6-bob. Vaqt seriyasining ekonometriyasi

6.1. Statsionar va statsionar bo'lmagan vaqt qatorlarining modellari, ularni aniqlash

Vaqt seriyasini ko'rib chiqaylik X(t). Vaqt seriyalari birinchi navbatda raqamli qiymatlarni qabul qilsin. Bu, masalan, yaqin atrofdagi do'kondagi nonning narxi yoki eng yaqin ayirboshlash shoxobchasidagi dollar-rubl kursi bo'lishi mumkin. Odatda, vaqt seriyasining xatti-harakatlarida ikkita asosiy tendentsiya aniqlanadi - trend va davriy tebranishlar.

Bunday holda, tendentsiya deganda u yoki bu tekislash usuli (masalan, eksponensial tekislash) yoki hisoblash, xususan, eng kichik kvadratlar usuli yordamida aniqlangan chiziqli, kvadratik yoki boshqa turdagi vaqtga bog'liqlik tushuniladi. . Boshqacha qilib aytganda, trend tasodifiylikdan tozalangan vaqt seriyasining asosiy tendentsiyasidir.

Vaqt seriyasi odatda tendentsiya atrofida tebranadi, trenddan og'ishlar ko'pincha to'g'ri bo'ladi. Ko'pincha bu tabiiy yoki belgilangan chastotaga bog'liq, masalan, mavsumiy yoki haftalik, oylik yoki choraklik (masalan, ish haqi va soliq to'lovlari jadvaliga muvofiq). Ba'zida davriylikning mavjudligi va undan ham ko'proq sabablari noaniq bo'lib, ekonometriyaning vazifasi haqiqatan ham davriylik mavjudligini aniqlashdir.

Vaqt seriyalarining xususiyatlarini baholashning elementar usullari odatda "Statistikaning umumiy nazariyasi" kurslarida etarlicha batafsil ko'rib chiqiladi (masalan, darsliklarga qarang), shuning uchun bu erda ularni batafsil tahlil qilishning hojati yo'q. (Biroq, davr uzunligini va davriy komponentning o'zini baholashning ba'zi zamonaviy usullari quyida muhokama qilinadi.)

Vaqt seriyasining xususiyatlari. Vaqt seriyalarini batafsilroq o'rganish uchun ehtimollik-statistik modellar qo'llaniladi. Shu bilan birga, vaqt seriyasi X(t) tasodifiy jarayon sifatida (diskret vaqt bilan) asosiy xarakteristikalar matematik kutishdir X(t), ya'ni.

dispersiya X(t), ya'ni.

va avtokorrelyatsiya funktsiyasi vaqt seriyasi X(t)

bular. ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi, koeffitsientiga teng ikki vaqtli qator qiymatlari orasidagi korrelyatsiya X(t) va X(lar).

Nazariy va amaliy tadqiqotlarda vaqt seriyalari modellarining keng doirasi ko'rib chiqiladi. Avval tanlang statsionar modellar. Ular har qanday vaqt nuqtalari uchun birgalikda taqsimlash funktsiyalariga ega k, va shuning uchun yuqorida sanab o'tilgan vaqt seriyasining barcha xususiyatlari vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi. Xususan, o'rtacha va dispersiya konstantalar, avtokorrelyatsiya funktsiyasi faqat farqga bog'liq t-s. Statsionar bo'lmagan vaqt qatorlari deyiladi statsionar bo'lmagan.

Gomoskedastik va geterokedastik, mustaqil va avtokorrelyatsiya qilingan qoldiqlarga ega chiziqli regressiya modellari. Yuqoridagilardan ko'rinib turibdiki, asosiy narsa vaqt seriyasini tasodifiy og'ishlardan "tozalash" dir, ya'ni. baholash matematik kutish. 5-bobda muhokama qilingan oddiyroq regressiya modellaridan farqli o'laroq, tabiiy ravishda murakkabroq modellar paydo bo'ladi. Masalan, farq vaqtga bog'liq bo'lishi mumkin. Bunday modellar geteroskdastik, vaqtga bog'liqlik bo'lmaganlar esa gomoskedastik deb ataladi. (Aniqrog'i, bu atamalar nafaqat "vaqt" o'zgaruvchisiga, balki boshqa o'zgaruvchilarga ham tegishli bo'lishi mumkin.)

Bundan tashqari, 5-bobda xatolar bir-biridan mustaqil ekanligi taxmin qilingan. Ushbu bob nuqtai nazaridan, bu avtokorrelyatsiya funktsiyasi degenerativ bo'lishi kerakligini anglatadi - agar argumentlar teng bo'lsa 1 ga va teng bo'lmasa 0 ga teng. Bu har doim ham real vaqt seriyalari uchun shunday emasligi aniq. Agar kuzatilayotgan jarayondagi o'zgarishlarning tabiiy yo'nalishi ketma-ket kuzatishlar orasidagi interval bilan solishtirganda etarlicha tez bo'lsa, u holda avtokorrelyatsiyaning "so'lishi" va deyarli mustaqil qoldiqlar olinishini kutishimiz mumkin, aks holda qoldiqlar avtokorrelyatsiya qilinadi.

Modelni aniqlash. Modelni identifikatsiya qilish odatda ularning tuzilishini ochib berish va parametrlarini baholash deb tushuniladi. Tuzilish ham sonli bo'lmasa ham parametr bo'lganligi sababli (8-bobga qarang), biz ekonometrikaning odatiy vazifalaridan biri - parametrlarni baholash haqida gapiramiz.

Baholash muammosi homosedastik mustaqil qoldiqlarga ega chiziqli (parametrlar bo'yicha) modellar uchun eng oson echiladi. Vaqt seriyalarida bog'liqliklarni tiklash chiziqli (parametrlar bo'yicha) regressiya modellarining 5-bobida ko'rib chiqilgan eng kichik kvadratlar va eng kichik modullar usullari asosida amalga oshirilishi mumkin. Kerakli regressorlar to'plamini baholash bilan bog'liq natijalarni vaqt seriyalari holatiga o'tkazish mumkin, xususan, trigonometrik polinom darajasining chegaraviy geometrik taqsimotini olish oson.

Biroq, bunday oddiy transferni umumiy holatga o'tkazib bo'lmaydi. Shunday qilib, masalan, geteroskdastik va avtokorrelyatsiya qilingan qoldiqlarga ega bo'lgan vaqt seriyasida siz yana eng kichik kvadratlar usulining umumiy yondashuvidan foydalanishingiz mumkin, lekin eng kichik kvadratlar usulining tenglamalar tizimi va tabiiyki, uning echimi boshqacha bo'ladi. . 5-bobda keltirilgan matritsalar algebrasi bo'yicha formulalar har xil bo'ladi. Shuning uchun ko'rib chiqilayotgan usul "deb ataladi. umumlashtirilgan eng kichik kvadratlar(OMNK)" (masalan, qarang).

Izoh. 5-bobda qayd etilganidek, eng kichik kvadratlar usulining eng oddiy modeli, ayniqsa, vaqtli qatorlar uchun bir vaqtda ekonometrik tenglamalar tizimlari sohasida juda uzoq umumlashmalarni amalga oshirish imkonini beradi. Tegishli nazariya va algoritmlarni tushunish uchun matritsa algebrasi bo'yicha professional bilim kerak. Shuning uchun biz qiziquvchilarni ekonometrik tenglamalar tizimlari va to'g'ridan-to'g'ri vaqt seriyalari bo'yicha adabiyotlarga murojaat qilamiz, ularda spektral nazariyaga katta qiziqish bildiriladi, ya'ni. signalni shovqindan ajratish va uni harmoniklarga ajratish. Biz har bir bobning orqasida ekanligini yana bir bor ta'kidlaymiz bu kitob ilmiy va amaliy tadqiqotlarning katta sohasi mavjud bo'lib, unga ko'p kuch sarflashga loyiqdir. Biroq kitob hajmi cheklanganligi sababli taqdimotni ixcham qilib berishga majburmiz.

Oldingi

KIRISH

Vaqt seriyalarining mavjud modellari turli tabiatdagi real hodisalar dinamikasini o'rganish jarayonida keng qo'llaniladi. Ular ko'pincha yuk va yo'lovchi oqimlari dinamikasini, tovar va ombor zaxiralarini, migratsiya jarayonlarini, tahlillarni o'rganishda qo'llaniladi. kimyoviy jarayonlar, turli tabiat hodisalarini modellashtirish. Tahlil qilishda vaqt seriyalari modellari eng faol qo'llaniladi moliyaviy bozorlar, moliyaviy ko'rsatkichlarning o'zgarishini baholashda, turli tovarlar narxlarini prognozlashda, aktsiya bahosi, valyuta kursi nisbati va boshqalar.

Haqiqiy ijtimoiy va tabiiy jarayonlarning keng doirasi odatda y 1, y 2,..., y t,..., y T taxminiy ko'rsatkichlarining ma'lum vaqtlarda belgilanadigan ketma-ket qiymatlari to'plami bilan ifodalanishi mumkin. t=1,2,.. .T, shuning uchun interval (t, t+1) doimiy. t , t=1,2,... uchun belgilangan qiymatlar to‘plami odatda vaqt seriyasi (vaqt seriyasi) deb ataladi. Bunday ketma-ketlik diskret vaqt jarayonidir.

Vaqt o'tishi bilan y t qiymatlarining o'zgarishi haqiqiy hayot odatda har qanday sabablar, omillar ta'sirida yuzaga keladi. Biroq, ularning xilma-xilligi, o'lchovning murakkabligi, y o'zgaruvchisi bilan munosabatlarning mavjudligi haqidagi taxminlardagi noaniqlik y t, t=1,2, ... jarayonini tavsiflash uchun "mos" ni asoslash va qurishni juda qiyinlashtiradi. klassik tipdagi multifaktorial ekonometrik model. Shuning uchun ko'pincha bu omillarning birgalikdagi ta'siri y t jarayoniga nisbatan ichki qonuniyatlarni hosil qiladi, deb taxmin qilinadi.

Bu taxmin real vaqtdagi jarayonlarni tavsiflash uchun vaqt seriyalarining ma'lum bir sinfidagi ekonometrik modellardan foydalanishga qaratilgan.

STATIONAR VAQT SERISI MODELLARI

Statsionar vaqt seriyalarining xususiyatlari va statsionarlik sinovlari

Vaqt seriyalarining barcha modellari umumiy xususiyatga ega bo'lib, u y t ko'rsatkich darajasining joriy qiymatining uning tarixiga sezilarli darajada bog'liqligini taxmin qilishga asoslanadi. Boshqacha qilib aytganda, y t indikator darajasi ushbu vaqt qatoriga xos qonuniyatlar asosida y t-1 , y t-2 ,... qiymatlari orqali hosil bo'ladi.

Bu taxmin umumiy tenglama bilan ifodalanadi:

y t = f(y t-1 , y t-2 , …) + t (1.1)

bu yerda t - t vaqtidagi model xatosi.

Bu yerda f funksiya ko‘rib chiqilayotgan y t vaqt qatorlarida mavjud bo‘lgan munosabatlarning xarakterini aks ettiradi, t=1,2,... f funksiyaning muvaffaqiyatli tanlanishi ning to‘g‘ri “deterministik” qismining yuqori darajada yaqinlashuviga sabab bo‘ladi. ifoda (1.1) qatorning haqiqiy qiymatlariga. Bu yaqinlashish darajasi odatda t, t=1,2,... qatorning baholari va xato xossalari bilan tavsiflanadi, bunda biz, birinchi navbatda, minimal dispersiyani, oq shovqinga mos kelishini va hokazolarni nazarda tutamiz.

Jarayonlarning keng doirasi uchun f funktsiyasi mavjud chiziqli ko'rinish. Masalan,

y t = a 1 y t-1 + a n y t-n + t.

Vaqt seriyalarining chiziqli modellari, qoida tariqasida, statsionar jarayonlarni tavsiflash uchun ishlatiladi, ikkinchi tartibli statsionar jarayonlar nazarda tutiladi. n-tartibdagi statsionar jarayon uchun t=1,2,..., T oralig'iga kiritilgan barcha vaqt oraliqlaridagi n va undan past tartibdagi barcha momentlarining qiymatlari o'zgarmasdir. Qat'iy statsionar jarayonlar barcha tartiblarning momentlari doimiy ekanligi bilan ajralib turadi. Yuqoridagilardan kelib chiqadiki, har qanday ikki vaqt oralig'ida (T 1, T 2) va (T 3, T 4) t da ikkinchi tartibli statsionar jarayon uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

matematik taxminlarning tengligi;

Farqlarning tengligi;

Bir tartibli avtokorrelyatsiya koeffitsientlarining tengligi.

Matematik jihatdan bu shartlar quyidagi munosabatlar bilan ifodalanadi:

bu yerda - matematik taxminlar baholari;

D 1 (y), D 2 (y) - dispersiyalarni baholash;

1 va 2 oraliqlarda y t jarayonning i-tartibi avtokorrelyatsiya koeffitsientlarining baholari;

Jarayonning o'rtacha qiymati (matematik kutishni baholash) interval (1, T);

D(y) - (1, T) oraliqda jarayonning dispersiyasini baholash.

