Konuyla ilgili ders ve sunum: "Güç işlevleri. Negatif tamsayı üssü. Bir güç işlevinin grafiği"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

9. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
9. sınıf için etkileşimli el kitabı "Cebirde kurallar ve alıştırmalar"
9. sınıf için multimedya ders kitabı "10 dakikada cebir"

Negatif üslü bir tür güç fonksiyonu

Çocuklar, sayısal fonksiyonları incelemeye devam ediyoruz. Bugünkü dersin konusu da kuvvet fonksiyonları olacak, ancak doğal bir üslü değil, negatif bir tamsayılı.
şuna benzer: $y=x^(-n)=\frac(1)(x^n)$.
Çok iyi bildiğimiz bu fonksiyonlardan biri de abartmadır. Beyler, hiperbol grafiğini hatırlıyor musunuz? Kendin inşa et.

Bize uygun olan fonksiyonlardan birine bakalım ve onun özelliklerini tanımlayalım. $y=x^(-2)=\frac(1)(x^2)$.
Parite ile başlayalım. Parite özelliğinin, fonksiyon grafiklerinin oluşturulmasını büyük ölçüde basitleştirdiğini belirtmekte fayda var, çünkü grafiğin yarısını oluşturabilir ve sonra onu yansıtabiliriz.
Fonksiyonumuzun tanım kümesi reel sayılar kümesidir, sıfır hariç hepimiz çok iyi biliyoruz ki sıfıra bölemezsiniz. Tanım alanı simetrik bir kümedir, negatif bir argümandan fonksiyonun değerinin hesaplanmasına geçiyoruz.
$f(-x)=\frac(1)((-x)^2)=\frac(1)(x^2)=f(x)$.
Fonksiyonumuz eşittir. Böylece, $x≥0$ için bir grafik oluşturabilir ve ardından bunu y ekseni boyunca yansıtabiliriz.
Çocuklar, bu sefer "yetişkin" matematiğinde olduğu gibi birlikte bir fonksiyon grafiği oluşturmayı öneriyorum. İlk önce fonksiyonumuzun özelliklerini tanımlıyoruz ve ardından bunlara dayalı bir grafik oluşturuyoruz. $x>0$ olduğunu dikkate alacağız.
1. Etki Alanı D(y)=(0;+∞).
2. Fonksiyon azalıyor. Hadi kontrol edelim. $x1 olsun \frac(1)(x_(2)^2)$. Daha büyük bir sayıya böldüğümüz için, fonksiyonun kendisinin daha fazla daha az olacaktır, bu da azalma anlamına gelir.
3. İşlev aşağıdan sınırlandırılmıştır. $\frac(1)(x^2)>0$ olduğu açıktır, bu da aşağıdan sınırlandığı anlamına gelir.
Üst sınır yoktur, çünkü argümanın değerini sıfıra yakın çok küçük alırsak, fonksiyonun değeri artı sonsuz olma eğiliminde olacaktır.
4. Maksimum veya minimum değer yoktur. Fonksiyon yukarıdan sınırlandırılmadığı için maksimum değer yoktur. Peki ya en küçük değer, çünkü fonksiyon aşağıdan sınırlandırılmıştır.

Bir fonksiyonun en küçük değere sahip olması ne anlama gelir?

$f(x)≥f(x0)$ etki alanından tüm x için bir x0 noktası vardır, ancak fonksiyonumuz tüm etki alanında azalıyor, o zaman böyle bir sayı $х1>x0$ var, ancak $f (x1)

Negatif üslü kuvvet fonksiyonlarının çizimleri

Noktalara göre fonksiyonumuzun bir grafiğini oluşturalım.




Fonksiyonumuzun grafiği hiperbol grafiğine çok benzer.
Parite özelliğini kullanalım ve grafiği y ekseni boyunca yansıtalım.

Tüm x değerleri için fonksiyonumuzun özelliklerini yazalım.
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) Eşit bir işlev.
3) (-∞;0] artar, azalır.
Çözüm. İşlev, tüm tanım alanı boyunca azalır, ardından segmentin uçlarında maksimum ve minimum değerlerine ulaşır. En büyük değer $f(1)=1$ segmentinin sol ucunda, en küçük değer ise $f(3)=\frac(1)(27)$ segmentinin sağ ucunda olacaktır.
Cevap: En büyük değer 1, en küçük değer 1/27'dir.

Örnek. $y=(x+2)^(-4)+1$ fonksiyonunu çizin.
Çözüm. Fonksiyonumuzun grafiği, $y=x^(-4)$ fonksiyonunun grafiğinden iki birim sola ve bir birim yukarı hareket ettirilerek elde edilir.
Bir grafik oluşturalım:

Bağımsız çözüm için görevler

1. $y=\frac(1)(x^4)$ fonksiyonunun segmentteki en küçük ve en büyük değerini bulun.
2. $y=(x-3)^(-5)+2$ fonksiyonunu çizin.

y \u003d ax, y \u003d ax 2, y \u003d a / x - işlevleri, aşağıdakiler için özel bir güç işlevi türleridir: n = 1, n = 2, n = -1 .

Eğer n kesirli sayı p/ q eşit bir payda ile q ve tek numaratör R, ardından değer iki işareti olabilir ve grafiğin x ekseninin altında bir bölümü daha vardır X, ve üst kısma simetriktir.

İki değerli bir fonksiyonun grafiğini görüyoruz y \u003d ± 2x 1/2, yani. yatay eksenli bir parabol ile temsil edilir.

Fonksiyon Grafikleri y = xn de n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Bu grafikler (1; 1) noktasından geçer.

Ne zaman n = -1 alırız abartma. saat n < - 1 güç fonksiyonunun grafiği ilk önce hiperbolün üzerinde bulunur, yani. arasında x = 0 ve x = 1, ve sonra aşağıda ( x > 1). Eğer bir n> -1 grafik tersten çalışır. Negatif değerler X ve kesirli değerler n pozitif için benzer n.

Tüm grafikler x eksenine göre süresiz olarak yaklaşır X, hem de y eksenine de onlarla temasa geçmeden. Bir hiperbole benzerliklerinden dolayı bu grafiklere hiperbol denir. n inci emir.

1. Konuyla ilgili eğitim literatürünün analizi: “Güç fonksiyonunun özellikleri”

Güç fonksiyonunun incelenmesi, özel durumlarla 7. sınıfta başlar ve cebir boyunca devam eder. 11. sınıfa kadar, güç fonksiyonu hakkındaki bilgiler genelleştirilir, genişletilir ve sistemleştirilir.

Bu eğitim literatürü analizine dayanarak didaktik kılavuzun içeriğini oluşturmak için 9. sınıf için eğitim literatürünün analizi yapılmalıdır.

Ders kitabı: “Cebir. 9. Sınıf”. Mordkovich A.G., Semenov P.V. (Mnemozina, 2009)

Ders kitabı, bir tamsayı üslü güç işlevleriyle ilgilenir. "Güç işlevi" konusundaki teorik materyal, "bölümünde yer almaktadır. Sayısal işlevler» hem fonksiyonların kendilerini hem de özelliklerini ve grafiklerini dikkate alan ayrı paragraflarda.

Okul çocukları için erişilebilir materyalin sunumu, dahil Büyük sayı 1. bölümde (ders kitabında) ayrıntılı ve kapsamlı çözümler içeren örnekler ve alıştırmalar bağımsız iş 2. bölüme yerleştirildi (problem kitabında).

Malzeme çalışmasının yapısı:

BÖLÜM 3 Sayısal Fonksiyonlar

§12. Fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri.

§13. Fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri.

§on dört. Fonksiyonlar, özellikleri ve grafiği.

Daha sonra, kuvvet fonksiyonları doğal üslü fonksiyonlar olarak tanımlanır (önce, kuvvet fonksiyonlarının özel durumları verilir, ardından genel formül ortaya çıkar). Çift üslü güç fonksiyonlarını, özellikleri daha sonra ortaya çıkaran grafiklerini ele alıyoruz (değer aralığı ve fonksiyonun tanım alanı, çift ve tek, monotonluk, süreklilik, fonksiyonun maksimum ve minimum değeri, dışbükeylik). Daha sonra, tek üslü güç fonksiyonlarını, grafiklerini ve özelliklerini ele alacağız.

§ 13'te, negatif üslü güç fonksiyonları tanımlanmıştır: önce çift fonksiyonlar, sonra tek fonksiyonlar. Doğal üslü kuvvet fonksiyonlarına benzer şekilde, özel durumlar verilmiştir:

Bundan sonra genel formül ortaya çıkar, grafikler ve özellikler de dikkate alınır.

§ 14'te işlevi tanıtıyoruz

özellikleri ve grafiği olarak özel durum rasyonel üslü güç fonksiyonu n =

Grafiklerin dönüşümü (simetri), bir çift fonksiyonun grafiğinin y ekseni etrafında simetrik olduğu ve tek bir fonksiyonun grafiğinin orijin hakkında olduğu gerçeğine indirgenir. Bu nedenle, step fonksiyonları için, verilen fonksiyon belirli bir ışın üzerinde grafiği oluşturulur ve simetri kullanılarak tüm sayı doğrusu üzerinde bir grafik oluşturulur. Daha sonra grafik okunur, yani grafiğe göre fonksiyonun özellikleri şemaya göre listelenir:

1) tanım alanı;

2) çift, tek;

3) monotonluk;

4) aşağıdan, yukarıdan sınırlılık;

5) en küçük ve en büyük değer fonksiyonlar;

6) süreklilik;

7) değer aralığı;

8) şişkinlik.

a) x = 0 ve y = 0'da değerlerin elde edildiği noktada orijinli yardımcı koordinat sistemine gider.

b) işlevi "bağlar" yeni sistem koordinatlar.

Örnek 3. Bir fonksiyonun grafiğini çizin

Çözüm. Orijini (-1; -2) noktasında olan yardımcı koordinat sistemine geçelim (Şekil 117'deki kesikli çizgiler) ve fonksiyonu yeni koordinat sistemine "ekleyelim". Gerekli programı alıyoruz (Şekil 117)

Problem kitabında “Cebir. 9. sınıf." Mordkovich A.G. ve Semenov P. V.'nin editörlüğünde çeşitli egzersizler sistemi sunulmaktadır. Alıştırma seti iki bloğa bölünmüştür: ilki iki temel seviyedeki görevleri içerir: sözlü (yarı sözlü) ve orta zorluktaki görevler; ikinci blok, ortalamanın üzerinde veya artan zorluk seviyesindeki görevleri içerir. İkinci ve üçüncü seviyelerin görevlerinin çoğu cevaplanır. Görev kitabı, grafikleri çizmek için çok sayıda çeşitli görev içerir. Çeşitli türler güç fonksiyonu ve bir fonksiyonun özelliklerini grafiğinden belirleme. Örneğin:

12.10. Fonksiyonu çizin:

12.15. Denklemi Grafik Olarak Çözün

12.19. Bir Fonksiyonun Grafiğini Çizin ve Okuyun

Bir Fonksiyonun Grafiğini Çizin ve Okuyun

Ders kitabı: “Cebir. 9. Sınıf”. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. (Aydınlanma, 2006)

Bu ders kitabı ayrıca ek materyallerin ve karmaşık görevlerin atlanabileceği genel eğitim sınıflarına yöneliktir. Yeterli saat varsa, sınıf matematiğe ilgi gösteriyorsa, ders kitabının bölümlerinin sonundaki eklemelerin yanı sıra normal genel eğitim sınıflarında isteğe bağlı olan yıldız işaretli puanlar ve bireysel görevler nedeniyle, Çalışılan materyalin içeriğini, derinlemesine matematik çalışması olan sınıflar için program tarafından sağlanan hacme genişletmek ve derinleştirmek mümkündür. Yani, ders kitabı hem sıradan hem de derinlemesine matematik çalışması olan sınıflarda kullanılabilir.

Malzeme çalışmasının yapısı:

BÖLÜM II. Derecesi

§dört. derece kökü

4.1 Fonksiyon özellikleri

4.2 Bir fonksiyonun grafiği

4.3 Derecenin kökü kavramı

4.4 Çift ve tek kökler

4.5 Aritmetik kök

4.6 Köklerin özellikleri

4.7 *Doğal sayının kökü

4.8 *İşlev

Konunun incelenmesi, fonksiyonun özellikleri (örneğin, n = 2 ve n = 3) ve grafiği ile başlar. Sonra n'inci kökü, aritmetik kökü ve n'inci köklerin özelliklerini ve bunların dönüştürme ifadelerine nasıl uygulanacağını inceleriz. Derinlemesine bir matematik çalışması olan sınıflarda, aşağıdaki konular ayrıca dikkate alınır: "Fonksiyon", "Rasyonel üslü güç ve özellikleri."

Fonksiyonların bir takım özdeş özelliklere (domain, fonksiyonun sıfırları, çiftlik, teklik, süreklilik, monotonluk aralıkları) sahip olduğu belirtilir. Bu nedenle, genel durumda, bazı doğal sayıların olduğu bir fonksiyonun düşünülmesi tavsiye edilir. Bir fonksiyonun grafiğinin tanımının tanıtılması, bir parabolün tanımı yoluyla gerçekleştirilir. Yani, göre bilinen gerçek Bir fonksiyonun grafiği bir parabol ise, bu grafiğe ikinci dereceden bir parabol denir, bir fonksiyonun grafiğine inci dereceden bir parabol veya kısaca bir parabol denir. Fonksiyon özellikleri, bazı ispatlarla birlikte sadece negatif olmayanlar için dikkate alınır.

Bir fonksiyonun grafiğini oluşturma çalışması, sadece negatif olmayan değerler için bir koordinat düzleminde fonksiyon grafiklerinin görüntülenmesiyle başlar.

Fonksiyonun incelenmesi, derecenin aritmetik kökü hakkında önceden edinilmiş bilgilere dayanmaktadır. Fonksiyonun grafiğinin oluşturulması Kartezyen koordinat sisteminde gerçekleştirilir. Başlangıç ​​olarak, bir güç fonksiyonu ve grafiğinin O koordinat sistemindeki yapısı ele alındı.Böylece fonksiyon grafiğinin bir derece parabolünün parçası olduğu kanıtlandı.

1) x = 0 ise, o zaman y = 0.

2) Eğer öyleyse.

3) Fonksiyon artıyor.

4) Eğer öyleyse.

5) Fonksiyon süreklidir.

"Güç işlevi" konusundaki alıştırmalar sistemi çeşitlidir. Hem sözlü hem de yazılı eğitim görevlerini içerir. Örneğin:

316. Verilen bir fonksiyon

Bu işlevi keşfedin ve grafiğini çizin.

#318 Fonksiyonun grafiğini çizin

№ 321. Bir koordinat sisteminde, fonksiyonların grafiklerini oluşturun

#441 Şunlar için bir fonksiyon grafiği çizin:

#442 Şunlar için bir fonksiyon grafiği çizin:

Ders kitabı: “Cebir. 9. sınıf". Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova (Aydınlanma, 2009)

Bu ders kitabı ortaokullar için hazırlanmıştır.

Malzeme çalışmasının yapısı:

BÖLÜM IV. Rasyonel üslü derece

§9. Güç fonksiyonu

21. Çift ve Tek Fonksiyonlar

22. İşlev

§on. Kök n. derece

23. N'inci Derecenin Kökünün Belirlenmesi

24. N'inci derecenin aritmetik kökünün özellikleri

§on bir. Rasyonel üslü derece ve özellikleri

25. Dereceyi kesirli bir üsle belirleme

26. Rasyonel üslü özellikler

27. Derece içeren ifadeleri kesirli üslerle dönüştürme

Bir güç fonksiyonunun incelenmesi, argümanın iki zıt değeri için fonksiyon değerlerini karşılaştırma örnekleri kullanılarak çift ve tek fonksiyon kavramlarının tanıtılmasıyla başlar. Ayrıca, karşılık gelen grafiklerin oluşturulması ile bir çift ve tek fonksiyonun tanımı verilmiştir.

= 1, 2 ve 3'teki güç fonksiyonlarının (yani fonksiyonlar), özelliklerinin ve grafiklerinin daha önce çalışıldığı söylenir. Daha sonra, güç fonksiyonunun özellikleri ve herhangi bir doğal sayı için grafiğinin özellikleri açıklanır. Fonksiyonlar, n üssü bir çift sayı, n ise tek bir sayı olduğunda dikkate alınır. Şemaya göre örnekler üzerinde özellikleri ayrıştırın:

1. Tanım alanı;

2. Değerin kapsamı;

3. Fonksiyon sıfırları;

4. Parite;

5. Tek;

6. Bir fonksiyonun monotonluğu.

Bölümün bir sonraki bölümü, tanımın tanıtıldığı ve özelliklerin ele alındığı n'inci köke ayrılmıştır.

Tanım tekrarlanır: kare kök a sayısından karesi a'ya eşit olan böyle bir sayı denir. Herhangi bir doğal n derecesinin kökü benzer şekilde tanımlanır: a sayısından n'inci derecenin kökü böyle bir sayıdır, n. derece hangi a'ya eşittir. Bunu yapmak için, önce tek bir üslü n'li bir güç fonksiyonunu ve herhangi bir a sayısı için n'inci kuvveti a'ya eşit olan benzersiz bir x değeri olduğunu gösteren grafiğini ele alıyoruz. Daha sonra, eşit bir üs n olan bir güç fonksiyonu düşünülür, ayrıca, eğer o zaman, x'in iki zıt değeri varsa, böyle bir sayı için birdir (0 sayısı), çünkü böyle bir sayı yoktur.

Bölümün sonunda rasyonel üslü bir derece ve özellikleri ele alınmıştır.

Egzersiz sistemi çeşitlidir. Örneğin:

503. Fonksiyon Çiz

508. Denklemi Grafik Olarak Çözün

513. Fonksiyonun grafiğini kullanarak denklemi çözün

580. Fonksiyonu Çiz

644. Tek olduğunu ve değerinin formülle bulunabileceğini bilerek f fonksiyonunu çizin.

643. Fonksiyonu Çiz

663. Fonksiyon grafiğini çizin. Grafiği kullanarak köklerin değerini karşılaştırın

669. Fonksiyonu Çiz

Ders kitabı: “Cebir. 9. sınıf". Ş.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov ve diğerleri (Aydınlanma, 2009)

Bu konuyu incelerken, fonksiyonların özelliklerine ve bu özelliklerin grafiklerde gösterilmesine özel önem verilir. Aynı zamanda, fonksiyon grafiklerinin en basit dönüşümlerini gerçekleştirmek için başlangıç ​​becerileri oluşturulur.

Malzeme çalışmasının yapısı:

BÖLÜM III. Güç fonksiyonu

§12. İşlev kapsamı

§13. Fonksiyon Artan ve Azalan

§on dört. Çift ve tek fonksiyonlar

§onbeş. İşlev

§16. Kuvvet İçeren Eşitsizlikler ve Denklemler

Bu bölümün temel amacı, öğrencilere sadece kuvvet fonksiyonunu tanıtmak değil, aynı zamanda bir bütün olarak fonksiyonun özellikleri (alan, monotonluk, fonksiyonun düzgünlüğü ve tuhaflığı) hakkında bilinen bilgileri genişletmek, yeteneği geliştirmektir. verilen bir grafiğe göre fonksiyonları araştırmak,

Bu bölümün materyalini incelerken, öğrencilerin işlevsel temsilleri derinleştirilir ve önemli ölçüde genişletilir.

§12 işlevin tanımını, argümanı ve işlevin kapsamını formüle eder. Bir fonksiyonun grafiğinin tanımı, temel dönüşümlerin yardımı da dahil olmak üzere yapım yöntemlerini hatırlar.

Bölüm 13, bir güç fonksiyonu kavramını tanıtır. Örnekler üzerinde ve tanım alanı ortaya çıkarılmıştır; artan ve azalan bir fonksiyonun tanımları geri çağrılır ve bir güç fonksiyonunun artış ve azalış tanımları verilir.

Öğrencilere görsel düzeyde çift ve tek fonksiyon fikri verilir. Öğretici, işlevin çizilmesi gereken iki görevi kapsar ve. Bu fonksiyonların özellikleri incelenir ve simetri temelinde çift veya tek fonksiyon kavramları verilir.

§15'te öğrenciler, çeşitli k değerleri için bir fonksiyon hakkında fikir edinir, bir fonksiyonun grafiğini oluşturmayı ve okumayı öğrenir (yani, bir fonksiyonun özelliklerini grafiğinden belirler). Fonksiyon yardımı ile sadece 8. sınıf cebir dersinde bahsedilen ters orantılılık kavramı açıklığa kavuşturulmuştur.

k > 0 için bir fonksiyon incelenirken, ilk başta fonksiyon bir güç yasasının özel bir durumu olarak sunulur: k parametresindeki değişiklik hesaba katılarak.

Paragraf, fonksiyon grafiklerini çizmenin gerekli olduğu dört problemle ilgilidir. Problem 1'de, bir fonksiyon grafiği çizmek için, önceki paragraflarda incelenen fonksiyonun tüm özellikleri kullanılır. Problem 2'de, fonksiyon grafikleri oluşturulurken ve fonksiyonun grafiğinin apsis ekseni boyunca zaten bilinen 2 kez gerilmesi kullanılır. Ve bu iki probleme dayalı olarak, for ve fonksiyonunun özellikleri formüle edilir.

Görev 4'te, bir fonksiyon grafiği oluşturmak gerekir (görev 1-2'ye dayanarak), yani, bu fonksiyonun grafiği, fonksiyonun grafiğini Ox ekseni boyunca sağa ve sağa kaydırarak oluşturulabilir. Oy ekseni 2 birim aşağı.

Alıştırma sistemi çeşitli görev türleri sunar: artan karmaşıklığın hem zorunlu hem de ek görevleri.

Güç fonksiyonlarının grafiklerini çizme görevleri arasında aşağıdaki alıştırmalar ayırt edilebilir:

№ 164. Bir grafik çizin ve artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulun

№ 166. Aşağıdaki durumlarda fonksiyonun grafiğinin bir taslağını çizin.

№ 171. Bir grafik çizin ve artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulun

174. Bir fonksiyonun grafiğini çizin

179. Bir fonksiyonun özelliklerini bulun ve grafiğini oluşturun

#180 Bir İşlev Çizme

Sayfa #191

#218 Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu öğrenin

Tanım alanı, çift ve tek fonksiyonlar, aralıkta artan ve azalan fonksiyonlar gibi materyal konusunda uzman olan öğrenciler.

Öğrenciler artan ve azalan fonksiyonlar kavramı ile 8. sınıf cebir dersinde tanışmışlardır, ancak sadece bu konu çalışılırken bu kavramların tanımları oluşturulmakta ve bu nedenle belirli bir fonksiyonun aralıktaki artış veya azalışını analitik olarak kanıtlamak mümkün hale gelmektedir. (Ancak bu tür ispatlar gerekli beceriler arasında değildir). Öğrenciler, söz konusu fonksiyonun grafiğini kullanarak bir fonksiyondaki artış aralıklarını bulmayı öğrenirler.

Konuyu incelerken, rasyonel üslü bir derece kavramı bu derste tanıtılmadığından, kesirli üslü bir güç fonksiyonu örnekleri dikkate alınmaz.

Her bir fonksiyonu (fonksiyonlar dahil) incelerken, öğrenciler söz konusu fonksiyonun grafiğinin bir taslağını çizebilecek ve özelliklerini grafiğe göre listeleyebileceklerdir.

Ders kitabı: “Cebir. Derin Öğrenme. 9. sınıf." Mordkovich A.G. (Mnemozina, 2006)

Ders kitabını 2006 yılı için aldık, çünkü bu ders kitabı sonraki baskılardan farklı olarak konu derecesini rasyonel bir göstergeyle içeriyor. Genel olarak konuşursak, şu anda bu konu lisede okutulmaktadır, ancak multimedya kılavuzunda bunu bir propaedeutik materyal olarak dahil ettik.

Kitap, 9. sınıftaki matematik dersinin derinlemesine incelenmesi için tasarlanmıştır. lise. Bu ders kitabı, aşağıdakiler için bir 9. sınıf ders kitabına dayanmaktadır: Eğitim Kurumları(A.G. Mordkovich. Cebir-9). Aynı programı uygular, ancak fark, kursun ilgili konularının daha derin bir çalışmasında yatmaktadır: basit örneklerin yerini daha karmaşık ve ilginç olanlar almıştır.

Malzeme çalışmasının yapısı:

BÖLÜM 4. Güç işlevleri. Dereceler ve Kökler

§17. Negatif tamsayı üslü kuvvet

§onsekiz. Fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri

§19. kavram kök n. gerçek bir sayıdan derece

§yirmi. Fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri

§21. n'inci kökün özellikleri

§22. Radikal İçeren İfadeleri Dönüştürme

§23. Üs kavramının genelleştirilmesi

§24. Fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri

§ 18'de Konuşuyoruz tamsayı üslü güç işlevleri hakkında, yani işlevler hakkında, vb. Bu paragraf noktalara ayrılmıştır:

Yazar bunu hatırlatıyor en basit durum 7. sınıfta böyle bir işlev düşünüldü - bu bir işlevdi. Bu bölüm, işlevin tartışılmasıyla başlar. Bir grafik oluşturulur ve bu fonksiyonun özellikleri belirli bir sırayla listelenir: 1) tanım alanı; 2) çift, tek; 3) monotonluk; 4) aşağıdan, yukarıdan sınırlılık; 5) fonksiyonun en küçük ve en büyük değerleri; 6) süreklilik; 7) değer aralığı; 8) şişkinlik.

Özellikler grafikten okundu, şimdi bu özelliklerin bir kısmının varlığının analitik olarak kanıtlanması önerildi.

Yazar, herhangi bir güç fonksiyonunun grafiğinin bir fonksiyonun grafiğine benzer olduğu, sadece dallarının yukarı doğru yönlendirildiği ve segment üzerindeki x eksenine daha fazla bastırıldığı sonucuna varır ve eğrinin noktada x eksenine dokunduğunu not eder. (0; 0).

Paragrafın sonunda, bir fonksiyonun grafiğini oluşturma örneği verilmiştir. İnşaat: 1) başlangıç ​​noktası (1; -2) noktasında olan bir yardımcı koordinat sistemine geçiş; 2) bir eğrinin inşası.

1) İşlev

Tek üslü bir güç fonksiyonunun özellikleri ve grafiği, önce grafiği kübik bir parabol olan bir fonksiyon örneği kullanılarak incelenir.

Yazar, herhangi bir güç fonksiyonunun grafiğinin bir fonksiyonun grafiğine benzer olduğu sonucuna varır, sadece üs ne kadar büyük olursa, grafiğin dalları o kadar dik bir şekilde yukarı (ve buna bağlı olarak aşağı doğru) yönlendirilir ve eğrinin x eksenine dokunduğunu not eder. (0; 0) noktasında.

Aşağıda, bir denklemi çözmek için bir güç fonksiyonunun grafiğini kullanmanın bir örneği verilmiştir. Çözüm 4 aşamada gerçekleşir: 1) iki fonksiyon dikkate alınır: ve; 2) bir fonksiyon grafiği çizmek; 2) planlama doğrusal fonksiyon; 4) kesişme noktasını bulun ve kontrol edin.

2) İşlev

Negatif tamsayı üslü (çift) güç işlevlerinden bahsediyoruz. Önce örnek bir fonksiyona bakalım. Bir grafik oluşturulur ve bu fonksiyonun özellikleri listelenir. Özellikle fonksiyonun azalan özelliği ispatlanmıştır.

multimedya görselleştirme işlevi okul matematiği

3) İşlev

Bu durumda, negatif tamsayı üslü (tek) güç işlevleri dikkate alınır: vb. Yazar, böyle bir işlevin 8. sınıfta zaten çalışıldığını hatırlatır - bu. Özellikleri ve grafiği (hiperbol) geri çağrılır ve herhangi bir fonksiyonun grafiğinin hiperbole benzer olduğu sonucuna varılır.

§ 19'da, gerçek bir sayının n'inci kökü kavramı verilir ve özellikle, negatif olmayan herhangi bir sayıdan herhangi bir derecenin (ikinci, üçüncü, dördüncü, vb.) ve negatif bir sayıdan herhangi bir tek derecenin kökü çıkarılabilir.

§ 20'de, verilen bir fonksiyondan bahsediyoruz ve grafiğini ve özelliklerini belirli bir örnek (at) kullanarak inceliyoruz. Fonksiyonun grafiğini ve fonksiyonun grafiğini gösteren şekle göre, bu grafiklerin simetrisi belirlenir ve ardından analitik olarak doğrulanır.

Aynı paragrafta, fonksiyon herhangi bir değer için tek olması durumunda ele alınmaktadır. Bu fonksiyonun özellikleri hakkında konuşuyoruz ve bir grafik oluşturuyoruz.

Çift bir sayı ise, fonksiyonun grafiği Şekil 1'de gösterilen forma sahiptir. bir;

Tek bir sayı ise, fonksiyonun grafiği Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. 2.

§ 24'te, formun bir fonksiyonunu ele alıyoruz - herhangi bir gerçek sayı (kendimizi rasyonel bir üs vakalarıyla sınırlandırıyoruz).

1. Eğer bir doğal sayı ise, o zaman bir fonksiyon elde ederiz (grafikler ve özellikler bilinir)

2. Eğer, o zaman bir fonksiyon alırsak, yani . Düz bir grafik durumunda, Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. 3a, tek bir grafik durumunda, Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. 3b

pilav.

3. Yani, bir fonksiyondan bahsediyorsak, o zaman bu bir fonksiyondur, burada

Durum, formun herhangi bir güç fonksiyonu için yaklaşık olarak aynıdır, burada:

1. - yanlış bir kesir (pay paydadan büyüktür). Grafiği, bir parabol dalına benzer bir eğridir. Endeks ne kadar yüksek olursa, bu eğri o kadar dik yukarı doğru yönlendirilir. Bir grafik oluşturulur ve özellikler verilir.

2. - uygun kesir () (§ 20). Bir grafik oluşturulur ve özellikler verilir.

Bir grafik oluşturulur ve özellikler verilir.

Problem kitabında “Cebir. Geniş kapsamlı çalışma. 9. sınıf." Zavich L. I., Ryazanovsky A. R., çeşitli egzersizler sistemi sunar. Seri numaraları arttıkça görevlerin karmaşıklığı da artar. Görev kitabı, çeşitli güç fonksiyonlarının grafiklerini çizmek, özelliklerini incelemek ve uygulamak için çok sayıda çeşitli alıştırmalar içerir.

Örneğin:

17.05. Bir çizimde fonksiyon grafikleri oluşturun

Arsa Fonksiyonları

17.35. Fonksiyonu Çiz

ve grafiği kullanarak, monotonluğunun, ekstremum noktalarının, ekstremumlarının ve sıfırlarının sayısının aralıklarını belirtin.

Fonksiyon grafiklerini çizin:

19.01. Bir çizimde fonksiyon grafikleri oluşturun

19.04. Arsa Fonksiyonları

19.22. Grafikleri Çiz ve Özellik Keşfi Yap

21.01. Bir fonksiyon grafikleri çizerek ve ile ve ile birlikte oluşturun ve fonksiyonun özelliklerini listeleyin: a) tanım alanı D (y); b) E(y) değer kümesi; c) fonksiyon sıfırları; d) monotonluk aralıkları; e) dışbükeylik aralıkları; f) uç noktalar; g) aşırılıklar; h) çift veya tek; i) en büyük ve en küçük değerler.

21.03. Aşağıdaki özellikleri çizin ve keşfedin

21.11. Bir çizimde fonksiyon grafikleri oluşturun

segmentte

21.17. Arsa Fonksiyonları

25.01. Aşağıdaki fonksiyon çiftlerinin grafiklerinin aynı çizim çizimlerini oluşturun

25.05. Fonksiyon Grafiklerini Çizin ve Özelliklerini Tanımlayın

25.06. Komşu çizimlerde fonksiyon grafikleri oluşturun

25.18. Arsa Fonksiyonları

25.30. Arsa Fonksiyonları

Eğitim literatürünün analizi, bazı sonuçlar çıkarmamızı sağlar

Ana standart göz önüne alındığında Genel Eğitim matematikte, öğrencilerin aşağıdaki güç fonksiyonu türlerini öğrenmeleri gerektiğini görüyoruz:

Özel durumlar (doğrudan, ters orantılılık, ikinci dereceden fonksiyon),

Doğal bir gösterge ile

bir tamsayı ile

Pozitif rasyonel üslü,

Rasyonel bir gösterge ile,

İrrasyonel bir gösterge ile,

gerçek gösterge ile.

Bu konuda önemli bir rol, fonksiyon grafiklerinin görüntüsünün oluşumu ile oynanır. Ayrıca, öğrenciler şunları yapabilmelidir: grafiğine göre bir fonksiyonun özelliklerini belirleme; İncelenen fonksiyonların özelliklerini tanımlar, grafiklerini oluşturur. Standardın dikkate alınması, “Güç işlevi” konusunun, okul çocuklarının zorunlu minimum bilgi, beceri ve yeteneklerine dahil olduğu sonucuna varmamızı sağlar ve bu nedenle, buna dikkatimiz tamamen haklıdır.

Güç fonksiyonu hakkında güçlü beceri ve yetenekler oluşturmak için, hareket ettiğimiz “Güç fonksiyonunun özellikleri” konusunun metodolojisini incelemek gerekir.

2. Okulda “Güç fonksiyonunun özellikleri” konusunu incelemek için metodolojik temeller

Güç işlevi, temel işlevler sınıfına aittir.

Bu çalışmanın amacı, öğrencilere sadece kuvvet fonksiyonunu tanıtmak değil, aynı zamanda genel olarak fonksiyonların özellikleri hakkında bildikleri bilgileri genişletmektir.

"Güç fonksiyonu" konusunu incelerken, çoğunlukla analitik ve grafik yöntemi fonksiyon araştırması. Analitik bir çalışmanın öğrenciler tarafından algılanmasının zor olduğu durumlarda, grafik yöntemler kullanılır, ancak ikincisi kanıt olarak hizmet edemez.

Öğrenciler, yalnızca uygulamalarının doğruluğuna ve doğruluğuna değil, aynı zamanda rasyonel grafik oluşturma yöntemlerine de dikkat ederek çok sayıda grafik çalışması gerçekleştirir.

Bir güç fonksiyonunun grafiklerini oluşturma ve okuma konusunda güçlü beceriler oluşturmak, her öğrencinin ana görev türlerini bağımsız olarak yerine getirmesini sağlamak için, ancak öğrenciler yeterli sayıda eğitim alıştırmasını tamamlarsa mümkündür.

Örneğin, “Okulda Matematik” dergisinde Lopatina, L.V. aşağıdaki öğreticiyi sunar:

Ders çalıştayı, öğrencilerin bilgiyi kendi emekleriyle edinmelerini amaçlar. Pedagojiyi geliştirmenin ana leitmotifi budur. “Güç İşlevi” konusu, güç işlevi ( nerede herhangi bir rasyonel sayı) aslında üsse bağlı olarak farklı özelliklere sahip bir işlevler kümesidir.

Bu özelliklerin tartışılması en iyi şekilde gruplar halinde organize edilir. Bunu yapmak için sınıfı altı gruba ayırmanız önerilir.

Her şeyden önce, öğretmenin "atölyedeki" çalışma sırasını hayal etmesi gerekir:

Aşama I - tümevarım - önceki deneyime başvurur;

Aşama III - boşluk - öğrencilerin bilgilerinde kendilerinin doldurması gereken boşluklar olduğunu anlamaları gereken an;

Aşama IV - yansıma - asimilasyon derecesinin belirlenmesi.

Dersin aşamalarının her birini daha ayrıntılı olarak açıklayalım.

Aşama I - indüksiyon. Öğretmen, sınıfın fonksiyonları, özelliklerini ve grafiklerini zaten incelediğini hatırlatır. Bu işlevler genellikle şu formülle tanımlanabilir: burada - bir tam sayıdır. Böyle bir fonksiyona güç fonksiyonu denir. Sınıfa şu görev verilir: Yeni bir fonksiyon öğrenirken cevaplamamız gereken soruları listelemek.

Sınıf bu soruları gruplar halinde tartışır ve ardından diğer grupların tüm soruları tek bir listede toplanır:

Bu fonksiyon hangi özelliklere sahiptir?

· Programı nedir?

Hangi durumlarda kullanılır?

Son soruyu cevaplayarak başlayalım. Bir güç fonksiyonunun göründüğü birkaç duruma örnek verelim.

Üç öğrenci sırayla tahtaya gidip mesajları evde hazırlar.

İlk öğrenci, tel çapının kesit alanı olan fonksiyonu dikkate alır. Dinleyiciler, bu güç fonksiyonunun aslında ikinci dereceden bir fonksiyon olduğunu, ancak argümanın değerinde kısıtlamalar olduğunu fark eder.

İkinci öğrenci kütleli iki cismin çekim kuvvetinin bir formülle ifade edildiğini söyler. Bu, bu cisimler arasındaki mesafenin bir fonksiyonudur. Sınıfta, özellikle çalışmamış olsak da, bu tür bir işlevi zaten çizdiğimizi fark edecek bir öğrenci olacak.

Üçüncü öğrenci, ufkun gözlemciden uzaklığını analiz eder: . Bu, gözlemcinin deniz seviyesinden yükseldiği yüksekliğin bir fonksiyonudur. Çocukların kendileri bunu fark etmediyse, öğretmen burada değerin süresiz olarak artamayacağını vurgulamalıdır. Gerçekten de, gözlemci ne kadar yükseğe kaldırılırsa kaldırılsın, vizyonunun olanaklarından ve kürenin çıkıntısının izin verdiğinden fazlasını göremez. Bu örnek, fonksiyonun değerleri üzerindeki kısıtlamaların uygunluğunu yargılamaya izin verdiği için özellikle gösterge niteliğindedir. Burada, teorik olarak konuşulan değerler süresiz olarak artabilse de, fonksiyonun değerlerine bazı kısıtlamalar getirmeliyiz.

Aşama II - konunun tartışılması. Öğrencilere seçtikleri güç fonksiyonlarından birinin özelliklerini analiz etmeleri için biraz zaman verilir. ana problem burada fonksiyon seçiminde. Bir grup, kendilerini tüm öğrenciler tarafından iyi bilinen bir görüntüleme işleviyle sınırlayarak görevi basitleştirme eğilimindedir. Başka bir grup, soruya genel yaklaşım öğrenciler için henüz net olmasa da, görüşün işlevini veya hatta her ikisini birlikte üstlenerek çalışmalarını aşırı karmaşıklaştırıyor.

Sonunda, gerekli vurgu yapılmamış olmasına rağmen, grafikleri daha önce düşünülmüş olan fonksiyonları seçen gruplar var.

Birinci grup, türün işlevini ele almıştır; tanımının alanını işaretledi: ve fonksiyonun sıfır değeri. Adamlar özellikle, fonksiyonun tüm tanım alanı boyunca arttığı gerçeğine odaklandılar. Fonksiyonun sıfırdan büyük veya küçük olduğu aralıkları seçtik. Konuşmacılar, bu işlevin tek olduğunu ve ne en büyük ne de en küçük değere sahip olmadığını vurguladılar.

Bu gruptan bir öğrenci, grupta araştırma sonuçları hakkında konuşan sınıfa konuşur.

İkinci grup, dikkate alınacak bir işlev seçti. Adamlar şimdi 0 sayısını fonksiyon tanımlama alanından çıkarmaları gerektiğini fark ettiler, yani. . Bir öncekinden farklı olarak, bu fonksiyonda sıfır yoktur. Ancak, yukarıda ele alınan gibi, bu fonksiyon için pozitif ve için negatiftir. Tüm tanım alanı boyunca azalır.

Bu grubun temsilcisi ve işlevleri arasındaki farkları vurgular.

İki öğrenci daha fonksiyonlar hakkında konuşuyor.

Sunumları sırasında tüm konuşmacılar, dikkate alınan fonksiyonların grafiklerini göstermelidir.

Dersin üçüncü aşamasında öğrenciler bilgilerini özetlemelidir. Ve bunu, dikkate alınan işlevlerin çeşitliliği karşısında şaşırarak kendi başlarına yapmalıdırlar. “Bu kadar çok varsa ve farklıysa neden onlara tek bir isim veriliyor?” Öğrencilerin kendilerine sorması gereken soru budur. Öğretmenin görevi, fark edilmeden öğrencileri bu konuya getirmektir. Adamların bilgilerinin eksikliklerini, sınırlamalarını veya eksikliklerini anlamaları gerektiğinde, sözde boşluk denilen bir an gelir. Gerçekten de, dikkate alınan fonksiyonlardan birinin sıfırları vardır, diğerinin yoktur. Biri tüm tanım alanı boyunca artar, diğeri ya artar ya da azalır. Mümkün olduğu kadar çok özel durumu kapsaması için tüm güç fonksiyonuna hangi karakterizasyonu vermeliyiz?

Bu soruya bir cevap ararken, adamlardan biri sonunda bir kuvvet fonksiyonunun biçimini çift veya tek üs ile ilişkilendirmenin uygun olduğunu tahmin ediyor.

Şimdi gruplardan fonksiyonların özelliklerini tartışmalarını tekrar istemek uygun olur.

nerede - garip;

hatta nerede;

garip nerede;

hatta nerede.

Bir kez daha, işlevin incelenmesi için planı not ediyoruz:

Tanım alanını belirtin.

Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu belirleyin (veya ne çift ne de tek olduğuna dikkat edin).

1. Varsa fonksiyonun sıfırlarını bulun.

2. Sabitlik aralıklarını işaretleyin.

3. Artış ve azalma aralıklarını bulun.

4. Fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini belirtin.

Sonunda öğrencilere, dikkate alınan fonksiyonların grafikleri sunulur, = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bu grafikler grupların her birinin temsilcileri tarafından gerçekleştirilir.

Şimdi, sınıfla birlikte, doğal sayı ve olan fonksiyon grafikleri oluşturuyoruz.

kayıt edilmiş ortak mülk Bu işlevlerin her ikisi de bir tanım alanına sahiptir - bir yayılma. İkisi de ne çift ne de tek. İkisi de sıfırdan büyüktür.

Ancak bu işlevlerin de farklılıkları vardır. Adamlar onları özel olarak çağırır: görünüm işlevi tanım alanında artar ve aynı etki alanında görünüm işlevi azalır. Form işlevinde sıfır değeri vardır ve form işlevinde sıfır yoktur.

IV. aşamada, öğrenciler yansıtma yapmalıdır, yani. malzemenin asimilasyon derecesinin belirlenmesi. Tüm sınıf, Şekil 1'e göre aşağıdaki görevi alır. 3.

Şek. 3, a-h, formüllerle verilen fonksiyonların grafiklerini şematik olarak gösterir.

Verilen listeden hangi formülün yaklaşık olarak her birine karşılık geldiğini belirleyin. a-h çizelgeleri.

"Okulda Matematik" dergisinde Petrov, N.P. "Excel kullanarak bir güç fonksiyonunun özelliklerini incelemek" projesini sunar:

“Fonksiyonların özelliklerini incelemek ve Excel elektronik tablolarını kullanmak” konulu makalede açıklanan eğitim projesi, lisemizin matematik ve bilgisayar bilimleri öğretmenleri tarafından dokuzuncu sınıfta gerçekleştirildi ve beş ders için tasarlandı.

Projenin amacı, öğrencilere öğrenmede bağımsızlık ve inisiyatif sağlamaktı. yeni Konu ve önceden öğrenilen materyalin pratik uygulaması.

Proje uygulaması sırasında, dokuzuncu sınıf öğrencilerinin şunları göstermesi gerekiyordu:

· proje görevlerini doğru formüle etme yeteneği;

bilgileri analiz etme ve sonuç çıkarma becerisi;

Elde edilen sonuçları doğru yorumlama ve pratikte uygulama becerisi.

Öğrenciler, Excel programını kullanarak fonksiyonların grafiklerinin davranışını araştırma görevi ile karşı karşıya kaldılar ve daha sonra elde edilen verilere dayanarak fonksiyonların özelliklerini tanımladılar.

Projenin bir sonucu olarak, dokuzuncu sınıf öğrencileri öğrenmek zorunda kaldı Genel form fonksiyonların grafiklerini ve bu grafikleri nasıl oluşturacağınızı ve "okuyacağınızı" ve ayrıca = f (x) biçimindeki grafiksel denklemleri nasıl çözeceğinizi öğrenin.

Bu projedeki çalışmanın, okul çocuklarının farklı değerler için güç fonksiyonu grafiklerindeki karşılaştırma, ortak özellikleri ve farklılıkları vurgulama yeteneklerini geliştirmeyi amaçladığını unutmayın.

İşte projenin adım adım açıklaması.

Aşama I. Hazırlık (keşif aşaması)

Öğrencilerin proje konusuna olan ilgilerinin uyandırılması, konuşma sürecinde gerçekleşir. Öğrenciler, bildikleri denklemleri çözmeye davet edilir.

Adamların denklemi iki şekilde çözebilecekleri ortaya çıktı: analitik ve grafiksel, denklem - grafiksel. Diğer denklemleri çözmeyi zor buluyorlar, ancak fonksiyonların grafiklerine aşina olsalardı, sorunu grafiksel olarak çözerlerdi.

Konuşmanın sonucu, sorunlu sorunun formülasyonudur: fonksiyonların grafikleri neye benziyor ve nerede? Bundan sonra, daha fazla çalışma için talimatlar belirlenir, görevler formüle edilir:

1. Excel'i kullanarak n bile fonksiyon grafiğinin nasıl göründüğünü öğrenin ve bu fonksiyonun özelliklerini tanımlayın.

2. Tek n için fonksiyon grafiğinin nasıl göründüğünü bulmak ve bu fonksiyonun özelliklerini açıklamak için Excel'i kullanın.

3. Excel'i kullanarak n bile fonksiyon grafiğinin nasıl göründüğünü öğrenin ve bu fonksiyonun özelliklerini tanımlayın.

4. Tek n için fonksiyon grafiğinin nasıl göründüğünü bulmak ve bu fonksiyonun özelliklerini açıklamak için Excel'i kullanın.

Daha sonra sınıf çalışma gruplarına ayrılır. Öğretmen, öğrencileri bağımsız olarak dört gruba ayırmaya (isteğe bağlı) ve her grupta bir lider seçmeye davet eder. Gruplar oluşturulurken projedeki çalışma alanlarından birini (yukarıda listelenen görevlere göre) seçerler.

Aşama II. Planlama (analitik aşama)

Öğretmen, grupların seçilen problemi çözmek için bir çalışma planı hazırlamalarına yardımcı olur ve bilgi elde etmek için kaynaklar önerir. Öğrenciler rolleri gruplara bağımsız olarak dağıtır. Gruptaki rollerin yaklaşık dağılımı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Bir gruptaki öğrenci sayısı, sınıftaki öğrenci sayısına bağlıdır.

Aynı aşamada çalışmanın sonuçlarının sunulma şekli tartışılır. Bu durumda, PowerPoint kullanan bir bilgisayar sunumu seçilmiştir.

Aşama III. Araştırma (pratik aşama)

Öğrenciler, planlanan iş planına göre görevleri tamamlarlar. Öğretmen etkinliklerini denetler ve gerekirse öğrencilere tavsiyelerde bulunur.

Örnek olarak, 1 numaralı grubun çalışma planını vereceğiz.

1. Excel programını kullanarak fonksiyon grafiklerinin oluşturulması.

2. Grafiklerin karşılaştırılması, doğal bir çift n için bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için öneriler için seçeneklerin formülasyonu.

3. Programa göre fonksiyonun özelliklerinin belirlenmesi.

4. Fonksiyon grafiğinin pratik uygulama örneklerinin analizi.

Çalışmaya dayanarak, öğrenciler doğal bile n için formun fonksiyonlarının grafiklerinin bir parabole benzer eğriler olduğu sonucuna varır ve çizim için önerilerde bulunur: grafiğin Oy eksenine göre simetrik olduğu akılda tutulmalıdır, bu nedenle, X argümanının pozitif değerleri için bir fonksiyon değerleri tablosu yapmak yeterlidir.

Ek olarak, bu aşamada, proje sırasında geliştirilecek olan genel bir sunum senaryosu oluşturulur. Bu senaryoda özellikle slayt sayısı, her slaydın amacı ve slaytların üzerine yerleştirilmesi gereken ana nesneler belirlenir.

Aşama IV ve V. Projenin korunması, sonuçların değerlendirilmesi (sunum ve kontrol aşamaları)

Projelerin korunması (gruplar halinde) planlanan derslerin en sonunda yer alır.

Şimdi bu proje üzerinde çalışmak için bir ders programı ve her dersin içeriği veriyoruz.

Ders 1 (Matematik)

· Proje görevinin beyanı. Çalışma yönlerinin tanımı, proje hedeflerinin formülasyonu.

· Çalışma gruplarına ayrılma, gruplar halinde lider seçme.

· Belirlenen görevleri çözmek için bir çalışma planı hazırlamak, rollerin gruplara dağılımı, sonuçların sunulması için formun seçimi.

Ders 2 (bilgisayar bilimi)

· Excel elektronik tablolarının amacı hakkında konuşun.

· Excel kullanarak çeşitli fonksiyonların grafiklerinin oluşturulmasını tekrarlamak.

· Çalışılan fonksiyonların grafiklerinin Excel aracılığıyla oluşturulması. Alınan bilgilerin analizi, sonuçların formülasyonu.

Ders 3 (Matematik)

Fonksiyon grafiklerinin oluşturulması ve "okunması" ve

· Formun denklemlerini grafiksel olarak çözme.

· Bir sunum komut dosyası oluşturun.

4. Ders (bilgisayar bilimi)

Power Point programının amaç ve ilkelerinin tekrarı.

· Sunum oluşturma.

5. Ders (Matematik)

· Projelerin korunması.

biz de veriyoruz Genel Plan ders - projenin korunması.

1. Organizasyonel an.

2. Problem tanımlama yoluyla bilgiyi uygulama motivasyonu.

Öğretmenin tanıtım konuşması

Bugünkü derste, çalışmanın ana amacı fonksiyonlar ve bunların nerede, özellikleri ve grafikleridir. Kök formülleri kullanarak birinci derece (doğrusal) ve ikinci derece (kare) denklemleri nasıl çözeceğinizi zaten biliyorsunuz. 3. dereceden denklemler için özel kök formüller de vardır, ancak bunlar çok hantaldır ve pratikte nadiren kullanılır. Derecesi üçüncüden büyük olan denklemler için, genel formüller kökleri yoktur. Sorun ortaya çıkıyor: Bu tür denklemler nasıl çözülebilir? Analitik olarak olmasa da grafiksel olarak ortaya çıkıyor. Ve formun denklemlerini çözmek için grafiksel bir yöntem uygulamak için, fonksiyonların ve nerede olduğunu çizebilmelisiniz.

Bu fonksiyonların grafiklerinin çalışmasına dört grup dahil edildi. Şimdi her biri bizi yapılan çalışmanın sonuçları hakkında bilgilendirecek.

3. Grup performansları.

Her grup tarafından projenin sunumu (savunması), rakiplerden gelen sorulara cevaplar.

4. Her bir performansın diğer gruplar tarafından kendi kendini değerlendirmesi ve değerlendirmesi (beş puanlık bir ölçekte).

Ana değerlendirme kriterlerini listeliyoruz:

içeriğin beyan edilen konuya uygunluğu, doğruluğu, sunumun eksiksizliği;

Hataların olmaması

tasarım (tasarım): slaytların düzeninin estetik gereksinimleri nasıl karşıladığı;

Metnin okunması kolay mı? görüntünün içerikle eşleşip eşleşmediği vb.;

ikna edicilik, konuşmanın tartışılabilirliği; konuşma okuryazarlığı, terminoloji bilgisi;

soruların cevaplarının eksiksizliği.

Ayrı olarak, gruptaki etkileşim değerlendirilir: sosyallik, diğer katılımcılara saygı ve dikkat, aktivite.

Kazanılan toplam puan sayısı ve derecelendirme puanı (aritmetik ortalama puan) hesaplanır; bunlara göre projeye katılım için bir değerlendirme yapılır.

5. Her öğrencinin projeye katkısının tartışılması ve not verilmesi.

6. Özetleme (yansıma).

7. Öğretmenin son sözü

Bu konudaki proje etkinliği sırasında fonksiyon grafikleri nedir ve nedir sorusuna cevap verdiniz ve nasıl oluşturulacağına dair önerilerde bulundunuz. Şimdi formun bazı denklemlerini grafiksel olarak çözebilirsiniz. Projenin hedeflerine ulaşmasına katkıda bulunan tüm öğrencilerimize yaratıcı ve verimli çalışmaları için teşekkür ederiz.

Yukarıdakiler göz önüne alındığında, el kitabımızda güç fonksiyonunun çalışmasına sistematik bir yaklaşım yansıtmaya çalıştık. Bir bilgisayarla çalışmanın zorluklarını en aza indirmek için kullanışlı ve doğal navigasyon yapmaya ve didaktik yazılım gereksinimlerini dikkate almaya çalıştık.

özelliklere aşina mısın y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x vb. Tüm bu işlevler, güç işlevinin, yani işlevin özel durumlarıdır. y=x p, burada p belirli bir gerçek sayıdır. Bir güç fonksiyonunun özellikleri ve grafiği, esas olarak, gerçek bir üslü bir gücün özelliklerine ve özellikle de hangi değerlere sahip olduğuna bağlıdır. x ve p mantıklı x p. Üslere bağlı olarak çeşitli durumların benzer bir değerlendirmesine geçelim. p.

dizin p=2nçift ​​doğal sayıdır.

Bu durumda güç fonksiyonu y=x 2n, nerede n bir doğal sayıdır, aşağıdakilere sahiptir

özellikleri:

tanım alanı, tüm gerçek sayılardır, yani, R kümesidir;

değerler kümesi - negatif olmayan sayılar, yani. y 0'dan büyük veya ona eşittir;

işlev y=x 2n hatta, çünkü x 2n =(-x) 2n

fonksiyon aralıkta azalıyor x<0 ve aralıkta artan x>0.

Fonksiyon Grafiği y=x 2nörneğin bir fonksiyonun grafiği ile aynı forma sahiptir y=x 4 .

2. Gösterge p=2n-1- tek doğal sayı Bu durumda güç fonksiyonu y=x 2n-1, bir doğal sayı olduğu yerde aşağıdaki özelliklere sahiptir:

tanım alanı - R'yi ayarlayın;

değerler seti - R'yi ayarlayın;

işlev y=x 2n-1 garip çünkü (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

fonksiyon tüm gerçek eksende artıyor.

Fonksiyon Grafiği y=x2n-1örneğin fonksiyonun grafiğiyle aynı forma sahiptir y=x3.

3. Gösterge p=-2n, nerede n- doğal sayı.

Bu durumda güç fonksiyonu y=x -2n =1/x 2n aşağıdaki özelliklere sahiptir:

değerler kümesi - pozitif sayılar y>0;

fonksiyon y =1/x 2n hatta, çünkü 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

fonksiyon x aralığında artıyor<0 и убывающей на промежутке x>0.

y fonksiyonunun grafiği =1/x 2nörneğin, y fonksiyonunun grafiği ile aynı forma sahiptir. =1/x 2 .

4. Gösterge p=-(2n-1), nerede n- doğal sayı. Bu durumda güç fonksiyonu y=x -(2n-1) aşağıdaki özelliklere sahiptir:

tanım alanı - x=0 dışında R'yi ayarlayın;

değerler kümesi - y=0 hariç R'yi ayarlayın;

işlev y=x -(2n-1) garip çünkü (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

fonksiyon aralıklarda azalıyor x<0 ve x>0.

Fonksiyon Grafiği y=x -(2n-1)örneğin fonksiyonun grafiğiyle aynı forma sahiptir y=1/x 3 .

1. Ters trigonometrik fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri.

Ters trigonometrik fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri.Ters trigonometrik fonksiyonlar (dairesel fonksiyonlar, ark fonksiyonları) trigonometrik fonksiyonların tersi olan matematiksel fonksiyonlardır.

1. arksin fonksiyonu

Fonksiyon Grafiği .

ark sinüs sayılar m böyle bir açı denir x, hangisi için

Fonksiyon süreklidir ve tüm gerçek çizgisiyle sınırlıdır. İşlev kesin olarak artmaktadır.

1. [Düzenle] Arcsin fonksiyonunun özellikleri

1. [Düzenle] Arcsin işlevini alma

Boyunca bir işlev verilen etki alanları o parçalı monoton ve dolayısıyla ters yazışma bir fonksiyon değildir. Bu nedenle, kesinlikle arttığı ve tüm değerleri aldığı aralığı dikkate alıyoruz. aralıklar- . Aralıktaki bir fonksiyon için, argümanın her değeri fonksiyonun tek bir değerine karşılık geldiğinden, bu segmentte var ters fonksiyon Grafiği, bir doğruya göre bir segment üzerindeki bir fonksiyonun grafiğine simetrik olan

1. Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafiği;

2. Dönüşümler:

Paralel aktarım;

Koordinat eksenleri hakkında simetri;

Orijine göre simetri;

y = x doğrusuna göre simetri;

Koordinat eksenleri boyunca esneme ve küçülme.

3. Üstel bir fonksiyon, özellikleri ve grafiği, benzer dönüşümler;

4. Logaritmik fonksiyon, özellikleri ve grafiği;

5. Trigonometrik fonksiyon, özellikleri ve grafiği, benzer dönüşümler (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

fonksiyon: y = x\n - özellikleri ve grafiği.

Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafiği

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x vb. Tüm bu işlevler, güç işlevinin, yani işlevin özel durumlarıdır. y = xp, burada p belirli bir gerçek sayıdır.
Bir güç fonksiyonunun özellikleri ve grafiği, esas olarak, gerçek bir üslü bir gücün özelliklerine ve özellikle de hangi değerlere sahip olduğuna bağlıdır. x ve p mantıklı xp. Farklı durumlara bağlı olarak benzer bir değerlendirmeye geçelim.
üs p.

1. dizin p = 2nçift ​​doğal sayıdır.

y=x2n, nerede n bir doğal sayıdır ve aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• kapsam - tümü gerçek sayılar, yani R kümesi;
• değerler kümesi - negatif olmayan sayılar, yani. y 0'dan büyük veya ona eşittir;
• işlev y=x2n hatta, çünkü x 2n = (-x) 2n
• fonksiyon aralıkta azalıyor x< 0 ve aralıkta artan x > 0.

Fonksiyon Grafiği y=x2nörneğin bir fonksiyonun grafiği ile aynı forma sahiptir y=x4.

2. Gösterge p = 2n - 1- tek doğal sayı

Bu durumda güç fonksiyonu y=x2n-1, bir doğal sayı olduğu yerde aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - R'yi ayarlayın;
• değerler seti - R'yi ayarlayın;
• işlev y=x2n-1 garip çünkü (- x) 2n-1= x 2n-1 ;
• fonksiyon tüm gerçek eksende artıyor.

Fonksiyon Grafiği y=x2n-1 y=x3.

3. Gösterge p=-2n, nerede n- doğal sayı.

Bu durumda güç fonksiyonu y=x-2n=1/x2n aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• değerler kümesi - pozitif sayılar y>0;
• fonksiyon y = 1/x2n hatta, çünkü 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• fonksiyon x0 aralığında artıyor.

y fonksiyonunun grafiği = 1/x2nörneğin, y fonksiyonunun grafiği ile aynı forma sahiptir. = 1/x2.

4. Gösterge p = -(2n-1), nerede n- doğal sayı.
Bu durumda güç fonksiyonu y=x-(2n-1) aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı, x = 0 dışında R kümesidir;
• değerler kümesi - y = 0 hariç R'yi ayarlayın;
• işlev y=x-(2n-1) garip çünkü (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• fonksiyon aralıklarda azalıyor x< 0 ve x > 0.

Fonksiyon Grafiği y=x-(2n-1)örneğin fonksiyonun grafiğiyle aynı forma sahiptir y = 1/x3.