saçılma özellikleri

Örnek dağılım ölçüleri.

Örneklemin minimum ve maksimum değerleri sırasıyla incelenen değişkenin en küçük ve en büyük değeridir. Maksimum ve minimum arasındaki farka denir büyük ölçekteörnekler. Tüm örnek veriler minimum ve maksimum arasında yer almaktadır. Bu göstergeler, olduğu gibi, örneğin sınırlarını çizer.

R#1= 15.6-10=5.6

R №2 \u003d 0,85-0,6 \u003d 0,25

Örnek varyans(İngilizce) varyans) ve standart sapmaörnekler (İngilizce) standart sapma) bir değişkenin değişkenliğinin bir ölçüsüdür ve merkeze yayılan verinin derecesini karakterize eder. Aynı zamanda standart sapma, incelenen gerçek verilerle aynı boyuta sahip olması nedeniyle daha uygun bir göstergedir. Bu nedenle, veri analizinin sonuçlarını kısaca açıklamak için örneğin aritmetik ortalamasının değeri ile birlikte standart sapma göstergesi kullanılır.

Örnek varyansını şu formülle hesaplamak daha uygundur:

Standart sapma aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Varyasyon katsayısı, bir özelliğin yayılmasının göreceli bir ölçüsüdür.

Varyasyon katsayısı, örnek gözlemlerin homojenliğinin bir göstergesi olarak da kullanılır. Varyasyon katsayısı %10'u geçmezse, numunenin homojen olarak kabul edilebileceğine, yani birinden elde edildiğine inanılmaktadır. nüfus.

Her iki örnekte de varyasyon katsayısı olduğundan homojendirler.

Numune analitik olarak bir dağılım fonksiyonu şeklinde ve iki satırdan oluşan bir sıklık tablosu şeklinde temsil edilebilir. Üst satırda - artan düzende düzenlenmiş numunenin öğeleri (seçenekler); alt satır frekans seçeneğini kaydeder.

Seçeneklerin sıklığı, bu seçeneğin örnekteki tekrar sayısına eşit bir sayıdır.

Örnek #1 "Anneler"

Dağılım eğrisi türü

asimetri veya çarpıklık katsayısı (terim ilk olarak Pearson, 1895 tarafından tanıtıldı) bir dağılımın çarpıklığının bir ölçüsüdür. Çarpıklık 0'dan belirgin bir şekilde farklıysa, dağılım çarpıktır, yoğunluk normal dağılım ortalamaya göre simetriktir.

dizin asimetriler(İngilizce) çarpıklık) bir merkez etrafındaki verilerin dağılımındaki simetri derecesini karakterize etmek için kullanılır. Asimetri hem negatif hem de pozitif değerler alabilir. Bu parametrenin pozitif değeri, verilerin merkezin soluna, negatif bir değerin - sağa kaydırıldığını gösterir. Böylece, çarpıklık indeksinin işareti veri yanlılığının yönünü gösterirken, büyüklük bu yanlılığın derecesini gösterir. Sıfıra eşit çarpıklık, verilerin simetrik olarak merkez çevresinde toplandığını gösterir.

Çünkü asimetri pozitiftir, bu nedenle eğrinin tepesi merkezden sola kaydırılır.

basıklık katsayısı(İngilizce) Basıklık), merkezin etrafındaki veri kümelerinin büyük kısmının ne kadar sıkı olduğunun bir ölçüsüdür.

Pozitif basıklık ile eğri keskinleşir, negatif basıklık ile düzleşir.

Eğri düzleştirilir;

Eğri keskinleşiyor.

tutma nedenlerinden biri istatistiksel analiz Verilerin dağılmasına (saçılmasına) yol açan, incelenen gösterge üzerindeki rastgele faktörlerin (tehlikeler) etkisini hesaba katma ihtiyacından oluşur. Veri dağılımının mevcut olduğu sorunları çözmek, tüm veriyi kullanırken bile riskle ilişkilidir. mevcut bilgi yasaktır kesinlikle gelecekte ne olacağını tahmin et. Bu gibi durumlarda yeterince çalışmak için riskin doğasını anlamak ve veri setinin dağılma derecesini belirleyebilmek tavsiye edilir. Üç vardır sayısal özellikler, saçılma ölçüsünü açıklar: standart sapma, aralık ve varyasyon katsayısı (değişkenlik). Merkezi karakterize eden tipik göstergelerin (ortalama, medyan, mod) aksine, saçılma özellikleri ne kadar yakın bu merkeze veri kümesinin bireysel değerleridir
Standart Sapmanın Tanımı Standart sapma(standart sapma), veri değerlerinin ortalamadan rastgele sapmalarının bir ölçüsüdür. AT gerçek hayat verilerin çoğu dağılım ile karakterize edilir, yani. bireysel değerler ortalamadan biraz uzaktadır.
Standart sapmayı, verilerin sapmalarının ortalamasını alarak, saçılımın genelleştirici bir özelliği olarak kullanmak imkansızdır, çünkü sapmaların bir kısmı pozitif, diğer kısmı negatif olacaktır ve sonuç olarak, ortalama sonucu sıfır olabilir. Negatif işaretten kurtulmak için standart bir numara kullanılır: önce hesapla dağılım kare sapmaların toplamı olarak bölünür ( n–1) ve ardından elde edilen değerden karekök alınır. Standart sapmayı hesaplama formülü aşağıdaki gibidir: Not 1. Varyans herhangi bir değer taşımamaktadır. Ek Bilgiler standart sapma ile karşılaştırıldığında, ancak yorumlanması daha zordur, çünkü "birim karesi" olarak ifade edilirken, standart sapma bize aşina olan birimlerle (örneğin dolar olarak) ifade edilir. Not 2. Yukarıdaki formül, bir örneğin standart sapmasını hesaplamak içindir ve daha doğru olarak adlandırılır. Numune standart sapması. Standart sapma hesaplanırken nüfus(s sembolü ile gösterilir) böl n. Örnek standart sapmanın değeri biraz daha büyüktür (çünkü şuna bölünür: n–1), örneğin kendisinin rastgeleliği için bir düzeltme sağlar. Veri setinin normal dağılıma sahip olması durumunda standart sapma özel bir anlam kazanır. Aşağıdaki şekilde, ortalamanın her iki tarafına sırasıyla bir, iki ve üç standart sapma mesafede işaretler yerleştirilmiştir. Şekil, tüm değerlerin yaklaşık %66,7'sinin (üçte ikisi) ortalamanın her iki tarafında bir standart sapma içinde olduğunu, değerlerin %95'inin ortalamanın iki standart sapması içinde olacağını ve neredeyse tamamının veriler (%99.7) ortalamanın üç standart sapması içinde olacaktır.
66,7%


Normal dağılmış veriler için standart sapmanın bu özelliğine "üçte iki kuralı" denir.

Ürün kalite kontrol analizi gibi bazı durumlarda, sınırlar genellikle, ortalamadan üç standart sapmadan daha fazla olan gözlemlerin (%0,3) dikkate değer olduğu düşünülecek şekilde belirlenir.

Ne yazık ki, veriler normal dağılmamışsa, yukarıda açıklanan kural uygulanamaz.

Şu anda, Chebyshev'in kuralı olarak adlandırılan ve çarpık (eğik) dağılımlara uygulanabilecek bir kısıtlama var.
İlk verileri oluştur

Tablo 1, 31 Temmuz - 9 Ekim 1987 arasındaki çalışma günlerinde kaydedilen borsadaki günlük kârdaki değişikliklerin dinamiklerini göstermektedir.

Tablo 1. Borsada günlük kârdaki değişim dinamikleri

tarih Günlük Kar tarih Günlük Kar tarih Günlük Kar
-0,006 0,009 0,012
-0,004 -0,015 -0,004
0,008 -0,006 0,002
0,011 0,002 -0,008
-0,001 0,011 -0,010
0,017 0,013 -0,013
0,017 0,002 0,009
-0,004 -0,018 -0,020
0,008 -0,014 -0,003
-0,002 -0,001 -0,001
0,006 -0,001 0,017
-0,017 -0,013 0,001
0,004 0,030 -0,000
0,015 0,007 -0,035
0,001 -0,007 0,001
-0,005 0,001 -0,014
Excel'i Başlat
Dosya oluştur Standart araç çubuğundaki Kaydet düğmesini tıklayın. görüntülenen iletişim kutusunda İstatistikler klasörünü açın ve Scattering Characteristics.xls dosyasını adlandırın.
Etiket Ayarla 6. Sayfa1'de A1 hücresine Günlük kâr, 7. etiketini girin ve A2:A49 aralığında Tablo 1'deki verileri girin.
ORTALAMA işlevini ayarla 8. D1 hücresine Ortalama etiketini girin. D2 hücresinde, ORTALAMA istatistiksel işlevini kullanarak ortalamayı hesaplayın.
STDEV işlevini ayarla D4 hücresine Standart Sapma etiketini girin. D5 hücresinde, STDEV istatistiksel işlevini kullanarak standart sapmayı hesaplayın
Sonucun sözcük uzunluğunu dördüncü ondalık basamağa kadar azaltın.
Sonuçların yorumlanması reddetmek günlük kâr ortalama %0.04 (ortalama günlük kârın değeri -0.0004 çıktı). Bu, dikkate alınan süre için ortalama günlük kârın yaklaşık olarak sıfıra eşit olduğu anlamına gelir, yani. piyasa ortalama bir orandaydı. Standart sapma 0.0118 olarak ortaya çıktı. Bu, borsaya günlük yatırılan bir doların (1$) ortalama olarak 0.0118$ değiştiği anlamına gelir, yani. yatırımı 0.0118$'lık bir kar veya zararla sonuçlanabilir.
Tablo 1'de verilen günlük kar değerlerinin normal dağılım kurallarına uyup uymadığını kontrol edelim. 1. Ortalamanın her iki tarafında bir standart sapmaya karşılık gelen aralığı hesaplayın. 2. D7, D8 ve F8 hücrelerinde etiketleri sırasıyla ayarlayın: Bir standart sapma, Alt limit, Üst limit. 3. D9 hücresine = -0.0004 - 0.0118 formülünü girin ve F9 hücresine = -0.0004 + 0.0118 formülünü girin. 4. Sonucu dört ondalık basamağa kadar alın.

5. Bir standart sapma dahilindeki günlük kar sayısını belirleyin. İlk olarak, günlük kar değerlerini [-0.0121, 0.0114] aralığında bırakarak verileri filtreleyin. Bunu yapmak için, günlük kar değerlerine sahip A sütunundaki herhangi bir hücreyi seçin ve şu komutu çalıştırın:

Data®Filter®AutoFilter

Başlıktaki oka tıklayarak menüyü açın Günlük Kar ve (Koşul...) öğesini seçin. Özel Otomatik Filtre iletişim kutusunda, seçenekleri aşağıda gösterildiği gibi ayarlayın. Tamam düğmesini tıklayın.

Filtrelenen veri sayısını saymak için günlük kâr değerleri aralığını seçin, durum çubuğunda boş bir alana sağ tıklayın ve içerik menüsünden Değer sayısı komutunu seçin. Sonucu okuyun. Şimdi şu komutu çalıştırarak tüm orijinal verileri görüntüleyin: Data®Filter®Tümünü Göster ve şu komutu kullanarak otomatik filtreyi kapatın: Data®Filter®AutoFilter.

6. Ortalamanın bir standart sapması dahilindeki günlük kârların yüzdesini hesaplayın. Bunu yapmak için etiketi H8 hücresine girin Yüzde ve H9 hücresinde, yüzdeyi hesaplamak için formülü programlayın ve sonucu bir ondalık basamak doğruluğuyla alın.

7. Ortalamadan iki standart sapma içinde günlük kar aralığını hesaplayın. D11, D12 ve F12 hücrelerinde etiketleri buna göre ayarlayın: İki standart sapma, Sonuç olarak, Üst sınır. D13 ve F13 hücrelerinde hesaplama formüllerini girin ve sonucun dördüncü ondalık basamağa kadar doğru olmasını sağlayın.

8. Önce verileri filtreleyerek iki standart sapma dahilindeki günlük kar sayısını belirleyin.

9. Ortalamadan iki standart sapma uzakta olan günlük kârların yüzdesini hesaplayın. Bunu yapmak için etiketi H12 hücresine girin Yüzde ve H13 hücresinde, yüzdeyi hesaplamak için formülü programlayın ve sonucu bir ondalık basamak doğruluğuyla alın.

10. Ortalamadan üç standart sapma içinde günlük kar aralığını hesaplayın. D15, D16 ve F16 hücrelerinde etiketleri uygun şekilde ayarlayın: Üç standart sapma, Sonuç olarak, Üst sınır. D17 ve F17 hücrelerinde hesaplama formüllerini girin ve sonucun dördüncü ondalık basamağa kadar doğru olmasını sağlayın.

11. Önce verileri filtreleyerek üç standart sapma dahilindeki günlük kar sayısını belirleyin. Günlük kar değerlerinin yüzdesini hesaplayın. Bunu yapmak için etiketi H16 hücresine girin Yüzde ve H17 hücresinde, yüzdeyi hesaplamak için formülü programlayın ve sonucu bir ondalık basamak doğruluğuyla alın.

13. Hisse senedinin borsadaki günlük kazançlarının bir histogramını çizin ve bunu frekans dağılım tablosuyla birlikte J1:S20 alanına yerleştirin. Histogramda yaklaşık ortalamayı ve ortalamadan sırasıyla bir, iki ve üç standart sapmaya karşılık gelen aralıkları gösterin.

Varyasyon serisi

Genel popülasyonda bazı nicel işaret. Bir hacim örneği ondan rastgele çıkarılır. n, yani örnekteki eleman sayısı n. İstatistiksel işlemenin ilk aşamasında, değişenörnekler, yani numara siparişi x1, x2, …, xn Artan. Gözlenen her değer xi aranan seçenek. Sıklık mi değerin gözlem sayısıdır xiörnekte. Bağıl frekans (frekans) wi frekans oranı miörnek boyutuna n: wi=min/n.

Bir varyasyon serisini incelerken, kümülatif frekans ve kümülatif frekans kavramları da kullanılır. İzin vermek x biraz sayı. Daha sonra seçenek sayısı , değerleri daha az olan x, kümülatif frekans olarak adlandırılır: xi için minak=mi kümülatif frekans denir: winak=miak/n.

Bireysel değerleri (varyantları) birbirinden sonlu bir miktarda (genellikle bir tamsayı) farklıysa, bir özniteliğe ayrık değişken denir. Böyle bir özelliğin varyasyon serisine ayrık varyasyon serisi denir.

Varyasyon serisinin sayısal özellikleri

Varyasyon serilerinin sayısal özellikleri, gözlemler sonucunda elde edilen verilerden (istatistiksel veriler) hesaplanır, bu nedenle bunlara istatistiksel özellikler veya tahminler de denir. Uygulamada, varyasyon serilerinin özet özelliklerini bilmek genellikle yeterlidir: ortalama veya konum özellikleri (merkezi eğilim); saçılma özellikleri veya varyasyon (değişkenlik); şekil özellikleri (asimetri ve dağılımın dikliği).

Aritmetik ortalama, gözlemlerin yoğunlaştığı özelliğin değerlerini karakterize eder, yani. merkezi dağıtım eğilimi.

İtibar medyanlar Merkezi eğilimin bir ölçüsü olarak, varyasyon serisinin uç elemanlarındaki bir değişiklikten etkilenmemesi, eğer herhangi birinin medyandan daha küçük olması, ondan daha küçük olması ve herhangi birinin medyandan daha büyük olması gerçeğinde yatmaktadır. , ondan daha büyük olmaya devam ediyor. Medyan, diğerlerine kıyasla aşırı değişkenlerin aşırı büyük veya küçük olduğu bir dizi için aritmetik ortalamaya tercih edilir. tuhaflık moda Merkezi eğilimin bir ölçüsü olarak, serinin uç elemanları değiştiğinde de değişmemesi gerçeğinde yatar, yani. belli bir

Polo özellikleri

Aritmetik ortalama (örnek ortalama)

xv=i=1nkarışım

Moda

Mo = xj, eğer mj=mmaks

ben = xk+1, eğer n = 2k+1;

Ben = (xk + xk+1)/2, eğer n = 2k

saçılma özellikleri

Örnek varyans

Dv=i=1nmixixv2n

Numune standart sapması

σv=Dv

Düzeltilmiş varyans

S2=nn1Dv

Düzeltilmiş standart sapma

varyasyon katsayısı

V=σinxin∙%100

mutlak demek

sapma

θ= i=1nmixixвn

Varyasyon aralığı

R = xmaxxmin

Çeyrek aralığı

Rkv \u003d Qv - Qn

Form özellikleri

asimetri katsayısı

As= i=1nmixixin3nσin3

basıklık katsayısı

Ek=i=1nmixixin4nσin43

özellik varyasyonuna karşı direnç. Ancak en çok ilgi çeken şey, ortalama değerler, özellikle aritmetik ortalama etrafındaki gözlemlerin varyasyon (saçılım) ölçüleridir. Bu tahminler şunları içerir: örnek varyans ve standart sapma. Örnek varyansının önemli bir dezavantajı vardır: aritmetik ortalama değerlerle aynı birimlerde ifade ediliyorsa rastgele değişken, daha sonra, tanıma göre, dağılım zaten kare birimlerde ifade edilir. Bir özelliğin varyasyonunun bir ölçüsü olarak standart sapma kullanılırsa bu eksiklik önlenebilir. Küçük örneklem boyutları için varyans önyargılı bir tahmindir, bu nedenle örnek boyutları için n≤30 kullanmak düzeltilmiş varyans ve düzeltilmiş standart sapma. Özellik dağılım ölçüsünün sık kullanılan bir diğer özelliği de, varyasyon katsayısı. Varyasyon katsayısının avantajı, ölçülemeyen değişkenlerin varyasyonunu karşılaştırmanıza izin veren boyutsuz bir özellik olmasıdır.

varyasyon çizgileri. Ayrıca, varyasyon katsayısının değeri ne kadar düşükse, çalışılan özelliğe göre popülasyon o kadar homojen ve ortalama o kadar tipiktir. Varyasyon katsayısına sahip popülasyonlar V>%3035 heterojen olarak kabul edilir.

Dağılma ile birlikte, bir de kullanır ortalama mutlak sapma. Ortalama doğrusal sapmanın avantajı boyutudur, çünkü rastgele değişkenin değerleriyle aynı birimlerde ifade edilir. Özellik değerlerinin dağılımının ek ve basit bir göstergesi çeyrek aralığı.Çeyrek aralığı, en küçük ve en küçük hariç, özelliğin merkezi eğilimini yansıtan gözlemlerin ortancasını ve %50'sini içerir. en yüksek değerler.

Formun özellikleri arasında asimetri ve basıklık katsayısı bulunur. Eğer bir asimetri faktörü sıfıra eşitse, dağılım simetriktir. Dağılım asimetrik ise, frekans poligon dallarından biri diğerine göre daha hafif bir eğime sahiptir. Asimetri sağ taraflıysa, eşitsizlik doğrudur: xv>Ben>Ay, yani özelliğin daha yüksek değerlerinin dağılımında baskın görünüm . Asimetri sol taraflı ise, eşitsizlik sağlanır:xv , şu anlama geliyor dağılımı, daha düşük değerler daha yaygındır. Asimetri katsayısının değeri ne kadar büyük olursa, dağılım o kadar asimetriktir (0,25'e kadar, asimetri önemsizdir; 0,25 ila 0,5 arası, orta; 0,5'in üzerinde, anlamlı).

AŞIRI varyasyon serisinin normal dağılıma göre dikliğinin (sivriliğinin) bir göstergesidir. Basıklık pozitifse, varyasyon serisinin çokgeni daha dik bir tepeye sahiptir. Bu, dağıtım serisinin merkezi bölgesinde öznitelik değerlerinin birikimini gösterir, yani. ortalama değere yakın değerlerin verilerindeki baskın görünüm hakkında. Basıklık negatifse, poligonun tepesi normal eğriye göre daha düzdür. Bu, özniteliğin değerlerinin dizinin orta kısmında yoğunlaşmadığı, bunun yerine minimumdan maksimum değere kadar tüm aralıkta eşit olarak dağıldığı anlamına gelir. Basıklığın mutlak değeri ne kadar büyükse, dağılım normalden o kadar önemli ölçüde farklıdır.

RuNet'teki en büyük bilgi tabanına sahibiz, böylece her zaman benzer sorguları bulabilirsiniz

Bu konu şunlara aittir:

Yüzey plastik deformasyonu (SPD)

Sınav için hile sayfaları. Makine parçaları, yüzey plastik deformasyon yöntemleri (SPD). Yanıtlar

Bu malzeme bölümleri içerir:

SPD işlemi sırasında bir parçanın yüzey tabakasında meydana gelen olaylar, sertleşme mekanizması

Rulo aleti ile haddeleme ile elde edilen yüzey kalitesi. Sürecin şeması, basınç değeri, deforme edici kuvvetin uygulama çokluğu, bir bilyalı aletle haddeleme işlemlerinde teknolojik ekipman.

Bir bilyalı aletle yuvarlanarak elde edilen yüzey kalitesi. Sürecin şeması, basınç değeri, deforme edici kuvvetin uygulama çokluğu, bir bilyalı aletle haddeleme işlemlerinde teknolojik ekipman.

Kayar girinti işlemi sırasında yüzey mikro profil şekillendirme, amacı, titreşim sertleştirme işlemlerinde takımlama, kapsamı.

Dönen bir girinti ile işleme sırasında yüzey mikro profilinin oluşumu, amacı, titreşim sertleştirme işlemi işlemlerinde teknolojik ekipman, kapsam.

Çubuğun aşındırıcı tanelerinin ızgara açısının, süperfiniş sırasında işlemin verimliliği ve işlenmiş yüzeyin kalitesi üzerinde nasıl bir etkisi vardır? Belirli bir çentik açısı elde etmek için teknolojik ekipman nasıl ayarlanır?

PPD süreçlerinde kayan bir girinti ile işlem yaparken paralel kanal sistemi ve doğru kanal ızgarasının elde edilmesi nasıl sağlanır? Bu kanal ızgaralarının karşılaştırmalı özellikleri ve bunların makine parçalarının yüzeylerinin operasyonel özellikleri üzerindeki etkileri.

İşlemin son aşamasında parçanın yüzey tabakasının kalitesini hangi teknolojik yöntemler sağlar? Onlara karşılaştırmalı bir açıklama verin. Belirli bir teknik sorunu çözmek için belirli bir yöntem seçme kriterleri.

Vibro-darbeli işleme, sürecin özü, kapsam, teknolojik ekipman.

Süper bitirme, sürecin özü, kapsam. Boyut seçimi, çubukları sabitleme yöntemi ve süperfiniş işlemlerinde düzenlenmesi.

Yüzey plastik deformasyon (SPD) yöntemlerinin sınıflandırılması, karşılaştırmalı özellikleri ve uygulamalarının özellikleri. PPD proseslerinin teknolojik donanımı.

Terimleri açıklayın: profilin referans uzunluğu, yüzey profilinin referans eğrisi, çeşitli teknolojik yöntemlerle elde edilen yüzeylerin mikrogeometrisine ve taşıma kapasitelerini değerlendirme metodolojisine örnekler verin.

PPD süreçlerinde rijit ve elastik temas ve teknolojik desteği. Temas türünün yüzey tabakasının kalitesi üzerindeki etkisi.

Parçaların operasyonel parametrelerini iyileştirmek için neden titreşimli plastik deformasyon kullanılır? Titreşimsiz geleneksel haddeleme ve düzleştirme ile karşılaştırın. Bu karşılaştırılan yöntemlerin teknolojik ekipmanlarının özellikleri

SPD işlemi sırasında bir parçanın yüzey tabakasında meydana gelen olaylar, artık gerilme oluşum mekanizması.

Deliklerin yüzey ve hacimsel perdahlanması, prosesin özü, kapsamı, perdahlamanın teknolojik desteği.

Taşlama yöntemlerinin karşılaştırmalı özellikleri: yüksek hız; güç; kombine; integral; güçlendirme.

Deney kavramı. Ölçüm hataları: özlüyor, sistematik, rastgele. İlgili içerik:

Bilgisayar eğitim programlarının kullanımıyla ilkokulda "Algoritmalar" konusunu çalışmanın özellikleri

Kurs hazırlık yönü Pedagojik eğitim. Bu çalışmanın amacı, ilköğretimde bilgisayar eğitim programları kullanılarak algoritmikleştirme çalışmalarının gerekliliğini ve etkililiğini belirlemek ve kanıtlamaktır.

Evrensel tanımanın topografik haritaları

Soyut. Kara ve su alanlarının topografik fotoğrafları. Yabancı topografik haritalar

Estetik (Aristoteles ve Platon)

Aristoteles, mimesis teorileri, insan ve güzellik arasındaki orantılılık ilkesi. Müzikal estetik, Pisagor estetiği, Müzikal ve matematiksel uyum. Platon'un İdealist Estetiği

Ürün rotasyonunda gübre uygulama sistemi

Ziraat Fakültesi ders projesi. Zirai Kimya ve Toprak Bilimi Bölümü

İnşaatta enerji verimliliği. ısıyla kurutma

Bir kurs projesinin parçası. Kurutma tesislerinin ısıl verimi. Hava perdeleri.

Bir varyasyon serisinin dağılmasının ana karakteristiğine dağılma denir.

Varyasyon serisinin dağılımının ana özelliği denir. dağılım. Örnek varyansD içinde aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

nerede x ben - ben meydana gelen örnekten -th değeri ben kere; n - örnek boyut; örnek ortalamadır; k örnekteki farklı değerlerin sayısıdır. Bu örnekte: x 1 =72, m1 =50; x2 =85, m2 =44; x3 =69, m3 =61; n=155; k=3; . O zamanlar:

Dağılım değeri ne kadar büyük olursa, ölçülen miktarın değerleri arasındaki farkın birbirinden o kadar güçlü olduğuna dikkat edin. Örnekte ölçülen değerin tüm değerleri birbirine eşitse, böyle bir örneğin varyansı sıfıra eşittir.

Dispersiyonun özel özellikleri vardır.

Mülkiyet 1.Herhangi bir örneğin varyansının değeri negatif değildir, yani. .

Mülkiyet 2.Ölçülen değer sabit X=c ise, böyle bir değerin varyansı sıfırdır: D[c ]= 0.

Mülk 3.Ölçülen miktarın tüm değerleri ise x örnek artış c kez, o zaman bu örneğin varyansı artacaktır c 2 kez: D[cx ]= c 2 D [ x ], burada c = sabit .

Bazen, varyans yerine, örnek varyansının aritmetik kareköküne eşit olan bir örnek standart sapması kullanılır: .

Dikkate alınan örnek için, örnek standart sapması eşittir .

Dağılım, yalnızca bir grup içindeki ölçülen göstergelerdeki farkın derecesini değerlendirmenize izin vermekle kalmaz, aynı zamanda farklı gruplar arasındaki verilerin sapmasını belirlemek için de kullanılabilir. Bunun için çeşitli dispersiyon türleri kullanılır.

Örneklem olarak herhangi bir grup alınırsa, bu grubun varyansına denir. grup varyansı. Birkaç grubun varyansları arasındaki farkları sayısal olarak ifade etmek için şu kavram vardır: gruplar arası varyans. Gruplar arası varyans, genel ortalamaya göre grup ortalamalarının varyansıdır:

nerede toplam örneklemdeki grup sayısıdır, örneklem ortalamasıdır ben -th grubu, n ben - örnek boyut i th grup, - tüm gruplar için örnek ortalama.

Bir örnek düşünün.

10 "A" sınıfında matematikte kontrol çalışması için ortalama puan 3.64 ve 10 "B" sınıfında 3.52 idi. 10 "A" da 22 öğrenci ve 10 "B" - 21'de. Gruplar arası dağılımı bulalım.

Bu problemde örneklem iki gruba (iki sınıf) ayrılmıştır. Tüm gruplar için örnek ortalama:

.

Bu durumda, gruplar arası varyans:

Gruplar arası varyans sıfıra yakın olduğu için, bir grubun (10 "A" sınıfı) puanlarının, ikinci grubun (10 "B" sınıfı) puanlarından biraz farklı olduğu sonucuna varabiliriz. Başka bir deyişle, gruplar arası varyans açısından, ele alınan gruplar belirli bir nitelik açısından biraz farklılık gösterir.

Toplam örnek (örneğin, bir öğrenci sınıfı) birkaç gruba ayrılırsa, gruplar arası varyansa ek olarakgrup içi varyans. Bu varyans, tüm grup varyanslarının ortalamasıdır.

grup içi varyansD Macaristan formülle hesaplanır:

nerede toplam örneklemdeki grup sayısıdır, D ben – varyans i cilt grubu ben .

arasında bir ilişki vardır (D içinde ), grup içi ( D ng ) ve gruplar arası ( D intergr) dağılımları:

D in \u003d D giriş + D intergr.

Konum özellikleri dağıtım merkezini tanımlar. Aynı zamanda, bir varyantın değerleri onun etrafında hem geniş hem de dar bir bantta gruplandırılabilir. Bu nedenle, dağılımı tanımlamak için, özniteliğin değerlerindeki değişim aralığını karakterize etmek gerekir. Saçılma karakteristikleri, özellik varyasyon aralığını tanımlamak için kullanılır. En yaygın olarak kullanılanlar, varyasyon aralığı, varyans, standart sapma ve varyasyon katsayısıdır.

Açıklık varyasyonuçalışılan popülasyondaki özelliğin maksimum ve minimum değeri arasındaki fark olarak tanımlanır:

R=x maksimum x dk.

Bu göstergenin bariz avantajı, hesaplama kolaylığıdır. Bununla birlikte, varyasyon aralığı, özniteliğin yalnızca uç değerlerinin değerlerine bağlı olduğundan, uygulamasının kapsamı oldukça homojen dağılımlarla sınırlıdır. Diğer durumlarda, bu göstergenin bilgi içeriği çok küçüktür, çünkü şekil olarak büyük ölçüde farklılık gösteren ancak aynı aralığa sahip birçok dağılım vardır. Pratik çalışmalarda, varyasyon aralığı bazen küçük (10'dan fazla olmayan) örnek boyutları için kullanılır. Bu nedenle, örneğin, varyasyon aralığına göre, bir grup sporcuda en iyi ve en kötü sonuçların ne kadar farklı olduğunu tahmin etmek kolaydır.

Bu örnekte:

R\u003d 16.36 - 13.04 \u003d 3.32 (m).

İkinci saçılma özelliği ise dağılım. Varyans, rastgele bir değişkenin değerinin ortalama değerinden sapmasının ortalama karesidir. Dağılım, dağılımın bir özelliğidir, bir miktarın değerlerinin ortalama değeri etrafında dağılmasıdır. "Dağılma" kelimesinin kendisi "saçılma" anlamına gelir.

Örnek çalışmalar yapılırken, varyans için bir tahmin oluşturmak gerekir. Örnek verilerden hesaplanan varyansa, örnek varyansı denir ve şu şekilde gösterilir: S 2 .

İlk bakışta, varyans için en doğal tahmin, aşağıdaki formül kullanılarak tanımdan hesaplanan istatistiksel varyanstır:

Bu formülde öznitelik değerlerinin karesel sapmalarının toplamı x ben aritmetik ortalamadan . Bu toplam, ortalama kare sapmaları elde etmek için numune boyutuna bölünür. P.

Ancak bu tahmin tarafsız değildir. Örnek aritmetik ortalama için öznitelik değerlerinin karesi alınmış sapmalarının toplamının, gerçek ortalama (matematiksel beklenti) dahil olmak üzere diğer herhangi bir değerden sapmaların karelerinin toplamından daha az olduğu gösterilebilir. Bu nedenle, yukarıdaki formülle elde edilen sonuç sistematik bir hata içerecek ve varyansın tahmini değeri eksik tahmin edilecektir. Önyargıyı ortadan kaldırmak için bir düzeltme faktörü eklemek yeterlidir. Sonuç, tahmin edilen varyans için aşağıdaki bağıntıdır:

Büyük değerler için n, elbette, her iki tahmin de - yanlı ve yansız - çok az farklılık gösterecek ve bir düzeltme faktörünün eklenmesi anlamsız hale gelecektir. Kural olarak, varyansı tahmin etme formülü şu durumlarda rafine edilmelidir: n<30.

Gruplandırılmış veriler durumunda, hesaplamaları basitleştirmek için son formül aşağıdaki forma indirgenebilir:

nerede k- gruplama aralıklarının sayısı;

ben- sayı ile aralık frekansı i;

x ben- sayı ile aralığın orta değeri i.

Örnek olarak, analiz ettiğimiz örneğin gruplandırılmış verileri için varyansı hesaplayalım (bkz. Tablo 4):

S 2 =/ 28=0.5473 (m2).

Rastgele bir değişkenin varyansı, rastgele değişkenin boyutunun karesinin boyutuna sahiptir, bu da yorumlanmasını zorlaştırır ve onu çok görsel yapmaz. Saçılmanın daha görsel bir açıklaması için, boyutu incelenen özelliğin boyutuyla çakışan bir özelliğin kullanılması daha uygundur. Bu amaçla konsept standart sapma(veya standart sapma).

standart sapma varyansın pozitif karekökü denir:

Örneğimizde standart sapma,

Standart sapma, incelenen özelliğin ölçüm sonuçlarıyla aynı ölçü birimlerine sahiptir ve böylece özelliğin aritmetik ortalamadan sapma derecesini karakterize eder. Başka bir deyişle, varyantın ana bölümünün aritmetik ortalamaya göre nasıl yerleştirildiğini gösterir.

Standart sapma ve varyans, en yaygın kullanılan varyasyon ölçütleridir. Bunun nedeni, matematiksel istatistiklerin temeli olarak hizmet eden olasılık teorisi teoremlerinin önemli bir bölümünde yer almalarıdır. Ek olarak, varyans, çeşitli faktörlerin incelenen özelliğin varyasyonu üzerindeki etkisini değerlendirmeyi mümkün kılan kurucu unsurlarına ayrıştırılabilir.

Varyans ve standart sapma olan mutlak varyasyon göstergelerine ek olarak, istatistiklere göreli olanlar da dahil edilmiştir. En yaygın kullanılan varyasyon katsayısı. varyasyon katsayısı yüzde olarak ifade edilen standart sapmanın aritmetik ortalamaya oranına eşittir:

Varyasyon katsayısının bir özelliğin dağılımının göreli bir ölçüsü olduğu tanımdan açıkça anlaşılmaktadır.

Söz konusu örnek için:

Varyasyon katsayısı, istatistiksel araştırmalarda yaygın olarak kullanılmaktadır. Göreceli bir değer olarak, her iki özelliğin dalgalanmalarını farklı ölçüm birimleriyle ve aynı özelliği farklı aritmetik ortalama değerlerine sahip birkaç farklı popülasyonda karşılaştırmanıza olanak tanır.

Varyasyon katsayısı, elde edilen deneysel verilerin homojenliğini karakterize etmek için kullanılır. Fiziksel kültür ve spor uygulamasında, varyasyon katsayısının değerine bağlı olarak ölçüm sonuçlarının yayılmasının küçük olduğu kabul edilir (V<10%), средним (11-20%) и большим (V> 20%).

Varyasyon katsayısının kullanımına ilişkin kısıtlamalar, göreli doğası ile ilgilidir - tanım, aritmetik ortalamanın normalleştirilmesini içerir. Bu bağlamda, aritmetik ortalamanın küçük mutlak değerleri için varyasyon katsayısı bilgi içeriğini kaybedebilir. Aritmetik ortalamanın değeri sıfıra ne kadar yakınsa, bu gösterge o kadar az bilgilendirici olur. Sınırlayıcı durumda, aritmetik ortalama sıfıra gider (örneğin sıcaklık) ve varyasyon katsayısı, özelliğin yayılmasından bağımsız olarak sonsuza gider. Hata durumuna benzeterek, aşağıdaki kuralı formüle edebiliriz. Örnekteki aritmetik ortalamanın değeri birden büyükse, varyasyon katsayısının kullanılması meşrudur, aksi takdirde deneysel verilerin dağılımını tanımlamak için dağılım ve standart sapma kullanılmalıdır.

Bu bölümün sonunda, tahmin edilen özelliklerin değerlerindeki değişimin değerlendirilmesini ele alıyoruz. Daha önce belirtildiği gibi, deneysel verilerden hesaplanan dağılım özelliklerinin değerleri, genel popülasyon için gerçek değerleri ile örtüşmemektedir. İkincisini doğru bir şekilde belirlemek mümkün değildir, çünkü kural olarak tüm nüfusu incelemek imkansızdır. Dağılım parametrelerini tahmin etmek için aynı genel popülasyondan farklı örneklerin sonuçlarını kullanırsak, farklı örnekler için bu tahminlerin birbirinden farklı olduğu ortaya çıkar. Tahmini değerler, gerçek değerleri etrafında dalgalanır.

Genel parametrelerin tahminlerinin bu parametrelerin gerçek değerlerinden sapmalarına istatistiksel hatalar denir. Oluşmalarının nedeni, örneğin sınırlı boyutudur - genel popülasyonun tüm nesneleri buna dahil değildir. İstatistiksel hataların büyüklüğünü tahmin etmek için numune özelliklerinin standart sapması kullanılır.

Örnek olarak, en önemli konum özelliğini düşünün - aritmetik ortalama. Aritmetik ortalamanın standart sapmasının şu şekilde verildiği gösterilebilir:

nerede σ - genel popülasyon için standart sapma.

Standart sapmanın gerçek değeri bilinmediğinden, nicelik olarak adlandırılan bir nicelik aritmetik ortalamanın standart hatası ve eşit:

Değer, genel ortalamayı örnek tahminiyle değiştirirken ortalama olarak izin verilen hatayı karakterize eder. Formüle göre, çalışma sırasında örneklem büyüklüğündeki bir artış, örneklem büyüklüğünün karekökü ile orantılı olarak standart hatanın azalmasına yol açmaktadır.

Söz konusu örnek için aritmetik ortalamanın standart hatasının değeri . Bizim durumumuzda standart sapma değerinden 5,4 kat daha az olduğu ortaya çıktı.