1. polinomlar kümesi P n (x) dereceler daha yüksek değil n.

2. Bir çok n-terimli diziler (bir skaler ile terimsel toplama ve çarpma ile).

3 . Birçok özellik C [ a , b ] sürekli [ a, b] ve bir skaler ile noktasal toplama ve çarpma ile.

4. [ üzerinde tanımlanan işlevler kümesi a, b] ve bazı sabit iç noktada kaybolma c: f (c) = 0 ve bir skaler ile noktasal toplama ve çarpma işlemleri ile.

5. R + kümesi ise x ⊕ y  x  y, ⊙x x  .

§sekiz. Altuzay Tanımı

set olsun W lineer uzayın bir alt kümesidir V (W  V) ve bunun gibi

a)  x, yW  x ⊕ yW;

b)  xW,    ⊙ xW.

Burada toplama ve çarpma işlemleri uzaydaki ile aynıdır. V(uzay kaynaklı olarak adlandırılırlar V).

böyle bir kalabalık W uzayın bir alt uzayı denir V.

7  . alt uzay W kendisi uzaydır.

◀ Bunu ispatlamak için bir nötr elementin ve bir zıt elementin varlığını ispat etmek yeterlidir. Eşitlikler 0⊙ x=  ve (–1)⊙ X = –X gerekli olanı kanıtla.

Yalnızca nötr bir elemandan () ve uzayın kendisiyle çakışan bir alt uzaydan oluşan bir alt uzay V, uzayın önemsiz alt uzayları denir V.

§9. Vektörlerin lineer kombinasyonu. Bir vektör sisteminin lineer açıklığı

vektörler olsun e 1 ,e 2 , …e n V ve  1 ,  2 , …  n .

Vektör x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = lineer denir vektörlerin kombinasyonu e 1 , e 2 , … , e n katsayılı  1 ,  2 , …  n .

Doğrusal bir kombinasyondaki tüm katsayılar sıfırsa, doğrusal kombinasyon arananönemsiz.

Vektörlerin birçok olası lineer kombinasyonu
doğrusal yayılma denir bu vektör sistemi ve şu şekilde gösterilir:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Bir skaler ile toplama ve çarpmanın doğruluğu, ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) olası tüm lineer kombinasyonların kümesidir. Nötr eleman önemsiz bir doğrusal kombinasyondur. eleman için X=
zıt eleman x =
. İşlemlerin karşılaması gereken aksiyomlar da sağlanır. Böylece, ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) lineer bir uzaydır.

Herhangi bir lineer uzay, genel durumda, sonsuz sayıda başka lineer uzay (altuzay) içerir - lineer kabuklar

Gelecekte, aşağıdaki soruları cevaplamaya çalışacağız:

Lineer kabuklar ne zaman farklı sistemler vektörler aynı vektörlerden mi oluşuyor (yani çakışıyor)?

2) Aynı lineer açıklığı tanımlayan minimum vektör sayısı nedir?

3) Orijinal uzay, bazı vektör sistemlerinin lineer bir yayılımı mıdır?

§on. Komple vektör sistemleri

eğer uzayda V sonlu bir vektör kümesi var
öyle ki, ℒ
 V, sonra vektörler sistemi
tam sistem denir V ve uzayın sonlu boyutlu olduğu söylenir. Böylece vektörler sistemi e 1 , e 2 , …, e n V tam denir V sistem, yani eğer

XV   1 ,  2 , …  n öyle ki x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

eğer uzayda V sonlu bir tam sistem yoktur (ve tam bir sistem her zaman vardır - örneğin, tüm uzay vektörlerinin kümesi V), sonra boşluk V sonsuz denir.

9  . Eğer bir
tam V vektörler sistemi ve y V, sonra ( e 1 , e 2 , …, e n , y) ayrıca eksiksiz bir sistemdir.

◀ Doğrusal kombinasyonlarda yeterli y 0'a eşit alın.

Bir vektör uzayından bir vektörler sistemi olsun V sahanın üzerinde P.

Tanım 2: Doğrusal kabuk L sistemler A sistemin vektörlerinin tüm lineer kombinasyonlarının kümesidir. A. atama L(A).

