Yaygın bir sorun düşünün diferansiyel kullanarak bir fonksiyonun değerinin yaklaşık hesaplanması hakkında.

Burada ve aşağıda birinci mertebeden diferansiyellere odaklanacağız; kısa olması için genellikle sadece “diferansiyel” diyeceğiz. Bir diferansiyel yardımıyla yaklaşık hesaplama problemi katı bir çözüm algoritmasına sahiptir ve bu nedenle herhangi bir özel zorluk olmamalıdır. Tek şey, aynı zamanda temizlenecek küçük tuzaklar olmasıdır. Bu yüzden önce kafaya dalmaktan çekinmeyin.

Ayrıca bölüm, hesaplamaların mutlak ve bağıl hatalarını bulmak için formüller içerir. Materyal çok kullanışlıdır, çünkü hataların diğer problemlerde de hesaplanması gerekir.

Örneklerde başarılı bir şekilde ustalaşmak için, fonksiyonların türevlerini en azından ortalama düzeyde bulabilmeniz gerekir, bu nedenle türev tamamen yanlışsa, lütfen şundan başlayın: bir noktada türevi bulma Ve birlikte bir noktada diferansiyeli bulma. Teknik araçlardan, çeşitli özelliklere sahip bir mikro hesap makinesine ihtiyacınız olacak. matematiksel fonksiyonlar. MS Excel'in özelliklerini kullanabilirsiniz, ancak bu durumda daha az uygundur.

Ders iki bölümden oluşmaktadır:

– Bir noktadaki bir değişkenin bir fonksiyonunun değerinin diferansiyelini kullanan yaklaşık hesaplamalar.

– Yaklaşık hesaplamalar kullanılarak toplam diferansiyel bir noktada iki değişkenli bir fonksiyonun değerleri.

Söz konusu görev, diferansiyel kavramıyla yakından ilgilidir, ancak hala bir türev ve bir diferansiyelin anlamı hakkında bir dersimiz olmadığı için, kendimizi, öğrenmek için oldukça yeterli olan, örneklerin resmi bir değerlendirmesiyle sınırlayacağız. onları nasıl çözebilirim.

Tek değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelini kullanan yaklaşık hesaplamalar

İlk paragrafta, tek değişkenli fonksiyonun kuralı. Herkesin bildiği gibi, ile gösterilir y veya aracılığıyla f(x). Bu problem için ikinci gösterimi kullanmak çok daha uygundur. Pratikte sıklıkla karşılaşılan popüler bir örneğe geçelim:

örnek 1

Çözüm: Lütfen diferansiyel kullanarak yaklaşık hesaplama için çalışma formülünü defterinize kopyalayın:

Hadi başlayalım, çok kolay!

İlk adım bir fonksiyon oluşturmaktır. Koşulla, sayının küp kökünün hesaplanması önerilir: , bu nedenle karşılık gelen işlev: .

Yaklaşık bir değer bulmak için formülü kullanmamız gerekiyor.

bakıyoruz Sol Taraf formüller ve 67 sayısının olarak temsil edilmesi gerektiği düşüncesi akla geliyor. Bunu yapmanın en kolay yolu nedir? Aşağıdaki algoritmayı öneriyorum: bu değeri bir hesap makinesinde hesaplayın:

- 4 kuyruklu çıktı, bu çözüm için önemli bir kılavuzdur.

Olarak x 0 "iyi" bir değer seçin, kökü çıkarmak için. Doğal olarak bu değer x 0 olmalı mümkün olduğunca yakın 67'ye.

Bu durumda x 0 = 64. Gerçekten, .

Not: Seçim ile ne zamanx 0 sorun hala ortaya çıkıyor, sadece hesaplanan değere bakın (bu durumda ), en yakın tamsayı kısmı alın (bu durumda 4) ve istenen güce yükseltin (bu durumda ). Sonuç olarak istenilen seçim yapılacaktır. x 0 = 64.

Eğer bir x 0 = 64, ardından bağımsız değişken artışı: .

Yani 67 sayısı bir toplam olarak temsil edilir.

İlk olarak, fonksiyonun noktasındaki değerini hesaplıyoruz. x 0 = 64. Aslında, bu zaten daha önce yapıldı:

Bir noktadaki diferansiyel şu formülle bulunur:

Bu formülü not defterinize de kopyalayabilirsiniz.

Formülden, ilk türevi almanız gerektiğini takip eder:

Ve noktadaki değerini bulun x 0:

Böylece:

Her şey hazır! Formüle göre:

Bulunan yaklaşık değer, mikro hesap makinesi kullanılarak hesaplanan 4.06154810045 değerine oldukça yakındır.

Cevap:

Örnek 2

Fonksiyonun artışlarını diferansiyeliyle değiştirerek yaklaşık olarak hesaplayın.

Bu kendin yap örneğidir. Bitirme işinin kaba bir örneği ve dersin sonunda bir cevap. Yeni başlayanlar için, hangi sayının alınacağını bulmak için önce bir mikro hesap makinesinde tam değeri hesaplamanızı öneririm. x 0 ve hangisi - Δ için x. Unutulmamalıdır ki Δ x içinde bu örnek olumsuz olacaktır.

Bazılarının bir sorusu olabilir, bir hesap makinesinde her şeyi sakince ve daha doğru bir şekilde hesaplayabiliyorsanız, bu görev neden gereklidir? Katılıyorum, görev aptalca ve naif. Ama biraz haklı çıkarmaya çalışacağım. İlk olarak, görev, fonksiyon diferansiyelinin anlamını gösterir. İkincisi, eski zamanlarda hesap makinesi bizim zamanımızda kişisel bir helikopter gibi bir şeydi. 1985-86'da enstitülerden birinden bir oda büyüklüğünde bir bilgisayarın nasıl atıldığını kendim gördüm (şehrin her yerinden tornavidalı radyo amatörleri koşarak geldi ve birkaç saat sonra üniteden sadece kasa kaldı. ). Fizik bölümümüzde antikalar da bulundu, ancak daha küçük bir boyutta - bir masa büyüklüğünde bir yerde. Atalarımız yaklaşık hesaplama yöntemleriyle böyle acı çekti. At arabası da bir ulaşım aracıdır.

Öyle ya da böyle, problem yüksek matematiğin standart dersinde kaldı ve çözülmesi gerekecek. Sorunuzun ana cevabı bu =).

Örnek 3

Fonksiyonun değerini diferansiyel kullanarak yaklaşık olarak hesaplayın noktada x= 1.97. Bir noktada daha doğru bir fonksiyon değeri hesaplayın x= 1.97, bir mikro hesap makinesi kullanarak, mutlak ve bağıl hesaplama hatalarını değerlendirin.

Aslında, bu görev aşağıdaki gibi kolayca yeniden formüle edilebilir: "Yaklaşık bir değer hesaplayın. diferansiyel ile

Çözüm: Bilinen formülü kullanıyoruz:

Bu durumda, hazır bir işlev zaten verilmiştir: . Bir kez daha, “oyun” yerine bir işlev belirlemenin, kullanmanın daha uygun olduğuna dikkatinizi çekiyorum. f(x).

Anlam x= 1,97 olarak temsil edilmelidir x 0 = Δ x. Eh, burada daha kolay, 1.97 sayısının “iki”ye çok yakın olduğunu görüyoruz, bu yüzden yalvarıyor x 0 = 2. Ve dolayısıyla: .

Noktadaki fonksiyonun değerini hesaplayın x 0 = 2:

formülü kullanma , aynı noktada diferansiyeli hesaplıyoruz.

İlk türevi bulma:

Ve noktadaki değeri x 0 = 2:

Böylece, noktadaki diferansiyel:

Sonuç olarak, formüle göre:

Görevin ikinci kısmı, hesaplamaların mutlak ve göreli hatasını bulmaktır.

Diferansiyelin Kullanıldığı Yaklaşık Hesaplamalar

Bu derste, ortak bir soruna bakacağız diferansiyel kullanarak bir fonksiyonun değerinin yaklaşık hesaplanması hakkında. Burada ve aşağıda birinci mertebeden diferansiyeller hakkında konuşacağız, kısa olması için genellikle sadece "diferansiyel" diyeceğim. Bir diferansiyel yardımıyla yaklaşık hesaplama problemi katı bir çözüm algoritmasına sahiptir ve bu nedenle herhangi bir özel zorluk olmamalıdır. Tek şey, aynı zamanda temizlenecek küçük tuzaklar olmasıdır. Bu yüzden önce kafaya dalmaktan çekinmeyin.

Ayrıca sayfa, mutlak ve bağıl hesaplama hatalarını bulmak için formüller içerir. Materyal çok kullanışlıdır, çünkü hataların diğer problemlerde de hesaplanması gerekir. Fizikçiler, alkışlarınız nerede? =)

Örneklerde başarılı bir şekilde ustalaşmak için, fonksiyonların türevlerini en azından ortalama düzeyde bulabilmeniz gerekir, bu nedenle türev tamamen yanlışsa, lütfen derse başlayın. Türev nasıl bulunur? yazıyı da okumanı tavsiye ederim Bir türevle ilgili en basit problemler yani paragraflar bir noktada türevi bulma hakkında ve bir noktada diferansiyeli bulma. Teknik araçlardan, çeşitli matematiksel işlevlere sahip bir mikro hesap makinesine ihtiyacınız olacak. Excel'i kullanabilirsiniz, ancak bu durumda daha az uygundur.

Çalıştay iki bölümden oluşmaktadır:

– Tek değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelini kullanan yaklaşık hesaplamalar.

– İki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini kullanan yaklaşık hesaplamalar.

Kimin neye ihtiyacı var. Aslında, ikinci noktanın birkaç değişkenli fonksiyonların uygulamalarına atıfta bulunması nedeniyle, serveti iki yığına bölmek mümkündü. Ama ne yapayım, uzun yazıları seviyorum.

Yaklaşık hesaplamalar
tek değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelini kullanarak

İncelenen görev ve geometrik anlamda derste zaten ele alınmıştır Türev nedir? ve şimdi kendimizi, onları nasıl çözeceğimizi öğrenmek için oldukça yeterli olan, örneklerin resmi bir değerlendirmesiyle sınırlayacağız.

İlk paragrafta, tek değişkenli fonksiyonun kuralı. Herkesin bildiği gibi, aracılığıyla veya aracılığıyla gösterilir. Bu problem için ikinci gösterimi kullanmak çok daha uygundur. Pratikte sıklıkla karşılaşılan popüler bir örneğe geçelim:

örnek 1

Çözüm: Lütfen diferansiyel kullanarak yaklaşık hesaplama için çalışma formülünü defterinize kopyalayın:

Hadi başlayalım, çok kolay!

İlk adım bir fonksiyon oluşturmaktır. Koşulla, sayının küp kökünün hesaplanması önerilir: , bu nedenle karşılık gelen işlev: . Yaklaşık bir değer bulmak için formülü kullanmamız gerekiyor.

"İyi" değeri seçtiğimizde, kökü çıkarmak için. Doğal olarak, bu değer olmalıdır. mümkün olduğunca yakın 67'ye kadar. Bu durumda: . Yok canım: .

Not: Montaj hala bir sorun olduğunda, sadece hesaplanan değere bakın (bu durumda ), en yakın tamsayı kısmı alın (bu durumda 4) ve istenen güce yükseltin (bu durumda ). Sonuç olarak, istenen seçim yapılacaktır: .

Eğer , o zaman argüman artar: .

Yani 67 sayısı bir toplam olarak temsil edilir.

İlk olarak, fonksiyonun noktasındaki değerini hesaplıyoruz. Aslında, bu zaten daha önce yapıldı:

Bir noktadaki diferansiyel şu formülle bulunur:
Not defterinize de kopyalayabilirsiniz.

Formülden, ilk türevi almanız gerektiğini takip eder:

Ve şu noktada değerini bulun:

Böylece:

Her şey hazır! Formüle göre:

Bulunan yaklaşık değer, değere yeterince yakın mikro hesap makinesi kullanılarak hesaplanmıştır.

Cevap:

Örnek 2

Fonksiyonun artışlarını diferansiyeliyle değiştirerek yaklaşık olarak hesaplayın.

Bu kendin yap örneğidir. Bitirme işinin kaba bir örneği ve dersin sonunda bir cevap. Yeni başlayanlar için, hangi sayıyı ve hangisinin alınacağını bulmak için önce bir mikro hesap makinesinde tam değeri hesaplamanızı öneririm. Bu örnekte olumsuz olacağına dikkat edilmelidir.

Bazılarının bir sorusu olabilir, bir hesap makinesinde her şeyi sakince ve daha doğru bir şekilde hesaplayabiliyorsanız, bu görev neden gereklidir? Katılıyorum, görev aptalca ve naif. Ama biraz haklı çıkarmaya çalışacağım. İlk olarak, görev, fonksiyon diferansiyelinin anlamını gösterir. İkincisi, eski zamanlarda hesap makinesi bizim zamanımızda kişisel bir helikopter gibi bir şeydi. 1985-86'da bir oda büyüklüğündeki bir bilgisayarın yerel politeknik enstitüsünden bir yere nasıl atıldığını gördüm (şehrin her yerinden tornavidalı radyo amatörleri koşarak geldi ve birkaç saat sonra üniteden sadece kasa kaldı. ). Antikalar fizik bölümümüzde de bulundu, ancak daha küçük bir boyutta - bir okul sırası büyüklüğünde bir yerde. Atalarımız yaklaşık hesaplama yöntemleriyle böyle acı çekti. At arabası da bir ulaşım aracıdır.

Öyle ya da böyle, problem yüksek matematiğin standart dersinde kaldı ve çözülmesi gerekecek. Sorunuzun ana cevabı bu =)

Örnek 3

noktada . Bir mikro hesaplayıcı kullanarak fonksiyonun bir noktada daha doğru bir değerini hesaplayın, mutlak ve bağıl hesaplama hatalarını değerlendirin.

Aslında, aynı görev, aşağıdaki gibi kolayca yeniden formüle edilebilir: “Yaklaşık değeri hesaplayın. diferansiyel ile

Çözüm: Bilinen formülü kullanıyoruz:
Bu durumda, hazır bir işlev zaten verilmiştir: . Bir işlevi belirtmek için “oyun” yerine kullanmanın daha uygun olduğuna bir kez daha dikkatinizi çekiyorum.

Değer olarak temsil edilmelidir. Eh, burada daha kolay, 1.97 sayısının "iki"ye çok yakın olduğunu görüyoruz, bu yüzden kendini gösteriyor. Ve bu nedenle: .

formülü kullanma , aynı noktada diferansiyeli hesaplıyoruz.

İlk türevi bulma:

Ve noktadaki değeri:

Böylece, noktadaki diferansiyel:

Sonuç olarak, formüle göre:

Görevin ikinci kısmı, hesaplamaların mutlak ve göreli hatasını bulmaktır.

Mutlak ve bağıl hesaplama hatası

Mutlak hesaplama hatası formüle göre bulunur:

Modulo işareti, hangi değerin daha büyük, hangisinin daha küçük olduğuyla ilgilenmediğimizi gösterir. Önemli, ne kadar uzak yaklaşık sonuç, şu veya bu yönde kesin değerden sapmıştır.

Göreceli hesaplama hatası formüle göre bulunur:
, veya, aynı:

Göreceli hata gösterir yüzde kaç yaklaşık sonuç kesin değerden saptı. Formülün %100 ile çarpmayan bir versiyonu var ama pratikte hemen hemen her zaman yukarıdaki versiyonu yüzdelerle görüyorum.

Kısa bir arka plandan sonra, fonksiyonun yaklaşık değerini hesapladığımız problemimize dönüyoruz. diferansiyel kullanarak.

Bir mikro hesaplayıcı kullanarak fonksiyonun tam değerini hesaplayalım:
, kesinlikle konuşursak, değer hala yaklaşıktır, ancak bunu kesin olarak kabul edeceğiz. Bu tür görevler ortaya çıkıyor.

Mutlak hatayı hesaplayalım:

Göreceli hatayı hesaplayalım:
, yüzde binde biri elde edilir, bu nedenle diferansiyel sadece büyük bir yaklaşıklık sağladı.

Cevap: , mutlak hesaplama hatası , bağıl hesaplama hatası

Aşağıdaki örnek bağımsız bir çözüm içindir:

Örnek 4

Fonksiyonun değerini diferansiyel kullanarak yaklaşık olarak hesaplayın noktada . Verilen bir noktada fonksiyonun daha doğru bir değerini hesaplayın, mutlak ve bağıl hesaplama hatalarını değerlendirin.

Bitirme işinin kaba bir örneği ve dersin sonunda bir cevap.

Birçoğu, ele alınan tüm örneklerde köklerin göründüğünü fark etti. Bu tesadüfi değildir; çoğu durumda, ele alınan problemde, gerçekten de kökleri olan fonksiyonlar önerilmektedir.

Ancak acı çeken okuyucular için arksinüs ile küçük bir örnek çıkardım:

Örnek 5

Fonksiyonun değerini diferansiyel kullanarak yaklaşık olarak hesaplayın noktada

Bu kısa ama eğitim örneği ayrıca bağımsız karar için. Ve yenilenmiş bir güçle özel bir görevi düşünmek için biraz dinlendim:

Örnek 6

Diferansiyeli kullanarak yaklaşık olarak hesaplayın, sonucu iki ondalık basamağa yuvarlayın.

Çözüm: Görevdeki yenilikler neler? Koşul olarak, sonucu iki ondalık basamağa yuvarlamak gerekir. Ama mesele bu değil, okul yuvarlama sorunu sanırım sizin için zor değil. Mesele şu ki, bir teğetimiz var derece cinsinden ifade edilen bir argümanla. Dereceli bir trigonometrik fonksiyonu çözmeniz istendiğinde ne yapmalısınız? Örneğin, vb.

Çözüm algoritması temelde korunur, yani önceki örneklerde olduğu gibi formülü uygulamak gerekir.

Açık işlevi yazın

Değer olarak temsil edilmelidir. Ciddi yardım yapılacak trigonometrik fonksiyonların değer tablosu. Bu arada, eğer yazdırmadıysanız, bunu yapmanızı tavsiye ederim, çünkü yüksek matematik eğitimi aldığınız tüm kurs boyunca oraya bakmak zorunda kalacaksınız.

Tabloyu incelediğimizde, teğetin 47 dereceye yakın “iyi” bir değerini görüyoruz:

Böylece:

Ön analizden sonra dereceler radyana dönüştürülmelidir. Evet ve sadece öyle!

Bu örnekte, doğrudan trigonometrik tablodan bunu öğrenebilirsiniz. Dereceleri radyana dönüştürme formülü: (formüller aynı tabloda bulunabilir).

Diğer şablon:

Böylece: (hesaplamalarda değerini kullanırız). Sonuç, koşulun gerektirdiği şekilde iki ondalık basamağa yuvarlanır.

Cevap:

Örnek 7

Diferansiyeli kullanarak yaklaşık olarak hesaplayın, sonucu üç ondalık basamağa yuvarlayın.

Bu kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Gördüğünüz gibi, karmaşık bir şey yok, dereceleri radyana çeviriyoruz ve olağan çözüm algoritmasına bağlı kalıyoruz.

Yaklaşık hesaplamalar
iki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini kullanarak

Her şey çok ama çok benzer olacak, bu yüzden bu sayfaya bu özel görevle geldiyseniz, önce önceki paragraftan en az birkaç örneğe bakmanızı öneririm.

Bir paragrafı incelemek için şunları bulabilmeniz gerekir: ikinci dereceden kısmi türevler, onlarsız nerede. Yukarıdaki derste iki değişkenin fonksiyonunu harfi ile belirtmiştim. Söz konusu görevle ilgili olarak, eşdeğer gösterimi kullanmak daha uygundur.

Tek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi, problemin durumu farklı şekillerde formüle edilebilir ve karşılaşılan tüm formülasyonları dikkate almaya çalışacağım.

Örnek 8

Çözüm: Koşul nasıl yazılırsa yazılsın, çözümün kendisinde işlevi belirtmek için tekrar ediyorum, “Z” harfini değil, kullanmak daha iyidir.

Ve işte çalışma formülü:

Bizden önce aslında bir önceki paragrafın formülünün ablası. Değişken daha da büyüdü. Ne diyebilirim ki, kendim çözüm algoritması temelde aynı olacaktır!

Koşul olarak, fonksiyonun noktasındaki yaklaşık değerini bulmak gerekir.

3,04 sayısını olarak gösterelim. Topuzun kendisi yenilmek ister:
,

3,95 sayısını olarak gösterelim. Sıra Kolobok'un ikinci yarısına geldi:
,

Ve her türlü tilki hilesine bakmayın, bir Zencefilli Kurabiye Adam var - onu yemeniz gerekiyor.

Şu noktada fonksiyonun değerini hesaplayalım:

Bir fonksiyonun bir noktadaki diferansiyeli şu formülle bulunur:

Formülden şunu bulmanız gerekir: kısmi türevler birinci dereceden ve noktalarındaki değerlerini hesaplayın.

Birinci mertebeden kısmi türevleri şu noktada hesaplayalım:

Noktadaki toplam diferansiyel:

Böylece, formüle göre, fonksiyonun noktadaki yaklaşık değeri:

Noktadaki fonksiyonun tam değerini hesaplayalım:

Bu değer kesinlikle doğrudur.

Hatalar, bu makalede daha önce tartışılan standart formüller kullanılarak hesaplanır.

Mutlak hata:

Göreceli hata:

Cevap:, mutlak hata: , göreli hata:

Örnek 9

Bir fonksiyonun yaklaşık değerini hesaplayın tam diferansiyel kullanarak bir noktada, mutlak ve bağıl hatayı değerlendirin.

Bu kendin yap örneğidir. Bu örnek üzerinde daha ayrıntılı olarak duran kişi, hesaplama hatalarının çok, çok dikkat çekici olduğu gerçeğine dikkat edecektir. Bu, şu nedenle oldu: önerilen problemde, argümanların artışları yeterince büyük: . Genel model aşağıdaki gibidir - mutlak değerdeki bu artışlar ne kadar büyükse, hesaplamaların doğruluğu o kadar düşük olur. Bu nedenle, örneğin, benzer bir nokta için artışlar küçük olacaktır: ve yaklaşık hesaplamaların doğruluğu çok yüksek olacaktır.

Bu özellik aynı zamanda tek değişkenli bir fonksiyon (dersin ilk kısmı) için de geçerlidir.

Örnek 10

Çözüm: Bu ifadeyi yaklaşık olarak iki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini kullanarak hesaplıyoruz:

Örnek 8-9'dan farkı, önce iki değişkenli bir fonksiyon oluşturmamız gerekmesidir: . İşlevin nasıl oluşturulduğu, bence sezgisel olarak herkes için açıktır.

4.9973 değeri "beş"e yakındır, bu nedenle: , .
0.9919'un değeri "bir"e yakındır, bu nedenle şunları varsayıyoruz: , .

Şu noktada fonksiyonun değerini hesaplayalım:

Bir noktada diferansiyeli şu formülle buluruz:

Bunu yapmak için, noktasında birinci mertebeden kısmi türevleri hesaplıyoruz.

Buradaki türevler en basit değil ve dikkatli olmalısınız:

;

Noktadaki toplam diferansiyel:

Böylece, bu ifadenin yaklaşık değeri:

Mikro hesaplayıcı kullanarak daha doğru bir değer hesaplayalım: 2.998899527

Göreceli hesaplama hatasını bulalım:

Cevap: ,

Yukarıdakilerin sadece bir gösterimi, ele alınan problemde, argümanların artışları çok küçüktür ve hatanın fevkalade yetersiz olduğu ortaya çıktı.

Örnek 11

İki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini kullanarak, bu ifadenin yaklaşık değerini hesaplayın. Aynı ifadeyi bir mikro hesap makinesi kullanarak hesaplayın. Hesaplamaların göreli hatasını yüzde olarak tahmin edin.

Bu kendin yap örneğidir. Dersin sonunda yaklaşık bir bitirme örneği.

Daha önce de belirtildiği gibi, bu tür görevlerde en yaygın konuk bir tür köktür. Ancak zaman zaman başka işlevler de vardır. Ve rahatlama için son bir basit örnek:

Örnek 12

İki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini kullanarak, aşağıdaki durumlarda fonksiyonun yaklaşık değerini hesaplayın:

Çözüm, sayfanın en altına daha yakın. Bir kez daha, dersin görevlerinin ifadesine dikkat edin, pratikte farklı örneklerde ifadeler farklı olabilir, ancak bu, çözümün özünü ve algoritmasını temelden değiştirmez.

Dürüst olmak gerekirse biraz yoruldum çünkü malzeme sıkıcıydı. Makalenin başında söylemek pedagojik değildi, ama şimdi zaten mümkün =) Gerçekten de, hesaplamalı matematik problemleri genellikle çok zor değil, çok ilginç değil, belki de en önemli şey, sıradan hesaplamalarda hata.

Hesap makinenizin tuşları silinmesin!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm: Formülü kullanıyoruz:
Bu durumda: , ,

Böylece:
Cevap:

Örnek 4: Çözüm: Formülü kullanıyoruz:
Bu durumda: , ,

Diferansiyel bir noktada işlevler argümanın artışına göre ana, doğrusal olarak adlandırılır
fonksiyon artış kısmı
noktasında fonksiyonun türevinin ürününe eşit bağımsız değişkenin artışı için:

Dolayısıyla fonksiyon artışı
onun diferansiyelinden farklı
sonsuz küçük bir değere ve yeterince küçük değerler için varsayabiliriz
veya

Yukarıdaki formül yaklaşık hesaplamalarda kullanılır ve daha az
, formül ne kadar doğruysa.

Örnek 3.1. Yaklaşık olarak hesaplayın

Çözüm. işlevi düşünün
. BT güç fonksiyonu ve türevi

Olarak koşulları karşılayan bir numara almanız gerekir:

Anlam
bilinen veya hesaplanması oldukça kolay;

Sayı mümkün olduğunca 33.2'ye yakın olmalıdır.

Bizim durumumuzda, bu gereksinimler sayı ile karşılanmaktadır. = 32, bunun için
= 2,
= 33,2 -32 = 1,2.

Formülü uygulayarak istenen sayıyı buluyoruz:

+
.

Örnek 3.2. Banka faiz oranı yıllık %5 ise bankadaki mevduatın ikiye katlanma zamanını bulunuz.

Çözüm. Yıl içinde katkı payı artar
kez, ama için yıllarda katkı artacaktır.
bir Zamanlar. Şimdi denklemi çözmemiz gerekiyor:
=2. Logaritma alarak nereye varırız
. Hesaplamak için yaklaşık bir formül elde ediyoruz
. varsayarsak
, bulmak
ve yaklaşık formüle göre. bizim durumumuzda
ve
. Buradan. Çünkü
, katkının iki katına çıkma süresini buluyoruz
yıllar.

Kendi kendine muayene için sorular

1. Bir fonksiyonun bir noktada diferansiyelini tanımlayın.

2. Hesaplamalarda kullanılan formül neden yaklaşıktır?

3. Sayı hangi koşulları sağlamalıdır? yukarıdaki formüle dahil mi?

Bağımsız çalışma için görevler

Yaklaşık değeri hesaplayın
, noktada değiştirme
fonksiyon artışı
onun diferansiyeli.

Tablo 3.1

Varyant numarası

4 .Fonksiyonların incelenmesi ve grafiklerinin oluşturulması

Bir değişkenli fonksiyon formül olarak verilirse
, o zaman tanımının alanı, argümanın böyle bir dizi değeridir. , fonksiyonun değerlerinin tanımlandığı.

Örnek 4.1. fonksiyon değeri
yalnızca radikal ifadenin negatif olmayan değerleri için tanımlanır:
. Bu nedenle, fonksiyonun tanım alanı yarı aralıktır, çünkü trigonometrik fonksiyonun değeri
eşitsizliği tatmin et: -1
1.

İşlev
aranan Bile, eğer herhangi bir değer için tanımının alanından, eşitlik

ve garip, diğer bağıntı doğruysa:
. Diğer durumlarda, işlev denir işlev Genel görünüm.

Örnek 4.4.İzin vermek
. Hadi kontrol edelim: . Yani bu fonksiyon çifttir.

fonksiyon için
Sağ. Dolayısıyla bu fonksiyon tektir.

Önceki fonksiyonların toplamı
fonksiyona eşit olmadığı için genel bir fonksiyondur.
ve
.

asimptot fonksiyon grafiği
noktasından uzaklık ( ;
) bu düz çizgiye olan düzlemin orijinden grafiğin noktasından sınırsız bir mesafede sıfır olma eğilimindedir. Dikey (Şekil 4.1), yatay (Şekil 4.2) ve eğik (Şekil 4.3) asimptotlar vardır.

Pirinç. 4.1. Takvim

Pirinç. 4.2. Takvim

Pirinç. 4.3. Takvim

Bir fonksiyonun düşey asimptotları, ya ikinci tür süreksizlik noktalarında (noktadaki fonksiyonun tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuzdur veya yoktur) veya tanım alanının uçlarında aranmalıdır.
, eğer
son sayılardır.

eğer fonksiyon
tam sayı doğrusu üzerinde tanımlanmıştır ve sonlu bir limiti vardır.
, veya
, sonra denklem tarafından verilen düz çizgi
, sağ yatay asimptottur ve düz çizgi
sol yatay asimptottur.

sınırlar varsa

ve
,

sonra düz
fonksiyonun grafiğinin eğik asimptotudur. Eğik asimptot sağ elle de kullanılabilir (
) veya solak (
).

İşlev
sette artan denir
, eğer varsa
, öyle ki >, aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
>
(aynı zamanda azalan:
<
). Bir çok
bu durumda fonksiyonun monotonluk aralığı denir.

Bir fonksiyonun monotonluğu için aşağıdaki yeterli koşul doğrudur: küme içindeki türevlenebilir bir fonksiyonun türevi ise
pozitif (negatif), o zaman bu sette fonksiyon artıyor (azalıyor).

Örnek 4.5. Verilen bir fonksiyon
. Artış ve azalma aralıklarını bulun.

Çözüm. onun türevini bulalım
. bariz ki >0 >3 ve <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) ve (3;
).

Nokta nokta denir yerel maksimum (minimum) fonksiyonlar
, noktanın bir mahallesinde ise eşitsizlik
(
) . Noktadaki fonksiyon değeri aranan en çok en az). Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri ortak bir adla birleştirilir. ekstremum fonksiyonlar.

Fonksiyon için
noktada bir ekstremum vardı bu noktada türevinin sıfıra eşit olması gerekir (
) ya da yoktu.

Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu noktalara denir. sabit fonksiyon noktaları. Durağan bir noktada, mutlaka fonksiyonun bir ekstremumu olmak zorunda değildir. Ekstremi bulmak için, örneğin yeterli ekstremum koşulları kullanarak, fonksiyonun durağan noktalarını ek olarak araştırmak gerekir.

Bunlardan ilki, eğer durağan bir noktadan geçerken soldan sağa, türevlenebilir fonksiyonun türevi artıdan eksiye işaret değiştirir, ardından noktada yerel bir maksimuma ulaşılır. İşaret eksiden artıya değişirse, bu fonksiyonun minimum noktasıdır.

İncelenen noktadan geçerken türevin işareti değişmiyorsa bu noktada ekstremum yoktur.

Durağan bir noktada bir fonksiyonun ekstremumu için ikinci yeterli koşul, fonksiyonun ikinci türevini kullanır: eğer
<0, тоmaksimum noktadır ve eğer
>0, o zaman - minimum puan. saat
=0 ekstremum tipiyle ilgili soru açık kalır.

İşlev
aranan dışbükey içbükey)) sette
, eğer herhangi iki değer için
aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

Şekil4.4. Bir dışbükey fonksiyonun grafiği

İki kez türevlenebilir bir fonksiyonun ikinci türevi ise
setin içinde pozitif (negatif)
, o zaman fonksiyon sette içbükeydir (dışbükey).
.

Sürekli bir fonksiyonun grafiğinin bükülme noktası
fonksiyonun dışbükey ve içbükey olduğu aralıkları ayıran noktaya denir.

İkinci türev
bir bükülme noktasında çift türevlenebilir fonksiyon sıfıra eşittir, yani
= 0.

Bir noktadan geçerken ikinci türev ise işaretini değiştirir, sonra grafiğinin bükülme noktasıdır.

Bir fonksiyonu incelerken ve grafiğini çizerken aşağıdaki şemayı kullanmanız önerilir:

Fonksiyon artışının yaklaşık değeri

Yeterince küçük artışlar için, fonksiyonun diferansiyeline yaklaşık olarak eşittir, yani. Dy » dy ve bu nedenle,

Örnek 2 x argümanı x 0 =3 değerinden x 1 =3,01 değerine değiştiğinde, y= fonksiyonunun artışının yaklaşık değerini bulun.

Çözüm. Formül (2.3) kullanıyoruz. Bunu yapmak için hesaplıyoruz

X 1 - x 0 \u003d 3.01 - 3 \u003d 0.01, sonra

Yapmak " .

Bir noktada bir fonksiyonun yaklaşık değeri

y = f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki artış tanımına göre, Dx (Dx®0) argümanı artırıldığında, Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) ve formül (3.3) yazılabilir

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Formül (3.4)'ün özel durumları aşağıdaki ifadelerdir:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3.4v)

tgDx » Dx (3.4g)

Burada, daha önce olduğu gibi, Dx®0 olduğu varsayılır.

Örnek 3 x 1 \u003d 2.02 noktasında f (x) \u003d (3x -5) 5 fonksiyonunun yaklaşık değerini bulun.

Çözüm. Hesaplamalar için formül (3.4) kullanıyoruz. x 1'i x 1 = x 0 + Dx olarak temsil edelim. Sonra x 0 = 2, Dx = 0.02.

f(2.02)=f(2 + 0.02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2.02) = (3 × 2.02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0.02 = 1,3

Örnek 4(1.01) 5 , , ln(1.02), ln hesaplayın.

Çözüm

1. Formül (3.4a) kullanalım. Bunu yapmak için (1.01) 5'i (1+0.01) 5 olarak temsil ediyoruz.

Sonra, Dx = 0.01, n = 5 varsayarak, şunu elde ederiz:

(1.01) 5 = (1 + 0.01) 5 » 1 + 5 × 0.01 = 1.05.

2. (3.4a'ya göre) (1 - 0.006) 1/6 şeklinde temsil ederek, şunu elde ederiz:

(1 - 0,006) 1/6 "1 + .

3. ln(1.02) = ln(1 + 0.02) olduğunu göz önünde bulundurarak ve Dx=0.02 varsayarak, formül (3.4b) ile elde ederiz.

ln(1.02) = ln(1 + 0.02) » 0.02.

4. Benzer şekilde

ln = ln(1 - 0.05) 1/5 = .

Yaklaşık fonksiyon artışlarını bulun

155. y = 2x 3 + 5, x argümanı x 0 = 2'den x 1 = 2.001'e değiştiğinde

156. x 0 \u003d 3 ve Dx \u003d 0.001 için y \u003d 3x 2 + 5x + 1

157. y \u003d x 3 + x - 1, x 0 \u003d 2 ve Dx \u003d 0.01 ile

158. y \u003d ln x x 0 \u003d 10'da ve Dx \u003d 0.01

159. y \u003d x 2 - x 0 \u003d 3 ve Dx \u003d 0.01 ile 2x

Fonksiyonların yaklaşık değerlerini bulun

160. y \u003d 2x 2 - x + 1, x 1'de \u003d 2.01

161. y \u003d x 2 + 3x + 1, x 1'de \u003d 3.02

162.y= x 1 = 1.1 noktasında

163. y \u003d x 1 \u003d 3.032 noktasında

164. y \u003d x 1 \u003d 3.97 noktasında

165. y \u003d günah 2x, x 1 \u003d 0.015'te

Yaklaşık olarak hesaplayın

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178 ln(1.003×e) 179 ln(1.05) 5 180 ln

181,ln0,98 182,ln 183,ln(e 2 ×0,97)

Fonksiyonları keşfetme ve çizim yapma

Bir fonksiyonun monotonluk belirtileri

Teorem 1 (artan (azalan) fonksiyonlar için gerekli koşul) . Türevlenebilir bir fonksiyon y = f(x), xн(a; b) (a; b) aralığında artar (azalır), o zaman herhangi bir x 0 н(a; b) için.

Teorem 2 (artan (azalan) fonksiyonlar için yeterli koşul) . Eğer bir fonksiyon y = f(x), xн(a; b) (a; b) aralığının her noktasında pozitif (negatif) bir türev alırsa, bu fonksiyon bu aralıkta artar (azalır).

İşlev uç noktaları

Tanım 1. x 0 noktasına, y \u003d f (x) fonksiyonunun maksimum (minimum) noktası denir, eğer x 0 noktasının bazı d-komşularından tüm x için eşitsizlik f (x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) için x ¹ x 0 .

Teorem 3 (Çiftlik) (ekstremumun varlığı için gerekli koşul) . x 0 noktası y = f(x) fonksiyonunun uç noktasıysa ve bu noktada türev varsa,

teorem 4 (bir ekstremumun varlığı için ilk yeterli koşul) . y = f(x) fonksiyonu, x 0 noktasının bazı d komşuluğunda türevlenebilir olsun. O zamanlar:

1) türev x 0 noktasından geçerken işaretini (+)'dan (-)'ye değiştirirse, x 0 maksimum noktadır;

2) türev x 0 noktasından geçerken işaretini (-)'den (+'ya) değiştirirse, x 0 minimum noktadır;

3) x 0 noktasından geçerken türev işaret değiştirmiyorsa, x 0 noktasında fonksiyonun ekstremumu yoktur.

Tanım 2. Bir fonksiyonun türevinin kaybolduğu veya bulunmadığı noktalara denir. birinci türden kritik noktalar.

birinci türevi kullanarak

1. y = f(x) fonksiyonunun D(f) tanım tanım kümesini bulun.

2. Birinci türevi hesaplayın

3. Birinci türden kritik noktaları bulun.

4. y = f(x) fonksiyonunun D(f) tanım kümesine kritik noktaları yerleştirin ve kritik noktaların fonksiyonun tanım kümesini böldüğü aralıklarda türevin işaretini belirleyin.

5. Fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarını seçin ve bu noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın.

örnek 1 Bir ekstremum için y \u003d x 3 - 3x 2 işlevini araştırın.

Çözüm. Birinci türevi kullanarak bir fonksiyonun ekstremumunu bulma algoritmasına göre, elimizde:

1. D(f): xн(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 z x = 0, x = 2 birinci türden kritik noktalardır.

x = 0 noktasından geçerken türev

işareti (+)'dan (-)'ye değiştirir, dolayısıyla bir noktadır

Maksimum. x \u003d 2 noktasından geçerken, işareti (-)'den (+'ya) değiştirir, bu nedenle bu minimum noktadır.

5. ymaks = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Maksimum koordinatlar (0; 0).

y min \u003d f (2) \u003d 2 3 - 3 × 2 2 \u003d -4.

Minimum koordinatlar (2; -4).

Teorem 5 (bir ekstremumun varlığı için ikinci yeterli koşul) . Eğer y = f(x) fonksiyonu tanımlıysa ve x 0 ve noktasının bazı komşuluklarında iki kez türevlenebilirse, o zaman x 0 noktasında f(x) fonksiyonunun bir maksimumu ve bir de minimumu vardır.

Bir fonksiyonun ekstremumunu bulmak için algoritma

ikinci türevi kullanarak

1. y = f(x) fonksiyonunun D(f) tanım tanım kümesini bulun.

2. Birinci türevi hesaplayın

208. f(x) = 209. f(x) =

210. f(x) = x (log x - 2) 211. f(x) = x log 2 x + x + 4

23. Bir fonksiyonun diferansiyeli kavramı. Özellikleri. Yaklaşımda diferansiyelin uygulanmasıinci hesaplamalar.

Fonksiyon diferansiyeli kavramı

y=ƒ(x) fonksiyonunun x noktasında sıfırdan farklı bir türevi olsun.

Daha sonra, bir fonksiyonun, limitinin ve sonsuz küçük bir fonksiyonun bağlantısına ilişkin teoreme göre, ∆х+α ∆х yazabiliriz.

Böylece, ∆у fonksiyonunun artışı, ƒx→0'da sonsuz küçük olan iki terim ƒ "(х) ∆х ve bir ∆х'nin toplamıdır. Bu durumda, birinci terim sonsuz küçük bir fonksiyondur. ∆х ile aynı sıra, çünkü ve ikinci terim, ∆x'ten daha yüksek bir mertebeden sonsuz küçük bir fonksiyondur:

Bu nedenle, ilk terim ƒ "(x) ∆x olarak adlandırılır. artışın ana kısmı fonksiyonlar ∆у.

fonksiyon diferansiyeli y \u003d ƒ (x), x noktasındaki artışının ana kısmı olarak adlandırılır, fonksiyonun türevinin ürününe ve argümanın artışına eşittir ve dу (veya dƒ (x) ile gösterilir):

dy=ƒ"(х) ∆х. (1)

diferansiyel dу olarak da adlandırılır birinci dereceden diferansiyel. Bağımsız değişken x'in diferansiyelini, yani y=x fonksiyonunun diferansiyelini bulalım.

y"=x"=1 olduğundan, formül (1)'e göre, elimizde dy=dx=∆x olur, yani bağımsız değişkenin diferansiyeli şu değişkenin artışına eşittir: dx=∆x.

Bu nedenle formül (1) aşağıdaki gibi yazılabilir:

dy \u003d ƒ "(x) dx, (2)

başka bir deyişle, bir fonksiyonun diferansiyeli, bu fonksiyonun türevinin ürününe ve bağımsız değişkenin diferansiyeline eşittir.

Formül (2)'den, eşitlik dy / dx \u003d ƒ "(x) izler. Şimdi atama

dy/dx türevi, dy ve dx diferansiyellerinin oranı olarak görülebilir.

Diferansiyelaşağıdaki ana özelliklere sahiptir.

1. d(İle birlikte)=0.

2. d(u+w-v)=du+dw-dv.

3. d(uv)=du v+u dv.

d(İle birlikteu)=İle birlikted(u).

4. .

5. y= f(z), , ,

Diferansiyelin formu değişmezdir (değişmez): argümanın basit veya karmaşık olmasına bakılmaksızın, fonksiyonun türevinin ve argümanın diferansiyelinin ürününe her zaman eşittir.

Yaklaşık Hesaplamalara Diferansiyel Uygulama

Zaten bilindiği gibi, y=ƒ(х) fonksiyonunun x noktasındaki ∆у artışı ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х olarak gösterilebilir, burada α→0 ∆х→0, veya dy+α ∆x ∆x'ten daha yüksek bir mertebeden sonsuz küçük α ∆x'i atarak, yaklaşık eşitliği elde ederiz.

∆y≈dy, (3)

üstelik bu eşitlik ne kadar doğruysa ∆x o kadar küçüktür.

Bu eşitlik, herhangi bir türevlenebilir fonksiyonun artışını büyük bir doğrulukla yaklaşık olarak hesaplamamızı sağlar.

Diferansiyel, genellikle fonksiyonun artımından çok daha kolay bulunur, bu nedenle formül (3), hesaplama uygulamalarında yaygın olarak kullanılır.

24. Ters türev fonksiyonu ve belirsizintegral.

TÜREV FONKSİYON VE BELİRSİZ INTEGRAL KAVRAMI

İşlev F (X) denir ters türev fonksiyonu bu işlev için f (X) (veya kısaca, ilkel bu işlev f (X)) belirli bir aralıkta, bu aralıkta ise . Örnek. Fonksiyon, fonksiyonun tüm sayı ekseni üzerindeki antitürevidir, çünkü herhangi bir X. Ters türev işlevi ile birlikte formun herhangi bir işlevi olduğuna dikkat edin, burada İTİBAREN- keyfi bir sabit sayı (bu, sabitin türevinin sıfıra eşit olduğu gerçeğinden kaynaklanır). Bu özellik genel durumda da geçerlidir.

Teorem 1. Eğer ve fonksiyon için iki ters türev ise f (X) bir aralıkta, o zaman bu aralıkta aralarındaki fark sabit bir sayıya eşittir. Bu teoremden, eğer bazı ters türev biliniyorsa, F (X) bu fonksiyonun f (X), daha sonra için tüm ters türevler kümesi f (X) işlevler tarafından tüketilir F (X) + İTİBAREN. İfade F (X) + İTİBAREN, nerede F (X) fonksiyonun antitürevidir f (X) ve İTİBAREN adı verilen keyfi bir sabittir belirsiz integral fonksiyondan f (X) ve sembolü ile gösterilir ve f (X) denir integrand ; - integrand , X - entegrasyon değişkeni ; ∫ - belirsiz integral işareti . Yani tanım gereği eğer . Bir soru ortaya çıktı: herhangi fonksiyonlar f (X) bir ters türev ve dolayısıyla belirsiz bir integral var mı? Teorem 2. eğer fonksiyon f (X) sürekli üzerinde [ a ; b], ardından işlev için bu segmentte f (X) ilkel var . Aşağıda sadece sürekli fonksiyonlar için ters türevlerden bahsedeceğiz. Bu nedenle, bu bölümde aşağıda ele alınan integraller mevcuttur.

25. Belirsizin özellikleriveintegral. integraltemel temel işlevlerden s.

Belirsiz integralin özellikleri

Aşağıdaki formüllerde f ve g- değişken fonksiyonlar x, F- fonksiyonun antitürevi f, bir, k, C sabit değerlerdir.



Temel fonksiyonların integralleri

Rasyonel fonksiyonların integrallerinin listesi

(sıfırın ters türevi bir sabittir; herhangi bir integrasyon aralığında sıfırın integrali sıfıra eşittir)

Logaritmik fonksiyonların integrallerinin listesi

Üstel fonksiyonların integrallerinin listesi

İrrasyonel fonksiyonların integrallerinin listesi

("uzun logaritma")

trigonometrik fonksiyonların integrallerinin listesi , ters trigonometrik fonksiyonların integrallerinin listesi

26. İkame yöntemis değişkeni, belirsiz integralde parçalara göre entegrasyon yöntemi.

Değişken değiştirme yöntemi (ikame yöntemi)

İkame entegrasyon yöntemi, yeni bir entegrasyon değişkeninin (yani bir ikame) tanıtılmasından oluşur. Bu durumda, verilen integral, tablo şeklinde veya ona indirgenebilen yeni bir integrale indirgenir. Yedekleri seçmek için genel yöntemler yoktur. İkameyi doğru bir şekilde belirleme yeteneği, uygulama ile elde edilir.

İntegrali hesaplamak istensin Sürekli türevi olan bir fonksiyonun yerine bir ikame yapalım.

O zamanlar ve belirsiz integralin integralini almak için formülün değişmezlik özelliğine dayanarak, şunu elde ederiz: ikame entegrasyon formülü: