H i hipotezlerinin olasılıkları P(H i) a priori olasılıklar olarak adlandırılır - deneylerden önceki olasılıklar.
P(A/H i) olasılıklarına a posteriori olasılıklar denir - deney sonucunda rafine edilen H i hipotezlerinin olasılıkları.

Örnek 1. Cihaz, yüksek kaliteli parçalardan ve normal kalitede parçalardan monte edilebilir. Cihazların yaklaşık %40'ı yüksek kaliteli parçalardan oluşmaktadır. Cihaz yüksek kaliteli parçalardan monte edilmişse güvenilirliği (olasılığı) çalışma süresi) zamanla t 0.95'tir; sıradan kalitede parçalardan ise - güvenilirliği 0,7'dir. Cihaz t zamanı için test edilmiş ve sorunsuz çalışmıştır. Kaliteli parçalardan yapılmış olma olasılığını bulunuz.
Çözüm.İki hipotez mümkündür: H 1 - cihaz yüksek kaliteli parçalardan monte edilmiştir; H 2 - cihaz, sıradan kalitede parçalardan monte edilmiştir. Bu hipotezlerin deney öncesi olasılıkları: P(H 1) = 0.4, P(H 2) = 0.6. Deney sonucunda A olayı gözlemlendi - cihaz t zamanı için kusursuz çalıştı. H 1 ve H 2 hipotezleri altında bu olayın koşullu olasılıkları: P(A|H 1) = 0.95; P(A|H 2) = 0.7. Formül (12)'yi kullanarak, deneyden sonra H 1 hipotezinin olasılığını buluruz:

Örnek #2. İki atıcı bağımsız olarak aynı hedefe ateş eder, her biri bir atış yapar. İlk atıcı için hedefi vurma olasılığı 0.8, ikinci 0.4 için. Atıştan sonra hedefte bir delik bulundu. İki atıcının aynı noktaya vuramayacağını varsayarak, ilk atıcının hedefi vurma olasılığını bulun.
Çözüm. A olayı, atıştan sonra hedefte bulunan bir delik olsun. Çekim başlamadan önce hipotezler mümkündür:
H 1 - ne birinci ne de ikinci atıcı vurmayacak, bu hipotezin olasılığı: P(H 1) = 0.2 0.6 = 0.12.
H 2 - her iki atıcı da vuracak, P(H 2) = 0.8 0.4 = 0.32.
H 3 - ilk atıcı vuracak ve ikincisi vurmayacak, P(H 3) = 0.8 0.6 = 0.48.
H 4 - ilk atıcı vurmayacak, ikincisi vuracak, P (H 4) = 0,2 0,4 = 0,08.
Bu hipotezler altında A olayının koşullu olasılıkları:

Deneyimden sonra, H 1 ve H 2 hipotezleri imkansız hale gelir ve H 3 ve H 4 hipotezlerinin olasılıkları
eşit olacaktır:

Örnek #3. Montaj atölyesinde, cihaza bir elektrik motoru bağlanmıştır. Elektrik motorları üç üretici tarafından tedarik edilmektedir. Depoda adı geçen santrallerin sırasıyla 19,6 ve 11 adet elektrik motoru garanti süresi sonuna kadar arızasız çalışabilmektedir ve olasılıkları sırasıyla 0,85, 0,76 ve 0,71'dir. Çalışan rastgele bir motor alır ve cihaza bağlar. Garanti süresinin sonuna kadar monte edilen ve hatasız çalışan elektrik motorunun sırasıyla birinci, ikinci veya üçüncü üretici tarafından tedarik edilmesi olasılığını bulunuz.
Çözüm.İlk test elektrik motorunun seçimi, ikincisi ise elektrik motorunun garanti süresi boyunca çalışmasıdır. Aşağıdaki olayları göz önünde bulundurun:
A - elektrik motoru garanti süresinin sonuna kadar kusursuz çalışır;
H 1 - tesisatçı motoru ilk tesisin ürünlerinden alacak;
H 2 - tesisatçı motoru ikinci tesisin ürünlerinden alacak;
H 3 - tesisatçı, motoru üçüncü tesisin ürünlerinden alacaktır.
A olayının olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanır. tam olasılık:

Koşullu olasılıklar problem ifadesinde belirtilmiştir:

olasılıkları bulalım

Örnek #4. Üç elemandan oluşan sistemin çalışması sırasında 1, 2 ve 3 numaralı elemanların arıza yapma olasılıkları 3: 2: 5 ile ilişkilidir. Bu elemanların arıza tespit etme ihtimalleri sırasıyla 0.95; 0.9 ve 0.6.

b) Bu görevin koşulları altında, sistemin çalışması sırasında bir arıza tespit edildi. Hangi öğenin başarısız olma olasılığı daha yüksektir?

Çözüm.
A bir başarısızlık olayı olsun. H1 - birinci elemanın başarısızlığı, H2 - ikinci elemanın başarısızlığı, H3 - üçüncü elemanın başarısızlığı hipotezlerinden oluşan bir sistem sunalım.
Hipotezlerin olasılıklarını buluyoruz:
P(H1) = 3/(3+2+5) = 0,3
P(H2) = 2/(3+2+5) = 0,2
P(H3) = 5/(3+2+5) = 0,5

Problemin durumuna göre, A olayının koşullu olasılıkları:
P(A|H1) = 0,95, P(A|H2) = 0,9, P(A|H3) = 0,6

a) Sistemde bir arıza tespit etme olasılığını bulun.
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0.3*0.95 + 0.2*0.9 + 0.5 *0,6 = 0,765

b) Bu görevin koşulları altında, sistemin çalışması sırasında bir arıza tespit edildi. Hangi öğenin başarısız olma olasılığı daha yüksektir?
P1 = P(H1)*P(A|H1)/ P(A) = 0.3*0.95 / 0.765 = 0.373
P2 = P(H2)*P(A|H2)/ P(A) = 0.2*0.9 / 0.765 = 0.235
P3 = P(H3)*P(A|H3)/ P(A) = 0,5*0,6 / 0,765 = 0,392

Üçüncü elemanın maksimum olasılığı.

Kısa teori

Bir olay, yalnızca tam bir uyumsuz olay grubunu oluşturan olaylardan birinin meydana gelmesi durumunda meydana gelirse, bu, olayların her birinin olasılıklarının çarpımlarının toplamına ve karşılık gelen koşullu olasılık cüzdanına eşittir.

Bu durumda olaylara hipotez, olasılıklara ise a priori denir. Bu formüle toplam olasılık formülü denir.

Bayes formülü, tam bir olay grubunu oluşturan olaylardan herhangi biri ile birlikte ortaya çıkan bir olay meydana geldiğinde ve hipotez olasılıklarının nicel bir yeniden değerlendirilmesinin yapılması gerektiğinde, pratik problemlerin çözümünde kullanılır. A priori (deneyimden önce) olasılıklar bilinmektedir. Bir posteriori (deneyimden sonra) olasılıkları hesaplamak gerekir, yani. Esasen, koşullu olasılıkları bulmanız gerekir. Bayes formülü şöyle görünür:

Bir sonraki sayfa, üzerindeki sorunla ilgilidir.

Sorun çözümü örneği

Görev 1'in durumu

Fabrikada 1, 2 ve 3 numaralı makineler tüm parçaların sırasıyla %20'sini, %35'ini ve %45'ini üretir. Ürünlerinde kusur sırasıyla %6, %4, %2'dir. Rastgele seçilen bir ürünün kusurlu olma olasılığı nedir? Aşağıdaki durumlarda üretilmiş olma olasılığı nedir: a) makine 1 tarafından; b) makine 2; c) makine 3?

1. sorun çözümü

Standart ürünün kusurlu olduğu ortaya çıktı olayı ile belirtin.

Bir olay yalnızca şu üç olaydan biri meydana gelirse gerçekleşebilir:

Ürün 1 numaralı makinede üretilmekte olup;

Ürün 2. makinede üretilmekte olup;

Ürün makine 3'te üretilmekte olup;

Koşullu olasılıkları yazalım:

Toplam Olasılık Formülü

Bir olay ancak tam bir uyumsuz olaylar grubunu oluşturan olaylardan biri meydana geldiğinde meydana gelebilirse, olayın olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanır.

Toplam olasılık formülünü kullanarak bir olayın olasılığını buluruz:

Bayes formülü

Bayes formülü "neden ve sonucu yeniden düzenlemenizi" sağlar: göre bilinen gerçek Belirli bir nedenden kaynaklanma olasılığını hesaplamak için olay.

1. makinede kusurlu bir parça üretilmiş olma olasılığı:

2. makinede kusurlu bir parça üretilmiş olma olasılığı:

3 numaralı makinede kusurlu bir parça üretilmiş olma olasılığı:

Görev 2'nin durumu

Grup 1 mükemmel öğrenci, 5 iyi öğrenci ve 14 vasat öğrenciden oluşmaktadır. Mükemmel bir öğrenci 5 ve 4'ü eşit olasılıkla cevaplar, iyi bir öğrenci 5, 4 ve 3'ü eşit olasılıkla cevaplar ve vasat bir öğrenci 4,3 ve 2'yi eşit olasılıkla cevaplar. Rastgele seçilen bir öğrenci cevapladı 4. Vasat bir öğrencinin aranma olasılığı nedir?

2. sorun çözümü

Hipotezler ve koşullu olasılıklar

Aşağıdaki hipotezler mümkündür:

Mükemmel öğrenci yanıtladı;

iyi cevap verdi;

- vasat öğrenciyi yanıtladı;

event -studen 4 olsun.

Cevap:

Fiyat, kararın aciliyetinden büyük ölçüde etkilenir (günlerden birkaç saate kadar). Sınavda/testte online yardım randevu alınarak gerçekleştirilir.