Herhangi iki sistem için gösterilebilir. A ve B,

A doğrusal olarak ifade edilir B ancak ve ancak . (bir)

A eşdeğerdir B ancak ve ancak L(A)=L(B). (2)

Kanıt önceki mülkten geliyor

3 Herhangi bir vektör sisteminin lineer açıklığı, uzayın bir alt uzayıdır. V.

Kanıt

Herhangi iki vektörü alın ve L(A), vektörlerinde aşağıdaki açılımlara sahip A: . Kriterin 1) ve 2) koşullarının uygulanabilirliğini kontrol edelim:

Sistemin vektörlerinin doğrusal bir birleşimi olduğu için A.

Aynı zamanda sistemin vektörlerinin doğrusal bir birleşimi olduğu için A.

Şimdi matrisi düşünün. Matris satırlarının doğrusal kabuğu A matrisin satır uzayı olarak adlandırılır ve gösterilir L r (A). Matris sütunlarının doğrusal sarmalayıcısı A sütun uzayı olarak adlandırılır ve gösterilir L c (A). Matrisin satır ve sütun uzayı için A farklı aritmetik uzayların alt uzaylarıdır P n ve Öğleden sonra sırasıyla. (2) numaralı ifadeyi kullanarak aşağıdaki sonuca varabiliriz:

Teorem 3: Bir matris diğerinden bir temel dönüşüm zinciri ile elde edilirse, bu tür matrislerin satır uzayları çakışır.

Alt uzayların toplamı ve kesişimi

İzin vermek L ve M- uzayın iki alt uzayı R.

Tutar L+M vektör kümesi denir x+y , nerede x ∈L ve y ∈M. Açıkçası, vektörlerin herhangi bir lineer kombinasyonu L+M ait L+M, Sonuç olarak L+M uzayın bir alt uzayıdır R(boşluk ile çakışabilir R).

geçit L∩M alt uzaylar L ve M aynı anda altuzaylara ait olan vektörler kümesidir. L ve M(yalnızca boş bir vektörden oluşabilir).

Teorem 6.1. Rastgele alt uzayların boyutlarının toplamı L ve M sonlu boyutlu lineer uzay R bu alt uzayların toplamının boyutuna ve bu alt uzayların kesişim boyutuna eşittir:

loş L+soluk M=soluk(L+M)+kısık(L∩M).

Kanıt. belirtmek F=L+M ve G=L∩M. İzin vermek İyi oyun-boyutlu alt uzay. İçinde bir temel seçiyoruz. Çünkü G⊂L ve G⊂M, bu nedenle temel G temele eklenebilir L ve tabana M. Alt uzayın temeli olsun L ve alt uzayın temeli olsun M. vektörlerin olduğunu gösterelim.

(6.1) temeli oluşturur F=L+M. Vektörlerin (6.1) uzayın tabanını oluşturması için F lineer olarak bağımsız olmalılar ve herhangi bir uzay vektörü F vektörlerin (6.1) doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilebilir.

kanıtlayalım doğrusal bağımsızlık vektörler (6.1). sıfır uzay vektörü olsun F bazı katsayılarla doğrusal bir vektör (6.1) kombinasyonu ile temsil edilir:

(6.3)'ün sol tarafı altuzay vektörüdür. L, ve sağ taraf bir altuzay vektörüdür M. Bu nedenle vektör

(6.4) alt uzaya aittir G=L∩M. Öte yandan, vektör v alt uzayın temel vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilebilir G:

(6.5) Denklemlerden (6.4) ve (6.5) elde ederiz:

Ama vektörler bir alt uzayın temelidir. M, dolayısıyla lineer bağımsızdırlar ve . Sonra (6.2) şu şekli alır:

Alt uzayın temelinin lineer bağımsızlığından dolayı L sahibiz:

(6.2) denklemindeki tüm katsayılar sıfır olduğu için vektörler

lineer bağımsızdır. Ama herhangi bir vektör z itibaren F(alt uzayların toplamının tanımı gereği) toplam ile temsil edilebilir x+y , nerede x ∈ Ly ∈ M. Sırasıyla x vektörlerin lineer bir kombinasyonu ile temsil edilir a y - vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu. Dolayısıyla vektörler (6.10) alt uzayı oluşturur. F. Vektörlerin (6.10) bir taban oluşturduğunu bulduk. F=L+M.

Alt uzayların tabanlarını incelemek L ve M ve alt uzay temeli F=L+M(6.10), elimizde: loş L=g+l, loş M=g+m, loş (L+M)=g+l+m. Sonuç olarak:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Alt uzayların doğrudan toplamı

Tanım 6.2. Uzay F alt uzayların doğrudan toplamıdır L ve M, eğer her vektör x Uzay F sadece bir toplam olarak temsil edilebilir x=y+z , nerede y ∈L ve z ∈M.

Doğrudan toplam gösterilir L⊕M. diyorlar ki eğer F=L⊕M, sonra F alt uzaylarının doğrudan toplamına ayrışır L ve M.

Teorem 6.2. İle n-boyutlu uzay R alt uzayların doğrudan toplamıydı L ve M yeter ki kavşak L ve M sadece sıfır elemanını içerir ve R'nin boyutu alt uzayların boyutlarının toplamına eşittir. L ve M.

Kanıt. L alt uzayında bir taban ve M alt uzayında bir taban seçelim. Bunu ispatlayalım.

(6.11) uzayın temelidir R. Teoremin hipotezi ile uzayın boyutu R n alt uzayların toplamına eşittir L ve M (n=l+m). Elemanların (6.11) lineer bağımsızlığını kanıtlamak yeterlidir. sıfır uzay vektörü olsun R bazı katsayılarla doğrusal bir vektör (6.11) kombinasyonu ile temsil edilir:

(6.13)(6.13)'ün sol tarafı bir altuzay vektörü olduğundan L, ve sağ taraf altuzay vektörüdür M ve L∩M=0 , sonra

(6.14)Fakat vektörler ve altuzayların tabanları L ve M sırasıyla. Dolayısıyla lineer bağımsızdırlar. O zamanlar

(6.15) (6.12)'nin sadece (6.15) koşulu altında geçerli olduğunu belirledik ve bu, vektörlerin (6.11) doğrusal bağımsızlığını kanıtlıyor. Dolayısıyla bir temel oluştururlar. R.

x∈R olsun. Temel olarak genişletiyoruz (6.11):

(6.16) (6.16)'dan şunları elde ederiz:

(6.18) (6.17) ve (6.18)'den herhangi bir vektörün R vektörlerin toplamı ile temsil edilebilir x 1 ∈L ve x 2 ∈M. Geriye bu temsilin benzersiz olduğunu kanıtlamak kalıyor. (6.17) temsiline ek olarak aşağıdaki gösterime de sahip olalım:

(6.19) (6.19)'dan (6.19) çıkarıldığında şunu elde ederiz:

(6.20) 'den beri ve L∩M=0 , sonra ve . Dolayısıyla ve . ■

Altuzayların toplamının boyutuna ilişkin Teorem 8.4. Sonlu boyutlu bir lineer uzayın alt uzayları ise ve ise, o zaman alt uzayların toplamının boyutu, kesişimlerinin boyutu olmadan boyutlarının toplamına eşittir ( Grassmann'ın formülü):

Gerçekten de, kavşağın temeli olsun. Alt uzayın tabanına kadar sıralı bir vektör kümesi ve alt uzayın tabanına kadar sıralı bir vektör kümesi ile tamamlayalım. Böyle bir ekleme Teorem 8.2 ile mümkündür. Bu üç vektör kümesinden sıralı bir vektör kümesi oluşturacağız. Bu vektörlerin uzayın jeneratörleri olduğunu gösterelim. Gerçekten de, bu uzayın herhangi bir vektörü, sıralı kümeden vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir.

