgele olay deneyim sonucu gerçekleşip gerçekleşmeyeceğini önceden söylemenin imkansız olduğu bir olaya denir. Deney sonucunda meydana gelen her rastgele A olayı, W'den bir grup temel olayla ilişkilendirilebilir. Bu grubu oluşturan temel olaylara denir. A olayının gerçekleşmesi için elverişlidir.

W kümesi rastgele bir olay olarak da düşünülebilir. Tüm temel olayları içerdiğinden, mutlaka deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkacaktır. Böyle bir olay denir güvenilir .

Belirli bir olay için W'den uygun temel olaylar yoksa, deneyin sonucu olarak gerçekleşemez. Böyle bir olay denir imkansız.

Olaylar denir eşit derecede mümkün , eğer test sonucu sağlanırsa eşit fırsat bu olayların uygulanması. İki rastgele olay denir karşısında eğer deney sonucunda bunlardan biri gerçekleşirse ve ancak diğeri olmazsa. A olayının karşısındaki olay ile gösterilir.

A ve B olayları denir uyumsuz eğer birinin meydana gelmesi diğerinin ortaya çıkmasını dışlarsa. A 1 , A 2 , ..., A n olayları denir ikili uyumsuz, eğer ikisi uyumsuzsa. Olaylar A 1 , A 2 , ..., Bir form komple sistem ikili uyumsuz olaylar eğer test sonucunda bunlardan sadece birinin meydana geleceği kesinse.

Olayların toplamı (kombinasyonu) A 1 , A 2 , ..., A n, A 1 , A 2 , ..., A n olaylarından en az birinin meydana geldiği gerçeğinden oluşan böyle bir C olayıdır. Olayların toplamı belirtilir. aşağıdaki gibi:

C \u003d A 1 + A 2 + ... + A n.

Olayların ürünü (kavşak) A 1 , A 2 , ..., A n, tüm A 1 , A 2 , ..., A n olaylarının aynı anda meydana gelmesi gerçeğinden oluşan böyle bir olaya P denir. Olayların ürünü belirtilir

Olasılık teorisindeki olasılık P(A) şu şekilde davranır: sayısal karakteristik Testlerin tekrarlanan tekrarı ile herhangi bir özel rastgele A olayının meydana gelme olasılığının derecesi.

Örneğin bir zarın 1000 atışında 4 sayısı 160 defa gelir. 160/1000 = 0.16 oranı, bu test dizisinde düşen 4 sayısının göreceli sıklığını gösterir. Daha genel olarak rastgele olay sıklığı Ve bir dizi deney yaparken, belirli bir olayın meydana geldiği deney sayısının toplam deney sayısına oranını çağırırlar:

burada P*(A), A olayının frekansıdır; m, A olayının meydana geldiği deneylerin sayısıdır; n, toplam deney sayısıdır.

Rastgele bir olayın olasılığı A'ya, deney sayısı arttıkça belirli bir olayın frekanslarının gruplandırıldığı sabit bir sayı denir ( bir olayın olasılığının istatistiksel olarak belirlenmesi ). Rastgele bir olayın olasılığı P(A) ile gösterilir.

Doğal olarak, hiç kimse olasılığı belirlemek için sınırsız sayıda test yapamayacak. Buna gerek yok. Pratikte olasılık, bir olayın frekansı olarak alınabilir. büyük sayılar testler. Bu nedenle, örneğin, uzun yıllar süren gözlemler sonucunda oluşturulan istatistiksel doğum modellerinden, yenidoğanın erkek olma olasılığının 0,515 olduğu tahmin edilmektedir.

Test sırasında rastgele bir olayın diğerlerinden daha sık meydana gelmesi nedeniyle hiçbir neden yoksa ( eşit olası olaylar), teorik düşüncelere dayanarak olasılığı belirleyebiliriz. Örneğin, yazı tura atma durumunda armanın düşme sıklığını (A olayı) bulalım. Çeşitli deneyciler, birkaç bin denemede, böyle bir olayın göreceli sıklığının 0,5'e yakın değerler aldığını göstermiştir. Madeni para simetrik ise, armanın görünümü ve madalyonun karşı tarafının (B olayı) eşit olası olaylar olduğu göz önüne alındığında, frekans belirlenmeden P(A)=P(B)=0,5 yargısı yapılabilir. bu olaylardan. Olayların "eşit olasılığı" kavramı temelinde, başka bir olasılık tanımı formüle edilmiştir.

Söz konusu A olayı, A için elverişli olarak adlandırılan ve kalan n-m'de meydana gelmeyen, A için elverişsiz olarak adlandırılan m durumda gerçekleşsin.

O zaman A olayının olasılığı, kendisi için uygun olan temel olayların sayısının toplam sayılarına oranına eşittir.(bir olayın olasılığının klasik tanımı):

burada m, A olayını destekleyen temel olayların sayısıdır; n - Temel olayların toplam sayısı.

Birkaç örneğe bakalım:

Örnek 1:Bir urn 40 top içerir: 10 siyah ve 30 beyaz. Rastgele seçilen bir topun siyah olma olasılığını bulun.

Uygun durumların sayısı kavanozdaki siyah topların sayısına eşittir: m = 10. Eşit olasılığa sahip olayların (bir topun çıkarılması) toplam sayısı, kavanozdaki toplam top sayısına eşittir: n = 40. Bu olaylar uyumsuzdur, çünkü bir ve yalnızca bir top dışarı alınır. P(A) = 10/40 = 0.25

Örnek #2:Zar atıldığında çift sayı gelme olasılığını bulunuz.

Bir zar atıldığında, eşit derecede olası altı uyumsuz olay gerçekleşir: bir rakamın görünümü: 1,2,3,4,5 veya 6, yani. n = 6. Uygun durumlar, 2,4 veya 6 sayılarından birinin kaybıdır: m = 3. İstenen olasılık P(A) = m/N = 3/6 = ½.

Bir olayın olasılığının tanımından da anlaşılacağı gibi, tüm olaylar için

0 < Р(А) < 1.

Açıkçası, belirli bir olayın olasılığı 1'dir, imkansız bir olayın olasılığı 0'dır.

Olasılık toplama teoremi: Birbiriyle bağdaşmayan birkaç olaydan bir (ne olursa olsun) bir olayın meydana gelme olasılığı, onların olasılıklarının toplamına eşittir.

Uyumsuz iki A ve B olayı için, bu olayların olasılıkları, olasılıklarının toplamına eşittir:

P(A veya B)=P(A) + P(B).

Örnek #3:Bir zar atıldığında 1 veya 6 gelme olasılığını bulun.

Olay A (1. zar) ve B (6. zar) eşit derecede olasıdır: P(A) = P(B) = 1/6, yani P(A veya B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Olasılıkların eklenmesi sadece iki tane için değil, aynı zamanda herhangi bir sayıda uyumsuz olay için de geçerlidir.

Örnek 4:Bir urn 50 top içerir: 10 beyaz, 20 siyah, 5 kırmızı ve 15 mavi. Kutudan bir top çıkarma işleminde beyaz, siyah veya kırmızı bir topun ortaya çıkma olasılığını bulun.

Beyaz bir top çekme olasılığı (A olayı) P(A) = 10/50 = 1/5, siyah top (B olayı) P(B) = 20/50 = 2/5 ve kırmızı top ( olay C) P (C) = 5/50 = 1/10'dur. Buradan, olasılık ekleme formülüne göre P (A veya B veya C) \u003d P (A) + P (B) \u003d P (C) \u003d 1/5 + 2/5 + 1/ 10 \u003d 7/10

Olasılık toplama teoreminden aşağıdaki gibi iki zıt olayın olasılıklarının toplamı bire eşittir:

P(A) + P() = 1

Yukarıdaki örnekte, beyaz, siyah ve kırmızı topları çıkarmak, A 1 , P(A 1) = 7/10 olayı olacaktır. 1'in tersi olay mavi topun çekilmesidir. 15 mavi top olduğundan ve toplam top sayısı 50 olduğundan, P( 1) = 15/50 = 3/10 ve P(A) + P() = 7/10 + 3/10 = 1 elde ederiz.

Eğer А 1 , А 2 , ..., Аn olayları ikili uyumsuz olaylardan oluşan eksiksiz bir sistem oluşturuyorsa, olasılıklarının toplamı 1'e eşittir.

Genel olarak, A ve B olaylarının toplamının olasılığı şu şekilde hesaplanır:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB).

Olasılık çarpma teoremi:

A ve B olayları denir bağımsız A olayının meydana gelme olasılığı, B olayının gerçekleşip gerçekleşmemesine bağlı değilse ve bunun tersi de, B olayının meydana gelme olasılığı, A olayının gerçekleşip gerçekleşmemesine bağlı değildir.

Birlikte oluşma olasılığı bağımsız olaylar olasılıklarının çarpımına eşittir. iki etkinlik için P(A ve B)=P(A) P(B).

Örnek: Bir urn 5 siyah ve 10 beyaz top, diğer 3 siyah ve 17 beyaz top içerir. Her bir kavanozdan ilk topların çekildiği zaman, her iki topun da siyah olma olasılığını bulun.

Çözüm: Birinci kavanozdan siyah bir top çekme olasılığı (olay A) - P(A) = 5/15 = 1/3, ikinci kavanozdan siyah bir top çekme olasılığı (olay B) - P(B) = 3/ 20

P (A ve B) \u003d P (A) P (B) \u003d (1/3) (3/20) \u003d 3/60 \u003d 1/20.

Pratikte, bir B olayının olasılığı genellikle başka bir A olayının olup olmamasına bağlıdır. Bu durumda birinden bahseder şartlı olasılık , yani A olayının gerçekleştiğine göre B olayının olasılığı. Koşullu olasılık P(B/A) ile gösterilir.

Başlangıçta, sadece bir bilgi koleksiyonu ve zar oyununun ampirik gözlemleri olarak, olasılık teorisi sağlam bir bilim haline geldi. Fermat ve Pascal, ona matematiksel bir çerçeve veren ilk kişilerdi.