Statsionar vaqt qatorlarini real oʻrganishda (1.2)-(1.4) tenglik statistik maʼnoda koʻrib chiqiladi. Bu to'liq bo'lmagan yozishmalarda ham, agar qiymatlar va ma'lum bir statistik mezon qondirilsa, y t jarayonining matematik kutilishining doimiyligi haqidagi gipotezani qabul qilish mumkinligini ta'kidlashga asos beradi.

Vaqtinchalik qator y t, t=1,2,... statsionar jarayonga mos kelishi va (1.2)-(1.4) shartlar bajarilishini tekshirish uchun turli testlardan foydalaniladi. Agar ulardan birining natijalari ilgari surilgan gipotezaning haqiqatini yoki noto'g'riligini tasdiqlashga imkon bermasa, u holda bir xil shartni tekshirish uchun bir nechta testlardan foydalanish kerak bo'lishi mumkin.

Vaqt seriyalarining statsionarligi uchun testlarning butun majmuasini uchta asosiy guruhga bo'lish mumkin: parametrik bo'lmagan, yarim parametrik va parametrik testlar.

Parametrik bo'lmagan testlar sinovdan o'tgan vaqt seriyasining taqsimlanish qonuni, uning parametrlari haqida hech qanday ma'lumotni ilgari surmaydi. Ular uni tashkil etuvchi qiymatlar ketma-ketligi o'rtasidagi munosabatni o'rganishga asoslangan bo'lib, ularning ketma-ketligi, masalan, ketma-ketliklar bo'yicha shakllangan, ularning davomiyligi va (yoki) almashinishidagi naqshlarning mavjudligi yoki yo'qligini aniqlashga imkon beradi. bilan aholi birliklari bir xil belgilar, bu birliklar uchun belgilarni o'zgartirish va hokazo.

Semiparametrik testlar vaqt seriyalari qiymatlarining taqsimlanish tabiati haqida nisbatan zaif taxminlardan foydalanadi. Ular aks ettiradi umumiy xususiyatlar ketma-ket qiymatlarning o'sishini taqsimlash funktsiyalari - simmetriya, kvantlarning joylashishi.

Ushbu guruhning usullaridan foydalanganda taqsimot parametrlarini baholash buyurtma statistikasi bo'yicha baholanadi: o'rtacha o'rtacha, standart og'ish - qator darajalari oralig'ida va boshqalar.

Parametrik testlar vaqt seriyasining taqsimot qonuni va uning parametrlari haqidagi nisbatan qat'iy taxminlar ostida qo'llaniladi. Bu testlar vaqtli qatorlar taqsimotining empirik (kuzatilgan) xarakteristikalari hisoblangan nazariy darajalarga yaqinlashish darajasini baholash imkonini beradi.

Aynan shu yaqinlashish darajasi ko‘rib chiqilayotgan qator xossalarining statsionar jarayonga mos kelishi haqidagi gipotezani qabul qilish yoki rad etish imkonini beradi.

Kirish…………………………………………………….2

1. Vaqt seriyalari tahlilining asosiy vazifalari………….4

2. Vaqt seriyalari tahlili…………………………………….9

2.3 Statsionar vaqt seriyalarining modellari va ularning identifikatsiyasi…13

2.3.2. Harakatlanuvchi o'rtacha tartibli modellar q (MA(q)-modellar)….17

Xulosa………………………………………………………21

Adabiyot……………………………………………………..23

Kirish

DA o'tgan yillar ekonometrik adabiyotlarda vaqt ko'rsatkichlari dinamikasi qatorini o'rganishga katta e'tibor beriladi. Iqtisodiy tahlilning turli mazmunli vazifalari o'rganilayotgan iqtisodiy jarayonlarni tavsiflovchi va vaqt qatorlari shaklida o'z vaqtida joylashtiriladigan statistik ma'lumotlardan foydalanishni talab qiladi. Shu bilan birga, bir xil vaqt qatorlari ko'pincha turli xil mazmunli muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi.

Vaqt seriyasining qiymatlari har doim ham har qanday omillar ta'siri ostida shakllanmaydi. Ko'pincha shunday bo'ladiki, ma'lum bir jarayonning rivojlanishi uning ichki qonunlari bilan bog'liq va deterministik jarayondan chetga chiqishlar o'lchash xatolari yoki tasodifiy tebranishlar tufayli yuzaga keladi. "O'tish" rejimida bo'lgan jarayonlar alohida qiziqish uyg'otadi, ya'ni. mohiyatan "statsionar" bo'lgan, lekin o'rganilayotgan vaqt oralig'ida statsionar bo'lmagan vaqt qatorining xususiyatlarini namoyon qiluvchi jarayonlar, bu statsionar rejimdan uzoqda bo'lgan dastlabki shartlar bilan izohlanadi. Vaqt seriyalari tasodifiy va tasodifiy bo'lmagan omillarning ma'lum bir to'plami ta'sirida shakllanadigan vaziyatlarda individual vaqt qatorlarini, ham natijaviy, ham omil tahlil qilish katta ahamiyatga ega. Bu o'rganilayotgan jarayonlar haqidagi ma'lumotlar (vektor avtoregressiyalari, xatolarni tuzatish modellari, taqsimlangan kechikishlar bilan dinamik modellar va boshqalar) asosida qurilgan modellarni to'g'ri aniqlash uchun zarurdir.

Vaqt seriyalarini tahlil qilishda asosiy e'tibor ularning tuzilishini o'rganish, tavsiflash va / yoki modellashtirishga qaratiladi. Bunday tadqiqotlarning maqsadi, qoida tariqasida, tegishli jarayonlarni o'rganishni oddiy modellashtirishdan ko'ra kengroqdir. Tuzilgan model odatda vaqt seriyasini ekstrapolyatsiya qilish yoki bashorat qilish uchun ishlatiladi, keyin esa prognoz sifati bir nechta muqobil modellar orasidan tanlashda foydali mezon bo'lib xizmat qilishi mumkin. Yaxshi seriyali modellarni yaratish mavsumiy sozlash va tekislash kabi boshqa ilovalar uchun ham zarur. Va nihoyat, tuzilgan modellar katta tizimlarni o'rganishda kuzatuvlarning uzoq seriyalarini statistik modellashtirish uchun ishlatilishi mumkin, ular uchun vaqt seriyalari kirish ma'lumoti sifatida qaraladi.

Iqtisodiy ko'rsatkichlarni o'lchashda xatolar mavjudligi, kuzatilayotgan tizimlarga xos bo'lgan tasodifiy tebranishlar mavjudligi sababli vaqt qatorlarini o'rganishda ehtimollik-statistik yondashuv keng qo'llaniladi. Ushbu yondashuv doirasida kuzatilgan vaqt qatori qandaydir tasodifiy jarayonning amalga oshirilishi deb tushuniladi. Bunday holda, vaqt seriyasi uni mustaqil ketma-ketlikdan ajratib turadigan qandaydir tuzilishga ega deb bilvosita taxmin qilinadi. tasodifiy o'zgaruvchilar, shuning uchun kuzatishlar butunlay mustaqil raqamli qiymatlar to'plami emas. (Qator strukturasining ba'zi elementlarini ba'zan ketma-ketlik grafigini oddiy vizual tahlil qilish asosida aniqlash mumkin. Bu, masalan, trend va tsikllar kabi qator komponentlariga tegishli.) seriyalarni kuzatishlar soniga nisbatan kam sonli parametrlarni o'z ichiga olgan model bilan tavsiflash mumkin, bu prognozlash uchun modeldan foydalanishda amaliy ahamiyatga ega. Bunday modellarga avtoregressiya, harakatlanuvchi o'rtacha modellar va ularning kombinatsiyalari - AR(p), MA(q), ARMA(p, q), ARIMA(p, k, q) modellari misol bo'la oladi.

Uzoq muddatli istiqbolda munosabatlar modellarini qurishda tahlil qilinayotgan makroiqtisodiy qatorlar stoxastik (nodeterministik) tendentsiyaga ega yoki yo'qligini hisobga olish kerak. Boshqacha qilib aytganda, ko'rib chiqilayotgan seriyalarning har biri deterministik tendentsiya (yoki oddiygina statsionar) - TS (trend statsionar) qatoriga nisbatan statsionar bo'lgan qatorlar sinfiga yoki qatorlar sinfiga tegishli ekanligini aniqlash kerak. stokastik tendentsiyaga ega bo'lgan (ehtimol deterministik tendentsiya bilan birga) va statsionar (yoki deterministik tendentsiyaga nisbatan statsionar) qatorga faqat bitta yoki k-katta differensiallash orqali olib keladigan - DS (farq statsionar) qatorlar. Seriyalarning bu ikki klassi o'rtasidagi tub farq shundan iboratki, TS seriyasida tegishli deterministik tendentsiyani ketma-ketlikdan ayirish quyidagi natijaga olib keladi: statsionar qator, DS qatorida esa, seriyaning deterministik komponentini ayirish, unda stokastik tendentsiya mavjudligi sababli seriyani statsionar bo'lmagan holda qoldiradi.

1-bob. Vaqt seriyalari tahlilining asosiy vazifalari.

Vaqt seriyasi va tasodifiy tanlamani tashkil etuvchi kuzatishlar ketma-ketligi o'rtasidagi asosiy farqlar quyidagilardan iborat:

birinchidan, tasodifiy tanlama elementlaridan farqli o'laroq, vaqt qatori a'zolari mustaqil emas;

ikkinchidan, vaqt qatorining a'zolari teng taqsimlanishi shart emas, shuning uchun P(xt< x} P{xt < x} при t t.

Bu shuni anglatadiki, tasodifiy tanlamaning statistik tahlilining xossalari va qoidalarini vaqtli qatorlarga kengaytirib bo'lmaydi. Boshqa tomondan, vaqt seriyasi a'zolarining o'zaro bog'liqligi kuzatilgan qiymatlar asosida tahlil qilinayotgan ko'rsatkichning bashoratli qiymatlarini qurish uchun o'ziga xos asos yaratadi.

Vaqt seriyasini tashkil etuvchi kuzatuvlarning genezisi (ma'lumotlarni yaratish mexanizmi). Bu haqida vaqt seriyalarining qiymatlari ta'sirida shakllanadigan asosiy omillarning tuzilishi va tasnifi haqida. Qoida tariqasida, bunday omillarning 4 turi ajratiladi.

Uzoq muddatli, tahlil qilinadigan xususiyat xt o'zgarishida umumiy (uzoq muddatda) tendentsiyani shakllantirish. Odatda bu tendentsiya u yoki bu tasodifiy bo'lmagan ftr(t) funksiyasi yordamida tasvirlanadi (uning argumenti vaqt), odatda monotonik. Bu funksiya trend funktsiyasi yoki oddiygina trend deb ataladi.

Mavsumiy, davriy ravishda takrorlanib turadigan shakllanish ma'lum vaqt tahlil qilinayotgan belgining tebranish yillari. Ushbu funktsiya (e) davriy bo'lishi kerakligi sababli (davrlar "fasllarning" ko'paytmalari bilan), uning analitik ifodasi garmonikani o'z ichiga oladi ( trigonometrik funktsiyalar), ularning chastotasi, qoida tariqasida, vazifaning mazmuni bilan belgilanadi.

Iqtisodiy yoki demografik xarakterdagi uzoq muddatli tsikllar (Kondratiev to'lqinlari, demografik "chuqurliklar" va boshqalar) ta'sirida tahlil qilinadigan xususiyatdagi o'zgarishlarni shakllantiradigan tsiklik (opportunistik) tsiklik omillar ta'sirining natijasi belgilanadi. tasodifiy bo'lmagan funksiya (t) yordamida.

Tasodifiy (tartibsiz), buxgalteriya hisobi va ro'yxatga olinishi mumkin emas. Ularning vaqt qatori qiymatlarining shakllanishiga ta'siri shunchaki xt elementlarining stoxastik tabiatini va shuning uchun x1,..., xT ni tasodifiy o'zgaruvchilar 1,..., T bo'yicha kuzatuvlar sifatida izohlash zarurligini aniqlaydi. tasodifiy miqdorlar ("qoldiqlar", "xatolar") t yordamida tasodifiy omillar ta'siri natijasini bildiradi.

Albatta, har qanday vaqt seriyasining qiymatlarini shakllantirish jarayonida barcha to'rt turdagi omillar bir vaqtning o'zida ishtirok etishi shart emas. Ushbu turdagi omillarning ma'lum bir qator qiymatlarini shakllantirishda ishtirok etishi yoki yo'qligi haqidagi xulosalar muammoning mazmun mohiyatini tahlil qilish va o'rganilayotgan vaqt seriyasining maxsus statistik tahliliga asoslanishi mumkin. . Biroq, barcha holatlarda tasodifiy omillarning ajralmas ishtiroki taxmin qilinadi. Shunday qilib, in umumiy ko'rinish ma'lumotlarni ishlab chiqarish modeli (omillar ta'sirining qo'shimcha blok diagrammasi bilan) quyidagicha ko'rinadi:

xt = 1f(t) + 2(t) +3(t) + t. (bir)

Bunda i = 1, agar i-turdagi omillar qator qiymatlarini shakllantirishda ishtirok etsa, aks holda i = 0.

