sökme zamanı geldi kök çıkarma yöntemleri. Köklerin özelliklerine, özellikle de herhangi bir negatif olmayan b sayısı için geçerli olan eşitliğe dayanırlar.

Aşağıda sırayla kök çıkarmanın ana yöntemlerini ele alacağız.

En basit durumla başlayalım - bir kareler tablosu, bir küp tablosu vb. kullanarak doğal sayılardan kök çıkarmak.

Eğer kareler, küpler vb. elde değilse, kök sayısını basit faktörlere ayırmayı içeren kökü çıkarma yöntemini kullanmak mantıklıdır.

Ayrı olarak, tek üslü kökler için mümkün olan üzerinde durmaya değer.

Son olarak, kök değerinin basamaklarını sırayla bulmanızı sağlayan bir yöntem düşünün.

Başlayalım.

Bir kareler tablosu, bir küp tablosu vb.

Çoğunda basit vakalar kareler, küpler vb. tablolar köklerin çıkarılmasına izin verir. Bu tablolar nelerdir?

0'dan 99'a kadar tam sayıların kareleri tablosu (aşağıda gösterilmiştir) iki bölgeden oluşur. Tablonun ilk bölgesi gri bir arka plan üzerinde bulunur, belirli bir satır ve belirli bir sütun seçerek 0'dan 99'a kadar bir sayı yapmanızı sağlar. Örneğin, 8 onluk bir satır ve 3 birimlik bir sütun seçelim, bununla 83 sayısını sabitledik. İkinci bölge masanın geri kalanını kaplar. Hücrelerinin her biri, belirli bir satırın ve belirli bir sütunun kesişiminde bulunur ve karşılık gelen sayının karesini içerir 0 ila 99 . Seçtiğimiz 8 onluk satırın ve birin 3. sütununun kesişiminde, 83 sayısının karesi olan 6889 numaralı bir hücre var.

Küp tabloları, 0'dan 99'a kadar sayıların dördüncü üslü tabloları vb. kareler tablosuna benzer, sadece ikinci bölgede küpler, dördüncü üsler vb. içerirler. karşılık gelen sayılar.

Kareler, küpler, dördüncü kuvvetler vb. kare kökleri, küp kökleri, dördüncü kökleri vb. çıkarmanıza izin verir. sırasıyla bu tablolardaki rakamlardan Kökleri çıkarmadaki uygulama prensibini açıklayalım.

Diyelim ki a sayısı n. derece tablosunda yer alırken n'inci derecenin kökünü a sayısından çıkarmamız gerekiyor. Bu tabloya göre b sayısını a=b n olacak şekilde buluyoruz. O zamanlar , bu nedenle, b sayısı n'inci derecenin istenen kökü olacaktır.

Örnek olarak, 19683'ün küp kökünün küp tablosu kullanılarak nasıl çıkarıldığını gösterelim. Küp tablosunda 19 683 sayısını buluyoruz, ondan bu sayının 27 sayısının bir küpü olduğunu görüyoruz, bu nedenle, .

Kökleri çıkarırken n'inci derece tablolarının çok uygun olduğu açıktır. Ancak, genellikle elinizin altında değildirler ve derlenmeleri belirli bir süre gerektirir. Ayrıca, genellikle ilgili tablolarda yer almayan sayılardan kök çıkarmak gerekir. Bu durumlarda, kökleri çıkarmak için başka yöntemlere başvurmak gerekir.

Kök sayısının asal çarpanlara ayrılması

Bir doğal sayıdan kökü çıkarmanın oldukça uygun bir yolu (tabii ki kök çıkarılırsa), kök sayıyı asal çarpanlara ayırmaktır. Onun özü aşağıdaki gibidir: Daha sonra, kök değerini elde etmenizi sağlayan istenen gösterge ile bir derece olarak temsil etmek oldukça kolaydır. Bu noktayı açıklayalım.

n'inci derecenin kökü a doğal sayısından çıkarılsın ve değeri b'ye eşit olsun. Bu durumda, a=b n eşitliği doğrudur. Herhangi bir doğal sayı olarak b sayısı, p 1 , p 2 , …, p m tüm asal faktörlerinin bir çarpımı olarak p 1 p 2 … p m şeklinde temsil edilebilir ve bu durumda a kök sayısı (p) olarak temsil edilir. 1 p 2 ... p m) n . Sayının asal faktörlere ayrıştırılması benzersiz olduğundan, a kök sayısının asal faktörlere ayrıştırılması (p 1 ·p 2 ·…·p m) n gibi görünecektir, bu da kökün değerini şu şekilde hesaplamayı mümkün kılar. .

Eğer a kök sayısının çarpanlara ayrılması (p 1 ·p 2 ·…·p m) n şeklinde gösterilemiyorsa, o zaman böyle bir a sayısından n'inci derecenin kökü tamamen çıkarılmaz.

Örnekleri çözerken bununla ilgilenelim.

Örnek.

144'ün karekökünü alın.

Çözüm.

Bir önceki paragrafta verilen kareler tablosuna dönersek, 144=12 2 olduğu açıkça görülür, buradan 144'ün karekökünün 12 olduğu açıktır.

Ancak bu noktanın ışığında, 144 numaralı kök asal çarpanlarına ayrıştırılarak kökün nasıl çıkarıldığıyla ilgileniyoruz. Bu çözüme bir göz atalım.

hadi ayrıştıralım 144 asal çarpanlar:

Yani, 144=2 2 2 2 3 3 . Ortaya çıkan ayrışmaya bağlı olarak, aşağıdaki dönüşümler gerçekleştirilebilir: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Sonuç olarak, .

Köklerin derece ve özelliklerinin özelliklerini kullanarak, çözüm biraz farklı formüle edilebilir: .

Cevap:

Malzemeyi pekiştirmek için iki örneğin daha çözümlerini düşünün.

Örnek.

Kök değerini hesaplayın.

Çözüm.

243 kök sayısının asal çarpanlarına ayrılması 243=3 5'tir. Böylece, .

Cevap:

Örnek.

Kökün değeri bir tam sayı mı?

Çözüm.

Bu soruyu cevaplamak için, kök sayıyı asal çarpanlarına ayıralım ve bir tamsayının küpü olarak gösterilip gösterilemeyeceğini görelim.

285 768=2 3 3 6 7 2 var. Asal faktör 7'nin derecesi üçün katı olmadığından, sonuçtaki ayrışma bir tamsayının küpü olarak temsil edilmez. Bu nedenle, 285.768'in küp kökü tam olarak alınmamıştır.

Cevap:

Numara.

Kesirli sayılardan kök çıkarma

Kesirli sayıdan kökün nasıl çıkarıldığını bulmanın zamanı geldi. Kesirli kök sayı p/q olarak yazılsın. Bölümün kökünün özelliğine göre aşağıdaki eşitlik doğrudur. Bu eşitlikten şu çıkar kesir kökü kuralı: Bir kesrin kökü, payın kökünü paydanın köküne bölme oranına eşittir.

Bir kesirden kök çıkarma örneğine bakalım.

Örnek.

25/169 ortak kesirinin karekökü nedir?

Çözüm.

Kareler tablosuna göre, orijinal kesrin payının karekökünün 5 ve paydanın karekökünün 13 olduğunu buluyoruz. O zamanlar . Bu, 25/169 sıradan bir fraksiyondan kökün çıkarılmasını tamamlar.

Cevap:

Bir ondalık kesrin veya karışık bir sayının kökü, kök sayıları sıradan kesirlerle değiştirdikten sonra çıkarılır.

Örnek.

474.552 ondalığının küp kökünü alın.

Çözüm.

Orijinali hayal edin ondalık sıradan bir kesir biçiminde: 474.552=474552/1000. O zamanlar . Elde edilen kesrin pay ve paydasındaki küp köklerini çıkarmak için kalır. Çünkü 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 ve 1 000=10 3 , o zaman ve . Sadece hesaplamaları tamamlamak için kalır .

Cevap:

.

Negatif bir sayının kökünü çıkarma

Ayrı olarak, negatif sayılardan kök çıkarma üzerinde durmaya değer. Kökleri incelerken, kökün üssü tek bir sayı olduğunda, kökün işaretinin altında negatif bir sayı olabileceğini söyledik. Bu tür gösterimlere şu anlamı verdik: negatif bir −a sayısı ve 2 n−1 kökünün tek bir üssü için . Bu eşitlik verir Negatif sayılardan tek kök çıkarma kuralı: Negatif bir sayıdan kökü çıkarmak için, zıt pozitif sayıdan kökü çıkarmanız ve sonucun önüne eksi işareti koymanız gerekir.

Örnek bir çözüm düşünelim.

Örnek.

Kök değerini bulun.

Çözüm.

Kök işaretinin altında pozitif bir sayı görünecek şekilde orijinal ifadeyi dönüştürelim: . Şimdi karışık numara sıradan bir kesir ile değiştirin: . Sıradan bir kesirden kök çıkarma kuralını uygularız: . Elde edilen kesrin pay ve paydasındaki kökleri hesaplamak için kalır: .

İşte çözümün bir özeti: .

Cevap:

.

Bitsel Kök Değeri Bulma

Genel durumda, kökün altında, yukarıda tartışılan teknikleri kullanarak, herhangi bir sayının n'inci kuvveti olarak temsil edilemeyen bir sayı vardır. Ancak aynı zamanda, en azından belirli bir işarete kadar belirli bir kökün değerini bilmeye ihtiyaç vardır. Bu durumda, kökü çıkarmak için, istenen sayının basamaklarının yeterli sayıda değerini tutarlı bir şekilde elde etmenizi sağlayan bir algoritma kullanabilirsiniz.

Bu algoritmanın ilk adımı, kök değerinin en önemli bitinin ne olduğunu bulmaktır. Bunu yapmak için, 0, 10, 100, ... sayıları, kök sayısını aşan bir sayı elde edilene kadar art arda n kuvvetine yükseltilir. Daha sonra, önceki adımda n'nin gücüne yükselttiğimiz sayı, karşılık gelen yüksek sırayı gösterecektir.

Örneğin, beşin karekökünü çıkarırken algoritmanın bu adımını düşünün. 0, 10, 100, ... sayılarını alıp 5'ten büyük bir sayı elde edene kadar karelerini alıyoruz. 0 2 =0 var<5 , 10 2 =100>5 , bu, en anlamlı basamağın birler basamağı olacağı anlamına gelir. Bu bitin değeri ve daha düşükleri, kök çıkarma algoritmasının sonraki adımlarında bulunacaktır.

Algoritmanın aşağıdaki tüm adımları, en yüksekten başlayıp en düşüğe doğru hareket ederek, kökün istenen değerinin sonraki basamaklarının değerlerinin bulunması nedeniyle kök değerinin art arda iyileştirilmesine yöneliktir. . Örneğin, ilk adımda kökün değeri 2 , ikincide - 2.2 , üçüncüde - 2.23 , vb. 2.236067977 ... 'dir. Bitlerin değerlerinin nasıl bulunduğunu anlatalım.

Bit bulma, olası değerlerinin 0, 1, 2, ..., 9 numaralandırılmasıyla gerçekleştirilir. Bu durumda, karşılık gelen sayıların n'inci kuvvetleri paralel olarak hesaplanır ve kök sayı ile karşılaştırılır. Herhangi bir aşamada derecenin değeri radikal sayıyı aşarsa, önceki değere karşılık gelen basamağın değerinin bulunduğu kabul edilir ve bu olmazsa, kök çıkarma algoritmasının bir sonraki adımına geçiş yapılır, o zaman bu basamağın değeri 9'dur.

Tüm bu noktaları, beşin karekökünü çıkarma örneğini kullanarak açıklayalım.

İlk olarak, birler basamağının değerini bulun. 5 radikal sayısından daha büyük bir değer elde edene kadar sırasıyla 0 2 , 1 2 , …, 9 2 hesaplayarak 0, 1, 2, …, 9 değerlerini yineleyeceğiz. Tüm bu hesaplamalar uygun bir şekilde bir tablo şeklinde sunulur:

Yani birler basamağının değeri 2'dir (çünkü 2 2<5 , а 2 3 >5) Onuncu yerin değerini bulmaya devam edelim. Bu durumda, elde edilen değerleri kök sayısı 5 ile karşılaştırarak 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 sayılarının karesini alacağız:

2.2 2'den beri<5 , а 2,3 2 >5, o zaman onuncu yerin değeri 2'dir. Yüzüncüler basamağının değerini bulmaya devam edebilirsiniz:

Böylece beşin kökünün bir sonraki değeri bulunur, 2.23'e eşittir. Ve böylece daha fazla değer bulmaya devam edebilirsiniz: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Malzemeyi pekiştirmek için, dikkate alınan algoritmayı kullanarak kökün çıkarılmasını yüzlerce doğrulukla analiz edeceğiz.

İlk olarak, kıdemli rakamı tanımlarız. Bunu yapmak için 0, 10, 100 vb. sayıların küpünü alıyoruz. 2,151.186'dan büyük bir sayı elde edene kadar. 0 3 =0 var<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , yani en anlamlı basamak onlar basamağıdır.

Değerini tanımlayalım.

10 3'ten beri<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, o zaman onlar basamağının değeri 1'dir. Birimlere geçelim.

Böylece, birler basamağının değeri 2'dir. On'a geçelim.

12.9 3 bile 2 151.186 kök sayısından küçük olduğu için onuncu yerin değeri 9'dur. Algoritmanın son adımını gerçekleştirmek için kalır, bize kökün değerini gerekli doğrulukla verecektir.

Bu aşamada kökün değeri yüzde bire kadar bulunur: .

Bu makalenin sonunda, kök çıkarmanın daha birçok yolu olduğunu söylemek isterim. Ancak çoğu görev için yukarıda incelediklerimiz yeterlidir.

Bibliyografya.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8 hücre için ders kitabı. Eğitim Kurumları.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Cebir ve Analizin Başlangıcı: Genel Eğitim Kurumları 10-11. Sınıflar İçin Bir Ders Kitabı.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir el kitabı).

Elektronik tablo kullanıcıları, karekök işlevini kapsamlı bir şekilde kullanır. Verilerle çalışmak genellikle büyük sayıların işlenmesini gerektirdiğinden, manuel olarak saymak oldukça zor olabilir. Bu makalede, Excel'de herhangi bir derecenin kökünü çıkarma konusunun ayrıntılı bir analizini bulacaksınız.

Oldukça kolay bir iş, çünkü programın listeden alınabilecek ayrı bir işlevi var. Bunu yapmak için aşağıdakileri yapmanız gerekir:

1. Farenin sol tuşu ile üzerine bir kez tıklayarak fonksiyonu yazmak istediğiniz hücreyi seçin. Siyah bir anahat görünecek, etkin satır ve sütun turuncu renkte vurgulanacak ve adres hücresinde ad görünecektir.

   

2. Sütun adlarının üstünde, adres hücresinden sonra, formül çubuğunun önünde bulunan “fx” (“İşlev Ekle”) düğmesine tıklayın.

   

3. "Kök" işlevini bulmanız gereken bir açılır menü görünecektir. Bu, "Matematik" kategorisinde veya aşağıdaki menüyü fare ile kaydırarak "Tam alfabetik liste"de yapılabilir.

   

4. Farenin sol tuşuyla bir kez tıklayarak "Kök" öğesini seçin, ardından - "Tamam" düğmesine basın.

   

5. Aşağıdaki menü görünecektir - "İşlev Argümanları".

   

6. Bir sayı girin veya bu ifadenin veya formülün önceden yazıldığı hücreyi seçin, bunu yapmak için "Sayı" satırına bir kez sol tıklayın, ardından imleci ihtiyacınız olan hücrenin üzerine getirin ve tıklayın. Hücre adı otomatik olarak bir dizeye doldurulacaktır.

   

7. "Tamam" düğmesine tıklayın.

   

8. Ve her şey hazır, fonksiyon karekökü hesapladı ve sonucu seçilen hücreye yazdı.

   

Bir sayı ve bir hücrenin (bu hücreye doldurulan veriler) veya iki hücrenin toplamının karekökünü çıkarmak da mümkündür, bunun için "Sayı" satırına değerleri girin. Bir sayı yazın ve hücreye bir kez tıklayın, program ekleme işaretini kendisi koyacaktır.

Bir notta! Bu fonksiyon manuel olarak da girilebilir. Formül çubuğuna şu ifadeyi girin: "=SQRT(x)", burada x, aradığınız sayıdır.

3., 4. ve diğer derecelerin köklerinin çıkarılması.

Excel'de bu ifadeyi çözmek için ayrı bir işlev yoktur. n'inci kökü çıkarmak için önce onu matematiksel bir bakış açısıyla düşünmelisiniz.

n'inci kök, sayıyı ters kuvvete (1/n) yükseltmeye eşittir. Yani karekök, ½ (veya 0,5) kuvvetine karşılık gelen sayıya karşılık gelir.

Örneğin:

• 16'nın dördüncü kökü, 16 üzeri ¼'ün kuvvetidir;
• 64'ün küp kökü = 64 üzeri 1/3'ün kuvveti;

Bir elektronik tablo programında bu eylemi gerçekleştirmenin iki yolu vardır:

1. Bir fonksiyon ile.
2. Derece işaretini "^" kullanarak ifadeyi manuel olarak girin.

Bir fonksiyon kullanarak herhangi bir dereceden bir kök çıkarma

1. İstediğiniz hücreyi seçin ve "Formüller" sekmesindeki "İşlev Ekle" seçeneğine tıklayın.

   

2. Listeyi “Kategori” öğesinde, “Matematik” veya “Tam alfabetik liste” kategorisinde genişletin, “Derece” işlevini bulun.

   

   

3. "Sayı" satırına bir sayı (bizim durumumuzda bu sayı 64'tür) veya bir kez tıklayarak bir hücre adı girin.

   

4. "Güç" satırına, kökü yükseltmek istediğiniz gücü (1/3) yazın.

   

   Önemli! Bölme işaretini belirtmek için "/" sembolü kullanılmalıdır, standart bölme işareti ":" değil.

5. "Tamam" ı tıklayın ve eylemin sonucu başlangıçta seçilen hücrede görünecektir.

   

   

Not!İşlevlerle çalışma hakkında fotoğraflı en ayrıntılı talimatlar için yukarıdaki makaleye bakın.

"^" derece işaretini kullanarak herhangi bir derecenin kökünü çıkarma

Not! Dereceyi kesir veya ondalık sayı olarak yazabilirsiniz. Örneğin, ¼ kesri 0.25 olarak yazılabilir. Onda bir, yüzde bir, binde bir vb. ayırmak için matematikte olduğu gibi virgül kullanın..

İfade Yazma Örnekleri

Kök çıkarma işlemini pratikte başarılı bir şekilde kullanmak için, bu işlemin özelliklerini tanımanız gerekir.
Tüm özellikler, yalnızca kök işaretleri altında yer alan değişkenlerin negatif olmayan değerleri için formüle edilmiş ve kanıtlanmıştır.

Teorem 1. Kök n. derece(n=2, 3, 4,...) negatif olmayan iki yonga setinin çarpımından şu sayıların n'inci köklerinin çarpımına eşittir:

Yorum:

1. Teorem 1, radikal ifadenin ikiden fazla negatif olmayan sayının ürünü olduğu durumda geçerliliğini korur.

Teorem 2.Eğer bir, ve n, 1'den büyük bir doğal sayıysa, eşitlik

Teorem 1, m'yi çarpmamıza izin verir sadece aynı dereceden kökler , yani sadece aynı üslü kökler.

Teorem 3. Eğer ,k bir doğal sayıdır ve n 1'den büyük bir doğal sayıdır, o zaman eşitlik

Yani bir kökü doğal bir güce yükseltmek için kök ifadesini bu güce yükseltmek yeterlidir.
Bu Teorem 1'in bir sonucudur. Gerçekten de, örneğin, k = 3 için

Teorem 4. Eğer ,k, n 1'den büyük doğal sayılardır, sonra eşitlik

Yani bir kökten kök çıkarmak için köklerin üslerini çarpmak yeterlidir.
Örneğin,

Dikkat olmak! Kökler üzerinde dört işlemin yapılabileceğini öğrendik: çarpma, bölme, üs alma ve kökü çıkarma (kökten). Peki ya köklerin toplanması ve çıkarılması? Mümkün değil.
Örneğin, Indeed yerine yazamazsınız, Ama belli ki

Teorem 5. Eğer kökün ve kök ifadesinin göstergeleri aynı doğal sayı ile çarpılır veya bölünür, o zaman kökün değeri değişmez, yani.

Problem çözme örnekleri

Örnek 2 Hesaplamak
Çözüm. Karışık sayıyı uygun olmayan bir kesre dönüştürün.
Köklerin ikinci özelliğini kullanıyoruz ( teorem 2 ), şunu elde ederiz:

Örnek 3 Hesaplamak:

Çözüm. Cebirdeki herhangi bir formül, bildiğiniz gibi, sadece "soldan sağa" değil, aynı zamanda "sağdan sola" da kullanılır. Bu nedenle, köklerin ilk özelliği, onun olarak temsil edilebileceği ve bunun tersine ifade ile değiştirilebileceği anlamına gelir. Aynısı köklerin ikinci özelliği için de geçerlidir. Bunu akılda tutarak, hesaplamaları yapalım.

Tebrikler: bugün 8. sınıfın en akıllara durgunluk veren konularından biri olan kökleri analiz edeceğiz. :)

Pek çok insanın kökleri karmaşık olduğu için değil (ki bu karmaşıktır - birkaç tanım ve birkaç özellik daha vardır) değil, çoğu okul ders kitabında köklerin yalnızca ders kitaplarının yazarlarının kendilerinin anlayabileceği şekilde vahşi bir şekilde tanımlandığı için kafaları karışır. bu karalamayı anla. Ve o zaman bile sadece bir şişe iyi viskiyle. :)

Bu nedenle, şimdi kökün en doğru ve en yetkin tanımını vereceğim - gerçekten hatırlamanız gereken tek şey. Ve ancak o zaman açıklayacağım: tüm bunların neden gerekli olduğunu ve pratikte nasıl uygulanacağını.

Ama önce, bir nedenden dolayı birçok ders kitabı derleyicisinin “unuttuğu” önemli bir noktayı hatırlayın:

Kökler çift dereceli (en sevdiğimiz $\sqrt(a)$ yanı sıra herhangi bir $\sqrt(a)$ ve hatta $\sqrt(a)$) ve tek dereceli (herhangi bir $\sqrt(a)$) olabilir , $\ sqrt(a)$ vb.). Ve tek bir derecenin kökünün tanımı, çift olandan biraz farklıdır.

Burada, bu lanet olası "biraz farklı", muhtemelen, köklerle ilgili tüm hataların ve yanlış anlamaların% 95'ini gizler. Öyleyse terminolojiyi bir kez ve herkes için açıklığa kavuşturalım:

Tanım. Hatta kök n$a$ sayısından herhangi biri negatif olmayan$((b)^(n))=a$ olacak şekilde bir $b$ sayısı. Ve aynı $a$ sayısından tek bir derecenin kökü, genellikle aynı eşitliğin geçerli olduğu herhangi bir $b$ sayısıdır: $((b)^(n))=a$.

Her durumda, kök şu şekilde gösterilir:

\(a)\]

Böyle bir gösterimdeki $n$ sayısına kök üs, $a$ sayısına ise kök ifade denir. Özellikle, $n=2$ için “favori” karekökümüzü alırız (bu arada, bu bir çift derecenin köküdür) ve $n=3$ için bir kübik kök (tek bir derece) elde ederiz, bu da sıklıkla problemlerde ve denklemlerde bulunur.

Örnekler. Klasik karekök örnekleri:

\[\begin(hizalama) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(hiza)\]

Bu arada, $\sqrt(0)=0$ ve $\sqrt(1)=1$. $(0)^(2))=0$ ve $((1)^(2))=1$ olduğundan bu oldukça mantıklıdır.

Kübik kökler de yaygındır - onlardan korkmayın:

\[\begin(hizalama) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(hiza)\]

Eh, birkaç "egzotik örnek":

\[\begin(hizalama) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(hiza)\]

Çift ve tek derece arasındaki farkın ne olduğunu anlamadıysanız, tanımı tekrar okuyun. Bu çok önemli!

Bu arada, çift ve tek üsler için ayrı bir tanım getirmemiz gerektiğinden, köklerin hoş olmayan bir özelliğini ele alacağız.

Neden köklere ihtiyacımız var?

Tanımı okuduktan sonra birçok öğrenci soracaktır: “Matematikçiler bunu bulduklarında ne içtiler?” Ve gerçekten: neden tüm bu köklere ihtiyacımız var?

Bu soruyu cevaplamak için bir an için ilkokula geri dönelim. Unutmayın: ağaçların daha yeşil, köftelerin daha lezzetli olduğu o uzak zamanlarda, asıl derdimiz sayıları doğru çarpmaktı. Eh, "beşte beş - yirmi beş" ruhu içinde bir şey, hepsi bu. Ancak sonuçta, sayıları çiftler halinde değil, üçüzler, dörtler ve genellikle tam kümeler halinde çarpabilirsiniz:

\[\begin(hizalama) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Ancak, mesele bu değil. İşin püf noktası farklı: matematikçiler tembel insanlar, bu yüzden on beşin çarpımını şöyle yazmak zorunda kaldılar:

Böylece derecelerle geldiler. Neden faktörlerin sayısını uzun bir dize yerine üst simge olarak yazmıyorsunuz? Bunun gibi:

Çok uygun! Tüm hesaplamalar birkaç kez azaltılır ve 5 183'ü yazmak için bir sürü parşömen yaprağını harcayamazsınız. Böyle bir girişe bir sayının derecesi denildi, içinde bir sürü özellik bulundu, ancak mutluluğun kısa ömürlü olduğu ortaya çıktı.

Derecelerin "keşfi" üzerine düzenlenen görkemli bir içkiden sonra, özellikle kafayı sıyırmış bir matematikçi birdenbire sordu: "Ya bir sayının derecesini biliyorsak ama sayının kendisini bilmiyorsak?" Gerçekten de, örneğin belirli bir $b$ sayısının 5. kuvveti 243'e verdiğini biliyorsak, o zaman $b$ sayısının kendisinin neye eşit olduğunu nasıl tahmin edebiliriz?

Bu sorunun ilk bakışta göründüğünden çok daha küresel olduğu ortaya çıktı. Çünkü “hazır” derecelerin çoğunluğu için böyle bir “ilk” sayıların olmadığı ortaya çıktı. Kendiniz için yargıç:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(hiza)\]

$((b)^(3))=50$ ise ne olur? Kendiyle üç kez çarpıldığında bize 50 verecek olan belirli bir sayıyı bulmanız gerektiği ortaya çıktı. Peki bu sayı nedir? Açıkça 3'ten büyüktür çünkü 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yani bu sayı üç ile dört arasında bir yerdedir, ancak neye eşittir - ŞEKİL anlayacaksınız.

İşte tam da bu yüzden matematikçiler $n$-th köklerini buldular. Bu nedenle $\sqrt(*)$ radikal simgesi tanıtıldı. Belirtilen güce göre bize önceden bilinen bir değeri verecek olan $b$ sayısını belirtmek için

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Tartışmıyorum: genellikle bu kökler kolayca kabul edilir - yukarıda böyle birkaç örnek gördük. Ama yine de, çoğu durumda, keyfi bir sayı düşünürseniz ve ondan keyfi bir derecenin kökünü çıkarmaya çalışırsanız, acımasız bir serseri içindesiniz.

Oradaki ne! En basit ve en tanıdık $\sqrt(2)$ bile her zamanki formumuzla temsil edilemez - bir tamsayı veya kesir olarak. Ve bu sayıyı bir hesap makinesine sürerseniz şunu göreceksiniz:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Gördüğünüz gibi, ondalık noktadan sonra hiçbir mantığa uymayan sonsuz bir sayı dizisi vardır. Elbette, diğer sayılarla hızlı bir şekilde karşılaştırmak için bu sayıyı yuvarlayabilirsiniz. Örneğin:

\[\sqrt(2)=1.4142...\yaklaşık 1,4 \lt 1,5\]

Veya işte başka bir örnek:

\[\sqrt(3)=1.73205...\yaklaşık 1,7 \gt 1,5\]

Ancak tüm bu yuvarlamalar, öncelikle oldukça kaba; ve ikincisi, yaklaşık değerlerle de çalışabilmeniz gerekir, aksi takdirde bir sürü belirgin olmayan hatayı yakalayabilirsiniz (bu arada, karşılaştırma ve yuvarlama becerisi mutlaka profil sınavında kontrol edilir).

Bu nedenle, ciddi matematikte, kökler olmadan yapılamaz - bunlar, uzun zamandır bildiğimiz kesirler ve tamsayılar gibi tüm $\mathbb(R)$ gerçek sayılar kümesinin aynı eşit temsilcileridir.

Kökü $\frac(p)(q)$ biçiminin bir kesri olarak temsil etmenin imkansızlığı, bu kökün olmadığı anlamına gelir. rasyonel sayı. Bu tür sayılara irrasyonel denir ve bir radikal veya bunun için özel olarak tasarlanmış diğer yapılar (logaritmalar, dereceler, sınırlar vb.) Ama daha fazlası başka bir zaman.

Tüm hesaplamalardan sonra irrasyonel sayıların hala cevapta kalacağı birkaç örnek düşünün.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\yaklaşık 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\yaklaşık -1,2599... \\ \end(hizalama)\]

Doğal olarak, tarafından dış görünüş kök, ondalık noktadan sonra hangi sayıların geleceğini tahmin etmek neredeyse imkansızdır. Ancak, bir hesap makinesinde hesaplamak mümkündür, ancak en gelişmiş tarih hesaplayıcı bile bize yalnızca birkaç ilk hane verir. irrasyonel sayı. Bu nedenle cevapları $\sqrt(5)$ ve $\sqrt(-2)$ olarak yazmak çok daha doğrudur.

Bunun için icat edildiler. Cevapları yazmayı kolaylaştırmak için.

Neden iki tanım gerekli?

Dikkatli okuyucu muhtemelen örneklerde verilen tüm kareköklerin pozitif sayılardan alındığını fark etmiştir. En azından sıfırdan. Ancak küp kökleri kesinlikle herhangi bir sayıdan sakince çıkarılır - hatta pozitif, hatta negatif.

Bu neden oluyor? $y=((x)^(2))$ fonksiyonunun grafiğine bir göz atın:

Bu grafiği kullanarak $\sqrt(4)$'ı hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için, grafiğin üzerine, parabolü iki noktada kesen yatay bir $y=4$ (kırmızı ile işaretlenmiş) çizgisi çizilir: $((x)_(1))=2$ ve $((x) _(2)) =-2$. Bu oldukça mantıklı, çünkü

İlk sayı ile her şey açıktır - pozitiftir, bu nedenle köktür:

Ama o zaman ikinci nokta ile ne yapmalı? 4'ün aynı anda iki kökü var mı? Sonuçta, −2 sayısının karesini alırsak 4 elde ederiz. O zaman neden $\sqrt(4)=-2$ yazmıyorsunuz? Ve öğretmenler neden bu tür kayıtlara sizi yemek istiyorlarmış gibi bakıyorlar? :)

Sorun şu ki, herhangi bir ek koşul empoze edilmezse, dördünün iki karekökü olacaktır - pozitif ve negatif. Ve herhangi bir pozitif sayı da iki tane olacaktır. Ancak negatif sayıların kökleri olmayacak - bu aynı grafikten görülebilir, çünkü parabol asla eksenin altına düşmez y, yani negatif değerler almaz.

Eşit üslü tüm kökler için benzer bir sorun oluşur:

1. Kesin olarak söylemek gerekirse, her pozitif sayının çift üssü $n$ olan iki kökü olacaktır;
2. Negatif sayılardan $n$ bile olan kök hiç çıkarılmaz.

Bu nedenle $n$ çift kökünün tanımı, cevabın negatif olmayan bir sayı olması gerektiğini özellikle şart koşar. Böylece belirsizlikten kurtuluruz.

Ancak tek $n$ için böyle bir sorun yoktur. Bunu görmek için $y=((x)^(3))$ fonksiyonunun grafiğine bakalım:

Bu grafikten iki sonuç çıkarılabilir:

1. Kübik bir parabolün dalları, normalden farklı olarak, her iki yönde de sonsuza gider - hem yukarı hem de aşağı. Bu nedenle, hangi yükseklikte yatay bir çizgi çizersek çizelim, bu çizgi mutlaka grafiğimizle kesişecektir. Bu nedenle, küp kökü her zaman, kesinlikle herhangi bir sayıdan alınabilir;
2. Ek olarak, böyle bir kesişim her zaman benzersiz olacaktır, bu nedenle hangi sayının "doğru" kökü dikkate alacağınızı ve hangisini puanlayacağınızı düşünmenize gerek yoktur. Bu nedenle, tek bir derece için köklerin tanımı, çift bir dereceye göre daha basittir (negatif olmama şartı yoktur).

Bu basit şeylerin çoğu ders kitabında açıklanmaması üzücü. Bunun yerine, beynimiz her türlü aritmetik kök ve özellikleriyle uçmaya başlar.

Evet, tartışmıyorum: aritmetik kök nedir - ayrıca bilmeniz gerekir. Ve bunun hakkında ayrı bir derste ayrıntılı olarak konuşacağım. Bugün bunun hakkında da konuşacağız, çünkü onsuz, $n$-th çokluğunun kökleri üzerindeki tüm düşünceler eksik olurdu.

Ama önce yukarıda verdiğim tanımı net bir şekilde anlamanız gerekiyor. Aksi takdirde, terimlerin bolluğu nedeniyle kafanızda öyle bir karmaşa başlar ki sonunda hiçbir şey anlamazsınız.

Ve anlaman gereken tek şey, çift ve tek sayılar arasındaki farktır. Bu nedenle, kökler hakkında gerçekten bilmeniz gereken her şeyi bir kez daha toplayacağız:

1. Bir çift kök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan gelir ve kendisi her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Negatif sayılar için böyle bir kök tanımsızdır.
2. Ancak tek derecenin kökü herhangi bir sayıdan gelir ve kendisi de herhangi bir sayı olabilir: pozitif sayılar için pozitiftir ve negatif sayılar için, üst sınırın ima ettiği gibi, negatiftir.

Zor mu? Hayır, zor değil. Temizlemek? Evet, bariz! Bu nedenle, şimdi hesaplamalarla biraz pratik yapacağız.

Temel özellikler ve sınırlamalar

Köklerin birçok garip özelliği ve kısıtlaması var - bu ayrı bir ders olacak. Bu nedenle, şimdi yalnızca eşit üslü kökler için geçerli olan yalnızca en önemli "çipi" ele alacağız. Bu özelliği bir formül şeklinde yazıyoruz:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\sol| x\sağ|\]

Başka bir deyişle, bir sayıyı eşit bir kuvvete yükseltirsek ve sonra bundan aynı derecenin kökünü çıkarırsak, orijinal sayıyı değil, modülünü elde ederiz. Bu, ispatı kolay basit bir teoremdir (negatif olmayan $x$'ı ayrı ayrı ele almak ve sonra negatif olanları ayrı ayrı ele almak yeterlidir). Öğretmenler sürekli bunun hakkında konuşur, her okul ders kitabında verilir. Ancak sıra irrasyonel denklemleri (yani radikalin işaretini içeren denklemleri) çözmeye gelir gelmez öğrenciler bu formülü birlikte unuturlar.

Konuyu detaylı anlamak için tüm formülleri bir dakikalığına unutalım ve iki sayıyı önde saymaya çalışalım:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\sol(-3 \sağ))^(4)))=?\]

Bunlar çok basit örnekler. İlk örnek çoğu kişi tarafından çözülecek, ancak ikincisinde birçok sopa var. Bu tür saçmalıkları sorunsuz bir şekilde çözmek için her zaman prosedürü göz önünde bulundurun:

1. İlk olarak, sayı dördüncü güce yükseltilir. Bu biraz kolay. Çarpım tablosunda bile bulunabilecek yeni bir sayı elde edilecektir;
2. Ve şimdi bu yeni sayıdan dördüncü derecenin kökünü çıkarmak gerekiyor. Şunlar. köklerin ve derecelerin "indirgenmesi" yoktur - bunlar sıralı eylemlerdir.

İlk ifadeyle ilgilenelim: $\sqrt(((3)^(4)))$. Açıkçası, önce kök altındaki ifadeyi hesaplamanız gerekir:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Sonra 81 sayısının dördüncü kökünü çıkarırız:

Şimdi aynısını ikinci ifadeyle yapalım. İlk olarak, -3 sayısını, 4 kez kendisiyle çarpmamız gereken dördüncü güce yükseltiyoruz:

\[((\sol(-3 \sağ))^(4))=\sol(-3 \sağ)\cdot \sol(-3 \sağ)\cdot \sol(-3 \sağ)\cdot \ sol(-3 \sağ)=81\]

Üründeki toplam eksi sayısı 4 parça olduğu için pozitif bir sayı elde ettik ve hepsi birbirini götürecek (sonuçta eksi eksi artı bir artı verir). Ardından, kökü tekrar çıkarın:

Prensip olarak, cevabın aynı olacağı akıl almaz olduğu için bu satır yazılamaz. Şunlar. aynı eşit gücün eşit kökü eksileri "yakar" ve bu anlamda sonuç normal modülden ayırt edilemez:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\sağ|=3; \\ & \sqrt(((\sol(-3 \sağ))^(4)))=\sol| -3 \sağ|=3. \\ \end(hiza)\]

Bu hesaplamalar, bir çift derecenin kökünün tanımıyla iyi bir uyum içindedir: sonuç her zaman negatif değildir ve kök işareti de her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Aksi takdirde, kök tanımlanmaz.

İşlem sırasına ilişkin not

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ gösterimi, önce $a$ sayısının karesini aldığımız ve ardından elde edilen değerin karekökünü aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, $((a)^(2))\ge 0$ zaten;
2. Ancak $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ gösterimi, tam tersine, önce belirli bir $a$ sayısından kökü çıkardığımız ve ancak daha sonra sonucun karesini aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, $a$ sayısı hiçbir durumda negatif olamaz - bu, tanımın içine yerleştirilmiş zorunlu bir gerekliliktir.

Bu nedenle, hiçbir durumda kökleri ve dereceleri düşüncesizce azaltmamalı, böylece orijinal ifadeyi sözde "basitleştirmemelidir". Çünkü kökün altında negatif bir sayı varsa ve üssü çift ise, birçok sorunla karşılaşırız.

Bununla birlikte, tüm bu problemler sadece göstergeler için geçerlidir.

Kök işaretinin altındaki eksi işaretini kaldırma

Doğal olarak, tek üslü köklerin de prensipte çiftler için mevcut olmayan kendi özellikleri vardır. Yani:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Kısacası, tek dereceli köklerin işaretinin altından bir eksi çıkarabilirsiniz. Bu, tüm eksileri "atmanıza" izin veren çok kullanışlı bir özelliktir:

\[\begin(hizalama) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \sağ)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(hiza)\]

Bu basit özellik, birçok hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirir. Şimdi endişelenmenize gerek yok: Ya kökün altına olumsuz bir ifade girdiyse ve kökteki derece eşit çıktıysa? Köklerin dışındaki tüm eksileri “atmak” yeterlidir, daha sonra birbirleriyle çarpılabilir, bölünebilir ve genellikle “klasik” kökler söz konusu olduğunda bizi bir hataya götürmesi garanti edilen birçok şüpheli şey yapar. .

Ve burada sahneye başka bir tanım giriyor - çoğu okulun irrasyonel ifadeleri incelemeye başladığı tanım. Ve bunlar olmadan akıl yürütmemiz eksik kalır. Tanışmak!

aritmetik kök

Bir an için kök işaretinin altında yalnızca pozitif sayıların veya aşırı durumlarda sıfırın olabileceğini varsayalım. Çift / tek göstergelere puan verelim, yukarıda verilen tüm tanımlara puan verelim - sadece negatif olmayan sayılarla çalışacağız. Sonra ne?

Ve sonra aritmetik kökü elde ederiz - kısmen "standart" tanımlarımızla kesişir, ancak yine de onlardan farklıdır.

Tanım. Negatif olmayan bir $a$ sayısının $n$inci derecesinin aritmetik kökü, $(b)^(n))=a$ olacak şekilde negatif olmayan bir $b$ sayısıdır.

Gördüğünüz gibi artık parite ile ilgilenmiyoruz. Bunun yerine yeni bir kısıtlama ortaya çıktı: radikal ifade artık her zaman negatif değildir ve kökün kendisi de negatif değildir.

Aritmetik kökün normalden nasıl farklı olduğunu daha iyi anlamak için, bize zaten aşina olduğumuz kare ve kübik parabolün grafiklerine bir göz atın:

Gördüğünüz gibi, bundan böyle, yalnızca $x$ ve $y$ koordinatlarının pozitif (veya en az sıfır) olduğu ilk koordinat çeyreğinde yer alan grafik parçalarıyla ilgileniyoruz. Negatif bir sayıyı köklendirme hakkımız olup olmadığını anlamak için artık göstergeye bakmanıza gerek yok. Çünkü negatif sayılar artık prensipte dikkate alınmamaktadır.

Şunu sorabilirsiniz: “Peki, neden böyle hadım edilmiş bir tanıma ihtiyacımız var?” Veya: "Neden yukarıda verilen standart tanımla anlaşamıyoruz?"

Pekala, yeni tanımın uygun hale geldiği için sadece bir özellik vereceğim. Örneğin, üs kuralı:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Lütfen dikkat: radikal ifadeyi herhangi bir güce yükseltebiliriz ve aynı zamanda kök üssü aynı güçle çarpabiliriz - ve sonuç aynı sayı olacaktır! İşte bazı örnekler:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(hizalama)\]

Sorun ne? Neden daha önce yapamadık? İşte neden. Basit bir ifade düşünün: $\sqrt(-2)$ bizim klasik anlamda oldukça normal olan, ancak aritmetik kök açısından kesinlikle kabul edilemez bir sayıdır. Onu dönüştürmeye çalışalım:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\sol(-2 \sağ))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(hiza)$

Gördüğünüz gibi, ilk durumda, eksiyi radikalin altından çıkardık (gösterge tek olduğu için her hakkımız var) ve ikincisinde yukarıdaki formülü kullandık. Şunlar. matematik açısından her şey kurallara göre yapılır.

O NE LAN?! Aynı sayı nasıl hem pozitif hem de negatif olabilir? Mümkün değil. Sadece pozitif sayılar ve sıfır için harika çalışan üs alma formülü, negatif sayılar durumunda tam bir sapkınlık vermeye başlar.

İşte böyle bir belirsizlikten kurtulmak için aritmetik kökler buldular. Tüm özelliklerini ayrıntılı olarak ele aldığımız onlara ayrı bir büyük ders ayrılmıştır. Şimdi onlar üzerinde durmayacağız - ders zaten çok uzun çıktı.

Cebirsel kök: daha fazlasını bilmek isteyenler için

Uzun süre düşündüm: Bu konuyu ayrı bir paragrafta yapmak ya da yapmamak. Sonunda buradan ayrılmaya karar verdim. Bu materyal, kökleri daha da iyi anlamak isteyenler için tasarlanmıştır - artık ortalama “okul” düzeyinde değil, Olimpiyat'a yakın düzeyde.

Yani: bir sayıdan $n$-th derecesinin kökünün "klasik" tanımına ve bununla ilişkili çift ve tek göstergelere bölünmesine ek olarak, pariteye bağlı olmayan daha "yetişkin" bir tanım vardır ve diğer incelikler. Buna cebirsel kök denir.

Tanım. Herhangi bir $a$'ın cebirsel $n$-th kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde tüm $b$ sayılarının kümesidir. Bu tür kökler için yerleşik bir tanım yoktur, bu yüzden üstüne bir tire koyun:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \sağ. \sağ\) \]

Dersin başında verilen standart tanımdan temel farkı, cebirsel kökün belirli bir sayı değil, bir küme olmasıdır. Ve gerçek sayılarla çalıştığımız için bu küme sadece üç türdendir:

1. Boş küme. Negatif bir sayıdan çift dereceli bir cebirsel kök bulmak gerektiğinde oluşur;
2. Tek bir elemandan oluşan bir küme. Tek kuvvetlerin tüm kökleri ve sıfırdan gelen çift kuvvetlerin kökleri bu kategoriye girer;
3. Son olarak, küme iki sayı içerebilir - aynı $((x)_(1))$ ve $((x)_(2))=-((x)_(1))$ ikinci dereceden fonksiyon grafiği. Buna göre, böyle bir hizalama ancak bir çift derecenin kökünü pozitif bir sayıdan çıkarırken mümkündür.

Son durum daha ayrıntılı bir değerlendirmeyi hak ediyor. Farkı anlamak için birkaç örnek sayalım.

Örnek. Hesaplama ifadeleri:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Çözüm. İlk ifade basittir:

\[\overline(\sqrt(4))=\sol\( 2;-2 \sağ\)\]

Kümenin parçası olan iki sayıdır. Çünkü her birinin karesi dört veriyor.

\[\overline(\sqrt(-27))=\sol\( -3 \sağ\)\]

Burada sadece bir sayıdan oluşan bir küme görüyoruz. Bu oldukça mantıklı, çünkü kökün üssü tuhaf.

Son olarak, son ifade:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Boş bir setimiz var. Çünkü dördüncü (yani, hatta!) Kuvvete yükseltildiğinde bize negatif bir sayı -16 verecek tek bir gerçek sayı yoktur.

Son not. Lütfen dikkat: Gerçek sayılarla çalıştığımızı her yerde belirtmem tesadüf değildi. Karmaşık sayılar da olduğu için - orada $\sqrt(-16)$ ve diğer birçok garip şeyi hesaplamak oldukça mümkündür.

Ancak modern dönemde okul kursu Matematikte karmaşık sayılar neredeyse hiç bulunmaz. Yetkililerimiz konuyu "anlaşılması çok zor" olarak değerlendirdiği için çoğu ders kitabından çıkarılmıştır.

Bu kadar. Bir sonraki derste, köklerin tüm temel özelliklerine bakacağız ve sonunda irrasyonel ifadeleri nasıl sadeleştireceğimizi öğreneceğiz. :)

Tekrar tabağa baktım ... Ve hadi gidelim!

Basit bir tane ile başlayalım:

Bir dakika bekle. bu, şu şekilde yazabileceğimiz anlamına gelir:

Anladım? İşte size bir sonraki:

Ortaya çıkan sayıların kökleri tam olarak çıkarılmıyor mu? Endişelenme, işte bazı örnekler:

Peki ya iki çarpan değil, daha fazlası varsa? Aynı! Kök çarpma formülü, herhangi bir sayıda faktörle çalışır:

Artık tamamen bağımsız:

Yanıtlar: Aferin! Katılıyorum, her şey çok kolay, asıl şey çarpım tablosunu bilmek!

kök bölümü

Köklerin çarpımını anladık, şimdi bölme özelliğine geçelim.

Formülü hatırlayın Genel görünümöyle görünüyor:

Ve bu demektir ki bölümün kökü, köklerin bölümüne eşittir.

Peki, örneklere bakalım:

Tüm bilim bu. Ve işte bir örnek:

Her şey ilk örnekteki kadar pürüzsüz değil, ancak gördüğünüz gibi karmaşık bir şey yok.

Ya ifade şöyle görünüyorsa:

Formülü tersten uygulamanız yeterlidir:

Ve işte bir örnek:

Bu ifadeyi de görebilirsiniz:

Her şey aynı, sadece burada kesirleri nasıl çevireceğinizi hatırlamanız gerekiyor (eğer hatırlamıyorsanız, konuya bakın ve geri dönün!). Hatırladı? Şimdi karar veriyoruz!

Her şeyle, her şeyle başa çıktığınızdan eminim, şimdi bir dereceye kadar kökler oluşturmaya çalışalım.

üs alma

Karekökün karesi alınırsa ne olur? Çok basit, bir sayının karekökünün anlamını hatırlayın - bu, karekökü eşit olan bir sayıdır.

Yani, karekökü eşit olan bir sayının karesini alırsak ne elde ederiz?

Eh, tabii ki!

Örneklere bakalım:

Her şey basit, değil mi? Ve eğer kök farklı bir derecedeyse? Önemli değil!

Aynı mantığa bağlı kalın ve özellikleri ve güçlerle olası eylemleri hatırlayın.

"" Konulu teoriyi okuyun ve her şey sizin için son derece netleşecek.

Örneğin, işte bir ifade:

Bu örnekte, derece çifttir, peki ya tek ise? Yine, güç özelliklerini uygulayın ve her şeyi hesaba katın:

Bununla, her şey açık görünüyor, ancak bir dereceden bir sayıdan kök nasıl çıkarılır? İşte, örneğin, bu:

Oldukça basit, değil mi? Derecesi ikiden büyükse ne olur? Derecelerin özelliklerini kullanarak aynı mantığı izliyoruz:

Peki, her şey açık mı? Ardından kendi örneklerinizi çözün:

Ve işte cevaplar:

Kök işareti altında giriş

Köklerle yapmayı henüz öğrenmediğimiz şey! Sadece kök işaretinin altındaki sayıyı girme alıştırması için kalır!

Bu oldukça kolay!

Diyelim ki bir numaramız var

Bununla ne yapabiliriz? Tabii ki, üçlünün karekökü olduğunu hatırlayarak, üçlüyü kökün altına gizleyin!

Neden buna ihtiyacımız var? Evet, sadece örnekleri çözerken yeteneklerimizi genişletmek için:

Köklerin bu özelliğini nasıl buldunuz? Hayatı çok mu kolaylaştırıyor? Benim için, bu doğru! Sadece sadece karekök işaretinin altına pozitif sayılar girebileceğimizi unutmamalıyız.

Bu örneği kendiniz deneyin:
Becerebildin mi? Bakalım ne almanız gerekiyor:

Aferin! Kök işaretinin altına bir sayı girmeyi başardınız! Aynı derecede önemli bir şeye geçelim - karekök içeren sayıları nasıl karşılaştıracağınızı düşünün!

Kök Karşılaştırma

Neden karekök içeren sayıları karşılaştırmayı öğrenmeliyiz?

Çok basit. Çoğu zaman, sınavda karşılaşılan büyük ve uzun ifadelerde mantıksız bir cevap alırız (ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bugün bunu zaten konuşmuştuk!)

Örneğin denklemi çözmek için hangi aralığın uygun olduğunu belirlemek için alınan cevapları koordinat çizgisine yerleştirmemiz gerekir. Ve işte burada pürüz ortaya çıkıyor: Sınavda hesap makinesi yok ve onsuz, hangi sayının daha büyük ve hangisinin daha küçük olduğunu nasıl hayal edebilirim? Bu kadar!

Örneğin, hangisinin daha büyük olduğunu belirleyin: veya?

Hemen söylemeyeceksin. Peki, kök işaretinin altına bir sayı eklemek için parsed özelliğini kullanalım mı?

Sonra ileri:

Eh, belli ki ne daha fazla sayı kökün işareti altında, kökün kendisi ne kadar büyükse!

Şunlar. anlamına gelirse.

Bundan kesin olarak şu sonuca varıyoruz: Ve kimse bizi aksine ikna edemez!

Büyük sayıdan kök çıkarma

Ondan önce, kök işaretinin altına bir faktör getirdik, ama nasıl çıkaracağız? Sadece çarpanlara ayırmanız ve çıkarılanları çıkarmanız gerekiyor!

Diğer yoldan gitmek ve diğer faktörlere ayrılmak mümkündü:

Fena değil, değil mi? Bu yaklaşımlardan herhangi biri doğrudur, nasıl rahat hissedeceğinize karar verin.

Faktoring, aşağıdaki gibi standart olmayan görevleri çözerken çok kullanışlıdır:

Korkmuyoruz, harekete geçiyoruz! Kökün altındaki her bir faktörü ayrı faktörlere ayırıyoruz:

Ve şimdi kendiniz deneyin (hesap makinesi olmadan! Sınavda olmayacak):

Bu son mu? Yarım bırakmayacağız!

Hepsi bu, o kadar da korkutucu değil, değil mi?

Olmuş? Aferin, haklısın!

Şimdi bu örneği deneyin:

Ve bir örnek, kırılması zor bir somundur, bu yüzden ona nasıl yaklaşacağınızı hemen anlayamazsınız. Ama tabii ki dişlerimizdeyiz.

Pekala, çarpanlara ayırmaya başlayalım, olur mu? Hemen, bir sayıyı bölebileceğinizi not ediyoruz (bölünebilme işaretlerini hatırlayın):

Ve şimdi kendiniz deneyin (yine hesap makinesi olmadan!):

Peki, işe yaradı mı? Aferin, haklısın!

Özetliyor

1. Negatif olmayan bir sayının karekökü (aritmetik karekök), karesi eşit olan negatif olmayan bir sayıdır.
   .
2. Bir şeyin sadece karekökünü alırsak, her zaman negatif olmayan bir sonuç alırız.
3. Aritmetik kök özellikleri:
4. Kare kökleri karşılaştırırken, kökün işaretinin altındaki sayı ne kadar büyükse, kökün de o kadar büyük olduğu unutulmamalıdır.

Kare kökü nasıl seversin? Temiz?

Karekök ile ilgili sınavda bilmeniz gereken her şeyi su kullanmadan sizlere anlatmaya çalıştık.

Senin sıran. Bu konunun size zor gelip gelmediğini bize yazın.

Yeni bir şey mi öğrendin yoksa her şey çok açıktı.

Yorumları yazın ve sınavlarda başarılar!