Vërtetoni se 2 është një numër irracional. Numrat irracionalë - Hipermarketi i njohurive. Koncepti i përgjithshëm i një numri racional

Fraksioni m/n ne do ta konsiderojmë të pareduktueshme (në fund të fundit, një fraksion i reduktueshëm gjithmonë mund të reduktohet në një formë të pareduktueshme). Duke kuadruar të dyja anët e ekuacionit, marrim m^2=2n^ 2. Nga kjo përfundojmë se m^2, dhe më pas numri m- madje. ato. m = 2k. Kjo është arsyeja pse m^2 = 4k^2 dhe për rrjedhojë 4 k^2 =2n^2 ose 2 k^2 = n^ 2. Por më pas rezulton se nështë gjithashtu një numër çift, i cili nuk mund të jetë, pasi thyesa m/n e pareduktueshme. Ka një kontradiktë. Mbetet të konkludohet se supozimi ynë është i gabuar dhe numër racional m/n e barabartë me √2 nuk ekziston.”

Kjo është e gjithë prova e tyre.

Vlerësimi kritik i dëshmive të grekëve të lashtë

Por…. le ta shohim disi kritikisht një provë të tillë të grekëve të lashtë. Dhe për të qenë më të saktë në matematikë të thjeshtë, atëherë mund të shihni sa vijon në të:

1) Në numrin racional të miratuar nga grekët m/n numrat m dhe n e tërë, por i panjohur(qofshin ata madje, qofshin ata i çuditshëm). Dhe kështu është! Dhe për të krijuar disi ndonjë varësi midis tyre, duhet përcaktuar saktësisht qëllimi i tyre;

2) Kur të lashtët vendosën që numri mështë i barabartë, atëherë në barazinë e tyre të pranuar m = 2k ata (qëllimisht ose nga padituria!) nuk e karakterizuan shumë "korrekt" numrin " k ". Por ja ku është numri k- kjo është e tërë(I tërë!) dhe plotësisht i famshëm një numër që përcakton qartë gjetjen madje numri m. Dhe mos të jetë kështu gjetur numrat" k"të lashtët nuk mundën më tej" përdorni» dhe numrin m ;

3) Dhe kur nga barazia 2 k^2 = n^2 të lashtët morën numrin n^2 është çift, dhe në të njëjtën kohë n- madje, ata duhet të kenë mos nxito me një përfundim rreth polemika e shfaqur", por është më mirë të siguroheni për kufirin saktësi pranuar prej tyre zgjedhje» numrat » n ».

Dhe si mund ta bënin atë? Po, e thjeshtë!
Shihni: nga ekuacioni i tyre 2 k^2 = n^2 mund të merret lehtësisht barazia e mëposhtme k√2 = n. Dhe këtu nuk ka asgjë të dënueshme në asnjë mënyrë - në fund të fundit, ata morën nga barazia m/n=√2 një tjetër barazi adekuate m^2=2n^2! Dhe askush nuk i kaloi!

Por në barazinë e re k√2 = n me numra INTEGERE të dukshëm k dhe nështë e qartë se nga gjithmonë merrni numrin √2 - racionale . Eshte gjithmone! Sepse përmban numra k dhe n- I gjithë i famshëm!

Por kështu që nga barazia e tyre 2 k^2 = n^2 dhe, si pasojë, nga k√2 = n merrni numrin √2 - irracionale (si kjo" dëshiroi"Grekët e lashtë!"), atëherë ata duhet të kenë, më së paku , numri " k"si jo numër i plotë (!!!) numrat. Dhe grekët e lashtë thjesht nuk e kishin këtë!

Prandaj KONKLUZIONI: prova e mësipërme e irracionalitetit të numrit √2, e bërë nga grekët e lashtë 2400 vjet më parë, sinqerisht gabim dhe matematikisht e pasaktë, për të thënë të paktën - është thjesht i rremë .

Në broshurën e vogël F-6 të treguar më lart (shih foton më lart), lëshuar në Krasnodar (Rusi) në 2015 me një tirazh total prej 15,000 kopjesh. (natyrisht, me një sponsorizim) një provë e re, jashtëzakonisht korrekte nga pikëpamja e matematikës dhe jashtëzakonisht e vërtetë] e irracionalitetit të numrit √2, që mund të kishte ndodhur shumë kohë më parë, po të mos ishte e ngurtë " prepo n" për studimin e antikiteteve të Historisë.

Vetë koncepti i një numri irracional është rregulluar aq shumë sa përkufizohet përmes mohimit të vetive "të jesh racional", kështu që vërtetimi me kontradiktë është më i natyrshmi këtu. Megjithatë, është e mundur të ofrohet arsyetimi i mëposhtëm.

Si ndryshojnë numrat thelbësisht racionalë nga ata irracionalë? Të dyja mund të përafrohen me numra racionalë me çdo saktësi të caktuar, por për numrat racional ekziston një përafrim me saktësi "zero" (vetë numri), por për numrat irracionalë kjo nuk është më kështu. Le të përpiqemi të luajmë me të.

Para së gjithash, ne vërejmë një fakt kaq të thjeshtë. Le të jenë $%\alpha$%, $%\beta$% dy numra pozitivë që përafrohen me njëri-tjetrin me një saktësi prej $%\varepsilon$%, d.m.th. $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Çfarë ndodh nëse i kthejmë numrat? Si e ndryshon kjo saktësinë? Është e lehtë të shihet se $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alfa\ beta),$$ që do të jetë rreptësisht më pak se $%\varepsilon$% për $%\alpha\beta>1$%. Ky pohim mund të konsiderohet si një lemë e pavarur.

Tani le të vendosim $%x=\sqrt(2)$%, dhe le që $%q\in(\mathbb Q)$% të jetë një përafrim racional i $%x$% me saktësi $%\varepsilon$%. Ne e dimë se $%x>1$%, dhe sa i përket përafrimit të $%q$%, ne kërkojmë që pabarazia $%q\ge1$% të plotësohet. Për të gjithë numrat më pak se $%1$%, saktësia e përafrimit do të jetë më e keqe se ajo e vetë $%1$% dhe për këtë arsye ne nuk do t'i konsiderojmë ato.

Le të shtojmë $%1$% për secilin nga numrat $%x$%, $%q$%. Natyrisht, saktësia e përafrimit do të mbetet e njëjtë. Tani kemi numrat $%\alpha=x+1$% dhe $%\beta=q+1$%. Duke kaluar në reciproke dhe duke zbatuar "lemën", arrijmë në përfundimin se saktësia jonë e përafrimit është përmirësuar, duke u bërë rreptësisht më pak se $%\varepsilon$%. Kushti i kërkuar $%\alpha\beta>1$% plotësohet edhe me një diferencë: në fakt, ne e dimë se $%\alpha>2$% dhe $%\beta\ge2$%, nga të cilat mund të konkludojmë se saktësia është përmirësuar me të paktën $%4$% herë, pra nuk i kalon $%\varepsilon/4$%.

Dhe këtu është pika kryesore: sipas kushtit, $%x^2=2$%, domethënë $%x^2-1=1$%, që do të thotë se $%(x+1)(x- 1) =1$%, domethënë, numrat $%x+1$% dhe $%x-1$% janë të kundërt me njëri-tjetrin. Dhe kjo do të thotë që $%\alpha^(-1)=x-1$% do të jetë një përafrim me numrin (racional) $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% me një saktësi rreptësisht më pak se $%\varepsilon$%. Mbetet t'u shtohet $%1$% këtyre numrave dhe rezulton se numri $%x$%, domethënë $%\sqrt(2)$%, ka një përafrim të ri racional të barabartë me $%\beta ^(- 1)+1$%, d.m.th. $%(q+2)/(q+1)$%, me saktësi "të përmirësuar". Kjo e plotëson vërtetimin, pasi numrat racionalë, siç theksuam më sipër, kanë një përafrim racional "absolutisht të saktë" me një saktësi prej $%\varepsilon=0$%, ku saktësia në parim nuk mund të rritet. Dhe ne ia dolëm, gjë që flet për irracionalitetin e numrit tonë.

Në fakt, ky argument tregon se si të ndërtohen përafrime konkrete racionale për $%\sqrt(2)$% me saktësi gjithnjë në përmirësim. Së pari duhet të marrim përafrimin $%q=1$%, dhe më pas të aplikojmë të njëjtën formulë zëvendësimi: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Ky proces prodhon sa vijon: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ dhe kështu me radhë.

Shembull:
$4$ është një numër racional, sepse mund të shkruhet si $\frac(4)(1)$ ;
$0.0157304$ është gjithashtu racional sepse mund të shkruhet si $\frac(157304)(10000000)$ ;
$0.333(3)…$ - dhe ky është një numër racional: mund të përfaqësohet si $\frac(1)(3)$ ;
$\sqrt(\frac(3)(12))$ është racional pasi mund të përfaqësohet si $\frac(1)(2)$ . Në të vërtetë, ne mund të kryejmë një zinxhir transformimesh $\sqrt(\frac(3)(12))$ $=$$\sqrt(\frac(1)(4))$ $= $ \ (\frac(1)(2)\)

numër irracionalështë një numër që nuk mund të shkruhet si thyesë me numërues dhe emërues numër të plotë.

E pamundur sepse pafund thyesat, madje edhe ato jo periodike. Prandaj, nuk ka numra të plotë që, kur ndahen me njëri-tjetrin, do të jepnin një numër irracional.

Shembull:
$\sqrt(2)≈1.414213562…$ është një numër irracional;
$π≈3.1415926… $ është një numër irracional;
$\log_(2)(5)≈2.321928…$ është një numër irracional.

Shembull (Detyrë nga OGE). Vlera e cilës prej shprehjeve është numër racional?
1) $\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)$;
2)$(\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))$;
3) $\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))$;
4) $\sqrt(54)+3\sqrt(6)$.

Zgjidhja:

1) $\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)$ është gjithashtu e pamundur të paraqitet një numër si thyesë me numra të plotë , prandaj numri është irracional.

2) $(\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5$ - nuk ka mbetur asnjë rrënjë, numri mund të paraqitet lehtësisht si thyesë, për shembull, $\frac(-5)(1)$ , pra është racional.

3) $\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) $ - rrënja nuk mund të nxirret - numri është irracional.

4) $\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)$ është gjithashtu irracionale.

Me një segment të gjatësisë së njësisë, matematikanët e lashtë e dinin tashmë: ata dinin, për shembull, pamatshmërinë e diagonales dhe anës së katrorit, e cila është ekuivalente me irracionalitetin e numrit.

Irracionale janë:

Shembuj të vërtetimit të irracionalitetit

Rrënja e 2

Supozoni të kundërtën: është racionale, domethënë paraqitet si një thyesë e pakalueshme, ku dhe janë numra të plotë. Le të vendosim në katror barazinë e supozuar:

Nga kjo rrjedh se edhe, pra, edhe dhe . Le ku e tëra. Pastaj

Prandaj, edhe, pra, edhe dhe . Ne kemi marrë atë dhe janë çift, gjë që bie në kundërshtim me pakësueshmërinë e thyesës . Prandaj, supozimi fillestar ishte i gabuar dhe është një numër irracional.

Logaritmi binar i numrit 3

Supozoni të kundërtën: është racionale, domethënë paraqitet si thyesë, ku dhe janë numra të plotë. Që nga , dhe mund të merret pozitiv. Pastaj

Por është e qartë, është e çuditshme. Kemi një kontradiktë.

e

Histori

Koncepti i numrave irracionalë u përvetësua në mënyrë implicite nga matematikanët indianë në shekullin e VII para Krishtit, kur Manawa (rreth 750 pes - rreth 690 pes) zbuloi se rrënjët katrore të disa numrave natyrorë, si 2 dhe 61, nuk mund të shprehen në mënyrë eksplicite.

Prova e parë e ekzistencës së numrave irracionalë zakonisht i atribuohet Hipasusit të Metapontusit (rreth 500 para Krishtit), një pitagorian që e gjeti këtë provë duke studiuar gjatësitë e anëve të një pentagrami. Në kohën e Pitagorianëve, besohej se ekzistonte një njësi e vetme gjatësie, mjaft e vogël dhe e pandashme, e cila është një numër i plotë i herëve të përfshirë në çdo segment. Sidoqoftë, Hippasus argumentoi se nuk ka asnjë njësi të vetme të gjatësisë, pasi supozimi i ekzistencës së tij çon në një kontradiktë. Ai tregoi se nëse hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë izoscelular përmban një numër të plotë segmentesh njësi, atëherë ky numër duhet të jetë edhe çift edhe tek në të njëjtën kohë. Prova dukej kështu:

Raporti i gjatësisë së hipotenuzës me gjatësinë e këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh mund të shprehet si a:b, ku a dhe b zgjidhet si më i vogli i mundshëm.
Sipas teoremës së Pitagorës: a² = 2 b².
Sepse a² madje, a duhet të jetë çift (pasi katrori i një numri tek do të ishte tek).
Sepse a:b e pareduktueshme b duhet të jetë i çuditshëm.
Sepse a madje, shënoj a = 2y.
Pastaj a² = 4 y² = 2 b².
b² = 2 y², pra bështë madje, atëherë b madje.
Megjithatë, është vërtetuar se b i çuditshëm. Kontradikta.

Matematikanët grekë e quajtën këtë raport të sasive të pakrahasueshme alogos(e pashpjegueshme), por sipas legjendave Hipasit nuk iu kushtua respekti i duhur. Ekziston një legjendë që Hipasus e bëri zbulimin gjatë një udhëtimi në det dhe u hodh në det nga pitagorianë të tjerë "për shkak të krijimit të një elementi të universit, i cili mohon doktrinën se të gjitha entitetet në univers mund të reduktohen në numra të plotë dhe raportet e tyre. " Zbulimi i Hipasusit shtroi një problem serioz për matematikën e Pitagorës, duke shkatërruar supozimin që qëndron në themel të gjithë teorisë se numrat dhe objektet gjeometrike janë një dhe të pandashëm.

Shiko gjithashtu

Shënime

Sistemet numerike
Duke numëruar grupe	Numrat e plotë ()

Cilët numra janë irracionalë? numër irracional nuk është një numër real racional, d.m.th. nuk mund të paraqitet si thyesë (si raport i dy numrave të plotë), ku mështë një numër i plotë, n- numri natyror. numër irracional mund të paraqitet si një thyesë dhjetore e pafundme jo periodike.

numër irracional nuk mund të jetë e saktë. Vetëm në formatin 3.333333…. Për shembull, Rrenja katrore prej dy - është një numër irracional.

Cili është numri irracional? Numër irracional(ndryshe nga ato racionale) quhet thyesë dhjetore e pafundme jo periodike.

Shumë numra irracionalë shpesh shënohet me shkronjë të madhe latine me shkronja të zeza pa hije. Kjo.:

Ato. bashkësia e numrave irracionalë është ndryshimi midis bashkësive të numrave realë dhe racionalë.

Vetitë e numrave irracionalë.

Shuma e 2 numrave irracionalë jonegativë mund të jetë një numër racional.
Numrat irracionalë Përcaktoni seksionet Dedekind në bashkësinë e numrave racionalë, në klasën e ulët të cilat nuk e kanë një numër i madh, dhe nuk ka më të vogël në atë të sipërm.
Çdo numër real transcendental është një numër irracional.
Të gjithë numrat irracionalë janë ose algjebrikë ose transhendentë.
Bashkësia e numrave irracionalë është kudo e dendur në vijën numerike: midis çdo çifti numrash ka një numër irracional.
Rendi në bashkësinë e numrave irracionalë është izomorfik me rendin në bashkësinë e numrave realë transhendentalë.
Bashkësia e numrave irracionalë është e pafundme, është një grup i kategorisë së dytë.
Rezultati i çdo veprimi aritmetik mbi numrat racionalë (përveç pjesëtimit me 0) është një numër racional. Rezultati i veprimeve aritmetike mbi numrat irracionalë mund të jetë ose një numër racional ose irracional.
Shuma e një numri racional dhe një numri iracional do të jetë gjithmonë një numër irracional.
Shuma e numrave irracionalë mund të jetë një numër racional. Për shembull, le x joracionale, pra y=x*(-1) gjithashtu irracionale; x+y=0, dhe numri 0 racionale (nëse, për shembull, shtojmë rrënjën e çdo shkalle 7 dhe minus rrënjën e së njëjtës shkallë të shtatë, marrim një numër racional 0).