VLERAT E RASTËSISHME

Shembulli 2.1. Vlera e rastësishme X dhënë nga funksioni i shpërndarjes

Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X do të marrë vlera ndërmjet (2.5; 3.6).

Zgjidhja: X në intervalin (2.5; 3.6) mund të përcaktohet në dy mënyra:

Shembulli 2.2. Në cilat vlera të parametrave POR dhe AT funksionin F(x) = A + Be - x mund të jetë një funksion shpërndarjeje për vlerat jo negative të një ndryshoreje të rastësishme X.

Zgjidhja: Meqenëse të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme X i përkasin intervalit , atëherë në mënyrë që funksioni të jetë një funksion shpërndarjeje për X, prona duhet të mbajë:

.

Përgjigje: .

Shembulli 2.3. Ndryshorja e rastësishme X jepet nga funksioni i shpërndarjes

Gjeni probabilitetin që, si rezultat i katër provave të pavarura, vlera X saktësisht 3 herë do të marrë një vlerë që i përket intervalit (0.25; 0.75).

Zgjidhja: Probabiliteti për të goditur një vlerë X në intervalin (0.25; 0.75) gjejmë me formulën:

Shembulli 2.4. Probabiliteti që topi të godasë koshin në një gjuajtje është 0.3. Hartoni ligjin e shpërndarjes së numrit të goditjeve në tre gjuajtje.

Zgjidhja: Vlera e rastësishme X- numri i goditjeve në kosh me tre gjuajtje - mund të marrë vlerat: 0, 1, 2, 3. Probabilitetet që X

X:

Shembulli 2.5. Dy gjuajtës bëjnë një gjuajtje në objektiv. Probabiliteti për ta goditur atë nga gjuajtësi i parë është 0.5, i dyti - 0.4. Shkruani ligjin e shpërndarjes së numrit të goditjeve në objektiv.

Zgjidhja: Gjeni ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete X- numri i goditjeve në objektiv. Le të jetë ngjarja një goditje në objektiv nga gjuajtësi i parë, dhe - goditur nga gjuajtësi i dytë, dhe - respektivisht, gabimet e tyre.

Le të hartojmë ligjin e shpërndarjes së probabilitetit të SV X:

Shembulli 2.6. 3 elementë janë testuar, duke punuar të pavarur nga njëri-tjetri. Kohëzgjatja e kohës (në orë) koha e funksionimit Elementet kanë funksione të densitetit të shpërndarjes: për të parën: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, për të dytën: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, për të tretën: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Gjeni probabilitetin që në intervalin kohor nga 0 në 5 orë: vetëm një element do të dështojë; vetëm dy elementë do të dështojnë; të tre elementët dështojnë.

Zgjidhja: Le të përdorim përkufizimin e funksionit gjenerues të probabiliteteve:

Probabiliteti që në gjykimet e pavarura, në të parën nga të cilat probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje POR barazohet me , në të dytën, etj., ngjarjen POR shfaqet saktësisht një herë, është i barabartë me koeficientin në në zgjerimin e funksionit gjenerues në fuqitë e . Le të gjejmë probabilitetet e dështimit dhe mosdështimit, përkatësisht, të elementit të parë, të dytë dhe të tretë në intervalin kohor nga 0 në 5 orë:

Le të krijojmë një funksion gjenerues:

Koeficienti në është i barabartë me probabilitetin që ngjarja POR do të shfaqet saktësisht tre herë, domethënë probabiliteti i dështimit të të tre elementëve; koeficienti në është i barabartë me probabilitetin që saktësisht dy elementë të dështojnë; koeficienti në është i barabartë me probabilitetin që vetëm një element të dështojë.

Shembulli 2.7. Duke pasur parasysh një densitet probabiliteti f(x) ndryshore e rastësishme X:

Gjeni funksionin e shpërndarjes F(x).

Zgjidhja: Ne përdorim formulën:

.

Kështu, funksioni i shpërndarjes ka formën:

Shembulli 2.8. Pajisja përbëhet nga tre elementë që funksionojnë në mënyrë të pavarur. Probabiliteti i dështimit të secilit element në një eksperiment është 0.1. Përpiloni ligjin e shpërndarjes së numrit të elementeve të dështuar në një eksperiment.

Zgjidhja: Vlera e rastësishme X- numri i elementeve që dështuan në një eksperiment - mund të marrë vlerat: 0, 1, 2, 3. Probabilitetet që X merr këto vlera, gjejmë me formulën e Bernoulli:

Kështu, marrim ligjin e mëposhtëm të shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme X:

Shembulli 2.9. Ka 4 pjesë standarde në shumë nga 6 pjesë. 3 artikuj u zgjodhën në mënyrë të rastësishme. Hartoni ligjin e shpërndarjes së numrit të pjesëve standarde midis atyre të zgjedhura.

Zgjidhja: Vlera e rastësishme X- numri i pjesëve standarde midis atyre të zgjedhura - mund të marrë vlerat: 1, 2, 3 dhe ka një shpërndarje hipergjeometrike. Probabilitetet që X

ku -- numri i pjesëve në lot;

-- numri i pjesëve standarde në lot;

– numri i pjesëve të zgjedhura;

-- numri i pjesëve standarde midis atyre të përzgjedhura.

.

.

.

Shembulli 2.10. Ndryshorja e rastësishme ka një densitet të shpërndarjes

ku dhe nuk njihen, por , a dhe . Gjeni dhe.

Zgjidhja: Në këtë rast vlerë e rastësishme X ka një shpërndarje trekëndore (shpërndarja Simpson) në intervalin [ a, b]. Karakteristikat numerike X:

Rrjedhimisht, . Duke vendosur këtë sistem, marrim dy çifte vlerash: . Meqenëse, sipas gjendjes së problemit, më në fund kemi: .

Përgjigje: .

Shembulli 2.11. Mesatarisht, për 10% të kontratave, shoqëria e sigurimit paguan shumat e siguruara në lidhje me ndodhjen e një ngjarje të siguruar. Llogaritni vlera e pritur dhe variancën në numrin e kontratave të tilla ndërmjet katër kontratave të zgjedhura rastësisht.

Zgjidhja: Pritshmëria dhe varianca matematikore mund të gjenden duke përdorur formulat:

.

Vlerat e mundshme të SV (numri i kontratave (nga katër) me ndodhjen e një ngjarje të siguruar): 0, 1, 2, 3, 4.

Ne përdorim formulën Bernoulli për të llogaritur probabilitetet e një numri të ndryshëm kontratash (nga katër) për të cilat janë paguar shumat e siguruara:

.

Seria e shpërndarjes së CV-së (numri i kontratave me ndodhjen e një ngjarje të siguruar) ka formën:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Përgjigje: ,.

Shembulli 2.12. Nga pesë trëndafila, dy janë të bardhë. Shkruani një ligj të shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme që shpreh numrin e trëndafilave të bardhë midis dy të marra në të njëjtën kohë.

Zgjidhja: Në një mostër me dy trëndafila, ose mund të mos ketë trëndafil të bardhë, ose mund të ketë një ose dy trëndafila të bardhë. Prandaj, ndryshorja e rastësishme X mund të marrë vlerat: 0, 1, 2. Probabilitetet që X merr këto vlera, gjejmë me formulën:

ku -- numri i trëndafilave;

-- numri i trëndafilave të bardhë;

– numri i trëndafilave të marra njëkohësisht;

-- numri i trëndafilave të bardhë midis atyre që janë marrë.

.

.

.

Atëherë ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme do të jetë si më poshtë:

Shembulli 2.13. Ndër 15 njësitë e montuara, 6 kanë nevojë për lubrifikim shtesë. Hartoni ligjin e shpërndarjes së numrit të njësive që kanë nevojë për lubrifikimin shtesë, midis pesë të zgjedhurve rastësisht nga numri i përgjithshëm.

Zgjidhja: Vlera e rastësishme X- numri i njësive që kanë nevojë për lubrifikim shtesë midis pesë të përzgjedhurve - mund të marrë vlerat: 0, 1, 2, 3, 4, 5 dhe ka një shpërndarje hipergjeometrike. Probabilitetet që X merr këto vlera, gjejmë me formulën:

ku -- numri i njësive të montuara;

-- numri i njësive që kërkojnë lubrifikim shtesë;

– numri i agregatëve të përzgjedhur;

-- numri i njësive që kanë nevojë për lubrifikim shtesë midis atyre të zgjedhura.

.

.

.

.

.

.

Atëherë ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme do të jetë si më poshtë:

Shembulli 2.14. Nga 10 orët e marra për riparim, 7 kanë nevojë për pastrim të përgjithshëm të mekanizmit. Orët nuk janë të renditura sipas llojit të riparimit. Mjeshtri, duke dashur të gjejë një orë që ka nevojë për pastrim, i shqyrton ato një nga një dhe, pasi ka gjetur një orë të tillë, ndalon shikimin e mëtejshëm. Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e numrit të orëve të shikuara.

Zgjidhja: Vlera e rastësishme X- numri i njësive që kanë nevojë për lubrifikim shtesë midis pesë të përzgjedhurve - mund të marrë këto vlera: 1, 2, 3, 4. Probabilitetet që X merr këto vlera, gjejmë me formulën:

.

.

.

.

Atëherë ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme do të jetë si më poshtë:

Tani le të llogarisim karakteristikat numerike vlerat:

Përgjigje: ,.

Shembulli 2.15. Abonenti ka harruar shifrën e fundit të numrit të telefonit që i nevojitet, por kujton se është tek. Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e numrit të thirrjeve që ai bëri përpara se të godiste numrin e dëshiruar, nëse ai e thërret shifrën e fundit në mënyrë të rastësishme dhe nuk e thërret shifrën e thirrur në të ardhmen.

Zgjidhja: Variabla e rastësishme mund të marrë vlerat: . Meqenëse pajtimtari nuk e thërret shifrën e thirrur në të ardhmen, probabilitetet e këtyre vlerave janë të barabarta.

Le të hartojmë një seri shpërndarjeje të një ndryshoreje të rastësishme:

	0,2

Le të llogarisim pritshmërinë matematikore dhe variancën e numrit të përpjekjeve të telefonimit:

Përgjigje: ,.

Shembulli 2.16. Probabiliteti i dështimit gjatë testeve të besueshmërisë për secilën pajisje të serisë është i barabartë me fq. Përcaktoni pritshmërinë matematikore të numrit të pajisjeve që dështuan, nëse testohen N aparate.

Zgjidhja: Ndryshorja diskrete e rastësishme X është numri i pajisjeve të dështuara brenda N teste të pavarura, në secilën prej të cilave probabiliteti i dështimit është i barabartë me p, shpërndahet sipas ligjit binomial. Pritja matematikore e shpërndarjes binomiale është e barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabilitetit që një ngjarje të ndodhë në një provë:

Shembulli 2.17. Ndryshore diskrete e rastësishme X merr 3 vlera të mundshme: me probabilitet ; me probabilitet dhe me probabilitet . Gjeni dhe duke ditur se M( X) = 8.

Zgjidhja: Ne përdorim përkufizimet e pritshmërisë matematikore dhe ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete:

Ne gjejme: .

Shembulli 2.18. Departamenti i kontrollit teknik kontrollon produktet për standarditet. Probabiliteti që artikulli të jetë standard është 0.9. Çdo grup përmban 5 artikuj. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X- numri i grupeve, secila prej të cilave përmban saktësisht 4 produkte standarde, nëse 50 tufa janë subjekt i verifikimit.

Zgjidhja: Në këtë rast, të gjitha eksperimentet e kryera janë të pavarura, dhe probabilitetet që çdo grup të përmbajë saktësisht 4 produkte standarde janë të njëjta, prandaj, pritshmëria matematikore mund të përcaktohet me formulën:

,

ku është numri i partive;

Probabiliteti që një grup të përmbajë saktësisht 4 artikuj standardë.

Ne gjejmë probabilitetin duke përdorur formulën e Bernoulli:

Përgjigje: .

Shembulli 2.19. Gjeni variancën e një ndryshoreje të rastësishme X– numri i dukurive të ngjarjes A në dy gjykime të pavarura, nëse gjasat e ndodhjes së një ngjarjeje në këto gjykime janë të njëjta dhe dihet se M(X) = 0,9.

Zgjidhja: Problemi mund të zgjidhet në dy mënyra.

1) Vlerat e mundshme CB X: 0, 1, 2. Duke përdorur formulën Bernoulli, ne përcaktojmë probabilitetet e këtyre ngjarjeve:

, , .

Pastaj ligji i shpërndarjes X duket si:

Nga përkufizimi i pritjes matematikore, ne përcaktojmë probabilitetin:

Le të gjejmë variancën e SW X:

.

2) Ju mund të përdorni formulën:

.

Përgjigje: .

Shembulli 2.20. Pritshmëria matematikore dhe devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht X janë përkatësisht 20 dhe 5. Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X do të marrë vlerën që përmban intervali (15; 25).

Zgjidhja: Probabiliteti për të goditur një ndryshore normale të rastësishme X në seksionin nga në shprehet në terma të funksionit Laplace:

Shembulli 2.21. Jepet një funksion:

Në cilën vlerë të parametrit C ky funksion është dendësia e shpërndarjes së disa ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme X? Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e një ndryshoreje të rastësishme X.

Zgjidhja: Në mënyrë që një funksion të jetë densiteti i shpërndarjes së disa ndryshoreve të rastësishme, ai duhet të jetë jo negativ dhe duhet të plotësojë vetinë:

.

Rrjedhimisht:

Llogaritni pritshmërinë matematikore duke përdorur formulën:

.

Llogaritni variancën duke përdorur formulën:

T është fq. Është e nevojshme të gjendet pritshmëria dhe varianca matematikore e kësaj ndryshoreje të rastësishme.

Zgjidhja: Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X - numri i shfaqjeve të një ngjarjeje në prova të pavarura, në secilën prej të cilave probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje është , quhet binom. Pritja matematikore e shpërndarjes binomiale është e barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabilitetit të ndodhjes së ngjarjes A në një provë:

.

Shembulli 2.25. Tre të shtëna të pavarura janë qëlluar në objektiv. Probabiliteti për të goditur çdo goditje është 0.25. Përcaktoni devijimin standard të numrit të goditjeve me tre goditje.

Zgjidhja: Meqenëse kryhen tre prova të pavarura dhe probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A (goditja) në çdo provë është i njëjtë, do të supozojmë se ndryshorja diskrete e rastësishme X - numri i goditjeve në objektiv - shpërndahet sipas binomit. ligji.

Varianca e shpërndarjes binomiale është e barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabiliteteve të ndodhjes dhe mosndodhjes së një ngjarjeje në një provë:

Shembulli 2.26. Numri mesatar i klientëve që vizitojnë kompaninë e sigurimeve në 10 minuta është tre. Gjeni probabilitetin që të paktën një klient të arrijë në 5 minutat e ardhshme.

Numri mesatar i klientëve që mbërrijnë në 5 minuta: . .

Shembulli 2.29. Koha e pritjes për një aplikacion në radhën e procesorit i bindet një ligji të shpërndarjes eksponenciale me një vlerë mesatare prej 20 sekondash. Gjeni probabilitetin që kërkesa tjetër (arbitrare) të presë procesorin për më shumë se 35 sekonda.

Zgjidhja: Në këtë shembull, pritshmëria , dhe shkalla e dështimit është .

Atëherë probabiliteti i dëshiruar është:

Shembulli 2.30. Një grup prej 15 studentësh zhvillon një takim në një sallë me 20 rreshta me nga 10 vende secila. Çdo student zë një vend në sallë në mënyrë të rastësishme. Sa është probabiliteti që jo më shumë se tre persona të jenë në vendin e shtatë në radhë?

Zgjidhja:

Shembulli 2.31.

Pastaj sipas përkufizimit klasik të probabilitetit:

ku -- numri i pjesëve në lot;

-- numri i pjesëve jo standarde në lot;

– numri i pjesëve të zgjedhura;

-- numri i pjesëve jo standarde midis të përzgjedhurve.

Atëherë ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme do të jetë si më poshtë.

Siç dihet, ndryshore e rastësishme quhet variabël që mund të marrë vlera të caktuara në varësi të rastit. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin (X, Y, Z), dhe vlerat e tyre - me shkronjat përkatëse të vogla (x, y, z). Variablat e rastësishëm ndahen në të ndërprerë (diskrete) dhe të vazhdueshme.

Ndryshore diskrete e rastësishme quhet një ndryshore e rastësishme që merr vetëm një grup vlerash të fundme ose të pafundme (të numërueshme) me probabilitete të caktuara jo zero.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është një funksion që lidh vlerat e një ndryshoreje të rastësishme me probabilitetet e tyre përkatëse. Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet në një nga mënyrat e mëposhtme.

1 . Ligji i shpërndarjes mund të jepet nga tabela:

ku λ>0, k = 0, 1, 2, … .

në) duke përdorur funksioni i shpërndarjes F(x) , e cila përcakton për secilën vlerë x probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël se x, d.m.th. F(x) = P(X< x).

Vetitë e funksionit F(x)

3 . Ligji i shpërndarjes mund të vendoset grafikisht – poligonin e shpërndarjes (poligonin) (shih problemin 3).

Vini re se për të zgjidhur disa probleme, nuk është e nevojshme të njihni ligjin e shpërndarjes. Në disa raste, mjafton të njohësh një ose më shumë numra që pasqyrojnë tiparet më të rëndësishme të ligjit të shpërndarjes. Mund të jetë një numër që ka kuptimin e "vlerës mesatare" të një ndryshoreje të rastësishme, ose një numër që tregon madhësinë mesatare të devijimit të një ndryshoreje të rastësishme nga vlera mesatare e saj. Numrat e këtij lloji quhen karakteristika numerike të një ndryshoreje të rastit.

Karakteristikat themelore numerike të një ndryshoreje të rastësishme diskrete :

• Pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e një ndryshoreje të rastësishme diskrete M(X)=Σ x i p i.
  Për shpërndarjen binomiale M(X)=np, për shpërndarjen Poisson M(X)=λ
• Dispersion ndryshore diskrete e rastësishme D(X)=M2 ose D(X) = M(X 2) - 2. Diferenca X–M(X) quhet devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore.
  Për shpërndarjen binomiale D(X)=npq, për shpërndarjen Poisson D(X)=λ
• Devijimi standard (devijimi standard) σ(X)=√D(X).

Shembuj të zgjidhjes së problemeve me temën "Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastit"

Detyra 1.

Janë lëshuar 1000 bileta lotarie: 5 prej tyre do të fitojnë 500 rubla, 10 do të fitojnë 100 rubla, 20 do të fitojnë 50 rubla dhe 50 do të fitojnë 10 rubla. Përcaktoni ligjin e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastësishme X - fitimet për biletë.

Zgjidhje. Sipas gjendjes së problemit, vlerat e mëposhtme të ndryshores së rastësishme X janë të mundshme: 0, 10, 50, 100 dhe 500.

Numri i biletave pa fituar është 1000 - (5+10+20+50) = 915, pastaj P(X=0) = 915/1000 = 0.915.

Në mënyrë të ngjashme, gjejmë të gjitha probabilitetet e tjera: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Ne e paraqesim ligjin që rezulton në formën e një tabele:

Gjeni pritshmërinë matematikore të X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Detyra 3.

Pajisja përbëhet nga tre elementë që funksionojnë në mënyrë të pavarur. Probabiliteti i dështimit të secilit element në një eksperiment është 0.1. Hartoni një ligj të shpërndarjes për numrin e elementeve të dështuar në një eksperiment, ndërtoni një poligon të shpërndarjes. Gjeni funksionin e shpërndarjes F(x) dhe vizatoni atë. Gjeni pritshmërinë matematikore, variancën dhe devijimin standard të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Zgjidhje. 1. Ndryshorja diskrete e rastësishme X=(numri i elementeve të dështuar në një eksperiment) ka këto vlera të mundshme: x 1 =0 (asnjë nga elementët e pajisjes dështoi), x 2 =1 (një element dështoi), x 3 =2 ( dy elementë dështuan ) dhe x 4 \u003d 3 (tre elementë dështuan).

Dështimet e elementeve janë të pavarura nga njëra-tjetra, probabilitetet e dështimit të secilit element janë të barabarta me njëri-tjetrin, prandaj është e zbatueshme formula e Bernulit . Duke pasur parasysh se, me kusht, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, përcaktojmë probabilitetet e vlerave:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Kontrollo: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Kështu, ligji i dëshiruar i shpërndarjes binomiale X ka formën:

Në boshtin e abshisës, ne paraqesim vlerat e mundshme x i, dhe në boshtin e ordinatave, probabilitetet përkatëse р i. Le të ndërtojmë pikat M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Duke i lidhur këto pika me segmente vijash, marrim poligonin e dëshiruar të shpërndarjes.

3. Gjeni funksionin e shpërndarjes F(x) = P(X

Për x ≤ 0 kemi F(x) = P(X<0) = 0;
për 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
per 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
për 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
për x > 3 do të jetë F(x) = 1, sepse ngjarja është e sigurt.

Grafiku i funksionit F(x)

4. Për shpërndarjen binomiale X:
- pritshmëria matematikore М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- dispersion D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- devijimi standard σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

Ushtrimi 1. Dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X ka formën:
Gjej:
a) parametri A ;
b) funksioni i shpërndarjes F(x) ;
c) probabilitetin për të goditur një ndryshore të rastësishme X në intervalin ;
d) pritshmëria matematikore MX dhe varianca DX .
Paraqitni funksionet f(x) dhe F(x) .

Detyra 2. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme X të dhënë nga funksioni integral.

Detyra 3. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X të dhënë një funksion shpërndarjeje.

Detyra 4. Dendësia e probabilitetit të disa ndryshoreve të rastësishme jepet si më poshtë: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Gjeni koeficientin A , funksionin e shpërndarjes F(x), pritshmërinë matematikore dhe variancën, si dhe probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë në intervalin . Paraqitni grafikët f(x) dhe F(x).

Një detyrë. Funksioni i shpërndarjes së disa ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme jepet si më poshtë:

Përcaktoni parametrat a dhe b, gjeni shprehjen për densitetin e probabilitetit f(x) , pritjen dhe variancën matematikore, si dhe probabilitetin që ndryshorja e rastësishme të marrë një vlerë në intervalin . Paraqitni grafikët f(x) dhe F(x).

Le të gjejmë funksionin e densitetit të shpërndarjes si një derivat i funksionit të shpërndarjes.
F′=f(x)=a
Duke ditur që do të gjejmë parametrin a:

ose 3a=1, prej nga a = 1/3
Parametrin b e gjejmë nga vetitë e mëposhtme:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 prej nga b = -1/3
Prandaj, funksioni i shpërndarjes është: F(x) = (x-1)/3

Vlera e pritshme.


Dispersion.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Gjeni probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë në interval
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Shembulli #1. Është dhënë dendësia e shpërndarjes së probabilitetit f(x) e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X. Kërkohet:

1. Përcaktoni koeficientin A.
2. gjeni funksionin e shpërndarjes F(x) .
3. grafikoni skematikisht F(x) dhe f(x) .
4. gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e X-it.
5. gjeni probabilitetin që X të marrë një vlerë nga intervali (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Zgjidhje:

Ndryshorja e rastësishme X jepet nga dendësia e shpërndarjes f(x):

Gjeni parametrin A nga kushti:



ose
14/3*A-1=0
Ku,
A = 3/14

Funksioni i shpërndarjes mund të gjendet me formulën.

………………………………………………………

An - një ndryshore e rastësishme X ka marrë vlerën e An.

Natyrisht, shuma e ngjarjeve A1 A2, . , An është një ngjarje e caktuar, pasi ndryshorja e rastësishme merr domosdoshmërisht të paktën një nga vlerat x1, x2, xn.

Prandaj, P (A1 È A2 È . È An) = 1.

Për më tepër, ngjarjet A1, A2, ., An janë të papajtueshme, pasi një ndryshore e rastësishme në një eksperiment të vetëm mund të marrë vetëm një nga vlerat x1, x2, ., xn. Nga teorema e mbledhjes për ngjarje të papajtueshme, marrim

P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,

dmth p1+p2+. +pn = 1, ose, me pak fjalë,

Prandaj, shuma e të gjithë numrave të vendosur në rreshtin e dytë të tabelës 1, e cila jep ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X, duhet të jetë e barabartë me një.

SHEMBULL 1. Lëreni variablin e rastësishëm X të jetë numri i pikave të rrotulluara kur rrokulliset një kërpudhë. Gjeni ligjin e shpërndarjes (në formën e tabelës).

Ndryshorja e rastësishme X merr vlera

x1=1, x2=2, … , x6=6

me probabilitete

p1= p2 = … = p6 =

Ligji i shpërndarjes jepet nga tabela:

tabela 2

SHEMBULL 2. Shpërndarja binomiale. Konsideroni një ndryshore të rastësishme X - numrin e shfaqjeve të ngjarjes A në një seri eksperimentesh të pavarura, në secilën prej të cilave A ndodh me probabilitet p.

Ndryshorja e rastësishme X padyshim mund të marrë një nga vlerat e mëposhtme:

0, 1, 2, ., k, ., n.

Probabiliteti i një ngjarjeje që konsiston në faktin që ndryshorja e rastësishme X do të marrë një vlerë të barabartë me k përcaktohet nga formula e Bernoulli:

Рn(k)= ku q=1- р.

Një shpërndarje e tillë e një ndryshoreje të rastësishme quhet shpërndarje binomiale ose shpërndarje Bernoulli. Shpërndarja e Bernoulli është plotësisht e specifikuar nga dy parametra: numri n i të gjitha provave dhe probabiliteti p me të cilin ndodh ngjarja në çdo provë individuale.

Kushti për shpërndarjen binomiale merr formën:

Për të vërtetuar vlefshmërinë e kësaj barazie, mjafton identiteti

(q+px)n=

vendos x=1.

SHEMBULL 3. Shpërndarja Poisson. Ky është emri i shpërndarjes së probabilitetit të formës:

P(k)= .

Përcaktohet nga një parametër i vetëm (pozitiv) a. Nëse ξ është një ndryshore e rastësishme që ka një shpërndarje Poisson, atëherë parametri përkatës a - është vlera mesatare e kësaj ndryshoreje të rastësishme:

a=Mξ=, ku M është pritshmëria matematikore.

Ndryshorja e rastësishme është:

SHEMBULL 4. shpërndarja eksponenciale.

Nëse koha është një ndryshore e rastësishme, le ta shënojmë me τ, në mënyrë që

ku 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

Vlera mesatare e ndryshores së rastësishme t është:

Dendësia e shpërndarjes ka formën:

4) Shpërndarja normale

Le të jenë variabla të rastësishme të pavarura, të shpërndara identike dhe le Nëse termat janë mjaftueshëm të vegjël dhe numri n është mjaft i madh, - nëse për n à ∞ pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme Мξ dhe varianca Dξ e barabartë me Dξ=M(ξ–Μξ)2, janë të tilla që Мξ~ а, Dξ~σ2, atëherë

- shpërndarje normale ose gausiane

.

5) Shpërndarja gjeometrike. Le të tregojmë ξ numrin e provave që i paraprijnë "suksesit" të parë. Nëse supozojmë se çdo test zgjat një njësi kohe, atëherë ξ mund ta konsiderojmë si kohën e pritjes deri në “suksesin” e parë. Shpërndarja duket si kjo:

Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) Shpërndarja hipergjeometrike.

Ka N - objekte ndër të cilat n - "objekte të veçanta". Ndër të gjitha objektet, k-objektet zgjidhen rastësisht. Gjeni probabilitetin që midis objekteve të zgjedhura të jetë e barabartë me r - "objekte të veçanta". Shpërndarja duket si kjo:

7) Shpërndarja e Paskalit.

Le të jetë x numri total i "dështimeve" që i paraprijnë mbërritjes së "suksesit" të r-të. Shpërndarja duket si kjo:

Funksioni i shpërndarjes ka formën:

Një shpërndarje ekuiprobabile nënkupton që ndryshorja e rastësishme x mund të marrë çdo vlerë në interval me të njëjtën probabilitet. Në këtë rast, dendësia e shpërndarjes llogaritet si

Grafikët e densitetit të shpërndarjes dhe funksionit të shpërndarjes janë paraqitur më poshtë.

Para se të shpjegohet koncepti i "zhurmës së bardhë", është e nevojshme të jepen një sërë përkufizimesh.

Një funksion i rastësishëm është një funksion i një argumenti jo të rastësishëm t, i cili, për çdo vlerë fikse të argumentit, është një ndryshore e rastësishme. Për shembull, nëse U është një ndryshore e rastësishme, atëherë funksioni X(t)=t2U është i rastësishëm.

Seksioni i një funksioni të rastësishëm është një ndryshore e rastësishme që korrespondon me një vlerë fikse të argumentit të funksionit të rastit. Kështu, një funksion i rastësishëm mund të konsiderohet si një grup variablash të rastësishëm (X(t)), në varësi të parametrit t.

Dendësia e shpërndarjes probabilitetet X thirrni funksionin f(x)është derivati ​​i parë i funksionit të shpërndarjes F(x):

Koncepti i densitetit të shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme X për një sasi diskrete nuk është e zbatueshme.

Dendësia e probabilitetit f(x) quhet funksioni i shpërndarjes diferenciale:

Prona 1. Dendësia e shpërndarjes është një vlerë jo negative:

Prona 2. Integrali jo i duhur i densitetit të shpërndarjes në intervalin nga në është i barabartë me një:

Shembulli 1.25. Jepet funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X:

f(x).

Zgjidhja: Dendësia e shpërndarjes është e barabartë me derivatin e parë të funksionit të shpërndarjes:

1. Jepet funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X:

Gjeni dendësinë e shpërndarjes.

2. Është dhënë funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X:

Gjeni dendësinë e shpërndarjes f(x).

1.3. Karakteristikat numerike të rastit të vazhdueshëm

sasive

Vlera e pritshme ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X, vlerat e mundshme të të cilave i përkasin të gjithë boshtit Oh, përcaktohet nga barazia:

Supozohet se integrali konvergjon absolutisht.

a,b), pastaj:

f(x)është dendësia e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme.

Dispersion ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X, vlerat e mundshme të të cilave i përkasin të gjithë boshtit, përcaktohet nga barazia:

Rast special. Nëse vlerat e ndryshores së rastësishme i përkasin intervalit ( a,b), pastaj:

Probabiliteti që X do të marrë vlerat që i përkasin intervalit ( a,b), përcaktohet nga barazia:

.

Shembulli 1.26. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X

Gjeni pritshmërinë matematikore, variancën dhe probabilitetin e goditjes së një ndryshoreje të rastësishme X në intervalin (0; 0.7).

Zgjidhja: Ndryshorja e rastësishme shpërndahet në intervalin (0,1). Le të përcaktojmë densitetin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X:

a) Pritshmëria matematikore :

b) Dispersion

në)

Detyrat për punë të pavarur:

1. Ndryshore e rastësishme X dhënë nga funksioni i shpërndarjes:

M(x);

b) dispersion D(x);

X në intervalin (2,3).

2. Vlera e rastësishme X

Gjeni: a) pritjen matematikore M(x);

b) dispersion D(x);

c) përcaktoni probabilitetin e goditjes së një ndryshoreje të rastësishme X në intervalin (1; 1.5).

3. Vlera e rastësishme X jepet nga funksioni i shpërndarjes integrale:

Gjeni: a) pritjen matematikore M(x);

b) dispersion D(x);

c) përcaktoni probabilitetin e goditjes së një ndryshoreje të rastësishme X në interval.

1.4. Ligjet e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

1.4.1. Shpërndarja uniforme

Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X ka një shpërndarje uniforme në intervalin [ a,b], nëse në këtë segment dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme është konstante, dhe jashtë saj është e barabartë me zero, d.m.th.

Oriz. katër.

; ; .

Shembulli 1.27. Një autobus i disa rrugëve lëviz në mënyrë uniforme me një interval prej 5 minutash. Gjeni probabilitetin që një ndryshore e rastësishme e shpërndarë në mënyrë uniforme X– koha e pritjes së autobusit do të jetë më pak se 3 minuta.

Zgjidhja: Vlera e rastësishme X- shpërndahet në mënyrë uniforme gjatë intervalit.

Dendësia e probabilitetit: .

Në mënyrë që koha e pritjes të mos kalojë 3 minuta, pasagjeri duhet të arrijë në stacionin e autobusit brenda 2 deri në 5 minuta pas nisjes së autobusit të mëparshëm, d.m.th. vlerë e rastësishme X duhet të bjerë brenda intervalit (2;5). Se. probabiliteti i dëshiruar:

Detyrat për punë të pavarur:

1. a) gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X shpërndahet në mënyrë uniforme në intervalin (2; 8);

b) gjeni variancën dhe devijimin standard të një ndryshoreje të rastësishme X, shpërndahet në mënyrë uniforme në intervalin (2;8).

2. Akrepi i minutave të një ore elektrike kërcen në fund të çdo minutë. Gjeni probabilitetin që në një moment të caktuar ora të tregojë kohën që ndryshon nga koha e vërtetë jo më shumë se 20 sekonda.

1.4.2. Shpërndarja eksponenciale (eksponenciale).

Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X shpërndahet në mënyrë eksponenciale nëse densiteti i probabilitetit të tij ka formën:

ku është parametri i shpërndarjes eksponenciale.

Në këtë mënyrë

Oriz. 5.

Karakteristikat numerike:

Shembulli 1.28. Vlera e rastësishme X- koha e funksionimit të llambës - ka një shpërndarje eksponenciale. Përcaktoni probabilitetin që llamba të zgjasë të paktën 600 orë nëse jetëgjatësia mesatare e llambës është 400 orë.

Zgjidhja: Sipas kushtit të problemit, pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme Xështë e barabartë me 400 orë, pra:

;

Probabiliteti i dëshiruar, ku

Së fundi:

Detyrat për punë të pavarur:

1. Shkruani funksionin e dendësisë dhe shpërndarjes së ligjit eksponencial, nëse parametri .

2. Vlera e rastësishme X

Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e një sasie X.

3. Vlera e rastësishme X dhënë nga funksioni i shpërndarjes së probabilitetit:

Gjeni pritjen matematikore dhe devijimin standard të një ndryshoreje të rastësishme.

1.4.3. Shpërndarja normale

Normale quhet shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X, dendësia e të cilit ka formën:

ku a– pritshmëria matematikore, – devijimi standard X.

Probabiliteti që X do të marrë një vlerë që i përket intervalit:

, ku

është funksioni Laplace.

Një shpërndarje që ka ; , d.m.th. me një densitet probabiliteti quhet standard.

Oriz. 6.

Probabiliteti që vlera absolute e devijimit të jetë më e vogël se një numër pozitiv:

.

Në veçanti, kur a= 0 barazia është e vërtetë:

Shembulli 1.29. Vlera e rastësishme X shpërndahet normalisht. Devijimi standard. Gjeni probabilitetin që devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore në vlerë absolute të jetë më e vogël se 0.3.

Zgjidhja: .

Detyrat për punë të pavarur:

1. Shkruani densitetin e probabilitetit të shpërndarjes normale të një ndryshoreje të rastësishme X, duke e ditur atë M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Pritshmëria matematikore dhe devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht X janë përkatësisht 20 dhe 5. Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X do të marrë vlerën që përmban intervali (15;20).

3. Gabimet e rastësishme të matjes i nënshtrohen ligjit normal me devijim standard mm dhe pritshmëri matematikore a= 0. Gjeni probabilitetin që gabimi i të paktën njërës nga 3 matjet e pavarura të mos kalojë 4 mm në vlerë absolute.

4. Disa substanca peshohen pa gabime sistematike. Gabimet e rastësishme të peshimit i nënshtrohen ligjit normal me një devijim standard r. Gjeni probabilitetin që peshimi të kryhet me një gabim jo më të madh se 10 g në vlerë absolute.