Koşullu dağıtım yasaları. gerileme.

Tanım. İki boyutlu bir rastgele değişkenin (X, Y) tek boyutlu bileşenlerinden birinin koşullu dağılım yasası, diğer bileşenin belirli bir değer alması (veya bir aralığa düşmesi) koşuluyla hesaplanan dağılım yasasıdır. Bir önceki derste, kesikli rastgele değişkenler için koşullu dağılımların bulunması ele alınmıştı. Koşullu olasılıklar için formüller de vardır:

Sürekli rastgele değişkenler söz konusu olduğunda, j y (x) ve j X (y) koşullu dağılımlarının olasılık yoğunluklarının belirlenmesi gerekir. Bu amaçla, yukarıdaki formüllerde, olayların olasılıklarını onların "olasılık öğeleri" ile değiştireceğiz!

dx ve dy ile azaltmadan sonra şunu elde ederiz:

şunlar. iki boyutlu bir rastgele değişkenin tek boyutlu bileşenlerinden birinin koşullu olasılık yoğunluğu, eklem yoğunluğunun diğer bileşenin olasılık yoğunluğuna oranına eşittir. Bu oranlar formda yazılır.

dağılım yoğunluklarının çarpımı teoremi (kural) olarak adlandırılır.

Koşullu yoğunluklar j y (x) ve j X (y). "koşulsuz" yoğunluğun tüm özelliklerine sahiptir.

İki boyutlu rastgele değişkenleri incelerken, sayısal özellikler tek boyutlu bileşenler X ve Y - matematiksel beklentiler ve varyanslar. Sürekli bir rastgele değişken (X, Y) için, aşağıdaki formüllerle belirlenirler:

Bunlarla birlikte, koşullu dağılımların sayısal özellikleri de dikkate alınır: koşullu matematiksel beklentiler M x (Y) ve M y (X) ve koşullu varyanslar D x (Y) ve D Y (X). Bu özellikler, olay olasılıkları veya olasılık yoğunlukları yerine koşullu olasılıkların veya koşullu olasılık yoğunluklarının kullanıldığı olağan matematiksel beklenti ve varyans formülleriyle bulunur.

koşullu beklenen değer rasgele değişken Y, X = x'te, yani M x (Y), x'in bir fonksiyonu vardır, regresyon fonksiyonu veya X üzerinde basitçe regresyon Y. Benzer şekilde, M Y (X) regresyon fonksiyonu veya sadece Y üzerinde regresyon X olarak adlandırılır. Bu fonksiyonların grafikleri sırasıyla çağrılır. regresyon çizgileri (veya regresyon eğrileri) Y ile X veya X ile Y.

Bağımlı ve bağımsız rastgele değişkenler.

Tanım. X ve Y rastgele değişkenleri, ortak dağılım fonksiyonları F(x,y), bu rastgele değişkenlerin F 1 (x) ve F 2 (y) dağılım fonksiyonlarının bir ürünü olarak temsil ediliyorsa bağımsız olarak adlandırılır, yani.

Aksi takdirde, X ve Y rasgele değişkenlerine bağımlı denir.

Eşitliği x ve y argümanlarına göre iki kez farklılaştırarak, şunu elde ederiz:

şunlar. bağımsız sürekli rastgele değişkenler X ve Y için, bunların ortak yoğunluğu j(x, y), bu rastgele değişkenlerin j 1 (x) ve j 2 (y) olasılık yoğunluklarının çarpımına eşittir.

Şimdiye kadar, bir değişkendeki her bir x değeri diğerinde kesin olarak tanımlanmış bir değere karşılık geldiğinde, X ve Y değişkenleri arasında işlevsel bir ilişki kavramıyla karşılaştık. Örneğin, iki rastgele değişken arasındaki ilişki - arızalı ekipman parçalarının sayısı. belirli bir süre zaman ve maliyetleri - işlevsel.

Genel olarak, işlevsel bağımlılıktan daha az katı olan farklı bir bağımlılık türüyle karşılaşılır.

Tanım.İki rastgele değişken arasındaki ilişki, birinin her değeri diğerinin belirli (koşullu) bir dağılımına karşılık geliyorsa, olasılıksal (stokastik veya istatistiksel) olarak adlandırılır.

Olasılıksal (stokastik) bir bağımlılık durumunda, birinin değerini bilmek, diğerinin değerini doğru bir şekilde belirlemek imkansızdır, ancak yalnızca diğer miktarın dağılımı gösterilebilir. Örneğin, ekipman arızalarının sayısı ile önleyici bakım maliyeti, bir kişinin ağırlığı ve boyu, bir okul çocuğunun televizyon programlarını izlemek ve kitap okumak için harcadığı zaman vb. olasılıksaldır (stokastik).

Şek. 5.10, X ve Y'nin bağımlı ve bağımsız rastgele değişkenlerinin örneklerini gösterir.

  Bağımlı ve bağımsız rastgele değişkenler

 Rastgele değişken sistemlerini incelerken, her zaman bağımlılıklarının derecesine ve doğasına dikkat edilmelidir. Bu bağımlılık az ya da çok belirgin, az ya da çok yakın olabilir. Bazı durumlarda, rastgele değişkenler arasındaki ilişki o kadar yakın olabilir ki, bir rastgele değişkenin değerini bilerek diğerinin değerini doğru bir şekilde belirtebilirsiniz. Diğer uç durumda, rastgele değişkenler arasındaki bağımlılık o kadar zayıf ve uzaktır ki, pratikte bağımsız olarak kabul edilebilirler.
 Bağımsız rastgele değişkenler kavramı, olasılık teorisinin önemli kavramlarından biridir.
 Bir rastgele değişkenin \(Y\), \(Y\) değerinin dağılım yasası \(X\) değerinin değerine bağlı değilse, \(X\) rastgele değişkeninden bağımsız olduğu söylenir.
 Sürekli rastgele değişkenler için, \(Y\)'nin \(X\)'den bağımsız olması koşulu şu şekilde yazılabilir: $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ herhangi bir \(y) için \).
 Aksine, \(Y\) \(X\'e bağlıysa), o zaman $$f(y\mid x) \neq f_(2)(y)$$  Biz bunu kanıtlıyoruz rastgele değişkenlerin bağımlılığı veya bağımsızlığı her zaman karşılıklıdır: eğer \(Y\) değeri \(X\'e bağlı değilse), o zaman \(X\) değeri \(Y\)'ye bağlı değildir.
 Gerçekten, \(Y\), \(X\)'den bağımsız olsun: $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ elimizde: $$f_(1)(x)f( y \mid x)=f_(2)(y)f(x\mid y)$$ nereden geliyorsa, şunu elde ederiz: $$f_(1)(x)=f(x\mid y)$$ olması gereken kanıtlanmış.
 Rastgele değişkenlerin bağımlılığı ve bağımsızlığı her zaman karşılıklı olduğundan, bağımsız rastgele değişkenlerin yeni bir tanımını verebiliriz.
 Rastgele değişkenler \(X\) ve \(Y\) bağımsız olarak adlandırılır, eğer her birinin dağılım yasası diğerinin değerine bağlı değilse. Aksi takdirde, \(X\) ve \(Y\) niceliklerine denir. bağımlı.
 Bağımsız sürekli rastgele değişkenler için, dağıtım yasası çarpma teoremi şu şekildedir: $$f(x, y)=f_(1)(x)f_(2)(y)$$ yani bağımsız bir rastgelelik sisteminin dağılım yoğunluğu değişkenler, sisteme dahil edilen bireysel miktarların yoğunluk dağılımının ürününe eşittir.
Genellikle, \(f(x, y)\) fonksiyonunun biçimiyle, \(X, Y\) rasgele değişkenlerinin bağımsız olduğu sonucuna varılabilir, yani, eğer dağıtım yoğunluğu \(f(x, y) ise). \) ürüne, biri yalnızca \(x\'e, diğeri yalnızca \(y\)'ye bağlı olan) iki işlevi ayrıştırır, o zaman rastgele değişkenler bağımsızdır.
örnek 1\((X, Y)\) sisteminin dağıtım yoğunluğu şu şekildedir: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi ^(2)(x^(2)+y^() 2)+x ^(2)y^(2)+1))$$ \(X\) ve \(Y\) rasgele değişkenlerinin bağımlı mı yoksa bağımsız mı olduğunu belirleyin.
Çözüm. Paydayı çarpanlara ayırarak, elimizde: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\frac(1)(\pi (y^(2)+1) ))$$ \(f(x, y)\) işlevinin, biri yalnızca \(x\)'e ve diğeri yalnızca \(y\'ye bağlı olan) iki işlevin bir ürününe bölünmesi gerçeğinden ), \(X\) ve \(Y\) niceliklerinin bağımsız olması gerektiği sonucuna varıyoruz. Gerçekten de, formülleri uygulayarak şunları elde ederiz: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\int_(-\infty)^(\infty)(\ frac( dy)(\pi (y^(2)+1)))=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))$$ benzer $$f(x, y)= (\frac (1)(\pi (y^(2)+1)))$$ buradan $$f(x, y)=f_(1)(x)f_(2)(y) olduğundan emin oluruz $$ ve dolayısıyla \(X\) ve \(Y\) miktarları bağımsızdır.

Rastgele değişken sistemlerini incelerken, bağımlılıklarının derecesine ve doğasına her zaman dikkat edilmelidir. Bu bağımlılık aşağı yukarı yakın olabilir.

Bağımsız rastgele değişkenler kavramı, olasılık teorisinin önemli kavramlarından biridir.

Tanım 1. rastgele değer Y rastgele değişkenden bağımsız olarak adlandırılır x, miktarın dağıtım yasası ise Y değerin aldığı değere bağlı değildir x.

Sürekli rastgele değişkenler için bağımsızlık koşulu Y itibaren Xşu şekilde yazılabilir:

Aksine, eğer Y bağlıdır x, sonra

bunu kanıtlayalım rastgele değişkenlerin bağımlılığı veya bağımsızlığı her zaman karşılıklıdır: eğer değer Y bağlı değil x, o zaman değer X bağlı değil Y.

Gerçekten, izin ver Y bağlı değil X, sonra

(5.4.5) ve (5.4.6)'ya göre ortak dağılım yoğunluğu yazılabilir.

nereden alıyoruz:

Q.E.D.

Rastgele değişkenlerin bağımlılığı ve bağımsızlığı her zaman karşılıklı olduğundan, bağımsız rastgele değişkenlerin yeni bir tanımını vermek mümkündür.

Tanım 2. rastgele değişkenler X ve Y Her birinin dağılım yasası diğerinin aldığı değere bağlı değilse bağımsız olarak adlandırılır. Aksi takdirde, değerler X ve Y aranan bağımlı.

Bağımsız sürekli rasgele değişkenler için dağılım yasası çarpma teoremi şu şekli alır:

şunlar. bağımsız rastgele değişkenlerden oluşan bir sistemin dağılım yoğunluğu, sisteme dahil edilen bireysel değişkenlerin dağılım yoğunluklarının çarpımına eşittir.

Rastgele değişkenlerin önemli "bağımlılığı" ve "bağımsızlığı" kavramları üzerinde daha ayrıntılı duralım.

Olasılık teorisinde kullandığımız rastgele değişkenlerin "bağımlılığı" kavramı, matematikte kullandığımız değişkenlerin olağan "bağımlılığı" kavramından biraz farklıdır. Gerçekten de, genellikle miktarların "bağımlılığı" altında, yalnızca bir tür bağımlılık anlamına gelir - tam, katı, sözde işlevsel bağımlılık. iki miktar X ve Y Birinin değerini bilerek, birinin diğerinin değerini doğru bir şekilde gösterebilmesi durumunda, işlevsel olarak bağımlı olarak adlandırılır.

Olasılık teorisinde, daha genel başka bir bağımlılık türüyle karşılaşırız. olasılıksal veya "stokastik" bağımlılık. eğer değer Y değerle ilgili X olasılıksal bağımlılık, daha sonra değeri bilmek x, tam değeri belirtemez Y, ve yalnızca değerin hangi değeri aldığına bağlı olarak dağıtım yasasını belirleyebilirsiniz. x.

Rastgele değişkenler arasında olasılıksal bağımlılık pratikte çok yaygındır. Eğer rastgele değişkenler X ve Y olasılıksal bir bağımlılık içindedirler, bu, değerde bir değişiklik olduğu anlamına gelmez. X büyüklük Yçok kesin bir şekilde değişir; sadece değerde bir değişiklik olduğu anlamına gelir X büyüklük Y değişme eğilimindedir (örneğin, artan veya azalan x).

Örneğin, bu tür iki rastgele değişkeni düşünün: X- rastgele alınan bir kişinin büyümesi, Y-- ağırlığı. Açıkçası, miktarlar X ve Y belirli bir olasılıksal bağımlılık içindedir; içinde ifade edilir genel insanlar daha büyük boy ile daha fazla ağırlığa sahiptir.

Bağımlı ve bağımsız olayları ayırt eder. Birinin meydana gelmesi, diğerinin meydana gelme olasılığını değiştirmiyorsa, iki olaya bağımsız denir. Örneğin bir atölyede üretim koşullarına göre birbirine bağlı olmayan iki otomatik hat çalışıyorsa bu hatların durmaları bağımsız olaylardır.

Birkaç olay denir toplu olarak bağımsız, eğer bunlardan herhangi biri başka bir olaya ve diğerlerinin herhangi bir kombinasyonuna bağlı değilse.

olaylar denir bağımlı, eğer biri diğerinin oluşma olasılığını etkiliyorsa. Örneğin, iki üretim tesisi tek bir teknolojik döngü ile birbirine bağlıdır. O zaman birinin başarısız olma olasılığı diğerinin durumuna bağlıdır. Başka bir A olayının meydana geldiği varsayılarak hesaplanan bir B olayının olasılığına denir. şartlı olasılık olay B ve P(A|B) ile gösterilir.

B olayının A olayından bağımsızlığının koşulu P(B|A)=P(B) olarak, bağımlılığının koşulu ise P(B|A)≠P(B) olarak yazılır.

Bernoulli denemelerinde bir olayın olasılığı. Poisson formülü.

Tekrarlanan bağımsız testler, Bernoulli denemeleri veya Bernoulli şeması bu tür denemeler, her deneme için yalnızca iki sonuç varsa çağrılır - A olayının ortaya çıkması veya bu olayların olasılığı tüm denemeler için değişmeden kalır. Bu basit rastgele test şeması, büyük önem olasılık teorisinde.

Çoğu ünlü örnek Bernoulli denemeleri, normal (simetrik ve homojen) bir madeni paranın art arda fırlatılmasıyla ilgili bir deneydir; burada A olayı, örneğin bir "arması" ("kuyruk") kaybıdır.

Bazı deneyimlerde A olayının olasılığının şuna eşit olmasına izin verin: P(A)=p, sonra , burada р+q=1. Bireysel denemelerin bağımsız olduğunu, yani bunlardan herhangi birinin sonucunun önceki (veya sonraki) denemelerin sonuçlarıyla ilişkili olmadığını varsayarak deneyi n kez çalıştıralım. A olaylarının tam olarak k kez, diyelim ki sadece ilk k denemede meydana gelme olasılığını bulalım. n denemede A olayının ilk denemede tam olarak k defa meydana geleceği bir olay olsun. Olay şu şekilde temsil edilebilir:

Deneylerin bağımsız olduğunu varsaydığımız için,

41)[sayfa2] A olayının n denemede rastgele bir sırayla k-kez meydana geldiği sorusunu gündeme getirirsek, olay şu şekilde temsil edilebilir:

Bu eşitliğin sağ tarafındaki farklı terimlerin sayısı n'den k'ye kadar olan denemelerin sayısına eşittir, dolayısıyla belirteceğimiz olayların olasılığı eşittir.

Olayların sırası tam bir grup oluşturur bağımsız etkinlikler . Gerçekten de, olayların bağımsızlığından şunu elde ederiz:

Bir rastgele değişkenin dağılım yasası, diğer rastgele değişkenin hangi olası değerleri aldığına bağlı olarak değişmiyorsa, iki rastgele değişken $X$ ve $Y$ bağımsız olarak adlandırılır. Yani, herhangi bir $x$ ve $y$ için $X=x$ ve $Y=y$ olayları bağımsızdır. $X=x$ ve $Y=y$ olayları bağımsız olduğundan, bağımsız olayların olasılıklarının çarpımı teoremi ile $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\) sağ)\sağ)=P \sol(X=x\sağ)P\sol(Y=y\sağ)$.

örnek 1 . $X$ rastgele değişkeni bir "Rus Loto" piyangosunun biletlerinden elde edilen para kazancını ifade etsin ve rastgele değişken $Y$ başka bir "Golden Key" piyangosunun biletlerinden elde edilen para kazancını ifade etsin. Açıkçası, $X,\Y$ rastgele değişkenleri bağımsız olacaktır, çünkü bir piyangonun biletlerinden elde edilen kazançlar, başka bir piyangonun biletlerinden elde edilen kazançların dağıtım yasasına bağlı değildir. $X,\Y$ rasgele değişkenlerinin aynı piyangodaki kazançları ifade etmesi durumunda, bu durumda açıkçası, bu rasgele değişkenler bağımlı olacaktır.

Örnek 2 . İki işçi, farklı atölyelerde çalışmakta ve üretim teknolojileri ve kullanılan hammaddeler ile birbiriyle ilgisi olmayan çeşitli ürünler üretmektedir. İlk işçi tarafından vardiya başına üretilen kusurlu ürün sayısının dağıtım yasası aşağıdaki forma sahiptir:

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
\ kusurlu \ ürün sayısı \ x & 0 & 1 \\
\hline
Olasılık & 0.8 & 0.2 \\
\hline
\end(dizi)$

İkinci işçinin vardiya başına ürettiği kusurlu ürün sayısı aşağıdaki dağıtım yasasına tabidir.

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
\ kusurlu \ ürün sayısı \ y & 0 & 1 \\
\hline
Olasılık & 0.7 & 0.3 \\
\hline
\end(dizi)$

Vardiya başına iki işçi tarafından yapılan kusurlu ürün sayısının dağılım yasasını bulalım.

Rastgele değişken $X$, vardiya başına ilk işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısı ve $Y$, vardiya başına ikinci işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısı olsun. Varsayım olarak, $X,\ Y$ rastgele değişkenleri bağımsızdır.

Vardiya başına iki işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısı, $X+Y$ rastgele değişkenidir. Olası değerleri $0,\ 1$ ve $2$'dır. $X+Y$ rasgele değişkeninin değerlerini alma olasılıklarını bulalım.

$P\sol(X+Y=0\sağ)=P\sol(X=0,\ Y=0\sağ)=P\sol(X=0\sağ)P\sol(Y=0\sağ) =0.8\cdot 0.7=0.56.$

$P\sol(X+Y=1\sağ)=P\sol(X=0,\ Y=1\ veya\ X=1,\ Y=0\sağ)=P\sol(X=0\sağ) )P\sol(Y=1\sağ)+P\sol(X=1\sağ)P\sol(Y=0\sağ)=0.8\cdot 0.3+0.2\cdot 0.7 =0.38.$

$P\sol(X+Y=2\sağ)=P\sol(X=1,\ Y=1\sağ)=P\sol(X=1\sağ)P\sol(Y=1\sağ) =0.2\cdot 0.3=0.06.$

Ardından, vardiya başına iki işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısının dağılımı yasası:

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
\ kusurlu \ ürün ve 0 & 1 & 2 sayısı \\
\hline
Olasılık & 0,56 & 0,38 & 0,06 \\
\hline
\end(dizi)$

Önceki örnekte, $X,\ Y$ rastgele değişkenleri üzerinde bir işlem gerçekleştirdik, yani bunların toplamını $X+Y$ olarak bulduk. Şimdi rastgele değişkenler üzerinde daha kesin bir işlem tanımını (toplama, fark, çarpma) verelim ve çözüm örnekleri verelim.

tanım 1. $X$ rastgele değişkeninin $kX$ çarpımı sabit değer$k$, $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\right)$ ile aynı olasılıklarla $kx_i$ değerlerini alan rastgele bir değişkendir.

tanım 2. $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin toplamı (fark veya ürün), $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ veya $x_i\cdot y_i$) biçimindeki tüm olası değerleri alan bir rastgele değişkendir. , burada $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, $p_(ij)$ olasılıkla $X$ rastgele değişkeninin $x_i$ değerini ve $Y$ $y_j$ değerini alır:

$$p_(ij)=P\sol[\sol(X=x_i\sağ)\sol(Y=y_j\sağ)\sağ].$$

$X,\ Y$ rastgele değişkenleri bağımsız olduğundan, bağımsız olaylar için olasılık çarpma teoremi ile: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right) )= p_i\cdot p_j$.

Örnek 3 . Bağımsız rasgele değişkenler $X,\ Y$ kendi olasılık dağılım yasalarına göre verilir.

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(dizi)$

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(dizi)$

$Z=2X+Y$ rastgele değişkeninin dağılım yasasını oluşturalım. $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin toplamı, yani $X+Y$, $x_i+y_j$ biçimindeki tüm olası değerleri alan bir rastgele değişkendir, burada $i=1,\ 2,\ noktalar ,\ n$ , $p_(ij)$ olasılıkla $X$ rasgele değişkeninin $x_i$ değerini ve $Y$ $y_j$ değerini almasıyla: $p_(ij)=P\left[\left( X=x_i\sağ )\sol(Y=y_j\sağ)\sağ]$. $X,\ Y$ rastgele değişkenleri bağımsız olduğundan, bağımsız olaylar için olasılık çarpma teoremi ile: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right) )= p_i\cdot p_j$.

Dolayısıyla, sırasıyla 2X$ ve $Y$ rasgele değişkenleri için dağıtım yasalarına sahiptir.

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(dizi)$

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(dizi)$

$Z=2X+Y$ toplamının tüm değerlerini ve olasılıklarını bulma kolaylığı için, her hücrede toplam $ değerini sol köşeye yerleştireceğimiz bir yardımcı tablo derleyeceğiz. Z=2X+Y$ ve sağ köşede - 2X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin karşılık gelen değerlerinin olasılıklarının çarpılması sonucunda elde edilen bu değerlerin olasılıkları.

Sonuç olarak, $Z=2X+Y$ dağılımını elde ederiz:

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0.12 & 0.28 & 0.03 & 0.07 & 0.15 & 0.35 \\
\hline
\end(dizi)$