Vaqt seriyalari tahlilining asosiy vazifalari. Vaqt seriyasining statistik tahlilining asosiy maqsadi ushbu seriyaning mavjud traektoriyasiga rioya qilishdir:

kengayishda tasodifiy bo'lmagan funktsiyalardan qaysi biri mavjudligini aniqlang (1), ya'ni. i ko'rsatkichlarining qiymatlarini aniqlash;

kengaytirishda mavjud bo'lgan tasodifiy bo'lmagan funktsiyalar uchun "yaxshi" baholarni yaratish (1);

tasodifiy qoldiqlar t xatti-harakatini adekvat tavsiflovchi modelni tanlash va ushbu modelning parametrlarini statistik baholash.

Vaqt seriyasini statistik tahlil qilishning asosiy maqsadi tufayli sanab o'tilgan vazifalarni muvaffaqiyatli hal qilish yakuniy amaliy tadqiqot maqsadlariga erishish va birinchi navbatda qisqa va o'rta muddatli prognozlash muammosini hal qilish uchun asosdir. vaqt seriyasining qiymatlari. Vaqt seriyalarining ekonometrik tahlilining asosiy elementlarini qisqacha ko'rsatamiz.

· Ko'pgina matematik-statistik usullar kuzatishlar mustaqil va teng taqsimlangan deb taxmin qilinadigan modellar bilan shug'ullanadi. Shu bilan birga, kuzatishlar o'rtasidagi bog'liqlik ko'pincha ushbu usullarni samarali qo'llashga to'sqinlik qiladi. Biroq, iqtisodiyot, sotsiologiya, moliya, tijorat va inson faoliyatining boshqa sohalaridagi turli ma'lumotlar kuzatuvlar o'zaro bog'liq bo'lgan vaqt qatorlari shaklida keladi va bu bog'liqlikning tabiati tadqiqotchi uchun asosiy qiziqish uyg'otadi. Bunday qaram kuzatuvlar qatorini o‘rganish usullari va modellari to‘plamiga vaqtli ketma-ketlik tahlili deyiladi. Vaqt seriyalarini ekonometrik tahlil qilishning asosiy maqsadi, iloji boricha, mavjud kuzatuvlar seriyasini adekvat tavsiflovchi va birinchi navbatda quyidagi vazifalarni hal qilish uchun asos bo'lgan sodda va iqtisodiy parametrlangan modellarni yaratishdir:

a) tahlil qilinayotgan kuzatuvlarning kelib chiqish mexanizmini ochib berish

(b) vaqt seriyasi;

tahlil qilinayotgan jarayonlarni boshqarish va optimallashtirish strategiyasini ishlab chiqish.

· Vaqt seriyasini tashkil etuvchi kuzatishlar genezisi haqida gapirganda, ushbu kuzatishlar ta'sirida shakllanishi mumkin bo'lgan to'rt turdagi omillarni yodda tutish (va iloji bo'lsa, namunaviy tarzda tavsiflash) kerak: uzoq muddatli, mavsumiy. , siklik (yoki kon'yunktura) va tasodifiy. Shu bilan birga, barcha to'rt turdagi omillar ma'lum bir vaqt seriyasining qiymatlarini shakllantirish jarayonida ishtirok etishi shart emas. Ushbu omillarning ta'sirini aniqlash va modellashtirish muammolarini muvaffaqiyatli hal qilish yakuniy amaliy tadqiqot maqsadlariga erishishning asosi, asosiy boshlang'ich nuqtasi bo'lib, ularning asosiylari oldingi paragrafda aytib o'tilgan.

· Xronologik tartibda joylashtirilgan kuzatuvlarning diskret seriyasini tahlil qilishni boshlaganda, birinchi navbatda, ushbu qator qiymatlarini shakllantirishda tasodifiy omillardan tashqari boshqa omillar ham ishtirok etganligiga ishonch hosil qilish kerak. Shu bilan birga, "sof tasodifiy" faqat tasodifiy omillarni anglatadi, ularning ta'siri ostida doimiy (vaqtdan mustaqil) o'rtacha va dispersiyalarga ega bo'lgan o'zaro bog'liq bo'lmagan va bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi hosil bo'ladi.

Agar bunday tekshirish natijasida statistik gipoteza Ma'lum bo'lishicha, mavjud kuzatuvlar o'zaro bog'liq (va, ehtimol, notekis taqsimlangan), keyin ular ushbu seriya uchun mos modelni tanlashga kirishadilar. Ushbu tanlov amalga oshiriladigan modellar to'plami odatda quyidagi modellar sinflari bilan chegaralanadi: (a) statsionar vaqt seriyalari sinfi (ular asosan "tasodifiy qoldiqlar" xatti-harakatlarini tavsiflash uchun ishlatiladi), (b) Deterministik tendentsiya va statsionar vaqt seriyasining yig'indisi bo'lgan statsionar bo'lmagan vaqt seriyalari sinfi, (c) ketma-ket differensiallash yo'li bilan olib tashlanishi mumkin bo'lgan stoxastik tendentsiyaga ega bo'lgan statsionar bo'lmagan vaqt seriyalari sinfi (ya'ni. bir qator darajalardan birinchi yoki undan yuqori darajadagi farqlar qatoriga o'tish).

Makroiqtisodiy ko'rsatkichlarning vaqt qatorlarini ekonometrik tahlil qilish doirasida Rossiya iqtisodiyoti Ushbu ishda biz (a) va (b) sinflardagi seriyalarni bir sinfga birlashtiramiz, bu so'nggi amaliyotdan so'ng [qarang, masalan, Maddala, Kim (1998), biz sinfni TS- qatorlar deb ataymiz ( trend statsionar qator - deterministik tendentsiyaga nisbatan statsionar bo'lgan qatorlar). (b) sinfga tegishli statsionar vaqt qatorlari uchun adekvat usul qatordan deterministik tendentsiyani ayirish hisoblanadi. Aksincha, (c) sinfga tegishli qatorlar uchun statsionar qatorlar uchun adekvat usul darajalar qatoridan farqlar qatoriga (birinchi yoki undan yuqori tartibli) o'tish hisoblanadi.

· Statsionar (keng ma'noda) xt vaqt seriyalari ularning o'rtacha qiymatlari Ext, Dxt dispersiyalari va kovariatsiyalari () = E ular hisoblangan t ga bog'liq emasligi bilan tavsiflanadi. Statsionar vaqt seriyasining a'zolari o'rtasida mavjud bo'lgan o'zaro bog'liqliklarni, qoida tariqasida, p-tartibli avtoregressiv modellar (AR(p)-modellar), q-tartibli harakatlanuvchi o'rtacha modellar (MA(q)) doirasida adekvat tasvirlash mumkin. -modellar) yoki p va q tartibining qoldiqlarida harakatlanuvchi o'rtacha avtoregressiv modellar (ARMA(p, q)-modellar).

· xt vaqt seriyasi k tartibli integral (integrallashgan) deyiladi, agar ushbu k tartibli qatorning (lekin undan kam tartibli emas!) ketma-ket kxt farqlari statsionar vaqt qatorini tashkil qilsa. Amaliy ekonometrik masalalarda bunday seriyalarning, shu jumladan mavsumiy komponentni o'z ichiga olgan qatorlarning harakati integratsiyalashgan harakatlanuvchi o'rtacha tartibli p, k va q avtoregressiya modellari (ARIMA(p, k, q) modellari) va ularning ba'zi modifikatsiyalari yordamida juda muvaffaqiyatli tasvirlangan. . Bu sinf shuningdek, eng oddiy stokastik trend modeli - tasodifiy yurish jarayonini (ARIMA(0, 1, 0)) o'z ichiga oladi. Tasodifiy yurish bosqichlari mustaqil, bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar ("oq shovqin") ketma-ketligini hosil qiladi. Shuning uchun, tasodifiy yurish jarayoni "integratsiyalashgan oq shovqin" deb ham ataladi.

Hozirgi vaqtda k tartibli integral qatorlar sinfiga qatorlar ham kiradi, ular uchun k tartibli farq (lekin kam emas!) deterministik tendentsiyaga nisbatan statsionar jarayondir. Bu bizning ishimizda ishlatiladigan ta'rif. Bundan tashqari, agar vaqt seriyasining o'zi deterministik tendentsiyaga (TS-seriya) nisbatan statsionar yoki statsionar bo'lsa, u integral nol tartibli qator sifatida aniqlanadi.

Mavsumiylik mavjud bo'lganda, ba'zida qatorning qo'shni qiymatlari emas, balki tegishli vaqt birliklari bilan ajratilgan qiymatlar farqlariga o'tish orqali statsionar qatorni olish mumkin. Masalan, har choraklik ma'lumotlar bilan, statsionarlikka erishish uchun 4 birlik vaqt oralig'ida ketma-ket qiymatlardagi farqlar ketma-ketligiga o'tish etarli bo'lishi mumkin.

Muayyan vaqt seriyasi (xt), t = 1, 2,…, T uchun modelni moslashtirish, tegishli echimlar to'plami sifatida modellarning tegishli parametrik oilasini aniqlash va keyin mavjud kuzatishlar x1 asosida model parametrlarini statistik baholashni anglatadi, x2,…, xT. Bu butun jarayon modelni aniqlash jarayoni yoki oddiygina identifikatsiyalash deb ataladi. Vaqt seriyalari modelini to'g'ri aniqlash uchun o'rganilayotgan vaqt seriyasi statsionarmi, deterministik tendentsiyaga (ya'ni, deterministik komponentlar va statsionar qatorlar yig'indisi) nisbatan statsionarmi yoki u stokastik tendentsiyani o'z ichiga oladimi yoki yo'qligini hal qilish kerak. Ushbu ishning asosiy qismi bir qator rus makroiqtisodiy seriyalari uchun ushbu muammoni hal qilishga bag'ishlangan.

Vaqt seriyalari (xt) va (yt), t = 1, 2,…, T, x bo'yicha y regressiyasini qurish uchun dastlabki ma'lumotlar bo'lgan holatlarda va ulardan birida bir martalik o'zgarishlarning ta'siri ( x) ikkinchisida (y) vaqt bo'yicha cho'zilgan (tarqatilgan), taqsimlangan kechikish deb ataladigan modellar katta amaliy qiziqish uyg'otadi. Modellarning ushbu maxsus sinfi doirasida, xususan, "qisman moslashtirish jarayoni", "moslashuvchan kutish modellari" va boshqalar kabi muhim iqtisodiy hodisalarning ekonometrik tahlili amalga oshiriladi.

Iqtisodiy qarorlarni qo'llab-quvvatlash tizimlarida iqtisodiy ko'rsatkichlarni prognozlash muhim rol o'ynaydi. Vaqt seriyalari tahliliga asoslangan avtomatik prognozlash usullari mavjud qatorlarni faqat undagi ma'lumotlar asosida ekstrapolyatsiya qiladi. Bunday prognoz faqat qisqa va ko'pi bilan o'rta muddatli istiqbolda samarali bo'lishi mumkin. Uzoq muddatli prognozlash muammolarini jiddiy hal qilish kompleks yondashuvlardan foydalanishni va, birinchi navbatda, ekspert baholarini yig'ish va tahlil qilish uchun turli xil (shu jumladan statistik) texnologiyalarni jalb qilishni talab qiladi.

Qisqa va o'rta muddatli avtoprognozlash muammolarini hal qilishning samarali yondashuvi - bu ARIMA (p, k, q) tipidagi "o'rnatilgan" (aniqlangan) modellardan foydalanishga asoslangan prognozlash, shu jumladan, alohida holatlar sifatida, AR-, MA-. va ARMA modellari.

Moslashuvchan deb ataladigan usullar qisqa va o'rta muddatli avtoprognozlarning amaliy muammolarini hal qilishda ham juda keng tarqalgan bo'lib, ular ilgari qilingan prognozlarni minimal kechikish bilan yangilash va yangi ma'lumotlar paydo bo'lishi bilan nisbatan sodda matematik protseduralardan foydalanish imkonini beradi.

2-bob. Vaqt ketma-ketligini tahlil qilish

2.1. Statsionar vaqt qatorlari va ularning asosiy xarakteristikalari

Tahlil qilinayotgan xt vaqt seriyasining t tasodifiy qoldiqlarining harakatini adekvat tavsiflovchi modelni izlash odatda statsionar vaqt qatorlari sinfida amalga oshiriladi.

Ta'rif 2.1. Agar m ta kuzatuvning birgalikdagi ehtimollik taqsimoti har qanday va t1,..., tm uchun m ta kuzatuv bilan bir xil bo'lsa, xt seriyasi qat'iy statsionar (yoki tor ma'noda statsionar) deb ataladi.

Boshqacha qilib aytganda, qat'iy statsionar vaqt qatorining xossalari vaqtning kelib chiqishi o'zgartirilganda o'zgarmaydi. Xususan, m = 1 uchun xt vaqt qatorining qat’iy statsionarligi haqidagi farazdan kelib chiqadiki, xt tasodifiy o‘zgaruvchining ehtimollik taqsimot qonuni t ga bog‘liq emas, ya’ni uning barcha asosiy raqamli xususiyatlar, shu jumladan: o'rtacha Ext = va dispersiya Dxt = 2.

Shubhasiz, qiymat tahlil qilinayotgan xt vaqt seriyasining o'zgaruvchanligiga nisbatan doimiy darajani aniqlaydi va doimiy qiymat bu tebranishlar diapazonini tavsiflaydi. xt tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimot qonuni hamma t uchun bir xil bo'lganligi sababli, u va uning asosiy sonli xarakteristikalarini x1,..., xT kuzatishlar asosida baholash mumkin. Ayniqsa:

o'rtacha qiymatni baholash, dispersiyani baholash.

Avtokovariatsiya funktsiyasi (). Avtokovariatsiya funktsiyasining qiymatlari vaqt seriyasining mavjud kuzatuvlaridan formuladan foydalangan holda statistik tarzda baholanadi.

Bu erda = 1,… T 1 va formula (2.1) bo'yicha hisoblanadi.

Shubhasiz, avtokovariatsiya funksiyasining = 0 da qiymati vaqt seriyasining dispersiyasidan boshqa narsa emas.

Avtokorrelyatsiya funksiyasi r(). Vaqt seriyasini tashkil etuvchi kuzatishlar ketma-ketligi va tasodifiy tanlama o'rtasidagi asosiy farqlardan biri shundaki, vaqt seriyasining a'zolari, umuman olganda, statistik jihatdan o'zaro bog'liqdir. Qattiqlik darajasi statistik aloqa ikki tasodifiy o'zgaruvchilar orasidagi juft korrelyatsiya koeffitsienti bilan o'lchanishi mumkin. Bizning holatimizda koeffitsient bir xil vaqt qatori a'zolari o'rtasidagi korrelyatsiyani o'lchaganligi sababli, u odatda avtokorrelyatsiya koeffitsienti deb ataladi. Qiymatga qarab r() qiymatining o'zgarishini tahlil qilganda, r() avtokorrelyatsiya funksiyasi haqida gapirish odatiy holdir. Avtokorrelyatsiya funksiyasining syujeti ba'zan korrelogramma deb ataladi. Avtokorrelyatsiya funktsiyasi (avtokovariatsiya funktsiyasidan farqli o'laroq) o'lchovsiz, ya'ni. tahlil qilinayotgan vaqt seriyasining o'lchov shkalasiga bog'liq emas. Uning qiymatlari, ta'rifiga ko'ra, 1 dan +1 gacha bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, statsionarlikdan kelib chiqadiki, r () = r (), shuning uchun avtokorrelyatsiya funktsiyalarining xatti-harakatlarini tahlil qilishda biz faqat ijobiy qiymatlarni hisobga olish bilan cheklanamiz.

Umumiy bor xususiyatlari, bu statsionar vaqt seriyasining avtokorrelyatsiya funktsiyasining xatti-harakatlarini ajratib turadi. Boshqacha qilib aytganda, tasvirlash mumkin umumiy ma'noda statsionar vaqt qatori korrelogrammasining sxematik ko'rinishi. Bu quyidagi umumiy mulohaza bilan bog'liq: aniqki, xt va xt+ vaqt qator a'zolari vaqt bo'yicha qancha ko'p ajratilsa, bu a'zolarning munosabati shunchalik zaif va shunga mos ravishda r() ning mutlaq qiymati ham shunchalik kichik bo'lishi kerak. Bundan tashqari, ba'zi hollarda r0 chegara qiymati mavjud bo'lib, undan boshlab barcha qiymatlar nolga teng bo'ladi.

Shaxsiy avtokorrelyatsiya funksiyasi rpart(). Ushbu funktsiya yordamida xt va xt+ vaqt seriyalari a'zolarining ajratilgan vaqt taktikalari o'rtasida mavjud bo'lgan avtokorrelyatsiyani o'lchash g'oyasi amalga oshiriladi, bu vaqt seriyasining barcha oraliq a'zolarining ushbu o'zaro bog'liqlikka bilvosita ta'siri yo'q qilinadi. 1-tartibli qisman avtokorrelyatsiyani quyidagi munosabat yordamida hisoblash mumkin:

bu erda tahlil qilinayotgan statsionar jarayonning o'rtacha qiymati.

Yuqori darajali qisman avtokorrelyatsiyalarni ham xuddi shunday tarzda R = ||rij|| umumiy korrelyatsiya matritsasi elementlari orqali hisoblash mumkin, bunda rij = r(xi, xj) = r(|i j|), bu yerda i, j. = 1,… , T va r(0) = 1. Demak, masalan, 2-tartibning qisman avtokorrelyatsiyasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Avtokorrelyatsiya funktsiyalarining empirik (tanlangan) versiyalari bir xil munosabatlar (2.4), (2.5) yordamida ulardagi nazariy avtokorrelyatsiya qiymatlarini r() bilan almashtirish orqali olinadi. statistik hisob-kitoblar.

Olingan qisman avtokorrelyatsiyalar rpart(1), rpart(2),… grafikda chizilishi mumkin, bunda siljish qiymati abscissa rolini o'ynaydi. r() va rpart() avtokorrelyatsiya funksiyalarini bilish tahlil qilinayotgan vaqt seriyasining modelini tanlash va aniqlash masalasini hal qilishda muhim yordam beradi.

Amaliy vaqtli qatorlar tahlilida ushbu funksiyaning xossalaridan foydalanish “vaqt qatorlarining spektral tahlili” deb taʼriflanadi. Ushbu yondashuvning to'liq tavsifi, masalan, [Jenkins, Watts (1971, 1972)] va [Lloyd, Lederman (1990)] da keltirilgan. Iqtisodiy vaqt seriyalarining statistik tahliliga kelsak, bunday yondashuv qabul qilinmagan keng tarqalgan, chunki spektral zichlikning empirik tahlili uning axborot bazasi sifatida yetarlicha uzun statsionar vaqt seriyasini yoki tahlil qilinayotgan vaqt seriyasining bir nechta traektoriyalarini talab qiladi (iktisodiy vaqt qatorlarini statistik tahlil qilish amaliyotida ikkala holat ham juda kam uchraydi).

Ma'noli tahlil qilish uchun spektral zichlik qiymati xt vaqt seriyasi va 2/ davriga ega garmonik o'rtasida mavjud bo'lgan munosabatlarning kuchini tavsiflashi muhimdir. Bu spektrdan tahlil qilinayotgan vaqt qatoridagi davriyliklarni olish vositasi sifatida foydalanish imkonini beradi: spektr cho'qqilari to'plami kengayishdagi garmonik komponentlar to'plamini aniqlaydi. Agar seriya yashirin chastotali garmonikani o'z ichiga olsa, unda /2, /3 va hokazo chastotali davriy atamalar ham mavjud. Bu past chastotalarda spektr tomonidan takrorlanadigan "echo" deb ataladigan narsa. "Echo" effekti maqolada 1875-1958 yillar davomida AQSh banklari o'rtasida bir qator oylik naqd pulsiz to'lovlar misolida tahlil qilingan.

Iqtisodiy dinamikaning aniq qatorlarini tahlil qilishda foydalaniladigan statsionar vaqt qatorlari modellari sinfini biroz kengaytirish mumkin.

Ta'rif 2.2. Seriya kuchsiz statsionar (yoki keng statsionar) deyiladi, agar uning oʻrtacha, dispersiya va kovariantligi t ga bogʻliq boʻlmasa.

2.2. Vaqt seriyasining tasodifiy bo'lmagan komponenti va uni tekislash usullari.

Kengayish tendentsiyasini, mavsumiy va tsiklik tarkibiy qismlarini aniqlash va baholash muammolarini hal qilishda (1.1.1) tahlilning dastlabki bosqichi muhim rol o'ynaydi, bunda:

kengayishda (1.1.1) tasodifiy bo'lmagan (va vaqtga bog'liq) komponentning mavjudligi / yo'qligi faktining o'zi aniqlandi; Aslida, bu statistik gipoteza testidir.

H0: Ext = = const (2.6)

(shu jumladan o'rganilayotgan vaqt seriyasi a'zolarining o'zaro statistik mustaqilligi haqidagi bayonot) turdagi muqobil gipotezalarni konkretlashtirishning turli xil variantlari bilan

noma'lum integral tasodifiy bo'lmagan komponent f (t) = 1ftr (t) + 2 (t) +3 (t) uchun taxmin (taxminan) tuziladi, ya'ni. tahlil qilinayotgan xt vaqt qatorini tekislash (tasodifiy qoldiqlarni t bartaraf etish) masalasi hal qilinadi.

Vaqt seriyasining harakatini aks ettiruvchi traektoriyada tasodifiy bo'lmagan komponentni ajratib olish usullari ikki turga bo'linadi.

Birinchi turdagi (analitik) usullar kengayishdagi tasodifiy bo'lmagan komponentning umumiy shakli ma'lum degan taxminga asoslanadi.

f(t) = 1ftr(t) + 2(t) +3(t). (2.8)

Masalan, vaqt qatorining tasodifiy bo'lmagan komponenti tasvirlanganligi ma'lum bo'lsa chiziqli funksiya vaqt f(t) = 0 + 1t, bu erda 0 va 1 modelning ba'zi noma'lum parametrlari bo'lsa, u holda uni tanlash masalasi (tasodifiy qoldiqlarni yo'q qilish muammosi yoki vaqt seriyasini tekislash muammosi) muammosiga keltiriladi. model parametrlari uchun ham yaxshi hisob-kitoblarni tuzish.

Ikkinchi turdagi (algoritmik) usullar tadqiqotchiga kerakli funksiyaning umumiy analitik shakli (2.8) ma’lum degan cheklovchi taxmin bilan bog‘lanmaydi. Shu ma'noda, ular yanada moslashuvchan, yanada jozibali. Biroq, muammoning "chiqishida" ular tadqiqotchiga faqat istalgan f (t) funktsiyasi uchun taxminni har qanday oldindan hisoblash algoritmini taklif qilishadi. berilgan nuqta t va funktsiyaning analitik tasviri deb da'vo qilmang.

Vaqt seriyasining tasodifiy bo'lmagan komponentini tanlash (baholash)ning analitik usullari. Ushbu usullar regressiya modellari doirasida amalga oshiriladi, bunda xt o'zgaruvchisi bog'liq o'zgaruvchi rolini o'ynaydi, va vaqt t yagona tushuntiruvchi o'zgaruvchi sifatida ishlaydi. Shunday qilib, biz shaklning regressiya modelini ko'rib chiqamiz

xt = f(t,) + t, t = 1,…, T, bunda f(t,) funksiyaning umumiy shakli ma'lum, lekin parametrlarning qiymatlari = (0, 1,…, m) noma'lum. Parametrlarni baholash kuzatuvlarga asoslanadi. Baholash usulini tanlash f(t,) funksiyaning faraziy shakliga va tasodifiy regressiya qoldiqlari t ning stoxastik tabiatiga bog'liq.

Vaqt seriyasining tasodifiy bo'lmagan komponentini olishning algoritmik usullari (harakatlanuvchi o'rtacha usullar). Tahlil qilinayotgan vaqt seriyasining xatti-harakatlaridagi tasodifiy tebranishlarni bartaraf etishning ushbu usullari oddiy fikrga asoslanadi: agar vaqt seriyasi a'zosi qiymatlarining "individual" tarqalishi xt o'rtacha (tekislashtirilgan) a qiymati atrofida tavsiflangan bo'lsa. dispersiya 2 bo'lsa, u holda vaqt seriyasining N a'zolarining o'rtacha tarqalishi (x1 + x2 +…+ xT) / N a ning bir xil qiymatiga yaqinligi ancha kichikroq dispersiya qiymati, ya'ni ga teng dispersiya bilan tavsiflanadi. 2 / N. Va tasodifiy tarqalish (variatsiya) o'lchovining pasayishi mos keladigan traektoriyaning aniq tekislanishini anglatadi. Shuning uchun, tahlil qilinadigan vaqt seriyasining ketma-ket a'zolari sonida o'lchanadigan ba'zi bir g'alati "o'rtacha uzunlik" N = 2m + 1 tanlanadi. Keyin xt vaqt seriyasining tekislangan qiymati xtm, xtm+1,…, xt, xt+1,…, xt+m qiymatlaridan hisoblanadi.

Bu erda wk (k = m, m + 1,…, m) birga to'g'ri keladigan ba'zi ijobiy "og'irlik" koeffitsientlari, ya'ni. hafta > 0 va. t ni m + 1 dan T m ga o'zgartirib, biz vaqt o'qi bo'ylab "siljib" ketayotganga o'xshaymiz, keyin (2.9) formulaga asoslangan usullar odatda harakatlanuvchi o'rtacha usullar (MSA) deb ataladi.

Shubhasiz, bir MSS boshqasidan m va wk parametrlarini tanlashda farq qiladi.

Wk opsiyalarining ta'rifi quyidagi protseduraga asoslanadi. Weierstrass teoremasiga ko'ra, eng umumiy farazlar ostidagi har qanday silliq funksiya f(x) tegishli p darajali algebraik ko'phad bilan mahalliy sifatida ifodalanishi mumkin. Shuning uchun, biz x1,…, x2m+1 vaqt seriyasining birinchi 2m + 1 shartlarini olamiz, LSM yordamida vaqt seriyasining ushbu boshlang'ich qismining xatti-harakatini taxmin qiladigan p darajali polinomni tuzamiz va aniqlash uchun ushbu polinomdan foydalanamiz. Seriyaning ushbu segmentining o'rta (ya'ni (m + 1)-th) nuqtasida vaqt seriyasining f (t) tekislangan qiymatini baholash, ya'ni. Ishonamizki. Keyin biz vaqt o'qi bo'ylab bir sikl bo'ylab "siljiymiz" va xuddi shu tarzda biz x2,..., xm+2 vaqt seriyasi segmentiga bir xil p darajali polinomni tanlaymiz va vaqt seriyasining tekislangan qiymatining taxminini aniqlaymiz. vaqt seriyasi segmentining o'rta nuqtasida bittaga siljigan, ya'ni. , va hokazo.

Natijada, t = 1,…, m va t = T,… T m + 1 dan tashqari barcha t uchun tahlil qilingan vaqt seriyasining tekislangan qiymatlari uchun hisob-kitoblarni topamiz.

Tahlil qilinayotgan vaqt seriyasining traektoriyasiga yaqinlashtiruvchi polinomning eng yaxshisini (eng kichik kvadratlar mezoni ma'nosida) tanlash shakl formulasiga olib keladi va natija bu tanlovning qaysi "siljish" vaqt oralig'iga bog'liq emas. uchun yaratilgan.

Eksponensial vaznli harakatlanuvchi o'rtacha (Braun usuli). Ushbu usulga muvofiq, t nuqtadagi tekislangan qiymatni baholash shaklni optimallashtirish muammosining echimi sifatida aniqlanadi.

qayerda 0< < 1. Следовательно, веса k в критерии Q(f) обобщенного («взвешенного») МНК уменьшаются экспоненциально по мере удаления наблюдений xtk в прошлое. Решение оптимизационной задачи (2.10) дает:

Odatdagi MCCdan farqli o'laroq, o'rtacha oraliqning faqat o'ng uchi bu erda siljiydi va bundan tashqari, biz o'tmishga o'tgan sayin og'irliklar eksponent ravishda kamayadi. Formula (2.11) vaqt seriyasining tekislangan qiymatini o'rtada emas, balki o'rtacha intervalning o'ng oxirgi nuqtasida baholaydi.

2.3. Statsionar vaqt seriyalarining modellari va ularni aniqlash.

2.2 da statsionar vaqt seriyalari sinfi ko'rib chiqildi, uning doirasida o'rganilayotgan vaqt seriyasining tasodifiy qoldiqlarining xatti-harakatlarini tavsiflash uchun mos bo'lgan model tanlangan (1). Bu erda biz ushbu sinfdan chiziqli parametrik modellar to'plamini va ularni aniqlash usullarini ko'rib chiqamiz. Shunday qilib, biz bu erda vaqt qatorlarini modellashtirish haqida emas, balki ularning tasodifiy bo'lmagan komponentini (2.8) dastlabki xt vaqt seriyasidan chiqarib tashlaganidan keyin olingan tasodifiy qoldiqlari t ni modellashtirish haqida gapiramiz. Shuning uchun, tasodifiy qoldiqlarning qiymatlarini e'tiborsiz qoldiradigan regressiya modeliga asoslangan prognozdan farqli o'laroq, vaqt seriyasini prognozlash tasodifiy qoldiqlarning o'zaro bog'liqligi va prognozidan sezilarli darajada foydalanadi.

Keling, notatsiya bilan tanishamiz. Tasodifiy qoldiqlarning xatti-harakati bu erda tasvirlanganligi sababli, biz simulyatsiya qilingan vaqt qatorini t bilan belgilaymiz va biz barcha t uchun uning matematik kutilishi nolga teng deb hisoblaymiz, ya'ni. Et, 0. “Oq shovqin” hosil qiluvchi vaqt ketma-ketliklari t bilan belgilanadi.

Quyida ko'rib chiqilgan modellarning tavsifi va tahlili oq shovqinning hozirgi va o'tmishdagi qiymatlarining vaznli yig'indisi sifatida ifodalangan umumiy chiziqli jarayon nuqtai nazaridan tuzilgan, xususan:

Shunday qilib, oq shovqin bir qator impulslar bo'lib, ular real vaziyatlarning keng sinfida o'rganilayotgan vaqt seriyasining tasodifiy qoldiqlarini hosil qiladi.

Vaqt seriyasi t ekvivalent shaklda ifodalanishi mumkin, bunda u klassik chiziqli ko'p regressiya modeli shaklida olinadi, bunda o'zining barcha o'tmishdagi qiymatlari tushuntirish o'zgaruvchilari sifatida ishlaydi:

Bunda 1, 2,... vazn koeffitsientlari t qatorning statsionarligini ta'minlovchi ma'lum shartlar bilan bog'lanadi. (2.14) dan (2.13) ga o'tish t1, t2, ... o'rniga (2.14) o'ng tomoniga ketma-ket almashtirish orqali amalga oshiriladi, ularning t 1, t 2 vaqt momentlari uchun (2.14) ga muvofiq hisoblangan ifodalari. , va boshqalar.

Keling, jarayonning avtoregressiv shartlari va oq shovqin elementlarining sirpanish yig'indisi mavjud bo'lgan aralash turdagi jarayonni ham ko'rib chiqaylik:

Biz faraz qilamizki, p va q cheksiz qiymatlarni ham olishi mumkin, shuningdek, alohida hollarda ayrim (yoki hatto barcha) koeffitsientlar yoki nolga teng.

Avval eng oddiy maxsus holatlarni ko'rib chiqing.

1-tartibli avtoregressiv model AR(1) (Markov jarayoni). Ushbu model (2.14) turdagi avtoregressiv jarayonning eng oddiy versiyasi bo'lib, birinchisidan tashqari barcha koeffitsientlar nolga teng bo'ladi. Shunga ko'ra, uni ifoda bilan aniqlash mumkin

t = t1 + t, (2.15)

bu erda mutlaq qiymatda birdan oshmaydigan ba'zi bir raqamli koeffitsient (||< 1), а t последовательность случайных величин, образующая белый шум. При этом t зависит от t и всех предшествующих, но не зависит от будущих значений. Соответственно, в уравнении (2.15) t не зависит от t1 и более ранних значений. В связи с этим, t называют инновацией (обновлением).

(2.15) munosabatni qanoatlantiruvchi ketma-ketliklar ko'pincha Markov jarayonlari deb ham ataladi. Bu shuni anglatadiki

r(t, tk) = k, (2.17)

cov(t, tk) = kDt. (2.19)

(2.19) ning muhim natijalaridan biri shundaki, agar || birlikka yaqin bo'lsa, u holda t ning dispersiyasi dispersiyadan ancha katta bo'ladi. Va bu shuni anglatadiki, agar t seriyasining qo'shni qiymatlari kuchli bog'liq bo'lsa, t ning bir qator zaif tebranishlari t qoldiqlarining keskin tebranishlarini hosil qiladi.

(2.15) qator uchun statsionarlik sharti koeffitsientga bo'lgan talab bilan aniqlanadi: ||< 1, или, что то же, корень z0 уравнения 1 z = 0 должен быть по абсолютной величине больше единицы.

Markov jarayonining avtokorrelyatsiya funktsiyasi (2.17) munosabat bilan aniqlanadi:

r() = r(t, t) =. (2.20)

Bu, xususan, parametrning oddiy ehtimollik talqinini nazarda tutadi: = r (t, t1), ya'ni, qiymat t qatorining ikkita qo'shni a'zosi o'rtasidagi korrelyatsiya miqdorini belgilaydi.

(2.20) dan ko'rinib turibdiki (2.15) ketma-ketlik a'zolari o'rtasidagi korrelyatsiyaning yaqinlik darajasi vaqt o'tishi bilan bir-biridan uzoqlashganda eksponensial ravishda kamayadi.

Qisman avtokorrelyatsiya funksiyasi rpart() = r(t, t+ | t+1 = t+2 =…= t+1 = 0) (2.4)-(2.5) formulalar yordamida hisoblanishi mumkin. Ushbu formulalar yordamida to'g'ridan-to'g'ri hisoblash quyidagi oddiy natijani beradi: rpart() qisman korrelyatsiya funktsiyasining qiymatlari hammasi = 2, 3, ... uchun nolga teng. Ushbu xususiyatdan modelni o'rnatishda foydalanish mumkin: agar hisoblangan namunadagi qisman korrelyatsiyalar statistik jihatdan noldan = 2, 3, ... da ahamiyatsiz farq qilsa, vaqt seriyasining tasodifiy qoldiqlarining harakatini tavsiflash uchun 1-tartibli avtoregressiv modeldan foydalanish. dastlabki statistik ma'lumotlarga zid kelmaydi.

Markov jarayonining spektral zichligini (2.15) avtokorrelyatsiya funktsiyasining ma'lum shaklini (2.20) hisobga olgan holda hisoblash mumkin:

Parametr qiymati 1 ga yaqin bo'lsa, t seriyasining qo'shni qiymatlari kattalik bo'yicha bir-biriga yaqin bo'lsa, avtokorrelyatsiya funktsiyasi ijobiy bo'lib eksponent ravishda kamayadi va spektrda past chastotalar ustunlik qiladi, bu juda katta o'rtacha qiymatni anglatadi. t seriyasining cho'qqilari orasidagi masofa. Parametr qiymati -1 ga yaqin bo'lsa, seriya tez tebranadi (spektrda yuqori chastotalar ustunlik qiladi) va avtokorrelyatsiya funktsiyasining grafigi o'zgaruvchan belgi o'zgarishi bilan eksponent ravishda nolga tushadi.

Modelni identifikatsiya qilish, ya'ni. uning parametrlarini statistik baholash va xt vaqt seriyasining mavjud bajarilishiga ko'ra (va uning kuzatilmaydigan qoldiqlari emas) (2.16) (2.19) munosabatlariga asoslanadi va momentlar usuli yordamida amalga oshirilishi mumkin. Buning uchun birinchi navbatda tasodifiy bo'lmagan komponentni tanlash masalasini hal qilish kerak, bu bizga kelajakda qoldiqlar bilan ishlash imkonini beradi.

Keyin qoldiqlarning namunaviy dispersiyasi formuladan foydalanib hisoblanadi

bu yerda va "qoldiqlar" (qoldiqlar) formula bo'yicha hisoblanadi.

Parametrning bahosi (2.18) formuladan foydalanib, korrelyatsiya koeffitsienti o'rniga uning tanlanma qiymatini almashtirib, ya'ni. .

Nihoyat, parametrni baholash (2.19) munosabatga asoslanadi, bunda Dt va mos ravishda baholar bilan almashtiriladi:

2-tartibli avtoregressiv modellar - AR(2) (Youul jarayonlari). Bu model, xuddi AR(1) kabi, avtoregressiv jarayonning alohida holati bo'lib, birinchi ikkitadan tashqari (2.14) ning o'ng tomonidagi barcha j koeffitsientlari nolga teng bo'ladi. Shunga ko'ra, uni ifoda bilan aniqlash mumkin

t = 1t1 + 2t2 + t, (2.22)

bu yerda 1, 2,… ketma-ketligi oq shovqin hosil qiladi.

(2.22) seriyalar uchun statsionarlik shartlari (zarur va etarli) quyidagicha aniqlanadi:

Modellarning umumiy nazariyasi doirasida tegishli xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari birlik doirasidan tashqarida yotishi talabidan bir xil statsionarlik shartlari olinadi. 2-tartibli avtoregressiv modelning xarakteristik tenglamasi:

Yule jarayonining avtokorrelyatsiya funksiyasi quyidagicha hisoblanadi. Birinchi ikkita qiymat r(1) va r(2) munosabatlar bilan belgilanadi

va r(), = 3, 4,… qiymatlari rekursiv munosabat yordamida hisoblanadi

r() = 1r(1) + 2r(2).

2-tartibli avtoregressiya modeli tomonidan yaratilgan vaqt seriyasining qisman avtokorrelyatsiya funktsiyasi quyidagi o'ziga xos xususiyatga ega: rpart() = 0 hamma uchun = 3, 4,…

Yule jarayonining spektral zichligini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

Qiymatlar hisob-kitoblarni va shunga mos ravishda Dt va avtokorrelyatsiya r(1) va r(2) dispersiyalarini hisoblash uchun ishlatiladi. Bu (2.2) va (2.3) munosabatlari yordamida amalga oshiriladi:

pth tartibli avtoregressiv modellar - AR(p) (p 3). Umumiy chiziqli modellar sinfida kichik to'plamni tashkil etuvchi ushbu modellarning o'zlari modellarning ancha keng sinfini tashkil qiladi. Agar umumiy chiziqli modelda (2.14) birinchi p koeffitsientlardan tashqari barcha j parametrlari nolga teng deb faraz qilsak, u holda AR(p) modelining ta’rifiga kelamiz:

bu erda tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi 1, 2, ... oq shovqin hosil qiladi.

Model (2.23) tomonidan hosil qilingan jarayon uchun statsionarlik shartlari uning xarakteristik tenglamasining ildizlari nuqtai nazaridan ham tuzilgan.

1 1z 2z2 … pzp = 0.

Jarayonning statsionarligi uchun xarakterli tenglamaning barcha ildizlari birlik doirasidan tashqarida bo'lishi zarur va etarli, ya'ni. modul bo'yicha birlikdan oshib ketadi.

Jarayonning avtokorrelyatsiya funktsiyasi (2.23) uning birinchi p qiymatlari r(1),..., r(p) uchun takrorlanish munosabati yordamida hisoblanishi mumkin. Bu nisbat quyidagicha ko'rinadi:

r () = 1r(1) + 2r(2) +…+ pr(p), = p + 1, p + 2,... (2.24)

Jarayonning qisman avtokorrelyatsiya funktsiyasi (2.23) faqat p uchun nolga teng bo'lmagan qiymatlarga ega bo'ladi; > p uchun rpart(p) ning barcha qiymatlari nolga teng bo'ladi, masalan, [Box, Jenkins (1974)] tahlil qilingan vaqt seriyasiga qarang. Agar, masalan, k tartibidan boshlab barcha qisman avtokorrelyatsiya koeffitsientlari statistik jihatdan noldan unchalik farq qiladigan bo'lsa, u holda avtoregressiv modelning p = k 1 ga teng tartibini aniqlash tabiiydir.

P-tartibli avtoregressiv modelni identifikatsiyalash modelning noma'lum parametrlarini va o'rganilayotgan vaqt seriyasining avtokorrelyatsiyalarini bog'laydigan munosabatlarga asoslanadi. Ushbu munosabatlarni olish uchun = 1, 2, ..., p qiymatlari ketma-ket (2.24) ga almashtiriladi. Bu tizim chiqadi chiziqli tenglamalar 1, 2,…, p ga nisbatan:

Yule-Uoker tenglamalari Yule (1927), Uoker (1931) deb ataladi.. k parametrlari uchun taxminlar r(k) avtokorrelyatsiyalarining nazariy qiymatlarini ularning baholari bilan almashtirish va shu tarzda olingan tenglamalar tizimini echish yo'li bilan olinadi.

Parametrning bahosi o'ng tomonda ishtirok etuvchi barcha miqdorlarni ularning baholari bilan almashtirish orqali bog'liqlikdan olinadi.

2.3.2. Harakatlanuvchi o'rtacha tartibli modellar q (MA(q)-modellar).

Umumiy chiziqli jarayonning (2.13) alohida holatini ko'rib chiqaylik, bunda j vazn koeffitsientlarining faqat birinchi q lari nolga teng bo'lmagan. Bunday holda, jarayon shunday ko'rinadi

t = t 1t1 2t2 … qtq, (2.26)

Bu erda 1,…, q belgilari (2.13) da qatnashgan chekli parametrlar to'plamini belgilash uchun ishlatiladi. Jarayon (2.26) q (MA(q)) tartibli harakatlanuvchi o'rtacha modeli deb ataladi.

AR va MA modellarini ifodalashda ikki tomonlamalik va MA modelining qaytariluvchanligi tushunchasi. (2.13) va (2.14) dan ko'rinib turibdiki, bir xil umumiy chiziqli jarayon cheksiz tartibli AR modeli yoki cheksiz tartibli MA modeli sifatida ifodalanishi mumkin.

Munosabat (2.26) quyidagicha qayta yozilishi mumkin

t =t + 1t1 + 2t2 +…+ qtq.

t = t 1t1 2t2 …, (2.27)

bu erda j (j = 1, 2,…) koeffitsientlari 1,…, q parametrlari bo'yicha ma'lum tarzda ifodalanadi. Munosabatlar (2.27) cheksiz tartibli avtoregressiv model shaklida yozilishi mumkin (ya'ni, teskari kengayish shaklida)

Ma’lumki (masalan, [Box, Jenkins, (1974)]) MA(q)-modelning teskariligi sharti (ya’ni, qatorning yaqinlashuvi sharti) quyidagi shartlarda tuzilganligi ma’lum. modelning xarakteristik tenglamasi (2.26) quyidagicha:

Xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari birlik doirasidan tashqarida yotishi kerak, ya'ni. |zj| Barcha j = 1, 2,…, q uchun > 1.

MA(q) jarayonining asosiy xarakteristikalari. Shunday qilib, MA(q) jarayonining avtokorrelyatsiya funksiyasi r() jarayon q tartibidan kattaroq barcha qiymatlar uchun nolga teng. Bu muhim xususiyat eksperimental ma'lumotlardan MA(q) modelining tartibini tanlash uchun ishlatiladi;

MA(q) jarayonining spektral zichligini quyidagi munosabat yordamida hisoblash mumkin:

MA(q) modeli (2.29) munosabatlari asosida aniqlanadi, ya'ni: 1) qiymatlar formula bo'yicha hisoblanadi; 2) = 1,…, q qiymatlari ketma-ket r() qiymatlari bilan chap tomonda ilgari olingan baholar bilan almashtiriladi; 3) shu tariqa olingan q tenglamalar tizimi 1,…, q noma’lum qiymatlarga nisbatan yechiladi; ushbu tizimning echimlari va modelning noma'lum parametrlarini baholaydi; 4) parametrning bahosini (2.28) munosabatlarning birinchisidan foydalanib, unga (0), 1,…, q o'rniga ularning baholarini qo'yish orqali olish mumkin.

E'tibor bering, YuleWalker tenglamalari tizimidan (2.25) farqli o'laroq, MA(q)-model parametrlari uchun baholarni aniqlash uchun tenglamalar chiziqli emas. Shuning uchun, bu tenglamalar iterativ protseduralar yordamida echilishi kerak, masalan, Box and Jenkins (1974) ga qarang.

AR(q) va MA(q) jarayonlar o‘rtasidagi bog‘liqlik. Keling, avtoregressiya jarayonlari va harakatlanuvchi o'rtacha o'rtasidagi bog'liqlik haqida ba'zi fikrlarni aytaylik.

p tartibli chekli avtoregressiv jarayon uchun t ni oldingilarning cheksiz vaznli yig‘indisi sifatida yoki t ni cheksiz oldingi yig‘indisi sifatida ko‘rsatish mumkin. Shu bilan birga, chekli harakatlanuvchi o'rtacha tartibli jarayonda q t ni oldingilarning chekli vaznli yig'indisi yoki t ni cheksiz vaznli yig'indisi sifatida ko'rsatish mumkin.

Cheklangan MA jarayoni ma'lum bir nuqtadan keyin yo'q bo'lib ketadigan avtokorrelyatsiya funktsiyasiga ega, ammo u cheksiz AR jarayoniga ekvivalent bo'lgani uchun uning qisman avtokorrelyatsiya funktsiyasi cheksiz kengaytirilgan. Unda asosiy rolni namlangan eksponensiallar va (yoki) namlangan sinusoidlar o'ynaydi. Aksincha, AR jarayoni qisman avtokorrelyatsiya funktsiyasiga ega bo'lib, u ma'lum bir nuqtadan keyin yo'qoladi, lekin uning avtokorrelyatsiya funktsiyasi cheksiz hajmga ega va parchalanuvchi eksponensiallar va yoki parchalanadigan sinusoidlar to'plamidan iborat.

Cheklangan tartibli avtoregressiv jarayonning parametrlari jarayonning statsionar bo'lishi uchun hech qanday shartni qanoatlantirmasligi kerak. Biroq, MA jarayoni qaytar bo'lishi uchun uning xarakteristik tenglamasining ildizlari birlik doirasidan tashqarida yotishi kerak.

Harakatlanuvchi o'rtacha jarayonning spektri tegishli avtoregressiv jarayonning spektriga teskari hisoblanadi.

MA tipidagi jarayonni avtoregressiv jarayon sifatida ko'rsatish uning parametrlanishi nuqtai nazaridan iqtisodiy emas. Xuddi shunday, AR jarayonini iqtisodiy jihatdan harakatlanuvchi o'rtacha model bilan ifodalash mumkin emas. Shu sababli, iqtisodiy parametrlashtirishni olish uchun ba'zan modelga avtoregressiyani tavsiflovchi atamalarni ham, qoldiqni harakatlanuvchi o'rtacha sifatida modellashtiruvchi atamalarni ham kiritish maqsadga muvofiqdir. Bunday chiziqli jarayonlar shaklga ega

t = 1t1 +…+ ptp + t 1t1 … qtq (2.30)

ARMA(p, q)-jarayonlarning statsionarligi va qaytuvchanligi. Jarayonni (2.30) (2.31) ko'rinishida yozish, bunda AR(p)-jarayonlar uchun bo'lgani kabi bir xil sxema bo'yicha statsionarlikni (2.31) tahlil qilish mumkin. "Qoldiqlar" va e o'rtasidagi farq hech qanday tarzda avtoregressiv jarayon uchun statsionarlik shartlarini belgilaydigan xulosalarga ta'sir qilmaydi. Shuning uchun (2.30) jarayon, agar AR(p)-jarayonning xarakteristik tenglamasining barcha ildizlari birlik aylanasidan tashqarida yotsagina statsionar hisoblanadi.

Xuddi shunday (2.30) jarayonni ko’rinishda belgilab, ko’rib chiqsak, bu jarayonning MA(q) jarayonidagi kabi teskari bo’lish shartlari bo’yicha xuddi shunday xulosalarga erishamiz: ARMA(p, q)-jarayonning qaytarilishi uchun. , MA(q)-jarayonlar xarakterli tenglamaning barcha ildizlari birlik doirasidan tashqarida yotishi zarur va yetarlidir.

Avtokorrelyatsiya funksiyasi xuddi AR va MA jarayonlari uchun qilinganidek tahlil qilinadi, bu bizga quyidagi xulosalar chiqarish imkonini beradi.

1) () = 1(1) +…+ p(p) + () 1(1) … q(q), (bu yerda (k) = E(tkt) t ketma-ketliklarning “o‘zaro” kovariatsiya funksiyasi munosabatlaridan va t ) = 0, 1,…, q uchun kovariatsiyalar (0), (1),…, (q) va shunga mos ravishda r(1),…, r(q) avtokorrelyatsiyalar maʼlum bir bogʻlanganligidan kelib chiqadi. q parametrli harakatlanuvchi o'rtacha 1,…, q va p avtoregressiya parametrlari 1,…, p bilan bog'liqliklar tizimi. Bunday holda, vaqt siljishining ijobiy qiymatlari uchun (), (1),…, (q) o'zaro kovariatsiyalar nolga teng, salbiy uchun esa ular 1 parametrlari bo'yicha ham ifodalanishi mumkin, …, p,1,…, q quyidagi usul yordamida: k > 0 bo‘lsin; keyin (k) = E (tkt); tkt mahsulotida (2.30) formula bo'yicha birinchi omilni (k + 1)-katlama ketma-ket almashtirish yordamida u t1, oq shovqin elementlari va model parametrlarining chiziqli birikmasi bilan almashtiriladi, bu esa keyin hosil bo'lgan mahsulotga o'rtacha E operatsiyasini qo'llash, faqat parametrlar modeliga bog'liq bo'lgan ifodani beradi (chunki E(t1t) = 0).

2) q + 1 uchun r() avtokorrelyatsiya funksiyasining qiymatlari q + 1 uchun r() = 1r(1) + 2r(2) +…+ pr(p) rekursiv munosabat bilan hisoblanadi, bu aniq AR(p) jarayonining avtokorrelyatsiya funksiyasi uchun xuddi shunday rekursiv munosabatni (2.24 ) takrorlaydi. Bu shuni anglatadiki, = q + 1 dan boshlab, ARMA(p, q) jarayonining avtokorrelyatsiya funktsiyasi xuddi AR(p) jarayonining avtokorrelyatsiya funksiyasi kabi harakat qiladi, ya'ni. u namlangan ko'rsatkichlar va (yoki) sinusoidlar to'plamidan iborat bo'ladi va uning xususiyatlari 1,…, p koeffitsientlari va r(1),…, r(p) boshlang'ich qiymatlari bilan aniqlanadi.

ARMA(p, q) jarayonining qisman avtokorrelyatsiya funksiyasi katta qiymatlarda MA(q)-jarayonining qisman avtokorrelyatsiya funksiyasi sifatida harakat qiladi. Bu shuni anglatadiki, unda parchalanuvchi ko'rsatkichlar va (yoki) parchalanadigan sinusoidlar kabi atamalar ustunlik qiladi (ikkovi o'rtasidagi nisbat harakatlanuvchi o'rtacha q tartibiga va jarayon parametrlarining qiymatlariga bog'liq).

ARMA(p, q) jarayonining spektral zichligini quyidagi munosabat yordamida hisoblash mumkin:

ARMA(p, q) jarayonini identifikatsiyalash (shuningdek, AR va MA modellari) momentlar usuli yordamida model parametrlarini statistik baholashga asoslanadi. k (k = 1, 2,…, p), j (j = 1, 2,…, q) parametrlarini baholash tartibi va ikki bosqichga bo'linadi. 1-bosqichda k parametrlarining baholari, 2-bosqichda j va parametrlarining baholari olinadi.

1-bosqich. Modelning avtokorrelyatsiya komponentining parametrlari (2.30) chiziqli tenglamalar tizimini qanoatlantiradi:

r(k) o'rniga ularning tanlanma qiymatlarini (2.32) ga qo'yib, j (j = 1,…, p) ga nisbatan olingan tizimni yechish orqali biz taxminlarni olamiz.

2-bosqich. Olingan baholarni (2.30) ga almashtirib, biz q + 1 munosabatlar to'plamini olamiz:

Ushbu tizim kerakli parametrlarni, 1,..., q ni avtokovariatsiyalar va 1-bosqichda qurilgan baholar bilan bog'laydigan chiziqli bo'lmagan bog'liqliklarni olish imkonini beradi.

Xulosa

Ekonometrika iqtisodiy nazariyani statistik va matematik tahlil usullari bilan birlashtirgan iqtisodiy tahlil usulidir. Bu iqtisodiy prognozlarni yaxshilash va iqtisodiy siyosatni muvaffaqiyatli rejalashtirish imkonini berishga urinishdir. Ekonometrikada iqtisodiy nazariyalar matematik nisbatlar sifatida ifodalanadi va keyin statistik usullar bilan empirik tarzda tekshiriladi. Bu tizim yalpi milliy mahsulot, ishsizlik darajasi, inflyatsiya darajasi va federal byudjet taqchilligi kabi muhim ko'rsatkichlarni bashorat qilish uchun modellarni yaratish uchun foydalaniladi. Ekonometrika, uning yordamida olingan prognozlar har doim ham etarlicha aniq bo'lmaganiga qaramay, tobora kengroq qo'llanilmoqda.

Ekonometrikaning muammolari juda ko'p va xilma-xildir. Iqtisodiyot murakkab, dinamik, ko'p o'lchovli va rivojlanayotgan ob'ektdir, shuning uchun uni o'rganish qiyin. Jamiyat ham, ijtimoiy tizim ham vaqt o'tishi bilan o'zgaradi, qonunlar o'zgaradi, texnologik yangiliklar sodir bo'ladi, shuning uchun bu tizimda invariantlarni topish oson emas. Vaqt seriyalari qisqa, yuqori darajada jamlangan, heterojen, statsionar bo'lmagan, vaqt va bir-biriga bog'liq, shuning uchun bizda o'rganish uchun kam empirik ma'lumotlar mavjud. Iqtisodiy miqdorlar noaniq o'lchanadi, keyinchalik sezilarli tuzatishlar kiritiladi va muhim o'zgaruvchilar ko'pincha o'lchanmaydi yoki kuzatilmaydi, shuning uchun barcha xulosalar noaniq va ishonchsizdir. Iqtisodiy nazariyalar vaqt o'tishi bilan o'zgaradi, raqobatbardosh tushuntirishlar bir-biri bilan birga mavjud va shuning uchun ishonchli nazariy asos modellar uchun mavjud emas. Va iqtisodchilarning o'zlari orasida ularning mavzusiga qanday munosabatda bo'lish kerakligi to'g'risida kelishuv mavjud emas.

Keyingi yillarda ekonometrik adabiyotlarda iqtisodiy vaqt qatorlarining strukturaviy xossalarini tahlil qilishga katta e’tibor berilmoqda. Buning sababi, vaqt seriyasining qiymatlari har doim ham ma'lum omillar ta'siri ostida shakllanmaydi. Ko'pincha shunday bo'ladiki, ma'lum bir jarayonning rivojlanishi uning ichki qonunlari bilan bog'liq va deterministik jarayondan chetga chiqishlar o'lchash xatolari yoki tasodifiy tebranishlar tufayli yuzaga keladi. So'nggi paytlarda Rossiya iqtisodiyoti rivojlanishining turli ekonometrik jihatlarini ko'rib chiqadigan juda ko'p asarlar paydo bo'ldi.

Vaqt seriyalari uchun asosiy qiziqish ularning tuzilishini tavsiflash yoki modellashtirishdir. Bunday tadqiqotlarning maqsadi, qoida tariqasida, modellashtirishdan ko'ra kengroqdir, garchi ba'zi ma'lumotlarni to'g'ridan-to'g'ri modeldan olish mumkin bo'lsa-da, ba'zi ma'lumotlarning ishlashi to'g'risida xulosalar chiqarish mumkin. iqtisodiy qonunlar(aytaylik, xarid qobiliyati pariteti qonuni) va turli gipotezalarni tekshirish. Tuzilgan model vaqt seriyasini ekstrapolyatsiya qilish yoki bashorat qilish uchun ishlatilishi mumkin, keyin esa prognoz sifati bir nechta modellar orasidan tanlashda foydali mezon bo'lib xizmat qilishi mumkin. Yaxshi seriyali modellarni yaratish mavsumiy sozlash va tekislash kabi boshqa ilovalar uchun ham zarur. Va nihoyat, tuzilgan modellar katta tizimlarni o'rganishda kuzatuvlarning uzoq seriyalarini statistik modellashtirish uchun ishlatilishi mumkin, ular uchun vaqt seriyalari kirish ma'lumoti sifatida qaraladi.

Adabiyot

1. Efimova M. R., Petrova E. V., Rumyantsev V. N. Statistikaning umumiy nazariyasi, Moskva: Infra-N, 2000 yil.

2. Eliseeva I.I. Yuzbashev M.M. Statistikaning umumiy nazariyasi. Moskva, "Moliya va statistika" 2005 yil.

3. A.O.Krishtanovskiy. Vaqt seriyalarini tahlil qilish usullari // Jamoatchilik fikri monitoringi: iqtisodiy va ijtimoiy o'zgarishlar. 2000 yil. No 2 (46). 44-51-betlar. [maqola]

4. Shmoylova R. A. Statistika nazariyasi, M.: Moliya va statistika, 1996 y.

5. Statistika nazariyasi. Darslik./Ed. Shmoylova R. A. 3-nashr, Rev.-M.: Moliya va statistika, 2002 y.

6. Gusarov V.M. Statistika nazariyasi. - M.: Audit, 2001. - 248 b.

7. Kildishev G.S., Ovsienko V.E., Rabinovich P.M., Ryabushkin T.V. Statistikaning umumiy nazariyasi. - M.: Statistika, 2001. - 423 b.

8. Statistika bo'yicha seminar: Qo'llanma universitetlar uchun (V.M. Simchera tomonidan tahrirlangan). VZFEI. - M .: "Finstatinform" YoAJ, 2001. - 259 b.

Kirish…………………………………………………….2

1. Vaqt seriyalari tahlilining asosiy vazifalari………….4

2. Vaqt seriyalari tahlili…………………………………….9

2.3 Statsionar vaqt seriyalarining modellari va ularning identifikatsiyasi…13

2.3.2. Harakatlanuvchi o'rtacha tartibli modellar q (MA(q)-modellar)….17

Xulosa………………………………………………………21

Adabiyot……………………………………………………..23

Kirish

Keyingi yillarda ekonometrik adabiyotlarda dinamikaning vaqt qatorlarini o'rganishga katta e'tibor berilmoqda. Iqtisodiy tahlilning turli mazmunli vazifalari o'rganilayotgan iqtisodiy jarayonlarni tavsiflovchi va vaqt qatorlari shaklida o'z vaqtida joylashtiriladigan statistik ma'lumotlardan foydalanishni talab qiladi. Shu bilan birga, bir xil vaqt qatorlari ko'pincha turli xil mazmunli muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi.

Iqtisodiy ko'rsatkichlarni o'lchashda xatolar mavjudligi, kuzatilayotgan tizimlarga xos bo'lgan tasodifiy tebranishlar mavjudligi sababli vaqt qatorlarini o'rganishda ehtimollik-statistik yondashuv keng qo'llaniladi. Ushbu yondashuv doirasida kuzatilgan vaqt qatori qandaydir tasodifiy jarayonning amalga oshirilishi deb tushuniladi. Bunday holda, vaqt seriyasi uni mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligidan ajratib turadigan qandaydir tuzilishga ega, shuning uchun kuzatishlar butunlay mustaqil sonli qiymatlar to'plami emas deb bilvosita taxmin qilinadi. (Qator strukturasining ba'zi elementlarini ba'zan ketma-ketlik grafigini oddiy vizual tahlil qilish asosida aniqlash mumkin. Bu, masalan, trend va tsikllar kabi qator komponentlariga tegishli.) seriyalarni kuzatishlar soniga nisbatan kam sonli parametrlarni o'z ichiga olgan model bilan tavsiflash mumkin, bu prognozlash uchun modeldan foydalanishda amaliy ahamiyatga ega. Bunday modellarga avtoregressiya, harakatlanuvchi o'rtacha modellar va ularning kombinatsiyalari - AR(p), MA(q), ARMA(p, q), ARIMA(p, k, q) modellari misol bo'la oladi.

Uzoq muddatli istiqbolda munosabatlar modellarini qurishda tahlil qilinayotgan makroiqtisodiy qatorlar stoxastik (nodeterministik) tendentsiyaga ega yoki yo'qligini hisobga olish kerak. Boshqacha qilib aytganda, ko'rib chiqilayotgan seriyalarning har biri deterministik tendentsiya (yoki oddiygina statsionar) - TS (trend statsionar) qatoriga nisbatan statsionar bo'lgan qatorlar sinfiga yoki qatorlar sinfiga tegishli ekanligini aniqlash kerak. stokastik tendentsiyaga ega bo'lgan (ehtimol deterministik tendentsiya bilan birga) va statsionar (yoki deterministik tendentsiyaga nisbatan statsionar) qatorga faqat bitta yoki k-katta differensiallash orqali olib keladigan - DS (farq statsionar) qatorlar. Seriyalarning bu ikki klassi oʻrtasidagi tub farq shundan iboratki, TS qatorida tegishli deterministik tendentsiyani ketma-ketlikdan ayirish statsionar qatorga olib keladi, DS qatorida esa qatorning deterministik komponentini ayirish. qator statsionar emas, chunki unda stokastik tendentsiya mavjud.

1-bob. Vaqt seriyalari tahlilining asosiy vazifalari.

Vaqt seriyasi va tasodifiy tanlamani tashkil etuvchi kuzatishlar ketma-ketligi o'rtasidagi asosiy farqlar quyidagilardan iborat:

birinchidan, tasodifiy tanlama elementlaridan farqli o'laroq, vaqt qatori a'zolari mustaqil emas;

ikkinchidan, vaqt qatorining a'zolari teng taqsimlanishi shart emas, shuning uchun P(xt< x} P{xt < x} при t t.

Vaqt seriyasini tashkil etuvchi kuzatuvlarning genezisi (ma'lumotlarni yaratish mexanizmi). Biz vaqt seriyasining qiymatlari ta'siri ostida shakllanadigan asosiy omillarning tuzilishi va tasnifi haqida gapiramiz. Qoida tariqasida, bunday omillarning 4 turi ajratiladi.

Yilning ma'lum bir vaqtida davriy takrorlanadigan tahlil qilinadigan belgining mavsumiy, shakllantiruvchi tebranishlari. Ushbu funktsiya (e) davriy bo'lishi kerak ("fasllar" ga ko'payadigan davrlar bilan), garmonika (trigonometrik funktsiyalar) uning analitik ifodasida ishtirok etadi, davriyligi, qoida tariqasida, muammoning mazmuni bilan belgilanadi.

Albatta, har qanday vaqt seriyasining qiymatlarini shakllantirish jarayonida barcha to'rt turdagi omillar bir vaqtning o'zida ishtirok etishi shart emas. Ushbu turdagi omillarning ma'lum bir qator qiymatlarini shakllantirishda ishtirok etishi yoki yo'qligi haqidagi xulosalar muammoning mazmun mohiyatini tahlil qilish va o'rganilayotgan vaqt seriyasining maxsus statistik tahliliga asoslanishi mumkin. . Biroq, barcha holatlarda tasodifiy omillarning ajralmas ishtiroki taxmin qilinadi. Shunday qilib, umumiy ma'noda, ma'lumotlarni ishlab chiqarish modeli (omillar ta'sirining qo'shimcha blok diagrammasi bilan) quyidagicha ko'rinadi:

xt = 1f(t) + 2(t) +3(t) + t. (bir)

Bunda i = 1, agar i-turdagi omillar qator qiymatlarini shakllantirishda ishtirok etsa, aks holda i = 0.

Vaqt seriyalari tahlilining asosiy vazifalari. Vaqt seriyasining statistik tahlilining asosiy maqsadi ushbu seriyaning mavjud traektoriyasiga rioya qilishdir:

kengayishda tasodifiy bo'lmagan funktsiyalardan qaysi biri mavjudligini aniqlang (1), ya'ni. i ko'rsatkichlarining qiymatlarini aniqlash;

kengaytirishda mavjud bo'lgan tasodifiy bo'lmagan funktsiyalar uchun "yaxshi" baholarni yaratish (1);

tasodifiy qoldiqlar t xatti-harakatini adekvat tavsiflovchi modelni tanlash va ushbu modelning parametrlarini statistik baholash.

Izoh: Vaqt seriyalari ostida vaqtga bog'liq bo'lgan iqtisodiy qadriyatlar tushuniladi. Bunday holda, vaqt diskret deb qabul qilinadi, aks holda, vaqt ketma-ketligi haqida emas, balki tasodifiy jarayonlar haqida gapiriladi.

Statsionar va statsionar bo'lmagan vaqt qatorlarining modellari, ularni aniqlash

Vaqt seriyasini ko'rib chiqaylik. Vaqt seriyalari birinchi navbatda raqamli qiymatlarni qabul qilsin. Bu, masalan, yaqin atrofdagi do'kondagi nonning narxi yoki eng yaqin ayirboshlash shoxobchasidagi dollar-rubl kursi bo'lishi mumkin. Odatda, vaqt seriyasining xatti-harakatlarida ikkita asosiy tendentsiya aniqlanadi - trend va davriy tebranishlar.

Bunday holda, tendentsiya deganda u yoki bu tekislash usuli (masalan, eksponensial tekislash) yoki hisoblash yo'li bilan aniqlangan chiziqli, kvadratik yoki boshqa turdagi vaqtga bog'liqlik tushuniladi. eng kichik kvadratlar usuli. Boshqacha qilib aytganda, trend tasodifiylikdan tozalangan vaqt seriyasining asosiy tendentsiyasidir.

Vaqt seriyasining xususiyatlari. Vaqt seriyalarini batafsilroq o'rganish uchun ehtimollik-statistik modellar qo'llaniladi. Bunday holda, vaqt seriyasi tasodifiy jarayon (diskret vaqt bilan) sifatida qaraladi, asosiy xarakteristikalar matematik kutishdir, ya'ni.

Dispersiya, ya'ni.

va avtokorrelyatsiya funktsiyasi vaqt seriyasi

bular. ga teng ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi korrelyatsiya koeffitsienti vaqt seriyasining ikkita qiymati o'rtasida va .

Nazariy va amaliy tadqiqotlarda vaqt seriyalari modellarining keng doirasi ko'rib chiqiladi. Avval tanlang statsionar modellar. Ular birgalikda taqsimlash funktsiyalariga ega vaqt nuqtalarining istalgan soni uchun va shuning uchun yuqorida sanab o'tilgan vaqt seriyasining barcha xususiyatlari vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi. Xususan, matematik kutish va dispersiya doimiydir, avtokorrelyatsiya funktsiyasi faqat farqga bog'liq. Statsionar bo'lmagan vaqt qatorlari deyiladi statsionar bo'lmagan.

Gomoskedastik va geterokedastik, mustaqil va avtokorrelyatsiya qilingan qoldiqlarga ega chiziqli regressiya modellari. Yuqoridagilardan ko'rinib turibdiki, asosiy narsa vaqt seriyasini tasodifiy og'ishlardan "tozalash" dir, ya'ni. matematik kutishni baholash. Eng oddiy modellardan farqli o'laroq regressiya tahlili da ko'rib chiqiladi, bu erda yanada murakkab modellar tabiiy ravishda paydo bo'ladi. Masalan, farq vaqtga bog'liq bo'lishi mumkin. Bunday modellar deyiladi heteroskedastik, va vaqtga bog'liqlik bo'lmaganlar gomoskdastikdir. (Aniqrog'i, bu atamalar nafaqat "vaqt" o'zgaruvchisiga, balki boshqa o'zgaruvchilarga ham tegishli bo'lishi mumkin.)

Izoh. "Ko'p o'lchovli statistik tahlil" da ta'kidlanganidek, eng oddiy model eng kichik kvadratlar usuli ayniqsa, vaqtli qatorlar uchun bir vaqtda ekonometrik tenglamalar tizimlari sohasida juda uzoq umumlashtirish imkonini beradi. Tegishli nazariya va algoritmlarni tushunish uchun matritsa algebrasi bo'yicha professional bilim kerak. Shuning uchun biz qiziquvchilarni ekonometrik tenglamalar tizimlari va to'g'ridan-to'g'ri vaqt seriyalari bo'yicha adabiyotlarga murojaat qilamiz, ularda spektral nazariyaga katta qiziqish bildiriladi, ya'ni. signalni shovqindan ajratish va uni harmoniklarga ajratish. Biz yana bir bor ta'kidlaymizki, ushbu kitobning har bir bobi ortida ilmiy va amaliy tadqiqotlarning katta yo'nalishi mavjud bo'lib, unga ko'p kuch sarflashga arziydi. Biroq kitob hajmi cheklanganligi sababli taqdimotni ixcham qilib berishga majburmiz.

Ekonometrik tenglamalar sistemalari

Avtoregressiv modelga misol. Dastlabki misol sifatida iste'mol narxlari indeksining (inflyatsiya indeksi) o'sishini tavsiflovchi vaqt seriyasining ekonometrik modelini ko'rib chiqing. Keling - oyiga narxlarning ko'tarilishi (bu masala bo'yicha ko'proq ma'lumot uchun "Inflyatsiyaning ekonometrik tahlili" ga qarang). Keyin, ba'zi iqtisodchilarning fikriga ko'ra, buni taxmin qilish tabiiy

(6.1)

o'tgan oydagi narxning o'sishi qayerda (a - ma'lum bir pasaytirish koeffitsienti, agar tashqi ta'sirlar bo'lmasa, narxning o'sishi to'xtaydi deb faraz qilinadi), doimiy (vaqt o'tishi bilan qiymatning chiziqli o'zgarishiga mos keladi), pul emissiyasining ta'siriga (ya'ni, Markaziy bank tomonidan amalga oshiriladigan mamlakat iqtisodiyotidagi pul miqdorining ko'payishi) koeffitsientli emissiyaga mutanosib va koeffitsientga mos keladigan muddat , va bu ta'sir darhol paydo bo'lmaydi, lekin 4 oydan keyin; Nihoyat, bu muqarrar xato.

Model (1), soddaligiga qaramay, ko'p narsalarni namoyish etadi xarakter xususiyatlari ancha murakkab ekonometrik modellar. Birinchidan, ba'zi o'zgaruvchilar model ichida aniqlangan (hisoblangan)ligiga e'tibor qarataylik, masalan. Ular chaqiriladi endogen (ichki). Boshqalar tashqaridan beriladi (bu ekzogen o'zgaruvchilar). Ba'zan, nazorat nazariyasida bo'lgani kabi, orasida ekzogen o'zgaruvchilar, ajrating boshqargan o'zgaruvchilar - menejer tizimni kerakli holatga keltirishi mumkin bo'lganlar.

Ikkinchidan, yangi turdagi o'zgaruvchilar (1) munosabatda paydo bo'ladi - laglar bilan, ya'ni. o'zgaruvchilardagi argumentlar hozirgi vaqtda emas, balki o'tmishdagi ba'zi daqiqalarni anglatadi.

Uchinchidan, (1) turdagi ekonometrik modelni tuzish hech qanday oddiy operatsiya emas. Masalan, pul muomalasi bilan bog'liq muddatda roppa-rosa 4 oy kechikish ancha murakkab dastlabki statistik ishlov berish natijasidir. Bundan tashqari, miqdorlarning bog'liqligi yoki mustaqilligi masalasi o'rganilishi kerak. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, protsedurani o'ziga xos tarzda amalga oshirish ushbu masalani hal qilishga bog'liq. eng kichik kvadratlar usuli.

Boshqa tomondan, (1) modelda faqat 3 ta noma'lum parametr va bayonot mavjud eng kichik kvadratlar usuli yozish oson:

Identifikatsiya qilish muammosi. Keling, tapa modelini (6.1) ko'p sonli endogen va bilan tasavvur qilaylik ekzogen o'zgaruvchilar, kechikishlar va murakkab ichki tuzilishga ega. Umuman olganda, bunday tizim uchun hech bo'lmaganda bitta yechim borligi hech qanday joydan kelib chiqmaydi. Demak, bitta emas, ikkita muammo bor. Kamida bitta yechim bormi (identifikatsiya qilish muammosi)? Ha bo'lsa, eng yaxshi yechimni qanday topish mumkin? (Bu statistik parametrlarni baholash muammosi.)

Birinchi va ikkinchi vazifalar juda qiyin. Ikkala muammoni hal qilish uchun ko'plab usullar ishlab chiqilgan, odatda juda murakkab, ulardan faqat ba'zilari mavjud ilmiy asos. Xususan, ular ko'pincha izchil bo'lmagan statistik baholardan foydalanadilar (qat'iy aytganda, ularni hatto taxmin deb atash mumkin emas).

Keling, chiziqli ekonometrik tenglamalar tizimlari bilan ishlashda ba'zi umumiy usullarni qisqacha tavsiflab beraylik.

Chiziqli bir vaqtda ekonometrik tenglamalar tizimi. Sof rasmiy ravishda, barcha o'zgaruvchilar faqat hozirgi vaqtga bog'liq bo'lgan o'zgaruvchilar bilan ifodalanishi mumkin. Misol uchun, (6.1) tenglama bo'lsa, uni o'rnatish kifoya

Keyin tenglama shaklning namunasidir

(6.2)

Biz bu erda regressiya modellaridan foydalanish imkoniyatini ta'kidlaymiz o'zgaruvchan tuzilma qo'g'irchoq o'zgaruvchilarni kiritish orqali. Bu o'zgaruvchilar ba'zi vaqtlarda (aytaylik, boshlang'ich qiymatlar) sezilarli qiymatlarni oladi, boshqalarida esa yo'qoladi (aslida 0 ga teng bo'ladi). Natijada, rasmiy (matematik) bir va bir xil model butunlay boshqa bog'liqliklarni tavsiflaydi.

Bilvosita, ikki bosqichli va uch bosqichli eng kichik kvadratlar. Yuqorida aytib o'tilganidek, ekonometrik tenglamalar tizimini evristik tahlil qilishning ko'plab usullari ishlab chiqilgan. Ular topishga harakat qilishda yuzaga keladigan muayyan muammolarni hal qilish uchun mo'ljallangan raqamli yechimlar tenglamalar tizimlari.

Muammolardan biri taxminiy parametrlar bo'yicha apriori cheklovlar mavjudligi bilan bog'liq. Masalan, uy xo'jaliklarining daromadlari iste'molga ham, jamg'armalarga ham sarflanishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, ushbu ikki turdagi xarajatlar ulushlari yig'indisi apriori 1 ga teng. Ekonometrik tenglamalar tizimida esa bu ulushlar mustaqil ravishda ishtirok etishi mumkin. Ularni baholash g'oyasi bor eng kichik kvadratlar, a priori cheklovga e'tibor bermaslik va keyin sozlash. Ushbu yondashuv bilvosita deb ataladi. eng kichik kvadratlar.

ikki qadam eng kichik kvadrat usuli sistemani bir butun sifatida ko'rib chiqishdan ko'ra, tizimning individual tenglamasining parametrlarini baholashdan iborat. Shu bilan birga, uch bosqichli eng kichik kvadrat usuli yaxlit bir vaqtda tenglamalar tizimining parametrlarini baholash uchun ishlatiladi. Birinchidan, har bir tenglamaning koeffitsientlari va xatolarini baholash uchun har bir tenglamaga ikki bosqichli usul qo'llaniladi, so'ngra xato kovariatsiyasi matritsasi uchun smeta tuziladi. Shundan so'ng, koeffitsientlarni baholash uchun umumlashtirilgan usul qo'llaniladi. butun tizim. eng kichik kvadrat usuli.

Menejer va iqtisodchi ma'lum dasturiy ta'minot tizimlari yordamida ham ekonometrik tenglamalar tizimini tuzish va yechish bo'yicha mutaxassis bo'lmasliklari kerak, lekin u ekonometrikaning ushbu sohasining imkoniyatlaridan xabardor bo'lishi kerak. zarur hollarda malakali ekonometrik mutaxassislar.

Trendni (asosiy tendentsiyani) baholashdan vaqtli qatorlar ekonometrikasining ikkinchi asosiy vazifasi - davrni (siklni) baholashga o'tamiz.