Ebedi olana yansımalardan olasılık teorisine

Olasılık teorisinin birçok temel formülü borçlu olduğu iki kişi, Blaise Pascal ve Thomas Bayes, derinden dindar insanlar olarak bilinir, ikincisi bir Presbiteryen bakanıydı. Görünüşe göre, bu iki bilim insanının, favorilerine iyi şanslar bahşeden belirli bir Fortune hakkındaki görüşün yanlışlığını kanıtlama arzusu, bu alanda araştırmaya ivme kazandırdı. Sonuçta, aslında, kazançları ve kayıpları ile herhangi bir şans oyunu, sadece matematiksel ilkelerin bir senfonisidir.

Hem kumarbaz hem de bilime kayıtsız kalmayan Chevalier de Mere'nin heyecanı sayesinde Pascal, olasılığı hesaplamanın bir yolunu bulmak zorunda kaldı. De Mere şu soruyla ilgilendi: "12 puan alma olasılığının %50'yi aşması için iki zar çift olarak kaç kez atmanız gerekir?". Beyefendiyi son derece ilgilendiren ikinci soru: "Bitmemiş oyunda bahsi katılımcılar arasında nasıl bölüşülür?" Elbette Pascal, olasılık teorisinin gelişiminin habersiz başlatıcısı olan de Mere'nin her iki sorusunu da başarıyla yanıtladı. İlginçtir ki, de Mere'nin kişiliği literatürde değil de bu alanda tanınmaya devam etmiştir.

Daha önce, hiçbir matematikçi henüz olayların olasılıklarını hesaplama girişiminde bulunmamıştı, çünkü bunun sadece bir tahmin çözümü olduğuna inanılıyordu. Blaise Pascal, bir olayın olasılığının ilk tanımını verdi ve bunun matematiksel olarak doğrulanabilecek belirli bir rakam olduğunu gösterdi. Olasılık teorisi, istatistiğin temeli haline geldi ve yaygın olarak kullanılmaktadır. modern bilim.

rastgelelik nedir

Sonsuz sayıda tekrarlanabilen bir test düşünürsek, rastgele bir olay tanımlayabiliriz. Bu, deneyimin olası sonuçlarından biridir.

Deneyim, belirli eylemlerin sabit koşullarda uygulanmasıdır.

Deneyim sonuçlarıyla çalışabilmek için olaylar genellikle A, B, C, D, E harfleriyle gösterilir...

Rastgele bir olayın olasılığı

Olasılığın matematiksel kısmına geçebilmek için tüm bileşenlerini tanımlamak gerekir.

Bir olayın olasılığı, bir deneyimin sonucu olarak bir olayın (A veya B) meydana gelme olasılığının sayısal bir ölçüsüdür. Olasılık P(A) veya P(B) olarak gösterilir.

Olasılık teorisi:

• güvenilir olayın Р(Ω) = 1 deneyi sonucunda gerçekleşmesi garanti edilir;
• imkansız olay asla olamaz Р(Ø) = 0;
• rastgele olay kesin ve imkansız arasındadır, yani meydana gelme olasılığı mümkündür, ancak garanti edilmez (rastgele bir olayın olasılığı her zaman 0≤P(A)≤1 arasındadır).

Olaylar arasındaki ilişkiler

Olay, A veya B bileşenlerinden en az birinin veya her ikisi - A ve B'nin uygulanmasında sayıldığında, A + B olaylarının hem biri hem de toplamı dikkate alınır.

Birbirleriyle ilgili olarak, olaylar şunlar olabilir:

• Aynı derecede mümkün.
• uyumlu.
• Uyumsuz.
• Zıt (birbirini dışlayan).
• bağımlı.

İki olay eşit olasılıkla gerçekleşebiliyorsa, o zaman bunlar eşit derecede mümkün.

A olayının meydana gelmesi, B olayının meydana gelme olasılığını geçersiz kılmazsa, uyumlu.

A ve B olayları aynı deneyde aynı anda meydana gelmiyorsa bu olaylara denir. uyumsuz. yazı tura - iyi örnek: yazıların görünümü, otomatik olarak yazıların görünmemesidir.

Bu tür uyumsuz olayların toplamının olasılığı, olayların her birinin olasılıklarının toplamından oluşur:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Bir olayın meydana gelmesi diğerinin gerçekleşmesini imkansız kılıyorsa, bunlara zıt denir. Sonra bunlardan biri A ve diğeri - Ā ("A değil" olarak okunur) olarak belirlenir. A olayının meydana gelmesi, Ā'nin meydana gelmediği anlamına gelir. Bu iki olay, olasılıkların toplamı 1'e eşit olan tam bir grup oluşturur.

Bağımlı olaylar, birbirlerinin olasılığını azaltan veya artıran karşılıklı etkiye sahiptir.

Olaylar arasındaki ilişkiler. Örnekler

Olasılık teorisinin ilkelerini ve olayların birleşimini örnekler kullanarak anlamak çok daha kolaydır.

Gerçekleştirilecek deney, topları kutudan çıkarmaktır ve her deneyin sonucu bir temel sonuçtur.

Bir olay, bir deneyimin olası sonuçlarından biridir - kırmızı top, mavi top, altı numaralı top vb.

Test numarası 1. Üçü tek sayılı mavi, diğer üçü çift sayılı kırmızı olmak üzere 6 top vardır.

Test numarası 2. Birden altıya kadar sayıları olan 6 mavi top var.

Bu örneğe dayanarak, kombinasyonları adlandırabiliriz:

• Güvenilir olay.İspanyolca'da 2 numara, "mavi topu al" olayı güvenilirdir, çünkü ortaya çıkma olasılığı 1'dir, çünkü tüm toplar mavidir ve ıskalama olamaz. Oysa "1 numaralı topu al" olayı rastgeledir.
• imkansız olay.İspanyolca'da Mavi ve kırmızı toplarla 1 numara, "mor topu al" olayı, oluşma olasılığı 0 olduğu için imkansızdır.
• Eşdeğer olaylar.İspanyolca'da 1 numara, "2 numaralı topu al" ve "3 numaralı topu al" olayları eşit derecede olasıdır ve "çift numaralı topu al" ve "2 numaralı topu al" olayları eşit derecede olasıdır. "farklı olasılıklara sahip.
• Uyumlu olaylar.Üst üste iki kez zar atma sürecinde altı almak uyumlu olaylardır.
• Uyumsuz olaylar. aynı İspanyolcada 1 No'lu etkinlikler "kırmızı topu al" ve "tek sayıyla topu al" etkinlikleri aynı deneyimde birleştirilemez.
• zıt olaylar Bunun en çarpıcı örneği yazı-tura çekmenin yazı çekmemekle aynı olduğu ve olasılıklarının toplamının her zaman 1 (tam grup) olduğu yazı turadır.
• Bağımlı olaylar. Yani, İspanyolca 1 numara, kendinize arka arkaya iki kez kırmızı bir top çıkarma hedefi koyabilirsiniz. İlk seferde çıkarma veya çıkarma, ikinci seferde çıkarma olasılığını etkiler.

İlk olayın ikincisinin olasılığını önemli ölçüde etkilediği (%40 ve %60) görülebilir.

Olay Olasılık Formülü

Falcılıktan kesin verilere geçiş, konunun matematiksel düzleme aktarılmasıyla gerçekleşir. Yani, "yüksek olasılık" veya "minimum olasılık" gibi rastgele bir olay hakkındaki yargılar belirli sayısal verilere çevrilebilir. Bu tür materyalleri değerlendirmek, karşılaştırmak ve daha karmaşık hesaplamalara dahil etmek zaten mümkündür.

Hesaplama açısından, bir olayın olasılığının tanımı, belirli bir olaya ilişkin temel olumlu sonuçların sayısının tüm olası deneyim sonuçlarının sayısına oranıdır. Olasılık, P (A) ile gösterilir; burada P, Fransızca'dan "olasılık" olarak çevrilen "olasılık" kelimesi anlamına gelir.

Yani, bir olayın olasılığının formülü:

m, A olayı için olumlu sonuçların sayısı olduğunda, n, bu deneyim için tüm olası sonuçların toplamıdır. Bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Bir olayın olasılığının hesaplanması. Örnek

İspanyolcayı ele alalım. Daha önce açıklanan toplarla 1 numara: 1/3/5 numaralı 3 mavi top ve 2/4/6 numaralı 3 kırmızı top.

Bu teste dayanarak, birkaç farklı görev düşünülebilir:

• A - kırmızı top düşüşü. 3 kırmızı top vardır ve toplamda 6 çeşidi vardır.Bir olayın olasılığının P(A)=3/6=0.5 olduğu en basit örnek budur.
• B - çift sayı bırakarak. Toplamda 3 (2,4,6) çift sayı vardır ve olası sayısal seçeneklerin toplam sayısı 6'dır. Bu olayın olasılığı P(B)=3/6=0.5'tir.
• C - 2'den büyük bir sayının kaybı Toplam olası sonuç sayısından 4 tane (3,4,5,6) seçenek vardır 6. C olayının olasılığı P(C)=4/6='dır. 0.67.

Hesaplamalardan da anlaşılacağı gibi, olası olumlu sonuçların sayısı A ve B'den daha fazla olduğu için C olayının olasılığı daha yüksektir.

Uyumsuz etkinlikler

Bu tür olaylar aynı deneyimde aynı anda ortaya çıkamaz. İspanyolca'da olduğu gibi 1 numara, aynı anda mavi ve kırmızı bir top elde etmek imkansızdır. Yani, mavi veya kırmızı bir top alabilirsiniz. Aynı şekilde, bir zarda bir çift ve bir tek sayı aynı anda görünemez.

İki olayın olasılığı, toplamlarının veya ürünlerinin olasılığı olarak kabul edilir. Bu tür A + B olaylarının toplamı, bir A veya B olayının ortaya çıkmasından ve bunların AB'sinin ürününden - her ikisinin de görünümünden oluşan bir olay olarak kabul edilir. Örneğin, bir atışta iki zarın yüzünde aynı anda iki altının görünmesi.

Birkaç olayın toplamı, bunlardan en az birinin meydana geldiğini ima eden bir olaydır. Birkaç olayın ürünü, hepsinin ortak oluşumudur.

Olasılık teorisinde, bir kural olarak, "ve" birliğinin kullanımı toplamı, "veya" birliğini - çarpmayı belirtir. Örnekli formüller, olasılık teorisinde toplama ve çarpma mantığını anlamanıza yardımcı olacaktır.

Uyumsuz olayların toplamının olasılığı

Uyumsuz olayların olasılığı dikkate alınırsa, olayların toplamının olasılığı, olasılıklarının toplamına eşittir:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Örneğin: İspanyolca olma olasılığını hesaplıyoruz. Mavi ve kırmızı toplarla 1 numara, 1 ile 4 arasında bir sayı bırakacaktır. Tek bir işlemde değil, temel bileşenlerin olasılıklarının toplamı ile hesaplayacağız. Yani, böyle bir deneyde tüm olası sonuçlardan sadece 6 top veya 6 tane vardır. Koşulu sağlayan sayılar 2 ve 3'tür. 2'nin gelme olasılığı 1/6, 3'ün gelme olasılığı da 1/6'dır. 1 ile 4 arasında bir sayı gelme olasılığı:

Tam bir grubun uyumsuz olaylarının toplamının olasılığı 1'dir.

Yani, bir küp deneyinde tüm sayıları alma olasılıklarını toplarsak, sonuç olarak bir tane elde ederiz.

Bu, zıt olaylar için de geçerlidir, örneğin, bilindiği gibi, bir tarafının A olayı ve diğerinin zıt olay Ā olduğu bir madeni para ile yapılan deneyde,

Р(A) + Р(Ā) = 1

Uyumsuz olaylar üretme olasılığı

Olasılıkların çarpımı, bir gözlemde iki veya daha fazla uyumsuz olayın meydana gelmesi düşünüldüğünde kullanılır. A ve B olaylarının aynı anda ortaya çıkma olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir veya:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Örneğin, olasılık İki deneme sonucunda 1 numara, mavi bir top iki kez görünecek, şuna eşit:

Yani, iki top çıkarma denemesi sonucunda sadece mavi topların çıkarılacağı bir olayın meydana gelme olasılığı %25'tir. Bu problem üzerinde pratik deneyler yapmak ve durumun gerçekten böyle olup olmadığını görmek çok kolaydır.

Ortak Etkinlikler

Olaylardan birinin ortaya çıkışı diğerinin ortaya çıkmasıyla örtüşebildiğinde, olaylar ortak olarak kabul edilir. Ortak olmalarına rağmen, bağımsız olayların olasılığı dikkate alınır. Örneğin, iki zar atmak, her ikisinin de üzerine 6 sayısı düştüğünde bir sonuç verebilir.Olaylar çakışıp aynı anda ortaya çıkmasına rağmen, birbirinden bağımsızdır - sadece bir altı düşebilir, ikinci zarın hiçbir değeri yoktur. üzerinde etkisi.

Ortak olayların olasılığı, toplamlarının olasılığı olarak kabul edilir.

Ortak olayların toplamının olasılığı. Örnek

Birbirlerine göre ortak olan A ve B olaylarının toplamının olasılığı, olayın olasılıklarının toplamı ile çarpımlarının olasılığının (yani, ortak uygulamalarının) toplamına eşittir:

R eklemi. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Tek atışta hedefi vurma olasılığının 0,4 olduğunu varsayalım. Ardından A olayı - ilk denemede hedefi vurmak, B - ikinci denemede. Bu olaylar ortaktır, çünkü hem birinci atıştan hem de ikinci atıştan hedefi vurmak mümkündür. Ancak olaylar bağımlı değildir. Hedefi iki atışla (en az bir) vurma olayının olasılığı nedir? Formüle göre:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Sorunun cevabı: "İki atışla hedefi vurma olasılığı %64'tür."

Bir olayın olasılığına ilişkin bu formül, bir olayın ortak meydana gelme olasılığının P(AB) = 0 olduğu uyumsuz olaylara da uygulanabilir. Bu, uyumsuz olayların toplamının olasılığının özel bir durum olarak kabul edilebileceği anlamına gelir. önerilen formülün

Netlik için olasılık geometrisi

İlginç bir şekilde, ortak olayların toplamının olasılığı, birbiriyle kesişen iki A ve B alanı olarak temsil edilebilir. Resimden de görebileceğiniz gibi, birliklerinin alanı, toplam alan eksi kesişimlerinin alanına eşittir. Bu geometrik açıklama, görünüşte mantıksız olan formülü daha anlaşılır kılıyor. Olasılık teorisinde geometrik çözümlerin nadir olmadığını unutmayın.

Bir dizi (ikiden fazla) ortak olay toplamının olasılığının tanımı oldukça zahmetlidir. Hesaplamak için, bu durumlar için sağlanan formülleri kullanmanız gerekir.

Bağımlı olaylar

Birinin (A) meydana gelmesi, diğerinin (B) meydana gelme olasılığını etkiliyorsa, bağımlı olaylar denir. Ayrıca, A olayının hem meydana gelmesinin hem de olmamasının etkisi hesaba katılır. Olaylar tanım gereği bağımlı olarak adlandırılsa da, bunlardan sadece biri bağımlıdır (B). Olağan olasılık, P(B) veya bağımsız olayların olasılığı olarak ifade edildi. Bağımlılar durumunda, yeni bir kavram tanıtılır - bağlı olduğu A olayının (hipotez) meydana gelmesi koşuluyla bağımlı B olayının olasılığı olan koşullu olasılık P A (B).

Ancak A olayı da rastgeledir, dolayısıyla hesaplamalarda dikkate alınması gereken ve alınabilecek bir olasılığa da sahiptir. Aşağıdaki örnek, bağımlı olaylar ve bir hipotezle nasıl çalışılacağını gösterecektir.

Bağımlı olayların olasılığını hesaplama örneği

Bağımlı olayları hesaplamak için iyi bir örnek, standart bir iskambil destesidir.

36 kartlık bir deste örneğinde, bağımlı olayları düşünün. Desteden çekilen ikinci kartın, çekilen ilk kartın elmas rengi olma olasılığını belirlemek gerekir:

1. Tef.
2. Başka bir takım elbise.

Açıktır ki, ikinci B olayının olasılığı ilk A'ya bağlıdır. Dolayısıyla, destede 1 kart (35) ve 1 elmas (8) daha az olan ilk seçenek doğruysa, B olayının olasılığı:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0.23

İkinci seçenek doğruysa, destede 35 kart var ve toplam tef sayısı (9) hala korunuyorsa, aşağıdaki olayın olasılığı B'dir:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

A olayının birinci kartın elmas olması şartına bağlı olması durumunda, B olayının olasılığının azaldığı ve bunun tersi de görülebilir.

Bağımlı olayların çarpımı

Bir önceki bölüme dayanarak, ilk olayı (A) bir gerçek olarak kabul ediyoruz, ancak özünde rastgele bir karaktere sahip. Bu olayın olasılığı, yani bir iskambil destesinden bir tef çıkarılması şuna eşittir:

P(A) = 9/36=1/4

Teori kendi başına var olmadığından ve pratik amaçlara hizmet etmesi gerektiğinden, çoğu zaman bağımlı olayların meydana gelme olasılığının gerekli olduğunu belirtmek yerinde olur.

Bağımlı olayların olasılıklarının çarpımına ilişkin teoreme göre, birlikte bağımlı A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı, bir A olayının olasılığı ile B olayının koşullu olasılığı (A'ya bağlı olarak) çarpımına eşittir:

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

O zaman desteli örnekte, bir takım elmaslı iki kart çekme olasılığı:

9/36*8/35=0.0571 veya %5,7

Ve önce elmas değil, sonra elmas çıkarma olasılığı şuna eşittir:

27/36*9/35=0.19 veya %19

Görüldüğü gibi, önce elmastan başka bir renkten bir kart çekildiği takdirde B olayının gerçekleşme olasılığı daha fazladır. Bu sonuç oldukça mantıklı ve anlaşılır.

Bir olayın toplam olasılığı

Koşullu olasılıklı bir problem çok yönlü hale geldiğinde, geleneksel yöntemlerle hesaplanamaz. İkiden fazla hipotez olduğunda, yani A1, A2, ..., A n , .. şu koşul altında tam bir olay grubu oluşturur:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A ben ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Bu nedenle, A1, A2, ..., A n rasgele olaylarından oluşan eksiksiz bir grupla B olayının toplam olasılığının formülü şöyledir:

Geleceğe bir bakış

Rastgele bir olayın olasılığı, bilimin birçok alanında esastır: ekonometri, istatistik, fizik, vb. Bazı süreçler deterministik olarak tanımlanamadığından, kendileri olasılıklı olduklarından, özel çalışma yöntemlerine ihtiyaç vardır. Bir olay teorisinin olasılığı, herhangi bir teknolojik alanda bir hata veya arıza olasılığını belirlemenin bir yolu olarak kullanılabilir.

Denilebilir ki, olasılığı tanıyarak, bir şekilde formüller prizmasından bakarak geleceğe teorik bir adım atıyoruz.

• Olasılık - derece (göreceli ölçü, niceleme) bazı olayların meydana gelme olasılığı. Bazı olası bir olayın gerçekten meydana gelmesinin nedenleri, karşıt nedenlere ağır bastığında, bu olaya olası, aksi halde - olası veya olasılık dışı denir. Olumlu temellerin olumsuz olanlara üstünlüğü ve bunun tersi, farklı derecelerde olabilir, bunun sonucunda olasılık (ve olasılıksızlık) daha büyük veya daha azdır. Bu nedenle, özellikle az ya da çok doğru bir nicel değerlendirmenin imkansız veya aşırı zor olduğu durumlarda, olasılık genellikle nitel düzeyde tahmin edilir. Olasılığın "seviyelerinin" çeşitli dereceleri mümkündür.

  Olasılığın matematiksel bir bakış açısıyla incelenmesi özel bir disiplindir - olasılık teorisi. Olasılık teorisinde ve matematiksel istatistik olasılık kavramı, bir olayın sayısal bir özelliği olarak resmileştirilir - bir olasılık ölçüsü (veya değeri) - bir dizi olay üzerinde bir ölçü (bir dizi temel olayın alt kümeleri), değerleri alarak

  (\görüntüleme stili 0)

  (\görüntüleme stili 1)

  Anlam

  (\görüntüleme stili 1)

  Geçerli bir olaya karşılık gelir. İmkansız bir olayın olasılığı 0'dır (tersi genellikle her zaman doğru değildir). Bir olayın olma olasılığı ise

  (\görüntüleme stili p)

  O zaman gerçekleşmeme olasılığı eşittir

  (\ Displaystyle 1-p)

  Özellikle, olasılık

  (\görüntüleme stili 1/2)

  Olayın olma ve olmama olasılığının eşit olması anlamına gelir.

  Olasılığın klasik tanımı, sonuçların denkliği kavramına dayanmaktadır. Olasılık, belirli bir olayı destekleyen sonuçların sayısının eşit derecede olası sonuçların toplam sayısına oranıdır. Örneğin, rastgele bir yazı tura atışında yazı veya tura gelme olasılığı, yalnızca bu iki olasılığın gerçekleştiği varsayılırsa ve eşit olasılıklıysa 1/2'dir. Olasılığın bu klasik "tanımı", sonsuz sayıda olası değer durumunda genelleştirilebilir - örneğin, sınırlı bir alanın herhangi bir noktasında (nokta sayısı sonsuzdur) eşit olasılıkla bir olay meydana gelebilirse. boşluk (düzlem), o zaman bu kabul edilebilir alanın bir bölümünde meydana gelme olasılığı, bu bölümün hacminin (alanının) tüm olası noktaların alanının hacmine (alanına) oranına eşittir. .

  Olasılığın ampirik "tanımı", yeterince fazla sayıda denemeyle, sıklığın bu olayın nesnel olasılık derecesine yönelmesi gerektiği gerçeğine dayanarak, bir olayın meydana gelme sıklığı ile ilgilidir. AT modern sunum olasılık teorisi, olasılık aksiyomatik olarak şu şekilde tanımlanır özel durum bir kümenin ölçülerinin soyut teorisi. Bununla birlikte, soyut ölçü ile bir olayın olasılık derecesini ifade eden olasılık arasındaki bağlantı, tam olarak onun gözleminin sıklığıdır.

  Belirli fenomenlerin olasılıksal açıklaması, geniş kullanım modern bilimde, özellikle ekonometride, istatistiksel fizik makroskopik (termodinamik) sistemler, parçacıkların hareketinin klasik deterministik bir tanımı durumunda bile, tüm parçacık sisteminin deterministik bir tanımının pratik olarak mümkün ve uygun görünmediği durumlarda. AT kuantum fiziği açıklanan süreçlerin kendileri olasılıklı bir yapıya sahiptir.

Rastgele bir olayın olasılığının çeşitli tanımları

Olasılık teorisi – matematik bilimi, bazı olayların olasılıkları ile, ilk olaylarla ilişkili diğer olayların olasılıklarının tahmin edilmesini sağlar.

"Bir olayın olasılığı" kavramının bir tanımı olmadığının teyidi, olasılık teorisinde bu kavramı açıklamaya yönelik çeşitli yaklaşımlar olduğu gerçeğidir:

Olasılığın klasik tanımı rastgele olay .

Bir olayın olasılığı, olay için elverişli deneyim sonuçlarının sayısının toplam deneyim sonuçlarının sayısına oranına eşittir.

Neresi

Deneyimin olumlu sonuçlarının sayısı;

Toplam deneyim sonuçları sayısı.

Deneyimin sonucuna denir elverişli bir olay için, deneyimin bu sonucunda bir olay ortaya çıktıysa. Örneğin, olay bir kırmızı takım kartının ortaya çıkmasıysa, o zaman bir elmas asının ortaya çıkması, olay için elverişli bir sonuçtur.

Örnekler.

1) Zar, 6 yüzün herhangi birine düşebileceğinden ve 5 puan yalnızca bir yüzde olduğundan, zarın yüzeyinde 5 puan alma olasılığı eşittir.

2) Bir madeni para bir kez havaya atıldığında bir armanın düşme olasılığı , çünkü bir madeni para bir arma veya yazı ile düşebilir - iki deneyim sonucu ve arması yalnızca bir tarafında tasvir edilmiştir. madeni para.

3) Kutuda 5'i siyah olmak üzere 12 top varsa, toplamda 12 mantar sonucu olduğundan ve bunlardan 5'i olumlu olduğundan, siyah bir topun çıkma olasılığı 'dir.

Yorum. Olasılığın klasik tanımı iki koşul altında geçerlidir:

1) deneyin tüm sonuçları eşit derecede olası olmalıdır;

2) deneyimin sınırlı sayıda sonucu olmalıdır.

Uygulamada, olayların eşit olasılıklı olduğunu kanıtlamak zor olabilir: örneğin, bir yazı tura atma ile bir deney yaparken, deneyin sonucu, madeni paranın asimetrisi, şeklinin etkisi gibi faktörlerden etkilenebilir. uçuşun aerodinamik özellikleri, atmosferik koşullar vb., ayrıca sonsuz sayıda sonucu olan deneyler vardır.

Örnek . Çocuk topu atar ve atabileceği maksimum mesafe 15 metredir. Topun 3m işaretinin ötesine uçma olasılığını bulun.

Çözüm.İstenen olasılık, 3 m işaretinin (uygun alan) ötesinde bulunan segmentin uzunluğunun tüm segmentin uzunluğuna (olası tüm sonuçlar) oranı olarak düşünülmesi önerilir:

Örnek. Yarıçapı 1 olan bir daireye rastgele bir nokta atılıyor. Noktanın daire içinde yazılı bir kareye düşme olasılığı nedir?

Çözüm.Bir noktanın kareye düşme olasılığı, bu durumda karenin alanının (uygun alan) dairenin alanına (noktanın bulunduğu şeklin toplam alanı) oranı olarak anlaşılır. Atıldı):

Bir karenin köşegeni 2'dir ve Pisagor teoremi kullanılarak kenarı cinsinden ifade edilir:

Uzayda da benzer bir akıl yürütme yapılır: hacim gövdesinde rastgele bir nokta seçilirse, noktanın hacim gövdesinin bir parçası olma olasılığı, olumlu kısmın hacminin toplama oranı olarak hesaplanır. vücut hacmi:

Tüm durumları birleştirerek, geometrik olasılığı hesaplamak için bir kural formüle edebiliriz:

Bir bölgede rastgele bir nokta seçilirse, noktanın bu alanın bir parçası olma olasılığı şuna eşittir:

, nerede

Alanın ölçüsünü gösterir: bir segment durumunda, bu uzunluktur, düz bir alan olması durumunda, bu alandır, üç boyutlu bir cisim olması durumunda, bu yüzeydeki hacimdir , yüzey alanı, eğri üzerinde, eğrinin uzunluğu.

Geometrik olasılık kavramının ilginç bir uygulaması toplantı problemidir.

Bir görev. (Bir toplantı hakkında)

İki öğrenci, örneğin sabah saat 10'da aşağıdaki koşullarda buluşmayı kabul etti: her biri saat 10'dan 11'e kadar herhangi bir zamanda gelir ve 10 dakika bekler, ardından ayrılır. Karşılaşma olasılığı nedir?

Çözüm.Sorunun koşullarını şu şekilde gösteriyoruz: eksende meydana gelenlerden ilkinin zamanını ve eksende - ikincisinin zamanını çiziyoruz. Deney bir saat sürdüğü için, her iki eksende de uzunluk 1'i ayırdık. Toplantının aynı anda geldiği zaman anları, karenin köşegeniyle yorumlanır.

İlkinin zaman içinde bir noktada gelmesine izin verin. Buluşma noktasına ikinci öğrencinin geliş saati arasında ise öğrenciler buluşur.

Herhangi bir an için bu şekilde tartışarak, bir toplantı olasılığını yorumlayan zaman alanının (birinci ve ikinci öğrencilerin doğru yerde olması (“zamanların kesişimi”) iki düz çizgi arasında olduğunu anlıyoruz: ve . Buluşma olasılığı, geometrik olasılık formülü ile belirlenir:

1933'te Kolmogorov A.M. (1903 - 1987), günümüzde genel olarak kabul edilen olasılık teorisinin inşası ve sunumuna aksiyomatik bir yaklaşım önerdi. Resmi bir aksiyomatik teori olarak bir olasılık teorisi oluştururken, yalnızca temel bir kavramı - rastgele bir olayın olasılığı - tanıtmak değil, aynı zamanda aksiyomları (sezgisel olarak doğru olan, kanıtsız kabul edilen ifadeler) kullanarak özelliklerini tanımlamak gerekir.

Bu tür ifadeler, bir olayın göreceli meydana gelme sıklığının özelliklerine benzer ifadelerdir.

Rastgele bir olayın göreceli meydana gelme sıklığı bir olayın denemelerde meydana gelme sayısının gerçekleştirilen toplam deneme sayısına oranıdır:

Açıkçası, belirli bir olay için, imkansız bir olay için, uyumsuz olaylar için ve aşağıdakiler doğrudur:

Örnek. Son ifadeyi açıklayalım. 36 kartlık bir desteden kart çıkarmalarına izin verin. Olay, elmasların ortaya çıkması anlamına gelsin, olay kalplerin ortaya çıkması ve olay - kırmızı takımın bir kartının ortaya çıkması anlamına gelsin. Açıkçası, olaylar ve uyumsuz. Kırmızı bir takım göründüğünde, etkinliğin yanına, elmaslar göründüğünde - etkinliğin yakınında ve solucanlar göründüğünde - etkinliğin yanına bir işaret koyarız. Etiketin olayın yakınına veya olayın yakınına yerleştirilmesi durumunda, yani etiketin olayın yanına yerleştirileceği açıktır. .

Rastgele bir olayın olasılığını, olayla ilişkili sayıya aşağıdaki kurala göre diyelim:

Uyumsuz olaylar ve

Yani,