Studim sasior dukuritë biologjike kërkojnë domosdo krijimin e hipotezave me të cilat mund të shpjegohen këto dukuri. Për të testuar këtë apo atë hipotezë, vendosen një sërë eksperimentesh të veçanta dhe të dhënat aktuale të marra krahasohen me ato që priten teorikisht sipas kësaj hipoteze. Nëse ka një përputhje, kjo mund të jetë arsye e mjaftueshme për të pranuar hipotezën. Nëse të dhënat eksperimentale janë në përputhje të dobët me atë që pritet teorikisht, ekziston dyshim i madh për korrektësinë e hipotezës së propozuar.

Shkalla e përputhshmërisë së të dhënave aktuale me atë të pritur (hipotetike) matet me testin e përshtatjes chi-square:

 vlera e vrojtuar në të vërtetë e veçorisë në i- lodër; - numri i pritur teorikisht ose shenja (treguesi) për një grup të caktuar, k-numri i grupeve të të dhënave.

Kriteri u propozua nga K. Pearson në vitin 1900 dhe nganjëherë quhet kriteri i Pearson.

Një detyrë. Mes 164 fëmijëve që kanë trashëguar faktorin nga njëri prind dhe faktorin nga tjetri, 46 fëmijë me faktor, 50 me faktor, 68 me të dy. Llogaritni frekuencat e pritura në një raport 1:2:1 midis grupeve dhe përcaktoni shkallën e pajtimit midis të dhënave empirike duke përdorur testin e Pearson.

Zgjidhja: Raporti i frekuencave të vëzhguara është 46:68:50, teorikisht i pritshëm 41:82:41.

Le të vendosim nivelin e rëndësisë në 0.05. Vlera tabelare e testit Pearson për këtë nivel të rëndësisë me numrin e shkallëve të lirisë të barabartë me të rezultoi të jetë 5.99. Prandaj, hipoteza për korrespondencën e të dhënave eksperimentale me atë teorike mund të pranohet, pasi, .

Vini re se gjatë llogaritjes së testit chi-square, ne nuk vendosim më kusht për normalitetin e domosdoshëm të shpërndarjes. Testi chi-square mund të përdoret për çdo shpërndarje që ne jemi të lirë të zgjedhim në supozimet tona. Ekziston njëfarë universaliteti në këtë kriter.

Një aplikim tjetër i kriterit të Pearson-it është krahasimi i një shpërndarjeje empirike me një shpërndarje normale Gaussian. Në të njëjtën kohë, mund t'i atribuohet grupit të kritereve për kontrollin e normalitetit të shpërndarjes. Kufizimi i vetëm është fakti që numri i përgjithshëm i vlerave (variant) kur përdoret ky kriter duhet të jetë mjaft i madh (të paktën 40), dhe numri i vlerave në klasa individuale (intervale) duhet të jetë së paku 5. Përndryshe, intervalet ngjitur duhet të kombinohen. Numri i shkallëve të lirisë gjatë kontrollit të normalitetit të shpërndarjes duhet të llogaritet si:.

1. Kriteri i Fisherit.

Ky test parametrik shërben për të testuar hipotezën zero për barazinë e variancave të popullatave të shpërndara normalisht.

Ose.

Për madhësi të vogla të mostrave, aplikimi i testit t Studentit mund të jetë i saktë vetëm nëse variancat janë të barabarta. Prandaj, përpara se të testoni barazinë e mesatareve të mostrës, është e nevojshme të siguroheni që testi i Studentit të jetë i vlefshëm.

ku N 1 , N 2  madhësitë e mostrave,  1 ,  2 - numri i shkallëve të lirisë për këto mostra.

Gjatë përdorimit të tabelave, duhet të theksohet se numri i shkallëve të lirisë për një kampion me një variancë më të madhe zgjidhet si numër i kolonës së tabelës, dhe për një variancë më të vogël, si numër i rreshtit të tabelës.

Për nivelin e rëndësisë sipas tabelave të statistikave matematikore gjejmë një vlerë tabelare. Nëse, atëherë hipoteza e barazisë së variancave refuzohet për nivelin e zgjedhur të rëndësisë.

Shembull. Studioi efektin e kobaltit në peshën trupore të lepujve. Eksperimenti u krye në dy grupe kafshësh: eksperimentale dhe kontrolluese. Me përvojë mori një shtesë në dietë në formën e një zgjidhje ujore të klorurit të kobaltit. Gjatë eksperimentit, shtimi i peshës ishte në gram:

Testi \(\chi^2\) ("chi-square", gjithashtu "Pearson's goodness-of-test") ka një aplikim jashtëzakonisht të gjerë në statistika. AT pamje e përgjithshme mund të themi se përdoret për të testuar hipotezën zero për bindjen e të vëzhguarit ndryshore e rastësishme një ligj i caktuar teorik i shpërndarjes (për më shumë detaje, shih, për shembull,). Formulimi specifik hipoteza e testueshme do të ndryshojë nga rasti në rast.

Në këtë postim, unë do të përshkruaj se si funksionon testi \(\chi^2\) duke përdorur një shembull (hipotetik) nga imunologjia. Imagjinoni që ne kemi kryer një eksperiment për të përcaktuar efektivitetin e shtypjes së zhvillimit të një sëmundjeje mikrobike kur antitrupat e duhur futen në trup. Gjithsej, 111 minj u përfshinë në eksperiment, të cilët i ndamë në dy grupe, duke përfshirë përkatësisht 57 dhe 54 kafshë. Grupit të parë të minjve iu injektuan baktere patogjene, pasuar nga futja e serumit të gjakut që përmban antitrupa kundër këtyre baktereve. Kafshët nga grupi i dytë shërbyen si kontrolle - ata morën vetëm injeksione bakteriale. Pas një kohe inkubacioni, doli se 38 minj ngordhën dhe 73 mbijetuan. Nga të vdekurit, 13 i përkisnin grupit të parë, dhe 25 i përkisnin grupit të dytë (kontrolli). testuar në këtë eksperiment asnje hipoteze mund të formulohet si më poshtë: futja e serumit me antitrupa nuk ka efekt në mbijetesën e minjve. Me fjalë të tjera, ne argumentojmë se ndryshimet e vërejtura në mbijetesën e minjve (77.2% në grupin e parë kundrejt 53.7% në grupin e dytë) janë krejtësisht të rastësishme dhe nuk shoqërohen me veprimin e antitrupave.

Të dhënat e marra në eksperiment mund të paraqiten në formën e një tabele:

Tabelat si kjo quhen tabela kontingjente. Në këtë shembull, tabela ka një dimension 2x2: ekzistojnë dy klasa objektesh ("Bakteret + serum" dhe "Vetëm bakteret"), të cilat shqyrtohen sipas dy kritereve ("Të vdekur" dhe "Të mbijetuar"). atë rasti më i thjeshtë Tabelat e kontigjencës: sigurisht, si numri i klasave në studim ashtu edhe numri i veçorive mund të jenë më të mëdha.

Për të testuar hipotezën zero të formuluar më sipër, duhet të dimë se cila do të ishte situata nëse antitrupat me të vërtetë nuk do të kishin asnjë efekt në mbijetesën e minjve. Me fjalë të tjera, ju duhet të llogaritni frekuencat e pritura për qelizat përkatëse të tabelës së kontigjencës. Si ta bëjmë atë? Në eksperiment, gjithsej 38 minj ngordhën, që është 34.2% e numri total kafshët e përfshira. Nëse futja e antitrupave nuk ndikon në mbijetesën e minjve, duhet të vërehet e njëjta përqindje e vdekshmërisë në të dy grupet eksperimentale, përkatësisht 34.2%. Duke llogaritur se sa është 34.2% e 57 dhe 54, marrim 19.5 dhe 18.5. Këto janë normat e pritshme të vdekshmërisë në grupet tona eksperimentale. Normat e pritshme të mbijetesës llogariten në mënyrë të ngjashme: meqenëse gjithsej 73 minj mbijetuan, ose 65.8% e numrit të tyre të përgjithshëm, normat e pritshme të mbijetesës janë 37.5 dhe 35.5. Le të bëjmë një tabelë të re të emergjencës, tani me frekuencat e pritura:

Siç mund ta shihni, frekuencat e pritura janë mjaft të ndryshme nga ato të vëzhguara, d.m.th. administrimi i antitrupave duket se ka një efekt në mbijetesën e minjve të infektuar me patogjenin. Ne mund ta përcaktojmë sasinë e kësaj përshtypjeje duke përdorur testin e mirësisë së përshtatjes së Pearson \(\chi^2\):

\[\chi^2 = \sum_()\frac((f_o - f_e)^2)(f_e),\]

\[\chi^2 = (13 – 19,5)^2/19,5 + (44 – 37,5)^2/37,5 + (25 – 18,5)^2/18,5 + (29 – 35,5)^2/35,5 = \]

A është \(\chi^2\) mjaft i madh për të hedhur poshtë hipotezën zero? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, është e nevojshme të gjendet vlera kritike përkatëse e kriterit. Numri i shkallëve të lirisë për \(\chi^2\) llogaritet si \(df = (R - 1)(C - 1)\), ku \(R\) dhe \(C\) janë numri të rreshtave dhe kolonave në konjugacionin e tabelës. Në rastin tonë \(df = (2 -1) (2 - 1) = 1\). Duke ditur numrin e shkallëve të lirisë, tani mund të zbulojmë lehtësisht vlerën kritike \(\chi^2\) duke përdorur funksionin standard R qchisq():

Kështu, për një shkallë lirie, vlera e kriterit \(\chi^2\) kalon 3,841 vetëm në 5% të rasteve. Vlera që kemi marrë, 6.79, e tejkalon ndjeshëm këtë vlerë kritike, e cila na jep të drejtën të hedhim poshtë hipotezën zero për mungesën e një marrëdhënieje midis administrimit të antitrupave dhe mbijetesës së minjve të infektuar. Duke hedhur poshtë këtë hipotezë, rrezikojmë të gabojmë me një probabilitet më të vogël se 5%.

Duhet të theksohet se formula e mësipërme për kriterin \(\chi^2\) jep vlera disi të mbivlerësuara kur punoni me tabela të paparashikuara të madhësisë 2x2. Arsyeja është se vetë shpërndarja e kriterit \(\chi^2\) është e vazhdueshme, ndërsa frekuencat e veçorive binare ("vdiq" / "mbijetuar") janë diskrete sipas definicionit. Në këtë drejtim, gjatë llogaritjes së kriterit, është zakon të prezantohet i ashtuquajturi. korrigjimi i vazhdimësisë, ose Amendamenti i Yates :

\[\chi^2_Y = \sum_()\frac((|f_o - f_e| - 0.5)^2)(f_e).\]

Pearson "Testi Chi-squared me Yates" të dhënat e korrigjimit të vazhdimësisë: minjtë X-katror = 5,7923 , df = 1 , p-vlera = 0,0161

Shpërndarja chi-squared është një nga më të përdorurat në statistika për testim hipoteza statistikore. Në bazë të shpërndarjes "chi-square", u ndërtua një nga testet më të fuqishme të mirësisë së përshtatjes, testi "chi-square" i Pearson.

Testi i përshtatshmërisë është një kriter për testimin e hipotezës për ligjin e propozuar të shpërndarjes së panjohur.

Testi χ2 ("chi-square") përdoret për të testuar hipotezën e shpërndarjeve të ndryshme. Kjo është meritë e tij.

Formula e llogaritjes së kriterit është e barabartë me

ku m dhe m' janë respektivisht frekuencat empirike dhe teorike

shpërndarja në shqyrtim;

n është numri i shkallëve të lirisë.

Për verifikim, duhet të krahasojmë empirike (të vëzhguara) dhe teorike (të llogaritura sipas supozimit shpërndarje normale) frekuenca.

Nëse frekuencat empirike përkojnë plotësisht me frekuencat e llogaritura ose të pritura, S (E - T) = 0 dhe kriteri χ2 do të jetë gjithashtu i barabartë me zero. Nëse S (E - T) nuk është e barabartë me zero, kjo do të tregojë një mospërputhje midis frekuencave të llogaritura dhe frekuencave empirike të serisë. Në raste të tilla, është e nevojshme të vlerësohet rëndësia e kriterit χ2, i cili teorikisht mund të ndryshojë nga zero në pafundësi. Kjo bëhet duke krahasuar vlerën e përftuar në fakt të χ2ph me vlerën e saj kritike (χ2st) Hipoteza zero, d.m.th., supozimi se mospërputhja midis frekuencave empirike dhe teorike ose të pritshme është e rastësishme, hidhet poshtë nëse χ2ph është më e madhe ose e barabartë. në χ2 për nivelin e pranuar të rëndësisë (a) dhe numrin e shkallëve të lirisë (n).

Shpërndarja e vlerave të mundshme të ndryshores së rastësishme χ2 është e vazhdueshme dhe asimetrike. Varet nga numri i shkallëve të lirisë (n) dhe i afrohet një shpërndarjeje normale ndërsa numri i vëzhgimeve rritet. Prandaj, zbatimi i kriterit χ2 në vlerësim shpërndarje diskrete shoqërohet me disa gabime që ndikojnë në vlerën e tij, veçanërisht për mostrat e vogla. Për të marrë vlerësime më të sakta, kampioni u shpërnda në seri variacionesh, duhet të ketë të paktën 50 opsione. Aplikimi i saktë Kriteri χ2 kërkon gjithashtu që frekuencat e varianteve në klasat ekstreme të mos jenë më të vogla se 5; nëse janë më pak se 5 të tilla, atëherë ato kombinohen me frekuencat e klasave fqinje në mënyrë që shuma e përgjithshme të jetë më e madhe ose e barabartë me 5. Sipas kombinimit të frekuencave zvogëlohet edhe numri i klasave (N). Numri i shkallëve të lirisë caktohet sipas numrit dytësor të klasave, duke marrë parasysh numrin e kufizimeve në lirinë e ndryshimit.

Meqenëse saktësia e përcaktimit të kriterit χ2 varet në masë të madhe nga saktësia e llogaritjes së frekuencave teorike (T), frekuencat teorike të pa rrumbullakosura duhet të përdoren për të marrë diferencën midis frekuencave empirike dhe të llogaritura.

Si shembull, merrni një studim të publikuar në një faqe interneti kushtuar aplikacionit metodat statistikore në shkencat humane.

Testi Chi-square lejon krahasimin e shpërndarjeve të frekuencave, pavarësisht nëse ato shpërndahen normalisht apo jo.

Frekuenca i referohet numrit të ndodhive të një ngjarjeje. Zakonisht, shpeshtësia e ndodhjes së një ngjarjeje trajtohet kur variablat maten në shkallën e emrave dhe karakteristikat e tjera të tyre, përveç shpeshtësisë, janë të pamundura ose problematike për t'u zgjedhur. Me fjalë të tjera, kur ndryshorja ka karakteristika cilësore. Gjithashtu, shumë studiues priren të përkthejnë rezultatet e testit në nivele (të larta, të mesme, të ulëta) dhe të ndërtojnë tabela të shpërndarjeve të rezultateve për të gjetur numrin e njerëzve në këto nivele. Për të vërtetuar se në një nga nivelet (në një nga kategoritë) numri i njerëzve është vërtet më shumë (më pak), përdoret edhe koeficienti Chi-square.

Le të hedhim një vështrim në shembullin më të thjeshtë.

Një test i vetëvlerësimit u krye tek adoleshentët më të rinj. Rezultatet e testit u përkthyen në tre nivele: të larta, të mesme, të ulëta. Frekuencat u shpërndanë si më poshtë:

E lartë (H) 27 pers.

Mesatare (C) 12 persona

E ulët (H) 11 persona.

Është e qartë se shumica e fëmijëve me vetëbesim të lartë, megjithatë, kjo duhet të vërtetohet statistikisht. Për ta bërë këtë, ne përdorim testin Chi-square.

Detyra jonë është të kontrollojmë nëse të dhënat e marra empirike ndryshojnë nga ato teorikisht po aq të mundshme. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të gjenden frekuencat teorike. Në rastin tonë, frekuencat teorike janë frekuenca ekuiprobabile që gjenden duke mbledhur të gjitha frekuencat dhe pjesëtuar me numrin e kategorive.

Në rastin tonë:

(B + C + H) / 3 \u003d (27 + 12 + 11) / 3 \u003d 16.6

Formula për llogaritjen e testit chi-square është:

χ2 = ∑(E - T)І / T

Ne ndërtojmë një tabelë:

Gjeni shumën e kolonës së fundit:

Tani ju duhet të gjeni vlerën kritike të kriterit sipas tabelës së vlerave kritike (Tabela 1 në Shtojcën). Për ta bërë këtë, na duhet numri i shkallëve të lirisë (n).

n = (R - 1) * (C - 1)

ku R është numri i rreshtave në tabelë, C është numri i kolonave.

Në rastin tonë, ekziston vetëm një kolonë (që nënkupton frekuencat origjinale empirike) dhe tre rreshta (kategori), kështu që formula ndryshon - ne i përjashtojmë kolonat.

n = (R - 1) = 3-1 = 2

Për probabilitetin e gabimit p≤0.05 dhe n = 2, vlera kritike χ2 = 5.99.

Vlera empirike e përftuar është më e madhe se vlera kritike - diferencat e frekuencës janë domethënëse (χ2= 9,64; p≤0,05).

Siç mund ta shihni, llogaritja e kriterit është shumë e thjeshtë dhe nuk kërkon shumë kohë. Vlera praktike e testit chi-square është e madhe. Kjo metodë është më e vlefshme në analizën e përgjigjeve të pyetësorëve.

Le të marrim një shembull më kompleks.

Për shembull, një psikolog dëshiron të dijë nëse është e vërtetë që mësuesit janë më të njëanshëm ndaj djemve sesa ndaj vajzave. Ato. më shumë gjasa për të lavdëruar vajzat. Për ta bërë këtë, psikologu analizoi karakteristikat e studentëve të shkruar nga mësuesit, në lidhje me shpeshtësinë e shfaqjes së tre fjalëve: "aktiv", "i zellshëm", "i disiplinuar", u numëruan edhe sinonime fjalësh. Të dhënat për shpeshtësinë e shfaqjes së fjalëve janë futur në tabelë:

Për të përpunuar të dhënat e marra, ne përdorim testin chi-square.

Për ta bërë këtë, ne ndërtojmë një tabelë të shpërndarjes së frekuencave empirike, d.m.th. frekuencat që vëzhgojmë:

Teorikisht presim që frekuencat të shpërndahen në mënyrë të barabartë, d.m.th. frekuenca do të shpërndahet proporcionalisht ndërmjet djemve dhe vajzave. Le të ndërtojmë një tabelë të frekuencave teorike. Për ta bërë këtë, shumëzoni shumën e rreshtit me shumën e kolonës dhe ndani numrin që rezulton me shumën totale (s).

Tabela që rezulton për llogaritjet do të duket si kjo:

χ2 = ∑(E - T)І / T

n = (R - 1), ku R është numri i rreshtave në tabelë.

Në rastin tonë, chi-katror = 4,21; n = 2.

Sipas tabelës së vlerave kritike të kriterit, gjejmë: në n = 2 dhe një nivel gabimi prej 0,05, vlera kritike χ2 = 5,99.

Vlera që rezulton është më e vogël se vlera kritike, që do të thotë se hipoteza zero pranohet.

Përfundim: mësuesit nuk i kushtojnë rëndësi gjinisë së fëmijës kur shkruajnë karakteristikat e tij.

konkluzioni.

K. Pearson dha një kontribut të rëndësishëm në zhvillimin e statistikave matematikore (një numër i madh konceptesh themelore). Pozicioni kryesor filozofik i Pearson është formuluar si më poshtë: konceptet e shkencës janë ndërtime artificiale, mjete për të përshkruar dhe renditur përvojën shqisore; rregullat për lidhjen e tyre në propozime shkencore janë veçuar nga gramatika e shkencës, e cila është filozofia e shkencës. Lidhja e koncepteve dhe fenomeneve heterogjene lejon një disiplinë universale - statistika të aplikuara, megjithëse sipas Pearson ajo është gjithashtu subjektive.

Shumë ndërtime të K. Pearson lidhen drejtpërdrejt ose zhvillohen duke përdorur materiale antropologjike. Ai zhvilloi metoda të shumta klasifikimi numerik dhe kritere statistikore të përdorura në të gjitha fushat e shkencës.

Letërsia.

1. A. N. Bogolyubov, Matematikë. Mekanika. Udhëzues biografik. - Kiev: Naukova Dumka, 1983.

2. Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.). Matematika e shekullit XIX. - M.: Shkencë. - T.I.

3. 3. Borovkov A.A. Statistikat e matematikës. Moskë: Nauka, 1994.

4. 8. Feller V. Hyrje në teorinë e probabilitetit dhe zbatimet e saj. - M.: Mir, T.2, 1984.

5. 9. Harman G., Analiza faktoriale moderne. - M.: Statistikat, 1972.

Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Federatës Ruse

Agjencia Federale për Arsimin e qytetit të Irkutsk

Baikal Universiteti Shtetëror ekonomisë dhe drejtësisë

Departamenti i Informatikës dhe Kibernetikës

Shpërndarja në katror Chi dhe aplikimi i saj

Kolmykova Anna Andreevna

student i vitit të 2-të

grupi IS-09-1

Për të përpunuar të dhënat e marra, ne përdorim testin chi-square.

Për ta bërë këtë, ne ndërtojmë një tabelë të shpërndarjes së frekuencave empirike, d.m.th. frekuencat që vëzhgojmë:

Teorikisht presim që frekuencat të shpërndahen në mënyrë të barabartë, d.m.th. frekuenca do të shpërndahet proporcionalisht ndërmjet djemve dhe vajzave. Le të ndërtojmë një tabelë të frekuencave teorike. Për ta bërë këtë, shumëzoni shumën e rreshtit me shumën e kolonës dhe ndani numrin që rezulton me shumën totale (s).

Tabela që rezulton për llogaritjet do të duket si kjo:

χ2 \u003d ∑ (E - T)² / T

n = (R - 1), ku R është numri i rreshtave në tabelë.

Në rastin tonë, chi-katror = 4,21; n = 2.

Sipas tabelës së vlerave kritike të kriterit, gjejmë: në n = 2 dhe një nivel gabimi prej 0,05, vlera kritike χ2 = 5,99.

Vlera që rezulton është më e vogël se vlera kritike, që do të thotë se hipoteza zero pranohet.

Përfundim: mësuesit nuk i kushtojnë rëndësi gjinisë së fëmijës kur shkruajnë karakteristikat e tij.

Aplikacion

Pikat kritike të shpërndarjes χ2

Tabela 1

konkluzioni

Studentët e pothuajse të gjitha specialiteteve studiojnë në fund të kursit të matematikës së lartë seksionin "Teoria e probabilitetit dhe statistikat e matematikës“, në realitet ata njihen vetëm me disa koncepte dhe rezultate bazë, të cilat qartësisht nuk mjaftojnë punë praktike. Studentët plotësojnë disa metoda matematikore të kërkimit në kurse të veçanta (për shembull, si "Parashikimi dhe planifikimi i fizibilitetit", "Analiza teknike dhe ekonomike", "Kontrolli i cilësisë së produktit", "Marketing", "Kontrollimi", " Metodat matematikore Parashikimi", "Statistika" etj. - në rastin e studentëve të specialiteteve ekonomike), megjithatë, paraqitja në shumicën e rasteve është shumë e shkurtuar dhe me natyrë recete.Për rrjedhojë, specialistët e statistikave të aplikuara nuk kanë njohuri të mjaftueshme.

Kjo është arsyeja pse rëndësi të madhe ka një kurs "Statistika të Aplikuara" në universitetet teknike, dhe ne universitetet ekonomike- kursi "Ekonometria", pasi ekonometria është, siç e dini, Analiza statistikore të dhëna specifike ekonomike.

Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore ofrojnë njohuri themelore për statistikat e aplikuara dhe ekonometrinë.

Ato janë të nevojshme për specialistët për punë praktike.

Kam konsideruar një model probabilistik të vazhdueshëm dhe jam përpjekur të tregoj përdorshmërinë e tij me shembuj.

Bibliografi

1. Orlov A.I. Statistikat e aplikuara. M.: Shtëpia botuese "Provimi", 2004.

2. Gmurman V.E. Teoria e Probabilitetit dhe Statistikat Matematikore. M.: Shkolla e diplomuar, 1999. - 479 f.

3. Ayvozyan S.A. Teoria e Probabilitetit dhe Statistikat e Aplikuara, v.1. M.: Uniteti, 2001. - 656s.

4. Khamitov G.P., Vedernikova T.I. Probabilitetet dhe statistikat. Irkutsk: BSUEP, 2006 - 272 f.

5. Ezhova L.N. Ekonometria. Irkutsk: BSUEP, 2002. - 314 f.

6. Mosteller F. Pesëdhjetë probleme argëtuese probabilistike me zgjidhje. M. : Nauka, 1975. - 111f.

7. Mosteller F. Probabiliteti. M. : Mir, 1969. - 428s.

8. Yaglom A.M. Probabiliteti dhe informacioni. M. : Nauka, 1973. - 511f.

9. Chistyakov V.P. Kursi i probabilitetit. M.: Nauka, 1982. - 256 f.

10. Kremer N.Sh. Teoria e Probabilitetit dhe Statistikat Matematikore. M.: UNITI, 2000. - 543 f.

11. Enciklopedi matematikore, v.1. M.: Enciklopedia Sovjetike, 1976. - 655s.

12. http://psystat.at.ua/ - Statistikat në psikologji dhe pedagogji. Artikull Chi-square test.

Shpërndarja. Shpërndarja Pearson Dendësia e probabilitetit ... Wikipedia

shpërndarja chi-square- shpërndarja "chi Square" - Temat siguria e informacionit EN chi Square shpërndarja ... Manuali i Përkthyesit Teknik

shpërndarje chi-katrore- Shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme me vlera nga 0 në, dendësia e së cilës jepet nga formula, ku 0 me parametrin =1,2,...; është funksioni gama. Shembuj. 1) Shuma e katrorëve të normalizuar të pavarur të rastësishme ... ... Fjalori i Statistikave Sociologjike

SHPËRNDARJA E KATRIT KI (chi2)- Shpërndarja e variablit të rastësishëm chi2. nëse mostrat e rastësishme të madhësisë 1 janë marrë nga një shpërndarje normale me mesatare (dhe variancë q2, atëherë chi2 = (X1 u) 2/q2, ku X është vlera e kampionit. Nëse madhësia e kampionit rritet në mënyrë arbitrare deri në N, pastaj chi2 = ……

Dendësia e probabilitetit ... Wikipedia

- (Shpërndarja Snedecor) Dendësia e probabilitetit ... Wikipedia

Shpërndarja Fisher Dendësia e probabilitetit Funksioni i shpërndarjes Parametrat e numrit me ... Wikipedia

Një nga konceptet bazë të teorisë së probabilitetit dhe statistikave matematikore. Në qasje moderne si një matematikë modeli i dukurisë së rastësishme në studim, merret hapësira përkatëse e probabilitetit (W, S, P), ku W është bashkësia e elementeve ... Enciklopedia Matematikore

Shpërndarja e gamës Dendësia e probabilitetit Funksioni i shpërndarjes Parametrat ... Wikipedia

F SHPËRNDARJE- Shpërndarja teorike e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme F. Nëse mostrat e rastësishme të madhësisë N zgjidhen në mënyrë të pavarur nga një popullatë normale, secila prej tyre gjeneron një shpërndarje chi-katrore me një shkallë lirie = N. Raporti i dy të tilla ... . .. Fjalor në psikologji

libra

• Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore në problema. Më shumë se 360 ​​detyra dhe ushtrime, Borzykh D.A. Manuali i propozuar përmban detyra nivele të ndryshme vështirësitë. Megjithatë, theksi kryesor vihet në detyrat me kompleksitet mesatar. Kjo është bërë qëllimisht për të inkurajuar studentët të…