nicel çalışma biyolojik fenomen, bu fenomenleri açıklayacak hipotezlerin yaratılmasını zorunlu olarak gerektirir. Şu veya bu hipotezi test etmek için bir dizi özel deney yapılır ve elde edilen gerçek veriler bu hipoteze göre teorik olarak beklenenlerle karşılaştırılır. Bir eşleşme varsa, bu hipotezi kabul etmek için yeterli neden olabilir. Deneysel veriler teorik olarak beklenenlerle zayıf bir uyum içindeyse, önerilen hipotezin doğruluğu konusunda büyük şüphe vardır.

Gerçek verilerin beklenen (varsayımsal) ile uyum derecesi, ki-kare uyum testi ile ölçülür:

 özelliğin gerçekte gözlenen değeri i- oyuncak; - belirli bir grup için teorik olarak beklenen sayı veya işaret (gösterge), k-veri gruplarının sayısı.

Kriter 1900 yılında K. Pearson tarafından önerildi ve bazen Pearson kriteri olarak da adlandırılır.

Bir görev. Bir ebeveynden faktör ve diğerinden faktör miras alan 164 çocuktan 46'sı faktöre, 50'si faktöre, 68'i her ikisine birden sahipti. Gruplar arasında 1:2:1 oranında beklenen frekansları hesaplayın ve Pearson testini kullanarak deneysel veriler arasındaki uyum derecesini belirleyin.

Çözüm: Gözlemlenen frekansların oranı 46:68:50, teorik olarak beklenen 41:82:41'dir.

Anlamlılık düzeyini 0,05 olarak ayarlayalım. Buna eşit serbestlik derecesi sayısı ile bu anlamlılık düzeyi için Pearson testinin tablo değeri 5,99 olarak ortaya çıktı. Bu nedenle, deneysel verilerin teorik olana uygunluğu hakkındaki hipotez, çünkü kabul edilebilir.

Ki-kare testini hesaplarken, artık dağılımın vazgeçilmez normalliği için koşul belirlemediğimizi unutmayın. Ki-kare testi, varsayımlarımızda seçmekte özgür olduğumuz herhangi bir dağılım için kullanılabilir. Bu kriterde bazı evrensellik vardır.

Pearson kriterinin bir başka uygulaması, ampirik bir dağılımın Gauss normal dağılımı ile karşılaştırılmasıdır. Aynı zamanda, dağılımın normalliğini kontrol etmek için bir grup kritere atfedilebilir. Tek kısıtlama, bu kriteri kullanırken toplam değer sayısının (varyant) yeterince büyük (en az 40) olması ve bireysel sınıflardaki (aralık) değer sayısının en az 5 olması gerektiğidir. Aksi takdirde, bitişik aralıklar birleştirilmelidir. Dağılımın normalliği kontrol edilirken serbestlik derecesi sayısı şu şekilde hesaplanmalıdır:

1. Fisher kriteri.

Bu parametrik test, normal dağılmış popülasyonların varyanslarının eşitliği hakkındaki sıfır hipotezini test etmeye hizmet eder.

Veya.

Küçük örneklem büyüklükleri için Student t-testinin uygulanması ancak varyanslar eşitse doğru olabilir. Bu nedenle, örnek ortalamaların eşitliğini test etmeden önce Student t-testinin geçerli olduğundan emin olmak gerekir.

nerede N 1 , N 2  örnek boyutları,  1 ,  2 - bu örnekler için serbestlik derecesi sayısı.

Tabloları kullanırken, daha büyük bir varyansa sahip bir örnek için serbestlik derecesi sayısının tablonun sütun numarası olarak, daha küçük bir varyansa ise tablonun satır numarası olarak seçildiğine dikkat edilmelidir.

Anlamlılık düzeyi için  matematiksel istatistik tablolarına göre tablo değeri buluyoruz. Eğer öyleyse, seçilen önem düzeyi için varyansların eşitliği hipotezi reddedilir.

Örnek. Kobaltın tavşanların vücut ağırlığı üzerindeki etkisini inceledi. Deney, deney ve kontrol olmak üzere iki grup hayvan üzerinde gerçekleştirilmiştir. Deneyimli, diyete sulu bir kobalt klorür çözeltisi şeklinde bir katkı maddesi aldı. Deney sırasında, ağırlık artışı gramdı:

\(\chi^2\) testi ("ki-kare", ayrıca "Pearson'ın uyum iyiliği testi") istatistikte son derece geniş bir uygulamaya sahiptir. AT Genel görünüm gözlemlenenlerin itaatine ilişkin sıfır hipotezini test etmek için kullanıldığını söyleyebiliriz. rastgele değişken belirli bir teorik dağıtım yasası (daha fazla ayrıntı için, örneğin, bakınız). Özel ifade test edilebilir hipotez durumdan duruma değişir.

Bu yazıda, immünolojiden (varsayımsal) bir örnek kullanarak \(\chi^2\) testinin nasıl çalıştığını anlatacağım. Vücuda uygun antikorlar verildiğinde bir mikrobiyal hastalığın gelişimini baskılamanın etkinliğini belirlemek için bir deney yaptığımızı hayal edin. 57 ve 54 hayvan olmak üzere iki gruba ayırdığımız deneye toplamda 111 fare katıldı. Birinci grup farelere patojenik bakteriler enjekte edildi, ardından bu bakterilere karşı antikor içeren kan serumu verildi. İkinci gruptaki hayvanlar kontrol olarak görev yaptı - sadece bakteri enjeksiyonları aldılar. Bir süre kuluçkadan sonra 38 farenin öldüğü ve 73'ünün hayatta kaldığı ortaya çıktı. Ölenlerin 13'ü birinci gruba, 25'i ikinci gruba (kontrol) aitti. bu deneyde test edildi sıfır hipotezi aşağıdaki gibi formüle edilebilir: serumun antikorlarla eklenmesinin farelerin hayatta kalması üzerinde hiçbir etkisi yoktur. Başka bir deyişle, farelerin hayatta kalmasında gözlemlenen farklılıkların (birinci grupta %77.2 ve ikinci grupta %53.7) tamamen rastgele olduğunu ve antikorların hareketi ile ilişkili olmadığını iddia ediyoruz.

Deneyde elde edilen veriler bir tablo şeklinde sunulabilir:

Bunun gibi tablolara olasılık tabloları denir. Bu örnekte, tablonun boyutu 2x2'dir: iki kritere göre incelenen ("Ölü" ve "Hayatta kalan") iki nesne sınıfı ("Bakteri + serum" ve "Yalnızca Bakteri") vardır. BT en basit durum beklenmedik durum tabloları: elbette hem incelenen sınıfların sayısı hem de özelliklerin sayısı daha fazla olabilir.

Yukarıda formüle edilen boş hipotezi test etmek için, antikorların farelerin hayatta kalması üzerinde gerçekten herhangi bir etkisi olmasaydı durumun ne olacağını bilmemiz gerekir. Başka bir deyişle, hesaplamanız gerekir beklenen frekanslar beklenmedik durum tablosunun ilgili hücreleri için. Nasıl yapılır? Deneyde toplam 38 fare öldü, bu da farelerin %34,2'si. toplam sayısı ilgili hayvanlar. Antikorların eklenmesi farelerin hayatta kalmasını etkilemiyorsa, her iki deney grubunda da aynı ölüm yüzdesi, yani %34.2 gözlemlenmelidir. 57 ve 54'ün %34.2'sinin ne kadar olduğunu hesaplayarak 19.5 ve 18.5 elde ederiz. Bunlar deney gruplarımızda beklenen ölüm oranlarıdır. Beklenen hayatta kalma oranları benzer bir şekilde hesaplanır: toplamda 73 fare veya toplam sayısının %65.8'i hayatta kaldığından, beklenen hayatta kalma oranları 37.5 ve 35.5'tir. Şimdi beklenen frekanslarla yeni bir beklenmedik durum tablosu yapalım:

Gördüğünüz gibi, beklenen frekanslar gözlemlenenlerden oldukça farklıdır, yani. antikorların uygulanması, patojenle enfekte olmuş farelerin hayatta kalması üzerinde bir etkiye sahip gibi görünmektedir. Bu izlenimi Pearson'ın uygunluk testi \(\chi^2\) kullanarak ölçebiliriz:

\[\chi^2 = \sum_()\frac((f_o - f_e)^2)(f_e),\]

\[\chi^2 = (13 – 19,5)^2/19,5 + (44 – 37,5)^2/37,5 + (25 – 18,5)^2/18.5 + (29 – 35,5)^2/35.5 = \]

\(\chi^2\) boş hipotezi reddedecek kadar büyük mü? Bu soruyu cevaplamak için kriterin karşılık gelen kritik değerini bulmak gerekir. \(\chi^2\) için serbestlik derecesi sayısı \(df = (R - 1)(C - 1)\ olarak hesaplanır), burada \(R\) ve \(C\) sayıdır tablo eşleniğindeki satır ve sütun sayısı. Bizim durumumuzda \(df = (2 -1)(2 - 1) = 1\). Serbestlik derecesi sayısını bildiğimize göre, artık standart R-fonksiyonu qchisq() kullanarak kritik değeri \(\chi^2\) kolayca bulabiliriz:

Böylece, bir serbestlik derecesi için, \(\chi^2\) kriterinin değeri, vakaların sadece %5'inde 3.841'i aşmaktadır. Elde ettiğimiz 6.79 değeri, bu kritik değeri önemli ölçüde aşıyor ve bu da bize antikorların verilmesi ile enfekte olmuş farelerin hayatta kalması arasında hiçbir ilişki olmadığı şeklindeki sıfır hipotezini reddetme hakkı veriyor. Bu hipotezi reddederek, %5'ten daha düşük bir olasılıkla yanılma riskimiz var.

\(\chi^2\) kriteri için yukarıdaki formülün, 2x2 boyutundaki beklenmedik durum tablolarıyla çalışırken biraz fazla tahmin edilen değerler verdiğine dikkat edilmelidir. Bunun nedeni, \(\chi^2\) kriterinin kendisinin dağılımının sürekli olması ve ikili özelliklerin ("öldü" / "hayatta kaldı") frekanslarının tanım gereği ayrık olmasıdır. Bu bağlamda, kriteri hesaplarken, sözde olanı tanıtmak gelenekseldir. süreklilik düzeltmesi, veya Yates değişikliği :

\[\chi^2_Y = \sum_()\frac((|f_o - f_e| - 0,5)^2)(f_e).\]

Pearson "Yates ile Ki-kare testi" süreklilik düzeltme verileri : fareler X-kare = 5.7923 , df = 1 , p-değeri = 0.0161

Ki-kare dağılımı, test için istatistikte en yaygın kullanılanlardan biridir. istatistiksel hipotezler. En güçlü uyum iyiliği testlerinden biri olan "ki-kare" dağılımına dayalı olarak Pearson'ın "ki-kare" testi oluşturulmuştur.

Uyum iyiliği testi, bilinmeyen dağılımın önerilen yasası hakkındaki hipotezi test etmek için bir kriterdir.

χ2 ("ki-kare") testi, farklı dağılımların hipotezini test etmek için kullanılır. Bu onun liyakatidir.

Kriterin hesaplama formülü şuna eşittir:

burada m ve m' sırasıyla ampirik ve teorik frekanslardır

düşünülen dağıtım;

n, serbestlik derecesi sayısıdır.

Doğrulama için ampirik (gözlemlenen) ve teorik (varsayım altında hesaplanan) karşılaştırmamız gerekir. normal dağılım) Sıklık.

Ampirik frekanslar hesaplanan veya beklenen frekanslarla tamamen örtüşüyorsa, S (E - T) = 0 ve χ2 kriteri de sıfıra eşit olacaktır. S (E - T) sıfıra eşit değilse, bu hesaplanan frekanslar ile serinin ampirik frekansları arasında bir uyumsuzluk olduğunu gösterecektir. Bu gibi durumlarda teorik olarak sıfırdan sonsuza kadar değişebilen χ2 kriterinin önemini değerlendirmek gerekir. Bu, gerçekte elde edilen χ2ph değeri ile kritik değeri (χ2st) karşılaştırılarak yapılır.Boş hipotez, yani ampirik ve teorik veya beklenen frekanslar arasındaki farklılığın rastgele olduğu varsayımı, χ2ph'den büyük veya eşitse reddedilir. kabul edilen anlamlılık düzeyi (a) ve serbestlik derecesi sayısı (n) için χ2'ye kadar.

Rastgele değişken χ2'nin olası değerlerinin dağılımı sürekli ve asimetriktir. Serbestlik derecesine (n) bağlıdır ve gözlem sayısı arttıkça normal dağılıma yaklaşır. Bu nedenle, χ2 kriterinin tahmine uygulanması ayrık dağılımlarözellikle küçük örnekler için değerini etkileyen bazı hatalarla ilişkilidir. Daha doğru tahminler elde etmek için, dağıtılan örnek varyasyon serisi, en az 50 seçeneğe sahip olmalıdır. Doğru Uygulamaχ2 kriteri ayrıca uç sınıflardaki varyantların frekanslarının 5'ten az olmamasını gerektirir; 5'ten az varsa, toplam miktarları 5'e eşit veya daha büyük olacak şekilde komşu sınıfların frekansları ile birleştirilirler. Frekansların birleşimine göre, sınıf sayısı (N) da azalır. Serbestlik derecesi sayısı, değişkenlik özgürlüğü üzerindeki kısıtlamaların sayısı dikkate alınarak ikincil sınıf sayısına göre belirlenir.

Kriter χ2'yi belirlemenin doğruluğu büyük ölçüde teorik frekansların (T) hesaplanmasının doğruluğuna bağlı olduğundan, ampirik ve hesaplanmış frekanslar arasındaki farkı elde etmek için yuvarlatılmamış teorik frekanslar kullanılmalıdır.

Örnek olarak, uygulamaya adanmış bir web sitesinde yayınlanan bir çalışmayı ele alalım. istatistiksel yöntemler beşeri bilimlerde.

Ki-kare testi, normal dağılmış olsun ya da olmasın, frekans dağılımlarının karşılaştırılmasını sağlar.

Sıklık, bir olayın meydana gelme sayısını ifade eder. Genellikle, bir olayın meydana gelme sıklığı, değişkenler isim ölçeğinde ölçüldüğünde ve sıklık dışındaki diğer özelliklerin seçilmesi imkansız veya sorunlu olduğunda ele alınır. Başka bir deyişle, değişken niteliksel özelliklere sahip olduğunda. Ayrıca, birçok araştırmacı test puanlarını seviyelere (yüksek, orta, düşük) çevirme ve bu seviyelerdeki insan sayısını bulmak için puan dağılım tabloları oluşturma eğilimindedir. Düzeylerden birinde (kategorilerden birinde) insan sayısının gerçekten daha fazla (daha az) olduğunu kanıtlamak için Ki-kare katsayısı da kullanılır.

En basit örneğe bir göz atalım.

Genç ergenler arasında bir benlik saygısı testi yapıldı. Test puanları üç seviyeye çevrildi: yüksek, orta, düşük. Frekanslar şu şekilde dağıtıldı:

Yüksek (H) 27 kişi.

Orta (C) 12 kişi

Düşük (H) 11 kişi.

Benlik saygısı yüksek olan çocukların büyük çoğunluğunun, ancak bunun istatistiksel olarak kanıtlanması gerektiği açıktır. Bunu yapmak için Ki-kare testini kullanıyoruz.

Görevimiz, elde edilen ampirik verilerin teorik olarak eşit derecede olası olanlardan farklı olup olmadığını kontrol etmektir. Bunu yapmak için teorik frekansları bulmak gerekir. Bizim durumumuzda teorik frekanslar, tüm frekansların toplanması ve kategori sayısına bölünmesiyle bulunan eş olasılıklı frekanslardır.

Bizim durumumuzda:

(B + C + H) / 3 \u003d (27 + 12 + 11) / 3 \u003d 16.6

Ki-kare testinin hesaplanması için formül:

χ2 = ∑(E - T)І / T

Bir tablo oluşturuyoruz:

Son sütunun toplamını bulun:

Şimdi kritik değerler tablosuna göre kriterin kritik değerini bulmanız gerekiyor (Ekteki Tablo 1). Bunu yapmak için serbestlik derecesi (n) sayısına ihtiyacımız var.

n = (R - 1) * (C - 1)

burada R tablodaki satır sayısıdır, C sütun sayısıdır.

Bizim durumumuzda, yalnızca bir sütun (orijinal ampirik frekanslar anlamına gelir) ve üç satır (kategoriler) vardır, bu nedenle formül değişir - sütunları hariç tutarız.

n = (R - 1) = 3-1 = 2

Hata olasılığı p≤0,05 ve n = 2 için kritik değer χ2 = 5,99.

Elde edilen ampirik değer kritik değerden büyüktür - frekans farkları önemlidir (χ2= 9.64; p≤0.05).

Gördüğünüz gibi kriterin hesaplanması çok basit ve fazla zaman almıyor. Ki-kare testinin pratik değeri çok büyüktür. Bu yöntem, anketlere verilen yanıtların analizinde en değerli olanıdır.

Daha karmaşık bir örnek alalım.

Örneğin, bir psikolog, öğretmenlerin kızlardan çok erkeklere karşı daha önyargılı olduğunun doğru olup olmadığını bilmek ister. Şunlar. kızları övmek daha olasıdır. Bunu yapmak için psikolog, öğretmenler tarafından yazılan öğrencilerin özelliklerini üç kelimenin oluşum sıklığı için analiz etti: "aktif", "çalışkan", "disiplinli", kelimelerin eş anlamlıları da sayıldı. Sözcüklerin ortaya çıkma sıklığına ilişkin veriler tabloya girildi:

Elde edilen verileri işlemek için ki-kare testi kullanıyoruz.

Bunu yapmak için, ampirik frekansların bir dağılım tablosu oluşturuyoruz, yani. gözlemlediğimiz frekanslar:

Teorik olarak, frekansların eşit olarak dağıtılmasını bekliyoruz, yani. sıklık kız ve erkek çocuklar arasında orantılı olarak dağıtılacaktır. Teorik frekansların bir tablosunu oluşturalım. Bunu yapmak için, satır toplamını sütun toplamı ile çarpın ve elde edilen sayıyı toplam toplam(lar)a bölün.

Hesaplamalar için ortaya çıkan tablo şöyle görünecektir:

χ2 = ∑(E - T)І / T

n = (R - 1), burada R tablodaki satır sayısıdır.

Bizim durumumuzda ki-kare = 4.21; n = 2.

Kriterin kritik değerleri tablosuna göre şunları buluyoruz: n = 2 ve 0,05 hata seviyesinde, kritik değer χ2 = 5,99.

Ortaya çıkan değer kritik değerden küçüktür, bu da sıfır hipotezinin kabul edildiği anlamına gelir.

Sonuç: Öğretmenler çocuğun özelliklerini yazarken cinsiyetine önem vermemektedir.

Çözüm.

K. Pearson, matematiksel istatistiklerin (çok sayıda temel kavram) gelişimine önemli bir katkı yaptı. Pearson'ın temel felsefi konumu şu şekilde formüle edilmiştir: bilim kavramları yapay yapılardır, duyusal deneyimi tanımlama ve düzenleme araçlarıdır; onları bilimsel önerilere bağlamanın kuralları, bilim felsefesi olan bilimin grameri tarafından belirlenir. Heterojen kavramları ve fenomenleri birbirine bağlamak, evrensel bir disipline izin verir - Pearson'a göre aynı zamanda öznel olmasına rağmen, uygulamalı istatistikler.

K. Pearson'ın birçok yapısı, antropolojik malzemeler kullanılarak doğrudan ilişkilidir veya geliştirilmiştir. Bilimin her alanında kullanılan çok sayıda sayısal sınıflandırma ve istatistiksel ölçütler geliştirdi.

Edebiyat.

1. A. N. Bogolyubov, Matematik. Mekanik. Biyografik rehber. - Kiev: Naukova Dumka, 1983.

2. Kolmogorov A.N., Yushkevich A.P. (ed.). 19. yüzyılın matematiği. - M.: Bilim. - T.I.

3. 3. Borovkov A.A. Matematik istatistikleri. Moskova: Nauka, 1994.

4. 8. Feller V. Olasılık teorisine giriş ve uygulamaları. - M.: Mir, T.2, 1984.

5. 9. Harman G., Modern faktöriyel analiz. - M.: İstatistikler, 1972.

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı

Irkutsk şehrinin Federal Eğitim Ajansı

Baykal Devlet Üniversitesi ekonomi ve hukuk

Bilişim ve Sibernetik Bölümü

Ki-kare dağılımı ve uygulaması

Kolmykova Anna Andreevna

2. sınıf öğrencisi

grup IS-09-1

Elde edilen verileri işlemek için ki-kare testi kullanıyoruz.

Bunu yapmak için, ampirik frekansların bir dağılım tablosu oluşturuyoruz, yani. gözlemlediğimiz frekanslar:

Teorik olarak, frekansların eşit olarak dağıtılmasını bekliyoruz, yani. sıklık kız ve erkek çocuklar arasında orantılı olarak dağıtılacaktır. Teorik frekansların bir tablosunu oluşturalım. Bunu yapmak için, satır toplamını sütun toplamı ile çarpın ve elde edilen sayıyı toplam toplam(lar)a bölün.

Hesaplamalar için ortaya çıkan tablo şöyle görünecektir:

χ2 \u003d ∑ (E - T)² / T

n = (R - 1), burada R tablodaki satır sayısıdır.

Bizim durumumuzda ki-kare = 4.21; n = 2.

Kriterin kritik değerleri tablosuna göre şunları buluyoruz: n = 2 ve 0,05 hata seviyesinde, kritik değer χ2 = 5,99.

Ortaya çıkan değer kritik değerden küçüktür, bu da sıfır hipotezinin kabul edildiği anlamına gelir.

Sonuç: Öğretmenler çocuğun özelliklerini yazarken cinsiyetine önem vermemektedir.

Başvuru

Kritik dağıtım noktaları χ2

tablo 1

Çözüm

Hemen hemen tüm uzmanlıkların öğrencileri, yüksek matematik dersinin sonunda "olasılık teorisi ve matematik istatistikleri", gerçekte sadece bazı temel kavramlar ve sonuçlarla tanışırlar, bunlar açıkça yeterli değildir. pratik iş. Öğrenciler, özel derslerde bazı matematiksel araştırma yöntemleriyle tanışırlar (örneğin, "Tahmin ve fizibilite planlaması", "Teknik ve ekonomik analiz", "Ürün kalite kontrolü", "Pazarlama", "Kontrol etme", " Matematiksel Yöntemler Tahmin", "İstatistik" vb. - ekonomik uzmanlık öğrencileri durumunda), ancak çoğu durumda sunum çok kısaltılmış ve doğası gereği reçetedir. Sonuç olarak, uygulamalı istatistik uzmanları yeterli bilgiye sahip değildir.

Bu yüzden büyük önem"Uygulamalı İstatistik" kursu var teknik üniversiteler, ve ekonomik üniversiteler- "Ekonometri" kursu, çünkü ekonometri bildiğiniz gibi, istatistiksel analizözel ekonomik veriler.

Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik, uygulamalı istatistik ve ekonometri için temel bilgiler sağlar.

Pratik çalışma için uzmanlar için gereklidirler.

Sürekli olasılıklı bir model düşündüm ve kullanılabilirliğini örneklerle göstermeye çalıştım.

bibliyografya

1. Orlov A.I. Uygulanmış istatistikler. M.: Yayınevi "Sınav", 2004.

2. Gmurman V.E. Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik. M.: Yüksek Lisans, 1999. - 479s.

3. Ayvozyan S.A. Olasılık Teorisi ve Uygulamalı İstatistik, v.1. M.: Birlik, 2001. - 656'lar.

4. Khamitov G.P., Vedernikova T.I. Olasılıklar ve istatistikler. Irkutsk: BSUEP, 2006 - 272p.

5. Ezhova L.N. Ekonometri. Irkutsk: BSUEP, 2002. - 314p.

6. Mosteller F. Çözümleri olan elli eğlenceli olasılıksal problem. M. : Nauka, 1975. - 111p.

7. Mosteller F. Olasılık. M. : Mir, 1969. - 428'ler.

8. Yaglom A.M. Olasılık ve bilgi. M. : Nauka, 1973. - 511s.

9. Chistyakov V.P. Olasılık kursu. M.: Nauka, 1982. - 256 s.

10. Kremer N.Ş. Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik. M.: UNITI, 2000. - 543 s.

11. Matematiksel ansiklopedi, v.1. M.: Sovyet Ansiklopedisi, 1976. - 655'ler.

12. http://psystat.at.ua/ - Psikoloji ve pedagojide istatistikler. Makale Ki-kare testi.

Dağıtım. Pearson dağılımı Olasılık yoğunluğu ... Wikipedia

ki-kare dağılımı- "ki kare" dağıtımı - Konular bilgi güvenliği EN ki kare dağıtımı ... Teknik Çevirmenin El Kitabı

ki-kare dağılımı- Yoğunluğu formülle verilen, 0'dan değerlere sahip sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı, burada 0 parametresi =1,2,...; gama fonksiyonudur. Örnekler. 1) Bağımsız normalleştirilmiş normal rasgele karelerin toplamı ... ... Sosyolojik İstatistik Sözlüğü

Ki-KARE DAĞILIMI (chi2)- Rastgele değişken chi2'nin dağılımı.Eğer ortalama (ve varyans q2 olan) bir normal dağılımdan 1 büyüklüğündeki rastgele örnekler alınırsa, o zaman chi2 = (X1 u)2/q2, burada X örneklenen değerdir. Örneklem büyüklüğü keyfi olarak artarsa N'ye kadar, sonra chi2 = … …

Olasılık yoğunluğu ... Vikipedi

- (Snedecor dağılımı) Olasılık yoğunluğu ... Wikipedia

Fisher dağılımı Olasılık yoğunluğu Dağılım fonksiyonu ile sayı parametreleri ... Wikipedia

Olasılık teorisi ve matematiksel istatistiğin temel kavramlarından biridir. saat modern yaklaşım matematiksel olarak incelenen rastgele fenomen modeli, karşılık gelen olasılık alanı (W, S, P) alınır, burada W, temel ... Matematiksel Ansiklopedi

Gama dağılımı Olasılık yoğunluğu Dağılım fonksiyonu Parametreler ... Wikipedia

F DAĞILIMI- Bir rasgele değişken F'nin teorik olasılık dağılımı. N boyutundaki rasgele örnekler normal bir popülasyondan bağımsız olarak seçilirse, bunların her biri bir serbestlik derecesi = N olan bir ki-kare dağılımı üretir. Böyle ikisinin oranı ... . .. Sözlük psikolojide

Kitabın

• Problemlerde Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik. 360'tan fazla görev ve alıştırma, Borzykh D.A. Önerilen kılavuz görevleri içerir farklı seviyeler zorluklar. Bununla birlikte, ana vurgu orta karmaşıklıktaki görevlere verilir. Bu kasıtlı olarak öğrencileri teşvik etmek için yapılır…