Açısal argümanın trigonometrik fonksiyonları konulu ders. Sayısal ve açısal argümanın trigonometrik fonksiyonları. Yeni malzemenin açıklaması

Video öğretici " Trigonometrik fonksiyonlar açısal argüman", ilgili konuyla ilgili bir matematik dersi yürütmek için görsel bir materyaldir. Video, çalışılan materyalin öğrencilerin anlaması için mümkün olduğunca uygun şekilde sunulduğu, hatırlanması kolay, üçgenlerin incelenmesi bölümündeki trigonometrik fonksiyonlar hakkında mevcut bilgiler ile tanımları arasındaki bağlantıyı iyi ortaya çıkaracak şekilde oluşturulmuştur. birim çember kullanarak. O olabilir bağımsız kısım ders, bu konuyu tamamen kapsadığı için puanlama sırasında önemli yorumlarla desteklenir.

Bağlantıyı açıkça göstermek için çeşitli tanımlar trigonometrik fonksiyonlar, animasyon efektleri kullanılır. Metni renkli olarak vurgulamak, anlaşılır yapıları netleştirmek, yorumlarla desteklemek, hızlı bir şekilde ustalaşmaya, materyali hatırlamaya ve dersin hedeflerine daha hızlı ulaşmaya yardımcı olur. Trigonometrik fonksiyonların tanımları arasındaki bağlantı, animasyon efektleri ve renk vurgulama kullanılarak açıkça gösterilir ve malzemenin anlaşılmasına ve ezberlenmesine katkıda bulunur. Kılavuz, eğitimin etkinliğini artırmayı amaçlamaktadır.

Ders konu tanıtımı ile başlar. Daha sonra sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları hatırlanır. dar açı sağ üçgen. Kutuda vurgulanan tanım, sinüs ve kosinüsün bacağın hipotenüse oranı olarak, tanjant ve kotanjantın ise bacakların oranından oluştuğunu hatırlatır. Birim çembere ait bir noktayı ele alırken, noktanın apsisinin kosinüs ve ordinatın bu noktaya karşılık gelen sayının sinüsü olduğu, yakın zamanda çalışılan materyalden de öğrencilere hatırlatılır. Bu kavramların bağlantısı inşaat kullanılarak gösterilmiştir. Ekranda, merkezi orijine denk gelecek şekilde yerleştirilmiş bir birim daire görüntülenir. Koordinatların orijinden bir ışın oluşturulur ve apsisin pozitif yarı ekseniyle α açısı yapar. Bu ışın birim çemberi O noktasında keser. Dikler noktadan apsise ve y eksenine iner, bu noktanın koordinatlarının α açısının kosinüs ve sinüsünü belirlediğini gösterir. Apsis ekseninin pozitif yönü ile birim çemberin kesişme noktasından O noktasına kadar olan AO yayının uzunluğunun, 360 ° den α açısı ile tüm yayın aynı parçası olduğu not edilir. Bu, α/360=t/2π oranını yapmanızı sağlar; bu oran, hemen orada görüntülenir ve hafızaya alınması için kırmızıyla vurgulanır. t=πα/180° değeri bu orandan türetilir. Bunu dikkate alarak sinüs ve kosinüs sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=cost=cosπα/180 tanımları arasındaki ilişki belirlenir. Örneğin, sin60 ° bulma verilir. Açının derece ölçüsünü formüle koyarak, sin π 60°/180° elde ederiz. Kesri 60 azaltarak, √3/2'ye eşit olan sin π/3'ü elde ederiz. Bir açının derece ölçüsü 60° ise, π/3'e açının radyan ölçüsü denir. Açının derece ölçüsünün radyana oranının iki olası kaydı vardır: 60°=π/3 ve 60°=π/3 rad.

Bir derecelik açı kavramı, uzunluğu 1/360 çevrenin bir bölümünü temsil eden bir yaya dayanan bir merkez açı olarak tanımlanır. Aşağıdaki tanım, bir radyan açı kavramını ortaya koymaktadır - bir yaya dayanan bir merkez açı veya bir dairenin yarıçapına eşit. Tanımlar önemli olarak işaretlenir ve ezberlenmesi için vurgulanır.

Bir açının bir derece ölçüsünü bir radyana dönüştürmek ve bunun tersi için, α ° \u003d πα / 180 rad formülü kullanılır. Bu formül ekranda bir çerçeve içinde vurgulanır. Bu formülden 1°=π/180 rad çıkar. Bu durumda, bir radyan 180°/π≈57.3°'lik bir açıya karşılık gelir. Bağımsız değişken t'nin trigonometrik fonksiyonlarının değerlerini bulurken, hem sayısal bir argüman hem de açısal olarak kabul edilebileceği belirtilmektedir.

Ayrıca, matematiksel problemlerin çözümü sırasında edinilen bilgilerin kullanılmasına ilişkin örnekler gösterilmektedir. Örnek 1'de dereceden değerleri 135 ° ve 90 ° radyana dönüştürmek gerekiyor. Ekranın sağ tarafında derece ile radyan arasındaki ilişkiyi gösteren bir formül var. Değeri formüle yerleştirdikten sonra (π/180) 135 elde ederiz. Bu kesri 45'e indirdikten sonra 135°=3π/4 değerini elde ederiz. 905°'lik bir açıyı radyana dönüştürmek için aynı formül kullanılır. Değeri değiştirdikten sonra (π / 180) 905 \u003d 181π / 36 rad çıkıyor.

İkinci örnekte, ters problem çözülmüştür - radyan π/12, -21π/20, 2.4π cinsinden ifade edilen açıların derece ölçüsü bulunur. Ekranın sağ tarafında, 1 rad \u003d 180 ° / π açısının derecesi ve radyan ölçüsü arasındaki ilişki için çalışılan formül geri çağrılır. Her örnek, radyan ölçüsünü formüle koyarak çözülür. π/12 yerine koyarsak (180°/π)·(π/12)=15° elde ederiz. Benzer şekilde kalan açıların -21π/20=-189° ve 2.4π=432° değerleri bulunur.

Öğrenmenin etkinliğini artırmak için "Açısal argümanın trigonometrik fonksiyonları" adlı video dersinin geleneksel matematik derslerinde kullanılması önerilir. Materyal, bu konuda uzaktan eğitim sırasında öğrenmenin görselleştirilmesine yardımcı olacaktır. Konunun ayrıntılı, anlaşılır bir açıklaması, üzerinde problemlerin çözülmesi, öğrencinin materyali kendi başına yönetmesine yardımcı olabilir.

METİN YORUMLAMASI:

"Açısal argümanın trigonometrik fonksiyonları".

Geometriden, bir dik üçgenin dar açısının sinüsünün (kosinüs) bacağın hipotenüse oranı olduğunu ve tanjantın (kotanjant) bacakların oranı olduğunu zaten biliyoruz. Ve cebirde, birim çember üzerindeki bir noktanın apsisine kosinüs ve bu noktanın ordinatına sinüs deriz. Bütün bunların birbiriyle yakından bağlantılı olduğundan emin olacağız.

Derece ölçüsü α° (alfa derece) olan bir açıyı Şekil 1'de gösterildiği gibi yerleştirelim: açının tepe noktası birim dairenin merkeziyle (koordinat sisteminin orijini ile) ve dairenin bir kenarıyla uyumludur. açısı, x ekseninin pozitif ışını ile uyumludur. Açının ikinci kenarı çemberi O noktasında keser. O noktasının ordinatı alfa açısının sinüsüdür ve bu noktanın apsisi alfanın kosinüsüdür.

Alfa açısının üç yüz altmış derecelik açıdan olması gibi, AO yayının da birim çemberin uzunluğunun aynı parçası olduğuna dikkat edin. AO yayının uzunluğunu t(te) ile gösterelim, sonra = oranını oluşturalım

(alfa, te'den iki pi'ye kadar altmış tröst anlamına gelir.) Buradan te'yi buluruz: t = = (te eşittir pi alfa bölü yüz seksen).

Böylece, alfa derece açısının sinüsünü veya kosinüsünü bulmak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

sin α ° \u003d sint \u003d sin (alfa derecelerinin sinüsü te sinüsüne eşittir ve özel pi alfa sinüsüne yüz seksen eşittir),

cosα° \u003d maliyet \u003d cos (alfa derecelerinin kosinüsü te'nin kosinüsüne eşittir ve özel pi alfa kosinüsüne yüz seksen eşittir).

Örneğin, sin 60 ° \u003d sin \u003d sin \u003d (altmış derecenin sinüsü, sinüslerin temel değerleri tablosuna göre, pi'nin sinüsüne üçe eşittir, köke eşittir üçe iki).

60 ° 'nin bir açının derece ölçüsü olduğuna ve (pi ile üç) aynı açının radyan ölçüsü olduğuna inanılmaktadır, yani 60 ° = memnun(altmış derece eşittir pi çarpı üç radyan). Kısaca, notasyonu kabul ettik memnun atlayın, yani aşağıdaki gösterime izin verilir: 60°= (kısaltmaları göster radyan ölçüsü = rad.)

Bir derecelik bir açıdır orta köşe Bu, yayın (üç yüz altmışıncı) bir parçası olan bir yaya dayanmaktadır. Bir radyan açısı, uzunluğu bir olan bir yay üzerinde, yani uzunluğu bir dairenin yarıçapına eşit olan bir yay üzerinde duran bir merkezi açıdır (bir açıyı pi cinsinden göstermek için bir birim dairenin merkez açılarını göz önünde bulundururuz). bir daire üzerinde radyan).

Derece ölçüsünü radyana dönüştürmek için önemli formülü hatırlayalım:

α° = memnun. (alfa eşittir pi alfa bölü yüz seksen radyan) Özellikle, 1° = memnun(bir derece eşittir pi bölü yüz seksen radyan).

Bundan bir radyanın yüz seksen derecenin pi'ye oranına ve yaklaşık olarak elli yedi nokta bir derecenin onda üçüne eşit olduğunu bulabiliriz: 1 memnun= ≈ 57.3°.

Yukarıdan: herhangi bir trigonometrik fonksiyon hakkında konuştuğumuzda, örneğin, s \u003d sint (es, sinüs te'ye eşittir) işlevi hakkında, bağımsız değişken t (te) hem sayısal bir argüman hem de açısal bir argüman olarak kabul edilebilir.

Örnekleri düşünün.

ÖRNEK 1. Dereceden radyana çevirme: a) 135°; b) 905°.

Çözüm. Dereceleri radyana dönüştürmek için formülü kullanalım:

a) 135° = 1° ∙ 135 = memnun ∙ 135 = memnun

(yüz otuz beş derece pi çarpı yüz seksen radyan çarpı yüz otuz beşe eşittir ve indirgemeden sonra üç pi çarpı dört radyandır)

b) Benzer şekilde, bir derece ölçüsünü radyana dönüştürmek için formülü kullanarak,

905° = memnun ∙ 905 = memnun.

(dokuz yüz beş derece, yüz seksen bir pi çarpı otuz altı radyana eşittir).

ÖRNEK 2. Derece olarak ifade edin: a) ; b) -; c) 2.4π

(pi çarpı on iki; eksi yirmi bir pi çarpı yirmi; bir pi'nin iki virgül onda dördü).

Çözüm. a) Pi derece cinsinden on iki olarak ifade edin, açının radyan ölçüsünü 1'deki derece ölçüsüne çevirmek için formülü kullanın. memnun=, alırız

memnun = 1 memnun∙ = ∙ = 15°

Benzer şekilde b) - = 1 memnun∙ (-) \u003d ∙ (-) \u003d - 189 ° (eksi yirmi bir pi'ye yirmi eşittir eksi yüz seksen dokuz derece),

c) 2.4π = 1 memnun∙ 2.4π = ∙ 2.4π = 432° (pi'nin iki nokta dördü, dört yüz otuz iki dereceye eşittir).

Sayısal bir bağımsız değişkenin trigonometrik işlevleri ayrıştırdık. Çember üzerindeki A noktasını aldık ve elde edilen β açısından sinüs ve kosinüs aradık.

Noktayı A olarak gösterdik, ancak cebirde genellikle t olarak gösterilir ve tüm formüller/fonksiyonlar onunla birlikte verilir. Biz de kanunlardan sapmayacağız. Şunlar. t - belirli bir sayı olacak ve bu nedenle sayısal işlev(örneğin günah)

Yarıçapı bir olan bir dairemiz olduğuna göre, mantıklıdır.

açısal argümanın trigonometrik fonksiyonları biz de başarılı bir şekilde ayrıştırdık - kanunlara göre, bu tür işlevler için yazacağız: sin α °, yani α ° ile ihtiyacımız olan derece sayısıyla herhangi bir açı.

Bu açının ışını bize daire üzerindeki ikinci noktayı (OA - A noktası) ve sayısal argüman fonksiyonu için karşılık gelen C ve B noktalarını, eğer ihtiyacımız olursa verir: günah t = günah α°

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant çizgileri

Bunu asla unutma y ekseni sinüs çizgisidir, x ekseni kosinüs çizgisidir! Çemberden elde edilen noktalar bu eksenler üzerinde işaretlenmiştir.

ANCAK teğet ve kotanjant çizgileri onlara paraleldir ve (1; 0) ve (0; 1) noktalarından geçer. sırasıyla.

Her neyse gerçek Numara t alınabilir, sin t için benzersiz bir şekilde tanımlanmış bir sayı atanabilir. Doğru, yazışma kuralı oldukça karmaşıktır; yukarıda gördüğümüz gibi, aşağıdakilerden oluşur.

sin t'nin değerini t sayısıyla bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1) dairenin merkezi koordinatların orijini ile çakışacak ve dairenin başlangıç noktası A (1; 0) noktasına çarpacak şekilde sayı dairesini koordinat düzleminde konumlandırın;

2) daire üzerinde t sayısına karşılık gelen bir nokta bulun;

3) bu noktanın koordinatını bulun.

Bu ordinat günah t'dir.

Aslında Konuşuyoruz u = sin t fonksiyonu hakkında, burada t herhangi bir gerçek sayıdır.

Tüm bu işlevler denir sayısal argüman t'nin trigonometrik fonksiyonları.

Çeşitli trigonometrik fonksiyonların değerlerini birbirine bağlayan bir dizi ilişki var, bu ilişkilerden bazılarını zaten aldık:

günah 2 t + cos 2 t = 1

Son iki formülden, tg t ve ctg t'yi birbirine bağlayan bir ilişki elde etmek kolaydır:

Bu formüllerin tümü, herhangi bir trigonometrik fonksiyonun değerini bilerek, kalan trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplamanın gerekli olduğu durumlarda kullanılır.

"Sinüs", "kosinüs", "tanjant" ve "kotanjant" terimleri aslında tanıdıktı, ancak yine de biraz farklı bir yorumda kullanılıyorlardı: geometri ve fizikte sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant olarak kabul edildi. g l bir(Ama değil

sayılar, önceki paragraflarda olduğu gibi).

Akut açının sinüsünün (kosinüs) bir dik üçgenin ayağının hipotenüsüne oranı olduğu ve bir açının tanjantının (kotanjant) bir dik üçgenin bacaklarının oranı olduğu geometriden bilinmektedir. Önceki paragraflarda sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant kavramlarına farklı bir yaklaşım geliştirildi. Aslında, bu yaklaşımlar birbiriyle ilişkilidir.

Derece ölçüsü b o olan bir açıyı alalım ve Şekil 1'de gösterildiği gibi "dikdörtgen koordinat sistemindeki sayısal daire" modelinde düzenleyelim. on dört

merkeze uyumlu köşe üst

daireler (koordinat sisteminin orijini ile),

ve köşenin bir tarafı ile uyumludur

x ekseninin pozitif ışını. puan

açının diğer tarafının kesişimi

daire M harfi ile gösterilecektir. Ordina-

Şekil 14 b o ve bu noktanın apsisi, b o açısının kosinüsüdür.

B o açısının sinüsünü veya kosinüsünü bulmak için, bu çok karmaşık yapıları her seferinde yapmak hiç de gerekli değildir.

AM yayının, b o açısının 360° açısından olduğu gibi sayısal dairenin uzunluğunun aynı parçası olduğuna dikkat etmek yeterlidir. AM yayının uzunluğu t harfi ile gösterilirse, şunu elde ederiz:

Böylece,

Örneğin,

30 ° 'nin bir açının derece ölçüsü olduğuna ve aynı açının radyan ölçüsü olduğuna inanılmaktadır: 30 ° = rad. Genel olarak:

Özellikle, sırayla, nereden geldiğimize sevindim.

Peki 1 radyan nedir? Segment uzunluklarının çeşitli ölçüleri vardır: santimetre, metre, yarda, vb. Açıların büyüklüğünü belirtmek için de çeşitli ölçüler vardır. Birim çemberin merkez açılarını ele alıyoruz. 1°'lik bir açı, bir dairenin parçası olan bir yaya dayalı merkez açıdır. 1 radyanlık bir açı, uzunluğu 1 olan bir yaya dayanan bir merkez açıdır, yani. uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan bir yay üzerinde. Formülden 1 rad \u003d 57.3 ° alıyoruz.

u = sin t fonksiyonunu (veya başka herhangi bir trigonometrik fonksiyonu) göz önünde bulundurarak, bağımsız değişken t'yi önceki paragraflarda olduğu gibi sayısal bir argüman olarak düşünebiliriz, ancak bu değişkeni açının bir ölçüsü olarak da düşünebiliriz, yani açısal argüman. Bu nedenle, bir trigonometrik fonksiyondan bahsetmek, belirli bir anlamda, onu sayısal veya açısal bir argümanın bir fonksiyonu olarak düşünmek kayıtsızdır.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Açısal argümanın trigonometrik işlevi, açının derece ölçüsü ve radyan"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

1C'den 10. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometrideki problemleri çözüyoruz. Etkileşimli bina görevleri
Geometrideki problemleri çözüyoruz. Uzayda inşa etmek için etkileşimli görevler

Ne öğreneceğiz:
1. Geometriyi hatırlayalım.
2. Açısal argümanın tanımı.
3. Bir açının derece ölçüsü.
4. Bir açının radyan ölçüsü.
5. Radyan nedir?
6. Bağımsız çözüm için örnekler ve görevler.

geometri tekrarı

Beyler, fonksiyonlarımızda:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

t değişkeni yalnızca sayısal değerler almakla kalmaz, yani sayısal bir argüman olabilir, aynı zamanda bir açı ölçüsü - açısal bir argüman olarak da düşünülebilir.

Geometriyi hatırlayalım!
Orada sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjantı nasıl tanımladık?

Bir açının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranıdır.

Bir açının kosinüsü - bitişik bacağın hipotenüse oranı

Bir açının tanjantı, karşı bacağın bitişik olana oranıdır.

Bir açının kotanjantı, bitişik bacağın karşıdakine oranıdır.

açısal argümanın trigonometrik fonksiyonunun tanımı

Trigonometrik fonksiyonları bir sayı çemberinde açı argümanının fonksiyonları olarak tanımlayalım:
Sayısal bir daire ve bir koordinat sistemi yardımıyla bir açının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını her zaman kolayca bulabiliriz:

α açımızın tepe noktasını dairenin merkezine yerleştiriyoruz, yani. koordinat ekseninin merkezine ve kenarlardan birini x ekseninin (OA) pozitif yönü ile çakışacak şekilde konumlandırın
Sonra ikinci kenar sayı çemberini M noktasında keser.

ordinate noktalar M: α açısının sinüsü
apsis M noktaları: α açısının kosinüsü

AM yayının uzunluğunun, 360 dereceden α açımızla birim çemberin aynı parçası olduğuna dikkat edin: burada t AM yayının uzunluğudur.

Bir açının derece ölçüsü

1) Çocuklar, sayısal bir dairenin yayının uzunluğu boyunca bir açının derece ölçüsünü belirlemek için bir formülümüz var, hadi ona daha yakından bakalım:

Sonra trigonometrik fonksiyonları şu şekilde yazarız:

Örneğin:

Radyan açı ölçüsü

Bir açının derecesini veya radyan ölçüsünü hesaplarken unutmayın! :
Örneğin:

Bu arada! Tanımlama rad. düşebilirsin!

radyan nedir?

Sevgili dostlar, yeni bir konseptle karşılaştık - radyan. Peki nedir?

Çeşitli uzunluk, zaman, ağırlık ölçüleri vardır, örneğin: metre, kilometre, saniye, saat, gram, kilogram ve diğerleri. Yani Radyan açının ölçülerinden biridir. Sayısal dairenin merkezinde bulunan merkezi açıları dikkate almaya değer.
1 derecelik bir açı, çevresinin 1/360'ına eşit bir yaya dayanan merkez açıdır.

1 radyanlık bir açı, bir birim çemberde 1'e eşit bir yaya ve dairenin yarıçapına eşit bir yay üzerinde rastgele bir çembere dayanan bir merkez açıdır.

Örnekler: