Mësim dhe prezantim me temën: "Funksionet e fuqisë. Eksponenti i numrit të plotë negativ. Grafiku i një funksioni fuqie"

Materiale shtesë
Të nderuar përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, sugjerimet tuaja! Të gjitha materialet kontrollohen nga një program antivirus.

Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online "Integral" për klasën 9
Manuali interaktiv "Rregullat dhe ushtrimet në algjebër" për klasën 9
Libër mësuesi multimedial për klasën 9 "Algjebra në 10 minuta"

Lloji i një funksioni fuqie me një eksponent negativ

Djema, ne vazhdojmë të studiojmë funksionet numerike. Tema e mësimit të sotëm do të jenë gjithashtu funksionet e fuqisë, por jo me një eksponent natyror, por me një numër të plotë negativ.
duket kështu: $y=x^(-n)=\frac(1)(x^n)$.
Një nga këto funksione që ne e dimë shumë mirë është hiperbola. Djema, ju kujtohet grafiku i hiperbolës? Ndërtoje vetë.

Le të shohim një nga funksionet e përshtatshme për ne dhe të përcaktojmë vetitë për të. $y=x^(-2)=\frac(1)(x^2)$.
Le të fillojmë me barazinë. Vlen të theksohet se vetia e barazisë thjeshton shumë ndërtimin e grafikëve të funksionit, pasi ne mund të ndërtojmë gjysmën e grafikut dhe pastaj thjesht ta pasqyrojmë atë.
Fusha e funksionit tonë është bashkësia e numrave realë, përveç zeros, të gjithë e dimë shumë mirë që nuk mund të pjesëtohet me zero. Fusha e përkufizimit është një grup simetrik, ne vazhdojmë me llogaritjen e vlerës së funksionit nga një argument negativ.
$f(-x)=\frac(1)((-x)^2)=\frac(1)(x^2)=f(x)$.
Funksioni ynë është i barabartë. Pra, ne mund të ndërtojmë një grafik për $x≥0$, dhe më pas ta pasqyrojmë atë përgjatë boshtit y.
Djema, këtë herë unë propozoj të ndërtojmë së bashku një grafik funksioni, siç bëjnë në matematikën "të rritur". Së pari, ne përcaktojmë vetitë e funksionit tonë dhe më pas ndërtojmë një grafik bazuar në to. Ne do të marrim parasysh se $x>0$.
1. Domeni D(y)=(0;+∞).
2. Funksioni është në rënie. Le ta kontrollojmë. Le $x1 \frac(1)(x_(2)^2)$. Meqenëse pjesëtojmë me një numër më të madh, rezulton se vetë funksioni në më shumë do të jetë më pak, që do të thotë në rënie.
3. Funksioni është i kufizuar nga poshtë. Është e qartë se $\frac(1)(x^2)>0$, që do të thotë se është i kufizuar nga poshtë.
Nuk ka kufi të sipërm, sepse nëse e marrim vlerën e argumentit shumë të vogël, afër zeros, atëherë vlera e funksionit do të priret në plus pafundësi.
4. Nuk ka vlerë maksimale apo minimale. Nuk ka vlerë maksimale, pasi funksioni nuk është i kufizuar nga lart. Po për vlerën më të vogël, sepse funksioni është i kufizuar nga poshtë.

Çfarë do të thotë që një funksion ka vlerën më të vogël?

Ekziston një pikë x0 e tillë që për të gjitha x nga domeni $f(x)≥f(x0)$, por funksioni ynë po zvogëlohet në të gjithë domenin, atëherë ekziston një numër i tillë $х1>x0$, por $f (x1)

Komplotet e funksioneve të fuqisë me eksponentë negativë

Le të ndërtojmë një grafik të funksionit tonë me pikë.




Grafiku i funksionit tonë është shumë i ngjashëm me grafikun e një hiperbole.
Le të përdorim vetinë e barazisë dhe të pasqyrojmë grafikun përgjatë boshtit y.

Le të shkruajmë vetitë e funksionit tonë për të gjitha vlerat x.
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) Një funksion i barabartë.
3) Rritet me (-∞;0], zvogëlohet me .
Zgjidhje. Funksioni zvogëlohet në të gjithë domenin e përkufizimit, pastaj arrin vlerat maksimale dhe minimale të tij në skajet e segmentit. Vlera më e madhe do të jetë në skajin e majtë të segmentit $f(1)=1$, më e vogla në skajin e djathtë $f(3)=\frac(1)(27)$.
Përgjigje: Vlera më e madhe është 1, më e vogla është 1/27.

Shembull. Paraqitni funksionin $y=(x+2)^(-4)+1$.
Zgjidhje. Grafiku i funksionit tonë merret nga grafiku i funksionit $y=x^(-4)$ duke e zhvendosur dy njësi majtas dhe një njësi lart.
Le të ndërtojmë një grafik:

Detyrat për zgjidhje të pavarur

1. Gjeni vlerën më të vogël dhe më të madhe të funksionit $y=\frac(1)(x^4)$ në segmentin .
2. Vizatoni funksionin $y=(x-3)^(-5)+2$.

Funksionet y \u003d ax, y \u003d ax 2, y \u003d a / x - janë lloje të veçanta të një funksioni të energjisë për n = 1, n = 2, n = -1 .

Nëse n numër thyesor fq/ q me emërues çift q dhe numërues tek R, pastaj vlera mund të ketë dy shenja, dhe grafiku ka një pjesë më shumë në fund të boshtit x X, dhe është simetrik me pjesën e sipërme.

Ne shohim një grafik të një funksioni me dy vlera y \u003d ± 2x 1/2, d.m.th. e përfaqësuar nga një parabolë me bosht horizontal.

Grafikët e funksionit y = xn në n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Këta grafikë kalojnë nëpër pikën (1; 1).

Kur n = -1 marrim hiperbolë. Në n < - 1 grafiku i funksionit të fuqisë së pari ndodhet mbi hiperbolë, d.m.th. ndërmjet x = 0 dhe x = 1, dhe më pas më poshtë (në x > 1). Nese nje n> -1 grafiku shkon në të kundërt. Vlerat negative X dhe vlerat thyesore n të ngjashme për pozitive n.

Të gjithë grafikët afrohen në mënyrë të pacaktuar në lidhje me boshtin x X, si dhe te boshti y në pa rënë në kontakt me ta. Për shkak të ngjashmërisë së tyre me një hiperbolë, këta grafikë quhen hiperbola. n th urdhëroj.

1. Analizë e literaturës arsimore me temën: "Vetitë e funksionit të fuqisë"

Studimi i funksionit të fuqisë fillon në klasën e 7-të, me raste të veçanta dhe vazhdon gjatë gjithë kursit të algjebrës. Deri në klasën 11, njohuritë për funksionin e fuqisë përgjithësohen, zgjerohen dhe sistemohen.

Analiza e literaturës arsimore duhet të bëhet për klasën e 9-të për të ndërtuar përmbajtjen e manualit didaktik bazuar në këtë analizë të literaturës arsimore.

Libër mësuesi: “Algjebra. Klasa 9”. Mordkovich A. G., Semenov P. V. (Mnemozina, 2009)

Teksti shkollor trajton funksionet e fuqisë me një eksponent numër të plotë. Materiali teorik me temën "Funksioni i fuqisë" është përfshirë në kapitullin " Funksionet numerike» në paragrafë të veçantë, të cilët marrin parasysh si vetë funksionet ashtu edhe vetitë dhe grafikët e tyre.

Prezantimi i materialit të aksesueshëm për nxënësit e shkollës, përfshirë numër i madh shembuj me zgjidhje të hollësishme dhe të plota në pjesën 1 (në tekstin shkollor), dhe ushtrime për punë e pavarur vendosur në pjesën e 2-të (në librin e problemave).

Struktura e studimit të materialit:

KAPITULLI 3 Funksionet numerike

§12. Funksionet, vetitë dhe grafikët e tyre.

§13. Funksionet, vetitë dhe grafikët e tyre.

§katërmbëdhjetë. Funksionet, vetitë dhe grafiku i tij.

Më pas, funksionet e fuqisë përcaktohen si funksione me një eksponent natyror (së pari jepen raste të veçanta të funksioneve të fuqisë, pastaj zbulohet formula e përgjithshme). Ne i konsiderojmë funksionet e fuqisë me një eksponent çift, grafikët e tyre, me anë të të cilëve më vonë zbulohen vetitë (vargu i vlerës dhe fusha e përcaktimit të funksionit, çift dhe tek, monotonia, vazhdimësia, vlera maksimale dhe minimale e funksionit, konveksiteti). Më pas, marrim parasysh funksionet e fuqisë me një eksponent tek, si dhe grafikët dhe vetitë e tyre.

Në § 13 përcaktohen funksionet e fuqisë me eksponentë negativ: fillimisht funksionet çift, pastaj tek. Ngjashëm me funksionet e fuqisë me një eksponent natyror, jepen raste të veçanta:

Pas kësaj, zbulohet formula e përgjithshme, merren parasysh edhe grafikët dhe vetitë.

Në § 14 ne prezantojmë funksionin

vetitë e tij dhe grafikoni si rast i veçantë Funksioni i fuqisë me eksponent racional n =

Shndërrimi i grafikëve (simetria) rrjedh në faktin se grafiku i një funksioni çift është simetrik në lidhje me boshtin y, dhe grafiku i një funksioni tek ka të bëjë me origjinën. Prandaj, për funksionet e stepës, ne konsiderojmë funksioni i dhënë në një rreze të caktuar ndërtohet grafiku i saj dhe, duke përdorur simetrinë, ndërtohet një grafik në të gjithë vijën numerike. Më pas, lexohet grafiku, d.m.th., sipas grafikut, vetitë e funksionit renditen sipas skemës:

1) fusha e përkufizimit;

2) çift, tek;

3) monotonia;

4) kufiri nga poshtë, nga lart;

5) më i vogli dhe vlerën më të madhe funksione;

6) vazhdimësia;

7) varg vlerash;

8) fryrje.

a) shkon në sistemin e koordinatave ndihmëse me origjinën në pikën në të cilën vlerat janë marrë në x = 0 dhe y = 0.

b) “lidh” funksionin me sistemi i ri koordinatat.

Shembulli 3. Grafikoni një funksion

Zgjidhje. Le të kalojmë në sistemin e koordinatave ndihmëse me origjinë në pikën (-1; -2) (vijat e ndërprera në figurën 117) dhe "bashkëngjisim" funksionin me sistemin e ri të koordinatave. Ne marrim orarin e kërkuar (Fig. 117)

Në librin me probleme “Algjebra. Klasa 9.” nën redaksinë e Mordkovich A. G. dhe Semenov P. V. paraqitet një sistem i larmishëm ushtrimesh. Seti i ushtrimeve është i ndarë në dy blloqe: i pari përmban detyra të dy niveleve bazë: me gojë (gjysmë gojore) dhe detyra me vështirësi mesatare; blloku i dytë përmban detyra të një niveli mbi mesataren ose vështirësi të shtuar. Shumica e detyrave të nivelit të dytë dhe të tretë janë përgjigjur. Libri i detyrave përmban një numër të madh detyrash të ndryshme për hartimin e grafikëve. lloje te ndryshme Funksioni i fuqisë dhe përcaktimi i vetive të një funksioni nga grafiku i tij. Për shembull:

Nr 12.10. Paraqitni funksionin:

nr 12.15. Zgjidheni ekuacionin grafikisht

nr 12.19. Vizatoni dhe lexoni grafikun e një funksioni

Vizatoni dhe lexoni grafikun e një funksioni

Libër mësuesi: “Algjebra. Klasa 9”. Nikolsky S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. (Iluminizmi, 2006)

Ky tekst shkollor është menduar edhe për klasat e arsimit të përgjithshëm, në të cilat materialet shtesë dhe detyrat komplekse mund të hiqen. Nëse ka orë të mjaftueshme, nëse klasa tregon interes për matematikën, atëherë për shkak të shtesave në fund të kapitujve të librit shkollor, si dhe pikëve dhe detyrave individuale me yll, të cilat janë fakultative në klasat e zakonshme të arsimit të përgjithshëm, mundësohet zgjerimi dhe thellimi i përmbajtjes së materialit të studiuar në vëllimin e parashikuar nga programi për klasat me studim të thelluar të matematikës. Kjo do të thotë, teksti shkollor mund të përdoret si në të zakonshme ashtu edhe në klasa me studim të thelluar të matematikës.

Struktura e studimit të materialit:

KAPITULLI II. Shkalla e

§katër. rrënjë shkallë

4.1 Vetitë e funksionit

4.2 Grafiku i një funksioni

4.3 Koncepti i rrënjës së një shkalle

4.4 Rrënjët çift dhe tek

4.5 Rrënja aritmetike

4.6 Vetitë e rrënjëve

4.7 *Rrënja e një numri natyror

4.8 *Funksioni

Studimi i temës fillon me vetitë e funksionit (për shembull, n = 2 dhe n = 3) dhe grafikun e tij. Më pas studiojmë rrënjën e n-të, rrënjën aritmetike dhe vetitë e rrënjëve të n-të dhe si zbatohen ato në shprehjet transformuese. Në klasat me një studim të thelluar të matematikës, konsiderohen gjithashtu temat e mëposhtme: "Funksioni", "Fuqia me një eksponent racional dhe vetitë e tij".

Thuhet se funksionet kanë një sërë vetive identike (domeni, zerat e funksionit, barazia, rastësia, vazhdimësia, intervalet e monotonitetit). Prandaj, këshillohet që në rastin e përgjithshëm të merret parasysh një funksion, ku është një numër natyror, . Paraqitja e përkufizimit të grafikut të një funksioni kryhet përmes përcaktimit të një parabole. Kjo është, sipas fakt i njohur që grafiku i një funksioni është një parabolë, atëherë ky grafik quhet parabolë e shkallës së dytë, grafiku i një funksioni quhet parabolë e shkallës së th ose shkurtimisht parabolë. Vetitë e funksionit konsiderohen vetëm për ato jo negative me disa prova.

Studimi i ndërtimit të një grafiku të një funksioni fillon me shfaqjen e grafikëve të funksioneve në një plan koordinativ vetëm për vlerat jo negative.

Studimi i funksionit bazohet në njohuritë e marra më parë për rrënjën aritmetike të shkallës. Ndërtimi i grafikut të funksionit kryhet në sistemin koordinativ kartezian. Si fillim merret parasysh funksioni i fuqisë dhe ndërtimi i grafikut të tij në sistemin koordinativ O. Kështu, vërtetohet se grafiku i funksionit është pjesë e një parabole të shkallës.

1) Nëse x = 0, atëherë y = 0.

2) Nëse, atëherë.

3) Funksioni po rritet.

4) Nëse, atëherë.

5) Funksioni është i vazhdueshëm.

Sistemi i ushtrimeve me temën "Funksioni i fuqisë" është i larmishëm. Ai përmban detyra trajnimi me gojë dhe me shkrim. Për shembull:

Nr 316. Është dhënë një funksion

Eksploroni këtë funksion dhe vizatoni grafikun e tij.

#318 Grafikoni funksionin

№ 321. Në një sistem koordinativ, ndërtoni grafikët e funksioneve

#441 Vizatoni një grafik funksioni për:

#442 Vizatoni një grafik funksioni për:

Libër mësuesi: “Algjebra. Klasa 9". Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova (Iluminizmi, 2009)

Ky tekst shkollor është i destinuar për shkollat ​​e mesme.

Struktura e studimit të materialit:

KAPITULLI IV. Shkallë me eksponent racional

§9. Funksioni i fuqisë

21. Funksionet çift dhe tek

22. Funksioni

§dhjetë. Rrënja shkalla e nëntë

23. Përcaktimi i rrënjës së shkallës së n-të

24. Vetitë e rrënjës aritmetike të shkallës së n-të

§ njëmbëdhjetë. Shkalla me eksponent racional dhe vetitë e tij

25. Përcaktimi i shkallës me një eksponent thyesor

26. Veti me eksponent racional

27. Shndërrimi i shprehjeve që përmbajnë shkallë me eksponentë thyesorë

Studimi i një funksioni fuqie fillon me prezantimin e koncepteve të funksioneve çift dhe tek duke përdorur shembuj të krahasimit të vlerave të funksionit për dy vlera të kundërta të argumentit. Më tej, përkufizimi i një funksioni çift dhe tek jepet me ndërtimin e grafikëve përkatës.

Thuhet se funksionet e fuqisë në = 1, 2 dhe 3 (d.m.th. funksionet), vetitë dhe grafikët e tyre, janë studiuar më herët. Më pas sqarohen vetitë e funksionit të fuqisë dhe veçoritë e grafikut të tij për çdo numër natyror. Funksionet merren parasysh kur eksponenti n është numër çift, atëherë n është numër tek. Analizoni vetitë në shembuj, sipas skemës:

1. Domeni i përkufizimit;

2. Shtrirja e vlerës;

3. Funksioni zero;

4. Barazi;

5. Tek;

6. Monotonia e një funksioni.

Seksioni tjetër i kapitullit i kushtohet rrënjës së n-të, në të cilën prezantohet përkufizimi dhe merren parasysh vetitë.

Përkufizimi përsëritet: rrenja katrore nga numri a quhet një numër i tillë, katrori i të cilit është i barabartë me a. Rrënja e çdo shkalle natyrore n përcaktohet në mënyrë të ngjashme: rrënja e shkallës së n-të nga numri a është një numër i tillë, fuqia e n-të e cila është e barabartë me a. Për ta bërë këtë, ne konsiderojmë fillimisht një funksion fuqie me një eksponent tek n dhe grafikun e tij, i cili tregon se për çdo numër a ekziston një vlerë unike x, fuqia n e së cilës është e barabartë me a. Atëherë konsiderohet një funksion fuqie me një eksponent çift n, për më tepër, nëse, atëherë ekzistojnë dy vlera të kundërta të x, për një numër të tillë është një (numri 0), sepse nuk ka numra të tillë.

Në fund të kapitullit, shqyrtohet një shkallë me një eksponent racional dhe vetitë e saj.

Sistemi i ushtrimeve është i larmishëm. Për shembull:

nr 503. Hartoni një funksion

nr 508. Zgjidheni ekuacionin grafikisht

nr 513. Duke përdorur grafikun e funksionit, zgjidhni ekuacionin

nr 580. Paraqitni funksionin

nr 644. Paraqitni funksionin f, duke ditur se është tek dhe se vlera e tij në mund të gjendet me formulë

nr 643. Paraqitni funksionin

nr 663. Paraqitni grafikun e funksionit. Duke përdorur grafikun, krahasoni vlerën e rrënjëve

nr 669. Paraqitni funksionin

Libër mësuesi: “Algjebra. Klasa 9". Sh.A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov dhe të tjerët (Iluminizmi, 2009)

Gjatë studimit të kësaj teme, vëmendje e veçantë i kushtohet vetive të funksioneve dhe shfaqjes së këtyre vetive në grafikë. Në të njëjtën kohë, formohen aftësitë fillestare për të kryer transformimet më të thjeshta të grafikëve të funksioneve.

Struktura e studimit të materialit:

KAPITULLI III. Funksioni i fuqisë

§12. Shtrirja e funksionit

§13. Funksioni në rritje dhe në rënie

§katërmbëdhjetë. Funksionet çift dhe tek

§pesëmbëdhjetë. Funksioni

§16. Pabarazitë dhe ekuacionet që përmbajnë fuqi

Qëllimi kryesor i këtij kapitulli nuk është vetëm t'i prezantojë studentët me funksionin e fuqisë, por edhe të zgjerojë informacionin e njohur për vetitë e funksionit në tërësi (domeni, monotonia, barazia dhe çudia e funksionit), të zhvillojë aftësinë për të hetuar funksionet sipas një grafiku të caktuar,

Gjatë studimit të materialit të këtij kapitulli thellohen dhe zgjerohen dukshëm paraqitjet funksionale të nxënësve.

§12 formulon përkufizimin e funksionit, argumentin dhe shtrirjen e funksionit. Rikujtohet përkufizimi i grafikut të një funksioni, mënyrat e ndërtimit të tij, përfshirë me ndihmën e shndërrimeve elementare.

Seksioni 13 prezanton nocionin e funksionit të fuqisë. Në shembujt dhe fusha e përkufizimit zbulohet; rikujtohen përkufizimet e një funksioni rritës dhe zbritës dhe jepen përkufizimet e rritjes dhe uljes së një funksioni fuqie.

Ideja e një funksioni çift dhe tek u jepet studentëve në një nivel vizual. Tutoriali mbulon dy detyra në të cilat kërkohet të vizatohet funksioni dhe. Studohen vetitë e këtyre funksioneve dhe në bazë të simetrisë jepen konceptet e funksioneve çift ose tek.

Në §15, studentët marrin një ide për një funksion për vlera të ndryshme të k, mësojnë të ndërtojnë një grafik të një funksioni dhe ta lexojnë atë (d.m.th., të përcaktojnë vetitë e një funksioni nga grafiku i tij). Me ndihmën e funksionit sqarohet koncepti i proporcionalitetit të anasjelltë, i cili u përmend vetëm në lëndën e algjebrës së klasës së 8-të.

Kur studiohet një funksion për k > 0, fillimisht funksioni paraqitet si një rast i veçantë i ligjit të fuqisë: duke marrë parasysh ndryshimin e parametrit k.

Paragrafi trajton katër probleme në të cilat kërkohet të vizatohen grafikët e funksionit. Në problemin 1, për të vizatuar një grafik funksioni, përdoren të gjitha vetitë e funksionit të studiuara në paragrafët e mëparshëm. Në problemin 2, kur ndërtohen grafikët e funksioneve dhe, përdoret shtrirja tashmë e njohur e grafikut të funksionit përgjatë boshtit të abshisës me 2 herë. Dhe, bazuar në këto dy probleme, formulohen vetitë e funksionit për dhe.

Në detyrën 4, kërkohet të ndërtohet një grafik funksioni (bazuar në detyrat 1-2), d.m.th., grafiku i këtij funksioni mund të ndërtohet duke zhvendosur grafikun e funksionit përgjatë boshtit Ox djathtas me një dhe përgjatë Boshti Oy poshtë me 2 njësi.

Sistemi i ushtrimeve paraqet lloje të ndryshme detyrash: detyra të detyrueshme dhe shtesë me kompleksitet të shtuar.

Ndër detyrat për vizatimin e grafikëve të funksioneve të fuqisë, mund të dallohen ushtrimet e mëposhtme:

№ 164. Vizatoni një grafik dhe gjeni intervalet e funksioneve zmadhuese dhe zvogëluese

№ 166. Vizatoni një skicë të grafikut të funksionit kur

№ 171. Vizatoni një grafik dhe gjeni intervalet e funksioneve zmadhuese dhe zvogëluese

Nr. 174. Skiconi një grafik të një funksioni

Nr. 179. Gjeni vetitë e një funksioni dhe ndërtoni grafikun e tij

#180 Paraqitni një funksion

#191 Paraqitni një funksion

#218 Zbuloni nëse një funksion është çift apo tek

Studentët që studiojnë materialin zotërojnë koncepte të tilla si fusha e përkufizimit, funksionet çift dhe tek, funksionet rritëse dhe zvogëluese në interval.

Nxënësit takuan konceptin e funksioneve rritëse dhe zvogëluese në kursin e algjebrës së klasës së 8-të, por vetëm gjatë studimit të kësaj teme, formohen përkufizime të këtyre koncepteve, dhe për këtë arsye, bëhet e mundur të vërtetohet në mënyrë analitike rritja ose zvogëlimi i një funksioni specifik në interval. (megjithatë, prova të tilla nuk janë ndër aftësitë e kërkuara) . Nxënësit mësojnë të gjejnë intervalet e rritjes së një funksioni duke përdorur grafikun e funksionit në fjalë.

Gjatë studimit të temës, shembujt e një funksioni fuqie me një eksponent thyesor nuk merren parasysh, pasi koncepti i një shkalle me një eksponent racional nuk është paraqitur në këtë kurs.

Kur studiojnë çdo funksion specifik (përfshirë funksionet), studentët do të jenë në gjendje të vizatojnë një skicë të grafikut të funksionit në fjalë dhe të listojnë vetitë e tij sipas grafikut.

Libër mësuesi: “Algjebra. Mësimi i thellë. Klasa 9.” Mordkovich A. G. (Mnemozina, 2006)

Teksti mësimor e morëm për vitin 2006, pasi ky tekst, ndryshe nga botimet e mëvonshme, përfshin shkallën e temës me një tregues racional. Në përgjithësi, aktualisht kjo temë studiohet në gjimnaz, por në manualin multimedial e kemi përfshirë si material propedeutik.

Libri ka për qëllim studimin e thelluar të lëndës së matematikës në klasën e 9-të gjimnaz. Ky tekst bazohet në tekstin e klasës së 9-të për institucionet arsimore(A. G. Mordkovich. Algjebra-9). Ai zbaton të njëjtin program, por ndryshimi qëndron në një studim më të thellë të çështjeve përkatëse të lëndës: shembujt e thjeshtë zëvendësohen nga më kompleksë dhe më interesantë.

Struktura e studimit të materialit:

KAPITULLI 4. Funksionet e fuqisë. Shkallët dhe rrënjët

§17. Fuqia me një eksponent negativ të numrit të plotë

§tetëmbëdhjetë. Funksionet, vetitë dhe grafikët e tyre

§19. koncept rrënja n-të gradë nga një numër real

§ njëzet. Funksionet, vetitë dhe grafikët e tyre

§21. Vetitë e rrënjës së n-të

§22. Shndërrimi i shprehjeve që përmbajnë radikale

§23. Përgjithësim i konceptit të eksponentit

§24. Funksionet, vetitë dhe grafikët e tyre

Në § 18 po flasim për funksionet e fuqisë me një eksponent numër të plotë, d.m.th për funksionet, etj. Ky paragraf është i ndarë në pika:

Autori kujton se rasti më i thjeshtë një funksion i tillë konsiderohej në klasën e 7-të - ishte një funksion. Ky seksion fillon me një diskutim të funksionit. Ndërtohet një grafik dhe vetitë e këtij funksioni renditen në një renditje të caktuar: 1) domeni i përkufizimit; 2) çift, tek; 3) monotonia; 4) kufiri nga poshtë, nga lart; 5) vlerat më të vogla dhe më të mëdha të funksionit; 6) vazhdimësia; 7) varg vlerash; 8) fryrje.

Vetitë u lexuan nga grafiku, tani propozohet të vërtetohet ekzistenca e një numri të këtyre vetive në mënyrë analitike.

Autori arrin në përfundimin se grafiku i çdo funksioni të fuqisë është i ngjashëm me grafikun e një funksioni, vetëm degët e tij janë të drejtuara lart dhe janë më të shtypura në boshtin x në segment dhe vëren se kurba prek boshtin x në pikën. (0; 0).

Në fund të paragrafit jepet një shembull i ndërtimit të grafikut të një funksioni Ndërtimi: 1) kalimi në një sistem koordinativ ndihmës me origjinën në pikën (1; -2); 2) ndërtimi i një kurbë.

1) Funksioni

Vetitë dhe grafiku i një funksioni fuqie me një eksponent tek shqyrtohen fillimisht duke përdorur shembullin e një funksioni grafiku i të cilit është një parabolë kubike.

Autori arrin në përfundimin se grafiku i çdo funksioni fuqie është i ngjashëm me grafikun e një funksioni, vetëm sa më i madh të jetë eksponenti, aq më të drejtuara lart (dhe në përputhje me rrethanat poshtë) degët e grafikut dhe vëren se kurba prek boshtin x. në pikën (0; 0).

Më poshtë është një shembull i përdorimit të grafikut të një funksioni fuqie për zgjidhjen e një ekuacioni Zgjidhja zhvillohet në 4 faza: 1) merren parasysh dy funksione: dhe; 2) vizatimi i grafikut të funksionit; 2) komplot funksion linear; 4) gjeni pikën e kryqëzimit dhe kontrolloni.

2) Funksioni

Po flasim për funksionet e fuqisë me një eksponent negativ të numrit të plotë (madje). Le të shohim së pari një funksion shembull. Ndërtohet një grafik dhe renditen vetitë e këtij funksioni. Në veçanti, vetia e funksionit në rënie siç vërtetohet.

funksioni i vizualizimit multimedial matematika e shkollës

3) Funksioni

Në këtë rast, konsiderohen funksionet e fuqisë me një eksponent negativ negativ (tek): Autori kujton se një funksion i tillë tashmë është studiuar në klasën e 8-të - kjo. Rikujtohen vetitë dhe grafiku i tij (hiperbola) dhe arrihet në përfundimin se grafiku i çdo funksioni është i ngjashëm me një hiperbolë.

Në § 19, jepet koncepti i rrënjës së n-të të një numri real dhe, në veçanti, vihet re se nga çdo numër jo negativ mund të nxirret rrënja e çdo shkalle (e dytë, e tretë, e katërt, etj.), dhe nga një numër negativ një mund të nxjerrë rrënjën e çdo shkalle tek.

Në § 20, ne flasim për një funksion të dhënë në dhe studiojmë grafikun dhe vetitë e tij duke përdorur një shembull të veçantë (at). Sipas figurës, e cila tregon grafikun e funksionit dhe grafikun e funksionit, përcaktohet simetria e këtyre grafikëve dhe më pas vërtetohet në mënyrë analitike.

Në të njëjtin paragraf, funksioni konsiderohet në rastin e tek për çdo vlerë. Ne flasim për vetitë e këtij funksioni dhe ndërtojmë një grafik.

Nëse është një numër çift, atëherë grafiku i funksionit ka formën e treguar në Fig. një;

Nëse është një numër tek, atëherë grafiku i funksionit ka formën e treguar në Fig. 2.

Në § 24, ne konsiderojmë një funksion të formës, - çdo numër real (ne kufizohemi në rastet e një eksponenti racional).

1. Nëse është një numër natyror, atëherë marrim një funksion (grafikët dhe vetitë dihen)

2. Nëse, atëherë marrim një funksion, d.m.th. Në rastin e një grafi çift ka formën e treguar në Fig. 3a, në rastin e një grafi tek ka formën e treguar në Fig. 3b

oriz.

3. Nëse, d.m.th., flasim për një funksion, atëherë ky është një funksion, ku

Situata është afërsisht e njëjtë për çdo funksion fuqie të formës, ku:

1. - një thyesë e papërshtatshme (numëruesi është më i madh se emëruesi). Grafiku i tij është një kurbë e ngjashme me një degë parabole. Sa më i lartë të jetë indeksi, aq më e pjerrët kjo kurbë drejtohet lart. Ndërtohet një grafik dhe jepen vetitë.

2. - thyesa e duhur () (§ 20). Ndërtohet një grafik dhe jepen vetitë.

Ndërtohet një grafik dhe jepen vetitë.

Në librin me probleme “Algjebra. Studim i thelluar. Klasa 9.” Zavich L. I., Ryazanovsky A. R. paraqet një sistem të larmishëm ushtrimesh. Kompleksiteti i detyrave rritet me rritjen e numrit të tyre serial. Libri i detyrave përmban një numër të madh ushtrimesh të ndryshme për vizatimin e grafikëve të llojeve të ndryshme të funksioneve të fuqisë, studimin dhe zbatimin e vetive të tij.

Për shembull:

Nr 17.05. Ndërtoni grafikët e funksioneve në një vizatim

Funksionet e komplotit

nr 17.35. Paraqitni funksionin

dhe duke përdorur grafikun, tregoni intervalet e monotonitetit të tij, pikat ekstreme, ekstremet dhe numrin e zerave të tij.

Vizatoni grafikët e funksionit:

Nr 19.01. Ndërtoni grafikët e funksioneve në një vizatim

Nr 19.04. Funksionet e komplotit

nr 19.22. Hartoni grafikët dhe kryeni eksplorimin e veçorive

Nr 21.01. Ndërtoni mbi një vizatim grafikët e funksioneve, me dhe, me dhe listoni vetitë e funksionit: a) domenin e përkufizimit D (y); b) grupi i vlerave E(y); c) funksioni zero; d) intervalet e monotonisë; e) intervalet e konveksitetit; f) pikat ekstreme; g) ekstremet; h) çift ose tek; i) vlerat më të mëdha dhe më të vogla.

Nr 21.03. Hartoni dhe eksploroni veçoritë e mëposhtme

nr 21.11. Ndërtoni grafikët e funksioneve në një vizatim

në segment

nr 21.17. Funksionet e komplotit

Nr 25.01. Ndërtoni mbi të njëjtat vizatime skica të grafikëve të çifteve të funksioneve të mëposhtme

nr 25.05. Paraqitni grafikët e funksionit dhe përshkruani vetitë e tyre

Nr 25.06. Ndërtoni grafikët e funksioneve në vizatimet fqinje

nr 25.18. Funksionet e komplotit

nr 25.30. Funksionet e komplotit

Analiza e literaturës arsimore na lejon të nxjerrim disa përfundime

Duke marrë parasysh standardin e kryesore arsimi i përgjithshëm në matematikë, ne shohim se studentët duhet të mësojnë llojet e mëposhtme të funksionit të fuqisë:

Raste të veçanta (proporcionaliteti i drejtpërdrejtë, i anasjelltë, funksioni kuadratik),

Me një tregues natyral

Me një numër të plotë

Me një eksponent pozitiv racional,

Me një tregues racional,

Me një tregues irracional,

me tregues real.

Një rol të rëndësishëm në këtë temë luan formimi i imazhit të grafikëve të funksionit. Gjithashtu, nxënësit të jenë të aftë: të përcaktojnë vetitë e një funksioni sipas grafikut të tij; të përshkruajë vetitë e funksioneve të studiuara, të ndërtojë grafikët e tyre. Shqyrtimi i standardit na lejon të konkludojmë se tema "Funksioni i fuqisë" përfshihet në minimumin e detyrueshëm të njohurive, aftësive dhe aftësive të nxënësve të shkollës dhe, për rrjedhojë, vëmendja jonë ndaj tij është plotësisht e justifikuar.

Për të formuar aftësi dhe aftësi të forta për funksionin e fuqisë, është e nevojshme të studiohet metodologjia e temës "Vetitë e funksionit të fuqisë", në të cilën po shkojmë.

2. Bazat metodologjike për studimin e temës “Vetitë e funksionit të fuqisë” në shkollë

Funksioni i fuqisë i përket klasës së funksioneve elementare.

Qëllimi i studimit të tij nuk është vetëm njohja e studentëve me funksionin e fuqisë, por edhe zgjerimi i informacionit që ata dinë për vetitë e funksioneve në përgjithësi.

Kur studiojnë temën "Funksioni i fuqisë", ata përdorin kryesisht analitike dhe metodë grafike hulumtimi i funksionit. Në rastet kur një studim analitik është i vështirë për t'u perceptuar nga studentët, përdoren metoda grafike, por këto të fundit nuk mund të shërbejnë si provë.

Nxënësit kryejnë një numër të madh punimesh grafike, duke i kushtuar vëmendje jo vetëm saktësisë dhe saktësisë së zbatimit të tyre, por edhe metodave racionale të ndërtimit të grafikëve.

Është e mundur të formohen aftësi të forta në ndërtimin dhe leximin e grafikëve të një funksioni fuqie, për të siguruar që secili student të mund të kryejë llojet kryesore të detyrave në mënyrë të pavarur, vetëm nëse studentët kryejnë një numër të mjaftueshëm ushtrimesh stërvitore.

Për shembull, në revistën "Matematika në shkollë" Lopatina, L.V. ofron tutorialin e mëposhtëm:

Mësimi-punëtori synon që studentët të fitojnë njohuri me punën e tyre. Ky është lajtmotivi kryesor i zhvillimit të pedagogjisë. Tema "Funksioni i energjisë" është shumë e përshtatshme për punën krijuese të të gjithë klasës, pasi funksioni i fuqisë (, ku ka ndonjë numër racional) është në të vërtetë një grup funksionesh që kanë veti të ndryshme në varësi të eksponentit.

Diskutimi i këtyre pronave organizohet më së miri në grupe. Për ta bërë këtë, këshillohet që klasa të ndahet në gjashtë grupe.

Para së gjithash, mësuesi duhet të imagjinojë sekuencën e punës në "punëtori":

Faza I - induksion - ankesa ndaj përvojës së mëparshme;

Faza III - boshllëk - momenti kur nxënësit duhet të kuptojnë se ka boshllëqe në njohuritë e tyre që ata vetë duhet t'i plotësojnë;

Faza IV - reflektimi - përcaktimi i shkallës së asimilimit.

Le të përshkruajmë më në detaje secilën nga fazat e mësimit.

Faza I - induksion. Mësuesi kujton se klasa tashmë ka studiuar funksionet, vetitë dhe grafikët e tyre. Këto funksione përgjithësisht mund të përkufizohen me formulën: , ku - është një numër i plotë. Një funksion i tillë quhet funksion i fuqisë. Klasës i jepet detyra e mëposhtme: të listojë pyetjet që duhet t'u përgjigjemi kur mësojmë një funksion të ri.

Klasa i diskuton këto pyetje në grupe dhe më pas të gjitha pyetjet e grupeve të tjera mblidhen në një listë të vetme:

Çfarë karakteristikash ka ky funksion?

· Cili është orari i saj?

Në çfarë situatash përdoret?

Le të fillojmë duke iu përgjigjur pyetjes së fundit. Le të japim shembuj të disa situatave në të cilat shfaqet një funksion fuqie.

Tre nxënës shkojnë me radhë në dërrasën e zezë dhe bëjnë mesazhet e përgatitura në shtëpi.

Nxënësi i parë merr parasysh funksionin, ku është zona e prerjes tërthore të diametrit të telit. Dëgjuesit vërejnë se ky funksion i fuqisë është në fakt një funksion kuadratik, por me kufizime në vlerën e argumentit.

Nxënësi i dytë tregon se forca e tërheqjes së dy trupave me masë shprehet me një formulë. Ky është një funksion i distancës midis këtyre trupave. Do të ketë një nxënës në klasë që do të vërejë se ne kemi hartuar tashmë një funksion të këtij lloji, megjithëse nuk e kemi studiuar në mënyrë specifike.

Nxënësi i tretë analizon distancën e horizontit nga vëzhguesi: . Ky është një funksion i lartësisë në të cilën vëzhguesi është ngritur mbi nivelin e detit. Nëse vetë djemtë nuk e vunë re këtë, atëherë mësuesi duhet të theksojë se këtu vlera nuk mund të rritet pafundësisht. Në të vërtetë, sado lart të ngrihet vëzhguesi, ai nuk mund të shohë më shumë sesa lejojnë mundësitë e vizionit të tij dhe fryrja e globit. Ky shembull është veçanërisht tregues, pasi ju lejon të gjykoni përshtatshmërinë e kufizimeve në vlerat e funksionit. Këtu duhet të vendosim disa kufizime në vlerat e funksionit, megjithëse vlerat, duke folur teorikisht, mund të rriten pafundësisht.

Faza II - diskutimi i temës. Nxënësve u lihet pak kohë për të analizuar vetitë e një prej funksioneve të fuqisë së tyre të zgjedhur. problemi kryesor këtu në përzgjedhjen e funksionit. Një grup tenton të thjeshtojë detyrën duke e kufizuar veten në një funksion shikimi që është i njohur mirë për të gjithë studentët. Një grup tjetër e ndërlikon shumë punën e tyre duke marrë funksionin e pamjes, ose edhe të dyja bashkë, megjithëse qasja e përgjithshme ndaj pyetjes nuk është ende e qartë për studentët.

Në fund, ka grupe që kanë zgjedhur funksione, grafikët e të cilëve tashmë janë shqyrtuar më herët, megjithëse nuk u është dhënë theksi i nevojshëm.

Grupi i parë mori parasysh funksionin e specieve; shënoi zonën e përcaktimit të saj: dhe vlerën zero të funksionit në. Djemtë u përqendruan veçanërisht në faktin se funksioni rritet në të gjithë fushën e përkufizimit. Ne veçuam intervalet në të cilat funksioni është më i madh ose më i vogël se zero. Folësit theksuan se ky funksion është tek dhe nuk ka vlerën më të madhe dhe as më të vogël.

Nga ky grup, një nxënës i flet klasës, i cili flet për rezultatet e hulumtimit në grup.

Grupi i dytë zgjodhi një funksion për t'u marrë parasysh. Djemtë vunë re që tani do të duhet të përjashtojnë numrin 0 nga zona e përcaktimit të funksionit, d.m.th. . Ndryshe nga ai i mëparshmi, ky funksion nuk ka zero. Por, si ai i konsideruar më sipër, ky funksion është pozitiv për dhe negativ për. Ai zvogëlohet në të gjithë domenin e përkufizimit.

Përfaqësuesi i këtij grupi thekson dallimet ndërmjet funksioneve dhe.

Dy studentë të tjerë flasin për funksionet.

Gjatë prezantimeve të tyre, të gjithë folësit duhet të demonstrojnë grafikët e funksioneve të konsideruara.

Gjatë fazës së tretë të mësimit, nxënësit duhet të përmbledhin njohuritë e tyre. Dhe ata duhet ta bëjnë këtë vetë, të befasuar nga shumëllojshmëria e funksioneve të konsideruara. "Pse u jepet një emër, nëse ka kaq shumë prej tyre dhe ata janë të ndryshëm?" Kjo është pyetja që nxënësit duhet t'i bëjnë vetes. Detyra e mësuesit është të sjellë në mënyrë të padukshme studentët në këtë çështje. Vjen një moment i të ashtuquajturit boshllëk, kur djemtë duhet të kuptojnë mangësitë e njohurive të tyre, kufizimet ose paplotësinë e tyre. Në të vërtetë, një nga funksionet e konsideruara ka zero, tjetri jo. Njëra rritet në të gjithë domenin e përkufizimit, tjetra ose rritet ose zvogëlohet. Çfarë karakterizimi duhet t'i japim të gjithë funksionit të pushtetit që të mbulojë sa më shumë raste të veçanta?

Në kërkim të një përgjigjeje për këtë pyetje, një nga djemtë përfundimisht mendon se është e përshtatshme të lidhet forma e një funksioni fuqie me eksponentin çift ose tek.

Tani është e përshtatshme t'u kërkohet grupeve përsëri të diskutojnë vetitë e funksioneve

ku - tek;

ku është madje;

ku është tek;

ku është madje.

Edhe një herë, ne vërejmë planin për studimin e funksionit:

Specifikoni domenin e përkufizimit.

Përcaktoni nëse një funksion është çift apo tek (ose vini re se nuk është as çift, as tek).

1. Gjeni zerot e funksionit, nëse ka.

2. Shënoni intervalet e qëndrueshmërisë.

3. Gjeni intervalet e rritjes dhe uljes.

4. Specifikoni vlerën më të madhe ose më të vogël të funksionit.

Në fund nxënësve u paraqiten grafikët e funksioneve të konsideruara, = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Këta grafikë janë kryhet nga përfaqësues të secilit prej grupeve.

Tani, së bashku me klasën, ne ndërtojmë grafikët e funksionit, ku është një numër natyror dhe.

vuri në dukje pronë e përbashkët nga këto funksione: të dyja kanë një fushë përkufizimi - një hapësirë. Ata nuk janë as çift e as tek. Ata janë të dy më të mëdhenj se zero.

Por këto funksione kanë edhe dallime. Djemtë i quajnë në mënyrë specifike: funksioni i shikimit rritet në domenin e tij të përkufizimit dhe funksioni i shikimit zvogëlohet në të njëjtin domen. Funksioni i formës ka një vlerë zero në, dhe funksioni i formës nuk ka zero.

Në fazën IV nxënësit duhet të bëjnë reflektim, d.m.th. përcaktimi i shkallës së asimilimit të materialit. E gjithë klasa merr detyrën e mëposhtme sipas fig. 3.

Në fig. 3, a-h tregon në mënyrë skematike grafikët e funksioneve që jepen nga formula

Përcaktoni se cila formulë nga lista e dhënë përafërsisht korrespondon me secilën prej tyre grafikët a-h.

Në revistën "Matematika në shkollë" Petrov, N.P. ofron projektin "Studimi i vetive të një funksioni të energjisë duke përdorur Excel":

Projekti arsimor i përshkruar në artikullin me temën "Studimi i vetive të funksioneve dhe përdorimi i tabelave të Excel" u krye nga mësuesit e matematikës dhe shkencave kompjuterike të liceut tonë në klasën e nëntë dhe u krijua për pesë orë mësimi.

Qëllimi i projektit ishte t'u sigurojë nxënësve pavarësi dhe iniciativë në mësim temë e re dhe zbatimi praktik i materialit të mësuar më parë.

Gjatë zbatimit të projektit, nxënësit e klasës së nëntë duhej të tregonin:

· aftësia për të formuluar saktë detyrat e projektit;

aftësia për të analizuar informacionin dhe për të nxjerrë përfundime;

Aftësia për të interpretuar saktë rezultatet e marra dhe për t'i zbatuar ato në praktikë.

Nxënësit u përballën me detyrën që të hetojnë sjelljen e grafikëve të funksioneve duke përdorur programin Excel dhe më pas, bazuar në të dhënat e marra, të përshkruajnë vetitë e funksioneve.

Si rezultat i projektit, nxënësit e klasës së nëntë duhej të mësonin formë e përgjithshme grafikët e funksioneve dhe, mësoni se si të ndërtoni dhe "lexoni" këta grafikë, si dhe të zgjidhni grafikisht ekuacionet e formës = f (x).

Vini re se puna në këtë projekt kishte për qëllim të promovonte zhvillimin e aftësisë së nxënësve të shkollës për të krahasuar, nxjerrë në pah veçoritë e përbashkëta dhe dallimet në grafikët e funksioneve të fuqisë për vlera të ndryshme.

Këtu është një përshkrim hap pas hapi i projektit.

Faza I. Përgatitja (faza eksploruese)

Zgjimi i interesit të studentëve për temën e projektit ndodh në procesin e bisedës. Ftohen nxënësit të zgjidhin ekuacione të njohura prej tyre

Rezulton se djemtë mund ta zgjidhin ekuacionin në dy mënyra: analitike dhe grafike, ekuacioni - në një mënyrë grafike. E kanë të vështirë të zgjidhin pjesën tjetër të ekuacioneve, por nëse do të njiheshin me grafikët e funksioneve, do ta zgjidhnin problemin grafikisht.

Rezultati i bisedës është formulimi i pyetjes problematike: si duken dhe ku janë grafikët e funksioneve? Pas kësaj, përcaktohen udhëzimet për punë të mëtejshme, formulohen detyrat:

1. Përdorni Excel për të gjetur se si duket grafiku i funksionit për n çift dhe përshkruani vetitë e këtij funksioni.

2. Përdorni Excel për të gjetur se si duket grafiku i funksionit për n tek dhe përshkruani vetitë e këtij funksioni.

3. Përdorni Excel për të gjetur se si duket grafiku i funksionit për n çift dhe përshkruani vetitë e këtij funksioni.

4. Përdorni Excel për të gjetur se si duket grafiku i funksionit për n tek dhe përshkruani vetitë e këtij funksioni.

Më pas klasa ndahet në grupe pune. Mësuesi/ja fton nxënësit që në mënyrë të pavarur të ndahen në katër grupe (me dëshirë) dhe të zgjedhin një udhëheqës në secilin grup. Kur formohen grupet, ata zgjedhin një nga fushat e punës në projekt (sipas detyrave të renditura më sipër).

Faza II. Planifikimi (faza analitike)

Mësuesi/ja i ndihmon grupet të hartojnë një plan pune për zgjidhjen e problemit të zgjedhur dhe rekomandon burime për marrjen e informacionit. Nxënësit shpërndajnë në mënyrë të pavarur rolet në grupe. Shpërndarja e përafërt e roleve në grup është paraqitur në tabelën e mëposhtme. Numri i nxënësve në një grup varet nga numri i nxënësve në klasë.

Në të njëjtën fazë, diskutohet forma e paraqitjes së rezultateve të punës. Në këtë rast, u zgjodh një prezantim kompjuterik duke përdorur PowerPoint.

Faza III. Hulumtimi (faza praktike)

Nxënësit kryejnë detyrat sipas planit të punës të planifikuar. Mësuesi mbikëqyr aktivitetet e tyre dhe i këshillon nxënësit nëse është e nevojshme.

Si shembull do të japim planin e punës së grupit nr.1.

1. Ndërtimi i grafikëve të funksioneve duke përdorur programin Excel.

2. Krahasimi i grafikëve, formulimi i opsioneve për rekomandime për ndërtimin e grafikut të një funksioni për një n natyrale çift.

3. Përcaktimi i vetive të funksionit sipas grafikut.

4. Analizë e shembujve të zbatimit praktik të grafikut të funksionit.

Në bazë të studimit, studentët arrijnë në përfundimin se grafikët e funksioneve të formës për n natyrale çift janë kurba të ngjashme me një parabolë dhe japin rekomandime për grafikim: duhet pasur parasysh se grafiku është simetrik në lidhje me boshtin Oy, kështu që mjafton të bëni një tabelë të vlerave të funksionit për vlerat pozitive të argumentit X.

Përveç kësaj, në këtë fazë, krijohet një skenar i përgjithshëm prezantimi, i cili do të rafinohet gjatë projektit. Në këtë skenar, në veçanti, përcaktohen numri i sllajdeve, qëllimi i secilit sllajd dhe objektet kryesore që duhet të vendosen në sllajde.

Fazat IV dhe V. Mbrojtja e projektit, vlerësimi i rezultateve (fazat e prezantimit dhe kontrollit)

Mbrojtja e projekteve (në grupe) bëhet në fundin e mësimeve të planifikuara.

Tani japim një orar mësimi për punën në këtë projekt dhe përmbajtjen e secilit mësim.

Mësimi 1 (Matematika)

· Deklaratë e detyrës së projektit. Përcaktimi i drejtimeve të punës, formulimi i objektivave të projektit.

· Ndarja në grupe pune, zgjedhja e një drejtuesi në grupe.

· Hartimi i planit të punës për zgjidhjen e detyrave të vendosura, shpërndarja e roleve në grupe, zgjedhja e formës për paraqitjen e rezultateve.

Mësimi 2 (shkenca kompjuterike)

· Flisni për qëllimin e spreadsheets Excel.

· Përsëritja e ndërtimit të grafikëve të funksioneve të ndryshme duke përdorur Excel.

· Ndërtimi i grafikëve të funksioneve të studiuara me anë të Excel. Analiza e informacionit të marrë, formulimi i përfundimeve.

Mësimi 3 (Matematika)

Ndërtimi dhe “leximi” i grafikëve të funksioneve dhe

· Zgjidhja e ekuacioneve të formës, ku në mënyrë grafike.

· Krijoni një skenar prezantimi.

Mësimi 4 (shkenca kompjuterike)

Përsëritja e qëllimit dhe parimeve të programit Power Point.

· Krijimi i një prezantimi.

Mësimi 5 (Matematika)

· Mbrojtja e projekteve.

Ne gjithashtu japim plani i përgjithshëm mësimi - mbrojtja e projektit.

1. Momenti organizativ.

2. Motivimi për të zbatuar njohuritë nëpërmjet identifikimit të problemit.

Fjala hyrëse e mësuesit

Në mësimin e sotëm, objekti kryesor i studimit janë funksionet dhe ku, vetitë dhe grafikët e tyre. Ju tashmë dini se si të zgjidhni ekuacionet e shkallës së parë (lineare) dhe të shkallës së dytë (katrore) duke përdorur formulat rrënjësore. Ekzistojnë gjithashtu formula të veçanta rrënjësore për ekuacionet e shkallës së 3-të, por ato janë shumë të rënda dhe përdoren rrallë në praktikë. Për ekuacionet shkalla e të cilave është më e lartë se e treta, formulat e përgjithshme nuk ka rrënjë. Lind problemi: si mund të zgjidhen ekuacione të tilla? Rezulton, nëse jo në mënyrë analitike, atëherë grafike. Dhe për të aplikuar një metodë grafike për zgjidhjen e ekuacioneve të formës dhe, duhet të jetë në gjendje të vizatojë funksionet dhe ku.

Katër grupe u përfshinë në studimin e grafikëve të këtyre funksioneve. Tani secili prej tyre do të na njohë me rezultatet e punës së bërë.

3. Shfaqjet në grup.

Prezantimi (mbrojtja) e projektit nga secili grup, përgjigjet e pyetjeve të kundërshtarëve.

4. Vetëvlerësimi dhe vlerësimi i secilës performancë nga grupet e tjera (në një shkallë pesëpikëshe).

Ne listojmë kriteret kryesore të vlerësimit:

korrespondenca e përmbajtjes me temën e deklaruar, saktësia, plotësia e prezantimit;

Mungesa e gabimeve

dizajni (dizajni): si paraqitja e rrëshqitjeve plotëson kërkesat estetike;

A është teksti i lehtë për t'u lexuar? nëse imazhi përputhet me përmbajtjen, etj.;

bindshmëria, argumentueshmëria e të folurit; njohja e të folurit, njohja e terminologjisë;

plotësia e përgjigjeve të pyetjeve.

Më vete, vlerësohet ndërveprimi në grup: shoqërueshmëria, respekti dhe vëmendja ndaj pjesëmarrësve të tjerë, aktiviteti.

Është llogaritur numri total i pikëve të fituara dhe rezultati i vlerësimit (rezultati mesatar aritmetik); mbi bazën e tyre bëhet një vlerësim për pjesëmarrjen në projekt.

5. Diskutimi i kontributit të secilit nxënës në projekt dhe vlerësimi.

6. Përmbledhje (reflektim).

7. Fjala e fundit e mësuesit

Gjatë aktivitetit të projektit për këtë temë, ju iu përgjigjët pyetjes se cilët janë dhe janë grafikët e funksioneve dhe keni dhënë rekomandime se si t'i ndërtoni ato. Tani mund të zgjidhni disa ekuacione të formës dhe grafikisht. Falenderojmë të gjithë studentët për punën e tyre krijuese dhe të frytshme, e cila kontribuoi në arritjen e qëllimeve të projektit.

Nisur nga sa më sipër, në manualin tonë ne u përpoqëm të pasqyronim një qasje sistematike për studimin e funksionit të fuqisë. Për të minimizuar vështirësitë e punës me një kompjuter, ne u përpoqëm të bënim navigim të përshtatshëm dhe të natyrshëm dhe të merrnim parasysh kërkesat për softuerin didaktik.

A jeni njohur me veçoritë y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x etj. Të gjitha këto funksione janë raste të veçanta të funksionit të fuqisë, d.m.th., funksionit y=x fq, ku p është një numër real i dhënë. Vetitë dhe grafiku i një funksioni fuqie në thelb varen nga vetitë e një fuqie me një eksponent real, dhe në veçanti nga vlerat për të cilat x dhe fq ka kuptim x fq. Le të vazhdojmë me një shqyrtim të ngjashëm të rasteve të ndryshme në varësi të eksponentit fq.

Indeksi p=2nështë numër natyror çift.

Në këtë rast, funksioni i fuqisë y=x 2n, ku nështë një numër natyror, ka si më poshtë

Vetitë:

fusha e përkufizimit është të gjithë numrat realë, d.m.th., bashkësia R;

grup vlerash - numra jonegativë, d.m.th. y është më i madh ose i barabartë me 0;

funksionin y=x 2n madje, sepse x 2n =(-x) 2n

funksioni zvogëlohet në interval x<0 dhe duke u rritur në interval x>0.

Grafiku i funksionit y=x 2n ka të njëjtën formë si, për shembull, grafiku i një funksioni y=x 4 .

2. Treguesi p=2n-1- numër natyror tek Në këtë rast, funksioni i fuqisë y=x 2n-1, ku është një numër natyror, ka vetitë e mëposhtme:

domeni i përkufizimit - grupi R;

grup vlerash - grup R;

funksionin y=x 2n-1 e çuditshme sepse (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

funksioni po rritet në të gjithë boshtin real.

Grafiku i funksionit y=x2n-1 ka të njëjtën formë si, për shembull, grafiku i funksionit y=x3.

3.Treguesi p=-2n, ku n- numri natyror.

Në këtë rast, funksioni i fuqisë y=x -2n =1/x 2n ka vetitë e mëposhtme:

grup vlerash - numra pozitivë y>0;

funksioni y =1/x 2n madje, sepse 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

funksioni rritet në intervalin x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Grafiku i funksionit y =1/x 2n ka të njëjtën formë si, për shembull, grafiku i funksionit y =1/x 2 .

4.Treguesi p=-(2n-1), ku n- numri natyror. Në këtë rast, funksioni i fuqisë y=x -(2n-1) ka vetitë e mëposhtme:

domeni i përkufizimit - bashkësia R, përveç x=0;

grup vlerash - grupi R, përveç y=0;

funksionin y=x -(2n-1) e çuditshme sepse (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

funksioni zvogëlohet në intervale x<0 dhe x>0.

Grafiku i funksionit y=x -(2n-1) ka të njëjtën formë si, për shembull, grafiku i funksionit y=1/x 3 .

1. Funksionet trigonometrike të anasjellta, vetitë dhe grafikët e tyre.

Funksionet trigonometrike të anasjellta, vetitë dhe grafikët e tyre.Funksionet trigonometrike të anasjellta (funksionet rrethore, harkfunksionet) janë funksione matematikore që janë të anasjellta me funksionet trigonometrike.

1. funksioni i harkut

Grafiku i funksionit .

arksine numrat m quhet kënd i tillë x, per cilin

Funksioni është i vazhdueshëm dhe i kufizuar në të gjithë vijën e tij reale. Funksioni është rreptësisht në rritje.

1. [Redakto] Vetitë e funksionit arcsin

1. [Redakto] Marrja e funksionit arcsin

Jepet një funksion gjatë gjithë tij domenet ajo është pjesë-pjesë monotonike, dhe rrjedhimisht korrespondenca e anasjelltë nuk është një funksion. Prandaj, marrim parasysh intervalin në të cilin rritet rreptësisht dhe merr të gjitha vlerat vargjet- . Meqenëse për një funksion në interval, çdo vlerë e argumentit korrespondon me një vlerë të vetme të funksionit, atëherë në këtë segment ekziston funksioni i anasjelltë grafiku i të cilit është simetrik me grafikun e një funksioni në një segment në lidhje me një drejtëz

1. Funksioni i fuqisë, vetitë dhe grafiku i tij;

2. Transformimet:

Transferimi paralel;

Simetria rreth boshteve të koordinatave;

Simetria rreth origjinës;

Simetria rreth drejtëzës y = x;

Shtrirja dhe tkurrja përgjatë boshteve koordinative.

3. Një funksion eksponencial, vetitë dhe grafiku i tij, shndërrime të ngjashme;

4. Funksioni logaritmik, vetitë dhe grafiku i tij;

5. Funksioni trigonometrik, vetitë dhe grafiku i tij, shndërrime të ngjashme (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Funksioni: y = x\n - vetitë dhe grafiku i tij.

Funksioni i fuqisë, vetitë dhe grafiku i tij

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x etj. Të gjitha këto funksione janë raste të veçanta të funksionit të fuqisë, d.m.th., funksionit y = xp, ku p është një numër real i dhënë.
Vetitë dhe grafiku i një funksioni fuqie në thelb varen nga vetitë e një fuqie me një eksponent real, dhe në veçanti nga vlerat për të cilat x dhe fq ka kuptim xp. Le të vazhdojmë me një shqyrtim të ngjashëm të rasteve të ndryshme, në varësi të
eksponent fq.

1. Indeksi p = 2nështë numër natyror çift.

y=x2n, ku nështë një numër natyror dhe ka këto veti:

• fushëveprimi - të gjitha numra realë, d.m.th., grupi R;
• grup vlerash - numra jonegativë, d.m.th. y është më i madh ose i barabartë me 0;
• funksionin y=x2n madje, sepse x 2n = (-x) 2n
• funksioni zvogëlohet në interval x< 0 dhe duke u rritur në interval x > 0.

Grafiku i funksionit y=x2n ka të njëjtën formë si, për shembull, grafiku i një funksioni y=x4.

2. Treguesi p = 2n - 1- numër natyror tek

Në këtë rast, funksioni i fuqisë y=x2n-1, ku është një numër natyror, ka vetitë e mëposhtme:

• domeni i përkufizimit - grupi R;
• grup vlerash - grup R;
• funksionin y=x2n-1 e çuditshme sepse (- x) 2n-1= x 2n-1;
• funksioni po rritet në të gjithë boshtin real.

Grafiku i funksionit y=x2n-1 y=x3.

3. Treguesi p=-2n, ku n- numri natyror.

Në këtë rast, funksioni i fuqisë y=x-2n=1/x2n ka vetitë e mëposhtme:

• grup vlerash - numra pozitivë y>0;
• funksioni y = 1/x2n madje, sepse 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• funksioni rritet në intervalin x0.

Grafiku i funksionit y = 1/x2n ka të njëjtën formë si, për shembull, grafiku i funksionit y = 1/x2.

4. Treguesi p = -(2n-1), ku n- numri natyror.
Në këtë rast, funksioni i fuqisë y=x-(2n-1) ka vetitë e mëposhtme:

• domeni i përkufizimit është bashkësia R, me përjashtim të x = 0;
• grup vlerash - grup R, përveç y = 0;
• funksionin y=x-(2n-1) e çuditshme sepse (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• funksioni zvogëlohet në intervale x< 0 dhe x > 0.

Grafiku i funksionit y=x-(2n-1) ka të njëjtën formë si, për shembull, grafiku i funksionit y = 1/x3.