Mësim me temën funksionet trigonometrike të argumentit këndor. Funksionet trigonometrike të argumentit numerik dhe këndor. Shpjegimi i materialit të ri

Video tutorial « Funksionet trigonometrike argument këndor" është një material pamor për zhvillimin e një ore mësimi matematike për temën përkatëse. Videoja është e kompozuar në atë mënyrë që materiali që studiohet të paraqitet sa më i përshtatshëm për studentët që të jetë e mundur për t'u kuptuar, i lehtë për t'u mbajtur mend, zbulon mirë lidhjen midis informacionit të disponueshëm rreth funksioneve trigonometrike nga seksioni për studimin e trekëndëshave dhe përkufizimin e tyre duke përdorur një rrethi njësi. Mund të bëhet pjesë e pavarur mësimi, pasi mbulon plotësisht këtë temë, të plotësuar me komente të rëndësishme gjatë pikëzimit.

Për të treguar qartë lidhjen përkufizime të ndryshme përdoren funksionet trigonometrike, efektet e animacionit. Theksimi i tekstit me ngjyra, ndërtime të qarta të kuptueshme, plotësimi me komente ndihmon për të zotëruar shpejt, mbajtur mend materialin dhe për të arritur më shpejt qëllimet e mësimit. Lidhja midis përkufizimeve të funksioneve trigonometrike demonstrohet qartë duke përdorur efektet e animacionit dhe theksimin e ngjyrave, duke kontribuar në kuptimin dhe memorizimin e materialit. Manuali ka për qëllim përmirësimin e efektivitetit të trajnimit.

Mësimi fillon me një hyrje teme. Më pas kujtohen përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës. kënd akut trekëndësh kënddrejtë. Përkufizimi i theksuar në kuti kujton se sinusi dhe kosinusi formohen si raport i këmbës me hipotenuzën, tangjentja dhe kotangjentja formohen nga raporti i këmbëve. Nxënësve u kujtohet gjithashtu materiali i studiuar së fundmi se kur merret parasysh një pikë që i përket një rrethi njësi, abshisa e pikës është kosinusi dhe ordinata është sinusi i numrit që i përgjigjet kësaj pike. Lidhja e këtyre koncepteve demonstrohet duke përdorur ndërtimin. Një rreth njësi shfaqet në ekran, i vendosur në mënyrë që qendra e tij të përputhet me origjinën. Një rreze është ndërtuar nga origjina e koordinatave, duke krijuar një kënd α me gjysmëboshtin pozitiv të abshisës. Kjo rreze pret rrethin e njësisë në pikën O. Perpendikularët zbresin nga pika në abshisë dhe bosht y, duke demonstruar se koordinatat e kësaj pike përcaktojnë kosinusin dhe sinusin e këndit α. Vihet re se gjatësia e harkut AO nga pika e prerjes së rrethit të njësisë me drejtimin pozitiv të boshtit të abshisës deri në pikën O është e njëjta pjesë e të gjithë harkut me këndin α nga 360°. Kjo ju lejon të bëni proporcionin α/360=t/2π, i cili shfaqet pikërisht aty dhe theksohet me të kuqe për memorizimin. Nga ky raport rrjedh vlera t=πα/180°. Duke marrë parasysh këtë, përcaktohet marrëdhënia midis përkufizimeve të sinusit dhe kosinusit sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=kosto=cosπα/180. Për shembull, është dhënë gjetja e sin60 °. Duke zëvendësuar masën e shkallës së këndit në formulë, marrim sin π 60°/180°. Duke e zvogëluar thyesën me 60, marrim sin π/3, që është e barabartë me √3/2. Vërehet se nëse 60° është masa e shkallës së një këndi, atëherë π/3 quhet masa radiane e këndit. Ekzistojnë dy regjistrime të mundshme të raportit të masës së shkallës së këndit me radianin: 60°=π/3 dhe 60°=π/3 rad.

Koncepti i një këndi prej një shkalle përkufizohet si një kënd qendror i bazuar në një hark, gjatësia e të cilit 1/360 përfaqëson një pjesë të perimetrit. Përkufizimi i mëposhtëm zbulon konceptin e një këndi prej një radiani - një kënd qendror i bazuar në një hark me gjatësi 1, ose të barabartë me rrezen e një rrethi. Përkufizimet janë shënuar si të rëndësishme dhe të theksuara për memorizimin.

Për të kthyer një shkallë të masës së një këndi në një radian dhe anasjelltas, përdoret formula α ° \u003d pa / 180 rad. Kjo formulë theksohet në një kornizë në ekran. Nga kjo formulë del se 1°=π/180 rad. Në këtë rast, një radian korrespondon me një kënd prej 180°/π≈57.3°. Vihet re se kur gjejmë vlerat e funksioneve trigonometrike të ndryshores së pavarur t, mund të konsiderohet si një argument numerik ashtu edhe një këndor.

Më tej, demonstrohen shembuj të përdorimit të njohurive të marra gjatë zgjidhjes së problemeve matematikore. Në shembullin 1, kërkohet të konvertohen vlerat nga gradë në radiane 135° dhe 905°. Në anën e djathtë të ekranit, ekziston një formulë që shfaq marrëdhënien midis një shkalle dhe një radian. Pas zëvendësimit të vlerës në formulë, marrim (π/180) 135. Pasi ta zvogëlojmë këtë thyesë me 45, marrim vlerën 135°=3π/4. Për të kthyer një kënd prej 905° në radian, përdoret e njëjta formulë. Pas zëvendësimit të vlerës në të, rezulton (π / 180) 905 \u003d 181π / 36 rad.

Në shembullin e dytë zgjidhet problemi i anasjelltë - gjendet masa e shkallës së këndeve e shprehur në radiane π/12, -21π/20, 2,4π. Në anën e djathtë të ekranit, kujtohet formula e studiuar për marrëdhënien midis shkallës dhe masës radian të këndit 1 rad \u003d 180 ° / π. Çdo shembull zgjidhet duke zëvendësuar masën e radianit në formulë. Duke zëvendësuar π/12, marrim (180°/π)·(π/12)=15°. Në mënyrë të ngjashme, gjenden vlerat e këndeve të mbetura -21π/20=-189° dhe 2,4π=432°.

Video mësimi "Funksionet trigonometrike të argumentit këndor" rekomandohet të përdoret në mësimet tradicionale të matematikës për të rritur efektivitetin e të mësuarit. Materiali do të ndihmojë në sigurimin e vizualizimit të të mësuarit gjatë mësimit në distancë për këtë temë. Një shpjegim i hollësishëm, i kuptueshëm i temës, zgjidhja e problemeve mbi të mund ta ndihmojë studentin të zotërojë vetë materialin.

INTERPRETIMI I TEKSTIT:

"Funksionet trigonometrike të argumentit këndor".

Ne tashmë e dimë nga gjeometria se sinusi (kosinusi) i një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i këmbës me hipotenuzën, dhe tangjentja (kotangjentja) është raporti i këmbëve. Dhe në algjebër, ne e quajmë abshisën e një pike në rrethin njësi kosinus dhe ordinatën e kësaj pike sinus. Ne do të sigurohemi që e gjithë kjo të jetë e ndërlidhur ngushtë.

Le të vendosim një kënd me masë shkallë α° (gradë alfa), siç tregohet në figurën 1: kulmi i këndit është i pajtueshëm me qendrën e rrethit të njësisë (me origjinën e sistemit të koordinatave) dhe njërën anë të këndi është i pajtueshëm me rrezen pozitive të boshtit x. Ana e dytë e këndit pret rrethin në pikën O. Ordinata e pikës O është sinusi i këndit alfa dhe abshisa e kësaj pike është kosinusi i alfa.

Vini re se harku AO është e njëjta pjesë e gjatësisë së rrethit njësi me këndin alfa nga këndi treqind e gjashtëdhjetë gradë. Le të shënojmë gjatësinë e harkut AO përmes t(te), atëherë do të krijojmë proporcionin =

(alfa i referohet amaneteve prej gjashtëdhjetë si te në dy pi). Nga këtu gjejmë te: t = = (te është e barabartë me pi alfa pjesëtuar me njëqind e tetëdhjetë).

Kështu, për të gjetur sinusin ose kosinusin e shkallëve alfa të këndit, mund të përdorni formulën:

sin α ° \u003d sint \u003d sin (sinusi i shkallëve alfa është i barabartë me sinusin e te dhe është i barabartë me sinusin e pi alfa private me njëqind e tetëdhjetë),

cosα° \u003d kosto \u003d cos (kosinusi i shkallëve alfa është i barabartë me kosinusin e te dhe është i barabartë me kosinusin e pi alfa private me njëqind e tetëdhjetë).

Për shembull, sin 60 ° \u003d sin \u003d sin \u003d (sinusi prej gjashtëdhjetë gradë është i barabartë me sinusin e pi me tre, sipas tabelës së vlerave themelore të sinuseve, është i barabartë me rrënjën nga tre nga dy).

Besohet se 60 ° është një masë shkallë e një këndi, dhe (pi me tre) është një masë radiane e të njëjtit kënd, domethënë 60 ° = i gëzuar(gjashtëdhjetë gradë është e barabartë me pi shumëfish tre radianë). Për shkurtësi, ne kemi rënë dakord për shënimin i gëzuar hiq, domethënë lejohet shënimi i mëposhtëm: 60°= (shfaq shkurtesat radian masë = rad.)

Një kënd prej një gradë është këndi qendror, i cili bazohet në një hark që është (një e treqind e gjashtëdhjetë) pjesë e harkut. Një kënd prej një radiani është një kënd qendror që mbështetet në një hark me gjatësi një, domethënë në një hark gjatësia e të cilit është e barabartë me rrezen e një rrethi (ne konsiderojmë që këndet qendrore të një rrethi njësi të tregojnë një kënd në pi radianët në një rreth).

Le të kujtojmë formulën e rëndësishme për shndërrimin e masës së shkallës në një radian:

α° = i gëzuar. (alfa është e barabartë me pi alfa e ndarë me njëqind e tetëdhjetë radianë) Në veçanti, 1° = i gëzuar(një shkallë është e barabartë me pi e ndarë me njëqind e tetëdhjetë radianë).

Nga kjo mund të gjejmë se një radian është i barabartë me raportin e njëqind e tetëdhjetë gradë me pi dhe është afërsisht i barabartë me pesëdhjetë e shtatë pikë tre të dhjetat e një shkalle: 1 i gëzuar= ≈ 57,3°.

Nga sa më sipër: kur flasim për ndonjë funksion trigonometrik, për shembull, për funksionin s \u003d sint (es është i barabartë me sinus te), ndryshorja e pavarur t (te) mund të konsiderohet si një argument numerik ashtu edhe një argument këndor.

Konsideroni shembuj.

SHEMBULL 1. Shndërroni nga gradë në radiane: a) 135°; b) 905°.

Zgjidhje. Le të përdorim formulën për konvertimin e shkallëve në radiane:

a) 135° = 1° ∙ 135 = i gëzuar ∙ 135 = i gëzuar

(njëqind e tridhjetë e pesë gradë është e barabartë me pi herë njëqind e tetëdhjetë radianë në njëqind e tridhjetë e pesë, dhe pas zvogëlimit është tre pi herë katër radian)

b) Në mënyrë të ngjashme, duke përdorur formulën për shndërrimin e masës së shkallës në radian, marrim

905° = i gëzuar ∙ 905 = i gëzuar.

(nëntëqind e pesë gradë është e barabartë me njëqind e tetëdhjetë e një pi në tridhjetë e gjashtë radianë).

SHEMBULL 2. Shprehni në shkallë: a) ; b) -; c) 2.4π

(pi herë dymbëdhjetë; minus njëzet e një pi herë njëzet; dy pikë katër të dhjetat e një pi).

Zgjidhje. a) Shprehuni në gradë pi me dymbëdhjetë, përdorni formulën për përkthimin e masës radian të këndit në masën e shkallës në 1 i gëzuar=, marrim

i gëzuar = 1 i gëzuar∙ = ∙ = 15°

Në mënyrë të ngjashme b) - = 1 i gëzuar∙ (-) \u003d ∙ (-) \u003d - 189 ° (minus njëzet e një pi me njëzet është i barabartë me minus njëqind e tetëdhjetë e nëntë gradë),

c) 2.4π = 1 i gëzuar∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432° (dy pika katër e pi janë të barabarta me katërqind e tridhjetë e dy gradë).

Funksionet trigonometrike të një argumenti numerik ne analizuam. Ne morëm pikën A në rreth dhe kërkuam sinuset dhe kosinuset nga këndi rezultues β.

Pikën e shënuam si A, por në algjebër shpesh shënohet si t dhe me të jepen të gjitha formula/funksionet. Ne gjithashtu nuk do të devijojmë nga kanunet. Ato. t - do të jetë një numër i caktuar, dhe për këtë arsye funksioni numerik(p.sh. sint)

Është logjike që meqenëse kemi një rreth me një rreze prej një, atëherë

Funksionet trigonometrike të argumentit këndor ne gjithashtu e analizuam me sukses - sipas kanoneve, ne do të shkruajmë për funksione të tilla: sin α °, që do të thotë me α ° çdo kënd me numrin e shkallëve që na duhen.

Rrezja e këtij këndi do të na japë pikën e dytë në rreth (OA - pika A) dhe pikat përkatëse C dhe B për funksionin e argumentit numerik, nëse na nevojitet: sin t = mëkat α°

Vijat e sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe kotangjenteve

Mos e harro kurrë atë boshti y është vija e sinusit, boshti x është vija e kosinusit! Në këto boshte shënohen pikat e marra nga rrethi.

POR drejtëzat e tangjentave dhe kotangjentave janë paralele me to dhe kalojnë nëpër pikat (1; 0) dhe (0; 1) përkatësisht.

Cfaredo numër real t mund të merret, mund t'i caktohet një numër i përcaktuar në mënyrë unike sin t. Vërtetë, rregulli i korrespondencës është mjaft i ndërlikuar; siç e pamë më lart, ai konsiston në vijim.

Për të gjetur vlerën e sin t me numrin t, ju duhet:

1) poziciononi rrethin numerik në rrafshin koordinativ në mënyrë që qendra e rrethit të përkojë me origjinën, dhe pika fillestare A e rrethit të godasë pikën (1; 0);

2) gjeni një pikë në rreth që korrespondon me numrin t;

3) gjeni ordinatën e kësaj pike.

Kjo ordinate eshte mekat t.

Në fakt po flasim për funksionin u = sin t, ku t është çdo numër real.

Të gjitha këto funksione thirren funksionet trigonometrike të argumentit numerik t.

Ekzistojnë një numër marrëdhëniesh që lidhin vlerat e funksioneve të ndryshme trigonometrike, ne kemi marrë tashmë disa nga këto marrëdhënie:

sin 2 t + cos 2 t = 1

Nga dy formulat e fundit, është e lehtë të merret një lidhje që lidh tg t dhe ctg t:

Të gjitha këto formula përdoren në rastet kur, duke ditur vlerën e një funksioni trigonometrik, kërkohet të llogariten vlerat e funksioneve të mbetura trigonometrike.

Termat "sinus", "kosinus", "tangent" dhe "kotangjent" ishin në të vërtetë të njohur, megjithatë, ato ende përdoreshin në një interpretim paksa të ndryshëm: në gjeometri dhe fizikë, ata konsideronin sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën. g l a(por jo

numrat, siç ishte në paragrafët e mëparshëm).

Nga gjeometria dihet se sinusi (kosinusi) i një këndi akut është raporti i këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë me hipotenuzën e tij, dhe tangjentja (kotangjentja) e një këndi është raporti i këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë. Një qasje e ndryshme ndaj koncepteve të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës u zhvillua në paragrafët e mëparshëm. Në fakt, këto qasje janë të ndërlidhura.

Le të marrim një kënd me masën e shkallës b o dhe ta rregullojmë atë në modelin "rrethi numerik në një sistem koordinativ drejtkëndor" siç tregohet në Fig. katërmbëdhjetë

maja e këndit e përputhshme me qendrën

rrathët (me origjinën e sistemit të koordinatave),

dhe njëra anë e këndit është e përputhshme me

rreze pozitive e boshtit x. Pika

kryqëzimi i anës tjetër të këndit me

rrethi do të shënohet me shkronjën M. Ordina-

Figura 14 b o, dhe abshisa e kësaj pike është kosinusi i këndit b o.

Për të gjetur sinusin ose kosinusin e këndit b o nuk është aspak e nevojshme të bëhen çdo herë këto ndërtime shumë komplekse.

Mjafton të theksohet se harku AM është e njëjta pjesë e gjatësisë së rrethit numerik si këndi b o nga këndi 360°. Nëse gjatësia e harkut AM shënohet me shkronjën t, atëherë marrim:

Në këtë mënyrë,

Për shembull,

Besohet se 30 ° është një masë shkallë e një këndi, dhe është një masë radiane e të njëjtit kënd: 30 ° = rad. Në përgjithësi:

Në veçanti, më vjen mirë nga ku, nga ana tjetër, marrim.

Pra, çfarë është 1 radian? Ekzistojnë masa të ndryshme të gjatësisë së segmentit: centimetra, metra, jarde, etj. Ekzistojnë gjithashtu masa të ndryshme për të treguar madhësinë e këndeve. Ne konsiderojmë këndet qendrore të rrethit njësi. Një kënd prej 1° është një kënd qendror i bazuar në një hark që është pjesë e një rrethi. Një kënd prej 1 radian është një kënd qendror i bazuar në një hark me gjatësi 1, d.m.th. në një hark gjatësia e të cilit është e barabartë me rrezen e rrethit. Nga formula, marrim atë 1 rad \u003d 57.3 °.

Duke marrë parasysh funksionin u = sin t (ose ndonjë funksion tjetër trigonometrik), ne mund ta konsiderojmë variablin e pavarur t si një argument numerik, siç ishte rasti në paragrafët e mëparshëm, por mund ta konsiderojmë këtë ndryshore edhe si masë të këndit, dmth. argument këndor. Prandaj, duke folur për një funksion trigonometrik, në një farë kuptimi është indiferente ta konsiderojmë atë si funksion të një argumenti numerik ose këndor.

Mësim dhe prezantim me temën: "Funksioni trigonometrik i argumentit këndor, masa e shkallës së këndit dhe radianeve"

Materiale shtesë
Të nderuar përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, sugjerimet tuaja. Të gjitha materialet kontrollohen nga një program antivirus.

Manuale dhe simulatorë në dyqanin online "Integral" për klasën 10 nga 1C
Ne zgjidhim probleme në gjeometri. Detyrat ndërvepruese të ndërtimit
Ne zgjidhim probleme në gjeometri. Detyra ndërvepruese për ndërtimin në hapësirë

Çfarë do të studiojmë:
1. Le të kujtojmë gjeometrinë.
2. Përkufizimi i argumentit këndor.
3. Masa e shkallës së një këndi.
4. Masa radiane e një këndi.
5. Çfarë është një radian?
6. Shembuj dhe detyra për zgjidhje të pavarur.

Përsëritja e gjeometrisë

Djema, në funksionet tona:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

Ndryshorja t mund të marrë jo vetëm vlera numerike, domethënë të jetë një argument numerik, por mund të konsiderohet edhe si masë e një këndi - një argument këndor.

Le të kujtojmë gjeometrinë!
Si e përkufizuam atje sinusin, kosinusin, tangjentën, kotangjentin?

Sinusi i një këndi është raporti i këmbës së kundërt me hipotenuzën

Kosinusi i një këndi - raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën

Tangjenti i një këndi është raporti i këmbës së kundërt me atë ngjitur.

Kotangjentja e një këndi është raporti i këmbës ngjitur me atë të kundërt.

Përkufizimi i funksionit trigonometrik të argumentit këndor

Le të përcaktojmë funksionet trigonometrike si funksione të një argumenti këndi në një rreth numerik:
Me ndihmën e një rrethi numerik dhe një sistemi koordinativ, ne gjithmonë mund të gjejmë lehtësisht sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën e një këndi:

Ne vendosim majën e këndit tonë α në qendër të rrethit, d.m.th. në qendër të boshtit të koordinatave dhe vendosni njërën nga anët në mënyrë që të përputhet me drejtimin pozitiv të boshtit x (OA)
Pastaj ana e dytë pret rrethin numerik në pikën M.

Ordinoni pika M: sinusi i këndit α
Abshisa pika M: kosinus i këndit α

Vini re se gjatësia e harkut AM është e njëjta pjesë e rrethit të njësisë si këndi ynë α nga 360 gradë: ku t është gjatësia e harkut AM.

Masa e shkallës së një këndi

1) Djema, kemi marrë një formulë për përcaktimin e masës së shkallës së një këndi përmes gjatësisë së një harku të një rrethi numerik, le ta shohim më nga afër:

Më pas i shkruajmë funksionet trigonometrike në formën:

Për shembull:

Masa radiane e këndeve

Kur llogaritni shkallën ose masën radian të një këndi, mbani mend! :
Për shembull:

Meqe ra fjala! Emërtimi rad. mund të biesh!

Çfarë është një radian?

Të dashur miq, ne kemi hasur në një koncept të ri - Radiani. Pra, çfarë është ajo?

Ka matje të ndryshme të gjatësisë, kohës, peshës, për shembull: metër, kilometër, sekondë, orë, gram, kilogram e të tjera. Pra, Radiani është një nga masat e këndit. Vlen të merren parasysh këndet qendrore, domethënë të vendosura në qendër të rrethit numerik.
Një kënd prej 1 shkallë është një kënd qendror i bazuar në një hark të barabartë me 1/360 të perimetrit.

Një kënd prej 1 radian është një kënd qendror i bazuar në një hark të barabartë me 1 në një rreth njësi, dhe në një rreth arbitrar në një hark të barabartë me rrezen e rrethit.

Shembuj: