Ko'pincha vaqt seriyasi sifatida taqdim etilgan iqtisodiy ko'rsatkichlar murakkab tuzilishga ega. Bunday seriyalarni trend, mavsumiylik va davriy komponentlar modelini qurish orqali modellashtirish qoniqarli natijalarga olib kelmaydi. Bir qator qoldiqlar ko'pincha statistik naqshlarga ega. Eng keng tarqalgan statsionar seriyali modellar avtoregressiv va harakatlanuvchi o'rtacha modellardir.

Biz statsionar vaqt qatorlari sinfini ko'rib chiqamiz. Vazifa vaqt qatorlari qoldiqlari modelini qurishdir u t va uning qiymatlarini bashorat qilish.

Avtoregressiv model statsionar vaqt qatorlarini tavsiflash uchun mo'ljallangan. Statsionar jarayon cheksiz tartibli avtoregressiya tenglamasini juda tez pasayuvchi koeffitsientlar bilan qanoatlantiradi. Xususan, shuning uchun avtoregressiv model etarli yuqori tartib deyarli har qanday statsionar jarayonga yaqinlashishi mumkin. Shu munosabat bilan avtoregressiv model ko'pincha u yoki bu parametrik modeldagi qoldiqlarni modellashtirish uchun ishlatiladi, masalan, regressiya modeli yoki trend modeli.

Markov jarayonlari har bir keyingi vaqtdagi ob'ektning holati faqat hozirgi holat bilan belgilanadigan va ob'ektning bu holatga qanday erishganiga bog'liq bo'lmagan jarayonlar deb ataladi. Jihatidan korrelyatsiya tahlili vaqtli qatorlar uchun Markov jarayonini quyidagicha ta'riflash mumkin: asl qator va bir vaqt oralig'iga siljigan qatorlar o'rtasida statistik jihatdan muhim korrelyatsiya mavjud va ikki, uch va hokazo vaqt oralig'iga siljigan qatorlar bilan hech qanday bog'liqlik yo'q. Ideal holda, bu korrelyatsiya koeffitsientlari nolga teng.

u(t)=m u(t-1)+e(t) , (5.1)

qayerda m- sonli koeffitsient | m|<1, e(t) "oq shovqin" hosil qiluvchi tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi (E( e(t))=0, E( e(t)e(t+t)))=).

Model (5.1) Markov jarayoni deb ham ataladi.

E(u(t))º0. (5.2)

r(u(t)u(t± t))=m t . (5.3)

Du(t)=s 2 /(1-m 2). (5.4)

cov( u(t)u(t±t))= m t Du(t). (5.5)

(5.3) dan | uchun shunday bo'ladi m| birlik dispersiyasiga yaqin u(t) dispersiyadan ancha katta bo'ladi e t. Bu degani ((5.2) berilgan) m=r(u(t)u(t±1))= r(1), ya'ni. parametr m birinchi darajali avtokorrelyatsiya qiymati sifatida talqin qilinishi mumkin), bu seriyaning qo'shni qiymatlari kuchli korrelyatsiyasi bo'lsa. u(t) bir qator kuchsiz buzilishlar e t qoldiqlarning keskin tebranishlarini hosil qiladi u(t).

(5.1) qator uchun statsionarlik sharti | talabi bilan aniqlanadi m|<1.

Avtokorrelyatsiya funktsiyasi (ACF) r(t) Markov jarayonining (5.3) munosabati bilan aniqlanadi.

Qisman avtokorrelyatsiya funksiyasi

r tez-tez ( t)=r(u(t)u(t+t)) | u(t+ 1)=u(t+ 2)=…=u(t+t-1)=0

formula bilan hisoblash mumkin: r qism (2)=( r(2)-r 2 (1))/(1-r 2 (1)). Ikkinchi va undan yuqori buyurtmalar uchun (qarang. 413, 414-betlar) bo'lishi kerak r tez-tez ( t)=0 "t=2,3,… . Bundan (5.1) modelni o'rnatish uchun foydalanish qulay: agar taxminiy qoldiqlardan hisoblansa. u(t)=y t-namuna qisman korrelyatsiyalari statistik jihatdan noldan unchalik farq qilmaydi t=2,3,…, keyin modeldan foydalaning AR(1) tasodifiy qoldiqlarni tavsiflash uchun dastlabki ma'lumotlarga zid kelmaydi.

Modelni aniqlash. Parametrlarni statistik baholash uchun talab qilinadi m va s Asl seriyaning mavjud qiymatlariga ko'ra 2 ta model (5.1). y t.

Vaqt seriyalariga asoslangan tahlil va prognozlashda muhim ahamiyatga ega statsionar vaqt seriyalari, ularning ehtimollik xususiyatlari vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi. vaqt seriyasi y ( = (1,2,..., P) qo'shma ehtimollik taqsimoti bo'lsa, qat'iy statsionar deyiladi P kuzatishlar y ( , y 2 , ???, y p kuzatishlar bilan bir xil y 1+m, y 2+m, ???,U n+T(har qanday ", / ular uchun). Qat'iy statsionar qatorlarning xossalari vaqt momentiga bog'liq emas.Demak, statsionar tasodifiy jarayon o'zining asosiy ehtimollik xarakteristikalarining vaqt bo'yicha o'zgarmasligi bilan tavsiflanadi, masalan. kutilgan qiymat va dispersiya.

Statsionar qatorlar deganda vaqt o'tishi bilan bir hil bo'lgan, xarakteristikalari vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydigan tasodifiy jarayonlar tushuniladi /. Bu jarayonlarning xususiyatlari jarayonlarning xususiyatlarini aniqlaydi va tadqiqot predmeti hisoblanadi. Agar ushbu xarakteristikalar (matematik kutish, dispersiya va boshqalar) ma'lum darajada aniqlik bilan topilsa, unda bunday statsionar jarayonlarni bashorat qilish muammosi nihoyatda sodda bo'ladi. Shu bilan birga, statsionar jarayonlar dinamikaning juda boshqacha tabiatiga ega bo'lishi mumkin - ularning bir qismidagi o'zgarish vaqt bo'yicha aniq tendentsiyalarga ega emas, boshqa qismining dinamikasi vaqt bo'yicha aniq ifodalangan tendentsiyaga ega, bu ham bo'lishi mumkin. juda murakkab chiziqli bo'lmagan tabiat. Shunday qilib, vaqt qatorlari dinamikasi turlarining statsionar guruhini, o'z navbatida, ikkita kichik guruhga bo'lish mumkin: 1) oddiy statsionar; 2) murakkab statsionar. Birinchi guruh omillari uchun oddiy statsionar tip, ularning matematik kutish vaqtidagi o'zgarmaslik sharti va tasodifiy jarayonlarning boshqa xarakteristikalari qanoatlantiriladi. Agar ehtimollik jarayonining matematik kutilishi va boshqa xarakteristikalari vaqt o'tishi bilan o'zgarishlarga uchrasa, unda bunday qatorlar murakkab statsionardir.

Statsionar va statsionar bo'lmagan vaqt qatorlarining modellari

Oddiy statsionar jarayonlar ijtimoiy-iqtisodiy ob'ektlarga nisbatan matematik statistikaning eng oddiy usullaridan foydalangan holda tahlil qilinadi va bashorat qilinadi. (nuqta va intervalli prognozlar vaqt qatorlari dinamikasi). Ko'pincha oddiy taqsimot qonunining mavjudligini tasdiqlash mumkin, shuning uchun asosiy harakatlar tegishli statistik gipotezalar va ularni tekshirish usullaridan foydalangan holda ushbu bayonotni isbotlashga, so'ngra jarayonning xususiyatlarini hisoblashga yo'naltirilishi kerak. Agar o'rganilayotgan qator taqsimotining normal tabiati haqidagi gipotezani tasdiqlash mumkin bo'lsa, u holda uning matematik kutilishining eng yaxshi bahosi o'rtacha arifmetik, dispersiyaning eng yaxshi bahosi esa tanlama dispersiyasidir. Bundan tashqari, namuna olish usulining asosiy printsipi bu erda dolzarbdir - kuzatishlar qanchalik ko'p bo'lsa, model baholari shunchalik yaxshi bo'ladi.

Murakkab statsionar jarayonlar ob'ektga ta'sir qiluvchi ko'plab omillar mavjudligini ko'rsatadi, ularning ko'rsatkichlari vaqt o'tishi bilan o'zgaradi. Shuning uchun prognozchining vazifasi bu omillarning asosiylarini aniqlash va asosiy omillarning bashorat qilish ob'ektiga ta'sirini tavsiflovchi modelni qurishdir. Agar bu omillar ko'p bo'lsa va asosiylarini ajratib ko'rsatishning iloji bo'lmasa, ular vaqtni shunday umumlashtiruvchi omil sifatida bajaradilar va ular prognoz ko'rsatkichi va vaqt o'rtasidagi bog'liqlik modelini topadilar. Qoidaga ko'ra, bu holatlarda tadqiqotchi tasodifiy dinamik statsionar jarayonning asosiy xususiyatlarining ko'pini bilmaydi. U bu xususiyatlarni jarayonning kuzatuv ma'lumotlaridan topishi kerak. Bu yerda tadqiqotchi qandaydir aprior farazlarga – u yoki bu ehtimollik taqsimot qonunining mavjudligini, jarayonning xossalari va uning o‘zaro aloqadorligini, dinamikaning tabiatini va hokazolarni tan olishga majbur bo‘ladi. Bunday holda, iqtisodiy fanning o'sha bo'limi, deyiladi ekonometriya.

Chunki murakkab statsionar qatorlarning statistik xossalari bunday emas

vaqt o'tishi bilan o'zgaradi, keyin bu xususiyatlarni to'plash va ba'zi berilgan funktsiyalarni hisoblash yo'li bilan ochish mumkin. Bu maqsadda birinchi bo'lib foydalanilgan funksiya avtokorrelyatsiya funktsiyasi(AKF). Vaqt seriyasining kuzatuvlari ketma-ketligi p y 2 o'rtasidagi bog'liqlikning qattiqlik darajasi, -,y yi 1+t, y 2+x, ’ Paket+x bilan belgilanadi namuna korrelyatsiya koeffitsienti r( t). Uning formulasi quyida keltirilgan:

/7-T (/7-T L ^

(l-t) 2>, 2 - 5>,

Xp-"sh.

• (6.5)

bu erda m - avtokorrelyatsiya koeffitsienti hisoblangan davrlar soni (kechikish).

Ushbu koeffitsient bir xil seriyalarning darajalari orasidagi bog'liqlikni baholaydi, shuning uchun uni ba'zan deyiladi avtokorrelyatsiya koeffitsienti. Hisoblash formulasi 1-tartibli avtokorrelyatsiya koeffitsienti(m = 1 uchun) quyidagicha ifodalanishi mumkin:

• (6.6)

• 1=2 1=2

2-tartibli avtokorrelyatsiya koeffitsienti formula bilan aniqlanadi

• (6.8)
• - 2

• 1l 5> n
• (6.9)

Kechikish ortishi bilan avtokorrelyatsiya koeffitsientini hisoblash uchun foydalaniladigan qiymatlar juftligi soni kamayadi. Avtokorrelyatsiya koeffitsientlarining statistik ishonchliligini ta'minlash uchun qoidadan foydalanish maqsadga muvofiq deb hisoblanadi - maksimal kechikish dan oshmasligi kerak. p/6. Funktsiya G( t) deyiladi namuna avtokorrelyatsiya funktsiyasi, va uning jadvali korrelogram meniki. Namuna avtokorrelyatsiyasi funksiyasining shakli chambarchas bog'liq

; y, = " 3

qator tuzilishi.

• 1. Avtokorrelyatsiya funksiyasi g(t) m > 0 da "oq shovqin" uchun o'rtacha qiymati nolga teng bo'lgan statsionar vaqt qatorini ham hosil qiladi.
• 2. uchun statsionar qator ACF m ortishi bilan tez pasayadi.Aniq tendentsiya mavjud bo'lganda, avtokorrelyatsiya funktsiyasi juda sekin tushadigan egri chiziqning xarakterli shaklini oladi.
• 3. Aniq mavsumiylik holatida, ACF syujetida mavsumiylik davrining ko'paytmalari bo'lgan kechikishlar uchun "chetdan tashqari ko'rsatkichlar" ham mavjud, ammo bu "chetdan tashqari" tendentsiya mavjudligi yoki tasodifiy komponentning katta tarqalishi bilan yashirilishi mumkin.

Agar birinchi darajali avtokorrelyatsiya koeffitsienti eng yuqori bo'lsa, o'rganilayotgan qator faqat tendentsiyani o'z ichiga oladi. Agar m tartibidagi avtokorrelyatsiya koeffitsienti eng yuqori bo'lib chiqsa, unda ketma-ketlik davriyligi m vaqt punktlari bo'lgan tsiklik tebranishlarni o'z ichiga oladi. Agar avtokorrelyatsiya koeffitsientlarining hech biri ahamiyatli bo'lmasa, ushbu seriyaning tuzilishi bo'yicha ikkita taxmindan birini amalga oshirish mumkin: yoki seriyada tendentsiya va tsiklik tebranishlar mavjud emas yoki qator aniq chiziqli bo'lmagan tendentsiyani o'z ichiga oladi, bu esa qo'shimcha tahlilni talab qiladi. aniqlash. Shuning uchun vaqt qatoridagi trend komponenti va tsiklik (mavsumiy) komponentni aniqlash uchun avtokorrelyatsiya koeffitsienti va avtokorrelyatsiya funksiyasidan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Shunday qilib, murakkab statsionar vaqt qatorlarini o'rganishda asosiy vazifa avtokorrelyatsiyani aniqlash va yo'q qilishdir.

Statsionar bo'lmagan jarayonlar statsionarlardan farqli o'laroq, ular vaqt o'tishi bilan barcha xususiyatlarini o'zgartirishi bilan farqlanadi. Bundan tashqari, bu o'zgarish shunchalik muhim bo'lishi mumkinki, bitta ko'rsatkichning dinamikasi to'liq rivojlanishni aks ettiradi turli jarayonlar. Prognozlash ob'ektining barcha o'zaro aloqalari va o'zaro bog'liqliklari vaqt o'tishi bilan o'zgaradi. Bundan tashqari, prognozlash ob'ektini tashkil etuvchi elementlarning tuzilishi va o'zaro ta'sir yo'nalishi ham vaqt o'tishi bilan o'zgaradi. Vaqt o'tishi bilan o'sishlarning qanchalik o'zgarishiga bog'liq OUT), statsionar bo'lmagan jarayonlarni ham ikkita kichik guruhga bo'lish mumkin: 1) evolyutsion jarayonlar; 2) xaotik jarayonlar.

Agar o'sish bo'lsa OUT) tizimda sodir bo'ladigan miqdoriy va sifat o'zgarishlari natijasida vaqt o'tishi bilan asta-sekin o'sib boradi, ularning aks etishi statsionar bo'lmagan qatorni amalga oshirishdir, keyin bu jarayonlarni atash mumkin. evolyutsion. Shu bilan birga, noaniqlikning o'sishini tavsiflovchi D K(7)/T(? + 7) nisbati vaqt o'tishi bilan ortib borayotgan qiymatga ega. T dinamika - noldan cheksizgacha. Qachon o'sishlar OUT) vaqt o'tishi bilan etarlicha aniq tendentsiyaga ega emas va ularning o'zgarishlari xaotik (masalan, birinchi kuzatishda). OUT) ko'rsatkichning o'zi bilan solishtirganda ancha katta bo'lishi mumkin U(T)), u holda bunday jarayonlarni tasniflash mumkin xaotik. Dinamikaning xaotik tabiati jarayonning o'zi inertial bo'lmagan va uning rivojlanish dinamikasi tashqi yoki ichki omillar ta'sirida osongina o'zgarganda yoki inertial jarayonga shunday kuchning tashqi omillari ta'sir qilganda paydo bo'ladi. jarayonning ichki tuzilishi ularning ta'siri ostida "buziladi" va uning o'zaro bog'liqliklari va dinamikasi. Boshqacha aytganda, evolyutsion dinamikani tavsiflaydi moslashish jarayoni tashqi va ichki ta'sirlarga ob'ekt va xaotik dinamika - ob'ektning moslashish qobiliyatining yo'qligi.

Statsionar bo'lmagan dinamikaning murakkab tabiati ushbu dinamikani modellashtirish va bashorat qilish uchun apparatlarning murakkabligini oldindan belgilab beradi. Iqtisodiy vaziyatning evolyutsion tarkibiy qismlarini prognozlash yaqin vaqtgacha ijtimoiy-iqtisodiy prognozlash bo'yicha mutaxassislarning nuqtai nazariga kirmagan - faqat o'tgan yillar bashorat qilish bo'yicha darsliklarga tegishli bo'limlar kiritila boshlandi. Amalda, evolyutsion jarayonlar oddiygina alohida guruh sifatida ajratilmagan va ularni tahlil qilish va prognozlash uchun klassik ekonometrika usullaridan foydalanilgan, bunday qo'llashning to'g'riligi haqida o'ylamasdan. Aynan prognozlash ob'ektining xususiyatlariga uslubiy jihatdan mos kelmaydigan prognozlash apparatidan foydalanish vositalarni tanlashda jiddiy xatolarga va ijtimoiy-iqtisodiy dinamikani prognozlash amaliyotida prognozning sezilarli darajada tarqalishiga olib keladi. Evolyutsion tipdagi ijtimoiy-iqtisodiy ko'rsatkichlarning vaqt qatorlarini bashorat qilish uchun metodologik jihatdan asoslanadi. adaptiv prognozlash usullari. Hozirgi vaqtda ijtimoiy-iqtisodiy dinamikaning xaotik qatorlarini bashorat qilish masalalari hal qilinmoqda xaos nazariyasi va falokat nazariyasi.

Keyinchalik, murakkab statsionar va evolyutsion statsionar bo'lmagan bashorat qilish usullarini ko'rib chiqamiz dinamik jarayonlar. Yuqoridagi turlar seriyasi uchun 1990-yillarning o'rtalarida ingliz statistiklari D. Box va W. Jenkins. bashorat qilish algoritmi ishlab chiqilgan. Box-Jenkins algoritmlarining ierarxiyasi bir nechta algoritmlarni o'z ichiga oladi, ulardan eng mashhuri va ishlatiladigani algoritmdir. AYA1MA. U deyarli har qanday maxsus prognozlash paketiga o'rnatilgan. Klassik versiyada LYA1MA mustaqil o'zgaruvchilar ishlatilmaydi. Modellar faqat bashorat qilingan seriyalar tarixidagi ma'lumotlarga tayanadi, bu esa algoritmning imkoniyatlarini cheklaydi. Hozirda ilmiy adabiyotlar model variantlari tez-tez tilga olinadi AYA1MA, mustaqil o'zgaruvchilarni hisobga olish imkonini beradi.

Modellar AYA1MA asosan ma'lumotlarning avtokorrelyatsiya tuzilishiga asoslanadi. Metodologiyada AYA1MA bu vaqt seriyasini prognoz qilish uchun aniq model taqdim etilmagan. Vaqt seriyasini tavsiflovchi va o'zgaruvchining joriy qiymatini oldingi qiymatlari orqali qandaydir tarzda ifodalashga imkon beruvchi modellarning faqat umumiy klassi ko'rsatilgan. Keyin algoritm AYA1MA, modellarning parametrlarini belgilash, u eng mos bashorat modelini tanlaydi. Box-Jenkins modellarining butun ierarxiyasi mavjud. Mantiqiy jihatdan uni quyidagicha aniqlash mumkin:

AZ(p) + MA(d) -> AYAMA(p, d) AYAMA(p, d)(P, 0 ->

-? AR1MA(p, d, d)(P, 0 men) ... (6.10)

qayerda AYA (p) - avtoregressiv tartib modeli p MA(d) - harakatlanuvchi o'rtacha buyurtma modeli d; AYAMA(r, d) - avtoregressiya va harakatlanuvchi o'rtachaning kombinatsiyalangan modeli; AYAMA(r, e) (P, O)- eksponensial tekislash modeli; AYA1MA(r, e, d) (P, 0 men)- chiziqli tendentsiya bilan statsionar bo'lmagan evolyutsiya jarayonini modellashtirish.

Birinchi uchta model murakkab statsionar vaqt qatorlarining dinamikasini, keyingi ikkita model evolyutsion statsionar bo'lmagan vaqt qatorlarining dinamikasini taxmin qiladi. Model, agar qoldiqlar (asosan kichik) tasodifiy taqsimlangan bo'lsa va foydali ma'lumotlarni o'z ichiga olmasa, maqbul deb hisoblanadi. Agar berilgan model qoniqarsiz bo'lsa, jarayon takrorlanadi, lekin yangi takomillashtirilgan modeldan foydalaniladi. Ushbu takrorlanuvchi protsedura qoniqarli model topilmaguncha takrorlanadi. Shu nuqtadan boshlab, berilgan modeldan bashorat qilish uchun foydalanish mumkin.

Modelda ASHMA dinamik diapazon darajasi da uning oldingi qiymatlari va qoldiq qiymatlarining vaznli yig'indisi sifatida aniqlanadi e g - joriy va oldingi. U tartibli avtoregressiv modelni birlashtiradi R va harakatlanuvchi o'rtacha buyurtma modeli c. Trendga kiritilgan LSMA qator chekli farq operatoridan foydalanish y g Chiziqli tendentsiyani filtrlash uchun 1-tartibli farqlar, parabolik tendentsiyani filtrlash uchun - 2-tartibli farqlar va boshqalar ishlatiladi. Farq th statsionar bo'lishi kerak. Model ko'rinishi ASHMA, uning real jarayonga adekvatligi va bashorat qilish xususiyatlari avtoregressiya tartibiga bog'liq R va harakatlanuvchi o'rtacha tartibi

Modellashtirishning asosiy momenti model turini aniqlash - asoslash tartibi hisoblanadi. Standart usulda ASHMA identifikatsiya avtokorrelogrammalarning vizual tahliliga qisqartiriladi va tejamkorlik printsipiga asoslanadi, unga ko'ra (p + ashma buyrug'i (R, (1 , (Rya, A?, 05). Shunday qilib, vaqt seriyasini aniqlash bir qator qoldiqlar uchun adekvat modelni qurish deb ataladi, bunda qoldiqlar "oq shovqin" bo'lib, barcha regressorlar muhim ahamiyatga ega.

Ba'zi modellarni ko'rib chiqing ASHMA Ko'proq. Avtoregressiv model buyurtma R shaklga ega

Y, = Ro + P1 Da,-1 + P 2 T/- 2 + + P R U, - R+ e, (* = I 2, ..., P), (6.11)

bu yerda P 0, p., ..., p ba'zi doimiylar; G (- o'tkazib yuborilishi mumkin bo'lgan "oq shovqin" darajasi.

Agar o'rganilayotgan jarayon da hozirgi vaqtda G uning qiymatlari bilan faqat oldingi davrda 7-1 aniqlanadi, keyin biz birinchi tartibli avtoregressiv modelni olamiz

U,\u003d P 0 + P1L-1 + e, (7 \u003d 1,2, ..., "), (6.12)

DA harakatlanuvchi o'rtacha modellar simulyatsiya qilingan qiymat beriladi chiziqli funksiya oldingi vaqtlardagi buzilishlardan (qoldiqlardan). q tartibining harakatlanuvchi o'rtacha modeli shaklga ega

Y,= e 1 -Y 1 e, -1-Y 2 e, - 2 - - -Y, e, -, (7 \u003d 1,2, ..., "), (6.13)

bu yerda y p u., ..., y ba'zi konstantalar; e - xatolar.

Ko'pincha, shaklga ega bo'lgan birlashtirilgan avtoregressiv va harakatlanuvchi o'rtacha model qo'llaniladi

Y, = Ro + R.L-, + RzYa-2+- + RpU "-r +?1 - U&-1 - U 2^-2 -???- U&-Z (6.14)

Variantlar R va

• 1) bitta parametr (R), agar avtokorrelyatsiya funktsiyasi (ACF) eksponent ravishda kamaysa;
• 2) avtoregressiyaning ikkita parametri (R), agar ACF sinusoid shakliga ega bo'lsa yoki eksponent ravishda kamaysa;
• 3) bitta harakatlanuvchi o'rtacha parametr (
• 4) harakatlanuvchi o'rtachaning ikkita parametri (e) agar ACF 1 va 2 laglarda chetga chiqqan bo'lsa va boshqa kechikishlar bo'yicha korrelyatsiya bo'lmasa.

Moslashuvchan bashorat

Statsionar bo'lmagan evolyutsion vaqt qatorlarini o'rganishda undan foydalaniladi adaptiv prognozlash. Moslashuvchan prognozlash usullari ularning tuzilishi va parametrlarini o'zgaruvchan sharoitlarga moslashtira oladigan ma'lumotlarni diskontlash modellari to'plamidir. Moslashuvchan modellarning parametrlarini baholashda kuzatuvlarga (seriya darajalariga) ularning joriy darajaga ta'siri qanchalik kuchli tan olinishiga qarab turli og'irliklar beriladi. Bu sizga trenddagi o'zgarishlarni, shuningdek, naqshni kuzatish mumkin bo'lgan har qanday tebranishlarni hisobga olish imkonini beradi. Moslashuvchan prognozlash usullari - bu yangi olingan ma'lumotlar asosida bashorat qilish modellarini tanlash va moslashtirish. Ulardan eng keng tarqalganiga eksponensial tekislash usuli va garmonik og'irliklarning Helwig usuli kiradi.

Eksponensial tekislash usuli. Uning o'ziga xos xususiyati shundan iboratki, har bir kuzatish uchun moslashtirish protsedurasida faqat ma'lum bir og'irlik bilan olingan vaqt seriyasining oldingi darajalari qiymatlari qo'llaniladi. Har bir kuzatuvning og'irligi tekislangan qiymat aniqlangan paytdan uzoqlashganda kamayadi. Hozirgi vaqtda 5-seriya darajasining tekislangan qiymati / formula bilan aniqlanadi

5, \u003d oy, + (1-a) 5,_ 1, (6.15)

bu erda 5 - hozirgi vaqtda eksponensial o'rtacha qiymati /; 5 / _ 1 - hozirgi vaqtda eksponensial o'rtacha qiymati (/ - 1); ? - iqtisodiy jarayonning o'sha paytdagi qiymati /; a - dinamika seriyasining /-chi qiymatining og'irligi (yoki qiymatlari noldan birgacha o'zgarib turadigan tekislash parametri).

Formulaning (6.15) izchil qo'llanilishi ma'lum vaqt seriyasining barcha darajalari qiymatlari orqali eksponensial o'rtachani hisoblash imkonini beradi. Bundan tashqari, (6.15) formula asosida 1-tartibning eksponensial o'rtacha ko'rsatkichlari aniqlanadi, ya'ni. vaqt seriyasining dastlabki ma'lumotlarini tekislash orqali to'g'ridan-to'g'ri olingan o'rtacha ko'rsatkichlar. Asl seriyani tekislashdan keyin tendentsiya aniq belgilanmagan hollarda, tekislash jarayoni takrorlanadi, ya'ni. (6.16-6.18) iboralar yordamida ikkinchi, uchinchi va boshqalarning eksponensial o'rtachalarini hisoblang:

bu erda 5^ - eksponent o'rtacha JSSV bir nuqtada buyurtma bering I (k = 1,

2, 3,..., P).

Lineer model uchun da = a 0 + a va dastlabki shartlar quyidagilar:

? - a - a2 (1~a) a^O(y) "O“R (y) "Oh a"

Ushbu model uchun birinchi va ikkinchi darajali eksponensial o'rtacha ko'rsatkichlar:

5,1" = ay,+ (1? - a)5™5,1 "= a5|" + (1 - a) 5

Prognoz formula bo'yicha amalga oshiriladi y *= i 0 + i,/. Bundan tashqari, parametrlar a 0 va a ( mos ravishda teng

• (6.19)
• (6.20)

Prognoz xatosi formula bilan aniqlanadi

) / (G-a) [* -4 (1 - a) + 5 (1 - a) 2 + 2a (4-3a)

/ + 2 a h

qayerda yy - chiziqli trenddan chetlanishning standart xatosi.

Garmonik og'irliklar usuli. Bu usulni polshalik statistik Z. Xelvig ishlab chiqqan. Bu oddiy eksponensial tekislash usuliga yaqin, u xuddi shu printsipdan foydalanadi. Bu harakatlanuvchi indikatorning vazniga asoslanadi, lekin harakatlanuvchi o'rtacha o'rniga harakatlanuvchi tendentsiya g'oyasi ishlatiladi. Pro-ning ekstrapolyatsiyasi

harakatlanuvchi tendentsiya bo'yicha amalga oshiriladi, poliliniyaning alohida nuqtalari garmonik og'irliklar yordamida tortiladi, bu esa yaqinroq kuzatuvlarga ko'proq og'irlik berishga imkon beradi. Garmonik og'irliklar usuli quyidagi taxminlarga asoslanadi:

• iqtisodiy jarayon o‘rganilayotgan vaqt davri uning qonuniyatlarini aniqlay oladigan darajada uzun bo‘lishi kerak;
• dinamikaning dastlabki seriyasida sakrashlar bo'lmasligi kerak

• ijtimoiy-iqtisodiy hodisa inertsiyaga ega bo'lishi kerak, ya'ni. jarayonning xarakteristikalari sezilarli darajada o'zgarishi uchun sezilarli vaqt o'tishi kerak;
• harakatlanuvchi tendentsiyadan og'ishlar tasodifiy;
• ketma-ket farqlardan hisoblangan avtokorrelyatsiya funktsiyasi / ortishi bilan kamayishi kerak, ya'ni. so'nggi ma'lumotlarning ta'siri dastlabki ma'lumotlarga qaraganda bashorat qilingan qiymatda kuchliroq aks etishi kerak.

Garmonik og'irliklar usuli bilan aniq prognozni olish uchun dastlabki vaqt seriyasi uchun yuqoridagi barcha shartlarni bajarish kerak. Ushbu usuldan foydalanish uchun asl seriya fazalarga bo'linadi uchun. Fazalar soni ketma-ket a'zolar sonidan kam bo'lishi kerak P, ya'ni. k Odatda, faza uchdan besh darajagacha. Har bir bosqich uchun chiziqli tendentsiya hisoblab chiqiladi, ya'ni.

Y t \u003d a,+ V 0" = 1, 2 , P - uchun + 1).

Bundan tashqari, / birga teng, D = 1, 2,..., uchun; uchun / ikkiga teng, D = 2, 3,..., uchun+1; uchun / teng p - k+ 1, r = i - k + ,n - k +2,..., P. Parametrlarni baholash uchun a. ( va b w eng kichik kvadratlar usuli qo'llaniladi. Qabul qilingan yordami bilan (n - k + 1) tenglamalar harakatlanuvchi tendentsiya qiymatlari bilan aniqlanadi. Shu maqsadda qadriyatlar y (tsu uchun G = /, ular belgilanadi y.^. Ular bo'lsin Pu Keyin o'rtacha qiymat topiladi y t formula bo'yicha

Shundan so'ng, harakatlanuvchi tendentsiyadan chetlanishlar statsionar jarayon ekanligi haqidagi gipotezani sinab ko'rish kerak. Buning uchun avtokorrelyatsiya funksiyasi hisoblanadi. Agar avtokorrelyatsiya funksiyasining qiymatlari davrdan davrga kamayib borsa, bu usulning beshinchi sharti qondiriladi. Keyinchalik, o'sishlar formula bo'yicha hisoblanadi

O'rtacha daromad formula bo'yicha hisoblanadi

bu erda S" +| - S” +1 > 0 (/ = 1,2,) shartlarni qondiruvchi garmonik koeffitsientlar P- 1) va ^C," (= 1.

(6.25) ifoda keyingi ma'lumotlarga kattaroq og'irliklar berishga imkon beradi, chunki daromadlar dastlabki ma'lumotni keyingisidan ajratib turadigan vaqtga teskari proportsionaldir G = P. Agar dastlabki ma'lumot og'irlikka ega bo'lsa t 2 \u003d / [n - 1), keyin

vaqtning keyingi nuqtasi bilan bog'liq ma'lumotlarning og'irligi teng

t, \u003d t 2 - 1--- = --I---. (6,26)

3 2 p-2 p- 1 /7-2

DA umumiy ko'rinish garmonik og'irliklar qatori sifatida aniqlanadi

= t,l--

• (/ = 2, 3, , P 1),
• (6.27)

^t, +1 = /7 -1. (6,29)

Yuqoridagi ikkita shartni qondiradigan harmonik koeffitsientlarni olish uchun C" garmonik og'irliklar t 1+1 ga bo'linishi kerak (P - 1), ya'ni.

U,= U/ + Yu (6,31)

boshlang'ich sharoitda Y* = Yd, y Bu usul prognozlash kelajakdagi tendentsiya silliq egri chiziq bilan tasvirlanganligiga ishonch mavjud bo'lganda qo'llaniladi, ya'ni. ketma-ketlikda mavsumiy va tsiklik tebranishlar mavjud emas. Shunday qilib, o'rganilayotgan ob'ektning rivojlanishini bashorat qilishdan oldin, vaqt seriyasining statsionarligi yoki statsionarligi haqida xulosa chiqarish kerak. Ushbu pozitsiyani Dikki-Fuller testi yordamida tekshirish mumkin. Sinovda ishlatiladigan asosiy ishlab chiqarish jarayoni birinchi darajali avtoregressiv jarayondir:

y (= t 0 + t ( / + y-y(_(+ e /? (6.32)

qayerda t 0, t ( ig - doimiy koeffitsientlar, eng kichik kvadratlar yordamida topish mumkin; ? - tasodifiy xato bu hisobga olinmasligi mumkin.

Agar 0 r 1 shart bajarilsa, qator statsionar hisoblanadi. Da r 0 va g> 1, keyin o'rganilgan vaqt seriyasi statsionar emas.

Vaqt seriyalarining xususiyatlari. Vaqt seriyalarini batafsilroq o'rganish uchun ehtimollik-statistik modellar qo'llaniladi. Bunday holda, X(t) vaqt seriyasi tasodifiy jarayon sifatida (diskret vaqt bilan) ko'rib chiqiladi, asosiy xarakteristikalar X(t) matematik kutishdir, ya'ni.

dispersiya X (t), ya'ni.

va X(t) vaqt seriyasining avtokorrelyatsiya funksiyasi.

bular. ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi, koeffitsientiga teng X(t) va X(s) vaqt seriyasining ikkita qiymati o'rtasidagi korrelyatsiya.

Nazariy va amaliy tadqiqotlarda vaqt seriyalari modellarining keng doirasi ko'rib chiqiladi. Avval statsionar modellarni tanlaylik. Ular k vaqt nuqtalarining istalgan soni uchun birgalikda taqsimlash funktsiyalariga ega va shuning uchun yuqorida sanab o'tilgan vaqt qatorlarining barcha xususiyatlari vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi. Xususan, o'rtacha va dispersiya konstantalar, avtokorrelyatsiya funktsiyasi faqat ga bog'liq farqlar t-s. Statsionar bo'lmagan vaqt qatorlari statsionar emas deb ataladi.

Vaqt seriyasi deganda bir yoki cheklangan tasodifiy o'zgaruvchilar to'plamining qiymatlarining vaqt bo'yicha tartiblangan ketma-ketligi tushuniladi. Birinchi holda, bir o'lchovli vaqt seriyasi, ikkinchisida ko'p o'lchovli vaqt seriyasi haqida gapiriladi. Bu erda faqat bir o'lchovli vaqt seriyalari ko'rib chiqiladi. Bir o'lchovli vaqt seriyasi, agar uning ehtimollik xususiyatlari doimiy bo'lsa, statsionar deyiladi. Agar ehtimollik xarakteristikalaridan kamida bittasi doimiy bo'lmasa, vaqt seriyasi statsionar emas deb ataladi. Tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi y 1 , y 2 , . . . yoki y -1 , y 0 , y 1 , . . diskret vaqt parametriga ega tasodifiy jarayon deyiladi.

Vaqt seriyasining keyingi qiymatining paydo bo'lish vaqtidagi ketma-ketligi muhim bo'lganligi sababli, vaqt seriyasida vaqt seriyasining mos yozuvlar qiymatining soni argument sifatida ishlatiladi. Masalan:

x(1), x(2), ...,x(k), ...

bu yerda x(k) - tartib bilan k-kuzatuvdagi vaqt qatorining qiymati; k - kuzatuv raqami.

Ko'pgina amaliy ilovalarda vaqt qatorlari ketma-ket qiymatlarni taqsimlashning normal qonuni bilan matematik kutish nuqtai nazaridan statsionar va statsionar bo'lmagan deb hisoblanadi. Bu shuni anglatadiki:

statsionar qator: x(k) ê (µ, y 2) , µ = const, y 2 = const;

statsionar bo'lmagan qator: x(k) ê (µ, y 2) , µ = var, y 2 = const.

Quyida statsionar vaqt seriyasining amalga oshirilishi keltirilgan:

Vaqt seriyasining taxminiyligi.

Vaqt seriyasini bashorat qilish uchun uning modelini yaratish kerak. Seriyaning bashorat qilinishi faqat seriyaning keyingi qiymatlari va oldingi qiymatlari o'rtasida ehtimollik (analitik) bog'liqlik mavjud bo'lganda mumkin bo'ladi. Statsionar vaqt seriyasining prognozliligi avtokorrelyatsiya funktsiyasi (ACF) yordamida aniqlanadi:

c(m) = M[(x(k) - µ)*(x(k + m) - µ)]/y 2

Bu yerda: c(m) - x(k) vaqt qatorining m siljishidagi avtokorrelyatsiya funksiyasining qiymati.

Seriyaning ACF baholari quyidagi shaklga ega:

Ko'rinib turibdiki, c(0) = 1, chunki bu vaqt seriyasining o'ziga bog'liqligi.

Agar m>0 bo'lsa c(m) bo'lsa, statsionar vaqt seriyasini bashorat qilish mumkinmi? 0.

Har qanday m>0 c(m) = 0 bo'lsa, statsionar vaqt seriyasini oldindan aytib bo'lmaydi. Bunday qator "oq shovqin" deb ataladi.

ACF korrelyatsiya koeffitsientlarining qiymatlari bo'lganligi sababli, u tasodifiy bo'lmagan qiymatlarning funktsiyasidir.

ACFni baholash vaqt seriyasini amalga oshirish bo'yicha amalga oshiriladi. Agar amalga oshirish n ta qiymatdan iborat bo'lsa, avtokorrelyatsiya funktsiyasining taxmini:

bu erda: r(m) - ACF bahosi; x - vaqt seriyasini amalga oshirishning o'rtacha qiymati; S 2 - vaqt seriyasini amalga oshirish dispersiyasini baholash.

Vaqt seriyasining prognozliligini tekshirishda amalga oshirish uzunligi kamida 20-30 kuzatuv bo'lishi kerak.

Shuni ta'kidlash kerakki, vaqt qatorlarini ko'rib chiqilayotgan usul bilan prognozlash ikkita shartning bajarilishini nazarda tutadi:

• 1. Modellarning tarkibiy qismi sifatida "oq shovqin" tasodifiy o'zgaruvchisi e(k) bo'ysunishi kerak. oddiy qonun nol matematik kutish va chekli dispersiya y e 2 bilan taqsimlash.
• 2. "Oq shovqin" y e 2 dispersiyasi doimiy bo'lishi kerak.

Prognozni hisoblash formulasi:

x(k) = 27,2661 - 0,900766*

Bu erda x(k) - vaqt seriyasining k-qiymati uchun model prognozi.

Statsionar vaqt seriyasining modelini aniqlash

Modelni aniqlash. Mavjud vaqt seriyalari asosida kelajakdagi ishlashni bashorat qilish uchun namunaviy vaqt seriyasini yaratish jarayonini eng yaxshi tavsiflovchi modelni aniqlash kerak. Bunday modelni aniqlash uchun siz hisoblangan avtokorrelyatsiya funktsiyasidan foydalanishingiz mumkin. Vaqt seriyalarining dinamikasini tavsiflash uchun ko'plab modellardan uchtasi ko'pincha qo'llaniladi: oq shovqin modeli, birinchi tartibli avtoregressiv model va ikkinchi tartibli avtoregressiv model. Agar hisoblangan avtokorrelyatsiya funktsiyasi ahamiyatsiz avtokorrelyatsiyalar yig'indisi bo'lsa, bu n-qatorning berilgan vaqt o'zgaruvchanligi eng yaxshi "oq shovqin" yoki tasodifiy tebranishlar sifatida tavsiflanishining aniq belgisidir.

Vaqt seriyalari modelini identifikatsiya qilishning asosiy g'oyasi oddiy va murakkab modellar uchun bir xil bo'lib qoladi: kuzatilgan ma'lumotlar strukturasining ma'lum bir modellar sinfi bilan bog'liq bo'lgan ma'lum strukturaga muvofiqligi. Model oldindan aniqlangandan so'ng, uning parametrlari taxmin qilinadi.

Diagnostik tekshiruv. Vaqt seriyalari modelini identifikatsiya qilish ma'lum darajada sub'ektiv protseduraga asoslanganligi sababli, ba'zida ushbu model qoldiqlarining avtokorrelyatsiya funktsiyasining ahamiyatini tekshirish orqali aniqlangan modelning adekvatligini baholash tavsiya etiladi. Bu foydali, chunki vaqt seriyasi modelining qoldiqlari avtokorrelyatsiya qilinmaydi.

Biroq, statsionar vaqt seriyasining avtokorrelyatsiya funktsiyasi seriya modelini yagona aniqlashga imkon bermaydi. Bu ikkinchi qo'shimcha funktsiya - xususiy avtokorrelyatsiya funktsiyasi (PACF) yordamida mumkin. FACF qiymatlari - bu m-tartibning avtoregressiv jarayoni bilan vaqt seriyasini ko'rsatishda m-koeffitsientining qiymati. X(k) statsionar vaqt qatori bo‘lsin. Avtoregressiv jarayon orqali quyidagi vaqt seriyalarini ko'rib chiqing:

x(k) - m = a 11 *

x(k) - m = a 12 * + a 22 *

x(k) - m = a 13 * + a 23 * + a 33 *

... ... ... ... ... ... ... ... ...

x(k) - m = a 1 * + a 2 * + a 33 * + ... + a mm *

1, 2, 3, ..., m siljishlar uchun FACF qiymatlari koeffitsientlarning qiymatlari: a 11 , a 22 , a 33 , ..., a mm . CHAF grafigi quyidagicha ko'rinishi mumkin:

FACF ni baholagandan so'ng, har bir m uchun qisman avtokorrelyatsiyaning tegishli koeffitsienti nolga teng degan gipotezani sinab ko'rish kerak. Statistik ma'lumotlarni qayta ishlash dasturlarida har bir koeffitsient uchun tanqidiy qiymatlar hisoblab chiqiladi, ular FACFni baholash grafigida nazorat chegaralari shaklini oladi.

Modelni aniqlashda, qoida tariqasida, quyidagi qoidalar qo'llaniladi:

• 1. Agar ACF ning h birinchi qiymatlari nolga teng bo'lmasa va FACF moduli bo'yicha asimptotik tarzda nolga moyil bo'lsa, u holda ARSS(0,h) - h tartibli o'rtacha harakatlanuvchi jarayon sodir bo'ladi.
• 2. Agar PACF ning birinchi qiymatlarining h nolga teng bo'lmasa va ACF modul bo'yicha asimptotik tarzda nolga intiladi, u holda ARSS(h,0) - h tartibli avtoregressiya jarayoni sodir bo'ladi.
• 3. Agar ACF va PACF qiymatlari modul bo‘yicha asimptotik tarzda nolga moyil bo‘lsa, u holda ARSS(p,q) aralash jarayon sodir bo‘ladi.

Stokastik vaqt qatori statsionar deyiladi, agar uning o'rtacha, dispersiya, avtokovariatsiya va avtokorrelyatsiyasi vaqt davomida doimiy bo'lsa.

Statsionar vaqt seriyalarining asosiy chiziqli modellari:

1. avtoregressiya modellari;
2. harakatlanuvchi o'rtacha modellar;
3. harakatlanuvchi o'rtacha avtoregressiya modellari.

Buyurtma avtoregressiyasi modeli bilan ifodalangan vaqt seriyasining darajasi R, quyidagicha ifodalanishi mumkin:

y t =d 1 y t-1 +d 2 y t-2 +…+d p y t–p +n t,

vt- Oq shovqin ( tasodifiy qiymat nol matematik kutish bilan)

Amalda, ko'pincha birinchi, ikkinchi, maksimal uchinchi buyurtmalarning avtoregressiv modellaridan foydalanish mumkin.

Birinchi tartibli avtoregressiv model AP(1) o'zgaruvchining qiymatlari tufayli "Markov jarayoni" deb ataladi y hozirgi vaqtda t faqat o'zgaruvchining qiymatlariga bog'liq y oldingi vaqtda (t–1) Ushbu model quyidagi shaklga ega:

y t =dyy t–1 +n t.

Model uchun AP(1) cheklov mavjud |δ|<1 .

y t =d 1 y t-1 +d 2 y t-2 +n t.

1. (d 1 +d 2)<1;
2. (d 1 –d 2)<1;
3. |d 2 |<1 .

Harakatlanuvchi o'rtacha modellar ᴏᴛʜᴏsᴙ cheklangan miqdordagi parametrlarga ega bo'lgan vaqt seriyasi modellarining oddiy sinfiga qisqartiriladi, bu vaqt seriyasi darajasini shartlar soni bilan oq shovqin seriyasi shartlarining algebraik yig'indisi sifatida ifodalash orqali olinishi mumkin. q.

Umumiy harakatlanuvchi o'rtacha buyurtma modeli q kabi ko'rinadi:

y t =n t –ph 1 n t–1 –ph2n t–2 –…–phqn t –q,

bu erda q - harakatlanuvchi o'rtacha modelning tartibi;

ph t – baholanayotgan modelning noma’lum koeffitsientlari;

ν t - oq shovqin.

Harakatlanuvchi o'rtacha buyurtma modeli q sifatida belgilanadi CC(q) yoki MA(q)

Amalda, birinchisining harakatlanuvchi o'rtacha modellari CC(1) va ikkinchi tartib CC(2)

Harakatlanuvchi o'rtacha tartibli model koeffitsientlari q birga qo'shish shart emas va ijobiy bo'lishi shart emas.

Ekonometrik modellashtirishda vaqt seriyalari modelining ko'proq moslashuvchanligiga erishish uchun unga avtoregressiv atamalar ham, harakatlanuvchi o'rtacha atamalar ham kiritilgan. Bunday modellar aralash harakatlanuvchi o'rtacha avtoregressiya modellari deb ataladi va statsionar vaqt seriyalarining chiziqli modellari bilan ham bog'liq.

Ko'pincha amaliyotda bitta avtoregressiv parametr p=1 va bitta harakatlanuvchi o'rtacha parametr bilan aralash ARCC(1) modeli qo'llaniladi. q=1. Ushbu model quyidagicha ko'rinadi:

y t =dy t–1 +n t –phn t–1 ,

ph - harakatlanuvchi o'rtacha jarayonning parametri;

n t - oq shovqin.

Ushbu modelning koeffitsientlari quyidagi cheklovlarga bog'liq:

1. |δ|<1 aralash modelning statsionarligini ta'minlovchi shartdir;
2. | φ |‹1 aralash modelning teskariligini ta'minlovchi shartdir.

Aralash APCC(p,q) modelining qaytaruvchanlik xususiyati harakatlanuvchi o‘rtacha modelni cheksiz tartibli avtoregressiv model sifatida teskari yoki qayta yozilishi mumkinligini bildiradi va aksincha.

Additiv va multiplikativ modellar misolida vaqt qatori modelini qurish algoritmi

Tsiklik tebranishlarni o'z ichiga olgan vaqt seriyalari modelini qurish algoritmi qo'shimcha va multiplikativ modellar uchun mazmuni biroz farq qiladigan asosiy bosqichlardan iborat.

Tsiklning davomiyligidan yoki mavsumiy yoki opportunistik tabiatidan qat'i nazar, seriyaning tsiklik komponenti uchun bitta belgini kiritish orqali modelni soddalashtiraylik. Uni s t deb belgilaymiz. Keyin qo'shimcha model y t = u t + s t + e t ko'rinishini oladi va multiplikativ - y t = u t * s t * e t .

Shunday qilib, modelni qurishning asosiy bosqichlari:

1) Tsiklning davomiyligiga to'g'ri keladigan vaqt oralig'ida hisoblangan o'rtacha ko'rsatkichlar asosida asl seriyani tekislash.

2) Tsiklik yoki mavsumiy komponentning qiymatlarini aniqlash (batafsil ma'lumot uchun qarang: Eliseeva I.I., Kurysheva S.V., Kosteeva T.V. va boshqalar. Ekonometrika: Darslik. - M .: Moliya va statistika, 2001. - P. 242-251. ). Qo'shimcha model uchun bitta tsiklning barcha davrlari uchun ushbu komponentning qiymatlari yig'indisi nolga teng bo'lishi kerak va multiplikativ modelda u tsikldagi davrlar soniga teng bo'lishi kerak. Bu tsiklik komponentning o'zaro sotib olinishini ta'minlaydi.

3) Modeldan tsiklik komponentlarni olib tashlash. Qo'shimcha modelda ayirish yo'li bilan amalga oshiriladi, shundan so'ng model y t = u t + e t ko'rinishini oladi. Multiplikativ modelda u bo'linish yo'li bilan amalga oshiriladi, shundan so'ng model y t = u t * e t ko'rinishini oladi.

4) y t = f(t) trend tenglamasini qurish asosida olingan y t = u t + e t yoki y t = u t * e t qatorlarini analitik tekislash.

5) Tsiklik komponent qatorning olingan darajalariga qo‘shiladi (qo‘shimcha modelda) yoki unga ko‘paytiriladi (ko‘paytiruvchi modelda): y t = f(t) + s t yoki y t = f( t) * s t .

6) tuzilgan model yordamida olingan qator darajalarining hisoblangan qiymatlarini haqiqiy qiymatlar bilan solishtirish. Olingan modelni baholash, xatolarni hisoblash.

Vaqt seriyalari stokastik xususiyatga ega va shunga mos ravishda ular uchun turli xil ehtimollik xarakteristikalarini hisoblash mumkin.

Statsionar vaqt seriyasi - bu barcha ehtimollik xususiyatlari doimiy bo'lgan vaqt seriyasidir.

Bu shuni anglatadiki, biz vaqt seriyasining qaysi qismini olishimizdan qat'i nazar, indikator qiymatlarining ehtimollik xususiyatlari ushbu seriyaning boshqa har qanday vaqt oralig'i bilan bir xil bo'ladi. Statsionar qatorlarda trend komponenti yo'q.

Statsionar bo'lmagan vaqt qatori bunday xususiyatga ega emas.

Vizual statsionar va statsionar bo'lmagan vaqt qatorlari 5.1-rasmda keltirilgan.

Tushunchalarni farqlash zaif va qattiq statsionarlik. Seriyani zaif statsionar yoki so‘zning keng ma’nosida statsionar deb hisoblash uchun uning doimiy matematik kutish, dispersiya va avtokorrelyatsiya koeffitsientlariga ega bo‘lishi kifoya. Statsionarlikni yanada qat'iy ta'riflash uchun ehtimollik nazariyasi kursida batafsil o'rganiladigan boshqa ehtimollik xususiyatlarining doimiyligi ham kerak (tarqatish funktsiyasi bir xil bo'lishi kerak).

Shuni esda tutish kerakki, har qanday qat'iy statsionar qator ham zaif statsionardir, lekin aksincha emas. Shunday qilib, kuchsiz statsionar qatorlar to'plami va qat'iy statsionar qatorlar to'plamining kesishishi (umumiy qismi) qat'iy statsionar qatorlar to'plamidir. Kuchsiz statsionar qatorlar toʻplami va qatʼiy statsionar qatorlar toʻplamining birlashishi kuchsiz statsionar qatorlar toʻplamidir (chunki qatʼiy statsionar qatorlar kuchsiz statsionar qatorlarga kiradi).

Statsionar vaqt seriyasiga misol regressiya modellarida "oq shovqin" bo'lishi mumkin (ya'ni, o'rtacha va dispersiya doimiy bo'lgan tasodifiy komponentning vaqt bo'yicha tartiblangan qiymatlari (bu holda qoldiqning kutilgan qiymati nolga teng) va bu qiymatlar bir-biri bilan bog'liq emas).

Ergodik seriyalar. Ayrim statsionar qatorlarning muhim xossasi xossadir ergodiklik. Bu xususiyatning mohiyati shundan iboratki, ergodik qator uchun uning fazodagi darajalarining matematik kutilishi vaqt bo'yicha uning darajalarining matematik kutilishi bilan mos keladi.

Har qanday vaqtda kuchsiz statsionar jarayon uchun t qiymatining kutilishi M(y t) = m (bu fazoda kutish) bo'lsin. Vaqt bo'yicha matematik kutish - bu n ® ¥ da vaqt seriyasining n qiymatining o'rtacha qiymati. Agar , unda bunday seriya ergodik hisoblanadi.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, statsionar vaqt seriyasi uchun vaqtning berilgan nuqtalari uchun amalga oshirishlar to'plami bo'yicha o'rtacha qiymat bir realizatsiya bo'yicha hisoblangan vaqt bo'yicha o'rtacha qiymatga teng.