Sonuç olarak, . Jeneratörlerin lineer olarak bağımsız olduklarını ve dolayısıyla uzayın temeli olduklarını ispatlayalım. Gerçekten de, bu vektörlerin lineer bir kombinasyonunu yapalım ve onu sıfır vektörüne eşitleyelim: . Bu genişlemenin tüm katsayıları sıfırdır: çift doğrusal formlu bir vektör uzayının alt uzayları, 'den her vektöre ortogonal olan tüm vektörlerin kümesidir. Bu küme, genellikle ile gösterilen bir vektör alt uzayıdır.

vektör(veya doğrusal) Uzay- vektör adı verilen, birbirine toplama ve bir sayı ile çarpma işlemlerinin tanımlandığı bir dizi elemandan oluşan matematiksel bir yapı - bir skaler. Bu işlemler sekiz aksiyoma tabidir. Skalerler gerçek, karmaşık veya başka herhangi bir sayı alanının öğeleri olabilir. Böyle bir uzayın özel bir durumu, vektörleri örneğin fiziksel kuvvetleri temsil etmek için kullanılan olağan üç boyutlu Öklid uzayıdır. Bir vektör uzayının bir elemanı olarak bir vektörün yönlendirilmiş bir segment olarak belirtilmesi gerekmediğine dikkat edilmelidir. "Vektör" kavramının herhangi bir nitelikteki bir vektör uzayının bir elemanına genelleştirilmesi, yalnızca terimlerin karıştırılmasına neden olmakla kalmaz, aynı zamanda keyfi nitelikteki uzaylar için geçerli olan bir dizi sonucu anlamamızı ve hatta tahmin etmemizi sağlar. .

Vektör uzayları lineer cebirin çalışma konusudur. Bir vektör uzayının temel özelliklerinden biri boyutudur. Boyut azami sayı uzayın lineer olarak bağımsız elemanları, yani, kaba bir geometrik yoruma başvurmak, yalnızca bir skalerle toplama ve çarpma işlemleriyle birbirleri aracılığıyla ifade edilemeyen yönlerin sayısı. Vektör uzayı, norm veya nokta çarpım gibi ek yapılarla donatılabilir. Bu tür uzaylar, matematikte doğal olarak, ağırlıklı olarak sonsuz boyutlu fonksiyon uzayları olarak görünür. (İngilizce), burada vektörler fonksiyonlardır . Analizdeki birçok problem, bir vektör dizisinin belirli bir vektöre yakınsak olup olmadığını bulmayı gerektirir. Bu tür soruların ele alınması, ek yapıya sahip vektör uzaylarında mümkündür, çoğu durumda yakınlık ve süreklilik kavramlarını tanımlamaya izin veren uygun bir topoloji. Bu tür topolojik vektör uzayları, özellikle Banach ve Hilbert uzayları, daha derin bir çalışmaya izin verir.

Vektör uzayı kavramının ortaya çıkmasını öngören ilk çalışmalar 17. yüzyıla kadar uzanmaktadır. O zaman analitik geometri, matrisler doktrini, doğrusal denklem sistemleri ve Öklid vektörleri gelişmelerini aldı.

Tanım

Doğrusal veya vektör alanı V (F) (\displaystyle V\sol(F\sağ)) sahanın üzerinde F (\görüntüleme stili F) sıralı bir dörtlü (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), nerede

• V (\görüntüleme stili V)- olarak adlandırılan, keyfi nitelikteki boş olmayan bir öğe kümesi vektörler;
• F (\görüntüleme stili F)- öğelerinin çağrıldığı bir alan skaler;
• İşlem tanımlı eklemeler vektörler V × V → V (\displaystyle V\times V\to V), her bir eleman çiftiyle eşleşen x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) ) setler V (\görüntüleme stili V) V (\görüntüleme stili V) onları aramak toplam ve belirtilen x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• İşlem tanımlı vektörlerin skalerlerle çarpımı F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), her öğeyle eşleşen λ (\displaystyle \lambda ) alanlar F (\görüntüleme stili F) ve her eleman x (\displaystyle \mathbf (x) ) setler V (\görüntüleme stili V) kümenin tek elemanı V (\görüntüleme stili V), belirtilen λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) veya λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Aynı öğe kümesinde, ancak farklı alanlar üzerinde tanımlanan vektör uzayları farklı vektör uzayları olacaktır (örneğin, çiftler kümesi) gerçek sayılar R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) gerçek sayılar alanı üzerinde iki boyutlu bir vektör uzayı veya karmaşık sayılar alanı üzerinde tek boyutlu olabilir).