Uygulama, daha önce görevlerin durumunu atmış ve sizi çözmek için son tarihler hakkında bilgilendirerek doğrudan sohbette bırakılabilir. Yanıt süresi birkaç dakikadır.

Amaç: Toplam olasılık formülünü ve Bayes formülünü kullanarak olasılık teorisindeki problemleri çözme becerilerini oluşturmak.

Toplam Olasılık Formülü

Olay Olasılığı ANCAK, yalnızca uyumsuz olaylardan biri meydana gelirse meydana gelebilir B x, B 2 ,..., Bn, tam bir grup oluşturmak, bu olayların her birinin olasılıklarının ve A olayının karşılık gelen koşullu olasılığının ürünlerinin toplamına eşittir:

Bu formül denir toplam olasılık formülü.

Hipotezlerin olasılığı. Bayes formülü

olay olsun ANCAK uyumsuz olaylardan biri meydana gelirse meydana gelebilir B b B 2 ,...,B p, tam bir grup oluşturuyor. Bu olaylardan hangisinin gerçekleşeceği önceden bilinmediğinden bunlara hipotez denir. Bir olayın meydana gelme olasılığı ANCAK toplam olasılık formülü ile belirlenir:

Bir testin gerçekleştirildiğini ve bunun sonucunda bir olayın meydana geldiğini varsayalım. ANCAK. nasıl değiştiklerinin (olaydan dolayı) tespit edilmesi gerekmektedir. ANCAK zaten geldi) hipotezlerin olasılıkları. Hipotezlerin koşullu olasılıkları formülle bulunur

Bu formülde indeks / = 1.2

Bu formüle Bayes formülü denir (onu türeten İngiliz matematikçiden sonra; 1764'te yayınlandı). Bayes formülü, testin sonucu bilindikten sonra, olayın ortaya çıkması sonucunda hipotezlerin olasılıklarını yeniden tahmin etmenize olanak tanır. ANCAK.

Görev 1. Tesis belirli bir tür parça üretiyor, her parçada 0,05 olasılıkla bir kusur var. Parça bir denetçi tarafından denetlenir; 0.97 olasılıkla bir kusur tespit eder ve herhangi bir kusur bulunmazsa parçayı bitmiş ürüne geçirir. Ayrıca müfettiş kusuru olmayan bir parçayı yanlışlıkla reddedebilir; bunun olasılığı 0.01'dir. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: A - kısım reddedilecek; B - kısım reddedilecek, ancak hatalı olarak; C - parça kusurlu bitmiş ürüne atlanır.

Çözüm

Hipotezleri gösterelim:

H= (denetim için standart bir parça gönderilecektir);

H= (denetim için standart olmayan bir parça gönderilecektir).

Etkinlik bir =(kısmı reddedilecektir).

Problemin durumundan olasılıkları buluruz.

PH (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

Toplam olasılık formülüne göre, elde ederiz

Bir parçanın yanlışlıkla reddedilme olasılığı

Parçanın kusurlu bitmiş ürüne atlanma olasılığını bulalım:

Cevap:

Görev 2.Ürün, üç emtia uzmanından biri tarafından standartlık açısından kontrol edilir. Ürünün birinci satıcıya ulaşma olasılığı 0,25, ikinci satıcıya 0,26 ve üçüncü satıcıya 0,49'dur. Ürünün ilk satıcı tarafından standart olarak tanınma olasılığı 0,95, ikinci - 0,98, üçüncü - 0,97'dir. Standart ürünün ikinci denetçi tarafından kontrol edilme olasılığını bulun.

Çözüm

Olayları belirtelim:

L =(doğrulama için ürün /-th emtia yöneticisine gidecek); / = 1, 2, 3;

B =(ürün standart olarak kabul edilecektir).

Problemin durumuna göre olasılıklar bilinir:

Koşullu olasılıkları da biliyoruz

Bayes formülünü kullanarak, standart ürünün ikinci kontrolör tarafından kontrol edilme olasılığını buluyoruz:

Cevap:"0.263.

Bir görev 3. İki makine, ortak bir konveyöre giden parçalar üretir. İlk makinede standart olmayan bir parça elde etme olasılığı 0,06 ve ikinci makinede - 0,09'dur. İkinci makinenin performansı, birincinin iki katıdır. Konveyörden standart olmayan bir parça alındı. Bu parçanın ikinci makine tarafından üretilmiş olma olasılığını bulun.

Çözüm

Olayları belirtelim:

A =(montaj hattından alınan parça i-th makinesinde üretilir); / = 1.2;

AT= (alınan kısım standart dışı olacaktır).

Koşullu olasılıkları da biliyoruz

Toplam olasılık formülünü kullanarak,

Bayes formülünü kullanarak, alınan standart olmayan parçanın ikinci otomat tarafından üretilme olasılığını buluyoruz:

Cevap: 0,75.

Görev 4. Güvenilirliği sırasıyla 0,8 ve 0,9 olan iki düğümden oluşan bir cihaz test edilir. Düğümler birbirinden bağımsız olarak başarısız olur. Cihaz başarısız oldu. Bunu dikkate alarak hipotezlerin olasılıklarını bulun:

• a) yalnızca ilk düğüm hatalı;
• b) sadece ikinci düğüm hatalı;
• c) her iki düğüm de hatalı.

Çözüm

Olayları belirtelim:

D = (7. düğüm başarısız olmaz); i = 1,2;

D - karşılık gelen zıt olaylar;

ANCAK= (test sırasında cihaz başarısız olur).

Problemin koşulundan şunu elde ederiz: P(D) = 0.8; P(L 2) = 0,9.

Zıt olayların olasılıklarının özelliği ile

Etkinlik ANCAKürünlerin toplamına eşittir bağımsız olaylar

Uyumsuz olayların olasılıkları için toplama teoremini ve bağımsız olayların olasılıklarını çarpma teoremini kullanarak,

Şimdi hipotezlerin olasılıklarını buluyoruz:

Cevap:

Görev 5. Fabrikada civatalar toplam civata sayısının sırasıyla %25, %30 ve %45'ini üreten üç makinede yapılmaktadır. Takım tezgahlarının üretiminde kusur sırasıyla %4, %3 ve %2'dir. Gelen bir üründen rastgele alınan bir cıvatanın bozuk olma olasılığı nedir?

Çözüm

Olayları belirtelim:

4 = (i-inci makinede rastgele alınan bir cıvata yapıldı); i = 1, 2, 3;

AT= (rastgele alınan bir cıvata kusurlu olacaktır).

Problemin durumundan, klasik olasılık formülünü kullanarak hipotezlerin olasılıklarını buluruz:

Ayrıca, klasik olasılık formülünü kullanarak koşullu olasılıkları buluruz:

Toplam olasılık formülünü kullanarak,

Cevap: 0,028.

Görev 6. Elektronik devre, 0.25 olasılıkla üç gruptan birine aittir; 0,5 ve 0,25. Devrenin her bir taraf için garanti süresinin ötesinde çalışması olasılığı sırasıyla 0,1'dir; 0.2 ve 0.4. Rastgele seçilen bir devrenin garanti süresinin ötesinde çalışma olasılığını bulun.

Çözüm

Olayları belirtelim:

4 \u003d (rastgele alınan şema r. parti); ben = 1, 2, 3;

AT= (rastgele alınan bir devre garanti süresinin ötesinde çalışacaktır).

Problemin durumuna göre hipotezlerin olasılıkları bilinir:

Koşullu olasılıkları da biliyoruz:

Toplam olasılık formülünü kullanarak,

Cevap: 0,225.

Görev 7. Cihaz, her birinin servis kolaylığı cihazın çalışması için gerekli olan iki blok içerir. Bu bloklar için hatasız çalışma olasılıkları sırasıyla 0.99 ve 0.97'dir. Cihaz arızalı. Her iki birimin de başarısız olma olasılığını belirleyin.

Çözüm

Olayları belirtelim:

D = ( z bloğu başaramayacak); i = 1,2;

ANCAK= (cihaz başarısız olur).

Problemin koşulundan, zıt olayların olasılıklarının özelliğine göre şunları elde ederiz: DD) = 1-0.99 = 0.01; DD) = 1-0.97 = 0.03.

Etkinlik ANCAK sadece D olaylarından en az biri veya 2 . Bu nedenle, bu olay olayların toplamına eşittir. ANCAK= D + ANCAK 2 .

Ortak olayların olasılıkları için toplama teoremi ile elde ederiz.

Bayes formülünü kullanarak, her iki bloğun da arızalanması nedeniyle cihazın arızalanma olasılığını buluyoruz.

Cevap:

Bağımsız çözüm için görevler Görev 1. Televizyon stüdyosunun deposunda, 1 No'lu fabrika tarafından üretilen kineskopların% 70'i var; kalan kineskoplar 2 No'lu tesis tarafından üretilmiştir. Kineskopun garanti süresi boyunca arızalanmama olasılığı 1 No'lu tesisin kineskopları için 0,8 ve 2 No'lu tesisin kineskopları için 0,7'dir. Kineskop garanti süresine dayanmıştır. 2 numaralı bitki tarafından üretilmiş olma olasılığını bulun.

Görev 2. Montaja üç otomatik makineden parçalar geliyor. 1. makinenin %0.3, 2. - %0.2, 3. - %0.4 kusur verdiği bilinmektedir. 1. makineden 1000 parça, 2. makineden 2000 parça ve 3. makineden 2500 parça alınmışsa, montaj için kusurlu bir parça alma olasılığını bulun.

Görev 3.İki makine aynı parçaları üretiyor. İlk makinede üretilen bir parçanın standart olma olasılığı 0,8, ikinci makinede ise 0,9'dur. İkinci makinenin performansı, birincinin üç katıdır. Standart parçanın her iki makineden de parça alan konveyörden rastgele alınma olasılığını bulun.

Görev 4.Şirketin başkanı, üç nakliye şirketinden ikisinin hizmetlerini kullanmaya karar verdi. Birinci, ikinci ve üçüncü firmaların malları zamanında teslim etme olasılıkları sırasıyla 0,05'tir; 0.1 ve 0.07. Bu verileri kargo taşımacılığının güvenliğine ilişkin verilerle karşılaştıran yönetici, seçimin adil olduğu sonucuna vardı ve bunu kura ile yapmaya karar verdi. Gönderilen kargonun zamanında teslim edilme olasılığını bulunuz.

Görev 5. Cihaz, her birinin servis kolaylığı cihazın çalışması için gerekli olan iki blok içerir. Bu bloklar için hatasız çalışma olasılıkları sırasıyla 0.99 ve 0.97'dir. Cihaz arızalı. İkinci birimin başarısız olma olasılığını belirleyin.

Bir görev 6. Montaj atölyesi, üç makineden parça alır. İlk makine evliliğin %3'ünü, ikincisi - %1 ve üçüncüsü - %2'sini verir. Her makineden sırasıyla 500, 200, 300 parça alındıysa, arızalı olmayan bir parçanın montaja girme olasılığını belirleyin.

Görev 7. Depo üç firmanın ürünlerini alıyor. Ayrıca, birinci firmanın üretimi %20, ikinci - %46 ve üçüncü - %34'tür. Ayrıca birinci firma için standart olmayan ürünlerin ortalama yüzdesinin %5, ikinci firma için %2 ve üçüncü firma için %1 olduğu bilinmektedir. Rastgele seçilen bir ürünün standart olduğu ortaya çıkarsa ikinci şirket tarafından üretilmiş olma olasılığını bulun.

Görev 8. Bir kusur nedeniyle bitkinin üretiminde evlilik a%5'tir ve reddedilenler arasında aürünlerin %10'unda bir kusur var R. Ve hatasız ürünlerde a, kusur R vakaların %1'inde görülür. Bir kusurla karşılaşma olasılığını bulun R tüm ürünlerde.

Görev 9.Şirketin daha önce onarımda olan 10 yeni arabası ve 5 eski arabası var. Yeni bir araba için uygun çalışma olasılığı, eski bir araba için 0,94 - 0,91'dir. Rastgele seçilen bir arabanın düzgün çalışma olasılığını bulun.

Görev 10.İki sensör, ortak bir iletişim kanalına sinyal gönderir ve bunlardan ilki, ikincinin iki katı kadar sinyal gönderir. İlk sensörden bozuk bir sinyal alma olasılığı, ikinci - 0,03'ten 0,01'dir. Ortak bir iletişim kanalında bozuk bir sinyal alma olasılığı nedir?

Görev 11. Beş ürün grubu vardır: 6'sı standart ve 2'si standart olmayan olmak üzere 8 parçalık üç grup ve 7'si standart ve 3'ü standart olmayan olmak üzere 10 parçalık iki grup. Partilerden biri rastgele seçilir ve bu partiden bir detay alınır. Seçilen parçanın standart olma olasılığını belirleyin.

Görev 12. Montajcı, parçaların ortalama olarak %50'sini birinci tesisten, %30'unu ikinci tesisten ve %20'sini üçüncü tesisten alır. İlk fabrikanın parçasının mükemmel kalitede olma olasılığı 0,7'dir; ikinci ve üçüncü bitkilerin parçaları için sırasıyla 0,8 ve 0,9. Rastgele alınan parçanın mükemmel kalitede olduğu ortaya çıktı. Parçanın ilk fabrika tarafından yapılmış olma olasılığını bulunuz.

Görev 13. Arabaların gümrük muayenesi iki müfettiş tarafından yapılır. Ortalama olarak, 100 arabadan 45'i ilk müfettişten geçer. Muayene sırasında gümrük kurallarına uygun bir arabanın alıkonulmama olasılığı, birinci müfettiş için 0,95, ikinci müfettiş için 0,85'tir. Gümrük kurallarına uyan bir arabanın alıkonulmama olasılığını bulunuz.

Görev 14. Cihazı monte etmek için gerekli parçalar, performansı aynı olan iki otomatik makineden gelmektedir. Otomatlardan biri standardın ortalama% 3'ünü ve ikincisi -% 2'yi verirse, standart bir parçanın montaja girme olasılığını hesaplayın.

Görev 15. Halter antrenörü, bu ağırlık kategorisinde takım kredisi almak için bir sporcunun 200 kg'lık bir halter itmesi gerektiğini hesapladı. Ivanov, Petrov ve Sidorov takımda yer alıyor. Ivanov, eğitim sırasında 7 vakada bu ağırlığı kaldırmaya çalıştı ve 3'ünde kaldırdı. Petrov 13'te 6 kez kaldırdı ve Sidorov'un halteri başarıyla kullanma şansı %35. Antrenör takım için rastgele bir sporcu seçer.

• a) Seçilen sporcunun takım puanlarını getirme olasılığını bulun.
• b) Takım puan alamadı. Sidorov'un konuşma olasılığını bulun.

Görev 16. Beyaz bir kutuda 12 kırmızı ve 6 mavi top vardır. Siyah - 15 kırmızı ve 10 mavi top. Zar atmak. Puan sayısı 3'ün katıysa, beyaz kutudan rastgele bir top çekiliyor. Başka herhangi bir puan düşerse, kara kutudan rastgele bir top alınır. Kırmızı bir topun gelme olasılığı nedir?

Görev 17.İki kutuda radyo tüpleri bulunur. İlk kutu, 1'i standart olmayan 12 lamba içerir; ikincisinde 1 tanesi standart olmayan 10 adet lamba bulunmaktadır. Birinci kutudan rastgele bir lamba alınıp ikinci kutuya aktarıldı. İkinci kutudan rastgele çekilen bir lambanın standart dışı olma olasılığını bulun.

Görev 18.İçinde iki top bulunan bir kavanoza beyaz bir top atılıyor ve ardından rastgele bir top çekiliyor. Topların ilk bileşimi (renge göre) hakkında tüm olası varsayımlar eşit derecede mümkünse, çekilen topun beyaz olma olasılığını bulun.

Görev 19. 3 özdeş parça içeren bir kutuya standart bir parça atılıyor ve ardından rastgele bir parça çekiliyor. Kutudaki orijinal standart parçaların sayısıyla ilgili tüm olası tahminler eşit derecede olasıysa, standart bir parçanın çizilme olasılığını bulun.

Görev 20. Radyo iletişiminin kalitesini artırmak için iki radyo alıcısı kullanılır. Her alıcı tarafından bir sinyal alma olasılığı 0,8'dir ve bu olaylar (alıcı tarafından sinyal alımı) bağımsızdır. Her alıcı için bir radyo iletişim oturumu sırasında hatasız çalışma olasılığı 0,9 ise, sinyal alma olasılığını belirleyin.

Toplam olasılık formülü türetilirken olayın ANCAK Olasılığı belirlenecek olan olaylardan birinin başına gelebilir H 1 , N 2 , ... , H n, tam bir ikili uyumsuz olaylar grubu oluşturur. Bu olayların (hipotezlerin) olasılıkları önceden biliniyordu. Bir deney yapıldığını varsayalım, bunun sonucunda olay ANCAK geldi. Bu Ek Bilgiler hipotezlerin olasılıklarını yeniden değerlendirmenizi sağlar Merhaba , hesaplanmış P(H ben/A).

veya toplam olasılık formülünü kullanarak,

Bu formüle Bayes formülü veya hipotez teoremi denir. Bayes formülü, deneyin sonucu bilindikten sonra hipotezlerin olasılıklarını "gözden geçirmenize" izin verir, bunun sonucunda olayın ortaya çıktığı ANCAK.

olasılıklar Р(Н ben) hipotezlerin a priori olasılıklarıdır (deneyden önce hesaplanmıştır). olasılıklar P(H ben /A) hipotezlerin a posteriori olasılıklarıdır (deneyden sonra hesaplanırlar). Bayes formülü, önceki olasılıklardan ve olayın koşullu olasılıklarından sonsal olasılıkları hesaplamanıza izin verir. ANCAK.

Örnek. Tüm erkeklerin %5'inin ve tüm kadınların %0.25'inin renk körü olduğu bilinmektedir. Sağlık kartı numarasına göre rastgele seçilen bir kişi renk körlüğünden muzdariptir. erkek olma olasılığı kaçtır?

Çözüm. Etkinlik ANCAK Kişi renk körüdür. Deney için temel olayların alanı - bir kişi tıbbi kartın numarasına göre seçilir - Ω = ( H 1 , N 2 ) 2 olaydan oluşur:

H 1 - bir adam seçilir,

H 2 - bir kadın seçilir.

Bu olaylar hipotez olarak seçilebilir.

Problemin durumuna göre (rastgele seçim), bu olayların olasılıkları aynı ve eşittir. P(H 1 ) = 0.5; P(H 2 ) = 0.5.

Bu durumda, bir kişinin renk körlüğünden muzdarip olduğu koşullu olasılıklar sırasıyla eşittir:

TAVA 1 ) = 0.05 = 1/20; TAVA 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Seçilen kişinin renk körü olduğu, yani olayın gerçekleştiği bilindiğinden, ilk hipotezi yeniden değerlendirmek için Bayes formülünü kullanırız:

Örnek.Üç özdeş kutu var. Birinci kutuda 20 beyaz top, ikinci kutuda 10 beyaz ve 10 siyah top ve üçüncü kutuda 20 siyah top bulunmaktadır. Rastgele seçilen bir kutudan beyaz bir top çekiliyor. Topun ilk kutudan çekilme olasılığını hesaplayın.

Çözüm. ile belirtmek ANCAK olay - beyaz bir topun görünümü. Kutunun seçimi hakkında üç varsayım (hipotez) yapılabilir: H 1 ,H 2 , H 3 - sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü kutuların seçimi.

Kutulardan herhangi birinin seçimi eşit derecede mümkün olduğundan, hipotezlerin olasılıkları aynıdır:

P(H 1 )=P(H 2 )=P(H 3 )= 1/3.

Problemin durumuna göre ilk kutudan beyaz bir top çekme olasılığı

İkinci kutudan beyaz bir top çekme olasılığı

Üçüncü kutudan beyaz bir top çekme olasılığı

Bayes formülünü kullanarak istenen olasılığı buluyoruz:

Testlerin tekrarı. Bernoulli formülü.

Her birinde A olayının meydana gelebileceği veya gelmeyebileceği n deneme vardır ve her bir denemede A olayının olasılığı sabittir, yani. deneyimden deneyime değişmez. Bir deneyde A olayının olasılığını nasıl bulacağımızı zaten biliyoruz.

n deneyde A olayının belirli sayıda (m kez) meydana gelme olasılığı özel ilgi konusudur. testler bağımsız ise bu tür sorunlar kolayca çözülür.

Def. Birkaç test denir A olayına göre bağımsız her birinde A olayının olasılığı diğer deneylerin sonuçlarına bağlı değilse.

A olayının meydana gelme olasılığı P n (m) tam olarak m kez (olmama n-m kez, olay ) bu n denemede. A Olayı, m kez çeşitli dizilerde görünür.

Bernoulli formülü.

Aşağıdaki formüller açıktır:

Pn (m az n denemede k kez.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - A olayının gerçekleşme olasılığı daha fazla n denemede k kez.1) n = 8, m = 4, p = q = ½,

Bayes formülü

Bayes teoremi- gözlemlere dayanarak olaylar hakkında sadece bazı kısmi bilgilerin bilindiği koşullar altında bir olayın meydana gelme olasılığını belirleyen temel olasılık teorisinin ana teoremlerinden biri. Bayes formülüne göre, hem önceden bilinen bilgileri hem de yeni gözlemlerden elde edilen verileri dikkate alarak olasılığı daha doğru bir şekilde yeniden hesaplamak mümkündür.

"Fiziksel anlam" ve terminoloji

Bayes formülü "nedeni ve sonucu yeniden düzenlemenize" izin verir: bir olayın bilinen gerçeği göz önüne alındığında, belirli bir nedenden kaynaklanma olasılığını hesaplayın.

Bu durumda "nedenlerin" eylemini yansıtan olaylara genellikle denir. hipotezler, Çünkü onlar sözde ona yol açan olaylar. Bir hipotezin geçerliliğinin koşulsuz olasılığına denir. Önsel(Nedeni ne kadar olası? genel olarak) ve koşullu - olayın gerçeğini dikkate alarak - bir posteriori(Nedeni ne kadar olası? olay verilerini dikkate aldığı ortaya çıktı).

Sonuçlar

Bayes formülünün önemli bir sonucu, aşağıdakilere bağlı olarak bir olayın toplam olasılığının formülüdür. birçok tutarsız hipotezler ( ve sadece onlardan!).

formül türetme

Bir olay yalnızca nedenlere bağlıysa A i, o zaman olduysa, bazı nedenlerin mutlaka gerçekleştiği anlamına gelir, yani.

Bayes formülüne göre

Aktar P(B) sağa, istenen ifadeyi elde ederiz.

Spam filtreleme yöntemi

Bayes teoremine dayalı bir yöntem spam filtrelemede başarıyla uygulanmıştır.

Tanım

Filtreyi eğitirken, harflerle karşılaşılan her kelime için “ağırlığı” hesaplanır ve saklanır - bu kelimeye sahip bir harfin spam olma olasılığı (en basit durumda, olasılığın klasik tanımına göre: “istenmeyen postadaki görünümler / her şeyin görünüşü”).

Yeni gelen bir mektubu kontrol ederken, bir dizi hipotez için yukarıdaki formüle göre spam olma olasılığı hesaplanır. Bu durumda, "hipotezler" kelimelerdir ve her kelime için "hipotezin güvenilirliği" - bu kelimenin harfteki %'si ve "olayın hipoteze bağımlılığı" P(B | A i) - kelimenin önceden hesaplanmış "ağırlığı". Yani, bu durumda mektubun "ağırlığı", tüm kelimelerinin ortalama "ağırlığından" başka bir şey değildir.

Bir mektup, "ağırlığının" kullanıcı tarafından belirlenen belirli bir çubuğu aşmasına göre "spam" veya "spam olmayan" olarak sınıflandırılır (genellikle %60-80 alırlar). Bir harfe karar verildikten sonra, içinde yer alan kelimelerin “ağırlıkları” veri tabanında güncellenir.

karakteristik

Bu yöntem basittir (algoritmalar temeldir), kullanışlıdır ("kara listeler" ve benzeri yapay hileler olmadan yapmanıza izin verir), etkilidir (yeterince büyük bir örnek üzerinde eğitim aldıktan sonra, spam'in% 95-97'sini keser, ve herhangi bir hata durumunda yeniden eğitilebilir). Genel olarak, yaygın kullanımı için tüm göstergeler vardır, pratikte olan budur - neredeyse tüm modern spam filtreleri bunun üzerine kuruludur.

Bununla birlikte, yöntemin temel bir dezavantajı da vardır: varsayıma dayalı, ne bazı kelimeler istenmeyen e-postalarda daha yaygındır, diğerleri ise normal e-postalarda daha yaygındır, ve bu varsayım yanlışsa verimsizdir. Bununla birlikte, uygulamanın gösterdiği gibi, bir kişi bile bu tür istenmeyen postaları "gözle" belirleyemez - ancak mektubu okuduktan ve anlamını anladıktan sonra.

Uygulamayla ilgili temel olmayan başka bir dezavantaj - yöntem yalnızca metinle çalışır. Bu sınırlamayı bilen spam gönderenler, reklam bilgilerini resme koymaya başlarken, mektuptaki metin ya yoktur ya da anlamsızdır. Buna karşı, metin tanıma araçlarından herhangi birini kullanmak gerekir (“pahalı” bir prosedür, yalnızca şu durumlarda kullanılır: acil Durum) veya eski filtreleme yöntemleri - "kara listeler" ve normal ifadeler (çünkü bu tür harfler genellikle kalıplaşmış bir forma sahiptir).

Ayrıca bakınız

Notlar

Bağlantılar

Edebiyat

• Byrd Kivi. Rev. Bayes Teoremi. // Computerra dergisi, 24 Ağustos 2001
• Paul Graham. Spam için bir plan. // Paul Graham'ın kişisel web sitesi.

Wikimedia Vakfı. 2010 .

Diğer sözlüklerde "Bayes formülü" ne bakın:

Şuna benzeyen bir formül: nerede a1, A2, ..., An uyumsuz olaylardır, F.'nin uygulanması için genel şema. g.: eğer B olayı ayrıştırmada gerçekleşebilirse. A1, A2, ..., An hipotezlerinin P (A1), ... deneyden önce bilinen, ... ... olasılıklarıyla yapıldığı koşullar altında Jeolojik Ansiklopedi

Belirli hipotezleri ve bu hipotezlerin olasılıklarını varsayarak, bu olayın koşullu olasılıkları aracılığıyla ilgilenilen bir olayın olasılığını hesaplamanıza olanak tanır. Formülasyon Bir olasılık uzayı ve çiftler halinde tam bir grup verilsin ... ... Wikipedia

Belirli hipotezleri ve bu hipotezlerin olasılıklarını varsayarak, bu olayın koşullu olasılıkları aracılığıyla ilgilenilen bir olayın olasılığını hesaplamanıza olanak tanır. Formülasyon Bir olasılık alanı ve tam bir olay grubu verilsin, örneğin ... ... Wikipedia

- (veya Bayes formülü), bir olayın (hipotez) meydana gelme olasılığını belirlemenize izin veren, olasılık teorisinin ana teoremlerinden biri, yalnızca yanlış olabilecek dolaylı kanıtların (verilerin) varlığında ... Wikipedia

Bayes teoremi, gözlemlere dayalı olarak olaylar hakkında sadece bazı kısmi bilgilerin bilindiği koşullar altında bir olayın meydana gelme olasılığını belirleyen temel olasılık teorisinin ana teoremlerinden biridir. Bayes formülüne göre, şunları yapabilirsiniz ... ... Wikipedia

Bayes, Thomas Thomas Bayes Muhterem Thomas Bayes Doğum tarihi: 1702 (1702) Doğum yeri ... Wikipedia

Thomas Bayes Rahip Thomas Bayes Doğum tarihi: 1702 (1702) Doğum yeri: Londra ... Wikipedia

Bayes çıkarımı, kanıt geldiğinde hipotezlerin doğruluğunun olasılıksal tahminlerini iyileştirmek için Bayes formülünün kullanıldığı istatistiksel çıkarım yöntemlerinden biridir. Bayes güncellemesinin kullanımı özellikle ... ... Wikipedia'da önemlidir

Bu makaleyi geliştirmek ister misiniz?: Yazılanları doğrulayan yetkili kaynaklara referanslar için dipnotlar bulun ve sağlayın. Dipnotlar koyarak, kaynakların daha kesin gösterimlerini yapın. Pere ... Vikipedi

Tutsaklar kendi bencil çıkarları uğruna birbirlerine ihanet mi edecekler yoksa toplam süreyi kısaltarak sessiz mi kalacaklar? Mahkumun ikilemi (İng. Mahkumun ikilemi, "ikilem" adı daha az kullanılır ... Wikipedia

Kitabın

• Problemlerde Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik. 360'tan fazla görev ve alıştırma, Borzykh D.A. Önerilen kılavuz görevleri içerir farklı seviyeler zorluklar. Bununla birlikte, ana vurgu orta karmaşıklıktaki görevlere verilir. Bu kasıtlı olarak öğrencileri teşvik etmek için yapılır…