Matematiksel istatistik, “istatistiksel verilerin toplanması, sistemleştirilmesi, işlenmesi ve yorumlanmasının yanı sıra bunları bilimsel veya pratik sonuçlar için kullanmaya yönelik matematiksel yöntemlere ayrılmış bir matematik bölümü olarak anlaşılır. Matematiksel istatistiklerin kuralları ve prosedürleri, her bir problemde elde edilen sonuçların doğruluğunu ve güvenilirliğini mevcut istatistiksel materyal temelinde değerlendirmeyi mümkün kılan olasılık teorisine dayanmaktadır. Aynı zamanda, istatistiksel veriler, belirli özelliklere sahip, az ya da çok kapsamlı bir koleksiyondaki nesnelerin sayısı hakkındaki bilgileri ifade eder.

Çözülmekte olan problemlerin türüne göre, matematiksel istatistikler genellikle üç bölüme ayrılır: veri tanımı, tahmin ve hipotez testi.

İşlenen istatistiksel verilerin türüne göre, matematiksel istatistikler dört alana ayrılır:

— tek boyutlu istatistikler (istatistikler rastgele değişkenler), gözlem sonucunun açıklandığı gerçek Numara;

- çok boyutlu istatistiksel analiz, nesne üzerindeki gözlemin sonucunun birkaç sayı (vektör) ile tanımlandığı yerde;

- gözlem sonucunun bir fonksiyon olduğu rastgele süreçlerin ve zaman serilerinin istatistikleri;

- gözlem sonucunun sayısal olmayan bir yapıya sahip olduğu sayısal olmayan nitelikteki nesnelerin istatistikleri, örneğin bir küme ( geometrik şekil), kalitatif bazda ölçüm sonucu elde edilen veya sipariş edilen.

Tarihsel olarak, sayısal olmayan nitelikteki nesnelerin istatistiklerinin bazı alanları (özellikle, kusurlu ürünlerin yüzdesini tahmin etme ve bununla ilgili hipotezleri test etme sorunları) ve tek boyutlu istatistikler ilk ortaya çıkanlardı. matematiksel aparat onlar için daha kolaydır, bu nedenle örnekleri genellikle matematiksel istatistiklerin temel fikirlerini gösterir.

Yalnızca bu veri işleme yöntemleri, yani. matematiksel istatistikler, ilgili gerçek fenomen ve süreçlerin olasılıksal modellerine dayanan kanıta dayalıdır. Hakkında tüketici davranış modelleri, risklerin oluşumu, teknolojik ekipmanın işleyişi, bir deneyin sonuçlarının elde edilmesi, bir hastalığın seyri vb. Gerçek bir olgunun olasılıksal modeli, eğer söz konusu miktarlar ve bunlar arasındaki ilişkiler olasılık teorisi ile ifade edilirse oluşturulmuş olarak kabul edilmelidir.

Gerçekliğin olasılıksal modeline uygunluk, yani. yeterliliği, özellikle hipotezleri test etmek için istatistiksel yöntemler yardımıyla doğrulanır.

İnanılmaz veri işleme yöntemleri keşif amaçlıdır, sınırlı istatistiksel malzeme temelinde elde edilen sonuçların doğruluğunu ve güvenilirliğini değerlendirmeyi mümkün kılmadıkları için yalnızca ön veri analizinde kullanılabilirler.

Olasılıksal ve istatistiksel yöntemler, bir fenomenin veya sürecin olasılıksal bir modelini oluşturmanın ve doğrulamanın mümkün olduğu her yerde uygulanabilir. Numune verilerinden elde edilen sonuçlar tüm popülasyona aktarıldığında (örneğin, bir numuneden tüm ürün serisine) bunların kullanımı zorunludur.

Spesifik uygulama alanlarında, hem olasılıksal-istatistiksel geniş uygulama yöntemleri hem de spesifik yöntemler kullanılmaktadır. Örneğin, ürün kalite yönetiminin istatistiksel yöntemlerine ayrılmış üretim yönetimi bölümünde, uygulamalı matematiksel istatistikler (deneylerin tasarımı dahil) kullanılır. Yöntemlerinin yardımıyla, teknolojik süreçlerin doğruluğu ve kararlılığının istatistiksel bir analizi ve kalitenin istatistiksel bir değerlendirmesi gerçekleştirilir. Spesifik yöntemler, ürün kalitesinin istatistiksel kabul kontrolünü, teknolojik süreçlerin istatistiksel düzenlemesini, güvenilirliğin değerlendirilmesini ve kontrolünü vb. içerir.

Güvenilirlik teorisi ve kuyruk teorisi gibi uygulamalı olasılıksal-istatistiksel disiplinler yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunlardan ilkinin içeriği başlıktan açıktır, ikincisi rastgele zamanlarda çağrı alan bir telefon santrali gibi sistemlerin incelenmesiyle ilgilidir - telefonlarında numara çeviren abonelerin gereksinimleri. Bu gereksinimlerin hizmet süresi, yani. konuşmaların süresi de rastgele değişkenler tarafından modellenir. Bu disiplinlerin gelişimine büyük katkı, SSCB Bilimler Akademisi Sorumlu Üyesi A.Ya. Khinchin (1894-1959), Ukrayna SSR B.V. Bilimler Akademisi akademisyeni Gnedenko (1912-1995) ve diğer yerli bilim adamları.

Rastgele fenomenler alanındaki her araştırma, her zaman deneye, deneysel verilere dayanır. Bir nesnenin herhangi bir özelliği incelenirken toplanan sayısal verilere denir. istatistiksel. İstatistiksel veriler, çalışmanın ilk materyalidir. Bilimsel veya pratik değere sahip olmaları için matematiksel istatistik yöntemleriyle işlenmeleri gerekir.

Matematik istatistikleri büyük rastgele olayların gözlemleri sonucunda elde edilen istatistiksel deneysel verilerin kaydedilmesi, tanımlanması ve analiz edilmesi için yöntemlerin geliştirilmesi olan bilimsel bir disiplindir.

Matematiksel istatistiklerin ana görevleri şunlardır:

bir rastgele değişkenin veya bir rastgele değişkenler sisteminin dağılım yasasının belirlenmesi;

hipotezlerin makullüğünü test etmek;

bilinmeyen dağılım parametrelerinin belirlenmesi.

Tüm matematiksel istatistik yöntemleri, olasılık teorisine dayanmaktadır. Bununla birlikte, çözülmekte olan problemlerin özgüllüğü nedeniyle, matematiksel istatistik, olasılık teorisinden bağımsız bir alana ayrılmıştır. Olasılık teorisinde olgunun modelinin verildiği kabul edilir ve bu olgunun olası gerçek seyri hesaplanır (Şekil 1), o zaman matematiksel istatistikte istatistiksel verilere dayalı olarak uygun bir olasılıksal model seçilir (Şekil 2). ).

Şekil 1. Olasılık teorisinin genel problemi

İncir. 2. Matematiksel istatistiklerin genel problemi

Bilimsel bir disiplin olarak matematiksel istatistik, olasılık teorisi ile birlikte gelişmiştir. Bu bilimin matematiksel aygıtı 19. yüzyılın ikinci yarısında inşa edildi.

2. Genel popülasyon ve örneklem.

İstatistiksel yöntemleri incelemek için genel ve örnek popülasyon kavramları tanıtılır. Genel olarak, altında Genel popülasyon dağıtım fonksiyonu ile X rastgele değişkeni olarak anlaşılır
. Belirli bir rasgele değişken X için bir numune seti veya bir hacim numunesi bir kümedir.
bu miktarın bağımsız gözlemleri, nerede rasgele değişken X'in örnek değeri veya uygulaması olarak adlandırılır. Böylece, örneklemden örneğe değiştiği için sayı (deney yapılmışsa ve örnek alınmışsa) ve rastgele değişkenler (deneyden önce) olarak kabul edilebilir.

örnek 1. Bir ağaç gövdesinin kalınlığının yüksekliğine bağlılığını belirlemek için 200 ağaç seçildi. Bu durumda örneklem büyüklüğü n=200'dür.

Örnek 2 Daire testere üzerinde yonga levhaların kesilmesi sonucunda, spesifik kesme işinin 15 değeri elde edildi. Bu durumda, n=15.

D
Örneklem verilerine göre ilgilendiğimiz genel popülasyonun özelliğini güvenle yargılayabilmek için, örneğin nesnelerinin onu doğru bir şekilde temsil etmesi, yani örneklemin doğru bir şekilde temsil edilmesi gerekir. temsilci(temsilci). Numunenin temsil edilebilirliği genellikle nesnelerin rastgele seçilmesiyle sağlanır: genel popülasyonun her bir nesnesine, diğerleriyle birlikte örneğe dahil edilme olasılığı eşittir.

Şek. 3. Örneklemin temsil edilebilirliğinin gösterilmesi

Matematik istatistikleri matematik gibi bir bilimin ana bölümlerinden biridir ve belirli verileri işlemek için yöntem ve kuralları inceleyen bir daldır. Başka bir deyişle, örnek anketlerine dayalı olarak, aynı nesnelerden oluşan geniş koleksiyonların doğasında bulunan kalıpları ortaya çıkarmanın yollarını araştırır.

Bir görev bu bölüm Elde edilen sonuçlara dayalı olarak, gelişen olayların doğası hakkında olasılığı tahmin etmek veya belirli bir karar vermek için yöntemler oluşturmaktan oluşur. Verileri tanımlamak için tablolar, çizelgeler ve korelasyon alanları kullanılır. nadiren uygulanır.

Matematiksel istatistikler bilimin çeşitli alanlarında kullanılmaktadır. Örneğin, homojen olgu ve nesne kümeleri hakkındaki bilgileri işlemek ekonomi için önemlidir. Endüstri, personel, kar verileri vb. Tarafından üretilen ürünler olabilirler. Gözlem sonuçlarının matematiksel doğasına bağlı olarak, sayıların istatistiklerini, sayısal olmayan nitelikteki işlevlerin ve nesnelerin analizini ve çok boyutlu olarak ayırt edilebilir. analiz. Ayrıca, genel ve özel (bağımlılıkların restorasyonu, sınıflandırmaların kullanımı, seçici çalışmalar ile ilgili) görevleri dikkate alırlar.

Bazı ders kitaplarının yazarları matematiksel istatistik teorisinin olasılık teorisinin sadece bir bölümü olduğuna inanırken, diğerleri onun kendi amaçları, amaçları ve yöntemleri ile bağımsız bir bilim olduğuna inanmaktadır. Ancak, her durumda, kullanımı çok kapsamlıdır.

Bu nedenle, matematiksel istatistikler en açık şekilde psikolojide uygulanabilir. Kullanımı, uzmanın doğru bir şekilde kanıtlamasına, veriler arasındaki ilişkiyi bulmasına, genelleştirmesine, birçok mantıksal hatadan kaçınmasına ve çok daha fazlasına izin verecektir. Şunu veya bu psikolojik fenomeni veya kişilik özelliğini hesaplama prosedürleri olmadan ölçmenin genellikle imkansız olduğuna dikkat edilmelidir. Bu, bu bilimin temellerinin gerekli olduğunu göstermektedir. Başka bir deyişle, olasılık teorisinin kaynağı ve temeli olarak adlandırılabilir.

İstatistiksel verilerin dikkate alınmasına dayanan araştırma yöntemi diğer alanlarda kullanılmaktadır. Bununla birlikte, farklı bir köken doğasına sahip nesnelere uygulandığında özelliklerinin her zaman benzersiz olduğu hemen belirtilmelidir. Bu nedenle, fizik bilimini tek bir bilimde birleştirmenin bir anlamı yoktur. Bu yöntemin genel özellikleri, belirli bir gruba dahil olan belirli sayıda nesneyi saymanın yanı sıra dağılımı incelemeye indirgenmiştir. nicel özellikler ve belirli sonuçlara ulaşmak için olasılık teorisinin uygulanması.

Matematiksel istatistiklerin unsurları fizik, astronomi vb. alanlarda kullanılır. Burada, özelliklerin ve parametrelerin değerleri, iki örnekte herhangi bir özelliğin çakışması hakkında hipotezler, dağılımın simetrisi hakkında ve çok daha fazlası olabilir. düşünülen.

Matematiksel istatistikler bunların uygulanmasında önemli bir rol oynar ve amaçları genellikle hipotezleri tahmin etmek ve test etmek için yeterli yöntemler oluşturmaktır. Şu anda, bilgisayar teknolojileri bu bilimde büyük önem taşımaktadır. Yalnızca hesaplama sürecini önemli ölçüde basitleştirmeye değil, aynı zamanda çoğaltma için veya pratikte elde edilen sonuçların uygunluğunu incelerken örnekler oluşturmaya da izin verirler.

Genel durumda, matematiksel istatistik yöntemleri iki sonuç çıkarmaya yardımcı olur: ya incelenen verilerin doğası veya özellikleri ve ilişkileri hakkında istenen kararı vermek ya da elde edilen sonuçların sonuç çıkarmak için yeterli olmadığını kanıtlamak.

Matematik istatistikleri ile ilgilenen modern bir matematik dalıdır. istatistiksel açıklama deney ve gözlemlerin sonuçları ve ayrıca bina Matematiksel modeller kavramları içeren olasılıklar. Matematiksel istatistiklerin teorik temeli, olasılık teorisi.

Matematiksel istatistiklerin yapısında, geleneksel olarak iki ana bölüm ayırt edilir: tanımlayıcı istatistikler ve istatistiksel çıkarım (Şekil 1.1).

Pirinç. 1.1. Matematiksel istatistiklerin ana bölümleri

Tanımlayıcı istatistikler için kullanılır:

o bir değişkenin göstergelerinin genelleştirilmesi (rastgele bir örneğin istatistikleri);

o iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkilerin belirlenmesi (korelasyon-regresyon analizi).

Tanımlayıcı istatistikler, yeni bilgiler elde etmeyi, hızlı bir şekilde anlamayı ve kapsamlı bir şekilde değerlendirmeyi mümkün kılar, yani adını haklı çıkaran çalışma nesnelerini tanımlamanın bilimsel işlevini yerine getirir. Tanımlayıcı istatistik yöntemleri, bir dizi bireysel deneysel veriyi, algı için görsel olan bir form ve sayı sistemine dönüştürmek için tasarlanmıştır: frekans dağılımları; trend göstergeleri, değişkenlik, iletişim. Bu yöntemler, istatistiksel çıkarımların uygulanması için temel teşkil eden rastgele bir örneğin istatistiklerini hesaplar.

İstatiksel sonuç fırsat verin:

o örnek istatistiklerin doğruluğunu, güvenilirliğini ve etkinliğini değerlendirmek, istatistiksel araştırma sürecinde meydana gelen hataları bulmak (istatistiksel değerlendirme)

o örnek istatistikler temelinde elde edilen genel popülasyonun parametrelerini özetlemek (kontrol istatistiksel hipotezler).

ana hedef bilimsel araştırma- bu, genellikle genel nüfus olarak adlandırılan geniş bir fenomen, kişi veya olay sınıfı hakkında yeni bilgilerin edinilmesidir.

Nüfusçalışma nesnelerinin toplamıdır, örneklem- bilimsel olarak doğrulanmış belirli bir şekilde oluşturulan kısmı 2.

"Genel nüfus" terimi, incelenmekte olan büyük ama sınırlı bir nesne kümesi söz konusu olduğunda kullanılır. Örneğin, 2009 yılında Ukrayna'daki başvuranların toplamı veya çocukların toplamı hakkında okul öncesi yaş Rivne şehri. Genel popülasyonlar önemli hacimlere ulaşabilir, sonlu ve sonsuz olabilir. Pratikte, kural olarak, sonlu kümelerle ilgilenilir. Ve eğer genel popülasyonun büyüklüğünün numunenin büyüklüğüne oranı 100'den fazlaysa, o zaman Glass ve Stanley'e göre, sonlu ve sonsuz popülasyonlar için tahmin yöntemleri esasen aynı sonuçları verir. Genel küme, bazı özniteliklerin tam değer kümesi olarak da adlandırılabilir. Örneklemin genel popülasyona ait olması, örneklemin özelliklerine göre genel popülasyonun özelliklerinin değerlendirilmesinde temel dayanaktır.

Ana fikir matematiksel istatistikler, çoğu bilimsel problemde genel popülasyonun tüm nesnelerinin eksiksiz bir şekilde incelenmesinin, çok fazla zaman ve önemli maddi maliyetler gerektirdiğinden, pratik olarak imkansız veya ekonomik olarak pratik olmadığı inancına dayanmaktadır. Bu nedenle, matematiksel istatistiklerde kullanılır. seçici yaklaşım, prensibi, Şekil 1'deki şemada gösterilmiştir. 1.2.

Örneğin, oluşum teknolojisine göre örnekler rastgele (basit ve sistematik), tabakalı, kümelenmiş (bkz. Bölüm 4).

Pirinç. 1.2. Matematiksel istatistik yöntemlerinin uygulama şeması seçici yaklaşım matematiksel ve istatistiksel yöntemlerin kullanımı aşağıdaki sırayla gerçekleştirilebilir (bkz. Şekil 1.2):

o ile Genel popülasyon,özellikleri araştırmaya konu olan, belirli yöntemler bir örnek oluşturur- araştırma yöntemlerinin uygulandığı tipik ancak sınırlı sayıda nesne;

o Örnek nesneler üzerinde gözlemsel yöntemler, deneysel eylemler ve ölçümler sonucunda ampirik veriler elde edilir;

o ampirik verilerin betimleyici istatistik yöntemleri kullanılarak işlenmesi, istatistikçi olarak adlandırılan örnek göstergeler verir - bu arada, disiplinin adı gibi;

o istatistiksel çıkarım yöntemlerini uygulamak istatistikçi,özellikleri karakterize eden parametreleri almak genel nüfus.

Örnek 1.1. Bilgi düzeyinin kararlılığını değerlendirmek için (değişken x) 3 öğrenciden oluşan rastgele bir örneğin test edilmesi n. Testler, her biri puanlama sistemine göre değerlendirilen m görev içeriyordu: "tamamlandı" "- 1", tamamlanmadı "- 0. Öğrencilerin ortalama mevcut başarıları kaldı X

3 randomize örnek(İngilizce'den. Rastgele - rastgele), rastgele testler stratejisine göre oluşturulan temsili bir örnektir.

önceki yıllarda / h düzeyinde? Çözüm dizisi:

o şu türden anlamlı bir hipotez bulun: "mevcut test sonuçları geçmişten farklı değilse, o zaman öğrencilerin bilgi düzeyinin değişmediğini düşünebiliriz ve çalışma süreci- kararlı";

o boş hipotez gibi yeterli bir istatistiksel hipotez formüle edin H 0 ki "mevcut not ortalaması X, önceki yılların ortalamasından istatistiksel olarak farklı değildir / h", yani. H0: X = ⁄ r, karşılık gelen alternatif hipoteze karşı X Ф ^ ;

o inşa araştırılan değişken X'in ampirik dağılımları;

o tanımla(gerekirse) örneğin bir değişken arasındaki korelasyonlar X ve diğer göstergeler, inşa regresyon çizgileri;

o uygunluğu kontrol et ampirik dağılım normal yasa;

o nokta göstergelerinin değerini ve parametrelerin güven aralığını, örneğin ortalamayı değerlendirmek;

o istatistiksel test için kriterler tanımlayın hipotezler;

o seçilen kriterlere dayalı istatistiksel hipotezleri test etmek;

o belirli bir konuda istatistiksel sıfır hipotezi hakkında bir karar formüle etmek önem düzeyi;

o anlamlı hipoteze ilişkin sonuçların yorumlanmasının istatistiksel sıfır hipotezini kabul etme veya reddetme kararından hareket;

o anlamlı sonuçlar formüle edin.

Dolayısıyla, yukarıdaki prosedürleri özetlersek, istatistiksel yöntemlerin uygulanması üç ana bloktan oluşur:

Bir gerçeklik nesnesinden soyut bir matematiksel ve istatistiksel şemaya geçiş, yani bir fenomen, süreç, özelliğin olasılıklı bir modelinin inşası;

Ölçümlerin, gözlemlerin, deneylerin sonuçlarına ve istatistiksel sonuçların formülasyonuna dayanan bir olasılık modeli çerçevesinde uygun matematiksel araçlarla hesaplama eylemlerinin gerçekleştirilmesi;

Gerçek durumla ilgili istatistiksel sonuçların yorumlanması ve uygun bir karar verilmesi.

Verilerin işlenmesi ve yorumlanması için istatistiksel yöntemler, olasılık teorisine dayanmaktadır. Olasılık teorisi, matematiksel istatistik yöntemlerinin temelidir. Olasılık teorisinin temel kavramlarını ve yasalarını kullanmadan, matematiksel istatistiklerin sonuçlarını ve dolayısıyla bilimsel ve pratik amaçlar için makul kullanımlarını genelleştirmek imkansızdır.

Bu nedenle, tanımlayıcı istatistiklerin görevi, bir dizi örnek veriyi bir göstergeler - istatistikler - sıklık dağılımları, merkezi eğilim ve değişkenlik ölçüleri, birleştirme katsayıları ve benzerleri sistemine dönüştürmektir. Bununla birlikte, istatistikler aslında belirli bir örneğin özellikleridir. Elbette, örnek dağılımlarını, örnek ortalamalarını, varyansları vb. hesaplamak mümkündür, ancak bu tür "veri analizi" sınırlı bilimsel ve eğitimsel değere sahiptir. Bu tür göstergelere dayalı olarak varılan sonuçların diğer popülasyonlara "mekanik" aktarımı doğru değildir.

Örnek göstergeleri veya diğerlerini veya daha yaygın popülasyonlara transfer edebilmek için matematiksel olarak gerekçelendirilmiş olması gerekir. hükümlerörnek özelliklerin bu ortak sözde özelliklerin özelliklerine uygunluğu ve yeteneği hakkında popülasyonlar. Bu tür hükümler, örneğin hukukta aksiyomatik yaklaşım gibi olasılıksal gerçeklik modelleriyle ilişkili teorik yaklaşımlara ve şemalara dayanmaktadır. büyük sayılar vb. Sınırlı ampirik bilgilerin analizinin sonuçlarıyla oluşturulan özelliklerin diğer veya yaygın kümelere aktarılması ancak onların yardımıyla mümkündür. Böylece, yapı, işleyiş yasaları, olasılıklı modellerin kullanımı söz konusudur. matematiksel alan"olasılık teorisi" olarak adlandırılan, istatistiksel yöntemlerin özü haline gelir.

Bu nedenle, matematiksel istatistiklerde, iki paralel gösterge satırı kullanılır: uygulama ile ilgili olan ilk satır (bunlar örnek göstergelerdir) ve ikincisi, teoriye dayalıdır (bunlar olasılıklı bir modelin göstergeleridir). Örneğin, numune üzerinde belirlenen ampirik frekanslar teorik olasılık kavramlarına karşılık gelir; örnek ortalama (alıştırma) karşılık gelir beklenen değer(teori), vb. Ayrıca, çalışmalarda, kural olarak seçici özellikler birincildir. Gözlemler, ölçümler, deneyler temelinde hesaplanırlar, daha sonra yetenek ve etkinliğin istatistiksel olarak değerlendirilmesinden, araştırmanın amaçlarına uygun olarak istatistiksel hipotezlerin test edilmesinden geçerler ve sonunda belirli bir olasılıkla şu şekilde kabul edilirler: incelenen popülasyonların özelliklerinin göstergeleri.

Soru. Bir görev.

1. Matematiksel istatistiklerin ana bölümlerini tanımlayın.

2. Matematiksel istatistiklerin ana fikri nedir?

3. Genel ve örnek popülasyonların oranını açıklayın.

4. Matematiksel istatistik yöntemlerini uygulama şemasını açıklayın.

5. Matematiksel istatistiklerin ana görevlerinin listesini belirtin.

6. İstatistiksel yöntemlerin uygulanmasının ana blokları nelerdir? Onları tanımlayın.

7. Matematiksel istatistik ve olasılık teorisi arasındaki bağlantıyı genişletin.

Olasılık ve matematiksel istatistikler nasıl kullanılır? Bu disiplinler, olasılıksal-istatistiksel yöntemlerin temelidir. karar verme. Matematiksel aygıtlarını kullanmak için görevlere ihtiyacınız var karar verme olasılıksal-istatistiksel modeller cinsinden ifade eder. Belirli bir olasılık uygulaması istatistiksel yöntem karar vermeüç aşamadan oluşur:

• ekonomik, yönetsel, teknolojik gerçeklikten soyut bir matematiksel ve istatistiksel şemaya geçiş, yani. bir kontrol sisteminin, bir teknolojik sürecin olasılıksal bir modelini oluşturmak, karar verme prosedürleri, özellikle istatistiksel kontrol sonuçlarına göre vb.;
• olasılıksal bir model çerçevesinde tamamen matematiksel yollarla hesaplamalar yapmak ve sonuçlar elde etmek;
• gerçek bir durumla ilgili olarak matematiksel ve istatistiksel sonuçların yorumlanması ve uygun bir karar verilmesi (örneğin, ürün kalitesinin belirlenmiş gerekliliklere uygunluğu veya uygunsuzluğu, teknolojik süreci ayarlama ihtiyacı vb.), özellikle, sonuçlar (bir partideki kusurlu ürün birimlerinin oranı, belirli dağıtım yasaları biçimi hakkında) kontrollü parametreler teknolojik süreç, vb.)

Matematiksel istatistik, olasılık teorisinin kavramlarını, yöntemlerini ve sonuçlarını kullanır. Olasılıksal modeller oluşturmanın ana konularını düşünün karar verme ekonomik, yönetsel, teknolojik ve diğer durumlarda. Olasılıksal-istatistiksel yöntemlere ilişkin normatif-teknik ve öğretici-metodik belgelerin aktif ve doğru kullanımı için karar vermeön bilgi gereklidir. Bu nedenle, bir veya başka bir belgenin hangi koşullar altında uygulanması gerektiğini, seçimi ve uygulaması için hangi ilk bilgilere sahip olunması gerektiğini, veri işleme sonuçlarına göre hangi kararların alınması gerektiğini vb. bilmek gerekir.

Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik uygulama örnekleri. Olasılıksal-istatistiksel modellerin yönetimsel, endüstriyel, ekonomik ve ulusal ekonomik sorunları çözmek için iyi bir araç olduğu birkaç örneği ele alalım. Örneğin, A.N.'nin romanında. Strukov, İvan İlyiç'e Tolstoy'un "İşkencelerin arasından yürümek" (cilt 1) diyor ki: "Atölye evliliğin yüzde yirmi üçünü veriyor, siz bu rakama tutunuyorsunuz," dedi.

Bir üretim birimi %23 oranında kusurlu olamayacağından, fabrika yöneticilerinin konuşmasında bu sözlerin nasıl anlaşılacağı sorusu ortaya çıkıyor. İyi veya kusurlu olabilir. Belki de Strukov, büyük bir partinin kusurlu birimlerin yaklaşık %23'ünü içerdiğini kastetmişti. Sonra soru ortaya çıkıyor, "hakkında" ne anlama geliyor? Test edilen 100 ürün biriminden 30'unun kusurlu veya 1000-300'den veya 100.000-30000'den vb. Çıkmasına izin verin, Strukov yalan söylemekle suçlanmalı mı?

Veya başka bir örnek. Lot olarak kullanılan jeton "simetrik" olmalıdır, yani. atıldığında, ortalama olarak, vakaların yarısında arma düşmeli ve vakaların yarısında - kafes (kuyruk, sayı). Ama "ortalama" ne anlama geliyor? Her seride çok sayıda 10 atışlık bir seri harcarsanız, genellikle bir madeni paranın bir arma ile 4 kez düştüğü seriler olacaktır. Simetrik bir madeni para için bu, serinin %20,5'inde gerçekleşecek. Ve 100.000 atış için 40.000 arma varsa, madeni para simetrik olarak kabul edilebilir mi? prosedür karar verme olasılık teorisine ve matematiksel istatistiklere dayanmaktadır.

Söz konusu örnek yeterince ciddi görünmeyebilir. Ancak öyle değil. Çekiliş, endüstriyel fizibilite deneylerinin düzenlenmesinde yaygın olarak kullanılır, örneğin, çeşitli teknolojik faktörlere (koruma ortamının etkisi, ölçüm öncesi yatak hazırlama yöntemleri, ölçüm sürecinde yatak yükünün etkisi, vb.) P.). Farklı koruyucu yağlarda, yani; bileşim yağlarında ve . Böyle bir deney planlanırken, bileşim yağına hangi yatakların ve hangilerinin - bileşim yağına, ancak öznellikten kaçınacak ve kararın nesnelliğini sağlayacak şekilde yerleştirilmesi gerektiği sorusu ortaya çıkar.

Bu sorunun cevabı kura çekilerek alınabilir. Benzer bir örnek herhangi bir ürünün kalite kontrolü ile verilebilir. Örnekleme, denetlenen bir ürün partisinin belirtilen gereksinimleri karşılayıp karşılamadığına karar vermek için yapılır. Numune kontrolünün sonuçlarına dayanarak, tüm parti hakkında bir sonuca varılır. Bu durumda, örneğin oluşumunda öznellikten kaçınmak çok önemlidir, yani. kontrol edilen partideki her bir ürün biriminin numunede aynı seçilme olasılığına sahip olması gerekir. Üretim koşulları altında, numunedeki üretim birimlerinin seçimi genellikle parti ile değil, özel rasgele sayı tabloları veya bilgisayar rasgele sayı üreteçleri yardımıyla gerçekleştirilir.

Farklı şemaları karşılaştırırken, karşılaştırmanın nesnelliğini sağlamada benzer sorunlar ortaya çıkar. üretim organizasyonu, ücretlendirme, ihale ve yarışmalar sırasında, boş pozisyonlar için aday seçimi vb. Her yerde bir piyango veya benzeri prosedürlere ihtiyacınız var. Olimpik sisteme göre bir turnuva düzenlerken en güçlü ve ikinci en güçlü takımları belirleme örneği ile açıklayalım (kaybeden elenir). Bırakın güçlü olan takım her zaman zayıf olana galip gelsin. En güçlü takımın kesinlikle şampiyon olacağı açıktır. İkinci en güçlü takım, ancak ve ancak finalden önce geleceğin şampiyonu ile maçı yoksa finale çıkacaktır. Böyle bir oyun planlanırsa, en güçlü ikinci takım finale çıkamaz. Turnuvayı planlayan kişi, liderle yaptığı ilk görüşmede turnuvanın en güçlü ikinci takımını önceden "nakavt edebilir" veya ikinci sırayı sağlayarak daha zayıf takımlarla finale kadar buluşmasını sağlayabilir. Öznellikten kaçınmak için kura çekin. 8 takımlı bir turnuva için, en güçlü iki takımın finalde karşılaşma olasılığı 4/7'dir. Buna göre, 3/7 olasılıkla ikinci en güçlü takım turnuvayı planlanandan önce terk edecek.

Ürün birimlerinin herhangi bir ölçümünde (kumpas, mikrometre, ampermetre vb. kullanılarak) hatalar vardır. Sistematik hataların olup olmadığını anlamak için, özellikleri bilinen bir üretim biriminin (örneğin standart bir numune) tekrarlanan ölçümlerini yapmak gerekir. Unutulmamalıdır ki sistematik hatanın yanında rastgele bir hata da vardır.

Bu nedenle, ölçüm sonuçlarından sistematik bir hata olup olmadığının nasıl öğrenileceği sorusu ortaya çıkmaktadır. Sadece bir sonraki ölçüm sırasında elde edilen hatanın pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu not edersek, bu sorun bir öncekine indirgenebilir. Gerçekten de, ölçümü bir madeni para atmakla, pozitif hatayı - armanın kaybıyla, negatifi - kafesle karşılaştıralım (ölçeğin yeterli sayıda bölünmesiyle sıfır hata neredeyse hiç oluşmaz). Daha sonra sistematik bir hatanın olmadığını kontrol etmek, madalyonun simetrisini kontrol etmekle eşdeğerdir.

Bu düşüncelerin amacı, sistematik bir hatanın yokluğunu kontrol etme problemini, bir madeni paranın simetrisini kontrol etme problemine indirgemektir. Yukarıdaki akıl yürütme, matematiksel istatistiklerde sözde "işaret ölçütü"ne yol açar.

Teknolojik süreçlerin istatistiksel olarak düzenlenmesinde, matematiksel istatistik yöntemlerine dayalı olarak, teknolojik süreçlerdeki düzensizliğin zamanında tespit edilmesini, bunları ayarlamak için önlemler almayı ve bunu yapan ürünlerin serbest bırakılmasını önlemeyi amaçlayan süreçlerin istatistiksel kontrolü için kurallar ve planlar geliştirilir. belirlenmiş gereksinimleri karşılamıyor. Bu önlemler, üretim maliyetlerini ve düşük kaliteli ürünlerin tedarikinden kaynaklanan kayıpları azaltmayı amaçlamaktadır. İstatistiksel kabul kontrolü ile, matematiksel istatistik yöntemlerine dayalı olarak, ürün partilerinden numuneler analiz edilerek kalite kontrol planları geliştirilir. Zorluk, olasılıksal-istatistiksel modelleri doğru bir şekilde oluşturabilmekte yatmaktadır. karar verme yukarıdaki sorular buna göre cevaplanabilir. Matematiksel istatistiklerde, bunun için hipotezleri test etmek için olasılıklı modeller ve yöntemler geliştirilmiştir, özellikle, hatalı üretim birimlerinin oranının belirli bir sayıya eşit olduğu hipotezleri, örneğin (A.N.'nin romanından Strukov'un sözlerini hatırlayın). Tolstoy).

Değerlendirme görevleri. Bir dizi yönetimsel, endüstriyel, ekonomik, ulusal ekonomik durumda, farklı türde sorunlar ortaya çıkar - olasılık dağılımlarının özelliklerini ve parametrelerini tahmin etme sorunları.

Bir örnek düşünün. Kontrole bir grup N elektrik lambası gelsin. Bu partiden rastgele n adet elektrik lambası örneği seçildi. Bir dizi doğal soru ortaya çıkıyor. Örnek elemanların test sonuçlarından elektrik lambalarının ortalama hizmet ömrü nasıl belirlenebilir ve bu özellik hangi doğrulukla tahmin edilebilir? Daha büyük bir örnek alınırsa doğruluk nasıl değişecek? Elektrik lambalarının en az %90'ının saatten daha uzun ömürlü olacağı kaç saatte garanti edilebilir?

Bir miktar elektrik lambası ile bir numuneyi test ederken, elektrik lambalarının arızalı olduğu ortaya çıktı. Sonra aşağıdaki sorular ortaya çıkıyor. Bir partideki kusurlu elektrik lambası sayısı, kusur düzeyi vb. için hangi sınırlar belirlenebilir?

Veya teknolojik süreçlerin doğruluğunun ve kararlılığının istatistiksel analizinde, bu tür değerlendirmeleri yapmak gerekir. kalite göstergeleri, ortalama olarak kontrollü parametre ve incelenen süreçte yayılma derecesi. Olasılık teorisine göre, matematiksel beklentisini rastgele bir değişkenin ortalama değeri ve varyans, standart sapma veya varyasyon katsayısı. Bu, şu soruyu gündeme getiriyor: bunların nasıl değerlendirileceği istatistiksel özelliklerörnek verilere göre ve bu hangi doğrulukla yapılabilir? Buna benzer birçok örnek var. Burada istatistiksel ürün kalite yönetimi alanında kararlar alınırken olasılık teorisi ve matematiksel istatistiklerin üretim yönetiminde nasıl kullanılabileceğini göstermek önemliydi.

"Matematiksel istatistik" nedir? Matematiksel istatistik, "istatistiksel verilerin toplanması, sistemleştirilmesi, işlenmesi ve yorumlanmasının yanı sıra bunları bilimsel veya pratik sonuçlar için kullanmanın matematiksel yöntemlerine ayrılmış bir matematik bölümü olarak anlaşılır. Matematiksel istatistiklerin kuralları ve prosedürleri, teoriye dayanır. mevcut istatistiksel malzemeye dayalı olarak her görevde elde edilen sonuçların doğruluğunu ve güvenilirliğini değerlendirmeyi mümkün kılan olasılık" [ [ 2.2], s. 326]. Aynı zamanda, istatistiksel veriler, belirli özelliklere sahip, az ya da çok kapsamlı bir koleksiyondaki nesnelerin sayısı hakkındaki bilgileri ifade eder.

Çözülmekte olan problemlerin türüne göre, matematiksel istatistikler genellikle üç bölüme ayrılır: veri tanımı, tahmin ve hipotez testi.

İşlenen istatistiksel verilerin türüne göre, matematiksel istatistikler dört alana ayrılır:

• bir gözlemin sonucunun gerçek bir sayı ile tanımlandığı tek boyutlu istatistikler (rastgele değişkenlerin istatistikleri);
• bir nesnenin gözleminin sonucunun birkaç sayı (vektör) ile tanımlandığı çok boyutlu istatistiksel analiz;
• gözlem sonucunun bir fonksiyon olduğu rastgele süreçlerin ve zaman serilerinin istatistikleri;
• Bir gözlemin sonucunun sayısal olmayan bir yapıya sahip olduğu sayısal olmayan nitelikteki nesnelerin istatistikleri, örneğin, bir küme (geometrik bir şekil), bir sıralama veya bir ölçüm sonucunda elde edilir. niteliksel bir nitelik.

Tarihsel olarak, sayısal olmayan nesnelerin istatistiklerinin bazı alanları (özellikle, evlilik yüzdesini tahmin etme ve bununla ilgili hipotezleri test etme sorunları) ve tek boyutlu istatistikler ilk ortaya çıkanlardı. Matematiksel aparat onlar için daha basittir, bu nedenle örnekleriyle genellikle matematiksel istatistiklerin ana fikirlerini gösterirler.

Yalnızca bu veri işleme yöntemleri, yani. matematiksel istatistikler, ilgili gerçek fenomen ve süreçlerin olasılıksal modellerine dayanan kanıta dayalıdır. Tüketici davranış modelleri, risklerin ortaya çıkması, teknolojik ekipmanın işleyişi, bir deneyin sonuçlarının elde edilmesi, bir hastalığın seyri vb. Gerçek bir olgunun olasılıksal modeli, eğer söz konusu miktarlar ve bunlar arasındaki ilişkiler olasılık teorisi ile ifade edilirse oluşturulmuş olarak kabul edilmelidir. Gerçekliğin olasılıksal modeline uygunluk, yani. yeterliliği, özellikle hipotezleri test etmek için istatistiksel yöntemler kullanılarak doğrulanır.

İnanılmaz veri işleme yöntemleri keşif amaçlıdır, sınırlı istatistiksel malzeme temelinde elde edilen sonuçların doğruluğunu ve güvenilirliğini değerlendirmeyi mümkün kılmadıkları için yalnızca ön veri analizinde kullanılabilirler.

olasılıksal ve istatistiksel yöntemler bir fenomen veya sürecin olasılıksal bir modelini oluşturmanın ve doğrulamanın mümkün olduğu her yerde uygulanabilir. Numune verilerinden elde edilen sonuçlar tüm popülasyona aktarıldığında (örneğin, bir numuneden tüm ürün serisine) bunların kullanımı zorunludur.

Belirli uygulamalarda, olasılıksal olarak kullanılırlar. istatistiksel yöntemler geniş uygulama yanı sıra belirli olanlar. Örneğin, ürün kalite yönetiminin istatistiksel yöntemlerine ayrılmış üretim yönetimi bölümünde, uygulamalı matematiksel istatistikler (deneylerin tasarımı dahil) kullanılır. Yöntemleri yardımıyla, istatistiksel analiz teknolojik süreçlerin doğruluğu ve kararlılığı ve istatistiksel kalite değerlendirmesi. Spesifik yöntemler, ürün kalitesinin istatistiksel kabul kontrolünü, teknolojik süreçlerin istatistiksel düzenlemesini, güvenilirliğin değerlendirilmesini ve kontrolünü vb. içerir.

Güvenilirlik teorisi ve kuyruk teorisi gibi uygulamalı olasılıksal-istatistiksel disiplinler yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunlardan ilkinin içeriği başlıktan açıktır, ikincisi rastgele zamanlarda çağrı alan bir telefon santrali gibi sistemlerin incelenmesiyle ilgilidir - telefonlarında numara çeviren abonelerin gereksinimleri. Bu gereksinimlerin hizmet süresi, yani. konuşmaların süresi de rastgele değişkenler tarafından modellenir. Bu disiplinlerin gelişimine büyük katkı, SSCB Bilimler Akademisi Sorumlu Üyesi A.Ya. Khinchin (1894-1959), Ukrayna SSR B.V. Gnedenko (1912-1995) ve diğer yerli bilim adamları.

Kısaca matematiksel istatistiklerin tarihi hakkında. Bir bilim olarak matematiksel istatistik, olasılık teorisine dayanarak araştıran ve doğrulayan ünlü Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'un (1777-1855) çalışmalarıyla başlar. en küçük kareler yöntemi, 1795'te onun tarafından yaratıldı ve astronomik verileri işlemek için kullanıldı (küçük gezegen Ceres'in yörüngesini iyileştirmek için). En popüler olasılık dağılımlarından biri olan normal olan genellikle onun adıyla anılır ve rastgele süreçler teorisinde ana çalışma konusu Gauss süreçleridir.

AT geç XIX içinde. - yirminci yüzyılın başı. matematiksel istatistiklere büyük bir katkı, başta K. Pearson (1857-1936) ve R.A. olmak üzere İngiliz araştırmacılar tarafından yapılmıştır. Fischer (1890-1962). Pearson özellikle istatistiksel hipotezleri test etmek için "ki-kare" kriterini geliştirdi ve Fisher - varyans analizi, deney planlama teorisi, parametre tahmininin maksimum olabilirlik yöntemi.

Yirminci yüzyılın 30'larında. Pole Jerzy Neumann (1894-1977) ve İngiliz E. Pearson, istatistiksel hipotezleri test etmek için genel bir teori geliştirdi ve Sovyet matematikçileri Akademisyen A.N. Kolmogorov (1903-1987) ve SSCB Bilimler Akademisi N.V. Smirnov (1900-1966) parametrik olmayan istatistiklerin temellerini attı. Yirminci yüzyılın kırklarında. Rumen A. Wald (1902-1950) tutarlı istatistiksel analiz teorisini oluşturdu.

Matematiksel istatistikler günümüzde hızla gelişmektedir. Dolayısıyla, son 40 yılda, temelde yeni dört araştırma alanı ayırt edilebilir [ [ 2.16 ] ]:

• geliştirme ve uygulama matematiksel yöntemler planlama deneyleri;
• uygulamalı matematiksel istatistikte bağımsız bir yön olarak sayısal olmayan nitelikteki nesnelerin istatistiklerinin geliştirilmesi;
• kullanılan olasılıksal modelden küçük sapmalara dirençli istatistiksel yöntemlerin geliştirilmesi;
• istatistiksel veri analizi için tasarlanmış bilgisayar yazılım paketlerinin oluşturulmasına yönelik çalışmaların yaygınlaştırılması.

Olasılıksal-istatistiksel yöntemler ve optimizasyon. Optimizasyon fikri, modern uygulamalı matematiksel istatistiklere ve diğer istatistiksel yöntemler. Yani, deney planlama yöntemleri, istatistiksel kabul kontrolü, teknolojik süreçlerin istatistiksel kontrolü vb. Öte yandan, teoride optimizasyon formülasyonları karar vermeörneğin, uygulamalı ürün kalitesini optimize etme teorisi ve standartların gereklilikleri, öncelikle uygulamalı matematiksel istatistikler olmak üzere olasılıksal-istatistiksel yöntemlerin yaygın olarak kullanılmasını sağlar.

Özellikle üretim yönetiminde, ürün kalitesi ve standart gereksinimleri optimize edilirken, özellikle uygulanması önemlidir. istatistiksel yöntemler ilk aşamada yaşam döngüsüürünler, yani deneysel tasarım geliştirmelerinin araştırma hazırlığı aşamasında (ürünler için umut verici gereksinimlerin geliştirilmesi, ön tasarım, deneysel tasarım geliştirme için referans şartları). Bunun nedeni, ürün yaşam döngüsünün ilk aşamasında mevcut olan sınırlı bilgi ve gelecek için teknik olasılıkları ve ekonomik durumu tahmin etme ihtiyacıdır. İstatistiksel Yöntemler optimizasyon problemini çözmenin tüm aşamalarında uygulanmalıdır - değişkenleri ölçeklerken, ürün ve sistemlerin işleyişi için matematiksel modeller geliştirirken, teknik ve ekonomik deneyler yaparken vb.

Ürün kalitesinin optimizasyonu ve standart gereksinimleri de dahil olmak üzere optimizasyon problemlerinde, istatistiklerin tüm alanları kullanılır. Yani - rastgele değişkenlerin istatistikleri, çok değişkenli istatistiksel analiz, rastgele süreçlerin ve zaman serilerinin istatistikleri, sayısal olmayan nitelikteki nesnelerin istatistikleri. Spesifik verilerin analizi için istatistiksel bir yöntem seçimi, önerilere göre yapılmalıdır [