En basit özellikler

1. Vektör uzayı, toplama yoluyla bir değişmeli gruptur.
2. nötr eleman 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) herkes için .
4. Herkes için x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) zıt eleman − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) grup özelliklerinden takip eden tek kişidir.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) herkes için x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) herhangi biri için ve x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) herkes için α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

İlgili tanımlar ve özellikler

alt uzay

Cebirsel tanım: Doğrusal alt uzay veya vektör alt uzayı boş olmayan bir alt kümedir K (\görüntüleme stili K) doğrusal uzay V (\görüntüleme stili V)öyle ki K (\görüntüleme stili K) tanımlananlara göre kendisi lineer bir uzaydır. V (\görüntüleme stili V) skaler ile toplama ve çarpma işlemleri. Tüm alt uzayların kümesi genellikle şu şekilde gösterilir: L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Bir altkümenin altuzay olması için gerekli ve yeterlidir.

Son iki ifade aşağıdakine eşdeğerdir:

Herhangi bir vektör için x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K) vektör α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) ayrıca aitti K (\görüntüleme stili K) herhangi α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

Özellikle, sadece bir sıfır vektörden oluşan bir vektör uzayı, herhangi bir uzayın bir alt uzayıdır; herhangi bir uzay kendisinin bir alt uzayıdır. Bu ikisi ile çakışmayan alt uzaylara denir. sahip olmak veya önemsiz.

Altuzay Özellikleri

Doğrusal Kombinasyonlar

Görünümün bitiş toplamı

Doğrusal kombinasyon denir:

Temel. Boyut

vektörler x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) aranan lineer bağımlı, bunların önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu varsa, değeri sıfıra eşittir; yani

bazı katsayılarla α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots ,\alpha _(n)\in F,) ve katsayılardan en az biri α ben (\displaystyle \alpha _(i)) sıfırdan farklıdır.

Aksi takdirde, bu vektörler denir Doğrusal bağımsız.

Bu tanım şu genellemeye izin verir: V (\görüntüleme stili V) aranan lineer bağımlı, Eğer bazı son onun alt kümesi ve Doğrusal bağımsız, varsa son alt küme lineer bağımsızdır.

Temel özellikler:

Doğrusal kabuk

Doğrusal kabuk alt kümeler X (\görüntüleme stili X) doğrusal uzay V (\görüntüleme stili V)- tüm alt uzayların kesişimi V (\görüntüleme stili V) kapsamak X (\görüntüleme stili X).

Doğrusal kabuk bir altuzaydır V (\görüntüleme stili V).

Doğrusal kabuk da denir alt uzay oluşturuldu X (\görüntüleme stili X). Ayrıca lineer açıklığın olduğu söylenir. V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- Uzay, uzanmış bir çok X (\görüntüleme stili X).

Makale lineer cebirin temellerini açıklar: lineer uzay, özellikleri, temel kavramı, uzay boyutları, lineer yayılma, lineer uzaylar arasındaki ilişki ve matrislerin rankı.

doğrusal uzay

Bir çok L aranan doğrusal uzay, tüm elemanları için iki eleman toplama ve bir elemanı tatmin edici bir sayı ile çarpma işlemleri ise ben grup Weyl'in aksiyomları. Doğrusal uzayın elemanlarına denir. vektörler. Bu tam tanımdır; daha kısaca, lineer uzay, iki eleman toplama ve bir elemanı bir sayı ile çarpma işlemlerinin tanımlandığı bir eleman kümesidir diyebiliriz.

Weyl aksiyomları.

Herman Weil geometride iki tür nesnemiz olduğunu öne sürdü ( vektörler ve noktalar), özellikleri bölümün temeli olan aşağıdaki aksiyomlarla açıklanan lineer Cebir. Aksiyomlar rahatlıkla 3 gruba ayrılabilir.

Grup I

1. herhangi bir x ve y vektörü için x+y=y+x eşitliği sağlanır;
2. herhangi bir x, y ve z vektörü için, x+(y+z)=(x+y)+z;
3. öyle bir o vektörü vardır ki herhangi bir x vektörü için x + o = x eşitliği doğrudur;
4. herhangi bir vektör için X x+(-x)=o olacak şekilde bir (-x) vektörü vardır;
5. herhangi bir vektör için X 1x=x eşitliği gerçekleşir;
6. herhangi bir vektör için X ve de ve herhangi bir sayı λ, eşitlik λ( X+de)=λ X+λ de;
7. herhangi bir vektör için X ve herhangi bir sayı λ ve μ eşitliğine sahibiz (λ+μ) X=λ X+μ X;
8. herhangi bir vektör için X ve herhangi bir sayı λ ve μ, eşitlik λ(μ X)=(λμ) X;

Grup II

Grup I kavramı tanımlar vektörlerin lineer kombinasyonu, doğrusal bağımlılık ve lineer bağımsızlık. Bu, iki aksiyom daha formüle etmemizi sağlar:

1. n lineer bağımsız vektör vardır;
2. herhangi bir (n+1) vektör lineer bağımlıdır.

Planimetri için n=2, stereometri için n=3.

Grup III

Bu grup, bir çift vektörü ilişkilendiren bir skaler çarpma işlemi olduğunu varsayar. X ve de sayı ( x,y). Burada:

1. herhangi bir vektör için X ve de eşitlik tutar ( x,y)=(y, x);
2. herhangi bir vektör için X , de ve z eşitlik tutar ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3. herhangi bir vektör için X ve de ve herhangi bir sayı λ, eşitlik (λ x,y)=λ( x,y);
4. herhangi bir x vektörü için eşitsizlik ( x, x)≥0, ve ( x, x)=0 ancak ve ancak X=0.

Doğrusal uzay özellikleri

Çoğunlukla, bir lineer uzayın özellikleri Weyl'in aksiyomlarına dayanır:

1. Vektör hakkında Varlığı Aksiyom 3 tarafından garanti edilen , benzersiz bir şekilde tanımlanmıştır;
2. Vektör(- X), varlığı Axiom 4 tarafından garanti edilen benzersiz bir şekilde tanımlanmıştır;
3. Herhangi iki vektör için a ve b uzaya ait L, var tek vektör X, aynı zamanda uzaya ait L denklemin bir çözümü olan bir+x=b ve vektör farkı denir b-a.

Tanım. alt küme L' doğrusal uzay L aranan doğrusal alt uzay Uzay L vektörlerin toplamının ve bir vektörün bir sayı ile çarpımının aşağıdaki gibi tanımlandığı doğrusal bir uzay ise, L.

Tanım. Doğrusal kabuk L(x1, x2, x3, …, xk) vektörler x1, x2, x3, ve xk bu vektörlerin tüm lineer kombinasyonlarının kümesidir. Doğrusal yayılma hakkında şunu söyleyebiliriz:

-lineer yayılma lineer bir altuzaydır;

– lineer yayılma vektörleri içeren minimal lineer alt uzaydır x1, x2, x3, ve xk.

Tanım. Bir lineer uzay, Weyl aksiyomları sisteminin Grup II'sini sağlıyorsa n-boyutlu olarak adlandırılır. n sayısı denir boyut lineer uzay ve yazma dimL=n.

temel herhangi bir sıralı sistem n uzayın lineer bağımsız vektörleri . Tabanın anlamı, tabanı oluşturan vektörlerin uzaydaki herhangi bir vektörü tanımlamak için kullanılabileceği şekildedir.

Teorem. L uzayındaki herhangi bir n lineer bağımsız vektör bir baz oluşturur.

izomorfizm.

Tanım. Doğrusal uzaylar L ve L' elemanları arasında böyle bire bir yazışma kurulabilirse izomorfik olarak adlandırılır. x↔x', ne:

1. eğer x↔x', y↔y', sonra x+y↔x'+y';
2. eğer x↔x', o zaman λ x↔λ X'.

Bu yazışma denir izomorfizm. İzomorfizm, aşağıdaki iddialarda bulunmamıza izin verir:

• iki uzay izomorf ise, boyutları eşittir;
• aynı alan üzerinde ve aynı boyutta herhangi iki lineer uzay izomorfiktir.